Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃

Проведен теоретический анализ спектра спиновых волн в антиферромагнитном мультиферроике типа BiFeO₃. Показано, что наличие пространственно-модулированной циклоидальной антиферромагнитной структуры приводит к счетному количеству частотных ветвей двух типов колебаний при распростране нии спиновых волн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Попков, А.Ф., Кулагин, Н.Е., Соловьев, С.В., Гареева, З.В., Звездин, А.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2014
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119400
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃ / А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 1. — С. 75-82. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-119400
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1194002025-02-09T10:20:09Z Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃ Spin wave spectra and space-modulated structures in BiFeO₃ Попков, А.Ф. Кулагин, Н.Е. Соловьев, С.В. Гареева, З.В. Звездин, А.К. К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория Проведен теоретический анализ спектра спиновых волн в антиферромагнитном мультиферроике типа BiFeO₃. Показано, что наличие пространственно-модулированной циклоидальной антиферромагнитной структуры приводит к счетному количеству частотных ветвей двух типов колебаний при распростране нии спиновых волн вдоль циклоиды: голдстоуновскому и активационному. При этом в отсутствие маг нитного поля и анизотропии магнонный спектр характеризуется отсутствием частотных щелей в спектре. Выяснены особенности спектральных зависимостей спиновых колебаний при изменении анизотропии и приложении магнитного поля и найдены пределы существования антиферромагнитной циклоиды вплоть до перехода ее в конусообразную структуру. В поперечном направлении характер спиновых колебаний носит смешанный характер и указывает на изгибную устойчивость циклоиды во всей области ее существования. Проведено теоретичний аналіз спектра спінових хвиль в антиферомагнітному мультифероїку типу BiFeO₃. Показано, що наявність просторово-модульованої циклоїдальної антиферомагнітної структури призводить до рахункової кількості частотних гілок двох типів коливань при поширенні спінових хвиль вздовж циклоїди: голдстоунівському й активаційному. При цьому у відсутності магнітного поля і анізотропії магнонний спектр характеризується відсутністю частотних щілин у спектрі. З'ясовано особливості спектральних залежностей спінових коливань при зміні анізотропії і додатку магнітного поля та знайдено границі існування антиферомагнітної циклоїди до самого переходу її в конусоподібну структуру. У поперечному напрямку характер спінових коливань носить змішаний характер і вказує на згинальну стійкість циклоїди у всій області її існування. The spin wave spectrum in antiferromagnetic BiFeO₃-type multiferroics is analyzed theoretically. It is shown that the presence of a space-modulated cycloidal structure leads to a countable number of branches of two types of frequency oscillations (Goldstone and activation modes) in the propagation of spin waves along the cycloid. In the absence of magnetic field and anisotropy the magnon spectrum is characterized by the lack of frequency gaps in the spectrum. The peculiarities of spectral dependences of spin oscil lations on anisotropy and magnetic field are revealed and the limits of existence of the antiferromagnetic cycloid up to its transformation into a conical structure are determined. In the transverse direction the behavior of spin oscillations are of a mixed character, sug gesting that the cycloid has bending stability in the whole area of its existence. Работа поддержана Минобрнауки, контракты №№ 14.B37.21.1090, 16.513.11.3149, РФФИ 13-02-90502, 13-02-12443 2014 Article Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃ / А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 1. — С. 75-82. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 0132-6414 PACS 75.30.Fv, 75.85.+t, 75.50.Ee, 75.30.Gw, 75.78.–n https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119400 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория
spellingShingle	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория Попков, А.Ф. Кулагин, Н.Е. Соловьев, С.В. Гареева, З.В. Звездин, А.К. Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃ Физика низких температур
description	Проведен теоретический анализ спектра спиновых волн в антиферромагнитном мультиферроике типа BiFeO₃. Показано, что наличие пространственно-модулированной циклоидальной антиферромагнитной структуры приводит к счетному количеству частотных ветвей двух типов колебаний при распростране нии спиновых волн вдоль циклоиды: голдстоуновскому и активационному. При этом в отсутствие маг нитного поля и анизотропии магнонный спектр характеризуется отсутствием частотных щелей в спектре. Выяснены особенности спектральных зависимостей спиновых колебаний при изменении анизотропии и приложении магнитного поля и найдены пределы существования антиферромагнитной циклоиды вплоть до перехода ее в конусообразную структуру. В поперечном направлении характер спиновых колебаний носит смешанный характер и указывает на изгибную устойчивость циклоиды во всей области ее существования.
format	Article
author	Попков, А.Ф. Кулагин, Н.Е. Соловьев, С.В. Гареева, З.В. Звездин, А.К.
author_facet	Попков, А.Ф. Кулагин, Н.Е. Соловьев, С.В. Гареева, З.В. Звездин, А.К.
author_sort	Попков, А.Ф.
title	Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃
title_short	Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃
title_full	Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃
title_fullStr	Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃
title_full_unstemmed	Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃
title_sort	спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в bifeo₃
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2014
topic_facet	К восьмидесятилетию антиферромагнетизма I. Теория
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119400
citation_txt	Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃ / А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 1. — С. 75-82. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT popkovaf spektryspinovyhvolniprostranstvennomodulirovannyestrukturyvbifeo3 AT kulaginne spektryspinovyhvolniprostranstvennomodulirovannyestrukturyvbifeo3 AT solovʹevsv spektryspinovyhvolniprostranstvennomodulirovannyestrukturyvbifeo3 AT gareevazv spektryspinovyhvolniprostranstvennomodulirovannyestrukturyvbifeo3 AT zvezdinak spektryspinovyhvolniprostranstvennomodulirovannyestrukturyvbifeo3 AT popkovaf spinwavespectraandspacemodulatedstructuresinbifeo3 AT kulaginne spinwavespectraandspacemodulatedstructuresinbifeo3 AT solovʹevsv spinwavespectraandspacemodulatedstructuresinbifeo3 AT gareevazv spinwavespectraandspacemodulatedstructuresinbifeo3 AT zvezdinak spinwavespectraandspacemodulatedstructuresinbifeo3
first_indexed	2025-11-25T20:29:51Z
last_indexed	2025-11-25T20:29:51Z
_version_	1849795639031889920
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1, c. 75–82 Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO3 А.Ф. Попков1, Н.Е. Кулагин2, С.В. Соловьев1, З.В. Гареева3,4, А.К. Звездин5,6,7 1Национальный исследовательский университет «МИЭТ» 4806 проезд, 5, Зеленоград, г. Москва, 124498, Россия 2Государственный университет управления, Рязанский пр., 99, г. Москва, 109542, Россия 3Институт физики молекул и кристаллов УНЦ РАН, пр. Октября, 151, г. Уфа, 450075, Россия 4Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, г. Уфа, 450076, Россия 5Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, ул. Вавилова, 38, г. Москва, 119991, Россия 6Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный, Московская обл., Россия 7Физический институт им. П.Н. Лебедева, Ленинский пр., 53, ГСП-1 г. Москва, 119991, Россия E-mail: gzv@anrb.ru Статья поступила в редакцию 8 июля 2013 г. Проведен теоретический анализ спектра спиновых волн в антиферромагнитном мультиферроике типа BiFeO3. Показано, что наличие пространственно-модулированной циклоидальной антиферромагнитной структуры приводит к счетному количеству частотных ветвей двух типов колебаний при распростране- нии спиновых волн вдоль циклоиды: голдстоуновскому и активационному. При этом в отсутствие маг- нитного поля и анизотропии магнонный спектр характеризуется отсутствием частотных щелей в спектре. Выяснены особенности спектральных зависимостей спиновых колебаний при изменении анизотропии и приложении магнитного поля и найдены пределы существования антиферромагнитной циклоиды вплоть до перехода ее в конусообразную структуру. В поперечном направлении характер спиновых колебаний носит смешанный характер и указывает на изгибную устойчивость циклоиды во всей области ее сущест- вования. Проведено теоретичний аналіз спектра спінових хвиль в антиферомагнітному мультифероїку типу BiFeO3. Показано, що наявність просторово-модульованої циклоїдальної антиферомагнітної структури призводить до рахункової кількості частотних гілок двох типів коливань при поширенні спінових хвиль вздовж циклоїди: голдстоунівському й активаційному. При цьому у відсутності магнітного поля і анізо- тропії магнонний спектр характеризується відсутністю частотних щілин у спектрі. З'ясовано особливості спектральних залежностей спінових коливань при зміні анізотропії і додатку магнітного поля та знайде- но границі існування антиферомагнітної циклоїди до самого переходу її в конусоподібну структуру. У поперечному напрямку характер спінових коливань носить змішаний характер і вказує на згинальну стійкість циклоїди у всій області її існування. PACS: 75.30.Fv Волны спиновой плотности; 75.85.+t Магнитоэлектрические эффекты, мультиферроики; 75.50.Ee Антиферромагнетики; 75.30.Gw Магнитная анизотропия; 75.78.–n Динамика намагниченности. Ключевые слова: спиновые волны, несоразмерные структуры, мультиферроики, магнонные кристаллы. 1. Введение Магнитоупорядоченные сегнетоэлектрики типа 3BiFeO благодаря разнообразию магнитоэлектрических свойств представляют большой научный и практиче- ский интерес как перспективные материалы спинтро- ники, опто- и СВЧ электроники [1–8]. Значительное влияние на физические свойства антиферромагнитного мультиферроика BiFeO3 оказывает обнаруженная в нем несоразмерная пространственно-модулированная анти- © А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин, 2014 А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин ферромагнитная структура, которая перестраивается при изменении температуры и приложении внешнего магнитного поля [9,10]. Теоретическому и эксперимен- тальному исследованию пространственно-модулиро- ванной структуры (ПМС) в BiFeO3 посвящено много работ [9–15], в которых показана возможность контро- лируемого изменения периода и плоскости разворота антиферромагнитного момента в структуре с помощью изменения спонтанной поляризации, наведенной маг- нитной анизотропии и других методов. Важную роль при изучении ПМС играют методы нейтронного и электромагнитного рассеяния на самой структуре и на спиновых колебаниях, магнонный спектр которых су- щественно зависит от основного антиферромагнитно- го состояния в спиновой подсистеме мультиферроика [16–22]. Детальный теоретический анализ основного антиферромагнитного состояния мультиферроика типа BiFeO3 для пленок с ориентацией [111], проделанный с учетом особенностей магнонных спектров в однород- ном и ПМС состояниях, начат нами в работах [23–25]. В них было указано на существенную роль в фазовых изменениях основного антиферромагнитного состоя- ния этого мультиферроика образования наряду с цик- лоидной также конической ПМС. Значительную роль в неустойчивости ПМС при фазовых переходах могут играть также ее изгибные колебания, которые ранее не учитывались. В настоящей работе представлены ре- зультаты исследования спиновых волн в антиферро- магнитном мультиферроике типа BiFeO3 в однородном и модулированном состояниях его спиновой подсисте- мы с учетом магнитоэлектрического взаимодействия, описываемого инвариантом Лифшица, и двумерной пространственной дисперсии частот колебаний. 2. Исходные уравнения При анализе спектров мультиферроика будем исхо- дить из лагранжиана для антиферромагнитной подсис- темы, полученного в предположении малости слома подрешеток [26–29]: ( ) 2 22 L F t ⊥χ ∂ = − ∂ γ l l , (1) где ⊥χ — поперечная магнитная восприимчивость ан- тиферромагнетика, γ — магнитомеханическое отноше- ние, l — нормированный вектор антиферромагнетизма. Энергия антиферромагнитной подсистемы ( )F l вклю- чает в себя вклады обменного и магнитоэлектрическо- го взаимодействий, а также энергию магнитной анизо- тропии и энергию спинов в магнитном поле: 2 2 2 0( ) ( ) ( ) ( )x y zF F A l l l ≈ + ∇ + ∇ + ∇ + l { } 2 2( ) ( ) ( ) 2p D pH⊥χ + β ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅ +e l l l l e l 2 2( · ) ( ) , 2 D p uH K⊥ ⊥ χ  + − χ ⋅ × + ⋅ H l H e l n l (2) где A — параметр неоднородного обменного взаимодей- ствия, β — параметр неоднородного магнитоэлектри- ческого взаимодействия, DH — поле Дзялошинского, uK — постоянная магнитной анизотропии, /p P=e P — единичный вектор поляризации, n — единичный вектор одноосной анизотропии. Энергия магнитной анизотро- пии в общем случае может включать в себя магнитоуп- ругую энергию, наведенную деформациями пленки из- за рассогласования параметров решетки с подложкой. В дальнейшем будем анализировать частный случай \|\| pn e и ось Z направим вдоль вектора n. Случай \|\| \|\| pH n e характеризуется полной аксиальной симмет- рией и сводится к перенормировке магнитным полем одноосной анизотропии, т.е. 2 / 2u uK K H⊥→ + χ . Он описывается аналогично случаю \|\| p⊥H n e при 0H = путем замены 2 / 2u uK K H⊥= + χ . В этой связи в даль- нейшем выберем координатную ось Y совпадающей с направлением действующего поля H. Перейдем к нормированным переменным [ ]t = 2 /A ⊥= χ γβ , [ ] 2 /x A= β и введем обозначения κ = 24 /uAK= β , 2 22 /d DH A⊥κ = χ β , 2 2 0 2 /M M A⊥κ = χ β , 22 /E F A= β , /D Dh H M= , / .h H M= В частности, для BiFeO3 в дальнейших расчетах положим A = 72 10 эрг/см−= ⋅ , 2 5 0 / 5 10M a − ⊥χ = = ⋅ , 20,6 эрг/смβ = , 510 ЭDH = . Тогда исходный лагранжиан спиновой подсистемы имеет вид ( ) 21 2 L E t ∂ = − ∂  l l  , (3) где в предположении, что ( )/ , / ,0x y∇ = ∂ ∂ ∂ ∂  , свобод- ная энергия мультиферроика записывается в следую- щем виде: 2 22 22 21 2 y yx xz zl ll ll lE x x x y y y  ∂ ∂   ∂ ∂∂    ∂     = + + + + + +             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂                 x xz z x y z z l ll ll l l l x y x y ∂ ∂ ∂ ∂  + + − − + ∂ ∂ ∂ ∂     2 2 2 21 1 1 . 2 2 2d z M y d M x zl h l hl l+ κ + κ − κ κ + κ (4) В дальнейшем знак «~» над переменными для просто- ты будем опускать. Вариационные уравнения Лагран- жа ( )2 2/ / 0t E∂ ∂ − δ δ =l l l в угловых переменных ( )sin cos , cos ,sin sin= θ ϕ − θ θ ϕl в отсутствие магнитно- го поля принимают вид 22 2sin cos 2sin cos x y y   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  θ − ∆θ + θ θ + + θ ϕ +   ∂ ∂ ∂      2 22sin cos sin cos sin sin cosM h x ∂ϕ + θ θ + κ θ θ ϕ − κ θ θ − ∂ cos cos 0d M h− κ κ θ ϕ = , (5) 76 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO3 2sin 2sin cos x x y y  ∂θ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ ϕ − θ∆ϕ − θ θ + − ∂ ∂ ∂ ∂   22sin cos 2sin cos x y ∂θ ∂θ − θ θ − θ ϕ + ∂ ∂ 2sin sin cos sin sin 0d M h+ κ θ ϕ ϕ + κ κ θ ϕ = , (6) где использовано обозначение 2 2 2 2/ /x y∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ . Сле- дует отметить, что дополнительные высокочастотные моды колебаний с антифазным колебанием магнитных подрешеток [29] в приближении малого слома подре- шеток не рассматриваются. 3. Колебания одномерной антиферромагнитной циклоиды Уравнения (5), (6) показывают, что в отсутствие магнитного поля 0h = имеется циклоидная одномерная антиферромагнитная структура 0 / 2θ = π , 0 ( )xϕ = ϕ , описываемая простым уравнением 2 0 0 02 sin cos d dx ϕ = κ ϕ ϕ , (7) решение которого дается в виде эллиптической функ- ции Якоби 0sin ( ) cn ( 2 , )x x H mϕ = , где 2 / 2m H= κ . Постоянная интегрирования H связана с пространст- венным периодом структуры соотношением ( )HΛ = (4 / 2 ) ( )H m= K , где 2 / 2m H= κ — модуль эллипти- ческого интеграла ( )mK . Плотность энергии циклоиды дается формулой 2 20 0 0 0 1 2 cos 2 d d E dx dx dx Λ  ϕ ϕ  = + + κ ϕ Λ     ∫ . (8) При этом постоянная H определяется из условия минимума энергетического функционала (8). На рис. 1 приведена зависимость периода циклоиды от парамет- ра магнитной анизотропии κ. Спектр голдстоуновских одномерных колебаний циклоиды, частота которых всегда содержит нулевую частоту при 0xk = , находится из решения линеаризо- ванной системы ( ) 2 2 02 cos 2 0d dx ϕ + ω − κ ϕ ϕ = . (9) Кроме этого, имеется вторая — активационная ветвь одномерных колебаний, которая описывается урав- нением 22 2 2 0 0 02 sin 2 0d x xdx  ∂ϕ ∂ϕθ   + ω + κ ϕ + + θ =  ∂ ∂   . (10) Решение этих линеаризованных уравнений можно по- лучить аналитически в гармоническом приближении для циклоиды, полагая 0 qxϕ = , где волновое число q находится из минимума энергии (8). Уравнения (9) и (10) при этом сводятся к уравнению Матье. Гармони- ческое приближение достаточно хорошо работает в ши- роком интервале значений параметра анизотропии κ, как это видно из зависимости ( )Λ κ на рис. 1. Используя терминологию магноники [30,31], можно сказать, что здесь мы имеем дело с магнонным кристал- лом, периодичность которого характеризуется перио- дом циклоиды, а потенциальная энергия определяется энергией анизотропии, магнитным полем и эпитакси- альными деформациями в случае пленок. Спектр почти свободных магнонов ( 0κ → ) в таком магнонном кристалле нетрудно получить из уравнений (9) и (10) аналитически. Он находится из спектра сво- бодных магнонов 2 2kω = известным в теории кри- сталлов [32] методом трансформации его к приве- денной зоне Бриллюэна (в данном случае 1 1xk− < < при измерении волнового числа в единицах [ ] /k = π Λ ) (см. рис. 2). Из (9) следует, что в случае 0κ = спектр голдстоуновской моды имеет линейную дисперсион- ную зависимость 2 2 xkω = . При 0κ = из минимума энергии (8) следует 1q = − . Тогда для активационной ветви из (10) для гармонической циклоиды 0 qxϕ = получаем квадратичную дисперсию 2 2 2(0) xkω = ω + , где 2 2 4(0) 1 ( / 2) ( / 8) (7 / 2048) ...ω = − κ − κ + κ + при , 1xk κ << . В случае 0κ ≠ возникают дополнительные щели в спектре спиновых волн, связанные с их брег- говским рассеянием на периодическом потенциале, создаваемом для спиновых волн циклоидой. Величина расщепления спектра двух нижних полос на границе зоны Бриллюэна ( 1xk = ± ) равна в данном случае 2∆ω = κ, т.е. в гармоническом приближении ( 0κ → ) является весьма малой. Расщепление высших полос на границах зоны Бриллюэна в гармоническом прибли- жении обращается в нуль и при конечном κ. Рассмотрим изменение характеристик спектра при увеличении величины κ, т.е. при увеличении потенци- Рис. 1. Зависимость периода циклоидной структуры ( ) / (0)Λ κ Λ , где (0) 2Λ = π , от нормированного параметра анизотропии κ. Пунктиром отмечена зависимость периода циклоиды в области ее неустойчивости. 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 –3 –2 –1 0 1 2 3 κ Λ (κ )/Λ (0 ) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 77 А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин альной энергии магнонного кристалла. Для этого мож- но использовать хорошо известные свойства спектра канонического уравнения Матье [33]. Зависимость поч- ти всех мод, кроме самой нижней активационной, от κ в исследуемом интервале является слабой. При боль- ших значениях κ нужно принимать во внимание ангар- моничность циклоиды. Обращает на себя внимание уменьшение нижней активационной частоты с ростом величины, что указывает на возможное ее «зануление» с ростом ангармоничности циклоиды. Действительно, численный расчет подтверждает эту тенденцию (рис. 3). Для более детального выяснения влияния ангармо- ничности циклоиды на спектральные характеристики изучаемого магнонного кристалла обратимся к числен- ному анализу уравнений (9) и (10), решаемых совмест- но с минимизацией свободной энергии системы (8). В силу периодичности с периодом / 2T = Λ потенциаль- ной функции в скобках уравнений (9), (10), решение для спиновых колебаний находится интегрированием по этому периоду с учетом граничных условий сле- дующего вида: (0) ( ) exp ( ), (0) ( ) exp ( ), x x T ik T d d T ik T dx dx θ = θ − θ θ = − (11) где xk — волновое число гармонических спиновых колебаний циклоиды ( )~ exp [ ]xi k x tθ − ω . Аналогично для голдстоуновской моды ( )( , ) ~ exp [ ]xx t i k x tϕ − ω (0) ( ) exp ( ), (0) ( ) exp ( ). x x T ik T d d T ik T dx dx ϕ = ϕ − ϕ ϕ = − (12) Пример рассчитанных путем численного интегрирова- ния уравнений (9), (10) с граничными условиями (11), (12) спектров 2 ( )xkω для голдстоуновской и активаци- онной мод для случая 1κ = приведен на рис. 2. Важно отметить, что в отличие от однородного со- стояния, в котором в рассматриваемом приближении нулевого слома подрешеток имеется всего одна мода антиферромагнитных колебаний (как отмечалось выше, моды колебаний с антифазным колебанием магнитных подрешеток [18] в этом приближении не рассматрива- ются), в состоянии с пространственной антиферромаг- нитной модуляцией возникает счетный набор собст- венных частот колебаний при изменении волнового числа в пределах первой «зоны Бриллюэна», если Рис. 3. (а) Спектр активационной моды в критической точке 2,015cκ = , 0h = . Волновое число нормировано на 2 /π Λ, где Λ — период циклоиды. (б) Зависимость квадрата начальной частоты активационной моды от параметра анизотропии κ. Пунктирная линия — приближенное аналитическое разло- жение частоты активационной моды 2 2(0) 1 /2 /8ω = − κ − κ + 47 / 2048 ...+ κ + по параметру κ. Рис. 2. Зависимость квадрата частоты активационной (а) и голдстоуновской (б) мод 2( )xkω спиновых колебаний, рас- пространяющихся вдоль циклоиды при нулевом магнитном поле и при 1κ = . Волновое число нормировано на 2 /π Λ, где Λ — период циклоиды. 78 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO3 пользоваться аналогией с уравнением Шредингера для электрона в периодическом потенциале. Кроме того, с увеличением параметра магнитной анизотропии κ до критического значения 2,015cκ = происходит пони- жение дна спектра 2 ( )xkω активационной моды вплоть до смены знака квадрата частоты (рис. 3), что указыва- ет на возникновение неустойчивости плоского состоя- ния циклоиды еще до бесконечного возрастания ее пе- риода. В этом случае, как показывает детальный чис- ленный анализ стационарных состояний системы (5), (6), происходит плавный переход второго рода от пло- ской циклоиды к устойчивой конусообразной структу- ре, которая затем постепенно трансформируется в од- нородное легкоплоскостное состояние [23]. 4. Пределы существования циклоиды Рассмотрим случай ненулевого магнитного поля (0, ,0)h=h . Из (4) тогда следует, что в однородной фа- зе при положительном значении магнитного поля 0h > и 0κ > минимальной энергией обладает состояние (1,0,0)=l . При 0κ < возможна угловая фаза 2 2/ ,0, 1 /d M d Mh h = κ κ κ − κ κ κ    l . Найдем область перехода ZX-циклоиды в однород- ную фазу при 0κ < . Перейдем к угловым переменным (sin ,0,cos )= ϕ ϕl . Гамильтониан (4) с точностью до по- стоянной можно привести к виду 2 21 1 sin sin 2 2 E d x x ∂ϕ ∂ϕ = − − κ ϕ − ϕ ∂ ∂  , (13) где M dd h= κ κ . При d < κ , 0κ < основным состоя- нием однородного распределения является угловая фа- за 0sin /dϕ = κ , для которой 21 2 dE = − κ . (14) Если d > −κ , то основным состоянием однородной фазы является sin 1ϕ = и /2E d= −κ − . Таким образом, имеется линия раздела однородных фаз dκ = − = M d h= − κ κ ( 0h > ). Вариационные уравнения дают первый интеграл 2 2sin 2 sin 2d H x ∂ϕ  + κ ϕ + ϕ = ∂  , (15) где H — постоянная интегрирования. В этом случае энергия E〈 〉 , усредненная по периоду Λ, будет зави- сеть от константы H: 2 2 0 1 2( ) 2 sin 2 sin , ( ) ( ) E H H d d H H H π π 〈 〉 = − κ ϕ − ϕ ϕ − − Λ Λ∫ (16) где 2 2 0 / 2 sin 2 sind H d π Λ = ϕ − κ ϕ − ϕ∫ . Из экстремума энергии / 0d E dH< > = получаем ус- ловие для нахождения константы интегрирования 2 2 0 2 sin 2 sin 2H d d π − κ ϕ − ϕ ϕ = π∫ . (17) При учете (7) следует, что .E H〈 〉 = − Тогда при d < κ , 0κ < угловое состояние с 2 /2E d= − κ достигается при 2 /2H d= κ . Это означает, что переход к однородному состоянию, согласно (7), происходит при условии 2 2 2 0 / sin 2 sin 2d d d π κ + κ ϕ − ϕ ϕ = π∫ . (18) Последнее условие определяет критическую линию перехода ( )c c hκ = κ при dκ < − , где M Dd h= κ κ . Она показана на диаграмме рис. 4 линией 1. В частном слу- чае 0h = , когда 0d = , из (8) получаем, что однородное состояние с 0E = достигается в критической точке ( )2/ 2 2,47cκ = π ≈ , в которой Λ → ∞ . Период цик- лоиды неограниченно растет во всех точках критиче- ской линии ( )c c hκ = κ , определяемой уравнением (18). Если d > −κ и / 2E d= −κ − , то / 2H d= + κ . Тогда условие (17) дает критическое соотношение 2 2 0 2 (1 sin ) (1 sin ) 2d d π − ϕ + κ − ϕ ϕ = π∫ . (19) Это соотношение определяет линию перехода ( )c c hκ = κ циклоиды в однородное состояние в области d > −κ . Она показана на фазовой диаграмме на рис. 4 линией 2. Можно найти критическую точку пересечения линий (18) и (19) при dκ = − . Из (9) в этом случае следует, что 1cκ = − , 1 /c M dh = κ κ . На линии (19) также про- исходит неограниченный рост периода циклоиды Λ → ∞ , как на линии (18). Однако имеется область полей и значений одноос- ной анизотропии, где переход в легкоплоскостное со- стояние осуществляется путем образования конусооб- Рис. 4. Диаграмма антиферромагнитных состояний мульти- ферроика при \|\|H Y . Линии 1, 2, 3 ограничивают область существования циклоиды. Линия 4 отделяет угловую от лег- коплоскостной однородной фазы. В области, ограниченной линиями 3, 5, существует коническая фаза. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 79 А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин разной структуры [25]. Этот переход является перехо- дом второго рода и может быть зафиксирован по об- ращению квадрата активационной моды в нуль. На рис. 3 показан рассчитанный с помощью линеаризован- ных уравнений (5), (6) и граничных условий (11), (12) при 0h ≠ спектр активационной моды вблизи крити- ческого значения ( )ch κ для подобного случая. Кри- тическая линия перехода ( )ch κ , на которой частота активационной моды обращается в нуль, смещается в сторону возрастания энергии одноосной анизотропии κ, как показано на фазовой диаграмме на рис. 4 линией 3. Состояние однородного намагничивания имеет так- же свои пределы существования при вариации внешне- го магнитного поля и энергии анизотропии. Эти линии определяются из условия обращения в нуль частоты резонансного спектра для однородного состояния. На диаграмме рис. 4 приведена рассчитанная линия поте- ри устойчивости для фазы (1,0,0)=l (линия 5), которая ограничивает область существования конической фазы. Из анализа спектра спиновых колебаний в однород- ной легкоплоскостной фазе (1,0,0)=l следует, что потеря ее устойчивости сопровождается плавным рождением конусообразной циклоиды, развивающейся в направ- лении оси Y, которая в дальнейшем при уменьшении магнитного поля и анизотропии переходит в плоскую циклоиду вдоль этого направления. Между двумя цик- лоидами, модулированными во взаимно перпендикуляр- ных направлениях, возможен переход первого рода [25]. Не будем детализировать эту проблему, ограничившись сделанным замечанием. 5. Изгибная устойчивость циклоиды До сих пор мы считали, что исходная структура од- номерна, поэтому при расчете спектров спиновых волн в циклоиде не учитывалась неоднородность в по- перечном направлении. Представляет интерес вопрос об изгибной устойчивости структуры, так как из срав- нения энергии циклоид, развивающихся в различных направлениях, следует возможность смены энергети- ческого предпочтения при вариации значений плоско- стного поля. Проанализируем изгибную устойчивость рассматриваемой одномерной циклоиды, модулиро- ванной в направлении оси X, путем анализа спектра спиновых волн, распространяющихся вдоль оси Y, т.е. ограничимся случаем 0xk = . Для проведения анализа будем исходить из системы (5), (6), в которой необхо- димо искать решения для спиновых колебаний, пола- гая 1/ 2 ( ) exp ( ) c.c.yx ik i tθ = π + θ − ω + , 0 1( )xϕ = ϕ + ϕ × exp ( ) c.c.yik i t× − ω + , где 1 1,θ ϕ << π. Тогда линеаризо- ванная система уравнений принимает вид ___________________________________________________ 22 2 2 2 20 01 0 0 1 0 12 2 2 21 0 0 1 0 12 2 sin cos 2 cos 0, ( cos 2 cos ) 2 cos 0, y M d M y y d M y dd k h h ik dx xdx d k h ik dx   ϕ ∂ϕθ    − + − ω − − − κ ϕ + κ + κ κ ϕ θ + ϕ ϕ =  ∂     ϕ − + − ω + κ ϕ + κ κ ϕ ϕ − ϕ θ =  (20) ______________________________________________ где 0 ( )xϕ — циклоидное решение, удовлетворяющее вариационному уравнению при плотности энергии (4). Граничные условия в данном случае будут чисто пе- риодическими: 1 1(0) ( )Tθ = θ , 1 1(0) ( ) d d T dx dx θ θ = , (21) 1 1(0) ( )Tϕ = ϕ , 1 1(0) ( ) d d T dx dx ϕ ϕ = , (22) где T — период пространственного изменения потен- циального рельефа для спиновых волн, который в дан- ном случае совпадает с периодом модулированной структуры ( )T h= Λ . Таким образом, получаем четы- рехмерный аналог задачи Штурма–Лиувилля на собст- венные значения для квадрата частоты колебаний 2ω . На рис. 5 приведен пример расчета спектральной зависимости 2 ( )ykω для голдстоуновской моды при 0κ = в отсутствие магнитного поля 0h = (кривая 1) и при 30h = (кривая 2). Из приведенной зависимости видно, что квадрат частоты голдстоуновской моды остается положительным и при распространении спи- новой волны в поперечном к циклоиде направлении. Подобная картина для голдстоуновской моды наблю- Рис. 5. Спектр голдстоуновской моды антиферромагнитных колебаний циклоиды, распространяющихся в поперечном направлении: 1 — для 0h = ; 2 — для 30h = . Расчет сделан при 0κ = . Волновое число нормировано на [ ] /k = π Λ . 80 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO3 дается при вариации параметра анизотропии κ во всей области существования циклоиды. Расчет активационной ветви колебаний в попереч- ном направлении также указывает на устойчивый ха- рактер колебаний. На рис. 6 приведен пример расчета спектра 2 ( )ykω активационной моды для 0κ = , 0h = . Квадрат частоты имеет вначале провал, а затем, после минимума, монотонно возрастает с ростом волнового числа вдоль оси Y, не пересекая нулевой уровень. Рас- четы активационного спектра при вариации значений магнитной анизотропии показывают отсутствие неус- тойчивости в спектре активационной моды при нуле- вом магнитном поле в интервале существования цик- лоиды. Приближение к критической точке 2,015κ = , где обращается в нуль начальная частота (0) 0ω → маг- нонного спектра, сопровождается исчезновением не- монотонности активационной ветви, как показано на рис. 6. 6. Заключение Таким образом, мы показали, что спектр спиновых волн в мультиферроике типа 3BiFeO зависит от его антиферромагнитного состояния. С рождением цикло- идной структуры вместо двух мод спиновых колеба- ний, характерных для однородного состояния, возни- кает счетный набор мод для голдстоуновской ветви магнонов в циклоиде и для активационной ветви коле- баний. Методы неупругого (комбинационного или ра- мановского) рассеяния, а также спектроскопические методы позволили обнаружить многократное увеличе- ние числа магнонных мод в пленках и монокристаллах феррита висмута в циклоидной фазе по сравнению с тем, что наблюдается в однородной фазе [15,16,20,34]. Этот факт можно рассматривать как проявление эф- фекта магнонного кристалла, характерного для цикло- идной фазы. Включение магнитного поля в перпенди- кулярном циклоиде направлении приводит к дополни- тельному удвоению набора частот в силу двукратного увеличения периода потенциального рельефа для спи- новых волн, распространяющихся вдоль циклоиды. В работе [21] экспериментально показано, что действие магнитного поля увеличивает число активационных маг- нонных мод. Распространение спиновых волн поперек циклоиды показывает отсутствие изгибной неустойчи- вости во всем интервале ее существования. Однако зависимость начальной частоты спектра активацион- ной моды от магнитного поля и анизотропии указывает на наличие неустойчивости циклоиды выше критиче- ского значения ( )c hκ , при котором начальная частота активационной моды обращается в нуль. Детальные численные расчеты показывают, что в этой точке про- исходит переход второго рода циклоиды в конусооб- разную пространственно-модулированную структуру, которая является промежуточной между однородным состоянием и циклоидной модуляцией спиновой под- системы мультиферроика. Работа поддержана Минобрнауки, контракты №№ 14.B37.21.1090, 16.513.11.3149, РФФИ 13-02-90502, 13-02-12443. 1. H. Schmid, Ferroelectrics 162, 317 (1994). 2. G.A. Smolenskii and I.E. Chupis, Sov. Phys. Usp. 25, 475 (1982). 3. I.E. Chupis, Cheminform 42, Issue 22, May 31 (2011); DOI: 10.1002/chin.201122222. 4. M. Fiebig, J. Phys. D: Appl. Phys. 38, R 123 (2005). 5. W. Eerenstein, N.D. Mathur, and J.F. Scott, Nature 442, 759 (2006). 6. S.-W. Cheong and M. Mostovoy, Nature Mater. 6, 13 (2007). 7. D. Khomskii, Phys. 2, 20 (2009). 8. А.П. Пятаков, А.К. Звездин, УФН 182, 593 (2012) [Phys. Usp. 55, 557 (2012)]. 9. M. Tokunaga, M. Azuma, and Y. Shimakawa, J. Phys.: Conf. Series 200, 012206 (2010). 10. M. Tokunaga, Front. Phys. 7, 386 (2012). 11. I. Sosnowska, T. Peterlin-Neumaier, and E. Steichele, J. Phys. C: Solid State Phys. 15, 4835 (1982). 12. А.В. Залесский, А.К. Звездин, А.А. Фролов, А.А. Буш, Письма в ЖЭТФ 71, 682 (2000). 13. D. Lebeugle, D. Colson, A. Forget, M. Viret, A.M. Bataille, and A. Gukasov, Phys. Rev. Lett. 100, 227602 (2008). 14. S. Lee, T. Choi, W. Ratcliff II, R. Erwin, S.W. Cheong, and V. Kiryukhin, Phys. Rev. B 78, 100101 R (2008). 15. D. Sando, A. Agbelele, D. Rahmedov, J. Liu, P. Rovillain, C. Toulouse, I.C. Infante, A.P. Pyatakov, S. Fusil, E. Jacquet, C. Carrétéro, C. Deranlot, S. Lisenkov, D. Wang, J.-M. Le Breton, M. Cazayous, A. Sacuto, J. Juraszek, A.K. Zvezdin, L. Bellaiche, B. Dkhil, A. Barthélémy, and M. Bibes, Nature Mater. 12, 641 (2013). 16. M. Cazayous, Y. Gallais, A. Sacuto, R. de Sousa, D. Le- beugle, and D. Colson, Phys. Rev. Lett. 101, 037601 (2008) Рис. 6. Спектр активационной моды 2( )ykω для спиновых волн, распространяющихся в поперечном к циклоиде на- правлении при 0h = : 1 — 0κ = ; 2 — 1,5κ = ; 3 — 2,0κ = . Волновое число нормировано на [ ] /k = π Λ . Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1 81 http://dx.doi.org/10.1002/chin.201122222 А.Ф. Попков, Н.Е. Кулагин, С.В. Соловьев, З.В. Гареева, А.К. Звездин 17. R. de Sousa and J.E. Moore, Phys. Rev. B 77, 012406 (2008). 18. А.К. Звездин, А.А. Мухин, Письма в ЖЭТФ 89, 385 (2009). 19. R. de Sousa and J.E. Moore, Appl. Phys. Lett. 92, 022514 (2008). 20. U. Nagel, Randy S. Fishman, T. Katuwal, H. Engelkamp, D. Talbayev, Hee Taek Yi, S.-W. Cheong, and T. Rõõm, Phys. Rev. Lett. 110, 257201 (2013). 21. Randy S. Fishman, Phys. Rev. B 87, 224419 (2013). 22. M.K. Singh, R.S. Katiyar, and J.F. Scott, J. Phys.: Condens. Matter 20, 252203 (2008). 23. Н.Е. Кулагин, А.Ф. Попков, А.К. Звездин, ФТТ 53, 912 (2011) [Phys. Solid State 53, 970 (2011)]. 24. N. Kulagin, A. Popkov, A. Zvezdin, and S. Soloviov, Solid State Phenomena 190, 285 (2012). 25. Z.V. Gareeva, A.F. Popkov, S.V. Soloviov, and A.K. Zvez- din, Phys. Rev. B 87, 214413 (2013). 26. А.Ф. Андреев, В.И. Марченко, УФН 130, 39 (1980). 27. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, М.В. Четкин, УФН 146, 417 (1985). 28. А.К. Звездин, А.А. Мухин, Краткие сообщения по физи- ке 12, 10 (1981). 29. А.К. Звездин, А.А. Мухин, ЖЭТФ 75, 306 (1992) [Sov. Phys. JETP 102, 577 (1992)]. 30. Ю.В. Гуляев, С.А. Никитов, Л.В. Животовский, А.А. Кли- мов, Ф. Тайад, Л. Пресманес, К. Бонин, Ч.С. Цай, С.Л. Вы- соцкий, Ю.А. Филимонов. Письма в ЖЭТФ 77, 670 (2003). 31. V.V. Kruglyak, S.O. Demokritov, and D. Grundler, Phys. D: Appl. Phys. 43, 264001 (2010). 32. J.M. Ziman, Principles of the Theory of Solids, Cambridge University Press, Cambridge (1972). 33. М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям, Наука, Москва (1979). 34. R.S. Fishman, J.T. Haraldsen, N. Furukawa, and S. Miyaha- ra, Phys. Rev. B 87, 134416 (2013). Spin wave spectra and space-modulated structures in BiFeO3 A.F. Popkov, N.E. Kulagin, S.V. Soloviov, Z.V. Gareeva, and A.K. Zvezdin The spin wave spectrum in antiferromagnetic BiFeO3-type multiferroics is analyzed theoretically. It is shown that the presence of a space-modulated cyc- loidal structure leads to a countable number of branch- es of two types of frequency oscillations (Goldstone and activation modes) in the propagation of spin waves along the cycloid. In the absence of magnetic field and anisotropy the magnon spectrum is character- ized by the lack of frequency gaps in the spectrum. The peculiarities of spectral dependences of spin oscil- lations on anisotropy and magnetic field are revealed and the limits of existence of the antiferromagnetic cycloid up to its transformation into a conical structure are determined. In the transverse direction the behav- ior of spin oscillations are of a mixed character, sug- gesting that the cycloid has bending stability in the whole area of its existence. PACS: 75.30.Fv Spin-density waves; 75.85.+t Magnetoelectric effects, multiferroics; 75.50.Ee Antiferromagnetics; 75.30.Gw Magnetic anisotropy; 75.78.–n Magnetization dynamics. Keywords: spin waves, incommensurate structures, multiferroics, magnonic crystals. 82 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 1

Спектры спиновых волн и пространственно-модулированные структуры в BiFeO₃

Репозитарії

Схожі ресурси