Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
При нулевой температуре рассмотрена двумерная адиабатическая рэчет-динамика абрикосовских вихрей в симметричном периодическом потенциале пиннинга в присутствии постоянного и переменного транспортного тока и анизотропии вязкого движения вихрей. В рамках модели пилообразного потенциала пиннинга полу...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119691 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга / В.А. Шкловский, Джин-Тек Со // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 12. — С. 1348-1359. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-119691 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шкловский, В.А. Джин-Тек Со 2017-06-08T05:33:16Z 2017-06-08T05:33:16Z 2014 Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга / В.А. Шкловский, Джин-Тек Со // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 12. — С. 1348-1359. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0132-6414 PACS 74.25.Uv, 74.25.Wx, 74.25.Sv https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119691 При нулевой температуре рассмотрена двумерная адиабатическая рэчет-динамика абрикосовских вихрей в симметричном периодическом потенциале пиннинга в присутствии постоянного и переменного транспортного тока и анизотропии вязкого движения вихрей. В рамках модели пилообразного потенциала пиннинга получены и проанализированы точные аналитические формулы для двух анизотропных не- линейных вольт-амперных характеристик вдоль и поперек направления транспортного тока. Физическое происхождение этих нечетных по отношению к инверсии транспортного тока напряжений обусловлено взаимодействием между четным по отношению к инверсии магнитного поля эффектом направленного движения вихрей и асимметрией потенциала пиннинга, возникающей за счет его наклона постоянной составляющей транспортного тока. При нульовій температурі розглянуто двовимірну адіабатичну речет-динаміку абрікосовських вихорів у симетричному періодичному потенціалі пінінгу у присутності постійного та змінного транспортного струму і анізотропії в'язкого руху вихорів. У рамках моделі пилкоподібного потенціалу пінінгу отримано і проаналізовано точні аналітичні формули для двох анізотропних нелінійних вольт-амперних характеристик вздовж та поперек напряму транспортного струму. Фізичне походження цих непарних по відношенню до інверсії транспортного струму напруг обумовлено взаємодією між парним по відношенню до інверсії магнітного поля ефектом спрямованого руху вихорів та асиметрією потенціалу пінінгу, яка виникає за рахунок його нахилу постійної складової транспортного струму. The two-dimensional adiabatic ratchet dynamics of Abrikosov vortices in a symmetric periodic pinning potential is considered in the presence of a dc and ac transport currents and anisotropy of the viscous vortex motion at zero temperature. Exact analytical expressions for two anisotropic nonlinear current-voltage responses along and across the transport current direction are derived and analyzed in the framework of the washboard pinning potential model. The physical origin of these voltages that are odd with respect to the current direction reversal is caused by the interplay between the vortex guiding effect, which is even with respect to the magnetic field reversal, and the ratchet asymmetry owing to the tilt of the pinning potential by the dc component of the transport current. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга The guided vortex motion and the ratchet effect in an anisotropic superconductor with a periodic pinning potential Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| spellingShingle |
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга Шкловский, В.А. Джин-Тек Со Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| title_short |
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_full |
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_fullStr |
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_full_unstemmed |
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_sort |
направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| author |
Шкловский, В.А. Джин-Тек Со |
| author_facet |
Шкловский, В.А. Джин-Тек Со |
| topic |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| topic_facet |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The guided vortex motion and the ratchet effect in an anisotropic superconductor with a periodic pinning potential |
| description |
При нулевой температуре рассмотрена двумерная адиабатическая рэчет-динамика абрикосовских
вихрей в симметричном периодическом потенциале пиннинга в присутствии постоянного и переменного
транспортного тока и анизотропии вязкого движения вихрей. В рамках модели пилообразного потенциала пиннинга получены и проанализированы точные аналитические формулы для двух анизотропных не-
линейных вольт-амперных характеристик вдоль и поперек направления транспортного тока. Физическое
происхождение этих нечетных по отношению к инверсии транспортного тока напряжений обусловлено
взаимодействием между четным по отношению к инверсии магнитного поля эффектом направленного
движения вихрей и асимметрией потенциала пиннинга, возникающей за счет его наклона постоянной составляющей транспортного тока.
При нульовій температурі розглянуто двовимірну адіабатичну речет-динаміку абрікосовських вихорів
у симетричному періодичному потенціалі пінінгу у присутності постійного та змінного транспортного
струму і анізотропії в'язкого руху вихорів. У рамках моделі пилкоподібного потенціалу пінінгу отримано
і проаналізовано точні аналітичні формули для двох анізотропних нелінійних вольт-амперних характеристик вздовж та поперек напряму транспортного струму. Фізичне походження цих непарних по
відношенню до інверсії транспортного струму напруг обумовлено взаємодією між парним по
відношенню до інверсії магнітного поля ефектом спрямованого руху вихорів та асиметрією потенціалу
пінінгу, яка виникає за рахунок його нахилу постійної складової транспортного струму.
The two-dimensional adiabatic ratchet dynamics of
Abrikosov vortices in a symmetric periodic pinning
potential is considered in the presence of a dc and ac
transport currents and anisotropy of the viscous vortex
motion at zero temperature. Exact analytical expressions
for two anisotropic nonlinear current-voltage responses
along and across the transport current direction
are derived and analyzed in the framework of the
washboard pinning potential model. The physical
origin of these voltages that are odd with respect to the
current direction reversal is caused by the interplay between
the vortex guiding effect, which is even with respect
to the magnetic field reversal, and the ratchet
asymmetry owing to the tilt of the pinning potential by
the dc component of the transport current.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/119691 |
| citation_txt |
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга / В.А. Шкловский, Джин-Тек Со // Физика низких температур. — 2014. — Т. 40, № 12. — С. 1348-1359. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šklovskiiva napravlennoedviženievihreiiréčetéffektvanizotropnomsverhprovodnikesperiodičeskimpotencialompinninga AT džintekso napravlennoedviženievihreiiréčetéffektvanizotropnomsverhprovodnikesperiodičeskimpotencialompinninga AT šklovskiiva theguidedvortexmotionandtheratcheteffectinananisotropicsuperconductorwithaperiodicpinningpotential AT džintekso theguidedvortexmotionandtheratcheteffectinananisotropicsuperconductorwithaperiodicpinningpotential |
| first_indexed |
2025-11-26T22:50:33Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:50:33Z |
| _version_ |
1850779015932018688 |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12, c. 1348–1359
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в
анизотропном сверхпроводнике с периодическим
потенциалом пиннинга
В.А. Шкловский1,2, Джин-Тек Со1
1Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина
пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
E-mail: shklovskij@gmail.com; iloveukraine91@gmail.com
2Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт»
Институт теоретической физики, ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина
Статья поступила в редакцию 16 июня 2014 г., опубликована онлайн 22 октября 2014 г.
При нулевой температуре рассмотрена двумерная адиабатическая рэчет-динамика абрикосовских
вихрей в симметричном периодическом потенциале пиннинга в присутствии постоянного и переменного
транспортного тока и анизотропии вязкого движения вихрей. В рамках модели пилообразного потенциа-
ла пиннинга получены и проанализированы точные аналитические формулы для двух анизотропных не-
линейных вольт-амперных характеристик вдоль и поперек направления транспортного тока. Физическое
происхождение этих нечетных по отношению к инверсии транспортного тока напряжений обусловлено
взаимодействием между четным по отношению к инверсии магнитного поля эффектом направленного
движения вихрей и асимметрией потенциала пиннинга, возникающей за счет его наклона постоянной со-
ставляющей транспортного тока.
При нульовій температурі розглянуто двовимірну адіабатичну речет-динаміку абрікосовських вихорів
у симетричному періодичному потенціалі пінінгу у присутності постійного та змінного транспортного
струму і анізотропії в'язкого руху вихорів. У рамках моделі пилкоподібного потенціалу пінінгу отримано
і проаналізовано точні аналітичні формули для двох анізотропних нелінійних вольт-амперних характери-
стик вздовж та поперек напряму транспортного струму. Фізичне походження цих непарних по
відношенню до інверсії транспортного струму напруг обумовлено взаємодією між парним по
відношенню до інверсії магнітного поля ефектом спрямованого руху вихорів та асиметрією потенціалу
пінінгу, яка виникає за рахунок його нахилу постійної складової транспортного струму.
PACS: 74.25.Uv Вихревые фазы (включая вихревые решетки, вихревые жидкости и вихревые стекла);
74.25.Wx Вихревой пиннинг (включая механизмы и течение потока);
74.25.Sv Критические токи.
Ключевые слова: рэчет-эффект, анизотропия вязкости, периодический потенциал пиннинга, двумерная
динамика вихрей.
1. Введение
Как известно, резистивные свойства сверхпровод-
ников второго рода в смешанном состоянии опреде-
ляются динамикой вихрей, которая в присутствии
центров пиннинга (pinning — закрепление, пришпили-
вание) может быть описана как движение вихрей в не-
котором потенциале пиннинга [1]. В простейшем слу-
чае такой потенциал пиннинга предполагается
периодическим (ППП) и одномерным (1D). Однако
в таком подходе не учтены два важных для экспери-
мента обстоятельства. Одно из них связано с возмож-
ностью проанализировать не только одномерную, но
и двумерную (2D) динамику абрикосовских вихрей
в периодическом потенциале пиннинга типа «стираль-
ной доски» (WPP — washboard pinning potential) в том
случае, когда направление транспортного тока не сов-
падает с направлением «каналов» ППП. В таком слу-
чае появляется не только продольное, но и поперечное
напряжение, зависящее от угла α между направлением
тока и каналов ППП (см. рис. 1), а направления сред-
© В.А. Шкловский, Джин-Тек Со, 2014
mailto:shklovskij@gmail.com
mailto:iloveukraine91@gmail.com
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
ней скорости вихря и действующей на него движущей
силы Лоренца в общем случае не совпадают, т.е. пин-
нинг является анизотропным.
Второе обстоятельство связано с тем, что ранее не
было исследовано влияние возможной анизотропии
вязкого слагаемого в уравнении движения вихря на
двумерную динамику и резистивные свойства вихрево-
го ансамбля как на постоянном, так и на переменном
токе. Включение в рассмотрение анизотропии вязкости
связано с тем, что в большинстве ВТСП кристаллов
анизотропия в плоскости ab достаточно велика: на-
пример, для кристаллов YBCO величина магнитосо-
противления при движении вихрей вдоль осей a или b
может различаться более чем в два раза [2].
Следует отметить, что недавно в работе [3] в рамках
подхода Фоккера–Планка рассматривалась аналогичная
изучаемой в настоящей работе 2D задача при конеч-
ных температурах T и произвольной величине плотно-
сти постоянного тока, но в отсутствие анизотропии
вязкости. В статье [3], однако, не рассматривались рэ-
чет-эффект (ratchet — храповик) и гайдинг-эффект
(guiding — направляющий) в присутствии переменного
тока. Сравнение полученных там [3] и в настоящей ра-
боте результатов обсуждается в Заключении.
Перейдем теперь к обсуждению рэчет-эффекта в
динамике абрикосовских вихрей в сверхпроводниках
второго рода. В течение последних двух десятилетий
вихревые рэчеты, с которыми связана асимметричная
вихревая динамика, привлекают большое внимание
[3–16]. В сущности, вихревой рэчет — это система, где
абрикосовский вихрь может приобрести движение с
постоянной средней скоростью в асимметричном по-
тенциале пиннинга в присутствии детерминированных
и (или) стохастических сил, средние значения которых
по времени равны нулю (для детального рассмотрения
см. работы [4–6]). Асимметрия в потенциале пиннинга
рассматривается по отношению к инверсии направле-
ния тока. В принципе, есть два основных способа реа-
лизации такой асимметрии потенциала пиннинга. Пер-
вый — когда пространственная симметрия ППП может
быть нарушена сама по себе, т.е. ППП может быть
асимметричным в отсутствие постоянного тока. Вто-
рой способ заключается в том, что изначально симмет-
ричный ППП подвергается добавочной постоянной
движущей силе, возникающей за счет протекания по-
стоянного транспортного тока, что и приводит к эф-
фективному асимметричному потенциалу пиннинга —
случай, рассматриваемый в данной работе (см. ниже
рис. 3 в разд. 2.3.). Возникающая таким образом про-
странственная асимметрия изначально симметричного
ППП называется наклонным рэчетом (tilting ratchet).
Независимо от способа введения асимметрии в систему
с практической точки зрения общей чертой сверхпрово-
дящих рэчетов является их свойство выпрямления то-
ка: включение переменного тока в сверхпроводящий
образец с асимметричным ППП может привести к ус-
редненному по периоду переменной силы движению
вихря, направление которого определяется только
асимметрией потенциала пиннинга.
Следует отметить, что рэчет-эффект может быть
использован для удаления вихрей из низкотемператур-
ных сверхпроводников [7]. Недавно рэчет-эффект вих-
ревой решетки был экспериментально исследован в
пленках Nb, напыленных на решетку нанотреугольни-
ков из Ni, создающих асимметричный ППП [8]. По-
добные эффекты обсуждались также для сверхпрово-
дящих пленок YBa2Cu3O7–δ с антидотами [9]. Однако
из-за сложного вида асимметричных потенциалов в
этих работах последовательное теоретическое описа-
ние этих экспериментальных результатов отсутствует.
Ниже мы предлагаем рассмотреть простейшую мо-
дель рэчета, для которой в приближении одиночного
вихря существует полное теоретическое описание 2D
вихревой динамики с одноосным ППП. Задача будет
решаться в рамках элементарного подхода, соответст-
вующего подходу Фоккера–Планка при T = 0 [1]. Кро-
ме двух предельных случаев продольной и поперечной
геометрии, когда вихри движутся вдоль или поперек
каналов ППП, для всех промежуточных углов будет
учитываться появление не только продольного, но и
поперечного рэчет-эффекта, возникающего из-за на-
правленного движения вихря (guided vortex motion)
вдоль каналов ППП.
Рис. 1. (Онлайн в цвете) Система координат xy с единичными
ортами x и y связана с каналами потенциала пиннинга, кото-
рые параллельны оси y. Координатная система x′y′ связана с
направлением транспортного тока (вектор плотности тока j
направлен вдоль оси x′). α — угол между j и осью анизотро-
пии y; β — угол между векторами j и средней скорости 〈v〉;
<Fp> — средняя сила пиннинга; FL — сила Лоренца для вих-
ря; B — вектор магнитного поля.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1349
В.А. Шкловский, Джин-Тек Со
Целью настоящей работы является анализ двумер-
ной адиабатической рэчет-динамики абрикосовского
вихря в симметричном периодическом потенциале
пиннинга в присутствии постоянного и переменного
транспортного тока и наличия анизотропии вязкого
движения вихрей. В рамках модели пилообразного
потенциала пиннинга будут получены точные анали-
тические формулы для двух анизотропных нелинейных
вольт-амперных характеристик (ВАХ) вдоль и поперек
направления транспортного тока и проанализированы
их зависимости от параметров задачи.
План изложения работы следующий. В разд. 2.1.
обсуждается наиболее общая формулировка решаемой
задачи. Затем в разд. 2.2. изучается простой случай,
когда сила пиннинга равна нулю, т.е. вихри двигаются
в режиме течения магнитного потока (flux flow regime).
На примере этого случая выясняется роль анизотропии
вязкости, которая даже в отсутствие пиннинга приво-
дит к направленному движению вихрей, а также влия-
ние инверсии направления внешнего магнитного поля
на резистивные отклики. В разд. 2.3. анализируется
роль пиннинга в формировании продольных и попе-
речных резистивных откликов как на постоянном, так
и на переменном токе. В разд. 3 графически проанали-
зированы эти экспериментально наблюдаемые величи-
ны как функции угла α, постоянного тока смещения
плотностью j0, амплитуды переменного тока плотно-
стью j1 и анизотропии вязкости γ. В разд. 4 подробно
обсуждается предельный случай адиабатического ре-
жима, т.е. объясняются особенности откликов рэчета
на переменном токе на основе статических ВАХ. В
заключительном разд. 5 обсуждаются полученные ре-
зультаты и формулируются выводы.
2. Формулировка и анализ задачи
2.1. Общая формулировка решаемой задачи
Рассмотрим простейшую модель анизотропного
пиннинга, в которой можно достаточно наглядно опи-
сать поведение нелинейных продольного E|| и попе-
речного E⊥ электрических откликов как функции
плотности транспортного тока j, угла α между направ-
лением j и осью анизотропии потенциала пиннинга и
параметра анизотропии вязкости γ для случая, когда
температура образца равна нулю. Последнее обстоя-
тельство позволяет рассматривать задачу о динамике
вихря как чисто механическую, которая ввиду просто-
ты выбранного потенциала пиннинга вихрей позволяет
решить ее точно.
Для вычисления E||,⊥(j, α, γ) используем ту же схему
расчета, которая была описана в [1]. А именно, сначала
из уравнения движения вихря найдем его среднюю
скорость 〈v〉 как функцию транспортного тока и ос-
тальных параметров задачи, а затем найдем результи-
рующее электрическое поле E. Мы рассмотрим 2D
динамику вихря в плоскости xy, так как направление
вектора плотности транспортного тока j и каналов
ППП в общем случае не совпадают.
Итак, пусть ось x с ее ортом x (см. рис. 1) направле-
на перпендикулярно каналам ППП, а ось y с ортом y —
вдоль этих каналов. Уравнение движения для вихря,
который двигается со скоростью v, в магнитном поле
B = Bn, где B = |Β|, n = nz, z — орт в направлении оси z
и n = ±1, имеет вид
ˆ ,L pη = +v F F (1)
где 0Ф /( )L n c= ×F j z — сила Лоренца, ( )t= =j j
0 1 co ,s t= + ωj j где j0 и j1 есть амплитуды плотности
постоянного и переменного тока с частотой ω соответ-
ственно, Ф0 — квант магнитного потока [17], c — ско-
рость света, η̂ — тензор вязкости вихря. В уравнении
(1) ( )p pU x= −∇F — анизотропная сила пиннинга, а
( )pU x — планарный ППП.
Если x и y — координаты соответственно поперек
и вдоль оси анизотропии, то в xy-представлении тен-
зор η̂ диагонален, и удобно определить 0η и γ по
формулам
0 ,xx yyη = η η / ,xx yyγ = η η 0 ,xxη = η γ
0 / ,yyη = η γ (2)
где 0η — усредненный коэффициент вязкого трения,
γ — безразмерный параметр анизотропии.
2.2. Движение вихрей в режиме течения магнитного
потока
Рассмотрим сначала движение вихря в отсутствие
пиннинга (т.е. 0 .)p =F Уравнение движения вихря
имеет вид
0 0ˆ .Lη =v F (3)
В этом случае легко получить скорости вихря в проек-
циях на оси xy-системы координат (на постоянном токе)
0 0
0( ) ,x LxF= η γv 0 0
0 .y LyF= γ ηv (4)
Основной физической величиной, позволяющей оп-
ределить резистивные характеристики образца, т.е.
тензор сопротивления на постоянном токе, является
величина электрического поля, индуцируемого дви-
жущейся вихревой системой:
( ) ( )( )0 0 0 01/ / .y xc nB c= × = − +E B v x yv v (5)
Учтем далее, что экспериментально измеряемые ре-
зистивные отклики (продольный и поперечный по от-
ношению к направлению тока) связаны с 0
xE и 0
yE
откликами в системе координат xy простыми соотно-
шениями [1]:
1350 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
0 0 0
||
0 0 0
sin cos ,
cos sin ,
x y
x y
E E E
E E E⊥
= α + α
= − α + α
(6)
где 0 0( / )x yE nB c= − v и 0 0( / ) .y xE nB c= v
На постоянном токе в отсутствие пиннинга про-
дольные и поперечные (по отношению к направлению
тока j) отклики и магнитосопротивления соответствен-
но определены соотношениями
( )( )
( )( )
0 2 2 2
|| 0
0 2
0
/ sin cos ,
/ 1 sin 2 /2,
f
f
E j
E j⊥
= ρ γ γ α + α
= ρ γ − γ α
(7)
( )( )
( )( )
0 2 2 2
|| 0
0 2
0
/ sin cos ,
/ 1 sin 2 /2,
f
f⊥
ρ = ρ γ γ α + α
ρ = ρ γ − γ α
(8)
где 2
0 0 0/( )f BФ сρ ≡ η — удельное сопротивление те-
чения магнитного потока.
Так как в формулах (8) отсутствуют нечетные по
n = ±1 компоненты, то формулы (8) являются четными
по отношению к инверсии направления магнитного
поля В → −В.
Следует отметить, что соотношения (8) не зависят от
величины плотности транспортного тока, т.е. соответст-
вующие ВАХ линейны. Иными словами, оба отличных
от нуля резистивных отклика соответствуют режиму
течения магнитного потока [1], и разница между ними
состоит лишь в различной зависимости магнитосопро-
тивлений 0
|| ,ρ 0
⊥ρ от параметров α и γ. Включение в
рассмотрение потенциала пиннинга (см. следующий
раздел) существенно изменит последние выводы.
Рассмотрим теперь несколько простых, физически
различных предельных случаев, следующих из соот-
ношений (8). Как и следовало ожидать, видно, что в
отсутствие анизотропии (γ = 1) динамика вихря изо-
тропна (т.е. не зависит от угла α) и соответствует не
зависящему от инверсии направления магнитного
поля режиму течения потока, когда отлична от нуля
единственная продольная (четная по отношению
к замене В → −В) компонента магнитосопротивления
0
|| 0.fρ = ρ
Наличие анизотропии вязкости (γ ≠ 1) приводит
к появлению нового, четного по отношению к инвер-
сии В → −В магнитосопротивления 0 ,⊥ρ приводящего
к анизотропии движения вихрей, т.е. несовпадению
направлений v и FL. Соответствующую четную анизо-
тропию удобно характеризовать углом β, который оп-
ределяется соотношением
0 0 2 2
||ctg / ( 1)/( tg ctg ).⊥β = −ρ ρ = γ − γ α + α (9)
По аналогии с появлением направленного движения
вихрей при наличии одноосного ППП [18] (в отсут-
ствие эффекта Холла и анизотропии вязкости) угол β
можно трактовать аналогично таковому для guiding-
эффекта в задаче о пиннинге. Поведение β и ctg β, сле-
дующее из уравнения (9), было рассмотрено в работе
[19] более подробно.
2.3. Продольные и поперечные резистивные отклики
при наличии пиннинга
При формулировке модели мы предположили, что
притяжение вихря к дефекту может быть описано по-
тенциалом пиннинга ( ),pU x который будем считать
зависящим только от координаты x и периодическим,
так что ( 2( ,) )p pU xx U a= + где 2a — период. Тогда
сила пиннинга Fp всегда направлена вдоль оси анизо-
тропии x и не имеет составляющей в направлении
вдоль оси y, т.е. 0.pyF = Ниже мы для простоты ис-
пользуем изображенный на рис. 2 пилообразный ППП
кусочно-линейного вида:
( )
,
( )
2 ,
p
p
p
F x
U x
F x a
−=
−
0 ,
2 ,
x a
a x a
≤ ≤
≤ ≤
(10)
где 2a — ширина потенциальной ямы канала и период.
Так как ( ) ,p pU x= −∇F то отсюда следует, что
,p pF F+ = а ,p pF F− = − где индексы (±) соответствуют
левой и правой частям потенциальной ямы (т.е.
p pF F± = ± ).
Элементарная «потенциальная яма» для Up(x) (см.
рис. 2 или на рис. 3 «исходный потенциал») такого
вида состоит из двух половин — в левой половине на-
правление силы пиннинга pF+ совпадает с направле-
нием оси x, а в правой pF− — противоположно ей. То-
гда очевидно, что в отсутствие движущей силы F
Рис. 2. Симметричный пилообразный потенциал пиннинга
Up(x): 2a — период потенциала (ширина каналов потенциа-
ла), a — координата минимума потенциальной ямы и U0 —
глубина потенциальной ямы.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1351
В.А. Шкловский, Джин-Тек Со
(например, силы Лоренца FL) при T = 0 вихрь локали-
зуется на дне ям (координаты a + 2ka, где k = 0, ±1, ±2,
…), которому соответствует величина глубины потен-
циальной ямы U0, т.е. он не может двигаться, посколь-
ку не в состоянии преодолеть потенциальные барьеры.
Пусть теперь в направлении оси x действует постоян-
ная сила F так что дополнительный потенциал, связан-
ный с нею, есть UF(x) = −Fx (см. на рис. 3 «смеще-
ние»). Так как суммарный потенциал, действующий на
вихрь, есть U(x) = Up(x) – Fx, и с ростом F он дефор-
мируется таким образом, что сначала исходная яма
наклоняется с сохранением положения вихря на дне
асимметричной ямы (см. на рис. 3 «докритический на-
клон»), а затем при pF F±≥ исчезают барьеры для
движения вихрей вдоль положительного направления
оси x, т.е. вихрь получает возможность двигаться в
направлении движущей силы (см. на рис. 3 «критиче-
ский наклон» и «сверхкритический наклон»).
Итак, если используемый ППП симметричный,
т.е. Up(−x) = Up(x), он может проявить свойства рэчета
только при наличии внешнего смещения постоянной
силы F, вызывая его наклон. В зависимости от значе-
ния смещения F при отсутствии переменной силы при
T = 0 в движении вихря возникают два качественно
различных режима. (1) Если F < Fp, хотя исходная по-
тенциальная яма наклонена, она сохраняет среднее
положение вихря, т.е. вихрь находится в локализован-
ном состоянии и его скорость v = 0. При критическом
значении наклона, т.е. когда F = Fp, правая сторона
потенциального барьера исчезает. (2) Наконец, когда
F > Fp, направление движения вихря совпадает с на-
правлением движущей силы F, т.е. вихрь оказывается
двигающимся в направлении оси x с осциллирующей
мгновенной скоростью v(x).
Для того чтобы найти ВАХ при F ≡ FL > Fp, необ-
ходимо найти из уравнения (1) среднюю скорость вих-
ря 〈v〉 в потенциале U(x). Для этого запишем уравнение
(1) в проекциях на оси координат:
0
0
0
,
,
( / ) ,
x Lx p Lx p
x Lx p Lx p
y Ly
F F F F
F F F F
F
+ +
− −
η γ = + = +
η γ = + = −
η γ =
v
v
v
(11)
где первые два уравнения для x принадлежат интерва-
лам (+) и (−) соответственно. Отсюда значения vx в
каждом из интервалов (+), (−) (см. рис. 2) будут
0( ) ( ).x Lx pF F± = ± η γv (12)
Зная значения скорости vx на каждом из интервалов,
легко найти время движения вихря на каждом из них:
0/ /( ),x Lx pT a a F F±
± = = η γ ±v (13)
а затем, используя (13), по формуле 〈vx〉 = 2a/(T+ + T−)
вычислить среднюю скорость вдоль оси x:
0[ /( )] ( )x Lx p LxF F= η γ ⋅νv для ,Lx pF F> (14)
где анизотропная эффективная подвижность вихря νp
дается формулой
2( ) 1 ( / )p Lx p LxF F F ν = − для .Lx pF F> (15)
Итак, средняя скорость 〈vx〉 для Lx pF F> (14) равна
произведению двух сомножителей. Первый множитель
0/( )LxF η γ в формуле (14) соответствует скорости вих-
рей в режиме течения магнитного потока, когда влияние
пиннинга отсутствует (см. формулу (4)). Второй множи-
тель νp в формуле (14), который имеет физический
смысл вероятности вихря преодолеть потенциальный
барьер, созданный каналами асимметричного потен-
циала пиннинга, является безразмерной функцией от-
ношений ,( )/p LxF F такой, что 0 ≤ νp ≤ 1 (см. формулу
(15)). Если же ,Lx pF F< то 〈vx〉 = 0.
Перейдем от функции ( )p LxFν в зависимости от дви-
жущей силы к зависимости функции νp(j, α) от плотности
тока и угла. Если вихрь обтекается транспортным током
плотностью j, то на единицу его длины действует сила
Лоренца 0(1/ ) ,L c= ×F j Ф где j — плотность транспорт-
ного тока в месте, где расположена сердцевина вихря,
0 0Ф ,=Ф n где n — единичный вектор вдоль направле-
ния магнитного поля, а 0Ф — квант магнитного потока
[17]. Тогда, учитывая, что ( )y xn j j× = −j n x y
и ,L Lx LyF F= +F x y определим компоненты силы Ло-
ренца на оси x и y:
Рис. 3. (Онлайн в цвете) Изменение эффективного потенциа-
ла пиннинга U(x) ≡ Up(x) – Fx с постепенным увеличением
компоненты движущей силы F в направлении x, где Up(x) —
представленный на рис. 2 периодический потенциал пиннин-
га с его глубиной U0 и периодом 2a.
1352 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
0 0( / ) ( / ) cos ,Lx yF n c j n c j= Φ = Φ α
0 0( / ) ( / ) sin .Ly xF n c j n c j= − Φ = − Φ α (16)
Зависящая от плотности тока j и угла α средняя ско-
рость 〈vx〉 тогда дается формулой
0[ /( )] ( , ),x Lx pF j= η γ ⋅ν αv (17)
где
21 [ ( )/ ] ,( , )
0,
c
p
j jj
− αν α =
( ),
( ),
c
c
j j
j j
> α
< α
( ) (0)/ cos ,c cj jα ≡ α (18)
есть зависящая от плотности тока j и угла α анизо-
тропная эффективная подвижность вихря. При вычис-
лении (18) мы учли, что [( / ) / ,( ) ]p Lx cF F j j= α где
( )cj α — критическая плотность тока для угла α. Из
третьего уравнения (11) следует, что
0/ .y LyF= γ ηv (19)
Воспользуемся теперь формулой
(1/ )c= ×E B v (20)
для того, чтобы вычислить наблюдаемые на опыте
продольное E|| и поперечное E⊥ поля двумерной дина-
мики вихрей через 〈vx〉 и 〈vy〉, даваемые формулами
(17) и (19). Возникшее течение магнитного потока соз-
дает по закону электромагнитной индукции Фарадея
электрическое поле E. Предварительно соотношения-
ми || /j≡e j и ||⊥ ≡ ×e z e введем систему координат, оси
которой параллельны и перпендикулярны вектору
плотности транспортного тока j (см. рис. 1). Тогда
|| || ,E = ⋅E e .E⊥ ⊥= ⋅E e (21)
Воспользовавшись теперь тем, что E = Exx + Eyy и
формулой (20), легко получить
( )
( )
|| sin cos ( / ) sin cos ,
cos sin ( / ) cos sin .
x y y x
x y y x
E E E nB c
E E E nB c⊥
= α+ α = − α+ α
= − α+ α = α+ α
v v
v v
(22)
Подставляя в (22) формулы (17) и (19) и учтя еще
выражения (16) для FLx и FLy, мы получим
_____________________________________________________
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
|| 0 || ||
2
0
, , ( ) sin , cos ,
, , ( ) , sin 2 /2 ,
a b
f p
a b
f p
E j j j E j E j
E j j j E j E j⊥ ⊥ ⊥
α γ = ρ γ γ α + ν α α ≡ +
α γ = ρ γ ν α − γ α ≡ +
(23)
________________________________________________
где 2
0 0 0Ф /( )f B cρ ≡ η — удельное сопротивление те-
чения магнитного потока, а правые части обоих урав-
нений (23) определены в следующем разделе форму-
лами (24). Если 1( ) ,p jν = то мы возвращаемся
к формуле (7), т.е. к случаю отсутствия пиннинга.
3. Графический анализ откликов
Рассмотрим теперь движение вихря в адиабатиче-
ском приближении для простейшей модели пилооб-
разного симметричного потенциала пиннинга, который
наклоняется смещением постоянного тока. Наша
цель заключается в качественном объяснении, почему
выпрямленное напряжение постоянного тока появля-
ется в отклике на включение переменного тока j1.
Для этого сначала рассмотрим ВАХ на постоянном
токе для симметричного потенциала пиннинга в отсут-
ствие начального наклона, а именно, уравнения (23), в
которых мы разделим продольную и поперечную ВАХ
на две элементарные ( ) fE j j= и ( ) ( )p pE j j j= ν с
соответствующими коэффициентами, даваемыми сле-
дующими формулами:
_____________________________________________________
|| ||( ) ( ,)
( ) ( ,)
a a
f
a a
f
E E
E
j
j jE
j
⊥ ⊥
= ρ
= ρ
|| || ,( ) ( )
( ,( ) )
b b
p
b b
p
E E
E
j
j jE
j
⊥ ⊥
= ρ
= ρ
2
|| 0
0
sin ,
sin 2 2,
a
f
a
f⊥
ρ ≡ ρ γ α
ρ ≡ −ρ γ α
2
|| 0
0
cos ,
sin 2 2 .
b
f
b
f⊥
ρ ≡ ρ α γ
ρ ≡ ρ α γ
(24)
________________________________________________
Добавив теперь к j смещение постоянного тока j0,
видим, что исходная задача о вычислении рэчет-откли-
ков 0|| ( )E j j+ и 0( )E j j⊥ + сводится к вычислению ли-
нейных комбинаций (с коэффициентами ||,
a
⊥ρ и ||, )b
⊥ρ
рэчет-откликов только на двух простейших ВАХ:
0 0( )fE j j j j+ = + и 0 0 0( ) ( ) ( ).p pE j j j j j j+ = + ν +
Из уравнения (18) следует, что ( )p jν — четная
функция по отношению к j, т.е. ( ) ( ),p pj jν = ν − и то-
гда из уравнений (23) следует, что ВАХ ,|| ( )E j⊥ яв-
ляются нечетными, т.е. , ,|| ||( ) ( ).E j E j⊥ ⊥= − − Функции
( )p jν и ,|| ( )E j⊥ для конкретных значений jc(0) = 1,
/4α = π и 0,6γ = приведены на рис. 4(а) и 4(б), (в) со-
ответственно.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1353
В.А. Шкловский, Джин-Тек Со
4. Асимметрия статической ВАХ и адиабатический
рэчет-эффект
Цель этого раздела двоякая. Во-первых, покажем,
как асимметрия статической ВАХ относительно изме-
нения направления транспортного тока связана с появ-
лением адиабатического рэчет-эффекта, т.е. с возник-
новением постоянного напряжения на образце, через
который пропускается переменный ток. Во-вторых,
вычислим величину рэчет-отклика образца как функ-
цию амплитуды переменного тока применительно к
ВАХ, создаваемой пилообразным потенциалом пин-
нинга, рассмотренным ранее в разд. 2.3. (в данном раз-
деле рассмотрим 1D случай (т.е. α = 0) в отсутствие
анизотропии γ = 1).
4.1. Симметричная ВАХ — ток смещения j0 равен нулю
Рассмотрим сначала динамику вихрей в образце с
периодическим симметричным потенциалом пиннинга
Up(x) таким, что Up (x) = Up(− x) и Up(x) = Up(x + 2a),
где 2a — период ППП, по которому протекает по-
стоянный ток плотностью j. Тогда вычисление сред-
ней скорости вихрей при j > jc(0), где jc (0) есть ве-
личина критического тока для α = 0, приведет к
ВАХ Ep(j), схематический вид которой показан на
рис. 5, где – ∞ < j < ∞.
Здесь для простоты используются безразмерные
единицы напряженности электрического поля Ep и
плотности тока j такие, что при j → ∞ Ep = j. Из-за нали-
чия пиннинга появляется область токов, где Ep(j) = 0,
которую в дальнейшем будем называть «щелью ВАХ»
шириной Δ = 1 + |–1| = 2 (jc(0) = 1), а интервал ее суще-
ствования по j обозначим ( )1,1 .∆ ≡ − Если щель для
Ep(j) стремится к нулю (что эквивалентно обращению
в нуль потенциала пиннинга), то Ep(j) → Ef (j) = j (см.
текст перед формулой (24)). Тогда в силу нечетности
Ef (j) по j имеем ( ) 0r
fE j = (среднее значение отклика).
Ep(j), кроме Δ, имеет еще две ветви: Ep(j) > 0 для j > 1 и
Ep(j) < 0 для j < −1. В целом очевидно, что Ep(j) = −Ep(− j),
т.е. Ep(j) — нечетная функция j.
Если j = j1cosωt, где j1 — амплитуда, а ω — частота
переменного тока, то величина рэчет-напряженности
постоянного электрического поля r
pE в адиабатиче-
ском приближении определяется формулой
[ ]
2
1 1
0 0
(1/ ) ( cos ) 1/(2 ) ( cos ),
T
r
pE T dtE j t dxE j x
ω π
ω= ω = π∫ ∫
(25)
где Tω = 2π/ω есть период переменного тока j1(t) и ωt ≡ x.
Из физических соображений очевидно, что для ВАХ,
изображенной на рис. 5, 0,r
pE = если j1 < 1. Более того,
Рис. 4. Функции νp(j) (a) и E||,⊥(j) (б), (в) в отсутствие наклона
при нулевой температуре; здесь jc(0) = 1, α = π/4 и γ = 0,6.
Рис. 5. (Онлайн в цвете) Симметричная вольт-амперная ха-
рактеристика Ep(j) при α = 0.
1354 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
в силу нечетности Ep(j), 0r
pE = и для j1 > 1. Если же
мы рассмотрим ВАХ общего вида E(j) = E+(j) + E−(j),
где E±(j) = [E(j) ± E(−j)]/2 есть четная и нечетная части
ВАХ, т.е. E±(j) = ±E±(−j), то легко показать [10], что
только четная часть ВАХ E+(j) приводит к появлению
Er ≠ 0. Есть два простых способа сделать статическую
ВАХ такой, что 0,r
pE ≠ т.е. допускающей рэчет-
эффект: (1) считать исходный ППП асимметричным
(например, если зубья пилообразного ППП имеют раз-
ный наклон, см. [3]), (2) для симметричного ППП вклю-
чить дополнительный постоянный «ток смещения
ВАХ» j0, так что ППП становится наклонным, из-за чего
критические токи образца различны для положительно-
го и отрицательного значения j. В настоящей работе мы
исследуем только второй случай, как наиболее простой.
4.2. Асимметричная ВАХ с j0 ≠ 0 — качественный
анализ
Рассмотрим сначала рэчет-эффект для 0( )fE j j+ =
0.j j= + Тогда, используя формулу (25), легко пока-
зать, что ( )1 0 0, .r
fE j j j= Отметим также, что этот ре-
зультат очевиден из вида ВАХ 0fE j j= + при j =
= j1cosωt, где j1 → 0.
Переходя теперь к рассмотрению рэчет-эффекта для
Ep(j + j0) будем считать сначала, для простоты, плот-
ность тока смещения 0 < j0 < 1, и рассмотрим Ep(j + j0)
как функцию j. Тогда на рис. 6 границы щели (по срав-
нению с рис. 5) смещаются влево на величину j0, т.е.
( )0 01 ,1 .j j∆ = − − −
Теперь уже Ep(j + j0) не есть ни четная, ни нечетная
функция j, но может быть разложена стандартным об-
разом на сумму четной и нечетной [10]. Если рассмат-
ривать снова j = j1cosωt, то из данных рис. 6 следует,
что в зависимости от величины j1 имеются три области
на оси j, в которых отклик Ep(j1cosωt + j0) ведет себя
качественно различно. Именно, если j1 < 1 − j0, то Ep = 0.
Для 1 − j0 < j1 < 1 + j0 имеется только положительный
отклик Ep > 0, а для j1 > 1 + j0 сосуществуют как Ep > 0,
так и Ep < 0, причем в силу асимметрии щели |Ep(j1, j0) <
< 0| < (Ep(j1, j0) > 0) при достаточно малом превыше-
нии порога j1 = 1 + j0. Тогда качественно очевидно, что
поведение ( )1 0,r
pE j j будет различным в каждом
из этих трех интервалов. Точнее, если j1 < 1 − j0, то
0.r
pE = Для 1 − j0 < j1 < 1 + j0 0r
pE > и растет с рос-
том j, тогда как для j1 > 1 + j0 скорость роста ( )1
r
pE j
может уменьшаться из-за появления отрицательного
вклада в рэчет-эффект.
4.3. Адиабатический рэчет-эффект
Перейдем теперь к вычислению величины
( )0 1,r
pE j j по формуле (25) для ВАХ, представленной
на рис. 6. Легко показать [10], что формула (25) может
быть представлена в виде суммы двух интегралов
0 1( , ) (1/ )r
pE j j = π ×
/2 /2
0 1 0 1
0 0
( cos ) ( cos ) ,p pdxE j j x dxE j j x
π π
+ −
× + + −
∫ ∫ (26)
где по сравнению с формулой (25) cos x всегда поло-
жителен (точнее 0 < cos x < 1), а индексы ± соответ-
ствуют знакам перед j1, т.е. ( )0 1 cos ,p pE E j j x± ±≡ ± а
Ep = Ep(j0 + j). Здесь Ep(j0 + j) = (j0 + j)νp(j0 + j), где
νp(j0 + j) = 1 – 1/(j0 + j)2 для (j0 + j)2 > 1 и νp(j0 + j) = 0
для (j0 + j)2 < 1 (см. формулы (23) и (18) для α = 0).
Тогда
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
( ) 1/( ), 1 ,
0, 1 1 ,
( ) 1/( ), 1
p
j j j j j j
E j j j j j
j j j j j j
+ − + < − −
+ = − − < < −
+ − + > −
(27)
(качественный вид этой ВАХ изображен на рис. 6). Для
переменного тока j = j1cosωt следует рассмотреть два
варианта:
[ ]0 1 0 1( cos ) 1/( cos ) ,pE j j x j j x± = ± − ± 1 0
1 0
cos 1 ,
cos 1 ,
j x j
j x j
> −
> +
(28)
где
0 1 0
0 1 0
arccos[(1 )/ ] ,
0
arccos[(1 )/ ] ,
j j x
x
j j x
+
−
− ≡< <
+ ≡
1 0
1 0
1 ,
1 .
j j
j j
> −
> +
(29)
Тогда с учетом последних неравенств выражения
для ( )pE x± будут
( ) [ ]1 0cos (1 )pE x j x j± = θ − ×
[ ]0 1 0 1( cos ) 1/( cos ) ,j j x j j x× ± − ± (30)Рис. 6. (Онлайн в цвете) Асимметричная вольт-амперная харак-
теристика Ep(j + j0) с j0 = 0,4 и α = 0.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1355
В.А. Шкловский, Джин-Тек Со
где 1( )zθ = для z > 0 и 0( )zθ = для z < 0.Подставляя выражения (30) в формулу (26) получим
1 0
2 2
0 0 1 0 0 1 0
0 1
0 1 0
2 2
0 0 1 0 1 0
0, 1 ,
(1 ) , 1 1 ,1( , )
(1 1 )
(1 ) , 1 .
r
p r
p
j j
j x j j I j j j
E j j
E j j j
j x j j I j j
+ +
− −
< −
+ − − − − < < +=
π π − < < + +
+ − − + − > +
(31)
________________________________________________
Здесь
0
0 1
0 10
( , ) .
cos
x
dxI j j
j j x
±
± ≡
±∫ (32)
Таким образом, вычисление рэчет-отклика в адиабати-
ческом приближении свелось к вычислению 0 1( , )I j j±
при 0 < j0 < 1, 0 < j1 < ∞ и 0 < cos х < 1. Выражение для
неопределенного интеграла, позволяющее вычислить
0 1( , ),I j j± приведено в Приложении. Использование
приведенных там формул (П.1)–(П.3) к вычислению
0 1( , )I j j± и ( )0 1,r
pE j j требует учета еще одного су-
щественного замечания. Оно относится к области зна-
чений 1 − j0 < j1 < 1 + j0 для .I + Простой анализ пока-
зывает, что здесь необходимо различать два случая, в
одном из которых 0 < j0 < 0,5 и ,I I+ +
<≡ а во втором
0,5 < j0 < 1 и .I I+ +
>≡ В первом из них всегда j1 > j0
и тогда для вычисления I + надо использовать только
формулу (П.2) Приложения, тогда как во втором слу-
чае возможны два варианта: j1 < j0 и j1 > j0, так что ис-
пользуются обе формулы (П.1 и П.2) Приложения. В
результате, если считать j1 > 0 и j0 > 0, можно полу-
чить, что если 1 − j0 < j1 < 1 + j0 и j0 < 0,5, то в этом
интервале всегда j1 > j0 и
2 2
1 0 0 1 0
0 1 2 2 2 2
1 0 0 1 0 1 0
( )tg ( /2)1( , ) ln ,
( )tg ( /2)
j j x j j
I j j
j j j j x j j
+
+
< +
− + −
=
− − + −
1 0.j j> (33)
Если же j0 > 0,5 и при этом j1 < j0, то
2 2
0 1 0 1( , ) 2/I j j j j+
>
= − ×
2 2
0 1 0 0 1arctg ( ) tg ( /2)/ ,j j x j j+ × − −
1 0.j j< (34)
Если же j0 > 0,5 и j1 > j0, то 0 1 0 1( , ) ( , )I j j I j j+ +
> <= и при
1 0 j j= I +< непрерывно переходит в .I +>
Перейдем теперь к случаю j1 > 1 + j0 (а следовательно,
и j1 > j0) и вычислению 0 1( ),I j j− при этих условиях.
Использование формулы (П.2) при j1 → −j1 примени-
тельно к вычислению 0 1( ),I j j− приводит к тому, что
2 2
1 0 1 0( ) ( )tg ( /2) ,z x j j x j j− = − + − (35)
из которой с учетом формулы
tg ( /2) (1 cos ) (1 cos )x x x= − +
следует, что |z−(x0)| = 1, где x0 = arccos (j0/j1). Тогда
|z−(x)| < 1 для 0 0x x x−< < и
2 2
1 0
1 1 ( )( ) ln .
1 ( )
z xI x
z xj j
−
−
−
+
=
− −
(36)
Подставляя пределы интегрирования в формулу (36),
имеем
2 2
0 1 0 1 0
0 1 2 2 2 2
1 0 0 1 0 1 0
( )tg ( /2)1( , ) ln ,
( )tg ( /2)
j j x j j
I j j
j j j j x j j
−
−
−
− + + −
=
− + + −
1 0 ,j j> (37)
где мы учли, что z−(0) = 0 и
2 2
0 1 0 0 1 0( ) ( ) tg ( /2) ,z x j j x j j− − −= − + − 1 0.j j>
Воспользуемся теперь формулами (33), (34) и (37) с
тем, чтобы, подставив их в формулу (31), получить
0 1( , )r
pE j j с учетом того, что в интервале 1 − j0 < j1 < 1 +
+ j0 следует различать два случая: j0 > 0,5 и j0 < 0,5.
Тогда, соответственно,
2 2
0 1 0 0 0 1 0(1 1 ) (1/ ) (1 )r
pE j j j j x j j+
<
− < < + = π + − − −
2 2 2 2
0 0 1 1 1 0 1 0 1
2 2
1 0
ln (1 ) / (1 )j j j j j j j j j
j j
− + + − − − −
−
( )0 0,5 ,j < (38)
2 2
0 1 0 0 0 1 0(1 1 ) (1/ ) (1 )r
pE j j j j x j j+
> − < < + = π + − − −
( )
0 1 0
2 2 2 2
0 1 0 1
22 2 2
0 0 1 1 1 0 1 0 1
2 2
1 0
( )tg( /2)2 arctg ,
,
ln (1 ) / 1
,
j j x
j j j j
j j j j j j j j j
j j
+ −
− −
− − + + − − −
−
1 0
1 0
,
,
j j
j j
<
>
( )0 0,5 .j > (39)
1356 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
Рассматривая аналогично случай j1 > 1 + j0, имеем
{ 2 2
1 0 0 0 1 0( 1 ) (1/ ) (1 )r r
p pE j j E j x j j−
<> + = π π + − − + −
( )22 2 2
0 0 1 1 1 0 1 0 1
2 2
1 0
ln (1 ) 1
.
j j j j j j j j j
j j
− + + − − + − −
−
(40)
И, в последнюю очередь, вычислим r
pE для j0 > 1 в
области значений 0 < j1 < j0 – 1, так как рэчет-отклик в
данном случае не равен нулю, тогда как для j0 < 1
0r
pE = в области j1 < 1 – j0 (см. формулу (31)). В этом
случае формула (30) выглядит следующим образом:
[ ][ ]1 0 0 1 0 1(1 ) ( cos ) 1/( cos ) ,pE j j j j x j j x± = θ ± − − ± − ±
1 00 1.j j< < − (41)
Подставляя (41) в (26), получаем
2 2
0 1 0 0 0 1( 1, 0 1) 2 ( )r
pE j j j j j j> < < − = − π − ×
{ }2 2 2 2
0 1 0 1 0 1 0 1arctg ( ) arctg ( ) .j j j j j j j j × − − + + −
(42)
Рассмотрим кривые 0 1( , )r
pE j j на рис. 7, которые
построены по формулам (38)–(40), (42) и соответствуют
адиабатическим рэчет-откликам. При больших значени-
ях j1 все рэчет-отклики стремятся к j0, так как из урав-
нения (40) следует, что при 1 0 1–j j>> 1 0( )r
pE j j+ ≅
3
0 1[1 4/(3 )].j j≅ − π При малых значениях j1 поведение
0 1( , )r
pE j j качественно различно в случаях 0 1j <
и 0 1.j > Если 0 1,j < то величина 1 0( 1 ) 0r
pE j j< − =
из-за наличия щели для ВАХ 0 ) 0(pE j j+ > при
1 0 ,1–j j< (см. рис. 6) и только, начиная со значения
1 0 ,1–j j≥ появляется 0.r
pE ≥ Величина порога
1 01–j j= является убывающей функцией j0 (см. рис. 7).
Если же 0 1,j > то щель ВАХ 0( )pE j j+ (шириной
∆ = 2) теперь полностью находится в области отрица-
тельных значений токов (j < 0) и уже 00, 1( )pE j j= > ≡
0 0.E≡ > Тогда очевидно (из сравнения с 0
r
fE j= ),
что при 1 0 –1j j< зависимость 0 1( , )r
pE j j с учетом
выпуклости вверх ВАХ 0( )pE j j+ будет убывающей
функцией j1 (из уравнения (42) следует, что при j1 << 1
2 3
1 0 0 0 1 0(0 1) 1 /(2 )),r
pE j j j j j j< < − ≅ − − а начиная со
значения j1 = j0 – 1, соответствующего току излома
( )1 0 1 ,r
pE j j= − реализуется рост ( )1 0 1r
pE j j> − за
счет попадания отрицательных значений переменно-
го тока 1 cosj tω в область щели исходной ВАХ (см.
рис. 7 для j0 > 1). Физическая причина вышеупомяну-
той разницы следует из того, что при j1 = 0 и j0 > 1
вихрь находится в состоянии с немного осциллирую-
щей мгновенной скоростью dx/dt и, таким образом,
электрическое поле E отлично от нуля, в то время как
для j0 < 1 вихрь локализуется на дне одной из ям
ППП и E = 0.
Аналитические формулы (38) и (39) позволяют най-
ти асимптотическое поведение 1 0( 1 )r
pE j j> − при ма-
лых отклонениях x величины j1 от порога j1 = 1 – j0 (т.е.
для 1 0(1 ) ).j j x= − + Например, из соотношения (38)
следует, что 3/2
1 0 0( 1 ) [4 2 (3 1 )] ,r
pE j j x j x= − + ≅ π −
т.е. коэффициент при x3/2 увеличивается с ростом j0
(см. также рис. 7).
5. Заключение
Исследована точно решаемая двумерная модельная
структура, демонстрирующая адиабатический рэчет-
эффект в сверхпроводящей пленке с симметричным
пилообразным потенциалом пиннинга вихрей в при-
сутствии постоянного тока и анизотропной вязкости.
Благодаря простоте потенциала пиннинга и рассмот-
рению динамики вихря при нулевой температуре по-
лучены простые точные аналитические формулы для
зависимостей адиабатического (ω → 0) рэчет-эффекта
от величины постоянного и переменного тока
0 1 cos ,j j j t= + ω а также угла α между направлением
коллинеарных токов j0 и j1(t) по отношению к каналам
одноосного периодического потенциала пиннинга и
величины анизотропии вязкости γ. Нелинейное (по
току j) резистивное поведение анизотропно двигаю-
щихся вихрей обусловлено как анизотропией пиннин-
га, так и анизотропией вязкости. Конкуренция этих
двух анизотропий различного типа приводит к тому,
Рис. 7. (Онлайн в цвете) Рэчет-отклики 1( )r
pE j для набора
значений j0 = 0,01, 0,1, 0,3, 0,5, 0,8, 1,05, 1,2 и 1,4 в адиабати-
ческом режиме.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1357
В.А. Шкловский, Джин-Тек Со
что угол β между направлением средней скорости вих-
рей и силой Лоренца существенно зависит как от вели-
чин j0 и j1, так и параметров α и γ. Если под влиянием
одного из внешних динамических параметров j0, j1, α
и γ интенсивность указанной эффективной анизотропии
(характеризуемой углом β) уменьшается, то это ведет к
эффективной изотропизации вихревой динамики.
Физически очевидно, что токи j0, j1 угол α и вели-
чина γ качественно по-разному влияют на соответст-
вующий переход от анизотропной динамики вихрей
к изотропной. С ростом величины тока j0 при α = const
растет сила Лоренца FL, так что для j0 ≥ jc1, jc2 величи-
на этих барьеров исчезает. Здесь jc1,2 — токи кроссо-
вера для переходов вихря через правосторонний и ле-
восторонний барьеры пиннинга. Величины jc1,2 зависят
от угла α благодаря тому, что преодоление барьера
определяется не величиной FL, а лишь ее поперечной
компонентой FLcos α так, что jc1,2(α) = jc1,2(0)/cos α
растет с ростом α. Хотя общие формулы для рэчет-
откликов (см. уравнения (23)) зависят как от угла α, так
и параметра анизотропии γ, в формулах для адиабатиче-
ского отклика для простоты мы считали α = 0 и γ = 1.
Асимптотический анализ полученных в этом случае
формул приведен в конце предыдущего раздела.
В заключение сравним результаты настоящей рабо-
ты с результатами двух уже ранее упоминавшихся ра-
бот [3,10], полученными в рамках аналогичной по фи-
зике, но уже стохастической модели для произвольных
значений температуры T и величин плотности посто-
янного [3,10] и переменного [10] тока произвольной
частоты (однако при γ = 1). Хотя в работе [3] использо-
вался тот же пилообразный потенциал в рамках 2D
подхода, что и в настоящей работе, и благодаря этому
при произвольных температурах удалось получить
точное аналитическое решение уравнения Фоккера–
Планка только на постоянном токе, использованный
подход не позволял исследовать рэчет-задачу на пере-
менном токе. Результаты настоящей работы позволили
аналитически исследовать 2D рэчет-отклики на пере-
менном токе (за счет T = 0 и ограничения адиабатикой)
и сравнить их в этом случае с 1D откликами работы
[10], в которой для гармонического потенциала пин-
нинга было найдено более общее и формально точное
решение рассмотренной задачи в виде матричных цеп-
ных дробей. Здесь также можно отметить, что в недав-
но опубликованной работе [20], выполненной в рамках
подхода статьи [10], исследовался также более слож-
ный случай исходно-асимметричного ППП. Реализа-
ция формул, представленных в работах [10] и [20] в
виде цепных дробей, сводится, однако, к построению
графиков рэчет-откликов как функций одной или, в
лучшем случае, двух переменных при фиксации ос-
тальных переменных и параметров. Рассмотренная в
данной работе задача благодаря простому, исходно-
симметричному потенциалу пиннинга, нулевой темпе-
ратуре и ω → 0 позволила получить ответы в виде дос-
таточно простых по структуре и имеющих наглядные
физические асимптотики формул, использующих лишь
элементарные функции и, как следствие, простую фи-
зическую интерпретацию. Обобщение этих результа-
тов на случай исходно-асимметричного ППП работы
[3], не является тривиальным.
Из нашей работы, в которой по сравнению с рабо-
тами [3] и [10] учтена анизотропия, следует, что каче-
ственно она оказывает простое влияние на величины
продольных и поперечных откликов (см. формулы
(24), из которых вытекает, что ||, ~ ,a
⊥ρ γ а 1
||, ~b −
⊥ρ γ ).
Сравнение же адиабатики в нашей работе и статье [10],
в которых ППП различны, показывает, что соответст-
вующие рэчет-отклики, являющиеся, согласно форму-
лам (25) и (26), интегральными характеристиками
ППП, практически не зависят от формы ППП (сравни
рис. 7 настоящей работы и рис. 3(a) в работе [10]).
Приложение
0 1
2 2 2 20 1 0 1 0 1
( )tg( /2)2( ) arctg ,
cos
j j xdxI x
j j x j j j j
−
= =
+ − −
∫
если 2 2
1 0 .j j< (П.1)
2 2
1 0
1 1( ) ln ,
1
zI x
zj j
+
=
−−
где 1 0
2 2
1 0
( ) tg( /2)
( ) ,
j j x
z x
j j
−
=
−
если 2 2
1 0 ,j j> (П.2)
причем во втором случае, в зависимости от величины
|z|, есть два варианта
2 2
1 0
1 1( ) ln
1
zI x
zj j
+ = − −
для 1z <
и
2 2
1 0
1 1( ) ln
1
zI x
zj j
+ = − −
для 1.z > (П.3)
Формулы (П.1)–(П.3) могут быть проверены прямым
дифференцированием и справедливы при любых зна-
чениях j0 и j1.
1. В.О. Шкловський, О.В. Добровольський, Пінінг і
динаміка вихорів у надпровідниках, ХНУ В.Н. Каразіна,
Харків (2007).
2. T.A. Friedmann, M.W. Rabin, J. Giapintzakis, J.P. Rice, and
D.M. Ginsberg, Phys. Rev. B 42, 6217 (1900).
3. V.A. Shklovskij and V.V. Sosedkin, Phys. Rev. B 80,
214526 (2009).
4. P. Reimann and P. Hanggi, Appl. Phys. A 75, 169 (2002).
5. B.L.T. Plourde, IEEE Trans. Appl. Supercond. 19, 3698
(2009).
6. P. Hanggi and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys. 81, 387
(2009).
1358 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12
Направленное движение вихрей и рэчет-эффект в сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
7. C.S. Lee, B. Janko, I. Derenyi, and A.L. Barabasi, Nature
(London) 400, 337 (1999).
8. J.E. Villegas, E.M. Gonzalez, M.P. Gonzalez, J.V. Anguita,
and J.L. Vicent, Phys. Rev. B 71, 024519 (2005).
9. R. Wordenweber, P. Dymashevski, and V.R. Misko, Phys.
Rev. B 69, 184504 (2004).
10. V.A. Shklovskij and O.V. Dobrovolskiy, Phys. Rev. B 84,
054515 (2011).
11. I. Zapata, R. Bartussek, F. Sols, and P. Hanggi, Phys. Rev.
Lett. 77, 2292 (1996).
12. J.F. Wambaugh, C. Reichhardt, C.J. Olson, F. Marchesoni,
and F. Nori, Phys. Rev. Lett. 83, 5106 (1999).
13. C.J. Olson, C. Reichhardt, B. Janko, and F. Nori, Phys. Rev.
Lett. 87, 177002 (2001).
14. C.C. de Souza Silva, J. Van de Vondel, B.Y. Zhu, M.
Morelle, and V.V. Moshchalkov, Phys. Rev. B 73, 014507
(2006).
15. D. Perez de Lara, L. Dinis, E.M. Gonzalez, J.M.R. Parrondo,
J.V. Anguita, and J.L. Vicent, Phys. Condens. Matter 21,
254204 (2009).
16. B.B. Jin, B.Y. Zhu, R. Wordenweber, C.C. de Souza Silva,
P.H. Wu, and V.V. Moshchalkov, Phys. Rev. B 81, 174505
(2010).
17. В.В. Шмидт, Введение в физику сверхпроводников,
Наука, Москва (1982).
18. В.А. Шкловский, Хоп Данг Тхи Бик, ФНТ 35, 469 (2009)
[Low Temp. Phys. 35, 365 (2009)].
19. В.А. Шкловский, Хоп Данг Тхи Бик, ФНТ 36, 89 (2010)
[Low Temp. Phys. 36, 71 (2010)].
20. V.A. Shklovskij, V.V. Sosedkin, and O.V. Dobrovolskiy,
J. Phys.: Condens. Matter 26, 025703 (2014).
The guided vortex motion and the ratchet effect
in an anisotropic superconductor with a periodic
pinning potential
V.A. Shklovskij and Jin-Taek Seo
The two-dimensional adiabatic ratchet dynamics of
Abrikosov vortices in a symmetric periodic pinning
potential is considered in the presence of a dc and ac
transport currents and anisotropy of the viscous vortex
motion at zero temperature. Exact analytical expres-
sions for two anisotropic nonlinear current-voltage re-
sponses along and across the transport current direc-
tion are derived and analyzed in the framework of the
washboard pinning potential model. The physical
origin of these voltages that are odd with respect to the
current direction reversal is caused by the interplay be-
tween the vortex guiding effect, which is even with re-
spect to the magnetic field reversal, and the ratchet
asymmetry owing to the tilt of the pinning potential by
the dc component of the transport current.
PACS: 74.25.Uv Vortex phases (includes vortex lat-
tices, vortex liquids, and vortex glasses);
74.25.Wx Vortex pinning (includes mecha-
nisms and flux creep);
74.25.Sv Critical currents.
Keywords: ratchet effect, anisotropy of viscosity, pe-
riodic pinning potential, two-dimensional dynamic of
vortieces.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2014, т. 40, № 12 1359
1. Введение
2. Формулировка и анализ задачи
2.1. Общая формулировка решаемой задачи
2.2. Движение вихрей в режиме течения магнитного потока
2.3. Продольные и поперечные резистивные отклики при наличии пиннинга
3. Графический анализ откликов
4. Асимметрия статической ВАХ и адиабатический рэчет-эффект
4.1. Симметричная ВАХ — ток смещения j0 равен нулю
4.2. Асимметричная ВАХ с j0 ≠ 0 — качественный анализ
4.3. Адиабатический рэчет-эффект
5. Заключение
Приложение
|