Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора
Рассмотрено движение броуновской частицы в двух циклически переключающихся пространственнопериодических асимметричных потенциалах с периодом цикла, превышающим время релаксации. Показано, что при низких температурах направленное движение существует при чередовании положений абсолютных максимумов и м...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119503 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора / В.М. Розенбаум // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 5. — С. 604-607. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859714928126984192 |
|---|---|
| author | Розенбаум, В.М. |
| author_facet | Розенбаум, В.М. |
| citation_txt | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора / В.М. Розенбаум // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 5. — С. 604-607. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Рассмотрено движение броуновской частицы в двух циклически переключающихся пространственнопериодических асимметричных потенциалах с периодом цикла, превышающим время релаксации. Показано, что при низких температурах направленное движение существует при чередовании положений абсолютных максимумов и минимумов двух потенциалов, а также при циклическом включении и выключении асимметричного потенциала. Полученные результаты выявляют роль диффузионных процессов и силовых эффектов, возникающих при переключении потенциалов, в механизмах функционирования броуновских моторов.
Розглянуто рух броунівської частинки у двох просторово-періодичних асиметричних потенціалах, що циклічно перемикаються з періодом циклу, довшим за час релаксації. Показано, що за низьких температур напрямлений рух існує при чергуванні положень абсолютних максимумів і мінімумів двох потенціалів, а також при циклічному вмиканні та вимиканні асиметричного потенціалу. Отримані результати виявляють роль дифузійних процесів і силових ефектів, що виникають при перемиканні потенціалів, у механізмах функціонування броунівських моторів.
Consideration concerns the motion of a Brownian particle in two cyclically switching spatially periodic asymmetric potentials, with the cycle period longer than the relaxation time. It is shown for low temperatures that directed motion occurs at the alternation of the absolute maximum and minimum positions of the two potentials as well as at the cyclic on/off switching of an asymmetric potential. The results obtained elucidate the role of diffusion processes and force effects arising from the potential switching in the operational mechanisms of Brownian motors.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:11:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5, c. 604–607
Письма редактору
Низкотемпературный режим функционирования
адиабатического броуновского мотора
В.М. Розенбаум
Институт химии поверхности им. А.А. Чуйко НАН Украины
ул. Генерала Наумова, 17, г. Киев, 03164, Украина
E-mail: vik-roz@mail.ru
Статья поступила в редакцию 14 января 2014 г.
Рассмотрено движение броуновской частицы в двух циклически переключающихся пространственно-
периодических асимметричных потенциалах с периодом цикла, превышающим время релаксации. Пока-
зано, что при низких температурах направленное движение существует при чередовании положений аб-
солютных максимумов и минимумов двух потенциалов, а также при циклическом включении и выклю-
чении асимметричного потенциала. Полученные результаты выявляют роль диффузионных процессов и
силовых эффектов, возникающих при переключении потенциалов, в механизмах функционирования
броуновских моторов.
Розглянуто рух броунівської частинки у двох просторово-періодичних асиметричних потенціалах, що
циклічно перемикаються з періодом циклу, довшим за час релаксації. Показано, що за низьких темпера-
тур напрямлений рух існує при чергуванні положень абсолютних максимумів і мінімумів двох потенціа-
лів, а також при циклічному вмиканні та вимиканні асиметричного потенціалу. Отримані результати ви-
являють роль дифузійних процесів і силових ефектів, що виникають при перемиканні потенціалів, у
механізмах функціонування броунівських моторів.
PACS: 05.40.–a Флуктуационные явления, случайные процессы, шум и броуновское движение;
05.60.Cd Классический транспорт;
87.16.Nn Моторные белки.
Ключевые слова: броуновские моторы, белковые моторы, броуновское движение, флуктуационные явле-
ния, случайные процессы.
Броуновские моторы моделируют процессы воз-
никновения направленного движения наночастиц в от-
сутствие средних приложенных сил и градиентов кон-
центраций, которые обусловлены неравновесными
воздействиями различной природы. Эти воздействия
описываются стохастической или детерминистической
зависимостью потенциальной энергии частицы от вре-
мени, возникающей за счет изменения параметров са-
мой частицы (конформационного состояния, заряда,
мультипольных моментов) или внешних сил с нулевым
средним значением [1,2]. Броуновские моторы, подоб-
но обычным моторам, могут совершать полезную ра-
боту (против силы нагрузки или сил трения), отноше-
ние которой к энергии, подводимой в систему извне,
определяет эффективность их функционирования [3].
Наибольшей эффективностью характеризуются те бро-
уновские моторы, в которых изменения потенциальной
энергии частицы сопровождаются сдвигом их экстре-
мумов [4–6].
Интерес к броуновским моторам исторически воз-
ник при описании свойств белковых моторов [7,8].
Первоначально использовались модели сокращения
мышц, в которых сдвиг молекулы миозина относи-
тельно нити актина возникал непосредственно за счет
гидролиза АТФ (tight mechanochemical coupling) [9].
Рабочий ход (power stroke) такого белкового мотора не
связан с диффузионным (или термоактивационным)
движением частицы [10], и поэтому долгое время счи-
талось, что такие моторы (power stroke motors) не яв-
ляются броуновскими. Впоследствии оказалось, что
© В.М. Розенбаум, 2014
Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора
концепция броуновского мотора одинаково хорошо
применима к процессам со слабой и сильной механо-
химической связью, порождающей направленное дви-
жение [11]. В первом случае достаточно рассматривать
флуктуации потенциальной энергии с неизменными, а
во втором — с изменяющимися положениями экстре-
мумов [12].
Низкотемпературный предел средней скорости бро-
уновского мотора позволяет различать те процессы,
для которых диффузия играет доминирующую роль, и
те, для которых она не важна. Поскольку диффузион-
ное движение исчезает в пределе низких температур,
анализ низкотемпературного поведения броуновского
мотора дает ключ к разделению двух рассматриваемых
процессов. В данном сообщении получено простое яв-
ное выражение для средней скорости адиабатического
броуновского мотора, из которого следует ряд нетри-
виальных выводов о том, как чередование положений
экстремумов флуктуирующего потенциала обеспечи-
вает функционирование мотора и регулирует направ-
ление его движения. Отметим, что аналогичный анализ
адиабатического режима в низкотемпературном пределе
проводился в задаче о движении вихря в сверхпровод-
нике с периодическим потенциалом пиннинга [13,14].
Рассмотрим движение броуновской частицы, потен-
циальная энергия которой флуктуирует между двумя
периодическими (с периодами L) потенциальными
рельефами ( )U xσ ( 1σ = ± ) с настолько большими вре-
менами жизни στ , что в них успевает установиться
термодинамическое равновесие (адиабатическое при-
ближение). В адиабатическом приближении стирается
различие между стохастическим и детерминистиче-
ским переключением потенциальных рельефов [15],
так что флуктуационный процесс можно считать цик-
лическим с периодом 1 1−τ = τ + τ . Скорость движения
частицы v , усредненная за период τ флуктуаций по-
тенциальной энергии, выражается простым аналитиче-
ским соотношением [12,16,17]:
[ ] [ ]1 1 1 1
0 0
, ( ) ( ) ( ) ( )
L xLv dx q x q x dy y y− −= Φ Φ = − ρ −ρ
τ ∫ ∫ ,
(1)
где
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
0
1
0
exp ( )
( ) ,
exp ( )
exp ( )
( ) , ( ) ,
exp ( )
L
BL
U x
x
dx U x
U x
q x k T
dx U x
σ
σ
σ
σ −
σ
σ
−β
ρ =
−β
β
= β =
β
∫
∫
(2)
Bk — постоянная Больцмана, T — абсолютная темпе-
ратура.
Соотношение (1) справедливо, когда время установ-
ления равновесного распределения Максвелла в фазо-
вом пространстве скоростей /v mτ = ζ (m — масса час-
тицы, ζ — коэффициент трения) является самым
малым характеристическим временем системы, а пери-
од τ — самым большим. Можно выделить несколько
характеристических времен системы, определяющихся
временем диффузии 2 /D BL k Tτ = ζ на периоде потен-
циалов L , временем скатывания частицы 2 /s L Vτ = ζ
с максимумов потенциальных рельефов амплитуды V
и временем exp( / )b s BV k Tτ = τ ∆ преодоления локаль-
ных барьеров V∆ , если такие присутствуют в потенци-
альном профиле. В низкотемпературном приближении
предполагается, что Bk T V<< и s Dτ << τ , т.е. имеет
место доминирование движения в заданном потенци-
альном профиле над диффузионным движением. По-
скольку в рассматриваемом дихотомном процессе име-
ется два переключающихся потенциальных рельефа с
различными амплитудами, следует различать общий
случай ненулевых рельефов, когда низкотемператур-
ное приближение оправданно при v s bτ << τ < τ << τ, и
частный случай отсутствия потенциального рельефа в
одном из состояний дихотомного процесса (так назы-
ваемый on-off ratchet [1]), в котором v Dτ << τ << τ. Эти
два случая будут рассмотрены ниже раздельно.
Пусть aσ и bσ ( , (0, )a b Lσ σ ∈ ) соответственно обо-
значают координаты наименьшего минимума и наи-
большего максимума потенциального рельефа ( )U xσ
(рис. 1). Тогда в пределе низких температур функции
( )xσρ и ( )q xσ , входящие в соотношение (1), можно ап-
проксимировать дельта-функциями: ( ) ( ) ,x x aσ σρ = δ −
( ) ( )q x x bσ σ= δ − . Их подстановка в (1) приводит к
следующему результату:
[ ]
1
( ) ( )b a b aσ σ σ −σ
σ=±
Φ = θ − −θ −∑ , (3)
где ( )xθ — тэта-функция (равная 1 при 0x > , 1/2 при
0x = и 1− при 0x < ).
Наличие или отсутствие движения в низкотемпера-
турном пределе, а также направление этого движения
определяется относительным расположением четырех
экстремумов aσ и bσ ( 1σ = ± ). Прежде всего отметим,
что симметрия каждого потенциала накладывает опре-
деленное условие на их экстремумы, / 2a b Lσ σ− = ,
которое приводит к обращению средней скорости
движения в нуль, как и должно быть. Для потенциалов,
флуктуирующих по амплитуде, положения экстрему-
мов двух потенциалов совпадают: 1 1a a−= , 1 1b b−= ,
когда положения минимумов и максимумов одинаковы
в обоих потенциалах, и 1 1a b−= , 1 1b a−= , когда мини-
мум одного потенциала становится максимумом дру-
гого и наоборот. Легко проверить, что в этих случаях
0Φ = . Средняя скорость движения отлична от нуля
только при чередовании положений минимумов и мак-
симумов флуктуирующих потенциалов (круговые диа-
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 605
В.М. Розенбаум
граммы на рис. 1). Положительное и отрицательное
направления движения (левая и правая части рисунка)
соответствуют циклическому обходу экстремумов по
часовой стрелке и против нее. Анализ траекторий дви-
жения (стрелки вдоль и поперек профилей потенци-
альной энергии) показывает, что результирующее на-
правление движения определяется направлением от
максимума к минимуму какого-либо потенциала, меж-
ду которыми расположен максимум другого потенциа-
ла. При таком расположении экстремумов частица в
каждом потенциальном рельефе движется к мини-
мальной точке, минуя барьеры другого потенциала
благодаря переключениям между двумя потенциалами.
Рассмотрим случай, когда потенциальный рельеф в
одном из состояний дихотомного процесса отсутствует
(on-off ratchet): ( ) (1/ 2)( 1) ( )U x V xσ = σ + , ( ) ( )V x V x L= +
(рис. 2). Отсутствие потенциала при 1σ = − обеспечи-
вает в данном состоянии чисто диффузионное движе-
ние и равномерное равновесное распределение 1( )x−ρ =
1
1( )q x L−−= = . Используя в соотношении (1) это равно-
мерное распределение и распределения 1( ) ( ),x x aρ = δ −
1( ) ( )q x x b= δ − для состояния 1σ = в пределе низких
температур (где a и b — координаты наименьшего
минимума и наибольшего максимума функции ( )V x ),
получаем
1 sgn ( ) , sgn 2 ( ) 1
2
a b
a b x x
L
−
Φ = − − = θ −
. (4)
В результате диффузионной стадии движения в со-
стоянии 1σ = − (штриховые линии со стрелками на
рис. 2) частица может оказаться в минимумах потен-
циала 1( )U x , принадлежащих различным периодам L .
Эффективное среднее смещение частицы происходит в
направлении, соответствующем направлению от ми-
нимума к ближайшему максимуму потенциала 1( )U x .
При этом предполагается, что потенциал 1( )U x асим-
метричен, т.е. / 2a b L− ≠ .
Таким образом, функционирование адиабатических
броуновских моторов при низких температурах воз-
можно только при определенном расположении экс-
тремальных точек флуктуирующих потенциальных
профилей. Направленное движение возникает при че-
редовании положений их абсолютных максимумов и
минимумов, а также всегда, когда один из профилей
отсутствует, а второй является асимметричным. По-
скольку характерные времена релаксации системы за-
висят от формы потенциальных рельефов и растут с
Рис. 1. Механизм возникновения направленного движения направо и налево (левые и правые части рисунка) при переключе-
нии потенциалов. Движение при низких температурах становится возможным при чередовании положений максимумов и ми-
нимумов переключающихся потенциалов.
a1
a1
a1
a1
a–1 a–1
a–1 a–1
b–1 b–1
b–1b–1
b1 b1
b1 b1
Φ = 1 Φ = –1
0 0 L L x x
Uσ Uσ
U1 U1
U–1 U–1
Рис. 2. Низкотемпературный механизм возникновения на-
правленного движения при включении и выключении асим-
метричного потенциала.
0 b a L x
Uσ
U1
U–1
606 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5
Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора
уменьшением температуры, а адиабатичность процесса
обеспечивается достаточно длительными временами
жизни обоих потенциальных профилей (превышаю-
щими все времена релаксации), то средние скорости
направленного движения в рассматриваемом режиме
не будут очень малы только для профилей с одним
максимумом и минимумом на одном периоде. Прове-
денный анализ низкотемпературного поведения адиа-
батических броуновских моторов позволяет выявить
роль диффузионных процессов и силовых эффектов,
возникающих при переключении потенциалов, в меха-
низмах функционирования броуновских моторов.
Представленная работа была частично поддержана
грантом 3/14-H «Наномоторы на границе раздела фаз»
целевой комплексной программы фундаментальных
исследований НАН Украины «Фундаментальные про-
блемы наноструктурных систем, наноматериалов, на-
нотехнологий».
1. P. Reimann, Phys. Rep. 361, 57 (2002).
2. P. Hänggi and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys. 81, 387 (2009).
3. J.M.R. Parrondo and B.J. de Cisneros, Appl. Phys. A: Mater.
Sci. Process 75, 179 (2002).
4. J.-F. Chauwin, A. Ajdari, and J. Prost, Europhys. Lett. 27,
421 (1994).
5. A. Parmeggiani, F. Jülicher, A. Ajdari, and J. Prost, Phys.
Rev. E 60, 2127 (1999).
6. Yu.A. Makhnovskii, V.M. Rozenbaum, D.-Y. Yang, S.H. Lin,
and T.Y. Tsong, Phys. Rev. E 69, 021102 (2004).
7. J. Howard, Mechanics of Motor Proteins and the Cytoske-
leton, Sinauer Associates, Sunderland, MA (2001).
8. P.C. Bressloff and J.M. Newby, Rev. Mod. Phys. 85, 135 (2013).
9. A.F. Huxley, Prog. Biophys. 7, 255 (1957).
10. H. Wang and G. Oster, Appl. Phys. A: Mater. Sci. Process
75, 315 (2002).
11. V.M. Rozenbaum, D.-Y. Yang, S.H. Lin, and T.Y. Tsong,
J. Phys. Chem. B 108, 15880 (2004).
12. V.M. Rozenbaum, Yu.A. Makhnovskii, I.V. Shapochkina,
S.-Y. Sheu, D.-Y. Yang, and S.H. Lin, Phys. Rev. E 85,
041116 (2012).
13. V.A. Shklovskij and O.V. Dobrovolskiy, Phys. Rev. B 84,
054515 (2011).
14. V.A. Shklovskij, V.V. Sosedkin, and O.V. Dobrovolskiy,
J. Phys.: Condens. Matter 26, 025703 (2013).
15. В. М. Розенбаум, Письма в ЖЭТФ 88, 391 (2008) [JETP
Lett. 88, 342 (2008)].
16. J.M.R. Parrondo, Phys. Rev. E 57, 7297 (1998).
17. V.M. Rozenbaum, T.Ye. Korochkova, A.A. Chernova, and
M.L. Dekhtyar, Phys. Rev. E 83, 051120 (2011).
Low-temperature operational regime of an adiabatic
Brownian motor
V.M. Rozenbaum
Consideration concerns the motion of a Brownian
particle in two cyclically switching spatially periodic
asymmetric potentials, with the cycle period longer
than the relaxation time. It is shown for low tempera-
tures that directed motion occurs at the alternation of
the absolute maximum and minimum positions of the
two potentials as well as at the cyclic on/off switching
of an asymmetric potential. The results obtained eluci-
date the role of diffusion processes and force effects
arising from the potential switching in the operational
mechanisms of Brownian motors.
PACS: 05.40.–a Fluctuation phenomena, random
processes, noise, and Brownian motion;
05.60.Cd Classical transport;
87.16.Nn Motor proteins.
Keywords: Brownian motors, protein motors, Browni-
an motion, fluctuation phenomena, random processes.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 5 607
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-119503 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:11:28Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Розенбаум, В.М. 2017-06-07T05:50:04Z 2017-06-07T05:50:04Z 2014 Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора / В.М. Розенбаум // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 5. — С. 604-607. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0132-6414 PACS 05.40.–a, 05.60.Cd, 87.16.Nn https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119503 Рассмотрено движение броуновской частицы в двух циклически переключающихся пространственнопериодических асимметричных потенциалах с периодом цикла, превышающим время релаксации. Показано, что при низких температурах направленное движение существует при чередовании положений абсолютных максимумов и минимумов двух потенциалов, а также при циклическом включении и выключении асимметричного потенциала. Полученные результаты выявляют роль диффузионных процессов и силовых эффектов, возникающих при переключении потенциалов, в механизмах функционирования броуновских моторов. Розглянуто рух броунівської частинки у двох просторово-періодичних асиметричних потенціалах, що циклічно перемикаються з періодом циклу, довшим за час релаксації. Показано, що за низьких температур напрямлений рух існує при чергуванні положень абсолютних максимумів і мінімумів двох потенціалів, а також при циклічному вмиканні та вимиканні асиметричного потенціалу. Отримані результати виявляють роль дифузійних процесів і силових ефектів, що виникають при перемиканні потенціалів, у механізмах функціонування броунівських моторів. Consideration concerns the motion of a Brownian particle in two cyclically switching spatially periodic asymmetric potentials, with the cycle period longer than the relaxation time. It is shown for low temperatures that directed motion occurs at the alternation of the absolute maximum and minimum positions of the two potentials as well as at the cyclic on/off switching of an asymmetric potential. The results obtained elucidate the role of diffusion processes and force effects arising from the potential switching in the operational mechanisms of Brownian motors. Представленная работа была частично поддержана грантом 3/14-H «Наномоторы на границе раздела фаз» целевой комплексной программы фундаментальных исследований НАН Украины «Фундаментальные проблемы наноструктурных систем, наноматериалов, нанотехнологий». ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Письма pедактоpу Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора Low-temperature operational regime of an adiabatic Brownian motor Article published earlier |
| spellingShingle | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора Розенбаум, В.М. Письма pедактоpу |
| title | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора |
| title_alt | Low-temperature operational regime of an adiabatic Brownian motor |
| title_full | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора |
| title_fullStr | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора |
| title_full_unstemmed | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора |
| title_short | Низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора |
| title_sort | низкотемпературный режим функционирования адиабатического броуновского мотора |
| topic | Письма pедактоpу |
| topic_facet | Письма pедактоpу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119503 |
| work_keys_str_mv | AT rozenbaumvm nizkotemperaturnyirežimfunkcionirovaniâadiabatičeskogobrounovskogomotora AT rozenbaumvm lowtemperatureoperationalregimeofanadiabaticbrownianmotor |