Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем

Предложен робастный алгоритм эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости и построения эллипсоидального множества гарантированной оценки линейной управляемой системы с дискретным временем, на которую действуют внешние возмущения с нестатистически заданными характеристиками. Канал измерения «...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Шолохов, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2008
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/11947
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем / А.В. Шолохов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 3. — С. 78-87. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-11947
record_format	dspace
spelling	Шолохов, А.В. 2010-09-09T07:20:19Z 2010-09-09T07:20:19Z 2008 Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем / А.В. Шолохов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 3. — С. 78-87. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/11947 519.8 Предложен робастный алгоритм эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости и построения эллипсоидального множества гарантированной оценки линейной управляемой системы с дискретным временем, на которую действуют внешние возмущения с нестатистически заданными характеристиками. Канал измерения «зашумлен» помехами. Алгоритм работоспособен и при нарушении априорных предположений о начальном состоянии системы. Приведены результаты компьютерного моделирования, показывающие изменение информативности измерений в зависимости от пересечения эллипсоида с гиперслоем и соотношения неопределенности внешнего возмущения и шума наблюдения. Запропоновано робастний алгоритм еліпсоїдальної апроксимації множини досяжності і побудови еліпсоїдальної множини гарантованої оцінки лінійної керованої системи з дискретним часом, на яку діють зовнішні збурювання з нестатистично заданими характеристиками. Інформація в каналі виміру включає перешкоди. Алгоритм працездатний і при порушенні апріорних припущень про початковий стан системи. Наведено результати комп’ютерного моделювання, які показують змінювання інформативності вимірювань залежно від перетину еліпсоїда з гипершаром і співвідношення невизначеності зовнішнього збурювання і перешкоди вимірювання. A robust algorithm for building an ellipsoid set of the guaranteed estimation of controlled discrete linear system which is influenced by external disturbances with the nonstatic given properties, has been proposed. The measuring channel contains background noises. The algorithm is also efficient in the case of incorrect assumptions about the initial state of the system. In conclusion, the results of the computer modeling, which show the change in the information value depending on the ellipsoid/hypersphere intersection and the relationship between the uncertainty of external disturbances and obstacles for measurements are presented. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем Субоптимальна апроксимація суми еліпсоїдів і перетину еліпсоїда з гіпершаром Suboptimal approximation of the sum of ellipsoids and ellipsoid/hypersphere intersection Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем
spellingShingle	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем Шолохов, А.В. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
title_short	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем
title_full	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем
title_fullStr	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем
title_full_unstemmed	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем
title_sort	субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем
author	Шолохов, А.В.
author_facet	Шолохов, А.В.
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
publishDate	2008
language	Russian
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
format	Article
title_alt	Субоптимальна апроксимація суми еліпсоїдів і перетину еліпсоїда з гіпершаром Suboptimal approximation of the sum of ellipsoids and ellipsoid/hypersphere intersection
description	Предложен робастный алгоритм эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости и построения эллипсоидального множества гарантированной оценки линейной управляемой системы с дискретным временем, на которую действуют внешние возмущения с нестатистически заданными характеристиками. Канал измерения «зашумлен» помехами. Алгоритм работоспособен и при нарушении априорных предположений о начальном состоянии системы. Приведены результаты компьютерного моделирования, показывающие изменение информативности измерений в зависимости от пересечения эллипсоида с гиперслоем и соотношения неопределенности внешнего возмущения и шума наблюдения. Запропоновано робастний алгоритм еліпсоїдальної апроксимації множини досяжності і побудови еліпсоїдальної множини гарантованої оцінки лінійної керованої системи з дискретним часом, на яку діють зовнішні збурювання з нестатистично заданими характеристиками. Інформація в каналі виміру включає перешкоди. Алгоритм працездатний і при порушенні апріорних припущень про початковий стан системи. Наведено результати комп’ютерного моделювання, які показують змінювання інформативності вимірювань залежно від перетину еліпсоїда з гипершаром і співвідношення невизначеності зовнішнього збурювання і перешкоди вимірювання. A robust algorithm for building an ellipsoid set of the guaranteed estimation of controlled discrete linear system which is influenced by external disturbances with the nonstatic given properties, has been proposed. The measuring channel contains background noises. The algorithm is also efficient in the case of incorrect assumptions about the initial state of the system. In conclusion, the results of the computer modeling, which show the change in the information value depending on the ellipsoid/hypersphere intersection and the relationship between the uncertainty of external disturbances and obstacles for measurements are presented.
issn	1681–6048
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/11947
citation_txt	Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем / А.В. Шолохов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 3. — С. 78-87. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT šolohovav suboptimalʹnaâapproksimaciâsummyéllipsoidoviperesečeniâéllipsoidasgipersloem AT šolohovav suboptimalʹnaaproksimacíâsumielípsoídívíperetinuelípsoídazgíperšarom AT šolohovav suboptimalapproximationofthesumofellipsoidsandellipsoidhypersphereintersection
first_indexed	2025-11-27T04:19:31Z
last_indexed	2025-11-27T04:19:31Z
_version_	1850796146857869312
fulltext	© А.В. Шолохов, 2008 78 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 TIДC ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ, ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ УДК 519.8 СУБОПТИМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СУММЫ ЭЛЛИПСОИДОВ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА С ГИПЕРСЛОЕМ А.В. ШОЛОХОВ Предложен робастный алгоритм эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости и построения эллипсоидального множества гарантированной оценки линейной управляемой системы с дискретным временем, на которую действуют внешние возмущения с нестатистически заданными характеристи- ками. Канал измерения «зашумлен» помехами. Алгоритм работоспособен и при нарушении априорных предположений о начальном состоянии системы. Приведены результаты компьютерного моделирования, показывающие изме- нение информативности измерений в зависимости от пересечения эллипсоида с гиперслоем и соотношения неопределенности внешнего возмущения и шума наблюдения. ВВЕДЕНИЕ Решение многих задач управления часто связано с неопределенностью ин- формации, на основе которой необходимо реализовать управление объек- том, оптимальное по некоторому критерию. При этом существуют задачи, где неопределенность может быть описана лишь в виде множеств значений, принимающих фазовые переменные состояний объекта управления в каж- дый момент времени управления и наблюдения. Рассмотрим следующий пример: пусть наблюдается объект и о его на- чальном состоянии имеется априорная информация. Кроме того, известны дифференциальные уравнения, описывающие движение объекта и возмож- ности управления им. По этим данным строится множество достижимости объекта, являющееся выпуклым и аппроксимирущееся эллипсоидом. Состо- яние объекта уточняется по результатам наблюдений, зашумленным поме- хой с нестатистически заданной неопределенностью. При этом имеют место не все фазовые координаты. Наблюдения, полученные по скалярному нера- венству, представляют собой гиперслой в фазовом пространстве состояний. Непустое пересечение эллипсоида состояния и гиперслоя аппроксими- руется, в свою очередь, эллипсоидом, который принимается за улучшенную оценку состояния объекта по критерию минимума объема эллипсоида. Ина- че оставляется исходный эллипсоид состояния. Решению данной задачи посвящено множество работ, например [1–6]. Основное внимание в большинстве из них уделяется точности аппроксима- Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 79 ции в ущерб вычислительной простоте. Рост размерности пространства множества состояний приводит при этом, если не поступиться точностью, к значительному росту вычислений [7]. При состояниях, близких к вырожде- нию эллипсоида, вычислительные ошибки не позволят уточнить состояние оцениваемого объекта. Здесь предлагается алгоритм для случая, когда на- блюдающее устройство не очень сложное и точное, а множество состоя- ний объекта не требуется «сводить в точку». Достаточно, чтобы фазовые координаты объекта находились в заданных границах, т.е. не требуется вы- сокая точность вычислений. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Решается задача оценивания множества состояний линейной динамической системы с учетом апостериорной информации. Рассматривается линейная управляемая система с входным управляющим воздействием и неточно известным начальным состоянием. Дифференциальное уравнение, описы- вающее движение объекта, представим в виде разностного уравнения в про- странстве состояний. Уравнение системы в фазовом пространстве перемен- ных состояния имеет вид deAxx jjnjj ≤+=+ ζζ ,1 , (1) }1)()(:{ 00 1 0 T 00000 ≤−−=∈ − xxHxxxEx , (2) где A — )( nn× -матрица и ne — n -мерный вектор такие, что пара ),( neA управляема, n n Re ∈ ; 1Rj ∈ζ — скалярное управление, ограниченное за- данной константой 0≥d ; )(...,,1,0,0 ∞<=∈ kkjTj — дискретное время; n j RXE =⊂0 — компактное множество возможных значений начального состояния; 0x и 00 T 0 >= HH — заданные n -мерный вектор и )( nn× - матрица соответственно. Управления Rj 1∈ζ заданы на всем интервале T 0 , образуя программу },{ 0 1 TjRj ∈∈ζ . (3) Введем уравнение наблюдения ...,2,1,,T =≤+= jcxhy jjjj ξξ , (4) где 1Ry j ∈ ; nRh∈ — параметр измерительного устройства такой, что пара ),( hA наблюдаема; 1Rj ∈ξ — ограниченная помеха измерений; 0≥c — заданная константа. Уравнение (4) в пространстве nR определяет гиперслой })(:{),( 22T cxhyxxyS jjjjj ≤−= . (5) Задача состоит в том, чтобы по известным выражениям (1)–(3) постро- ить множество достижимости объекта наблюдения, аппроксимировать его эллипсоидом и по наблюдениям (4) выхода jy построить гарантированную эллипсоидальную оценку А.В. Шолохов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 80 jjj SEL ∩⊃ , }1)()(:{ 1T ≤−−= − jjjjjjj xxHxxxL . (6) При этом начальная или априорная оценка известна: 00 EL ≡ . АППРОКСИМАЦИЯ СУММЫ ДВУХ ЭЛЛИПСОИДОВ Согласно работе [1] для оптимальной аппроксимации эллипсоидом суммы двух эллипсоидов, один из которых должен быть невырожденным, а другой может быть вырожденным, решается алгебраическое уравнение 1+n -го порядка. Для получения его коэффициентов необходимо решить характери- стическое уравнение и найти собственные числа. В качестве критерия опти- мизации принят объем эллипсоида. В нашем случае в качестве невырожден- ного эллипсоида принимается эллипсоид jE множества достижимости системы (1), а вырожденного — эллипсоид, аппроксимирующий множество возможных управлений, значения из которого принимает управление (3) на каждом дискретном шаге. В работе [8] операция суммирования эллипсоидов выполняется следующим образом: 2211 QQQ γγ +=+ , (7) где +Q — матрица аппроксимирующего эллипсоида; 1Q , 2Q — матрицы суммируемых эллипсоидов, а параметры 1γ , 2γ удовлетворяют условиям 11 2 1 1 =+ −− γγ , 01 >γ и 02 >γ . (8) В работе [9] показано, что аппроксимацию по критерию минимума объема, когда один из эллипсоидов представляет собой отрезок, можно по- лучить проще, а именно, определить оптимальные коэффициенты в равенст- ве (7), решив квадратное алгебраическое уравнение 0)1( 222 =−−+ κδκδ jjjj nn , (9) где deHe njj T nj 21 \|1 2 − +=κ , T jjj AAHH =+1 , j j j ,1 ,2 γ γ δ = , (10) и найдя его максимальный положительный корень jjjnjj T nj bbeHed κδ == − + + 2/11 \|1 )( . (11) Здесь . 2 )1(4)1( 22 n nnn kb jj jj −−+− = κκ (12) Выражение для матрицы аппроксимирующего эллипсоида при этом ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ++ + + T nn j jjj eed HH δ δ 2 1\|11 )1( . (13) Любое другое значение + jδ , отвечающее условиям (8), также удовле- творяет (7), но не является оптимальным. Полученное уравнение в частном Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 81 случае, когда 1=ne и IH jj ≡+ \|1 , где I — единичная матрица, совпадает с уравнением в работе [1]. Как видим, в (9) осталась лишь одна трудоемкая операция — обраще- ние матрицы jjH \|1+ . Упростим указанные выражения, для чего воспользу- емся неравенством Канторовича для случая вещественного пространст- ва [10]. Если nnRA ×∈ — положительно определенная симметрическая матрица с характеристическими числами 0...1 >≥≥ Nλλ и nRx∈ — единичный вектор, то 2 2 1 1 2 1 11TT 4 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤≤ − λ λ λ λ N N xAAxxx . (14) Отсюда, после подстановки наших обозначений и несложных преобра- зований, получим неравенство njjn nn N N njjn njjn nn eHe ee eHe eHe ee \|1 T 2T 1 2 11 \|1 T \|1 T 2T )( 4 )()( + − + + + ≤≤ λλ λλ . (15) Равенство в (15) достигается в случае, когда эллипсоид, выраженный матрицей jH квадратичной формы, — шар. Если собственные числа 1λ , Nλ матрицы jjH \|1+ не сильно различаются, то, полагая njjn nn njj T nj eHe dee deHe \|1 T 22T 21 \|1 2 )( + − + ≈=κ (16) в уравнении (9) и находя его максимальный положительный корень + jδ ~ , по- лучаем субоптимальные параметры 1 ~γ , 2 ~γ , которые не сильно отличаются от оптимальных и удовлетворяют (8). Соответственно, матрица субопти- мального эллипсоида имеет вид ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ++ + + T nn j jjj eed HH δ δ ~)~1( 2 1\|11 . (17) АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА И ГИПЕРСЛОЯ ЭЛЛИПСОИДОМ Точное решение данной задачи получено в работе [2]. При этом для опреде- ления параметров аппроксимирующего эллипсоида, оптимального по кри- терию минимума объема, на каждом шаге необходимо решать квадратное уравнение. В [11] приведено другое решение этой задачи, субоптимальное по критерию минимума объема аппроксимирующего эллипсоида, зато тре- бующее меньше вычислений. Однако в нем используются всего лишь два крайних соотношения между расстоянием от центра исходного эллипсоида А.В. Шолохов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 82 до середины гиперслоя и «шириной» гиперслоя. Это не позволяет использо- вать для уменьшения объема аппроксимирующего эллипсоида наблюдение, когда, например, середина гиперслоя проходит через центр исходного эл- липсоида. В данном случае оставляется исходный эллипсоид. Также не ис- пользуется наблюдение, когда половина исходного эллипсоида принадле- жит гиперслою и его середина проходит по границе эллипсоида. В работе [12] получены выражения для построения аппроксимирующе- го эллипсоида (6), параметры которых зависят от степени пересечения эл- липсоида множества достижимости и гиперслоя. j j jj jjj e hH xx στ+=+ ~~ 1 , jjjj hHhe T2 = , j j j e ∆ =σ , (18) 2 21 T j j jjjj jjj e HhhH HH γτ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=+ , (19) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − += 222 1 11 jj j jj σχ τ τγ , 2 2 2 j j e c =χ , (20) 10,21 2 <≤ + = − j jj j j eq e ττ , jj ceq ≥−1 , (21) где jjjj xhy ~T −=∆ — расстояние от центра исходного эллипсоида до сере- дины гиперслоя; c — ограниченная помеха наблюдения согласно (4); jj ceq ≥−1 — подстроечный параметр, полученный из условия использова- ния наблюдения (4) в случае, когда гиперслой лишь касается исходного эл- липсоида. Условие информативности наблюдений [12] 1 1 1)1( 2 2 <⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +− n j j j jj σ τ χ ττ . (22) Потребуем, чтобы (22) выполнялось, когда половина эллипсоида при- надлежит гиперслою. Согласно (21) при jj ceq =−1 условие (22) не выпол- няется. Лемма (о выборе jτ ). Пусть ровно половина исходного эллипсоида принадлежит гиперслою. Тогда для выполнения неравенства (22) необходи- мо и достаточно 21 1 j j nχ τ + ≤ , 21 ncq j =− . (23) Доказательство. Пусть ровно половина исходного эллипсоида при- надлежит гиперслою. При этом 122 ≥= jj σχ . Тогда (22) примет вид (здесь и далее индексы в выражениях опущены) Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 83 1 1 1)1( 22 <⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +− n τ χττ . (24) Перепишем (24) в виде ττ χτ − <⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 1 1 1 22 n , прологарифмируем его и получим ττ χτ − <⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 1ln 1 1ln 22 n . Имея условие 10 <≤τ , на основании известного неравенства ττ ≤+ )1(ln , 1−>∀τ придем к следующим выражениям: ≤⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + τ χτ 1 1ln 22 n τ χτ − ≤ 1 22 n , ( ) τττ τ ≥−−=−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − )1(ln)1(ln 1 1ln 1 , т.е. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤ τ τ 1 1ln . Потребу- ем выполнения неравенства τ τ χτ ≤ −1 22 n . (25) Если выполняется (25), то будет выполняться и (24). Из (25) путем пре- образований ≤⇒≤+⇒≤+⇒−≤⇒≤ − ττχττχττχ τ τχ 1)1(111 1 222 2 nnnn 1 1 2 + ≤ χn получим 21 1 χ τ n+ ≤ . (26) Вынесем общий множитель 2e в выражении (21). Тогда 1/ 1 21 + = − eq τ . Положив 21 ncq =− , получим (26). Теперь рассмотрим случай, когда середина гиперслоя проходит через центр исходного эллипсоида, т.е. 00 =⇒=∆ jj σ . Тогда (22) примет вид ττ τχ τ τχτ − <⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +=<⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +− 1 1 1 11 1 1)1( 22 nn . (27) Аналогично предыдущему случаю, логарифмируя (27), запишем ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − <⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ττ τχ 1 1ln 1 1ln 2 n и получим ττ τχ τ τχ − < − ≤⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 1ln 11 1ln 22 nn . Так как 10 <≤τ , то всегда выполняется неравенство ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < τ τ 1 1ln . Потребуем τ τ τχ ≤ −1 2 n . Тогда А.В. Шолохов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 84 n n 110 22 ≤⇒−≤< χχτ . (28) Отсюда n ec ne c ≤⇒≤= 1χ . (29) На основании (29) делаем вывод: с увеличением размерности простран- ства состояний наблюдаемой системы в рассмотренном случае неопреде- ленность наблюдений для сохранения информативности должна стремиться к нулю для того, чтобы аппроксимирующий пересечение эллипсоид был меньше по объему, чем исходный. Легко видеть, что в случае единичного круга ( 1,2 == en ) для сохранения информативности должно быть ≤c 7071,0 2 1 ≈≤ , что в случае равенства соответствует квадрату, вписанному в исходную единичную окружность. Проверим, каково максимально возможное значение неопределенности наблюдения c в этом случае при выборе шага согласно (26). Подставив (26) в (27), получим 111 1 2 2 <⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + n nn n χ χ . (30) Положив cen === χ,1,2 , после подстановки в (30) получим 6325,0≈c . Таким образом, субоптимальный эллипсоид ненамного отлича- ется от оптимального, вычисленного, например, согласно [2], что в объек- тах, где точность аппроксимации не критична, а простота вычислений и подстройки — необходимое условие, может являться вполне удовлетвори- тельным. Рассмотрим случай, когда расстояние до середины гиперслоя, т.е. ∆ увеличивается от нуля до нескольких e . При этом ширина гиперслоя, т.е. c увеличивается так, что ∆=c постоянно. Таким образом, пересечение эллип- соида и гиперслоя увеличивается до тех пор, пока эллипсоид не будет «по- гружен» в него наполовину и далее, т.е. ширина гиперслоя увеличивается, а пересечение остается уже неизменным (рис. 1). Рис. 1. Пересечение эллипсоида и гиперслоя ∆=c ec >=∆ 1=e 0==∆ c Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 85 Легко видеть из (18), (22) и (26), что середина аппроксимирующего эл- липсоида вначале удаляется от центра исходного эллипсоида на расстояние n+1 1 по достижении равенства ce ==∆ , а затем, по мере дальнейшего уве- личения ∆ , снова приближается к центру исходного эллипсоида. При этом объем аппроксимирующего эллипсоида все время увеличивается и условие информативности (22) стремится к единице. Аналогично ведет себя аппрок- симирующий эллипсоид в случае лишь касания гиперслоя и исходного эл- липсоида. При этом, в отличие от условия ecq =−1 , с удалением середины гиперслоя от исходного эллипсоида растет объем аппроксимирующего эл- липсоида. Таким образом, выбор шага согласно (26) придает алгоритму ро- бастные свойства, заключающиеся в том, что при расхождении наблюдений и расчетного множества достижимости происходит учет наблюдений. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Выполним моделирование алгоритма на конкретном примере. Возьмем сис- тему третьего порядка и зададимся устойчивыми значениями собственных чисел матрицы динамики A : nll ,1,5,0;5,0;75,0 =−=λ . По ним построим матрицу A , имеющую форму Фробениуса ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0,750,250,1875 100 010 A . Управления в программе (3) примем равными максимально возможным на всем интервале управления и зададим в виде ( ) j j d 1−=ς . Начальное зна- чение [ ]121050 −=Tx удовлетворяет условию (2), где [ ]000, 90000 04000 00100 00 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = TxH . Моделирование системы произведем в среде MATLAB. Сначала срав- ним аппроксимацию множества достижимости тремя алгоритмами согласно работам [1], [9] и по формуле (17) данной статьи. В качестве результата рас- смотрим три графика изменений квадратного корня из определителя матри- цы jH , полученной тремя способами в зависимости от номера j итерации. Данные построения показаны на рис. 2, где видно, что объем эллипсоидов, построенных по оптимальным алгоритмам [1], [9], совпадает (графики мар- кированы квадратиками и крестиками соответственно). Объем же аппрок- симирующего эллипсоида, согласно (17), не очень отличается от оптималь- ного (график маркирован кружочками). А.В. Шолохов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 86 Для исследования информативности примем 4;3;2,1 == ne и будем увеличивать c до e3 (рис. 3). Рис. 3. Изменение информативности от ширины гиперслоя 1 1,5 2 2,50 0,5 3 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Ширина гиперслоя И нф ор м ат ив но ст ь Рис. 2. Уменьшение объема эллипсоида при разном выборе шага Дискретное время Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 87 ВЫВОДЫ Получен и исследован робастный алгоритм гарантированного оценивания состояний линейной динамической системы, более простой в вычислитель- ном отношении, чем в работе [2] и более информативный по сравнению с [11]. Алгоритм обладает свойством робастности по отношению к уровню помехи наблюдения, т.е. допускает существенное увеличение уровня поме- хи по сравнению с размерами эллипсоида множества достижимости и со- хранение информативности наблюдения. Данный алгоритм легко и удобно использовать в тех практических случаях, когда измерительная информация неточная и нет возможности наблюдать все фазовые координаты объекта, т.е. в тех случаях, когда увеличение точности вычислений не приводит к существенному уточнению состояния объекта. ЛИТЕРАТУРА 1. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М.: Наука, 1988. — 320 с. 2. Волосов В.В. Об одном способе построения эллипсоидальных оценок в задачах нестохастической фильтрации и идентификации параметров управляемых систем // Автоматика. — 1991. — № 3. — С. 24–32. 3. Волосов В.В. К построению параметрических семейств эллипсоидальных оце- нок и их оптимизация в задачах нестохастической идентификации парамет- ров и состояния многомерных дискретных систем управления // Проблемы управления и информатики. — 1996. — № 4. — С. 37–52. 4. Хонин В.А. Гарантированные оценки состояния линейных систем с помощью эллипсоидов // Эволюционные системы в задачах оценивания: Сб.науч. тр. — Свердловск: Уральский научный центр АН СССР, 1985. — С. 104–123. 5. Черноусько Ф. Л. Об оптимальном эллипсоидальном оценивании для динами- ческих систем, подверженных неопределенным возмущениям // Кибернети- ка и системный анализ. — 2002. — № 2. — С. 85–95. 6. Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Свойства оптимальных эллипсоидов, прибли- жающих области достижимости систем с неопределенностями // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 4. — С. 8–18. 7. Хонин В.А. О программах, реализующих алгоритмы аппроксимации области достижимости управляемой системы // Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности: Сб. науч. тр. — Свердловск: Изд-во АН СССР, Уральское отделение, 1989. — С. 125–129. 8. Schlaepfer F. M., Schweppe F. C. Continuous-time state estimation under distur- bances bounded by convex sets // IEEE Trans. Automat. Control. — 1972. — AC-17, № 2. — P. 197–205. 9. Бакан Г М., Шолохов А В. К задаче гарантированного оценивания точности управляемой линейной системы // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 4. — С. 44–51. 10. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972. — 232 с. 11. Ефименко Н.В., Новиков А.К. Регуляризованные эллипсоидальные наблюдате- ли и их применение к задаче определения ориентации космического аппарата // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 6. — С. 145–155. 12. Бакан Г.М., Шолохов А.В. К построению робастного алгоритма гарантирован- ного оценивания состояния линейной управляемой системы // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 1. — С. 16–25. Поступила 21.03.2007

Субоптимальная аппроксимация суммы эллипсоидов и пересечения эллипсоида с гиперслоем

Репозитарії

Схожі ресурси