Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика

Исследована динамика легкоплоскостного ферромагнетика со спином S = 1 при конечных температурах и с учетом немалого квантового сокращения спина. Показано, что в рассматриваемом случае в системе, помимо известных двух мод — стандартной поперечной и продольной, возникает дополнительная ветвь возбужден...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Физика низких температур
Дата:	2014
Автори:	Бутрим, В.И., Космачев, О.А., Фридман, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2014
Теми:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119683
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика / В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 11. — С. 1243-1250. — Бібліогр.: 48 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-119683
record_format	dspace
spelling	Бутрим, В.И. Космачев, О.А. Фридман, Ю.А. 2017-06-08T05:08:40Z 2017-06-08T05:08:40Z 2014 Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика / В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 11. — С. 1243-1250. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. 0132-6414 PACS 75.10.Jm, 75.30.Gw, 72.55.+s https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119683 Исследована динамика легкоплоскостного ферромагнетика со спином S = 1 при конечных температурах и с учетом немалого квантового сокращения спина. Показано, что в рассматриваемом случае в системе, помимо известных двух мод — стандартной поперечной и продольной, возникает дополнительная ветвь возбуждений, наличие которой связано с ненулевой вероятностью переходов между возбужденными уровнями магнитного иона при конечных температурах. Проявления этой моды при низких температурах в значительной мере подавлены, поскольку заселенность возбужденного энергетического уровня экспоненциально убывает с понижением температуры. Однако при конечных значениях температуры, более низких, чем температура Кюри ТС, но сравнимых со значением обменного интеграла J, эта мода дает немалый вклад в поглощение энергии и обладает существенной дисперсией. Досліджено динаміку легкоплощинного феромагнетика із спіном S = 1 при кінцевих температурах і з урахуванням чималого квантового скорочення спіна. Показано, що в даному випадку в системі, окрім відомих двох мод — стандартної поперечної та поздовжньої, виникає додаткова гілка збуджень, наявність якої пов'язана з ненульовою вірогідністю переходів між збудженими рівнями магнітного іона при кінцевих температурах. Прояви цієї моди при низьких температурах значною мірою пригнічені, оскільки заселеність збудженого енергетичного рівня експоненціально убуває з пониженням температури. Проте при кінцевих значеннях температури, нижчих, ніж температура Кюрі TC, але порівнянних зі значенням обмінного інтеграла J, ця мода дає чималий вклад в поглинання енергії і має істотну дисперсію. The dynamics of an easy-plane S = 1 ferromagnetic was investigated at finite temperatures taking into account the considerable quantum reduction of the spin. It is shown that in the case considered, in addition to the two known modes, standard transverse and longitudinal, a new branch appears due to the nonzero probability of transitions of a magnetic ion between the excited energy levels at finite temperatures. This mode is highly suppressed at low temperatures, because the population of the excited energy level decreases exponentially with decreasing temperature. However, when the finite temperature is lower than the Curie temperature TC, but is comparable with the energy of the exchange integral J, this mode contributes considerably to the energy consumption and exhibits high dispersion. Авторы благодарят Б.А. Иванова за интерес к данной работе и полезные дискуссии. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Республики Крым в рамках научного проекта 14-42-01527 «р_юг_а» ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Низкотемпеpатуpный магнетизм Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика Temperature dependence of the spectra of elementary excitations for anisotropic S = 1 ferromagnetic Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика
spellingShingle	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика Бутрим, В.И. Космачев, О.А. Фридман, Ю.А. Низкотемпеpатуpный магнетизм
title_short	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика
title_full	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика
title_fullStr	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика
title_full_unstemmed	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика
title_sort	температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного s = 1 ферромагнетика
author	Бутрим, В.И. Космачев, О.А. Фридман, Ю.А.
author_facet	Бутрим, В.И. Космачев, О.А. Фридман, Ю.А.
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
publishDate	2014
language	Russian
container_title	Физика низких температур
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
format	Article
title_alt	Temperature dependence of the spectra of elementary excitations for anisotropic S = 1 ferromagnetic
description	Исследована динамика легкоплоскостного ферромагнетика со спином S = 1 при конечных температурах и с учетом немалого квантового сокращения спина. Показано, что в рассматриваемом случае в системе, помимо известных двух мод — стандартной поперечной и продольной, возникает дополнительная ветвь возбуждений, наличие которой связано с ненулевой вероятностью переходов между возбужденными уровнями магнитного иона при конечных температурах. Проявления этой моды при низких температурах в значительной мере подавлены, поскольку заселенность возбужденного энергетического уровня экспоненциально убывает с понижением температуры. Однако при конечных значениях температуры, более низких, чем температура Кюри ТС, но сравнимых со значением обменного интеграла J, эта мода дает немалый вклад в поглощение энергии и обладает существенной дисперсией. Досліджено динаміку легкоплощинного феромагнетика із спіном S = 1 при кінцевих температурах і з урахуванням чималого квантового скорочення спіна. Показано, що в даному випадку в системі, окрім відомих двох мод — стандартної поперечної та поздовжньої, виникає додаткова гілка збуджень, наявність якої пов'язана з ненульовою вірогідністю переходів між збудженими рівнями магнітного іона при кінцевих температурах. Прояви цієї моди при низьких температурах значною мірою пригнічені, оскільки заселеність збудженого енергетичного рівня експоненціально убуває з пониженням температури. Проте при кінцевих значеннях температури, нижчих, ніж температура Кюрі TC, але порівнянних зі значенням обмінного інтеграла J, ця мода дає чималий вклад в поглинання енергії і має істотну дисперсію. The dynamics of an easy-plane S = 1 ferromagnetic was investigated at finite temperatures taking into account the considerable quantum reduction of the spin. It is shown that in the case considered, in addition to the two known modes, standard transverse and longitudinal, a new branch appears due to the nonzero probability of transitions of a magnetic ion between the excited energy levels at finite temperatures. This mode is highly suppressed at low temperatures, because the population of the excited energy level decreases exponentially with decreasing temperature. However, when the finite temperature is lower than the Curie temperature TC, but is comparable with the energy of the exchange integral J, this mode contributes considerably to the energy consumption and exhibits high dispersion.
issn	0132-6414
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119683
citation_txt	Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика / В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 11. — С. 1243-1250. — Бібліогр.: 48 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT butrimvi temperaturnaâzavisimostʹspektrovélementarnyhvozbuždeniianizotropnogos1ferromagnetika AT kosmačevoa temperaturnaâzavisimostʹspektrovélementarnyhvozbuždeniianizotropnogos1ferromagnetika AT fridmanûa temperaturnaâzavisimostʹspektrovélementarnyhvozbuždeniianizotropnogos1ferromagnetika AT butrimvi temperaturedependenceofthespectraofelementaryexcitationsforanisotropics1ferromagnetic AT kosmačevoa temperaturedependenceofthespectraofelementaryexcitationsforanisotropics1ferromagnetic AT fridmanûa temperaturedependenceofthespectraofelementaryexcitationsforanisotropics1ferromagnetic
first_indexed	2025-11-25T22:33:23Z
last_indexed	2025-11-25T22:33:23Z
_version_	1850566825657499648
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11, c. 1243–1250 Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского пр. Вернадского, 4, г. Симферополь, 95007, Республика Крым E-mail: yuriifridman@gmail.com Статья поступила в редакцию 15 апреля 2014 г., опубликована онлайн 22 сентября 2014 г. Исследована динамика легкоплоскостного ферромагнетика со спином S = 1 при конечных температурах и с учетом немалого квантового сокращения спина. Показано, что в рассматриваемом случае в системе, по- мимо известных двух мод — стандартной поперечной и продольной, возникает дополнительная ветвь воз- буждений, наличие которой связано с ненулевой вероятностью переходов между возбужденными уровнями магнитного иона при конечных температурах. Проявления этой моды при низких температурах в значи- тельной мере подавлены, поскольку заселенность возбужденного энергетического уровня экспоненциально убывает с понижением температуры. Однако при конечных значениях температуры, более низких, чем температура Кюри ТС, но сравнимых со значением обменного интеграла J, эта мода дает немалый вклад в поглощение энергии и обладает существенной дисперсией. Досліджено динаміку легкоплощинного феромагнетика із спіном S = 1 при кінцевих температурах і з урахуванням чималого квантового скорочення спіна. Показано, що в даному випадку в системі, окрім відомих двох мод — стандартної поперечної та поздовжньої, виникає додаткова гілка збуджень, наявність якої пов'язана з ненульовою вірогідністю переходів між збудженими рівнями магнітного іона при кінцевих температурах. Прояви цієї моди при низьких температурах значною мірою пригнічені, оскільки заселеність збудженого енергетичного рівня експоненціально убуває з пониженням температури. Проте при кінцевих значеннях температури, нижчих, ніж температура Кюрі TC, але порівнянних зі значенням обмінного інтеграла J, ця мода дає чималий вклад в поглинання енергії і має істотну дисперсію. PACS: 75.10.Jm Квантовые спиновые модели, включая квантовую спиновую фрустрацию; 75.30.Gw Магнитная анизотропия; 72.55.+s Магнитоакустические эффекты. Ключевые слова: одноионная анизотропия, ферромагнетик, спектры магнонов. 1. Проблема повышения скорости работы систем магнитной электроники связана с поиском наиболее быстрых режимов движения магнитного момента и воз- можностью возбуждения таких режимов. Использова- ние фемтосекундных лазерных импульсов позволяет возбудить спиновые колебания с частотами порядка терагерц в прозрачных антиферромагнетиках [1–8] и реализовать нелинейные режимы с характерной ско- ростью разворота спинов до 0,5 рад/пс [9]. Для анти- ферромагнетиков (АФМ) характерные времена порядка пикосекунд не удивительны, они обусловлены так назы- ваемым обменным усилением динамических парамет- ров АФМ, которое проявляется для всех типов динами- ки, см. [10], включая динамику неодномерных солитонов типа магнитных вихрей [11,12], которые для ферромагнетика «вморожены в конденсат». Это усиле- ние приводит к обменно-релятивистским временам с характерной частотой ~ ,AFM Jω β где J — обмен- ный интеграл, β — энергия анизотропии. Таким обра- зом, в экспериментах [1–7] проявлялась стандартная спиновая динамика, представляющая собой прецессию спинов подрешеток и описываемая на основе сигма- модели для вектора антиферромагнетизма [6–12]. Однако еще в ранних работах для простых ферро- магнетиков была обнаружена продольная эволюция на- магниченности ,M связанная с изменением модуля \| \|M = M [13]. Недавно для ферримагнитного сплава GdFeCo обнаружено сверхбыстрое (за время порядка нескольких пикосекунд) изменение знаков намагничен- ностей подрешеток под действием лазерного импульса © В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман, 2014 mailto:yuriifridman@gmail.com В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман с длительностью меньше 100 фс [14,15]. Описание эф- фекта получено в рамках уравнений для спинов подре- шеток с обменным релаксационным слагаемым [16,17], которое было ранее введено Барьяхтаром [18,19], см. также недавний обзор [20]. В данном описании важно, что продольная эволюция спинов определяется чисто обменной «возвращающей силой», что и определяет большую скорость эффекта. В этом подходе эволюция спиновой системы магнетика описывается на базе замк- нутого уравнения для намагниченности ( , )tM r (урав- нения Ландау–Лифшица с релаксационным слагаемым Барьяхтара, для которого динамика модуля M отсут- ствует). При этом при достаточно низких температурах ,CT T<< где CT — температура Кюри, в такой системе число ветвей коллективных возбуждений (магнонов) совпадает с числом магнитных подрешеток, и для про- стого ферромагнетика есть только одна ветвь магнонов, отвечающая поперечным колебаниям намагниченности с \| \| const,sM= =M где sM — намагниченность на- сыщения. Иными словами, в рамках уравнений Барьях- тара продольная эволюция намагниченности имеет чис- то релаксационный характер, что важно для описания торможения солитонов [21], доменных стенок [22] и блоховских точек [23]. Таким образом, к настоящему моменту обнаруже- но два типа быстрой эволюции спинов: обменно- релятивистской для АФМ и продольной для ферро- магнетиков и ферритов. Последний является обмен- ным, но имеет чисто релаксационный характер; его проявление возможно только при немалых темпера- турах. Представляет интерес поиск режимов про- дольной динамики спинов, что выходит за рамки представлений феноменологической теории магнетиз- ма, которая базируется на уравнении Ландау–Лифшица для спинов. Однако такое феноменологическое описа- ние не всегда является полным. Еще Мория отметил [24], что наличие даже слабой одноионной анизотро- пии приводит к квантовому эффекту сокращения спина в основном состоянии магнетика. Суть этого эффекта состоит в том, что при 0T → наличие одноионной анизотропии (или биквадратичного обменного взаимо- действия) приводит к уменьшению модуля намагни- ченности, так что среднее значение модуля спина \| \| 1< > <S даже при 0.T → В динамике возникает до- полнительная мода, которая представляет собой свя- занные колебания модуля спина и так называемых квадрупольных спиновых переменных, которые пред- ставляют собой средние значения произведений ком- понент спина, что, по-видимому, впервые было отме- чено Гинзбургом [25]. Очевидно, что для полного описания такой динамики необходимо выйти за рам- ки простейшего феноменологического подхода, осно- ванного на применении замкнутого уравнения для намагниченности (или среднего значения оператора спина ).< >S Подобные исследования на основе раз- личных подходов проводились многими авторами [25–35]. Таким образом, необычный магнетизм, кото- рый не укладывается в рамки простого феноменоло- гического подхода с предположением о постоянстве длины намагниченности, продолжает интересовать исследователей, см. недавние работы [33–35]. Однако, насколько нам известно, динамические эффекты кван- тового сокращения спина при конечных температурах ранее не обсуждались. В недавних работах [36,37] было показано, что про- дольные колебания спина в негейзенберговских магне- тиках с сильным квантовым сокращением спина могут приводить к переориентации спинов, определяющейся обменным интегралом, за характерные времена. С этим связана практическая ценность специфических эффектов квантового сокращения спина. В настоящей работе проведен анализ спиновой динамики с учетом эффектов квантового сокращения при конечных тем- пературах в приближении среднего поля. 2. В качестве модели рассмотрим ферромагнетик с анизотропией типа «легкая плоскость» и спином маг- нитного иона S = 1, поскольку это минимальное значе- ние спина, при котором возможна реализация одноион- ной анизотропии. В качестве базисной (легкой) плоскости выберем плоскость ZOY. Рассматриваемая нами система не имеет выделенного направления в ба- зисной плоскости ZOY. Тем не менее для определенно- сти в качестве оси квантования выберем ось .z Тогда гамильтониан такой системы можно представить в виде ( )( ) ( )2 , 1 , 2 2 x n n n n n n J n n S′ ′ β′− − +∑ ∑S SH = (1) где 0J > — константа обменного взаимодействия ме- жду ближайшими узлами; i nS — i-я компонента спи- нового оператора в узле ;n 0β > — константа легко- плоскостной анизотропии. Поскольку нас интересует влияние одноионной анизотропии на температурную зависимость намагни- ченности, необходимо точно учесть эффекты, связан- ные с одноионной анизотропией, что требует выхода за рамки квазиклассического приближения, например, представления Голстейна–Примакова. Эти эффекты можно учесть, используя SU(3)-когерентные состоя- ния [26,29,33,38] либо технику операторов Хаббарда [39–41]. Применение операторов Хаббарда позволяет работать в широком температурном интервале и являет- ся наиболее адекватным математическим аппаратом для данной задачи. Операторы Хаббарда строятся на базисе собственных функций одноузельного гамильтониана, который в приближении среднего поля имеет вид ( )20 ( ) , 2 z x n nH n HS Sβ = − + (2) где 0 0 ,H J S= 0 .nn n J J ′ ′ = ∑ 1244 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11 Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика Решая одноузельную задачу с гамильтонианом (2), получим энергетические уровни магнитных ионов 1 cos 2 sin 2 , 4 E H β = − α + α 1 0cos 2 sin 2 , , 4 4 E H E− β β = α − α = (3) и волновые функции ( ) ( )1 cos 1 sin 1 , 0 0 ,Ψ = α + α − Ψ = ( )1 sin 1 cos 1 .Ψ − = − α + α − (4) Параметр α диагонализации гамильтониана (2) опре- деляется следующим образом: ( )22 /4sin 2 . /4H β α = − + β (5) На базисе собственных функций (4) построим опе- раторы Хаббарда ( ) ( ) ,M MX M M′ ′= Ψ Ψ связанные со спиновыми операторами следующим образом: ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 1 11 10 0 1 01 10 cos 2 sin 2 , 2 cos 2 sin , . zS X X X X S X X X X S S − − − − ++ − − − + = α − − α + = α + + α − = (6) _______________________________________________ Из (6) можно достаточно легко определить намагни- ченность (на один узел) как функцию температуры T: 2 2 2 2 2 2 2sh 4 . 2ch exp 4 4 4 z H T HS H H T T  β  +    =  β  β β    + + + −             (7) Используя (7), можно достаточно просто определить зависимость температуры Кюри CT от константы од- ноионной анизотропии, учитывая, что при CT T= на- магниченность становится равной нулю ( 0)zS = 1 0 0 0 0 1 2 ln . 2 1 4 cT J J J J −β + β  = β −    (8) Здесь и далее предполагается, что температура из- меряется в энергетических единицах, т.е. постоянная Больцмана равна единице. Из последнего соотношения следует, что при 04Jβ < температура Кюри принимает известное значение 02 /3.CT J≈ График зависимости температуры Кюри от константы анизотропии приве- ден на рис. 1. Как видно на этом рисунке температура Кюри возрастает с ростом константы анизотропии и достигает своего максимального значения при / 1,5,Jβ ≈ а затем быстро убывает. Такое поведение температуры Кюри связано с эффектом квантового сокращения спина. 3. Перейдем теперь к исследованию спектров эле- ментарных возбуждений. Хорошо известно, что полю- сы функции Грина сильно коррелированных систем определяют энергетический спектр возбуждений сис- темы [25,42,43]. В данном случае для получения спек- тров элементарных возбуждений воспользуемся моди- фицированным методом функций Грина, а именно ме- тодом функций Грина для операторов Хаббарда [30,44]. При этом в качестве малого параметра, позволяющего применить теорию возмущений, используется, как и в [43], обратный радиус взаимодействия. Введем мацубаровские функции Грина следующим образом [9]: ˆ( , ; , ) ( ) ( ) ,n nG n n TX X′ ′λλ λ λ ′′ ′ ′τ τ = − τ τ  где T̂ — оператор Вика, ( ) exp( ) exp( )n nX Xλ λτ = τ − τ H H — оператор Хаббарда в гейзенберговском представле- нии, 1 2 2 1 1 2 2 1, ,... , , ,... ;S SM M M+ +λ =α α α 0 int .= +H H H Дальнейшие вычисления будем проводить в при- ближении среднего поля, поэтому нам понадобится Рис. 1. Температурная зависимость относительной темпе- ратуры Кюри 0( / )CT J от относительной константы анизо- тропии 0( / ).Jβ Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11 1245 В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман только «поперечная» часть обменного гамильтониана int ,H которая имеет вид { }int , , , 1 ˆ( ), ( ) , 2 nn n n n n A X X ′λ λ ′ ′ ′ ′λ λ ′= − λ λ∑ c cH (9) где компоненты вектора ( )λc определяются из связи спиновых операторов с операторами Хаббарда, а мат- рица nnA ′ имеет вид 1 0 0 ˆ 0 0 1/2 . 0 1/2 0 nn nnA J′ ′    =       Тогда, система уравнений на функции Грина в им- пульсном представлении выглядит следующим образом: ( ) ( ), ,n nG ′ ′λλ λλω = Σ ω −k k ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )1 21 2 1 ˆ, , , , 2 n nA G ′λλ λ λ− Σ ω −λ λ ωk c k c k (10) и фурье-компоненты ( , )nG ′λλ ωk отличны от нуля только для четных частот 2 ,n nTω = π 0, 1, 2,... ,n = ± ± а собственно энергетические части могут быть сле- дующих типов: ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , .M M MM n n n n ′αβ α αΣ ω Σ ω Σ ω Σ ωk k k k Поскольку мы используем нулевое приближение по обратному радиусу взаимодействия, то система урав- нений для функций Грина существенно упрощается, поскольку в этом приближении ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,0 , ( ) , , , 0, , , n n n M M n n MM MM n b G n T αβ α ′αα α α ′ ′ ω Σ ω = δ α ω Σ ω = Σ ω = Σ ω = − δ k k k k где 1 0 ( ) [ ]n nG iα −ω = ω + Eα — нулевая функция Грина, 0( )b α = Xα — концевой множитель, α — корневой вектор, компоненты которого определяются алгеброй операторов Хаббарда [ , ] ( )MM pq pq n n Mp qM nX X X= δ − δ = ( , )( , )M p q np q X α= α [9,13], векторы E и X опреде- ляются следующим образом: 1 0 1( , , ),E E E−E = 11 00 1 1( , , ).X X X − −X = Следовательно, в нулевом при- ближении по обратному радиусу взаимодействия дис- персионное уравнение имеет вид det 0ij ijxδ + = ; ,i j = 1, 2, 3. (11) где 0 ( ) ( ) ( ),ij n ijx G b cα= ω α α ( , ) ( , ) ;ij ik kjc a Aα β = α β ( , ) ( , ) ( ).ik i ka c cα β = α −β Поскольку техника операторов Хаббарда позволяет точно учесть одноузельные корреляторы, дисперсион- ное уравнение справедливо при произвольных темпе- ратурах (исключая флуктуационную область). Таким образом, при 0T ≠ дисперсионное уравнение, опреде- ляющее спектр магнонов, можно записать в виде про- изведения 1 2 0Φ ⋅Φ = , где ( )22 2 2 2 10 1 10 1 1 2 2 10 sin 2 1 k k k E b J E b J E + α − + Φ = + + ε − ( )22 2 2 2 0 1 3 0 1 3 2 2 0 1 sin 2k k k E b J E b J E − − − + α − + + + ε − ( ) ( )( ) 2 2 2 10 0 12 1 3 2 2 2 2 10 0 1 1 sin 2 cos 2 2 , k k k k E E J b b E E − − + α − ε α + ε − ε − 2 1 1 2 5 2 2 1 1 2 sin 2 1 ,k k E J b E − − α Φ = + ε − (12) и введены обозначения ,ij i jE E E= − ,iE 1, 0, 1i = − определяется соотношениями (3), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01 0 –1 1 1 4 1 0 4 4 3 0 4 5 0 4 22 1, 0, 1 1 3 5 e e e e1, 1,0 , 2ch ( / ) e e e e e0,1, 1 , 2ch ( / ) e e e 2sh( / )1,0, 1 , 2ch ( / ) e , /4 , cos 2 cos 2 M EE T T T T T E E T T T T T E E T T T E T M b Z T b Z T Tb Z T Z e H S b b b − ξ β − − − β − β ξ − − − − β − − − β − − = − − − = − = = ξ + − − = − = = ξ + − ξ = − = = − ξ + = ξ = + β = α + = − ∑ X X X α α α .α Решения уравнений (12) 1 0Φ = и 2 0Φ = определяют спектры магнонов, дисперсионные соотношения име- ют следующий вид: ( ) ( )2 1 1 1 1 1 52 sin 2 ,kk E E b J− −ε = − α (13) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2,3 ,k a k a k b kε = ± − (14) где для сокращения записи обозначено ( ) ( ) 222 2 10 0 1 1 10 3 0 1 , 2 2 k k J SE E a k J b E b E− − + = + + + ( ) ( )( )210 0 1 1 0 1 3 10kb k E E J b E b E− −= + + − ( )22 2 1 0 1 3 10 sin 2 .kJ b E b E−− − α Таким образом, при конечных температурах в сис- теме реализуются три ветви элементарных возбужде- ний. Этот результат является достаточно неожидан- ным, поскольку обычно считается, что даже при полном 1246 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11 Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика описании магнетика со спином S в нем имеется 2S ветвей элементарных возбуждений [25–30]. Поскольку в данном случае 1,S = то число ветвей должно быть рав- но двум. Чтобы понять этот результат, рассмотрим слу- чай низких температур. При 0T → система находится в основном состоянии, т.е. максимально «заселенным» является нижайший энергетический уровень 1E (см. формулу (3)). При этом вероятность перехода магнитно- го иона в возбужденные состояния 0E и 1E− определя- ется концевыми множителями 1b и 5,b а вероятность перехода между возбужденными уровнями 0E и 1E− — концевым множителем 3.b При низких температурах 1 51, 1,b b −  а концевой множитель 3 0.b  Тогда решения дисперсионного уравнения (12) примут вид ( ) ( )2 1 1 1 1 1 2 sin 2 ,kk E E J− −ε = − α (15) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2,3 ,k a k a k b kε = ± − (16) где ( ) ( )2 2 2 2 10 10 0 1 1 2 1 sin 2 2 k ka k E J E J E −  = + + − α +   , ( ) ( )2 2 2 2 0 1 10 102 1 sin 2 .k kb k E E J E J−  = + + − α   Здесь учтено, что в случае низких температур 2 2 2cos 2 1 sin 2 .zS = α = − α Прежде всего рассмотрим продольную моду магно- нов (15), связанную с осцилляцией длины вектора на- магниченности. Эта мода обусловлена эффектом со- кращения спина, возникающего из-за наличия легкоплоскостной анизотропии [33,36,39,40]. Ее спектр в длинноволновом пределе можно представить в сле- дующем виде: ( ) 2 2 1 0 2 1 . 4 kJ k H J  β ε = + −       (17) Как видно, данная мода является высокочастотной. Решение дисперсионного уравнения 2ε представ- ляет собой голдстоуновскую моду и имеет вид ( )2 kε = 0 0[( /4) (1 sin 2 )][( /4) (1 sin 2 )].k kJ J J J= β + − − α β + − + α (18) Учитывая, что при низких температурах 0sin 2 ( /4 ),Jα = − β ветвь 2ε в длинноволновом преде- ле можно записать в виде 2 2 2 ( ) ( /2).k k kε = α α +β Наконец, решение 3 0 1E −ε = представляет собой локализованное состояние. Таким образом, при 0T → в системе остаются только две ветви элементарных возбуждений, одна из которых — «стандартная» голд- стоуновскую мода (см. (18)), а вторая — колебания модуля намагниченности (см. (17)), она связана с эф- фектом квантового сокращения спина. Теперь вернемся к случаю конечных температур: продольная ветвь возбуждений 1ε имеет вид (17), но при этом среднее поле 0 zH J S= зависит от темпе- ратуры (см. (7)). Графики зависимости 1( )kε при раз- личных температурах и значениях константы анизо- Рис. 2. Закон дисперсии для моды с энергией 1ε при различ- ных значениях температуры и константы анизотропии. Дан- ные для T/J: 0,1 (а), 0,3 (б) и 0,5 (в). Дисперсионные кривые для β/J: 0,25 (−−), 0,4 (⋅⋅⋅), 0,6 (- - -). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11 1247 В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман тропии приведен на рис. 2. Как видно на графиках, эта ветвь является высокочастотной со слабой дисперсией. Причем с ростом анизотропии и температуры диспер- сия возрастает, что соответствует формуле (17), дис- персионный член «усилен» константой анизотропии и, следовательно, с ростом анизотропии растет вклад дисперсионного слагаемого. Рассмотрим решения (16) дисперсионного уравне- ния. Поскольку эти решения достаточно громоздки, их аналитический анализ представляется достаточно сложным. Поэтому проведем его графически. На рис. 3 представлена зависимость энергий 2ε (сплошная ли- ния) и 3ε (штрихпунктирная линия) от волнового век- тора при различных значениях константы одноионной анизотропии и температуры. Как видно на рисунке при низких температурах и малых значениях константы анизотропии имеет ме- сто кроссовер, т.е пересечение голдстоуновской моды и локализованного состояния. С ростом температуры и константы анизотропии между этими состояниями возникает «расталкивание», и в результате возникают еще две ветви элементарных возбуждений. Причем величина расталкивания ветвей существенно зависит от константы одноионной анизотропии. Необходимо отметить, что точка кроссовера существенно зависит от константы одноионной анизотропии. Так, при 0β = точка кроссовера находится при / 1/2.Bk k = 4. Причину такого поведения спектров элементар- ных возбуждений системы легко понять из следующих простых соображений. При температурах, близких к нулю, магнитный ион находится в основном состоянии с энергией 1E , а вероятность перехода в возбужденные состояния 0E и 1E− отлична от нуля и определяется величинами 1b и 5b . Именно этими переходами обу- словлено возникновение голдстоуновской моды 2 ( )kε и моды 1( ),kε связанной с колебаниями длины вектора магнитного момента. Вероятность перехода магнитно- го иона из одного возбужденного состояния в другое возбужденное 0 1( )E E−↔ при низких температурах экспоненциально мала. С ростом температуры возрас- тает «заселенность» возбужденных энергетических уровней иона и, следовательно, возрастает вероятность перехода магнитного иона 0 1.E E−↔ Причем, вероят- ность такого перехода определяется величиной 3,b которая с ростом температуры существенно отличается от нуля. Именно этим обстоятельством объясняется возникновение ветви элементарных возбуждений ( )3 kε в случае конечных температур. Схематично данную ситуацию иллюстрирует рис. 4. Необходимо отметить, что с ростом температуры щель между воз- бужденными энергетическими уровнями 0E и 1E− уменьшается, т.е. рис. 4 является схематической иллю- страцией соответствующих процессов. Таким образом, отличная от нуля при конечных температурах вероятность переходов между возбуж- денными состояниями приводит к возникновению су- щественного расталкивания ветвей в точке кроссовера и реализации состояния 3ε как модового состояния. Рис. 3. Законы дисперсии ветвей 2ε и 3ε при различных соотношениях температуры и константы анизотропии, при низкой температуре и слабой анизотропии T/J = β/J = 0,1 (а), T/J = β/J = 0,5 (б). Рис. 4. Схема переходов между состояниями магнитного иона, важных для формирования коллективных мод, при 0T → и при конечной температуре 0T ≠ . 1248 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11 Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика Дополнительная ветвь возбуждений, по всей видимо- сти, обладает большим затуханием [45], но исследова- ние процессов релаксации не относится к теме настоя- щей работы. Как отмечалось в [36,37], величина добротности системы не является принципиальной для процессов перемагничивания лазерным фемтосекунд- ным импульсом. Кроме того, даже для экспериментов по возбуждению распространяющихся спиновых волн сфокусированным лазерным импульсом [46–48] по- добные возбуждения могут быть значительными вбли- зи пятна, существенно изменяя условия распростране- ния волн, что особенно проявляется при сильной фокусировке пятна [48]. Авторы благодарят Б.А. Иванова за интерес к данной работе и полезные дискуссии. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Республики Крым в рамках научного проекта 14-42-01527 «р_юг_а». 1. А. Kirilyuk, A.V. Kimel, and Th. Rasing, Rev. Mod. Phys. 82, 2731 (2010). 2. А.V. Kimel, A. Kirilyuk, A. Tsvetkov, R.V. Pisarev, and Th. Rasing, Nature 429, 850 (2004). 3. А.V. Kimel, A. Kirilyuk, P.A. Usachev, R.V. Pisarev, A.M. Balbashov, and Th. Rasing, Nature (London) 435, 655 (2005). 4. А.M. Kalashnikova, A.V. Kimel, R.V. Pisarev, V.N. Gridnev, A. Kirilyuk, and Th. Rasing, Phys. Rev. Lett. 99, 167205 (2007). 5. А.M. Kalashnikova, A.V. Kimel, R.V. Pisarev, V.N. Gridnev, P.A. Usachev, A. Kiriluk, and Th. Rasing, Phys. Rev. B 78, 104301 (2008). 6. T. Satoh, S.-J. Cho, R. Iida, T. Shimura, K. Kuroda, H. Ueda, Y. Ueda, B.A. Ivanov, F. Nori, and M. Fiebig, Phys. Rev. Lett. 105, 077402 (2010). 7. R. Iida, T. Satoh, T. Shimura, K. Kuroda, B.A. Ivanov, Y. Tokunaga, and Y. Tokura, Phys. Rev. B 84, 064402 (2011). 8. D. Bossini, A.M. Kalashnikova, R.V. Pisarev, Th. Rasing, and A.V. Kimel, Phys. Rev. B 89, 060405(R) (2014). 9. А.V. Kimel, B.A. Ivanov, R.V. Pisarev, P.A. Usachev, A. Kirilyuk, and Th. Rasing, Nature Phys. 5, 727 (2009). 10. Е.А. Туров, А.В. Колчанов, В.В. Меньшенин, И.Ф. Мирсаев, В.В. Николаев, Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков, Физматлит, Москва (2001). 11. B.A. Ivanov and G.M. Wysin, Phys. Rev. B 65, 134434 (2002). 12. E.G. Galkina, A.Yu. Galkin, B.A. Ivanov, and Franco Nori, Phys. Rev. B 81, 184413 (2010). 13. E. Beaurepaire, J.-C. Merle, A. Daunois, and J.-Y. Bigot, Phys. Rev. Lett. 76, 4250 (1996). 14. I. Radu, K. Vahaplar, C. Stamm, T. Kachel, N. Pontius, H.A. Dürr, T.A. Ostler, J. Barker, R.F. Evans, R.W. Chantrell, A. Tsukamoto, A. Itoh, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and A.V. Kimel, Nature 472, 205 (2011). 15. T.A. Ostler, J. Barker, R.F.L. Evans, R. Chantrell, U. Atxitia, O. Chubykalo-Fesenko, S.E. Moussaoui, L. Le Guyader, E. Mengotti, L.J. Heyderman, F. Nolting, A. Tsukamoto, A. Itoh, D.V. Afanasiev, B.A. Ivanov, A.M. Kalashnikova, K. Vahaplar, J. Mentink, A. Kirilyuk, Th. Rasing, and A.V. Kimel, Nat. Commun. 3, 666 (2012). 16. J.H. Mentink, J. Hellsvik, D.V. Afanasiev, B.A. Ivanov, A. Kirilyuk, A.V. Kimel, O. Eriksson, M.I. Katsnelson, and Th. Rasing, Phys. Rev. Lett. 108, 057202 (2012). 17. В.Г. Барьяхтар, В.И. Бутрим, Б.А. Иванов, Письма в ЖЭТФ 98, 327 (2013). 18. В.Г. Барьяхтар, ЖЭТФ 87, 1501 (1984). 19. V.G. Bar’yakhtar, Physica B 159, 20 (1989). 20. В.Г. Барьяхтар, А.Г. Данилевич, ФНТ 39, 1279 (2013) [Low Temp. Phys. 39, 993 (2013)]. 21. В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, Т.К. Соболева, А.Л. Сукстанский, ЖЭТФ 91, 1454 (1986) 22. V.G. Bar’yakhtar, B.A. Ivanov and K.A. Safaryan, Solid State Commun. 72, 1117 (1989). 23. E.G. Galkina, B.A. Ivanov, and V.A. Stephanovich, J. Magn. Magn. Mater. 118, 373(1993). 24. T. Morija, Phys. Rev. 117, 635 (1960). 25. С.Л. Гинзбург, ФТТ 12, 1805 (1970). 26. В.С. Островский, ЖЭТФ 91, 1690 (1986). 27. В.В. Вальков, С.Г. Овчинников, ТМФ 50, 466 (1982). 28. N.A. Mikushina and A.S. Moskvin, Phys. Lett. A 302, 8 (2002). 29. B.A. Ivanov and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. B 68, 052401 (2003). 30. Yu.A. Fridman, O.A. Kosmachev, A.K. Kolezhuk, and B.A. Ivanov, Phys. Rev. Lett. 106, 097202 (2011). 31. Yu.A. Fridman, D.V. Spirin, and Ph.N. Klevets, Phys. Status Solidi B 232, 264 (2002 32. В.М. Локтев, B.C. Островский, ФНТ 20, 983 (1994) [Low Temp. Phys. 20, 775 (1994)]. 33. V.G. Bar’yakhtar, V.I. Butrim, A.K. Kolezhuk, and B.A. Ivanov, Phys. Rev. B 87, 224407 (2013). 34. A. Smerald and N. Shannon, Phys. Rev. B 88, 184430 (2013). 35. M.Y. Kovalevsky and A.V. Glushchenko, J. Magn. Magn. Mater. 355, 192 (2014); М.Ю. Ковалевский, А.В. Глущенко, ФНТ 40, 560 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 435 (2014)]. 36. E.G. Galkina, V.I. Butrim, Yu.A. Fridman, B.A. Ivanov, and Franco Nori, Phys. Rev. B 88, 144420 (2013). 37. Е.Г. Галкина, Б.А. Иванов, В.И. Бутрим, ФНТ 40, 817 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 635 (2014)]. 38. B.A. Ivanov, R.S. Khymyn, and A.K. Kolezhuk, Phys. Rev. Lett. 100, 047203 (2008). 39. Ю.А. Фридман, О.А. Космачев, ФТТ 51, 1104 (2009). 40. Р.О. Зайцев, ЖЭТФ 68, 207 (1975). 41. Yu.N. Mitsay, Yu.A. Fridman, D.V. Spirin, and M.S. Kochmanski, Acta Phys. Pol. 97, 355 (2000). 42. В.Г. Барьяхтар, В.Н. Криворучко, Д.А. Яблонский, Функции Грина в теории магнетизма, Наукова думка, Киев (1984). 43. В.Г. Вакс, А.И. Ларкин, С.А. Пикин, ЖЭТФ 53, 1089 (1967). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11 1249 В.И. Бутрим, О.А. Космачев, Ю.А. Фридман 44. Yu.A. Fridman, O.A. Kosmachev, and Ph.N. Klevets, J. Magn. Magn. Mater. 320, 435 (2008). 45. Б.А. Иванов, А.Н. Кичижиев, Ю.Н. Мицай, ЖЭТФ 102, 618 (1992). 46. Y. Terui, T. Satoh, R. Moriya, B.A. Ivanov, K. Ando, E. Saitoh, T. Shimura, and K. Kuroda, Nature Phot. 6, 662 (2012). 47. S. Parchenko, A. Stupakiewicz, I. Yoshimine, T. Satoh, and A. Maziewski, Appl. Phys. Lett. 103, 172402 (2013) 48. Y. Au, M. Dvornik, T. Davison, E. Ahmad, P.S. Keatley, A. Vansteenkiste, B.Van Waeyenberge, and V.V. Kruglyak, Phys. Rev. Lett. 110, 097201 (2013). Temperature dependence of the spectra of elementary excitations for anisotropic S = 1 ferromagnetic V.I. Butrim, O.A. Kosmachev, and Yu.A. Fridman The dynamics of an easy-plane S = 1 ferromagnetic was investigated at finite temperatures taking into ac- count the considerable quantum reduction of the spin. It is shown that in the case considered, in addition to the two known modes, standard transverse and longi- tudinal, a new branch appears due to the nonzero probability of transitions of a magnetic ion between the excited energy levels at finite temperatures. This mode is highly suppressed at low temperatures, be- cause the population of the excited energy level de- creases exponentially with decreasing temperature. However, when the finite temperature is lower than the Curie temperature TC, but is comparable with the energy of the exchange integral J, this mode contrib- utes considerably to the energy consumption and ex- hibits high dispersion. PACS: 75.10.Jm Quantized spin models, including quantum spin frustration; 75.30.Gw Magnetic anisotropy; 72.55.+s Magnetoacoustic effects. Keywords: single-ion anisotropy, ferromagnetic, magnon spectra. 1250 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 11

Температурная зависимость спектров элементарных возбуждений анизотропного S = 1 ферромагнетика

Репозитарії

Схожі ресурси