Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Розглядаються класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів. Представлено ряд властивостей для операторів псевдомонотонного типу, які потім належним чином впорядковані. Даний апарат може бути застосований при дослідженні властивостей розв’язуючого оператора. Рассматриваются классы...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12008 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів / О.П. Когут _ // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 125-140. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860238267260076032 |
|---|---|
| author | Когут, О.П. |
| author_facet | Когут, О.П. |
| citation_txt | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів / О.П. Когут _ // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 125-140. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглядаються класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів. Представлено ряд властивостей для операторів псевдомонотонного типу, які потім належним чином впорядковані. Даний апарат може бути застосований при дослідженні властивостей розв’язуючого оператора.
Рассматриваются классы нелинейных отображений в дуальной паре банаховых пространств. Представлен ряд свойств для операторов псевдомонотонного типа, которые затем надлежащим образом упорядочены. Данный аппарат может бать использован при исследовании свойств разрешающего оператора.
Some classes of nonlinear maps in the dual pair of Banach spaces are considered. A number of properties for pseudo-monotonous operators are presented which are duly organized. The given apparatus may be used to investigate the properties of the solving operator.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.П. Когут, 2008
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 125
УДК 517.9
ДЕЯКІ КЛАСИ НЕЛІНІЙНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ У ДУАЛЬНІЙ
ПАРІ БАНАХОВИХ ПРОСТОРІВ
О.П. КОГУТ
Розглядаються класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових прос-
торів. Представлено ряд властивостей для операторів псевдомонотонного ти-
пу, які потім належним чином впорядковані. Даний апарат може бути застосо-
ваний при дослідженні властивостей розв’язуючого оператора.
ВСТУП
Задачі фізики та теорії керування часто описуються рівняннями в частинних
похідних, які зводяться до операторних рівнянь вигляду fyA =)( , розв’язки
яких називаються узагальненими розв’язками вихідних задач. У роботах
В.С. Мельника, М.З. Згуровського [1–4, 7–9] та І.В. Скрипніка [10] розгля-
дались операторні рівняння та включення з операторами псевдомонотонно-
го типу, для яких доводилась розв’язність. При дослідженні властивостей
розв’язуючого оператора (компактнозначність, напівнеперервність зверху,
обмеженість, зв’язнозначність і т.п.) доцільною є розробка математичного
апарата для дослідження поведінки операторів, які стоять в лівій частині
рівняння fyA =)( , а саме, одержання нових та впорядкування відомих вла-
стивостей для таких операторів. Важливо, що ці властивості мають бути до-
сить загальними і природними.
ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
Нехай X — рефлексивний банахів простір, *X — простір, спряжений до
нього.
Означення 1. Будемо називати нелінійний оператор *:A X X→ λ -
псевдомонотонним, якщо для кожної послідовності Xyn ⊂}{ такої, що
yynЗЩ в X , з умови
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂ , для якої
XXmm
m
wyyAwyyA 〉−〈≥〉−〈
∞→
),(),(lim
для довільного елементу .w X∈
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 126
Означення 2. Будемо називати нелінійний оператор *: XXA → 0λ -
псевдомонотонним, якщо для кожної послідовності Xyn ⊂}{ такої, що
yyn в X i dyA n )( в *X , з умови
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂ , для якої
XXmm
m
wyyAwyyA 〉−〈≥〉−〈
∞→
),(),(lim
для довільного елементу .w X∈
Означення 3. Будемо казати, що нелінійний оператор *:A X X→ має
властивість )( kS , якщо для кожної послідовності yyn в X з умови
0),( →〉−〈 Xnn yyyA
випливає
)()( yAyA n в *X .
Означення 4. Будемо казати, що нелінійний оператор *: XXA → має
властивість 1( )kS , якщо для кожної послідовності yyn в X i dyA n )( в
*X з умови
0),( →〉−〈 Xnn yyyA
випливає
)()( yAyA n в *X .
Означення 5. Будемо казати, що нелінійний оператор *:A X X→ має
властивість ( )M , якщо для кожної послідовності ny y в X i
( )nA y d в *X з умови
XXnnn
ydyyA 〉〈≤〉〈
∞→
,),(lim
випливає
= ( )d A y .
Означення 6. Будемо називати нелінійний оператор *: XXA → опе-
ратором з напівобмеженою варіацією (НОВ), якщо для довільного R і дові-
льних елементів ,u v X∈ таких, що RvRu ≤≤ , , справедлива нерів-
ність
),,(),()( ′−−≥〉−−〈 vuRcvuvAuA X
де RRRtRc →× ++:),( — неперервна по t функція і
Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 127
0,0,),(1
+→→ ttRc
t
а ′⋅ є компактною напівнормою відносно норми ⋅ в X .
Означення 7. Будемо називати нелінійний оператор *: XXA → опе-
ратором із субобмеженою варіацією (СОВ), якщо для довільного R і дові-
льних елементів ,u v X∈ таких, що RvRu ≤≤ , , справедлива нерів-
ність
),(),()( ′−−≥〉−−〈 vuRcvuvAuA X ,
де RRRtRc →× ++:),( — неперервна по t функція і
( ,0) 0,C R ≡
а ′⋅ є компактною напівнормою відносно норми ⋅ в X .
Означення 8. Будемо називати нелінійний оператор *: XXA → на-
півмонотонним оператором (НМО), якщо для довільного R і довільних
елементів ,u v X∈ таких, що ,u R v R≤ ≤ , справедлива нерівність
),,(),()( vuRcvuvAuA X −−≥〉−−〈
де RRRtRc →× ++:),( — неперервна по t функція і
00,),(1
+→→ ttRc
t
.
Означення 9. Будемо казати, що нелінійний оператор *:A X X→ за-
довольняє умову α ), якщо для кожної послідовності yyn в X з умови
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂ такої, що
∞→∈→ mХyym , .
Означення 10. Будемо казати, що нелінійний оператор *: XXA → за-
довольняє умову 0α ), якщо для кожної послідовності yyn в X i
dyA n )( в *X з умови
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂ такої, що
., ∞→∈→ mХyym
Означення 11. Будемо казати, що нелінійний оператор *: XXA → за-
довольняє умову 1α ), якщо для кожної послідовності yyn в X з умови
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 128
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂ такої, що
∞→→ myy XXm , .
Означення 12. Будемо казати, що нелінійний оператор *: XXA → за-
довольняє умову 10
α ), якщо для кожної послідовності yyn в X i
dyA n )( в *X з умови
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂ такої, що
∞→→ myy XXm , .
Зрозуміло, що властивість 1α ) слабша за властивості α ) та 0α ), та якщо
простір X є рівномірно опуклим, то в ньому властивості α ) з 1α ) та 0α ) з
01α ) будуть співпадати.
Розглянемо банахів простір Y та спряжений до нього простір *Y . В *Y
розглянемо деяку множину *YU ⊂ . Будемо вважати, що множина U є
*-слабко замкненою.
Означення 13. Будемо називати нелінійний оператор *: XXUA →×
λ -квазімонотонним, якщо для довільних послідовностей Xyn ⊂}{ та
Uun ⊂}{ таких, що yyn в X та uun в *Y , з умови
0),,(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnnn
yyyuA
випливає існування підпослідовності },{},{ nnmm yuyu ⊂ , для якої
XXmmm
m
wyyuAwyyuA 〉−〈≥〉−〈
∞→
),,(),,(lim
при всіх .w X∈
Означення 14. Будемо називати нелінійний оператор *: XXUA →×
0λ -квазімонотонним, якщо для довільних послідовностей Xyn ⊂}{ та
{ }nu U⊂ таких, що ny y в X та nu u в *Y i dyuA nn ),( в *X ,
з умови
0),,(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnnn
yyyuA
випливає існування підпослідовості { , } { , }m m n nu y u y⊂ , для якої
lim ( , ), ( , ),m m m X X
m
A u y y w A u y y w
→∞
〈 − 〉 ≥ 〈 − 〉
Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 129
при всіх .w X∈
Означення 15. Будемо казати, що нелінійний оператор *: XXUA →×
задовольняє умову β ), якщо для довільних послідовностей Xyn ⊂}{ та
Uun ⊂}{ таких, що yyn в X та uun в *Y , з умови
0),,(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnnn
yyyuA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂
Xyym ∈→ .
Означення 16. Будемо казати, що нелінійний оператор *: XXUA →×
задовольняє умову 0β ), якщо для довільних послідовностей Xyn ⊂}{ та
Uun ⊂}{ таких, що yyn в X i dyuA nn ),( в *X та uun в *Y , з
умови
0),,(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnnn
yyyuA
випливає існування підпослідовності }{}{ nm yy ⊂
Xyym ∈→ .
Означення 17. Нехай задані нелінійні оператори *: YYXA →× і
*: XXYB →× . Означимо **:A YXYX ×→× діагональний добуток опе-
раторів A i B
A( , ) = { ( , ); ( , )}.x y B y x A x y
(Позначимо A = A B∆ ).
Впорядкуємо оператори означених типів.
ОСНОВНІ ТВЕРДЖЕННЯ
Зауваження 1. Зрозуміло, якщо оператор *: XXA → є λ -псевдомоно-
тонним, то він є і 0λ -псевдомонотонним. Якщо задовольняє умову α ), то
задовольняє і умову 0α ). Аналогічно, якщо оператор *: XXUA →× є λ -
квазімонотонним, то він є і 0λ -квазімонотонним. Якщо задовольняє умову
β , то задовольняє і умову 0β .
Твердження 1. Нехай нелінійні оператори *
10 :, XXAA → є λ -
псевдомонотонними. Тоді їх сума 10= AAA +
)()(=)( 10 yAyAyA +
теж є λ -псевдомонотонним оператором.
Доведення. Розглянемо послідовність }{ ny таку, що yyn в X , і
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 130
.),(lim0 Xnnn
yyyA 〉−〈≥
∞→
Тоді
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
Xnn
n
Xnnn
yyyAyyyA ),(lim),(lim0 10
XmmmXmmm
yyyAyyyA 〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
),(lim),(lim 10 , (1)
де }{}{ nm yy ⊂ — підпослідовність, яка реалізує нижню границю в (1).
Спочатку припустимо, що 0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmmm
yyyA . Оскільки опе-
ратор 0A є λ -псевдомонотонним, то існує підпослідовність }{}{ mk yy ⊂ ,
для якої виконується
XwwyyAwyyA XXkk
k
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
,),(),(lim . (2)
Якщо замість w в (2) підставити елемент y , то отримаємо
0=),(lim 0 Xkk
k
yyyA 〉−〈∃
∞→
,
а, значить, з (1) випливає
0.),(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xkk
k
yyyA
Користуючись тим, що оператор 1A є λ -псевдомонотонним, oтримаємо під-
послідовність }{}{ kl yy ⊂ , для якої
XwwyyAwyyA XXll
l
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
,),(),(lim . (3)
Тепер розглянемо
≥〉−〈
∞→
Xll
l
wyyA ),(lim
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
Xll
l
Xll
l
wyyAwyyA ),(lim),(lim 10
XwwyyAwyyAwyyA XXX ∈∀〉−〈〉−〈+〉−〈≥ ,),(=),(),( 10 . (4)
Отже, шукану підпослідовність }{}{ nl yy ⊂ з означення λ -псевдомоно-
тонності знайдено. Твердження доведено.
Твердження 2. Нехай нелінійні оператори *
10 :, XXAA → є
0λ -псевдомонотонними і, принаймні, один з них є обмеженим. Тоді їх сума
0 1=A A A+
)()(=)( 10 yAyAyA +
теж є 0λ -псевдомонотонним оператором.
Доведення. Припустимо, що один із операторів 10 , AA обмежений. То-
ді з *
10 )()( XdyAyA nn ∈+ за теоремою Банаха-Алаоглу випливає, що
Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 131
існують Xdd ∈21, такі, що *
2110 )(,)( XdyAdyA nn ∈ , принаймні, з
точністю до підпослідовності. Далі доведення аналогічне доведенню твер-
дження 1.
Тепер покажемо, що, збуривши оператор, який задовольняє одну з умов
α ), 0α ), 1α ),
01α ) λ -псевдомонотонним оператором, ми отримаємо опера-
тор, який також буде задовольняти умову α ), 0α ), 1α ),
01α ), відповідно.
Твердження 3. Нехай нелінійний оператор *
0 : XXA → задовольняє
умову α ), а оператор *
1 : XXA → є λ -псевдомонотонним. Тоді їх сума
10= AAA +
)()(=)( 10 yAyAyA +
теж буде задовольняти умову α ).
Доведення. Розглянемо послідовність }{ ny таку, що Xyyn в , і для
неї розглянемо верхню границю.
=),(lim0 Xnnn
yyyA 〉−〈≥
∞→
≥〉−〈+〉−〈
∞→
)),(),((lim= 10 XnnXnnn
yyyAyyyA
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
Xnn
n
Xnn
n
yyyAyyyA ),(lim),(lim 10
〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
yyyAyyyA mmmXmmm
),(lim),(lim 10 , (5)
де }{}{ nm yy ⊂ — підпослідовність, яка реалізує нижню границю в (5).
Спочатку припустимо, що 0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmmm
yyyA . Оскільки оператор
0A задовольняє властивість α ), то існує підпослідовність }{}{ mk yy ⊂ , для
якої виконується
yyk → в X .
Отже ми відразу знайшли шукану послідовність. Якщо ж в (5)
0),(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , то, користуючись тим, що оператор 1A є
λ -псевдомонотонним, oтримаємо підпослідовність }{}{ ml yy ⊂ , для якої
.,),(),(lim 11 XwwyyAwyyA XXll
l
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
(6)
Підставивши в (6) y замість ω , отримаємо
0),(lim ≥〉−〈∃
∞→
Xll
l
yyyA
i порівнюючи з припущенням 0),(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , отримаємо
0=),(lim 1 Xll
l
yyyA 〉−〈
∞→
. І ми знову приходимо до першого випадку:
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 132
0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xlll
yyyA , звідки знаходимо шукану сильно збіжну підпослі-
довність. Твердження доведено.
Твердження 4. Нехай нелінійний оператор *
0 : XXA → задовольняє
умову 0α ), а оператор *
1 : XXA → є 0λ -псевдомонотонним і, принаймні,
один з них є обмеженим. Тоді їх сума 10= AAA +
)()(=)( 10 yAyAyA +
теж задовольняє умову 0α ).
Доведення. Припустимо, що один із операторів 10 , AA обмежений. То-
ді з XdyAyA nn ∈+ )()( 10 отримаємо, що існують Xdd ∈21, такі, що
XdyAdyA nn ∈2110 )(,)( , принаймні, по підпослідовності. Далі дове-
дення аналогічне доведенню твердження 3.
Зауваження 2. Зрозуміло, якщо оператор *: XXA → задовольняє
умову α ( 0α ) і є при цьому демінеперервним, то він є i λ ( 0λ )-
псевдомонотонним.
Твердження 5. Нехай нелінійний оператор *
0 : XXA → задовольняє
умову 1α ), а оператор *
1 : XXA → є λ -псевдомонотонним. Тоді їх сума
10= AAA +
)()(=)( 10 yAyAyA +
теж буде задовольняти умову 1α ).
Доведення. Розглянемо послідовність Xyn ⊂}{ таку, що yyn в X , і
для неї, як і в твердженні 3, має місце співвідношення
XmmmXmmm
yyyAyyyA 〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
),(lim),(lim0 10 . (7)
Спочатку припустимо, що 0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmmm
yyyA . Оскільки опера-
тор 0A задовольняє властивість 1α ), то існує підпослідовність }{}{ mk yy ⊂ ,
для якої
∞→→ kyy XXk , . (8)
Отже, ми відразу знайшли шукану послідовність. Якщо ж в (7)
0),(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , то, користуючись тим, що оператор 1A є
λ -псевдомонотонним, провівши міркування, як і в твердженні 3, ми знову
приходимо до першого випадку, звідки знаходимо шукану підпослідовність.
Твердження доведено.
Твердження 6. Нехай нелінійний оператор *
0 : XXA → задовольняє
умову
01α ), а оператор *
1 : XXA → є 0λ -псевдомонотонним і, принаймні,
один з них є обмеженим. Тоді їх сума 10= AAA +
Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 133
)()(=)( 10 yAyAyA +
задовольняє умову
01α ).
Доведення. Згідно із обмеженістю хоча б одного з операторів із
XdyAyA nn ∈+ )()( 10 випливає, що існують Xdd ∈21, такі, що
0 1 1 2( ) , ( )n nA y d A y d X∈ , принаймні, з точністю до підпослідовності.
Далі доведення аналогічне доведенню твердження 5.
Зауваження 3. Якщо оператор *: XXA → задовольняє властивість
kS ( 1kS ), то цю ж саму властивість задовольняє і оператор ( A− ).
Далі розглянемо відображення, визначені на добутку .XU ×
Твердження 7. Нехай нелінійний оператор *
0 : XXUA →× задоволь-
няє умову β ), а оператор *
1 : XXUA →× є λ -квазімонотонним. Тоді їх
сума 10= AAA +
),(),(=),( 10 yuAyuAyuA +
теж буде задовольняти умову β ).
Доведення. Розглянемо послідовності },{ nn yu такі, що yyn в X ,
uun в U , і для них розглянемо верхню границю.
=),,(lim0 Xnnnn
yyyuA 〉−〈≥
∞→
≥〉−〈+〉−〈
∞→
)),,(),,((lim= 10 XnnnXnnnn
yyyuAyyyuA
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
Xnnn
x
Xnnn
n
yyyuAyyyuA ),,(lim),,(lim 10
,),,(lim),,(lim 10 XmmmmXmmmm
yyyuAyyyuA 〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
(9)
де },{},{ nnmm yuyu ⊂ — підпослідовність, яка реалізує нижню границю в
(9). Спочатку припустимо, що
0),,(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmmmm
yyyuA .
Оскільки оператор 0A задовольняє властивість β ), то існує підпослідов-
ність }{}{ mk yy ⊂ , для якої виконується ∞→→ nyyk , в X . Отже, ми від-
разу знайшли шукану послідовність. Якщо ж в (9) ),(lim 1 m
m
yA〈
∞→
0≤〉− Xm yy , то, користуючись тим, що оператор 1A є λ -квазімонотонним,
oтримаємо підпослідовність },{},{ mmll yuyu ⊂ , для якої
XwwyyuAwyyuA XXlll
l
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
,),,(),,(lim . (10)
Підставивши в (10) y замість ω , отримаємо
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 134
0),,(lim ≥〉−〈
∞→
Xlll
l
yyyuA
i порівнюючи з припущенням 0),,(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xmmm
m
yyyuA , отримаємо
0=),,(lim 1 Xlll
l
yyyuA 〉−〈
∞→
. І ми знову приходимо до першого випадку:
0),,(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmmmm
yyyuA , звідки знаходимо шукану сильно збіжну під-
послідовність. Твердження доведено.
Твердження 8. Нехай нелінійний оператор *
0 : XXA → задовольняє
умову α ), а оператор *
1 : XXUA →× є λ -квазімонотонним. Тоді їх сума
*
10 := XXUAAA →×+
UuyAyuAyuAyuAyuA ∈∀+ ),(=),(),,(),(=),( 0010
буде задовольняти умову β ).
Доведення. Розглянемо послідовності },{ nn yu такі, що yyn в X ,
uun в U , і для них розглянемо верхню границю.
=),,(lim0 Xnnnn
yyyuA 〉−〈≥
∞→
≥〉−〈+〉−〈
∞→
)),,(),,((lim= 10 XnnnXnnnn
yyyuAyyyuA
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
Xnnn
n
Xnnnn
yyyuAyyyuA ),,(lim),,(lim 10
,),,(lim),,(lim 10 XmmmmXmmmm
yyyuAyyyuA 〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
(11)
де },{},{ nnmm yuyu ⊂ — підпослідовність, яка реалізує нижню границю в
(11). Спочатку припустимо, що
0.)),(lim=),,(lim 00 ≤〉−〈〉−〈
∞→∞→
XmmmXmmmm
yyyAyyyuA
Оскільки оператор 0A задовольняє властивість α ), то існує підпослідов-
ність }{}{ mk yy ⊂ , для якої виконується ∞→→ nyyk , в X . Отже, ми
відразу знайшли шукану сильно збіжну підпослідовність. Якщо ж в (11)
0),(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , то, користуючись тим, що оператор 1A є λ -ква-
зімонотонним, oтримаємо підпослідовність },{},{ mmll yuyu ⊂ , для якої
.,),,(),,(lim XwwyyuAwyyuA XXlll
l
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
(12)
Підставивши в (12) y замість ω , отримаємо
0),,(lim ≥〉−〈
∞→
Xlll
l
yyyuA
i порівнюючи з припущенням 0),,(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xmmm
m
yyyuA , отримаємо
0=),,(lim 1 Xlll
l
yyyuA 〉−〈
∞→
. І ми знову приходимо до першого випадку:
Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 135
0),,(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmmmm
yyyuA , де знаходимо шукану сильно збіжну підпос-
лідовність. Твердження доведено.
Твердження 9. Нехай нелінійні оператори *: YYXA →× і ×YB :
*XX →× є λ -квазімонотонними, тоді їх діагональний добуток := BAA ∆
**: YXYX ×→× є λ − псевдомонотонним оператором.
Доведення. Нехай послідовність ∞→nxxn , в X , yyn , ∞→n в
Y . І нехай для них виконується співвідношення
=),(),(),,(Alim0 YXnnnnn
yxyxyx ×
∞→
〉−〈≥
( )≥〉−〈+〉−〈
∞→
XnnnYnnnn
xxxyByyyxA ),,(),,(lim=
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
Xnnn
n
Ynnnn
xxxyByyyxA ),,(lim),,(lim
,),,(lim),,(lim XmmmmYmmmm
xxxyByyyxA 〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
(13)
де підпослідовність },{},{ nnmm yxyx ⊂ реалізує нижню границю в (13).
Припустимо, що
0),,(lim ≤〉−〈
∞→
Ymmmm
yyyxA ,
тоді з λ − квазімонотонності оператора А випливає, що існує така підпослі-
довність },{},{ mmkk yxyx ⊂ , для якої виконується співвідношення
.,),,(),,(lim YwwyyxAwyyxA YYkkk
k
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
(14)
Підставляючи у (14) елемент y замість w i порівнюючи з даним припу-
щенням, отримуємо
0=),,(lim Ykkk
k
yyyxA 〉−〈
∞→
,
і тоді з (13) маємо
0),,(lim),,(lim ≤〉−〈=〉−〈
∞→∞→
Xkkk
k
Xmmm
m
xxxyBxxxyB .
Із λ -квазімонотонності оператора B випливає, що існує така підпослідов-
ність },{},{ kkll yxyx ⊂ , для якої виконується співвідношення
XzzxxyBzxxyB YYlll
l
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
,),,(),,(lim . (15)
Підсумовуючи співвідношення (15) i (14), отримуємо
≥〉−〈 ×
∞→
YXllll
l
wzyxyx ),(),(),,(Alim
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
yyyxAxxyxB lll
l
lll
l
),,(lim),,(lim
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 136
≥〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
yyyxAxxyxB kkk
k
lll
l
),,(lim),,(lim
=),,(),,( YX wyyxAzxxyB 〉−〈+〉−〈≥
,),(),(),,(A= YXwzyxyx ×〉−〈 ., YwXz ∈∈∀
Отже, за означенням оператор A є λ -псевдомонотонним. Твердження до-
ведено.
Твердження 10. Нехай *: XXA → — нелінійний оператор. Справед-
ливим є таке впорядкуванння відомих нам властивостей:
)()( 10 kSMПМПМ ⇒⇒−⇒− λλ .
Доведення. Перша імплікація є очевидною, доведемо другу. Нехай ви-
конуються умови
XXnnnnn ydyyAndyAyy 〉〈≤〉〈∞→
∞→
,),(lim,,)(, .
Тоді
≤〉〈−〉〈〉−〈
∞→∞→
)),(),((lim=),((lim XnXnnnXnnn
yyAyyAyyyA
0=),(lim=)),(,(lim XnnXnXn
yyAdyyAyd 〉−〈〉〈−〉〈≤
∞→∞→
.
З того, що оператор A є 0λ -псевдомонотонним, отримуємо підпослі-
довність }{}{ nm yy ⊂ , для якої виконується співвідношення
.,),(),(lim XwwyyAwyyA XXmm
m
∈∀〉−〈≥〉−〈
∞→
Перетворимо його.
≥〉〈−〉〈≥〉−〈
∞→∞→∞→
Xm
m
Xmm
m
Xmm
m
wyAyyAwyyA ),(lim),(lim),(lim
;,),(),( XwwyAyyA XX ∈∀〉〈−〉〈≥
;),(lim),(),(lim),( Xmm
m
XXm
m
X yyAyyAwyAwyA 〉〈−〉〈≥〉〈−〉〈
∞→∞→
;,)(),()(lim XXm
m
ydyAwyAyA 〉−〈≥〉−〈
∞→
XwywdyA X ∈∀≥〉−−〈 0,,)( .
А це означає, що dyA =)( . Другу імплікацію доведено.
Доведемо третю. Нехай виконуються умови
∞→→〉〈 nyyAXyAyAXyy Xnnnn 0,),(в)()(,в * ,
0=,),(lim=),(lim XXnn
n
Xnn
n
ydyyAyyyA 〉〈−〉〈〉−〈
∞→∞→
.
З того, що оператор A задовольняє умову )(M , отримуємо ).(= yAd Оскі-
льки підпослідовність ми обирали довільно, то і третю імплікацію вважаємо
доведеною. Твердження доведено.
Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 137
Твердження 11. Нехай оператор *
0 : XXA → має властивість α ), а
оператор *
1 : XXA → є оператором з НОВ. Тоді їх сума 10= AAA +
)()(=)( 10 yAyAyA +
буде мати властивість )α .
Доведення. Розглянемо послідовність ., ∞→nyyn Слабко збіжні
послідовності є обмеженими, отже існує RR∈ таке, що Ryn ≤ . І нехай
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA ,
=),(lim),(lim0 10 XnnnXnn
x
yyyAyyyA 〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
XmmmXmmm
yyyAyyyA 〉−〈+〉−〈
∞→∞→
),(lim),(lim= 10 , (16)
де }{}{ nm yy ⊂ — підпослідовність, яка реалізує нижню границю в (16).
Якщо припустити, що 0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , то, користуючись власти-
вістю )α , ми одразу знайдемо шукану сильно збіжну підпослідовність.
Припустимо натомість, що 0),(lim 1 ≤〉−〈
∞→
Xmmm
yyyA . Оскільки 1A —
оператор з НОВ, то
),(),()( 11 ′−≥〉−−〈 yyRcyyyAyA mXmm ,
).,(),(),( 11 ′−−〉−〈≥〉−〈 yyRcyyyAyyyA mXmXmm (17)
Перейдемо до нижньої границі при ∞→n . У правій частині стоять
збіжні послідовності, тому там границі будуть звичайні.
0=,0)(),(lim 1 RcyyyA Xmm
x
−≥〉−〈
∞→
.
Остання нерівність разом з припущенням дають
0,=),(lim 1 Xmm
m
yyyA 〉−〈
∞→
отже 0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , і ми приходимо до попереднього пункту.
Твердження доведено.
Нехай оператор *
0 : XXA → має властивість 1α ), а оператор
*
1 : XXA → є оператором з НОВ. Тоді їх сума 10= AAA +
)()(=)( 10 yAyAyA +
теж буде мати властивість )1α . Розглянемо послідовність ., ∞→nyyn
Слабко збіжні послідовності є обмеженими, отже існує RR∈ таке, що
Ryn ≤ . І нехай
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 138
0),(lim ≤〉−〈
∞→
Xnnn
yyyA .
Тоді
XmmmXmmm
yyyAyyyA 〉−〈+〉−〈≥
∞→∞→
),(lim),(lim0 10 . (18)
Якщо припустити, що в (18) 0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , то, користую-
чись властивістю )1α , ми одразу знайдемо шукану підпослідовність, для
якої ∞→→ myy XXm , . Припустимо натомість, що ,)(lim 1 mm
yA〈
∞→
0≤〉− Xm yy . Оскільки 1A — оператор з НОВ, то
),(),()( 11 ′−≥〉−−〈 yyRcyyyAyA mXmm ,
).,(),(),( 11 ′−−〉−〈≥〉−〈 yyRcyyyAyyyA mXmXmm (19)
Перейдемо в (19) до нижньої границі при ∞→n . У правій частині сто-
ять збіжні послідовності, тому там границі будуть звичайні.
0.=,0)(),(lim 1 RcyyyA Xmm
m
−≥〉−〈
∞→
Остання нерівність разом з припущенням дають
0,=),(lim 1 Xmm
m
yyyA 〉−〈
∞→
отже, 0),(lim 0 ≤〉−〈
∞→
Xmm
m
yyyA , і ми приходимо до попереднього пункту.
Твердження доведено.
Твердження 12. Нехай Y — банахів простір, в який компактно вкла-
дено простір X (тоді, як відомо, ** XY ⊂ з компактним і неперервним
вкладенням). Розглянемо оператор ,=,: 10
* AAAXXA +→ де →XA :0
*X→ — монотонне відображення. Оператор *
1 :A Y X→ такий, що для
Yyy ∈∀ 21, та XByy r ⊂∈21, , виконується умова
( )YrX
yypyAyA 21*2111 )()( −≤− , де .)(=)(
)(2
α
α
α
λ srsp
rn
r ∑
≤≤
Оператор 1A , заданий таким чином, називається локально-поліноміальним.
Тоді оператор 10= AAA + є оператором з НОВ.
Доведення. Розглянемо два довільні елементи Yyy ∈21, , і нехай вони
лежать в деякій кулі ., 21 XByy r ⊂∈ Користуючись монотонністю опера-
тора 0A , будемо мати
=),()( 2121 XyyyAyA 〉−−〈
≥〉−−〈+〉−−〈 XX yyyAyAyyyAyA 212111212010 ),()(),()(=
XyyyAyA 〉−−〈≥ 212111 ),()( . (20)
Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 139
З того, що опрератор 1A — локально-поліноміальний, отримаємо
≤−−≤〉−−〈 XXX yyyAyAyyyAyA 21*1121211121 )()(),()(
)(2=)(2)()(2 2121*1121 XrYrX
yypryypryAyAr ′−−≤−≤ .
Якщо в якості функції ( , )c r t ми візьмемо функцію )(2 tpr r (очевидно,
що вона задовольняє всі умови, які накладаються на функцію ),( ⋅⋅c в озна-
ченні (6), то, продовжуючи низку нерівностей (20), отримаємо
).,(),()( 21212111 XX yyrcyyyAyA ′−−≥〉−−〈
Отже, оператор A дійсно є оператором з НОВ. Твердження доведено.
Твердження 13. Нехай Y — банахів простір, в який компактно
вкладено простір X . Розглянемо оператор ,=,: 10
* AAAXXA +→ де
*
0 : XXA → — монотонне відображення. Нехай для оператора →YA :1
*X→ при Yyy ∈∀ 21, таких, що XByy r ⊂∈21, , виконується умова
( )YrX
yypyAyA 21*2111 )()( −≤− , де α
α
α
λ srsp
rn
r )(=)(
)(1
∑
≤≤
.
Оператор 1A , заданий таким чином, називається локально-поліноміальним.
Тоді оператор 10= AAA + є оператором із CОВ.
Доведення. Розглянемо два довільні елементи Yyy ∈21, , і нехай вони
лежать в деякій кулі ., 21 XByy r ⊂∈ Повторюючи міркування з попере-
днього твердження, візьмемо в якості функції )(2=),( tprtrc r (очевидно,
що вона задовольняє умови на функцію ),( ⋅⋅c в означенні 7). Тоді
).,(),()( 212121 XX yyrcyyyAyA ′−−≥〉−−〈
Отже, оператор A дійсно є оператором із СОВ. Твердження доведено.
ВИСНОВКИ
Для класів нелінійних відображень псевдомонотонного типу наведено і впо-
рядковано властивості λ ( 0λ )-псевдомонотонності, а також α ), 1α ), 0α ) ,
( kS ), (M).
Показано, що при збуренні оператора, який має властивість α ),
операторами з НОВ, λ ( 0λ )-псевдомонотонного типів ця властивість збері-
гається.
Узагальнено властивості α ), 0α ) та λ ( 0λ )-псевдомонотонності на ви-
падок, коли оператор залежить від параметра.
Наведено важливі приклади операторів з НОВ та СОВ.
О.П. Когут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 140
Одержані результати у поєднанні з результатами робіт [1–10] дозволя-
ють суттєво розширити клас задач, для яких існує строгий розв’язуючий
оператор, що має ряд нових топологічних властивостей.
Partially Supported by State Fund of Fundamental Investigations Grant
№ Ф.1.029
ЛІТЕРАТУРА
1. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с
многозначными отображениями // Кибернетика и системный анализ. —
2000. — № 4. — С. 57–69.
2. Згуровский М.З., Мельник В.С. Неравенство Ки Фаня и операторные включения
в банаховых пространствах // Кибернетика и системный анализ. — 2002. —
№ 2. — С. 70–85.
3. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечно-
мерными системами. — Киев: Наук. думка, 1999. — 630 с.
4. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и
управления нелинейными процессами и полями. — Киев: Наук. думка,
2004. — 590 с.
5. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для
систем с распределенными параметрами. — Киев: Наук. думка, 1988. —
324 с.
6. Касьянов П.О., Мельник В.С. Метод Фаедо-Гальоркіна для диференціально-
операторних включень в банахових просторах з відображеннями
0λ
w -
псевдомонотонного типу // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. —
2005. — 2. – № 1. — С. 103–126.
7. Мельник В.С. Про критичні точки деяких класів багатозначних відображень //
Кибернетика и системный анализ. — 1997. — № 2. — C. 87–98.
8. Мельник В.С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в
банаховых пространствах с отображениями клаcса +)(S // Укр. матем.
журн. — 2000. — 52, № 11. — С. 1513–1523.
9. Мельник В.С. Топологические методы в теории операторных включений в ба-
наховых пространствах // Укр. матем. журн. — 2006. — 58, № 2. — С. 184–
194. — № 4. — С. 505–522.
10. Скрыпник И.В. Методы исследования эллиптических краевых задач. — М.:
Наука, 1990. — 442 с.
Надійшла 15.05.2007
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-12008 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:47Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Когут, О.П. 2010-09-13T17:14:29Z 2010-09-13T17:14:29Z 2008 Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів / О.П. Когут _ // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2008. — № 4. — С. 125-140. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12008 517.9 Розглядаються класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів. Представлено ряд властивостей для операторів псевдомонотонного типу, які потім належним чином впорядковані. Даний апарат може бути застосований при дослідженні властивостей розв’язуючого оператора. Рассматриваются классы нелинейных отображений в дуальной паре банаховых пространств. Представлен ряд свойств для операторов псевдомонотонного типа, которые затем надлежащим образом упорядочены. Данный аппарат может бать использован при исследовании свойств разрешающего оператора. Some classes of nonlinear maps in the dual pair of Banach spaces are considered. A number of properties for pseudo-monotonous operators are presented which are duly organized. The given apparatus may be used to investigate the properties of the solving operator. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів Некоторые классы нелинейных отображений в дуальной паре банаховых проcтранств Some classes of nonlinear maps in the dual pair of Banach spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів Когут, О.П. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів |
| title_alt | Некоторые классы нелинейных отображений в дуальной паре банаховых проcтранств Some classes of nonlinear maps in the dual pair of Banach spaces |
| title_full | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів |
| title_fullStr | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів |
| title_full_unstemmed | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів |
| title_short | Деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів |
| title_sort | деякі класи нелінійних відображень у дуальній парі банахових просторів |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/12008 |
| work_keys_str_mv | AT kogutop deâkíklasinelíníinihvídobraženʹudualʹníiparíbanahovihprostorív AT kogutop nekotoryeklassynelineinyhotobraženiivdualʹnoiparebanahovyhproctranstv AT kogutop someclassesofnonlinearmapsinthedualpairofbanachspaces |