On matrices associated to prime factorization of odd integers
In this paper we introduce in section 5 integral matrices M(n) for any factorization of an odd integer n into r
 distinct odd primes. The matrices appear in several versions according to a parameter ρ ϵ 2 [0, 1]; they have size
 2r * 2r and their rank satisfies e.g. for ρ = 1/2 the i...
Saved in:
| Published in: | Condensed Matter Physics |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Інститут фізики конденсованих систем НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119636 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | On matrices associated to prime factorization of odd integers / T. Bier // Condensed Matter Physics. — 2008. — Т. 11, № 4(56). — С. 723-747. — Бібліогр.: 3 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1862717372894281728 |
|---|---|
| author | Bier, T. |
| author_facet | Bier, T. |
| citation_txt | On matrices associated to prime factorization of odd integers / T. Bier // Condensed Matter Physics. — 2008. — Т. 11, № 4(56). — С. 723-747. — Бібліогр.: 3 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Condensed Matter Physics |
| description | In this paper we introduce in section 5 integral matrices M(n) for any factorization of an odd integer n into r
distinct odd primes. The matrices appear in several versions according to a parameter ρ ϵ 2 [0, 1]; they have size
2r * 2r and their rank satisfies e.g. for ρ = 1/2 the inequalities of theorem 4: r + 1 ≤ rank(M(n)) ≤ 2r⁻¹+1;
which are obtained using theorem 1 discussed separately in the first few sections. The cases ρ = 0, 1, 1/2 are
analyzed in some detail, and various counterexamples for ρ != 0, 1, 1/2 are included. There are several main
results, theorem 5 is a duality between the cases ρ = 0 and ρ = 1, and theorem 6 is a periodicity theorem.
The most important result perhaps is theorem 8 (valid for ρ = 1/2 only) on the existence of odd squarefree
integers n with r odd prime factors such that rank(M(n)) = r + 1 attains the lower bound shown previously.
В цiй роботi у параграфi 5 ми вводимо цiлочисельнi матрицi M(n) для довiльної факторизацiї непарного цiлого числа n на r рiзних непарних простих чисел. Матрицi мають декiлька версiй iндексованих параметром ρ ϵ 2 [0, 1], розмiром 2n * 2n, їх ранг задовiльняє, наприклад, для ρ = 1/2, нерiвнiсть з Теореми 4: r+1... , що одержується за допомогою Теореми 1, яка обговорюється окремо у перших параграфах. Випадки ρ = 0, 1, 1/2 аналiзуються бiльш детально, наводяться рiзноманiтнi приклади для ρ != 0, 1, 1/2. Подаємо ряд головних результатiв: Теорема 5, що описує дуальнiсть випадкiв ρ = 0 i ρ = 1, Теорема 6, що описує перiодичнiсть. Можливо найголовнiшою є Теорема 8 (дiйсна тiльки для ρ = 1/2) про iснування непарних, без квадратiв, цiлих чисел n з r непарними простими множниками, таких, що rank(M(n)) = r + 1, тобто досягає нижньої межi, згаданої вище.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:10:02Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-119636 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-324X |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T18:10:02Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут фізики конденсованих систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Bier, T. 2017-06-07T18:39:56Z 2017-06-07T18:39:56Z 2008 On matrices associated to prime factorization of odd integers / T. Bier // Condensed Matter Physics. — 2008. — Т. 11, № 4(56). — С. 723-747. — Бібліогр.: 3 назв. — англ. 1607-324X PACS: 02.10.Yn DOI:10.5488/CMP.11.4.723 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119636 In this paper we introduce in section 5 integral matrices M(n) for any factorization of an odd integer n into r
 distinct odd primes. The matrices appear in several versions according to a parameter ρ ϵ 2 [0, 1]; they have size
 2r * 2r and their rank satisfies e.g. for ρ = 1/2 the inequalities of theorem 4: r + 1 ≤ rank(M(n)) ≤ 2r⁻¹+1;
 which are obtained using theorem 1 discussed separately in the first few sections. The cases ρ = 0, 1, 1/2 are
 analyzed in some detail, and various counterexamples for ρ != 0, 1, 1/2 are included. There are several main
 results, theorem 5 is a duality between the cases ρ = 0 and ρ = 1, and theorem 6 is a periodicity theorem.
 The most important result perhaps is theorem 8 (valid for ρ = 1/2 only) on the existence of odd squarefree
 integers n with r odd prime factors such that rank(M(n)) = r + 1 attains the lower bound shown previously. В цiй роботi у параграфi 5 ми вводимо цiлочисельнi матрицi M(n) для довiльної факторизацiї непарного цiлого числа n на r рiзних непарних простих чисел. Матрицi мають декiлька версiй iндексованих параметром ρ ϵ 2 [0, 1], розмiром 2n * 2n, їх ранг задовiльняє, наприклад, для ρ = 1/2, нерiвнiсть з Теореми 4: r+1... , що одержується за допомогою Теореми 1, яка обговорюється окремо у перших параграфах. Випадки ρ = 0, 1, 1/2 аналiзуються бiльш детально, наводяться рiзноманiтнi приклади для ρ != 0, 1, 1/2. Подаємо ряд головних результатiв: Теорема 5, що описує дуальнiсть випадкiв ρ = 0 i ρ = 1, Теорема 6, що описує перiодичнiсть. Можливо найголовнiшою є Теорема 8 (дiйсна тiльки для ρ = 1/2) про iснування непарних, без квадратiв, цiлих чисел n з r непарними простими множниками, таких, що rank(M(n)) = r + 1, тобто досягає нижньої межi, згаданої вище. en Інститут фізики конденсованих систем НАН України Condensed Matter Physics On matrices associated to prime factorization of odd integers Про матрицi, зв’язанi з розкладом на простi множники непарних цiлих чисел Article published earlier |
| spellingShingle | On matrices associated to prime factorization of odd integers Bier, T. |
| title | On matrices associated to prime factorization of odd integers |
| title_alt | Про матрицi, зв’язанi з розкладом на простi множники непарних цiлих чисел |
| title_full | On matrices associated to prime factorization of odd integers |
| title_fullStr | On matrices associated to prime factorization of odd integers |
| title_full_unstemmed | On matrices associated to prime factorization of odd integers |
| title_short | On matrices associated to prime factorization of odd integers |
| title_sort | on matrices associated to prime factorization of odd integers |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119636 |
| work_keys_str_mv | AT biert onmatricesassociatedtoprimefactorizationofoddintegers AT biert promatricizvâzanizrozkladomnaprostimnožnikineparnihcilihčisel |