Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор)

Рассмотрены концепции квантовой запутанности и квантового дискорда. Представлены энтропийные меры для этих информационных корреляций. Приведены примеры, демонстрирующие присутствие квантово-информационных корреляций в различных парамагнитных материалах как с ферромагнитными, так и антиферромагнитны...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Алдошин, С.М., Фельдман, Э.Б., Юрищев, М.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2014
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119362
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах / С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 1. — С. 5-21. — Бібліогр.: 117 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-119362
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1193622025-02-09T23:14:40Z Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор) Quantum entanglement and quantum discord in magnetoactive materials (Review Article) Алдошин, С.М. Фельдман, Э.Б. Юрищев, М.А. К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория Рассмотрены концепции квантовой запутанности и квантового дискорда. Представлены энтропийные меры для этих информационных корреляций. Приведены примеры, демонстрирующие присутствие квантово-информационных корреляций в различных парамагнитных материалах как с ферромагнитными, так и антиферромагнитными взаимодействиями. Рассмотрено температурное поведение дискорда для спинов атомных ядер. Обсуждены вопросы декогеренции квантовых состояний с электронными и ядерными спинами. Розглянуто концепції квантової заплутаності та квантового дискорда. Представлено ентропійні заходи для цих інформаційних кореляцій. Наведено приклади, що демонструють присутність квантово-інформаційних кореляцій в різних парамагнітних матеріалах як з феромагнітними, так і антиферомагнітними взаємодіями. Розглянуто температурну поведінку дискорда для спінів атомних ядер. Обговорено питання декогеренції квантових станів з електронними та ядерними спінами. The conceptions of quantum entanglement and quantum discord are reviewed. The entropic measures for these informational correlations are presented. The examples which demonstrate the presence of quantum information correlations in different paramagnetic materials with ferro- and antiferromagnetic couplings are given. The temperature behavior of the discord for atomic nuclear spins is considered. The decoherence of quantum states with electron and nuclear spins is discussed. Работа поддержана РФФИ (гранты 13-03-00017 и 13-03-12418) и программой № 8 Президиума РАН. 2014 Article Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах / С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 1. — С. 5-21. — Бібліогр.: 117 назв. — рос. 0132-6414 PACS 03.65.Ud, 03.67.Mn, 75.10.Jm, 75.50.Xx https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119362 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория
spellingShingle	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория Алдошин, С.М. Фельдман, Э.Б. Юрищев, М.А. Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор) Физика низких температур
description	Рассмотрены концепции квантовой запутанности и квантового дискорда. Представлены энтропийные меры для этих информационных корреляций. Приведены примеры, демонстрирующие присутствие квантово-информационных корреляций в различных парамагнитных материалах как с ферромагнитными, так и антиферромагнитными взаимодействиями. Рассмотрено температурное поведение дискорда для спинов атомных ядер. Обсуждены вопросы декогеренции квантовых состояний с электронными и ядерными спинами.
format	Article
author	Алдошин, С.М. Фельдман, Э.Б. Юрищев, М.А.
author_facet	Алдошин, С.М. Фельдман, Э.Б. Юрищев, М.А.
author_sort	Алдошин, С.М.
title	Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор)
title_short	Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор)
title_full	Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор)
title_fullStr	Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор)
title_full_unstemmed	Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор)
title_sort	квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (обзор)
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2014
topic_facet	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119362
citation_txt	Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах / С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 1. — С. 5-21. — Бібліогр.: 117 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT aldošinsm kvantovaâzaputannostʹikvantovyidiskordvmagnitoaktivnyhmaterialahobzor AT felʹdmanéb kvantovaâzaputannostʹikvantovyidiskordvmagnitoaktivnyhmaterialahobzor AT ûriŝevma kvantovaâzaputannostʹikvantovyidiskordvmagnitoaktivnyhmaterialahobzor AT aldošinsm quantumentanglementandquantumdiscordinmagnetoactivematerialsreviewarticle AT felʹdmanéb quantumentanglementandquantumdiscordinmagnetoactivematerialsreviewarticle AT ûriŝevma quantumentanglementandquantumdiscordinmagnetoactivematerialsreviewarticle
first_indexed	2025-12-01T15:20:56Z
last_indexed	2025-12-01T15:20:56Z
_version_	1850319792980885504
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1, c. 5–21 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор) С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев Институт проблем химической физики РАН пр. Акад. Семенова, 1, г. Черноголовка, Московская обл., 142432, Россия E-mail: efeldman@icp.ac.ru Статья поступила в редакцию 25 июля 2013 г. Рассмотрены концепции квантовой запутанности и квантового дискорда. Представлены энтропийные меры для этих информационных корреляций. Приведены примеры, демонстрирующие присутствие кван- тово-информационных корреляций в различных парамагнитных материалах как с ферромагнитными, так и антиферромагнитными взаимодействиями. Рассмотрено температурное поведение дискорда для спинов атомных ядер. Обсуждены вопросы декогеренции квантовых состояний с электронными и ядерными спинами. Розглянуто концепції квантової заплутаності та квантового дискорда. Представлено ентропійні заходи для цих інформаційних кореляцій. Наведено приклади, що демонструють присутність квантово-ін- формаційних кореляцій в різних парамагнітних матеріалах як з феромагнітними, так і антиферомагніт- ними взаємодіями. Розглянуто температурну поведінку дискорда для спінів атомних ядер. Обговорено питання декогеренції квантових станів з електронними та ядерними спінами. PACS: 03.65.Ud Запутанность и квантовая нелокальность; 03.67.Mn Меры запутанности, свидетели и другие характеристики; 75.10.Jm Квантовые спиновые модели; 75.50.Xx Молекулярные магнетики. Ключевые слова: кубит, время декогеренции, матрица плотности, энтропия, информационная кор- реляция. Содержание 1. Введение ................................................................................................................................................. 6 2. Корреляционные функции ..................................................................................................................... 6 3. Квантовая запутанность и ее меры ....................................................................................................... 7 3.1. Чистые состояния ........................................................................................................................... 7 3.1.1. Энтропия запутанности ....................................................................................................... 7 3.1.2. Двухкубитовая система ....................................................................................................... 8 3.1.3. Запутанность и квантовые фазовые переходы .................................................................. 8 3.2. Смешанные состояния ................................................................................................................... 9 3.2.1. Сепарабельные и несепарабельные состояния .................................................................. 9 3.2.2. Запутанность формирования .............................................................................................. 9 3.2.3. Формула Хилла–Вуттерса ................................................................................................... 9 3.2.4. Димер Гейзенберга .............................................................................................................. 9 3.2.5. Запутанность и магнитная восприимчивость .................................................................. 10 3.2.6. Температура TE в спин-кластерных материалах ............................................................. 10 3.2.7. Поведение запутанности в димерных магнетиках .......................................................... 11 4. Квантовый дискорд .............................................................................................................................. 13 4.1. Классические и квантовые информационные корреляции ....................................................... 13 4.1.1. Взаимная информация ....................................................................................................... 13 4.1.2. Определение дискорда. Формулы для его расчета ......................................................... 13 © С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев, 2014 mailto:efeldman@icp.ac.ru С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев 4.2. Корреляции в димере Гейзенберга ............................................................................................. 14 4.3. Экспериментальное измерение термального дискорда............................................................. 15 4.3.1. Рассеяние нейтронов ......................................................................................................... 15 4.3.2. Внутренняя энергия и теплоемкость ................................................................................ 16 4.3.3. Магнитная восприимчивость ............................................................................................ 16 4.4. Дискорд в веществах с ядерными спинами ................................................................................ 17 5. Проблема декогеренции ...................................................................................................................... 18 5.1. Ядерные спиновые системы ........................................................................................................ 18 5.2. Кубиты на электронных спинах .................................................................................................. 19 6. Заключение ........................................................................................................................................... 19 Литература ................................................................................................................................................ 19 1. Введение В настоящее время сложилась ситуация, когда дальнейшая миниатюризация электроники неизбежно приведет к молекулярным размерам элементной базы. Разработка такой базы потребует применения законов квантовой механики. Как ожидается, при этом может произойти прорыв технологий за счет использования материалов со святая святых квантовой теории — осо- бых, так называемых квантово-информационных кор- реляций или, для краткости, просто квантовых корре- ляций. Первоначально к квантовым корреляциям отно- сили запутанность (перепутанность, сцепленность) E [1–4]. Квантовая запутанность способна связывать час- ти составных систем даже тогда, когда между частями нет никакого взаимодействия (эффект Эйнштейна–По- дольского–Розена). Именно на запутанность, начиная с 80–90-х годов минувшего столетия, стали возлагать надежды в амбициозных проектах радикального по- вышения производительности компьютеров, создания безопасных сетей передачи данных, осуществления телепортации состояний и т.д. [5–8]. XXI век ознаменовался дальнейшим развитием представлений о квантовых корреляциях. В 2000 году Зурек ввел в научный оборот понятие quantum discord (квантовый дискорд, квантовая невязка, квантовое рас- согласование) для количественного описания «степени нарушения классичности объединенного состояния двух квантовых подсистем» [9]. В дальнейшем, однако, исходное определение дискорда претерпело важное уточнение: было дополнено оптимизацией по измере- ниям (см. ниже). В 2001 году Хендерсон и Ведрал, а затем независи- мо от них Олливиер и Зурек в работах [10,11] (см. так- же [12,13]) провели анализ всех корреляций I в двухсо- ставной системе и, опираясь на теорию измерений, предложили способы выделять из них, с одной сторо- ны, чисто классическую часть C, а с другой, — цели- ком квантовый вклад Q. При этом =I C Q+ . Величина полных чисто квантовых корреляций Q получила на- звание дискорда (в современном значении этого тер- мина). Важную роль на пути продвижения концепции дис- корда сыграла модель детерминистского квантового вычисления с одним квантовым битом (ДКВ1) [14]. В 2008 году на примере ДКВ1 было продемонстриро- вано, что квантовый процессор можно построить на смешанных состояниях, используя квантовые корреля- ции практически без запутанности [15,16]. Это вызвало взрыв интереса к новому типу корреляций. Вскоре бы- ли обнаружены различные замечательные свойства дискорда. Так, например, было показано, что его мож- но использовать для детектирования квантовых фазо- вых переходов [17,18]. Более того, в отличие от запу- танности и обычных термодинамических величин, он может улавливать приближение квантового фазового перехода даже при конечной температуре [19,20]. Вы- яснился также любопытный факт: «Почти все кванто- вые состояния имеют неклассические корреляции» [21]. Кроме того, было показано, что дискорд является важным ресурсом для создания защищенных каналов связи [22]. Наконец, недавно были опубликованы экс- периментальные данные, которые подтверждают, что квантовые преимущества можно получить, используя дискорд без запутанности [23,24]. Достигнутые резуль- таты по теории и приложениям квантового дискорда отражены в недавних обзорах [25,26] и специальном выпуске журнала [27]. 2. Корреляционные функции Прежде чем переходить к информационным корре- ляциям, кратко коснемся обычных статистических корреляционных функций. В статистических теориях величину взаимосвязи (корреляции) между двумя случайными переменными x и y с функцией распределения вероятностей ( , )p x y измеряют с помощью ковариации (корреляционного момента) cov ( , ) = ( )( )x y x x y y− − (1) (черта означает усреднение по распределению вероят- ностей) или коэффициента корреляции Пирсона 1 2 ( )( )= ,xy x x y yR D D − − (2) 6 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах где 2 1 = ( )D x x− и 2 2 = ( )D y y− — дисперсии для x и y соответственно. В теории вероятностей и математиче- ской статистике хорошо известно [28–30], что обраще- ние ковариации (1) или коэффициента корреляции (2) в нуль еще не означает, вообще говоря, независимости случайных величин, т.е. что 1 2( , ) = ( ) ( )p x y p x p y . Для независимости требуется обращение в нуль совмест- ных центрированных моментов всех порядков. В статистической физике и квантовой механике большой интерес представляют средние значения от заданных динамических переменных — корреляцион- ные функции системы. Корреляционные функции яв- ляются непосредственно измеряемыми величинами (на- пример, в экспериментах по рассеянию). Знание кор- реляционных функций позволяет находить различные характеристики физической системы: восприимчивость, теплоемкость, внутренняя энергия и так далее. Мы увидим, что запутанность и дискорд тоже выражаются через обычные статистические корреляторы. Это пре- допределено тем, что элементы матрицы плотности, исходя из которой вычисляют информационные кор- реляции, являются корреляционными функциями пе- ременных системы. 3. Квантовая запутанность и ее меры Запутанность — один из наиболее интригующих фе- номенов квантовой механики. Примером, где проявля- ется данное явление, может служить синглетное состоя- ние системы из двух спинов 1/2 с волновой функцией \| = (\| \| ) / 2.ψ〉 ↑↓〉− ↓↑〉 (3) Эту функцию, описывающую когерентную суперпози- цию кубитов, невозможно представить в виде произве- дения волновых функций отдельных составных частей системы. Именно свойство запутанности приводит к тому, что измерение состояния одной частицы позво- ляет мгновенно повлиять на состояние второй части- цы, как бы далеко или близко она не находилась от первой. Квантово-механическая запутанность является объ- ектом интенсивных теоретических и эксперименталь- ных исследований [31,32] (см. также уже упомянутые обзоры [2,3]). При этом одной из наиболее плодотвор- ных и глубоких по смыслу мер (степени, величины) запутанности стала энтропия состояния с редуциро- ванной (частичной, приведенной, усредненной) матри- цей плотности. Впервые такая энтропия была рассмот- рена в 1986 году в проблеме черных дыр [33]. Сейчас энтропия редуцированного состояния широко исполь- зуется в различных областях, включая квантовую тео- рию поля, физику твердого тела и, конечно, квантовую информатику. Физический (информационный) смысл запутанно- сти, определяемой через энтропию, трактуется как от- носительное число максимально запутанных пар m, которые можно извлечь из большого числа n копий ис- ходных систем с помощью протокола очищения, вклю- чающего только локальные операции и классическую коммуникацию (ЛОКК): /E m n→ , n →∞ [34,35]. Эн- тропия запутанности может быть также интерпрети- рована как количество информации, доступной наблю- дателю, для которого часть переменных (степеней свободы) полной системы потеряна или недоступна при проведении измерений. Рассмотрим меры запутанности для чистых и сме- шанных состояний по отдельности. Меры были вве- дены в 1986 году Беннетом с соавторами: в работе [35] для чистых состояний и в [36] для смешанных со- стояний. 3.1. Чистые состояния Чистое состояние описывается волновой функцией. Если волновая функция составной системы допуска- ет факторизацию в произведение волновых функций подсистем, то между подсистемами нет никаких ко- реляций — ни квантовых, ни классических. Если же волновую функцию невозможно факторизовать, то это означает, как уже отмечено, запутанность состояния. Таким образом, «чистые квантовые состояния бывают либо квантово-коррелированными (запутанными), ли- бо вообще некоррелированными» [37]. Заметим, что наличие запутанности не означает отсутствие класси- ческих корреляций в нефакторизуемом чистом состоя- нии. Количественно запутанность определяется мерой, выбираемой из потребностей информационной теории. 3.1.1. Энтропия запутанности. Согласно [35], ме- рой запутанности системы, находящейся в чистом со- стоянии \|ψ〉 и состоящей из двух подсистем A и B, слу- жит энтропия фон Неймана любой подсистемы (вслед- ствие разложения Шмидта [8] обе энтропии равны между собой): = ( ) = ( ).A BE S Sρ ρ (4) В этих соотношениях = Tr \| \|A Bρ ψ〉〈ψ и = Tr \| \|B Aρ ψ〉〈ψ — редуцированные матрицы плотности, = Tr logS − ρ ρ — энтропия фон Неймана, { , }A Bρ∈ ρ ρ . Выбор основания логарифма определяет единицы измерения количества информации: биты, наты, хартли, диты. В этих же еди- ницах можно измерять и величину запутанности. Од- нако иногда для полной ясности уточняют и, напри- мер, говорят: «Один бит запутанности» и т.д. Важным свойством энтропии запутанности (4) яв- ляется ее инвариантность относительно локальных унитарных преобразований, т.е. преобразований, кото- рые можно проводить в гильбертовых подпространст- вах каждой из подсистем независимо друг от друга. Но относительно общих унитарных преобразований гиль- бертова пространства всей системы запутанность, во- обще говоря, не инвариантна. Отметим сразу же, что аналогичными свойствами обладают меры для запу- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 7 С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев танности смешанных состояний и меры для квантового дискорда. 3.1.2. Двухкубитовая система. Рассмотрим величи- ну квантовой запутанности в двухкубитовой модели. Для нее волновая функция наиболее общего вида в стандартном базисе имеет форму \| = \| 00 \| 01 \|10 \|11 ,a b c dψ〉 〉 + 〉 + 〉 + 〉 (5) где 2 2 2 2\| \| \| \| \| \| \| \| = 1a b c d+ + + . Отсюда 2 * * * * 2 * * * * 2 * * * * 2 \| \| \| \| =\| \|= . \| \| \| \| a ab ac ad a b b bc bd a c b c c cd a d b d c d d       ρ ψ〉〈ψ          (6) Одно собственное значение этой матрицы равно 2 2 2 2\| \| \| \| \| \| \| \| (= 1)a b c d+ + + , ему отвечает собствен- ный вектор \|ψ〉 . Три других собственных значения равны нулю. Из (6) для редуцированных матриц плот- ности следует 2 2 * * * * 2 2 \| \| \| \| = , \| \| \| \| A a b ac bd a c b d c d  + +  ρ  + +  2 2 * * * * 2 2 \| \| \| \| = . \| \| \| \| B a c ab cd a b c d b d  + +  ρ  + +  (7) С учетом нормировки \| = 1〈ψ ψ〉 , собственные значе- ния каждой из этих матриц равны 2 1,2 1= (1 1 ), 2 Cλ ± −  (8) где = 2 \| \|C ad bc− (9) называется согласованностью. Через нее запутанность выражается по формуле 2 2 2 1 1 1 1= log 2 2 C CE  + − + − − −       2 2 2 1 1 1 1log 2 2 C C − − − − −       . (10) Зависимость E от C является взаимно-однозначной. Кроме того, значения запутанности и согласованности в граничных точках совпадают: = 0E при = 0C и = 1E при = 1C . Это позволяет рассматривать согласован- ность как меру запутанности в системе. Таким образом, расчет запутанности двухсоставной системы с заданным вектором состояния сводится к построению матрицы плотности, ее редуцированию и, наконец, вычислению энтропии фон Неймана. Пользуясь приведенными результатами, нетрудно найти, что в состоянии (3) запутанность = 1E . Это максимально запутанное двухкубитовое состояние. Отметим один несколько неожиданный факт. Возь- мем двухкубитовую систему с равновероятным рас- пределением по базисным состояниям, т.е. когда = = = = 1/ 2a b c d . Казалось бы, для существования запутанности здесь наиболее благоприятные условия. Однако из формулы (9) следует = 0C , и поэтому, в согласии с (10), в этом случае запутанность = 0E . 3.1.3. Запутанность и квантовые фазовые перехо- ды. Рассмотрим поведение энтропии запутанности в системе с фазовым переходом второго рода. Следуя [38,39], возьмем одну из наиболее простейших моде- лей — точно решаемую цепочку Изинга в поперечном поле. Гамильтониан модели имеет вид 1 1 =1 =1 = . L L x z z i i i i i − +− σ −λ σ σ∑ ∑ (11) Здесь λ — величина спин-спиновых взаимодействий, а i ασ — α-я компонента вектора матриц Паули в узле i. Основное состояние 0\|ψ 〉 системы (11) невырождено как при ферромагнитном ( > 0λ ), так и при антиферро- магнитном ( < 0λ ) характере взаимодействий. При = 1λ бесконечно длинная цепочка Изинга испытывает кван- товый фазовый переход второго рода, который описы- вается конформной теорией поля с центральным заря- дом = 1/ 2c . Предполагая число узлов L четным, разобьем сис- тему на две равные части (A и B) и вычислим энтро- пию S редуцированной матрицы плотности основного состояния для одной из частей в пределе L →∞ . Со- гласно результатам [38,40,41] (см. также [42]), энтро- пия запутанности в натах равна 2 2 2 2 1 16 4= ln ( ) ( ) ( ) , < 1, 24 S k k I k I k k k    ′ ′+ − λ   π′   (12) в неупорядоченной (парамагнитной) фазе и 2 21 4= ln (1 / 2) ( ) ( ) ln 2, > 1, 12 16 kS k I k I k k    ′+ − + λ   ′ π    (13) в упорядоченной (ферромагнитной) фазе. Здесь ( )I k означает полный эллиптический интеграл первого рода /2 2 20 ( ) = , 1 sin dI k k π θ − θ ∫ (14) где параметр 1= min { , }k −λ λ есть модуль этого инте- грала; 2= 1k k′ − — дополнительный модуль. Из вы- ражений (12) и (13) следует, что в окрестности фазово- го перехода ( 1)λ → запутанность, как и предписывает конформная теория поля (см. [43] и имеющиеся там ссылки), расходится по логарифмическому закону ln [1/ \|1 \|], 6 cS −λ (15) 8 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах где центральный заряд = 1/ 2c определяет класс уни- версальности обсуждаемой (1+1)-мерной модели Изин- га. Запутанность, таким образом, может быть исполь- зована для обнаружения и идентификации квантовых фазовых переходов. Это важное достижение теории запутанности. 3.2. Смешанные состояния Смешанные состояния описываются матрицей плот- ности, которая обязана быть эрмитовой, неотрицатель- но определенной и иметь след, равный единице. 3.2.1. Сепарабельные и несепарабельные состояния. Смешанные состояния делятся на сепарабельные и несепарабельные. Состояние ρ системы, состоящей из подсистем A и B, называется сепарабельным, если су- ществует хотя бы одно разложение матрицы плотности вида [44,45] ( ) ( )= ,A B i i i i wρ ρ ⊗ρ∑ (16) где веса 0iw ≥ и = 1iiw∑ , а ( )A iρ и ( )B iρ — матрицы плотности соответственно подсистем A и B. Существенно, что в сепарабельных состояниях запу- танность E равна нулю, а в несепарабльных присутству- ет ( 0E ≠ ). Матрицы плотности (16) можно приготовить из незапутанных состояний исключительно средствами ЛОКК [36]. Заметим, что в свете теории дискорда отсю- да еще не следует, что в сепарабельных состояниях не могут присутствовать квантовые корреляции. 3.2.2. Запутанность формирования. В отличие от чистых состояний, для смешанных состояний рассмат- ривают несколько разных мер. Наиболее разработана теоретически так называемая запутанность формиро- вания (создания). Ею мы и ограничимся, называя ее часто просто запутанностью. Запутанность формирования в системе, находящей- ся в состоянии с матрицей плотности = \| \|i i i i pρ ψ 〉〈ψ∑ (17) (веса 0ip ≥ , = 1iip∑ ), по определению [36] равна = ( ).min i i i E p S ψ∑  (18) Здесь ( )iS ψ означает запутанность чистого состояния \| iψ 〉 (способ ее расчета в случае двухсоставной систе- мы изложен выше). Минимум в (18) должен быть най- ден среди всех ансамблей = { , }i ip ψ при условии со- хранения состояния ρ. Для набора из одинаковых пар 1/2-спиновых систем запутанность формирования (18) определяется мини- мальным числом максимально запутанных пар, кото- рые необходимы для создания с помощью ЛОКК за- данного состояния ρ [36]. Входящая в равенство (18) операция минимизации делает определение для запутанности смешанного со- стояния, в сущности, неконструктивным. Однако для двухкубитовых систем удалось преодолеть все необ- ходимые вычисления и вывести общую формулу в замкнутом аналитическом виде. 3.2.3. Формула Хилла–Вуттерса. Как показали Хилл и Вуттерс [46,47] (см. также [48]), согласованность для произвольной двухкубитовой системы равна 1 2 3 4= max {0, }.C λ − λ − λ − λ (19) Здесь iλ — собственные значения ( 1 2 3 4 0λ ≥ λ ≥ λ ≥ λ ≥ ) матрицы = ( ) ( ),y y y yR ρ σ ⊗σ ρ σ ⊗σ (20) где yσ — y-матрица Паули. Поскольку произведение эрмитовых матриц является в общем случае неэрмито- вой матрицей, то матрица R, вообще говоря, неэрмито- ва. Однако при det 0ρ ≠ с помощью преобразования подобия R-матрицу можно привести к эрмитовому виду: 1/2 1/2 = = ( ) ( ) .y y y yR R−′ ρ ρ ρ σ ⊗σ ρ σ ⊗σ ρ (21) Нетрудно убедиться, что для чистого состояния с матрицей плотности (6) соответствующая R-матрица имеет только одно ненулевое собственное значение. Оно равно 24 \| \|ad bc− , и формула Хилла–Вуттерса (19) дает (9). Другой частный случай соответствует состоянию, матрица плотности которого является произвольной смесью состояний Белла: 1 2= \| \| \| \|p p+ + − −ρ Ψ 〉〈Ψ + Ψ 〉〈Ψ + 3 4\| \| \| \|,p p+ + − −+ Φ 〉〈Φ + Φ 〉〈Φ (22) где \| ±Ψ 〉 и \| ±Φ 〉 представляют собой функции Белла 1 1\| = (\| 01 \|10 ), \| = (\| 00 \|11 ). 2 2 ± ±Ψ 〉 〉 ± 〉 Φ 〉 〉 ± 〉 (23) Матрица плотности (22) имеет структуру 3 4 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 1= . 2 p p p p p p p p p p p p p p p p + −   + − ρ  − +   − +  (24) Для такой системы 2=R ρ , причем собственные значе- ния матрицы R равны 2 ip . Поэтому формула Хилла– Вуттерса приводит к согласованности max max max 2 1, > 1/ 2; = 0, 1/ 2, p p C p −  ≤  (25) где max 1 2 3 4= max { , , , }p p p p p . Соотношения (25) и (10) возвращают нас к результатам работы [36]. 3.2.4. Димер Гейзенберга. Рассмотрим на основе формулы Хилла–Вуттерса запутанность в системе, состоящей из двух изотропно связанных спинов 1/2 в состоянии термодинамического равновесия. Такая мо- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 9 С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев дель, модель Гейзенберга, находит многочисленные приложения к эксперименту. Гамильтониан для димера Гейзенберга имеет вид 1 2 1= . 2 J− σ σ (26) В этом равенстве J — константа обменного взаимодей- ствия, 1 = eσ σ⊗ и 2 = eσ ⊗σ, где e — единичная мат- рица размером 2 2× , а = ( , , )x y zσ σ σ σ — вектор мат- риц Паули 0 1 0 1 0 = , = , = . 1 0 0 0 1x y z i i −      σ σ σ     −      (27) Компоненты магнитного момента димера равны 1 2 1= ( ), = , , . 2 BM g x y zν ν ν νµ σ + σ ν (28) Здесь gν — компоненты g-фактора и Bµ — магнетон Бо- ра. Магнитная восприимчивость моля димеров Гейзен- берга определяется уравнением Блини–Бауэрса [49,50] 2 22 ( ) = , (3 exp ( 2 / )) A B B B N gT k T J k T µ χ + − (29) где AN — число Авогадро, Bk — постоянная Больцма- на и T — температура; g — соответствующая компо- нента g-фактора, если измерения проводятся на моно- кристалле, либо 2 2 2 2= ( ) / 3x y zg g g g+ + (30) при выполнении измерений на поликристаллическом образце. Запутанность по формуле (10) выражается, как мы знаем, через согласованность C . Для расчета послед- ней используем матрицу плотности Гиббса 1= exp ( / ),Bk T Z ρ − (31) где Z — статистическая сумма = Tr exp ( / ).BZ k T− (32) Привлекая результаты предыдущего подраздела, не- трудно установить, что в димере (26) с ферромагнит- ным взаимодействием, т.е. когда 0J ≥ , согласованность тождественно равна нулю. В силу (10) запутанность тоже отсутствует при всех температурах: 0E T≡ ∀ . При антиферромагнитном же характере связи в гей- зенберговском димере ( < 0J ) согласованность равна [51,52] (см. также [6], с. 50) 1 3 exp ( 2 \| \| / ) ( ) = , < 1 3 exp ( 2 \| \| / ) ( ) = 0, , B E B E J k TC T T T J k T C T T T − − + − ≥   (33) где 2= \| \| / 1,820 \| \| / . ln 3E B BT J k J k (34) Из этих соотношений следует, что при абсолютном нуле температуры = 1C . При повышении температуры запутанность в димере уменьшается и при = ET T пол- ностью исчезает. 3.2.5. Запутанность и магнитная восприимчивость. Из уравнения Блини–Бауэрса (29) и соотношения (33) следует выражение для согласованности через воспри- имчивость антиферромагнитного димера Гейзенберга (26) при температурах < ET T : Curie3( ) = 1 ( ) / ( ), 2 C T T T− χ χ (35) где Curie 2 2( ) = / (2 )A B BT N g k Tχ µ (36) есть закон Кюри для двух спинов с = 1/ 2S (уравнение Блини–Бауэрса (29) при высоких температурах, когда можно считать = 0J ). Эти соотношения вместе с (10) позволяют определять квантовую запутанность по из- меряемой на опыте магнитной восприимчивости сис- темы гейзенберговских димеров. Магнитная восприимчивость антиферромагнитного димера (29) как функция температуры имеет максимум с координатами max 2= = 1,2472 , \| \| 1 (3 / ) Bk T J W e χ +  (37) max 2 2 \| \| 1= (3 / ) = 0,2011 . 3A B J W e N g χ µ  (38) Здесь ( )W x — функция Ламберта [53], определяемая соотношением =WWe x. Эта функция под именем Lambert ( )W x включена в пакет Maple. Из (34) и (37) находим, что max/ = (1 (3 / )) / ln 3 = 1,4596 .ET T W eχ +  (39) Таким образом, квантовая запутанность спиновых степеней свободы исчезает лишь при температуре, почти в полтора раза превосходящей температуру мак- симума магнитной восприимчивости. Это обстоятель- ство благоприятствует нахождению ET и ( )E T из экс- периментальных данных. 3.2.6. Температура ET в спин-кластерных материа- лах. В соответствии с (35), запутанность в димере (26) существует ( > 0C ), когда восприимчивость Curie2( ) < ( ). 3 T Tχ χ (40) Исходя из определения сепарабельности (16), удалось получить более общее условие возникновения запу- танности в системе из N частиц со спинами S [54,55]: 10 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах 2 2 ( ) < , 3 B p B Ng ST k T µ χ (41) где pχ — усредненная по пространственным направ- лениям восприимчивость (восприимчивость поликри- сталлического материала). Уравнение (41) можно представить в виде Curie1( ) < ( ), 1p T T S χ χ + (42) где 2 2 Curie ( 1) ( ) = 3 A B B nN g S ST k T µ + χ (43) есть закон Кюри для моля n-ядерных кластеров, со- стоящих из спинов величины S. (В димере = 2n .) В магнетохимии принято наряду с кривыми ( )Tχ (а часто даже вместо них) изображать на графиках те же самые экспериментальные данные в виде зависимостей эффективного магнитного момента 1/2 eff 31( ) = .B B A kT T N   µ χ µ   (44) Тогда условию (42) с учетом (43) можно придать форму eff ( ) < .T g nSµ (45) Использование критерия наличия или отсутствия запу- танности становится предельно простым делом: нужно лишь провести горизонтальную прямую на высоте g nS и посмотреть, пересекает ли она кривую eff ( )Tµ или нет, а если пересекает, то определить где. Правые части неравенств (40) и (42) представляют собой деформированные законы Кюри. Именно вслед- ствие таких деформаций (из-за дополнительных ренор- мировочных коэффициентов) может возникать пересе- чение кривых, и становится возможным определение запутанности по магнитной восприимчивости. Эти теоретические результаты открыли возмож- ность находить важный параметр — температуру воз- никновения/исчезновения запутанности ET в реальных веществах. В работе [56] было показано, что в кри- сталлах тригидрата нитрата меди 3 2 2Cu(NO ) 2,5H O⋅ и 3 2 2Cu(NO ) 2,5D O⋅ , магнитная структура которых яв- ляется квазидимерной, температура 5ET ≈ К. Мы еще вернемся к этим соединениям при обсуждении дискор- да. В работе [57] были предъявлены свидетельства, указывающие на существование квантовой запутанно- сти при температурах ниже 200 240ET ≈ − К в кристал- лах 2 5 4 14Na Cu Si O , содержащих цепочки пятиядерных спиновых кластеров меди. В водном и безводном аце- татах меди запутанность присутствует до температур соответственно 371 и 393 К [58]. Подробный список других материалов представлен в обзоре [59]. Важно, что среди материалов существуют такие, в которых запутанность спинов присутствует вплоть до комнат- ных температур. Это, очевидно, будет существенно при конструировании приборов и устройств, работаю- щих на квантовых корреляциях. 3.2.7. Поведение запутанности в димерных магне- тиках. Условия (42) и (45) позволяют находить лишь температуру ET , но не саму величину запутанности. Однако для димерных 1/2-спиновых соединений, и в этом их преимущество, удается определять как ET , так и температурный ход запутанности различных веществ, используя для этого экспериментальные данные по во- сприимчивости. Рассмотрим запутанность в подробно изученных биядерных нитрозильных комплексах железа (НКЖ) [60]. Обсуждать будем два комплекса: НКЖ I [61] и НКЖ II [62]. Нитрозильные комплексы являются носителями мо- нооксида азота NO, который выполняет роль сигналь- ной молекулы в целом ряде метаболических и физио- логических процессов, происходящих в биологических системах и организмах, включая человека. НКЖ были открыты в живых тканях в 1960-е годы [63]. По харак- терному сигналу ЭПР с = 2,03g они получили назва- ние «комплексов 2,03». Структура НКЖ I и II имеет вид ON ON Fe Fe S S R R NO NO где R есть имидазол-2-тиолат (для комплекса I) или имидазолидин-2-тиолат (для комплекса II). Лиганды R представляют собой пятичленные гетероциклы, кото- рые состоят из трех атомов углерода и двух атомов азота, разделенных углеродом. Магнитоактивные центры в НКЖ образованы иона- ми железа, каждый из которых связан с двумя нитро- зильными группами. Спин отдельного центра S равен 1/2. Механизм формирования магнитоактивного цен- тра из одного Fe и двух NO-групп на примере моно- ядерного НКЖ рассмотрен в [64]. Магнитная структура кристаллов НКЖ I и II пред- ставляет собой достаточно уединенные димеры. Данное обстоятельство выделяет эти вещества среди других материалов, проявляющих квазидимерные магнитные свойства (см. обзоры [65,66] и имеющиеся там ссыл- ки). Кроме того, измерения магнитной восприимчиво- сти свидетельствуют о том, что комплексы I и II анти- ферромагнитны и взаимодействия в димерах являются гейзенберговскими. На рис. 1 показано поведение начальной магнитной восприимчивости комплекса I [61]. Реальное вещество с НКЖ I содержит небольшое количество примеси Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 11 С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев (порядка 2,3% [61]), вклад от которой подчиняется за- кону Кюри–Вейсса. Этот вклад велик при 0T → (на рис. 1 он проявляется в виде подъема восприимчиво- сти вблизи нуля температуры). Однако при max>T T χ вклад примеси относительно невелик, и при оценках температуры ET для НКЖ I им можно пренебречь. Пунктирной линией 1 на рис. 1 нанесена деформи- рованная гипербола Кюри (правая часть неравенства (40)) с учетом того, что в НКЖ = 2g [61]. Видно, что эта гипербола пересекает экспериментальные точки () при 80ET ≈ К (по оси абсцисс эта температура отмечена удлиненной риской). С другой стороны, магнитная во- сприимчивость обсуждаемого НКЖ I проходит через максимум при max = 63T χ К. Следовательно, в соответ- ствии с равенством (39), температура исчезновения за- путанности 90ET ≈ К. Учитывая обе полученные оценки, заключаем, что запутанность в комплексе I существует при температурах 80–90 К.T ≤ На рис. 1 символами () представлены также значе- ния eff ( )Tµ для комплекса I. Пунктиром на этом ри- сунке проведена горизонтальная прямая 2 по уровню = 2g nS (поскольку = 2g , = 2n и = 1/ 2S ). Видим, что значение абсциссы точки пересечения согласуется с температурой ET , найденной выше. Обсудим теперь опытные данные для НКЖ II, опу- бликованные в [62]. Поведение магнитной восприим- чивости здесь в целом аналогично комплексу I (см. рис. 2). Образцы были более чистыми, количество при- меси не превышало 1,7%. В целях проведения более тщательного анализа был вычтен вклад примеси и по- лучена восприимчивость ( )Tχ собственно для НКЖ II (() на рис. 2). На этом же рисунке кривая 1 показыва- ет зависимость Блини–Бауэрса (29) с найденными в ра- боте [62] параметрами: / = 8 К6BJ k − и = 2g . Как видно на рис. 2, деформированная кривая Кюри пересекает () при температуре 110 КET ≈ , а теоретическую ап- проксимацию опытных данных — при 120 КET ≈ . Маг- нитная восприимчивость рассматриваемого комплек- са II с примесями проходит через максимум при тем- пературе 83 К. Пользуясь соотношением (39), находим, что 121 КET ≈ . Таким образом, в НКЖ II температура возникновения запутанности 110 120 КET ≈ − . Наконец, на рис. 3 представлены температурные за- висимости для согласованности () и запутанности (), пересчитанные по формулам (35), (36) и (10) из экспериментальных данных по магнитной восприим- чивости комплекса II. Сплошными кривыми показаны теоретические зависимости ( )C T и ( )E T , полученные с использованием уравнения Блини–Бауэрса (29) с при- веденными выше параметрами / BJ k и g для этого комплекса. Видно, что при температуре 25 К степень запутанности в комплексе составляет 90–95% от мак- симальной величины. Итак, при = 0T запутанность НКЖ I и II макси- мальна и равна единице. Это обусловлено тем, что ос- Рис. 1. Температурные зависимости магнитной восприимчи- вости () и эффективного магнитного момента () для НКЖ I. Рисунок взят из статьи [61] и дополнен нами, как объяснено в тексте, пунктирными линиями 1 и 2. χ, / o с м м ль 3 1 2   0,012 0 010, 0,008 0,006 0,004 0,002 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 µ e ff 0 50 100 150 200 250 300 T, К Рис. 2. Температурные зависимости магнитной восприимчи- вости НКЖ II с примесями () и после вычета вклада примеси (). Кривая 1 — теоретическая зависимость Блини–Бауэрса с / = 68 КBJ k − и = 2g ; кривая 2 — зависимость Curie(2/3) ( )Tχ с = 2g . 0,002 0,004 0,006 0 100 200 300 T, К                 χ, / o с м м ль 3 1 2 Fe (SC H N ) (NO)2 3 5 2 2 4 Рис. 3. Температурный ход согласованности () и запутан- ности () для НКЖ II. Сплошные кривые 1 и 2 — теоретиче- ские зависимости для C и E соответственно. 0,5 1,0 20 40 60 80 100 120 140 C E, T, К 0 Fe (SC H N ) (NO)2 3 5 2 2 4 12 12 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах новное состояние антиферромагнитного димера явля- ется синглетом (3). При повышении температуры на- чинает заселяться триплет и запутанность ослабевает. При температуре ET она исчезает вовсе. Поскольку в системе есть характерный энергетический параметр — щель (= 2 \| \|)J∆ , то неудивительно, что /E BT k∆ . При температурах > ET T система остается все время в сепарабельном состоянии. 4. Квантовый дискорд В 1990-е годы было распространено мнение, что сепарабельные состояния являются лишь классически- коррелированными. Однако тщательный анализ на ос- нове теории квантовых измерений поколебал это пред- ставление. 4.1. Классические и квантовые информационные корреляции Полные корреляции, как упоминалось во Введении, состоят из классических и квантовых корреляций. Ме- рой полных корреляций может служить взаимная ин- формация двух подсистем. 4.1.1. Взаимная информация. В классической тео- рии информации [67–72] оперируют с понятием вза- имной информации ( : ) = ( ) ( ) ( , ) 0I X Y H X H Y H X Y+ − ≥ (46) между объектами X и Y. Здесь ( )H X , ( )H Y и ( , )H X Y — энтропии Шеннона [67]: 1 1 2 2( ) = ( ) log ( ), ( ) = ( ) log ( ), x y H X p x p x H Y p y p y− −∑ ∑ , ( , ) = ( , ) log ( , ), x y H X Y p x y p x y−∑ (47) где 1( ) = ( , )yp x p x y∑ , 2 ( ) = ( , )xp y p x y∑ . Существен- но, что, в отличие от коэффициента корреляции Пир- сона, обращение в нуль взаимной информации, = 0I , теперь уже является необходимым и достаточным ус- ловием независимости X и Y ([8], с. 617). Это позволяет использовать величину I в качестве меры (информаци- онной) корреляции между системами X и Y [30]. Такая мера отвечает интуитивному представлению: два объ- екта или явления коррелируют (взаимообусловлены), если в одном из них есть доля информации о другом. Пользуясь известной в теории вероятностей форму- лой Байеса, правую часть равенства (46) для взаимной информации можно записать в шенноновской несим- метричной форме, которую обозначим через I ′: ( : ) = ( ) ( \| ),I X Y H X H X Y′ − (48) где ( \| ) = ( , ) ( )H X Y H X Y H Y− (49) есть условная энтропия. Соотношение (48) означает, что взаимная информация равна незнанию о системе, которое остается после извлечения о ней сведений из другой системы. В обсуждаемом классическом случае, разумеется, I I′ ≡ . В квантовой теории информации [1,4,8,73–76] (см. также пионерские работы [10,11] и обзоры [25,26]) соотношение (46) заменяют новым определением ( : ) = ( ) ( ) ( ),A B ABI A B S S Sρ + ρ − ρ (50) которое служит мерой взаимной информации между двумя подсистемами A и B, составляющими вместе объединенную систему =AB A B∪ . В равенстве (50) ABρ — матрицы плотности всей системы AB, Aρ и Bρ — редуцированные матрицы плотности для подсистем A и B соответственно, а ( )S ρ ( = { , , }A B ABρ ρ ρ ρ ) пред- ставляет собой энтропию фон Неймана ( ) = Tr log .S ρ − ρ ρ (51) Важно, что = 0I является необходимым и достаточ- ным условием факторизации матрицы плотности пол- ной системы: =AB A Bρ ρ ⊗ρ , что означает абсолютную независимость (некоррелированность) A и B ([8], с. 627). В квантовой теории информации величина I служит мерой всех (и классических, и квантовых) корреляций между двумя (под)системами. 4.1.2. Определение дискорда. Формулы для его рас- чета. В квантовом случае измерения, проводимые на одной системе, в общем случае влияют на состояние другой системы [13]. (По вопросам измерений см. [77,78], а из цитированной литературы — [8,73] или, например, [76].) Исходя из того, что полная классическая часть корреляций есть максимальное количество информа- ции о подсистеме, скажем A, которое можно извлечь, выполняя измерения на подсистеме B, Хендерсон и Ведрал [10] (см. также [12,26]) предложили взять в качестве меры всех чисто классических корреляций величину { } ( ) = [ ( ) ( )].max i AB A i A E ii C S p Sρ ρ − ρ∑ (52) Здесь максимум должен быть найден на множестве всех элементов =i i iE B B+ , где iB — оператор измере- ния. (Множество { }iE есть положительная операторно- значная мера (ПОЗМ) [8,26].) В равенстве (52) = Tr ( ) / Tr ( )i A B i AB i AB i AB iB B B B+ +ρ ρ ρ (53) представляет собой состояние подсистемы A, которое возникает после того, как на подсистеме B проведено измерение и зафиксировано, что оно дало i-й результат (классический исход), и, наконец, = Tr ( )i AB i AB ip B B+ρ (54) есть вероятность получения после измерения резуль- тата i. Олливиер и Зурек [11], наоборот, сфокусировали внимание на выявлении квантовых корреляций. Огра- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 13 С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев ничиваясь ортогональными проективными измерения- ми, они обобщили выражение (48) на квантовый случай: ( : ) = ( ) ( ).i A i A i I A B S p S′ ρ − ρ∑ (55) Очевидно, что выражение в правой части этого равен- ства является ни чем иным, как неоптимизированной по измерениям классической корреляцией Хендер- сона–Ведрала (52). Минимальная разность I I Q′− ≡ , которая достигается на множестве измерений, была отождествлена с величиной квантовости корреляций и получила название квантового дискорда — разногла- сия, расхождения между I и I ′, между классичностью и квантовостью. Учитывая, что = ,I C Q+ (56) видим эквивалентность результатов Хендерсона–Вед- рала и Олливиера–Зурека (за исключением того, что Хендерсон и Ведрал рассматривали общие измерения, а не только ортогональные проективные). Квантовый дискорд обладает рядом важных свойств. Отметим среди них следующие. Для чистого состояния дискорд совпадает с запутанностью E. Поскольку в чистом состоянии = 2I E , то приходим к выводу, что в чистом состоянии квантовые и классические корреля- ции равны по величине: = =Q C E. В смешанных со- стояниях квантовые корреляции (дискорд) могут при- сутствовать даже в том случае, когда запутанности нет. Квантовый дискорд 0Q ≥ . Сверху дискорд ограничен величиной энтропии подсистемы, на которой проводи- лось измерение: ( )BQ S≤ ρ . В частности, если система двухкубитовая и информация измеряется в битах, то 1Q ≤ . К сожалению, из-за необходимости решения оп- тимизационной задачи определения для классических и квантовых корреляций на практике фактически не пригодны (как и для запутанности, они тоже не кон- структивны). Всего лишь для нескольких вариантов двухчастичных систем удалось преодолеть сложности выполнения оптимизационной процедуры и в итоге получить аналитические формулы для расчета кванто- вого дискорда [79–84]. Для двухкубитовых моделей (размеры матрицы плотности всего только 4 4× !) наи- высшим достижением является формула для дискорда, когда матрица плотности принадлежит к X-типу (от- личны от нуля матричные элементы лишь на главной и побочной диагоналях) [81]. Впрочем, недавно с помо- щью локального ортогонального преобразования была найдена связь между X и центросимметричными (ЦС) матрицами четвертого порядка [85]. (В ЦС матрице n n× матричные элементы связаны соотношениями , 1 , 1=i j n i n ja a + − + − [86–88].) Поскольку дискорд инвари- антен относительно произвольных локальных унитар- ных преобразований, то установленная связь позволяет вычислять дискорд для любых двухкубитовых ЦС мат- риц плотности, используя соответствующие формулы для X-состояний. 4.2. Корреляции в димере Гейзенберга Рассмотрим снова гейзенберговскую систему из двух спинов 1/2 в состоянии теплового равновесия. Матрицу плотности (31) запишем в виде 1 2 1 1 21 1( ) = (1 ) = . 2 14 4 1 G G G T G G G G +   − ρ +  −   +  σ σ (57) Здесь 4( ) = 1 3 exp ( 2 / )B G T J k T − + + − (58) есть спин-спиновая корреляционная функция 1 2 1 21 2= = = ,y yx x z zG 〈σ σ 〉 〈σ σ 〉 〈σ σ 〉 (59) где угловые скобки означают статистическое усредне- ние. Значения G изменяются от –1 до нуля для анти- ферромагнитного кластера ( < 0)J и от нуля до 1/3 для ферромагнитного ( > 0)J . Матрица плотности (57) является, очевидно, част- ным случаем X-матрицы. Для нее квантовый дискорд может быть рассчитан по формулам работы [79]: = ,Q I C− (60) где взаимная информация равна [ ]2 2 1= (1 3 ) log (1 3 ) 3(1 ) log (1 ) , 4 I G G G G− − + + + (61) а классическая часть полных корреляций есть [ ]2 2 1= (1 \| \|) log (1 \| \|) (1 \| \|) log (1 \| \|) . 2 C G G G G+ + + − − (62) Выражения (58), (60)–(62) определяют термальный дискорд в димере Гейзенберга. Видим, что полная, классическая и квантовая корреляции выражаются че- рез спин-спиновую корреляционную функцию G. Из соотношений (33) и (59) находим для согласованности димера 1 (1 3 ), < ; ( ) = 2 0, . E E G T T C T T T − +   ≥  (63) Согласованность и, значит, квантовая запутанность тоже целиком определяются коррелятором G. Отметим, что, согласно (60)–(63), дискорд и запу- танность связаны функциональной зависимостью. График ( )E Q показан на рис. 4 сплошной кривой. Вид- но, что при 2= (1/2) log 3 2 / 3 0,1258EQ Q≤ −  запу- танность равна нулю. При *= 0,746Q Q  (точка пере- сечения кривой ( )E Q и вспомогательной прямой = ,E Q показанной пунктиром) запутанность и дискорд 14 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах равны по величине. На участке выше этой точки > .E Q То, что в некоторых состояниях запутанность может быть больше, чем полные чисто квантовые корреля- ции, т.е. дискорд, было установлено в работе [79]. Ав- тор этой работы свое наблюдение объяснял тем, что запутанность является качественно иной мерой кван- товых корреляций. Мы можем к этому добавить, что раз >E Q , то запутанность представляет собой некото- рую смесь чисто квантовых и чисто классических кор- реляций. Поэтому E может быть и больше Q. На рис. 5 показано поведение \| \|G , E, Q и C, которые описывают разные корреляции в антиферромагнитном димере. (В антиферромагнитном случае коррелятор 0G ≤ , поэтому для него взята абсолютная величина.) При = 0T все четыре корреляции максимальны и рав- ны 1. При увеличении температуры корреляции внача- ле практически сохраняют свое максимальное значе- ние (графики имеют квазигоризонтальный участок, который обусловлен существованием щели в спектре энергии системы), а затем убывают до нуля. Величина спин-спиновой корреляционной функции убывает по закону 1/ T , а Q и C — более быстро, по закону 21/ T . На рис. 5 видно, что при низких температурах запу- танность E больше, чем Q и C. Однако поскольку ( )E T имеет точку исчезновения запутанности при темпера- туре ET , то ( )E T неизбежно пересекает кривые как ( ),Q T так и ( )C T . В димере с ферромагнитными взаимодействиями ( > 0)J запутанность отсутствует. На рис. 6 представ- лены зависимости G, Q и C для такой модели в зави- симости от температуры. При нулевой температуре спин-спиновая корреляционная функция достигает своего максимального значения = 1/ 3G . Дискорд в этом случае тоже равен 1/3. Интересно, что полная классическая корреляция тут меньше Q. Согласно (62), она равна лишь 0 2 5(0) = log 3 = 0,0817 . 3 C C≡ −  (64) 4.3. Экспериментальное измерение термального дискорда Дискорд, как отмечено выше, имеет целый ряд при- влекательных свойств. К сожалению, вопрос, как его измерять, остается открытым. Однако в случае спино- вых димеров информационные корреляции I, C и Q можно, как и запутанность E, выразить через экспери- ментально наблюдаемые характеристики системы. 4.3.1. Рассеяние нейтронов. Неупругое рассеяние тепловых нейтронов — мощный инструмент для ис- следования низколежащих возбуждений в кристаллах соединений с переходными металлами. В таких экспе- риментах из данных по рассеянию извлекаются компо- ненты Фурье спин-спиновых корреляционных функ- ций [89–91]. Обратное преобразование Фурье дает саму корреляционную функцию. Экспериментальные результаты по рассеянию ней- тронов в кристаллах квазидимерного антиферромагне- тика 3 2 2Cu(NO ) 2,5D O⋅ представлены в работе [92] Рис. 4. Зависимость ( )E Q (сплошная кривая) в димере Гей- зенберга. Пунктир — вспомогательная прямая, показываю- щая области, где запутанность меньше и больше дискорда. Рис. 5. Температурное поведение корреляций \| \|G , Q, C и E в антиферромагнитном димере Гейзенберга. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 \| \|G Q C E J < 0 k T JB / \| \| \| \|, , G E Q C , Рис. 6. Корреляции G, Q и C в зависимости от /Bk T J в фер- ромагнитном димере Гейзенберга. 0,1 0,2 0,3 J > 0 G Q C 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 k T JB / G , , Q C Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 15 С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев (см. также [56]). В этом эксперименте интенсивность нейтронного рассеяния измерялась в интервале темпера- тур 0,31 К < < 7,66 КT . Было найдено, что при = 4 КT спин-спиновая корреляционная функция имеет величи- ну = 0,54(9)G − . Используя соотношения (60)–(62), для дискорда получаем оценку = 0,3(1)Q [58]. 4.3.2. Внутренняя энергия и теплоемкость. Внут- ренняя энергия на моль димеров Гейзенберга (26) равна 3( ) = ( ). 2A B RJu T N G T k ≡ 〈 〉 − (65) Здесь = B AR k N — универсальная газовая постоянная (не следует ее путать с матрицей R разд. 3.2.3). Но дис- корд выражается через корреляционную функцию G. Это позволяет установить связь дискорда и внутренней энергии. Обратимся снова к нитрату меди 3 2 2Cu(NO ) 2,5H O.⋅ Его удельная теплоемкость ( ) = /mc T u T∂ ∂ была измерена в интервале температур 0,5–4,2 К [93] (см. также [94]). Кривая теплоемкости имеет аномалию Шоттки — ха- рактерный максимум, расположенный при температу- ре 1,82 К. Когда < 0,5 КT , теплоемкость практически равна нулю. При температурах выше максимума теп- лоемкость уменьшается и постепенно выходит на асимптотический закон 21/ T . Величина обменной кон- станты была оценена как 2 / = 5,18BJ k − К [93]. Чтобы найти внутреннюю энергию, в работе [58] было произ- ведено численное интегрирование экспериментальных данных по теплоемкости от нуля до 4 К и было полу- чено (4) / = 1,63u R − К. Согласно (65), для корреляци- онной функции это дает (4) = 0,42G − . В итоге была най- дена величина дискорда при температуре 4 К: = 0,2Q . Это значение находится в согласии с оценкой, полу- ченной из данных по рассеянию нейтронов. Можно также и непосредственно связать дискорд с теплоемкостью. Действительно, магнитная теплоем- кость на моль димеров Гейзенберга равна [50] 2 2 exp (2 / ) ( ) = 12 . [1 3 exp (2 / )] B m B B J k TJc T R k T J k T     +  (66) Используя выражение для корреляционной функции (58), эту формулу можно представить в виде [ ] 2 3( ) = 1 ( )][1 3 ( ) 4m B R Jc T G T G T k T   + −    (67) или 23 1/ = (1 )(1 3 ) .ln16 1 3m Gc R G G G + + −  −  (68) Выражение для дискорда (60) и эти соотношения в параметрическом виде (через G) определяют связь дискорда с теплоемкостью. 4.3.3. Магнитная восприимчивость. Магнитная вос- приимчивость димеров Гейзенберга подчиняется, как уже говорилось, уравнению Блини–Бауэрса, которое мы представим в виде 2 2 ( ) = (1 ( )). 2 A B B N gT G T k T µ χ + (69) Из этого уравнения можно извлечь выражение для спи- новой корреляционной функции теперь уже через маг- нитную восприимчивость: 2 2 2 ( ) ( ) = 1B A B k T TG T N g χ − µ (70) или Curie( ) = 1 ( ) / ( ).G T T T− + χ χ (71) Следовательно, можно измерять квантовый дискорд, используя магнитометрическую технику. Кроме того, соотношения (65), (68), (70) и (71) устанавливают связь теплоемкости с магнитной восприимчивостью или ее производной [95], что позволяет проводить измерения теплоемкости на магнитометре. Обратимся опять к примеру с нитратом меди. Маг- нитная восприимчивость 3 2 2Cu(NO ) 2,5H O⋅ при низ- ких температурах была измерена в работе [96]. В рам- ках модели Гейзенберга авторы этой статьи нашли из данных по порошковой восприимчивости, что g-фактор равен 2,11. Используя экспериментальные точки, пред- ставленные на рисунках работы [96], можно опреде- лить, что при = 4 КT порошковая магнитная восприим- чивость для нитрата меди составляет 3см= /0,0 .63 мольχ Тогда соотношение (70) дает (4) = 0,698G − . В резуль- тате для дискорда при = 4 КT получаем = 0,48Q . Эта оценка более или менее согласуется с предыдущими значениями, особенно если учесть, что магнитная струк- тура в обсуждаемом веществе является лишь квазиди- мерной, а не строго димерной. Рассмотрим теперь биядерные НКЖ, которые име- ют выраженную димерную магнитную структуру. Ис- пользуя данные по магнитной восприимчивости для НКЖ II [62], нетрудно рассчитать дискорд в зависимо- сти от температуры. Результаты показаны на рис. 7. Рис. 7. Температурный ход дискорда для НКЖ II. () — экс- перимент, кривая — теория. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 50 100 150 200 250 300 Q T, К Fe (SC H N ) (NO)2 3 5 2 2 4 16 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах Как видим, дискорд, в отличие от запутанности, сохра- няет ненулевое значение даже при комнатных темпе- ратурах и выше. В работе [58] были проанализированы имеющиеся экспериментальные данные [97] по магнитной воспри- имчивости для гидрированного и безводного ацетатов меди — 3 2 2 2[Cu(CH COO) H O]⋅ и 3 2 2[Cu(CH COO) ] . Эти вещества являются классическими представителя- ми димерных антиферромагнетиков Гейзенберга со спинами 1/2. Результаты анализа представлены на рис. 8. Температуры 371 и 393 К, отмеченные на оси абсцисс этого рисунка удлиненными метками, показы- вают температуры ET для гидрированного и безводно- го ацетатов меди соответственно. При температуре 400 К, когда запутанности уже нет, дискорд составляет вполне заметную величину: 11–12% от максимального значения (0) = 1Q . Как мы знаем, запутанность в ферромагнитном ди- мере Гейзенберга полностью отсутствует. Однако дис- корд имеет ненулевые значения. В работе [58] были взяты из литературы [98] экспериментальные данные по магнитной восприимчивости димерного ферро- магнетика — биядерного комплекса ацетата меди 2 2[Cu L(OAc)] 6H O⋅ , где L — лиганд. На рис. 9 показа- на полученная из магнитной восприимчивости зависи- мость дискорда от температуры. При температуре = 300T К дискорд составляет 0,003,Q ≈ т.е. около 1% от теоретического максимума 1/3, достигаемого в точ- ке = 0T . 4.4. Дискорд в веществах с ядерными спинами В качестве кубитов могут выступать не только электронные спины, но и спины таких ядер, как, на- пример, 1H, 13C, 15N, 19F, 31P. Спин-спиновые взаимо- действия подразделяются на прямые (диполь-диполь- ные) и косвенные, идущие через электронные облака и химические связи [8]. Возьмем для примера систему, состоящую из двух одинаковых частиц со спинами 1/2, которые связаны между собой диполь-дипольным взаимодействием. Пусть, кроме того, система находится во внешнем од- нородном магнитном поле с индукцией B. Тогда га- мильтониан модели можно записать в виде = ,dd Z+   (72) где диполь-дипольная часть 2 2 0 1 2 1 23= [ 3( )( )] 4 4 dd r µ γ − ⋅ ⋅ π σ σ n σ n σ (73) и энергия Зеемана 1 2 1= ( ) . 2Z − γ +σ σ B (74) В этих равенствах 7 0 = 4 10−µ π⋅ — магнитная постоян- ная (магнитная проницаемость вакуума) в системе единиц СИ,  — постоянная Планка, γ — гиромагнит- ное отношение, 1,2σ — векторы матриц Паули в узлах локализации спинов 1 и 2, r — расстояние между спи- нами в димере, n — единичный вектор в направлении от одного спина к другому, B — вектор индукции маг- нитного поля. Диполь-дипольное взаимодействие весьма анизо- тропно. Ограничимся случаем, когда продольная ось димера параллельна внешнему полю, идущему в z-на- правлении: Ozn B  . Тогда гамильтониан (72) приоб- ретает вид 1 2 1 2 1 21 2 1 1= ( 2 ) ( ), 2 2 y yx x z z z zD hσ σ +σ σ − σ σ − σ + σ (75) где 2 2 0 3= 4 2 D r µ γ π  (76) есть константа диполь-дипольных взаимодействий и = .h Bγ (77) Рис. 8. Температурный квантовый дискорд в гидрированном (сплошная кривая и ) и безводном (пунктирная кривая и ) ацетатах меди. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 100 200 300 400 T , К Q , б ит                Рис. 9. Квантовый дискорд в зависимости от температуры в ферромагнитном материале 2 2[Cu L(OAc)]·6H O. 0,1 0,2 0,3 0 50 100 150 200 250 300 T , К Q , б ит Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 17 С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев Гамильтониан (75) соответствует XXZ-модели. В со- стоянии термального равновесия матрица плотности является гиббсовской и имеет X-форму, поэтому дис- корд системы допускает аналитический расчет [99]. На рис. 10 показан температурный ход дискорда при раз- личных значениях нормированного внешнего поля. В точке абсолютного нуля температуры квантовые корреляции в системе отсутствуют. Это обусловлено сильной анизотропией взаимодействий (75): домини- рующий zz-вклад приводит к классическому (изингов- скому) основному состоянию димера (независимо от знака D). В отсутствие внешнего поля (когда = 0h ) квантовый дискорд при температуре mT , / = 0,8812 ,B mk T D  (78) достигает своего наибольшего значения = 0,0830 .mQ  (79) При высоких температурах квантовый дискорд ведет себя как 2 1 1\| . 4 ln 2 ( / ) T B Q k T D →∞≈ (80) Высокотемпературное поведение, таким образом, не зависит от величины внешнего магнитного поля. Достаточно уединенные пары, состоящие из ядер- ных спинов с диполь-дипольным взаимодействием, со- держат кристаллогидраты. Так, измерения, проведен- ные методом ядерного магнитного резонанса (ЯМР) при комнатной температуре, показали, что в кристал- лах гипса 4 2CaSO 2H O⋅ расстояние между протонами в каждой молекуле воды составляет = 0,158r нм [100,101]). Для протона гиромагнитное отношение γ рав- но 82,675 10⋅ рад/(с·Тл), поэтому константа диполь-ди- польных взаимодействий (76) для гипса в температур- ных единицах составляет / = 0,73BD k мкК. Макси- мальное значение 0,083mQ  дискорд достигает при температуре 0,64 мкК. При комнатной же температуре величина квантового дискорда в гипсе, согласно (80), составляет 182 10Q −⋅ . Несмотря на крайне низкий уровень квантовых корреляций в спин-ядерных систе- мах при комнатных температурах, в настоящее время предприняты попытки их обнаружения методами ЯМР [102–104]. В качестве другого примера можно привести 1,2-ди- хлорэтан 2 2ClH C CH Cl− . В этом соединении два про- тона у каждого атома углерода намного сильнее связа- ны диполь-дипольным взаимодействием между собой, чем с протонами, относящимися к другому атому угле- рода. ЯМР измерения, проведенные на твердом дихлор- этане при температуре 90 К, показали, что здесь = 0,17(2)r нм [105] (см. также [101,106]). Температура mT , при которой дискорд максимален в этом материа- ле, равна 0,517 мкК [99]. При температуре 90 К вели- чина квантовых корреляций составляет 171,5 10Q −⋅ . 5. Проблема декогеренции В настоящее время основным препятствием на пути создания приборов и устройств, работающих на кван- товых корреляциях, является квантовая декогерент- ность [107,108]. Кубиты в веществах с магнитоактив- ными центрами существуют. Более того, как следует из предыдущего изложения, между ними существуют и квантовые корреляции, которые, подобно суперпози- ционным запутанным состояниям в ковалентных свя- зях, неограниченно долго поддерживаются взаимодей- ствиями. Однако, чтобы реализовать на тех или иных материалах квантово-когерентные приборы, нужны не статические кубиты, а большие системы когерентных кубитов с управляемой и контролируемой в течение достаточно длительного времени динамикой. Так, для квантового компьютера время существова- ния когерентного состояния регистра должно быть на- столько большим, чтобы в течение него можно было успеть выполнить требуемое алгоритмом число вычис- лительных операций. Следует заметить, что время де- когеренции dcτ быстро уменьшается с увеличением числа кубитов в системе [7,109–111]. 5.1. Ядерные спиновые системы Большие успехи в манипулировании кубитами сей- час достигнуты методами ЯМР для спинов ядер атомов различных молекул [112,113]. В технике магнитного резонанса динамика спинов характеризуется, как из- вестно, временем спин-решеточной (продольной) ре- лаксации 1T и временем спин-спиновой (поперечной) релаксации 2T . При этом 2 1<T T , а dc 2Tτ ≤ . Спин- решеточная релаксация ответственна за затухание про- Рис. 10. Температурные зависимости квантового дискорда в димере с диполь-дипольным взаимодействием при значениях нормированного внешнего поля / = 0h D (1), 1 (2) и 2 (3). 18 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах дольной намагниченности в системе, а спин-спино- вая — за расфазировку поперечной компоненты на- магниченности, декогеренцию состояний. Время спин-решеточной релаксации 1T для ядерных спинов может достигать минут, часов и более. Напри- мер, в кристаллах фторапатита кальция 5 4 3Ca F(PO ) время релаксации 1T для ядер фтора 19F составляет н3 ми [114]. Однако при использовании запутан- ности недостатком для ядерных спинов является необ- ходимость работы при крайне низких температурах / BT D k , т.е. при долях микрокельвина. Причина кро- ется в том, что ядерный магнетон мал (почти в 1840 раз меньше электронного). Чтобы работать при более вы- соких температурах, надежды теперь стали возлагать на дискорд, который, в отличие от запутанности, мо- жет присутствовать (правда, в очень небольших коли- чествах) при сколь угодно высоких температурах. 5.2. Кубиты на электронных спинах Для электронных спинов запутанность в парамаг- нитных материалах, как мы видели, может существо- вать при комнатных температурах и даже выше. Это их несомненное преимущество перед кубитами на спинах ядер атомов (молекул). Однако в электронных пара- магнетиках велико спин-решеточное взаимодействие (обусловленное, в частности, «шубой» из лигандов), приводящее к слишком малым временам релаксации — порядка 10 610 10− −− с ([6], с. 178). В настоящее время для таких материалов, к сожалению, не просматрива- ется перспектива их использования в качестве кубито- вых систем. Так, наблюдать, скажем, на моноядерных НКЖ осцилляции Раби (начальный тест наличия уп- равляемых кубитов) или осуществить на них какую- либо однокубитовую операцию сейчас не представля- ется возможным. Тем не менее исследователи не теряют надежды создать или найти материалы с большими временами релаксации электронных спинов. Для этой цели поме- щают, например, атомы азота или фосфора внутрь кле- ток фуллеренов C60. Получаются эндоэдральные фул- лерены, в которых электронные облака внедренных атомов не перекрываются друг с другом, поэтому об- менное взаимодействие между ними отсутствует. (Маг- нитные диполь-дипольные связи, наоборот, присутству- ют, поскольку расстояние между эндоатомами может составлять 1 нм.) Основное состояние атомов N и P является квартетом (спин = 3 / 2S ). Однако из четырех спиновых состояний этих эндоатомов состояния с про- екцией спина 1/ 2± образуют внутренний электронный кубит. ЭПР спектры обсуждаемых материалов очень резкие и показывают, что время продольной релакса- ции при температуре 7T  К составляет приблизи- тельно 1 с, а поперечной не зависит от температуры и равно 20 мкс ([6], с. 171). Более аккуратные измере- ния, проведенные на эндоэдральных фуллеренах N@C60, позволили установить, что в них время декоге- рентности электронных спинов атомов азота при ком- натной температуре составляет порядка 80 мкс [115]. Теоретические оценки предсказывают, что время существования квантовой суперпозиции и запутанно- сти в радикальных парах, ответственных за химиче- ский компас перелетных птиц, должно быть не менее 100 мкс [116]. В последнее время большие надежды возлагают также на NV-центры в алмазе, для которых измеренное при комнатной температуре время декоге- рентности достигает 1,8 мс [117]. 6. Заключение Исследования последних лет значительно расшири- ли существовавшие ранее представления о квантовых корреляциях. Были разработаны количественные меры как для запутанности, так и для дискорда. Используя их, удалось развить методы, пригодные для фактиче- ского расчета квантовых корреляций в реальных мате- риалах. Однако следует отметить, что не все обстоит гладко. Так, например, нет математического доказа- тельства того, что за повышение скорости упомянутого во Введении ДКВ1 ответствен именно дискорд. До сих пор никто не разработал алгоритмов квантовых вычис- лений на основе дискорда, как это было ранее сделано с использованием запутанности. Тем не менее оптими- сты считают, что заложенный теоретический фунда- мент откроет пути для развития новых технологий, направленных на создание приборов и устройств, ра- ботающих на квантовых корреляциях. Работа поддержана РФФИ (гранты 13-03-00017 и 13-03-12418) и программой № 8 Президиума РАН. 1. А.С. Холево, Введение в квантовую теорию информа- ции, МЦНМО, Москва (2003). 2. L. Amico, R. Fazio, A. Osterloh, and V. Vedral, Rev. Mod. Phys. 80, 517 (2008). 3. R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, and K. Horo- decki, Rev. Mod. Phys. 81, 865 (2009). 4. А.С. Холево, Квантовые системы, каналы, информация, МЦНМО, Москва (2010). 5. К.А. Валиев, А.А. Кокин, Квантовые компьютеры: на- дежды и реальность, НИЦ РХД, Москва-Ижевск (2002). 6. А.А. Кокин, Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск (2004). 7. К.А. Валиев, УФН 175, 3 (2005). 8. М. Нильсен, И. Чанг, Квантовые вычисления и кванто- вая информация, Мир, Москва (2006). 9. W.H. Zurek, Ann. Phys. (Leipzig) 9, 855 (2000). 10. L. Henderson and V. Vedral, J. Phys. A: Math. Gen. 34, 6899 (2001). 11. H. Ollivier and W.H. Zurek, Phys. Rev. Lett. 88, 017901 (2002). 12. V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 90, 050401 (2003). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 19 С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев 13. W.H. Zurek, Phys. Rev. A 67, 012320 (2003). 14. E. Knill and R. Laflamme, Phys. Rev. Lett. 81, 5672 (1998). 15. A. Datta, A. Shaji, and C.M. Caves, Phys. Rev. Lett. 100, 050502 (2008). 16. B.P. Lanyon, M. Barbieri, M.P. Almeida, and A.G. White, Phys. Rev. Lett. 101, 200501 (2008). 17. R. Dillenschneider, Phys. Rev. B 78, 224413 (2008). 18. M.S. Sarandy, Phys. Rev. A 80, 022108 (2009). 19. T. Werlang, C. Trippe, G.A.P. Ribeiro, and G. Rigolin, Phys. Rev. Lett. 105, 095702 (2010). 20. T. Werlang, G.A.P. Ribeiro, and G. Rigolin, Int. J. Mod. Phys. B 27, 1345032 (2013). 21. A. Ferraro, L. Aolita, D. Cavalcanti, F.M. Cucchietti, and A. Acín, Phys. Rev. A 81, 052318 (2010). 22. V. Madhok and A. Datta, Int. J. Mod. Phys. B 27, 1345041 (2013). 23. B. Dakić, Y.-O. Lipp, X.-S. Ma, M. Ringbauer, S. Kroat- schek, S. Barz, T. Paterek, V. Vedral, A. Zeilinger, C.  Bruk- ner, and P. Walther, Nature Phys. 8, 666 (2012). 24. M. Gu, H.M. Chrzanowski, S.M. Assad, T. Symul, K. Modi, T.C. Ralph, V. Vedral, and P.K. Lam, Nature Phys. 8, 671 (2012). 25. L.C. Céleri, J. Maziero, and R.M. Serra, Int. J. Quant. Inf. 9, 1837 (2011). 26. K. Modi, A. Brodutch, H. Cable, T. Paterek, and V. Vedral, Rev. Mod. Phys. 84, 1655 (2012). 27. L. Amico, S. Bose, V.E. Korepin, and V. Vedral (guest eds.), Int. J. Mod. Phys. B 27, Nos. 1–3 (2013), special issue: Clas- sical Versus Quantum Correlations in Composite Systems. 28. Е.С. Вентцель, Теория вероятностей, Наука, Москва (1964). 29. В.П. Чистяков, Курс теории вероятностей, Наука, Мо- сква (1982). 30. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, Наука, Москва (1984). 31. W.K. Wootters, Quant. Inf. Comp. 1, 27 (2001). 32. M.B. Plenio and S. Virmani, Quant. Inf. Comp. 7, 1 (2007). 33. L. Bombelli, R.K. Koul, J. Lee, and R.D. Sorkin, Phys. Rev. D 34, 373 (1986). 34. C.H. Bennett, G. Brassard, S. Popescu, B. Schumacher, J. Smolin, and W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 76, 722 (1996). 35. C.H. Bennett, H.J. Bernstein, S. Popescu, and B. Schuma- cher, Phys. Rev. A 53, 2046 (1996). 36. C.H. Bennett, D.P. DiVincenzo, J.A. Smolin, and W.K. Wootters, Phys. Rev. A 54, 3824 (1996). 37. И.В. Баргатин, Б.А. Гришанин, В.Н. Задков, УФН 171, 625 (2001). 38. P. Calabrese and J. Cardy, J. Stat. Mech. P06002 (2004), doi:10.1088/1742-5468/2004/06/P06002. 39. P. Calabrese and J. Cardy, J. Quant. Inf. 4, 429 (2006). 40. I. Peschel, J. Stat. Mech. P12005 (2004), doi:10.1088/1742- 5468/2004/12/P12005. 41. I. Peschel and V. Eisler, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 504003 (2009). 42. М.А. Юрищев, ЖЭТФ 138, 595 (2010). 43. G. Vidal, J.I. Latorre, E. Rico, and A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90, 227902 (2003). 44. R.F. Werner, Phys. Rev. A 40, 4277 (1989). 45. A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996). 46. S. Hill and W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 78, 5022 (1997). 47. W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998). 48. K. Audenaert, F. Verstraete, and B. De Moor, Phys. Rev. A 64, 052304 (2001). 49. B. Bleaney and K.D. Bowers, Proc. Roy. Soс. London, Ser. A 214, 451 (1952). 50. Р. Карлин, Магнетохимия, Мир, Москва (1989). 51. M.A. Nielsen, Quantum Information Theory, Dissertation, New Mexico (1998); E-print archives, quant-ph/0011036. 52. M.C. Arnesen, S. Bose, and V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 87, 017901 (2001). 53. А.Е. Дубинов, И.Д. Дубинова, С.К. Сайков, W-функция Ламберта: таблицы интегралов и другие математичес- кие свойства, СарФТИ, Саров (2004). 54. M. Wieśniak, V. Vedral, and C.  Brukner, New J. Phys. 7, 258 (2005). 55. M. Wieśniak, Quantum Entanglement in Some Physical Systems, Dissertation, Gdańsk (2007); E-print archives, quant-ph/0710.1775. 56. C.  Brukner, V. Vedral, and A. Zeilinger, Phys. Rev. A 73, 012110 (2006). 57. A.M. Souza, M.S. Reis, D.O. Soares-Pinto, L.S. Oliveira, and R.S. Sarthour, Phys. Rev. B 77, 104402 (2008). 58. M.A. Yurishchev, Phys. Rev. B 84, 024418 (2011). 59. С.М. Алдошин, А.И. Зенчук, Э.Б. Фельдман, М.А. Юри- щев, Усп. химии 81, 91 (2012). 60. С.М. Алдошин, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев, ЖЭТФ 134, 940 (2008). 61. N.A. Sanina, S.M. Aldoshin, T.N. Rudneva, N.I. Golovina, G.V. Shilov, Y.M. Sul'ga, N.S. Ovanesyan, V.N. Ikorskii, and V.I. Ovcharenko, J. Mol. Struct. 752, 110 (2005). 62. Н.А. Санина, Т.Н. Руднева, С.М. Алдошин, А.Н. Чехлов, Р.Б. Моргунов, Е.В. Курганова, Н.С. Ованесян, Изв. АН. Серия хим. № 1, 28 (2007). 63. А.Ф. Ванин, УФН 170, 455 (2000). 64. А.Ф. Шестаков, Ю.М. Шульга, Н.С. Емельянова, Н.А. Са- нина, С.М. Алдошин, Изв. АН. Серия хим. № 7, 1244 (2007). 65. А.Н. Васильев, М.М. Маркина, Е.А. Попова, ФНТ 31, 272 (2005) [Low Temp. Phys. 31, 203 (2005)]. 66. А.И. Смирнов, В.Н. Глазков, ЖЭТФ 132, 984 (2007). 67. К. Шеннон, Работы по теории информации и киберне- тике, ИИЛ, Москва (1963). 68. А.М. Яглом, И.М. Яглом, Вероятность и информация, КомКнига, Москва (2006). 69. Р.Л. Стратонович, Теория информации, Советское радио, Москва (1975). 70. В.В. Митюгов, Физические основы теории информации, Советское радио, Москва (1976). 71. В.В. Панин, Основы теории информации, БИНОМ. Ла- боратория знаний, Москва (2007). 72. Э.М. Габидулин, Н.И. Пилипчук, Лекции по теории ин- формации, МИФИ, Москва (2007). 73. Дж. Прескилл, Квантовая информация и квантовые вы- числения, Т. 1, НИЦ РХД, Москва-Ижевск (2008). 20 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 http://dx.doi.org/10.1088/1742-5468/2004/06/P06002 http://dx.doi.org/10.1088/1742-5468/2004/12/P12005 http://dx.doi.org/10.1088/1742-5468/2004/12/P12005 Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах 74. С.Я. Килин, УФН 169, 507 (1999). 75. А.Ю. Хренников, Введение в квантовую теорию инфор- мации, Физматлит, Москва (2008). 76. Ш. Имре, Ф. Балаж, Квантовые вычисления и связь. Ин- женерный подход, Физматлит, Москва (2008). 77. Quantum Theory and Measurements, J.A. Wheeler and W.H. Zurek (eds.), Princeton University Press, Princeton (1983). 78. А.С. Холево, Вероятностные и статистические аспек- ты квантовой теории, МЦНМО, Москва (2003). 79. S. Luo, Phys. Rev. A 77, 042303 (2008). 80. F.F. Fanchini, T. Werlang, C.A. Brasil, L.G.E. Arruda, and A.O. Caldeira, Phys. Rev. A 81, 052107 (2010). 81. M. Ali, A.R.P. Rau, and G. Alber, Phys. Rev. A 81, 042105 (2010); Erratum in: Phys. Rev. A 82, 069902 (2010). 82. M. Ali, J. Phys. A: Math. Theor. 43, 495303 (2010). 83. B. Li, Z.-X. Wang, and S.-M. Fei, Phys. Rev. A 83, 022321 (2011). 84. D. Girolami and G. Adesso, Phys. Rev. A 83, 052108 (2011). 85. M.A. Yurishchev, arXiv:1302.5239 [quant-ph]. 86. J.R. Weaver, Am. Math. Mon. 92, 711 (1985). 87. Х.Д. Икрамов, ЖВММФ 33, 620 (1993). 88. A. Andrew, SIAM Rev. 40, 697 (1998). 89. D.A. Tennant, S.E. Nagler, A.W. Garrett, T. Barnes, and C.C. Torardi, Phys. Rev. Lett. 78, 4998 (1997). 90. J.T. Haraldsen, T. Barnes, and J.L. Musfeldt, Phys. Rev. B 71, 064403 (2005). 91. M.B. Stone, W. Tian, M.D. Lumsden, G.E. Granroth, D. Mandrus, J.-H. Chung, N. Harrison, and S.E. Nagler, Phys. Rev. Lett. 99, 087204 (2007). 92. G. Xu, C. Broholm, D.H. Reich, and M.A. Adams, Phys. Rev. Lett. 84, 4465 (2000). 93. S.A. Friedberg and C.A. Raquet, J. Appl. Phys. 39, 1132 (1968). 94. J.C. Bonner, S.A. Friedberg, H. Kobayashi, D.L. Meier, and H.W.J. Blöte, Phys. Rev. B 27, 248 (1983). 95. М.Е. Фишер, Природа критического состояния, Мир, Москва (1968). 96. L. Berger, S.A. Friedberg, and J.T. Schriempf, Phys. Rev. 132, 1057 (1963). 97. B.N. Figgis and R.L. Martin, J. Chem. Soc. London, 3837 (1956). 98. M. Fondo, A.M. García-Deibe, J. Sanmartin, M.R. Bermejo, L. Lezama, and T. Rojo, Eur. J. Inorg. Chem., 3703 (2003). 99. E.I. Kuznetsova and M.A. Yurishchev, Quant. Inf. Proc. 12, 3587 (2013). 100. G.E. Pake, J. Chem. Phys. 16, 327 (1948). 101. А. Абрагам, Ядерный магнетизм, ИИЛ, Москва (1963). 102. R. Auccaise, J. Maziero, L.C. Céleri, D.O. Soares-Pinto, E.R. de Azevedo, T.J. Bonagamba, R.S. Sarthour, I.S. Oliveira, and R.M. Serra, Phys. Rev. Lett. 107, 070501 (2011). 103. G. Passante, O. Moussa, D.A. Trottier, and R. Laflamme, Phys. Rev. A 84, 044302 (2011). 104. H. Katiyar, S.S. Roy, T.S. Mahesh, and A. Patel, Phys. Rev. A 86, 012309 (2012). 105. H.S. Gutowsky, G.B. Kistiakowsky, G.E. Pake, and E.M. Purcell, J. Chem. Phys. 17, 972 (1949). 106. Х. Гюнтер, Введение в курс спектроскопии ЯМР, Мир, Москва (1984). 107. Д. Бауместер, А. Экерт, А. Цайлингер, Физика кванто- вой информации, Постмаркет, Москва (2002). 108. T.D. Ladd, F. Jelezko, R. Laflamme, Y. Nakamura, C. Mon- roe, and J.L. O'Brien, Nature 464, 45 (2010). 109. М.Б. Менский, УФН 173, 1199 (2003). 110. H.G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 93, 090501 (2004). 111. S.I. Doronin, E.B. Fel'dman, and A.I. Zenchuk, J. Chem. Phys. 134, 034102 (2011). 112. L.M.K. Vandersypen and I.L. Chuang, Rev. Mod. Phys. 76, 1037 (2004). 113. I.S. Oliveira, T.J. Bonagamba, R.S. Sarthour, J.C.C. Freitas, and E.R. deAzevedo, NMR Quantum Information Proces- sing, Elsevier, Amsterdam (2007). 114. P. Cappellaro, C. Ramanathan, and D.G. Cory, Phys. Rev. A 76, 032317 (2007). 115. J.J.L. Morton, A.M. Tyryshkin, A. Ardavan, K. Porfyrakis, S.A. Lyon, and G.A.D. Briggs, J. Chem. Phys. 124, 014508 (2006). 116. E.M. Gauger, E. Rieper, J.J.L. Morton, S.C. Benjamin, and V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 106, 040503 (2011). 117. G. Balasubramanian, P. Neumann, D. Twitchen, M. Markham, R. Kolesov, N. Mizuochi, J. Isoya, J. Achard, J. Beck, J. Tiss- ler, V. Jacques, P.R. Hemmer, F. Jelezko, and J. Wrachtrup, Nature Mater. 8, 383 (2009). Quantum entanglement and quantum discord in magnetoactive materials (Review Article) S.M. Aldoshin, E.B. Fel'dman, and M.A. Yurishchev The conceptions of quantum entanglement and quantum discord are reviewed. The entropic measures for these informational correlations are presented. The examples which demonstrate the presence of quantum information correlations in different paramagnetic ma- terials with ferro- and antiferromagnetic couplings are given. The temperature behavior of the discord for atomic nuclear spins is considered. The decoherence of quantum states with electron and nuclear spins is discussed. PACS: 03.65.Ud Entanglement and quantum nonlocality; 03.67.Mn Entanglement measures, witnesses, and other characterizations; 75.10.Jm Quantum spin models; 75.50.Xx Molecular magnets. Keywords: qubit, decoherence time, density matrix, entropy, information correlation. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 21

Квантовая запутанность и квантовый дискорд в магнитоактивных материалах (Обзор)

Institution

Ähnliche Einträge