Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра
Показано, что использование классификации колебаний, принятой в методе якобиевых матриц и являющейся наиболее естественной для описания локализованных состояний, приводит к чрезвычайно быстрой сходимости функций Грина для частот, расположенных вне полосы квазинепрерывного спектра кристалла. Это поз...
Saved in:
| Published in: | Физика низких температур |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/120149 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра / А.В. Котляр, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 3. — С. 343–359. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859840455940767744 |
|---|---|
| author | Котляр, А.В. Феодосьев, С.Б. |
| author_facet | Котляр, А.В. Феодосьев, С.Б. |
| citation_txt | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра / А.В. Котляр, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 3. — С. 343–359. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика низких температур |
| description | Показано, что использование классификации колебаний, принятой в методе якобиевых матриц и являющейся наиболее естественной для описания локализованных состояний, приводит к
чрезвычайно быстрой сходимости функций Грина для частот, расположенных вне полосы квазинепрерывного спектра кристалла. Это позволило получить достаточно общие аналитические выражения для условий образования и характеристик локальных колебаний, обусловленных наличием легких примесных атомов в кристалличесой решетке, область квазинепрерывного
фононного спектра которой односвязна. Точность определения с помощью данных выражений
частот и интенсивностей локальных колебаний проиллюстрирована на примерах легких примесей замещения (изотопических и слабосвязанных) в плотноупакованных структурах (ГЦК и
ГПУ), а также изолированных пар изотопических примесей в ГЦК кристаллической решетке.
Полученные результаты могут, в частности, быть использованы для простого и весьма точного
вычисления параметров основной решетки и дефекта по известным величинам локальных частот.
Показано, що використання класифiкацiї коливань, яка прийнята в методi якобiйових матриць та є найбiльш природною для описання локалiзованих станiв, призводить до надзвичайно
швидкої збіжностi функцiй Грiна для частот, розташованих поза смугою квазiбезперервного
спектра кристала. Це дозволило отримати досить загальнi аналiтичнi вирази для умов утворення та характеристик локальних коливань, що обумовленi наявнiстю легких домiшкових атомiв
в кристалiчнiй гратцi, область квазiбезперервного фононного спектра якої однозв’язна.
Точнiсть визначення за допомогою даних виразiв частот та iнтенсивностей локальних коливань
проiлюстровано на прикладах легких домiшкiв замiщення (iзотопiчних та слабкозв‘язаних) в
щiльноупакованих структурах (ГЦК та ГПУ), а також iзольованих пар iзотопiчних домiшок у
ГЦК кристалiчнiй гратцi. Отриманi результати можуть, зокрема, бути використанi для простого й досить точного обчислення параметрiв основної гратки й дефекту по вiдомих величинах
локальних частот.
It is shown, that the use of the oscillation
classification, which is accepted in the J-matrices
method and is most natural in describing localized
states, results in a very rapid convergence of
the Green function for frequencies beyond the
quasi-continuous spectral band of the crystal.
This makes possible to derive rather general analytical
expressions for the conditions of formation
of local oscillations that are due to the existence
of light impurity atoms in the crystal lattice
whose quasi-continuous spectral region is simply
connected. The accuracy of determining local oscillations
frequencies and intensities by these expressions
is illustrated with light substitutional
impurities (isotopic and simply connected) in
close-packed structures (fcc and hcp) and isolated
pairs of isotopic impurities in the fcc crystal lattice.
The results obtained can, in particular, be
used to calculate simply and very accurately the
fundamental lattice parameters and crystal imperfection
by the known values of local frequencies.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:37:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3, ñ. 343–359
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ ñ
îäíîñâÿçíîé îáëàñòüþ êâàçèíåïðåðûâíîãî
ôîíîííîãî ñïåêòðà
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kotlyar@.ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 19 ñåíòÿáðÿ 2005 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 7 îêòÿáðÿ 2005 ã.
Ïîêàçàíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå êëàññèôèêàöèè êîëåáàíèé, ïðèíÿòîé â ìåòîäå ÿêîáèåâûõ ìàò-
ðèö è ÿâëÿþùåéñÿ íàèáîëåå åñòåñòâåííîé äëÿ îïèñàíèÿ ëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé, ïðèâîäèò ê
÷ðåçâû÷àéíî áûñòðîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèé Ãðèíà äëÿ ÷àñòîò, ðàñïîëîæåííûõ âíå ïîëîñû êâàçè-
íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà êðèñòàëëà. Ýòî ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî îáùèå àíàëèòè÷åñêèå âû-
ðàæåíèÿ äëÿ óñëîâèé îáðàçîâàíèÿ è õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé, îáóñëîâëåííûõ íàëè-
÷èåì ëåãêèõ ïðèìåñíûõ àòîìîâ â êðèñòàëëè÷åñîé ðåøåòêå, îáëàñòü êâàçèíåïðåðûâíîãî
ôîíîííîãî ñïåêòðà êîòîðîé îäíîñâÿçíà. Òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ äàííûõ âûðàæåíèé
÷àñòîò è èíòåíñèâíîñòåé ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ïðèìåðàõ ëåãêèõ ïðèìå-
ñåé çàìåùåíèÿ (èçîòîïè÷åñêèõ è ñëàáîñâÿçàííûõ) â ïëîòíîóïàêîâàííûõ ñòðóêòóðàõ (ÃÖÊ è
ÃÏÓ), à òàêæå èçîëèðîâàííûõ ïàð èçîòîïè÷åñêèõ ïðèìåñåé â ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò, â ÷àñòíîñòè, áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïðîñòîãî è âåñüìà òî÷íîãî
âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ îñíîâíîé ðåøåòêè è äåôåêòà ïî èçâåñòíûì âåëè÷èíàì ëîêàëüíûõ ÷àñòîò.
Ïîêàçàíî, ùî âèêîðèñòàííÿ êëàñèôiêàöi¿ êîëèâàíü, ÿêà ïðèéíÿòà â ìåòîäi ÿêîáiéîâèõ ìàò-
ðèöü òà º íàéáiëüø ïðèðîäíîþ äëÿ îïèñàííÿ ëîêàëiçîâàíèõ ñòàíiâ, ïðèçâîäèòü äî íàäçâè÷àéíî
øâèäêî¿ çá³æíîñòi ôóíêöié Ãðiíà äëÿ ÷àñòîò, ðîçòàøîâàíèõ ïîçà ñìóãîþ êâàçiáåçïåðåðâíîãî
ñïåêòðà êðèñòàëà. Öå äîçâîëèëî îòðèìàòè äîñèòü çàãàëüíi àíàëiòè÷íi âèðàçè äëÿ óìîâ óòâîðåí-
íÿ òà õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíèõ êîëèâàíü, ùî îáóìîâëåíi íàÿâíiñòþ ëåãêèõ äîìiøêîâèõ àòîìiâ
â êðèñòàëi÷íié ãðàòöi, îáëàñòü êâàçiáåçïåðåðâíîãî ôîíîííîãî ñïåêòðà ÿêî¿ îäíîçâ’ÿçíà.
Òî÷íiñòü âèçíà÷åííÿ çà äîïîìîãîþ äàíèõ âèðàçiâ ÷àñòîò òà iíòåíñèâíîñòåé ëîêàëüíèõ êîëèâàíü
ïðîiëþñòðîâàíî íà ïðèêëàäàõ ëåãêèõ äîìiøêiâ çàìiùåííÿ (içîòîïi÷íèõ òà ñëàáêîçâ‘ÿçàíèõ) â
ùiëüíîóïàêîâàíèõ ñòðóêòóðàõ (ÃÖÊ òà ÃÏÓ), à òàêîæ içîëüîâàíèõ ïàð içîòîïi÷íèõ äîìiøîê ó
ÃÖÊ êðèñòàëi÷íié ãðàòöi. Îòðèìàíi ðåçóëüòàòè ìîæóòü, çîêðåìà, áóòè âèêîðèñòàíi äëÿ ïðîñòî-
ãî é äîñèòü òî÷íîãî îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòðiâ îñíîâíî¿ ãðàòêè é äåôåêòó ïî âiäîìèõ âåëè÷èíàõ
ëîêàëüíèõ ÷àñòîò.
PACS: 63.20.–e
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà, ôîíîííûé ñïåêòð, ôóíêöèÿ Ãðèíà, ÿêîáèåâà ìàòðèöà,
ëîêàëüíîå êîëåáàíèå
Ââåäåíèå
Äèñêðåòíûå óðîâíè, âîçíèêàþùèå çà ïðåäåëàìè
ïîëîñû êâàçèíåïðåðûâíîãî ôîíîííîãî ñïåêòðà èäå-
àëüíîé ðåøåòêè ïðè âíåäðåíèè â êðèñòàëë ëåãêèõ
èëè ñèëüíî ñâÿçàííûõ ïðèìåñåé, èçâåñòíû è èçó÷à-
þòñÿ êàê òåîðåòè÷åñêè, òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíî óæå
îêîëî øåñòèäåñÿòè ëåò. Àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ êîëåáàíèé, ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèå ëîêàëüíûõ,
áûñòðî óáûâàþò ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò äåôåêòà, è íà
ðàññòîÿíèÿõ îò ïðèìåñíîãî àòîìà, ñóùåñòâåííî
ïðåâûøàþùèõ õàðàêòåðíûé ðàäèóñ ìåæàòîìíîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ â ðåøåòêå, òàêîå óáûâàíèå ìîæíî
ñ÷èòàòü ýêñïîíåíöèàëüíûì. Ðåçóëüòàòû ñòàâøèõ
© À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ, 2006
êëàññè÷åñêèìè ðàáîò È.Ì. Ëèôùèöà è åãî øêîëû
[1–6], â êîòîðûõ áûëà ðàçâèòà òåîðèÿ ðåãóëÿðíûõ
âûðîæäåííûõ âîçìóùåíèé è â åå ðàìêàõ ïîëó÷åíû
çàìêíóòûå âûðàæåíèÿ äëÿ èçìåíåíèÿ ôîíîííîãî
ñïåêòðà êðèñòàëëà ëîêàëüíûìè äåôåêòàìè, â òîì
÷èñëå äëÿ ÷àñòîò ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé, èçëîæåíû
ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ ó÷åáíèêàõ ïî äèíàìèêå êðèñòàë-
ëè÷åñêîé ðåøåòêè, íàïðèìåð, [7–11].
Çà ïðîøåäøåå âðåìÿ áûëè ðàçðàáîòàíû ìåòîäèêè
ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ëîêàëüíûõ êîëå-
áàíèé, èç êîòîðûõ íàèáîëåå ýôôåêòèâíûìè è ÷àñòî
ïðèìåíÿåìûìè ÿâëÿþòñÿ íåéòðîíîãðàôèÿ, ñïèí-ðå-
øåòî÷íàÿ ðåëàêñàöèÿ, îïòè÷åñêàÿ è ìèêðîêîíòàêò-
íàÿ ñïåêòðîñêîïèÿ, ÷òî ïîçâîëèëî îáíàðóæèòü òàêèå
êîëåáàíèÿ â öåëîì ðÿäå òâåðäûõ ðàñòâîðîâ (ñì., íà-
ïðèìåð, [10,12,13]). Òåîðåòè÷åñêè èçó÷àëàñü òðàíñ-
ôîðìàöèÿ â êðèñòàëëàõ ñ êîíå÷íîé êîíöåíòðàöèåé
ïðèìåñíûõ àòîìîâ ëîêàëüíûõ óðîâíåé â êâàçè÷à-
ñòè÷íûõ ñïåêòðàõ (ôîíîííûõ, ýëåêòðîííûõ è äð.) â
ïðèìåñíûå çîíû [14–17]. Ñ ðàçâèòèåì ìåòîäîâ
íåëèíåéíîé äèíàìèêè ïîÿâèëèñü ðàáîòû, ïîñâÿùåí-
íûå âëèÿíèþ íà ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ ðåøåòî÷íûõ
àíãàðìîíèçìîâ (ñì., íàïðèìåð, [18]).
Îäíàêî äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè äàæå â ðàìêàõ
ãàðìîíè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ìîäåëè êðèñòàë-
ëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ èçîëèðîâàííûì äåôåêòîì íå
ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íî àäåêâàòíûå âûðàæàíèÿ äëÿ
îïèñàíèÿ óñëîâèé âîçíèêíîâåíèÿ è îñíîâíûõ õà-
ðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé (òàêèõ êàê ëî-
êàëüíàÿ ÷àñòîòà è àìïëèòóäà ñàìîãî ïðèìåñíîãî
àòîìà íà ýòîé ÷àñòîòå, à òàêæå çàòóõàíèå àìïëèòó-
äû ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò
ïðèìåñè).
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ñîîòâåòñòâóþùèå àíàëèòè-
÷åñêèå âûðàæåíèÿ ïîëó÷åíû äëÿ ñëó÷àÿ ëåãêèõ
(èçîòîïè÷åñêèõ è ñëàáîñâÿçàííûõ) ïðèìåñåé çàìå-
ùåíèÿ â êðèñòàëëàõ, ïîëîñà êâàçèíåïðåðûâíîãî
ñïåêòðà êîòîðûõ îäíîñâÿçíà. Ðåçóëüòàòû ïîäðîáíî
ïðîàíàëèçèðîâàíû äëÿ ïëîòíîóïàêîâàííûõ ðåøå-
òîê, êîãäà ïðè îïèñàíèè ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñò-
âèÿ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ öåíòðàëüíûì âçàèìîäåé-
ñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé.  øèðîêîì ÷àñòîòíîì
äèàïàçîíå ïîëó÷åííûå ôîðìóëû îïèñûâàþò õàðàê-
òåðèñòèêè ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ñ âûñîêîé òî÷íî-
ñòüþ è ìîãóò ñëóæèòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ
îñíîâíîé ðåøåòêè è ïðèìåñè ïî èçìåðÿåìûì ýêñïå-
ðèìåíòàëüíî ëîêàëüíûì ÷àñòîòàì.
1. Àïïðîêñèìèðóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ
õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé
Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñèñòåìû
âçàèìîäåéñòâóþùèõ îñöèëëÿòîðîâ (íå îáÿçàòåëüíî
êðèñòàëëè÷åñêè óïîðÿäî÷åííîé) ìîæíî çàïèñàòü â
îïåðàòîðíîì âèäå, êàê çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ íåêîòîðîãî îïåðàòîðà �L (ñì, íàïðèìåð,
[7,8,11]):
( � �)L I� �� �
�
0 . (1)
 (1) âåêòîðíîå ïîëå �( )r åñòü ïåðåíîðìèðîâàí-
íîå ïîëå àòîìíûõ ñìåùåíèé u(r)
u t
m
i
i i t( , )
( )
( )
r
r
r
�
� �e (2)
ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåêîòîðîå âåêòîðíîå ïðîñò-
ðàíñòâî, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü H, ò.å.
�
� p p p H� �( ; ( ))r r� . Ðàçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàí-
ñòâà, â îáùåì ñëó÷àå, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà
àòîìîâ ñèñòåìû N íà q — ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû
êàæäîãî àòîìà�.  (2) âåëè÷èíà u ti ( , )r — i-ÿ êîì-
ïîíåíòà âåêòîðà ñìåùåíèÿ àòîìà ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r
â ìîìåíò âðåìåíè t; m( )r — ìàññà ýòîãî àòîìà;
� �� 2 — êâàäðàò ÷àñòîòû ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ,
ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà �L
L
m mik
ikr r r r
r r
, ( , )
( ) ( )
� �
�
�
, (3)
äåéñòâóþùåãî â òîì æå ïðîñòðàíñòâå H ik( ( , ) r r� —
ìàòðèöà ñèëîâûõ ïîñòîÿííûõ).
Êîëåáàíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, ñîäåðæà-
ùåé èçîëèðîâàííûé òî÷å÷íûé äåôåêò, îïèñûâàþòñÿ
îïåðàòîðîì � � �L L�
0 �, ãäå îïåðàòîð �L0 îïèñûâàåò
êîëåáàíèÿ íåâîçìóùåííîé (èäåàëüíîé) ðåøåòêè, à
îïåðàòîð ��— âíîñèìîå äåôåêòîì âîçìóùåíèå. Äèñ-
êðåòíûå ëîêàëüíûå óðîâíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíå-
íèþ Ëèôøèöà, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü â îïåðàòîð-
íîì âèäå ñëåäóþùèì îáðàçîì (cì, íàïðèìåð, [11]):
det | | � � ( ) � )| | .I G� �0 0� � (4)
Çäåñü �I — åäèíè÷íûé îïåðàòîð, à � ( )G0 � — ãðè-
íîâñêèé îïåðàòîð íåâîçìóùåííîé ðåøåòêè, êîòî-
ðûé äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà �L îïðåäåëÿåòñÿ
êàê
�( ) ( � �)G I L� �� � �1 . (5)
Åñëè ìàòðèöà îïåðàòîðà �� èìååò êîíå÷íûé ðàíã,
òî âîçìóùåíèå íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì è â ýòîì
ñëó÷àå óðàâíåíèå (4) ìîæíî ðåøèòü. Ðàíã äàííîé
344 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
� Âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà H áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ñòðåëî÷êàìè íàä ñîîòâåòñòâóþùèì ñèìâîëîì, â îòëè÷èå îò îáû÷íûõ
òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ, êîòîðûå ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àþòñÿ æèðíûì øðèôòîì.
ìàòðèöû çàâèñèò íå òîëüêî îò âèäà îïåðàòîðà âîçìó-
ùåíèÿ, íî è îò âûáîðà áàçèñà. Òðàäèöèîííîå ïðåä-
ñòàâëåíèå êîëåáàíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè â
âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ âîëí íåîáîñíîâàííî ñó-
æàåò îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè óðàâíåíèÿ Ëèôøèöà,
òàê êàê ðàíã ìíîãèõ îïåðàòîðîâ âîçìóùåíèÿ, îïè-
ñûâàþùèõ âëèÿíèå òî÷å÷íîãî äåôåêòà íà êîëåáàíèÿ
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, êîíå÷íûé â êîîðäèíàò-
íîì ïðåäñòàâëåíèè, â k-ïðåäñòàâëåíèè ñòàíîâèòñÿ
áåñêîíå÷íûì. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ òàêæå çà-
òðóäíåíî èç-çà áåñêîíå÷íîêðàòíîãî âûðîæäåíèÿ
ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé. Îáîéòè äàííûå òðóäíîñòè
ïîçâîëÿåò ìåòîä J-ìàòðèö [20,21], ïîñêîëüêó ïðè-
íÿòàÿ â ýòîì ìåòîäå êëàññèôèêàöèÿ êîëåáàíèé íàè-
áîëåå óäîáíà äëÿ îïèñàíèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé, à
ñïåêòðû ðàññìàòðèâàåìûõ â íåì îïåðàòîðîâ ÿâëÿ-
þòñÿ ïðîñòûìè. Äàííûé ìåòîä äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî
èçëîæåí â [20–23], à òàêæå â Ïðèëîæåíèè ê [24],
ãäå îí ïðèìåíÿëñÿ èìåííî äëÿ îïèñàíèÿ ëîêàëüíûõ
êîëåáàíèé. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðèâåäåíû
ìèíèìàëüíûå ñâåäåíèÿ î ìåòîäå J-ìàòðèö, íåîáõî-
äèìûå äëÿ ïîíèìàíèÿ èñïîëüçóåìîé òåðìèíîëîãèè
è ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.
1.1. Âû÷èñëåíèå ôóíêöèè Ãðèíà
ìåòîäîì J-ìàòðèö
 îñíîâå ìåòîäà J-ìàòðèö ëåæèò ðàçáèåíèå ïðî-
ñòðàíñòâà êîëåáàíèé H íà ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâ,
êàæäîå èç êîòîðûõ çàäàåòñÿ âûáîðîì íåêîòîðîãî
ïîðîæäàþùåãî âåêòîðà
�
h H0 � , ñîîòâåòñòâóþùåãî
îïðåäåëåííîìó ñìåùåíèþ êàêîãî-ëèáî âûäåëåííîãî
àòîìà èëè ãðóïïû àòîìîâ. Â êàæäîì èç òàêèõ ïîä-
ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèÿ Ãðèíà G( )� — ìàòðè÷íûé
ýëåìåíò ãðèíîâñêîãî îïåðàòîðà G G( ) ( )� �� �00
� ( , �( ) )
� �
h G h0 0� ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå öåïíîé äðîáè,
êîòîðàÿ ñâîðà÷èâàåòñÿ ê âèäó [22,23]:
G G
n
n( ) ( );( )� ��
��
lim
G
Q b Q K
P b P Kn
n n n
n n n
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
�
� � �
� �
�
�
�
� � �
� � �
1 1
1 1 �)
.
(6)
Ôóíêöèè Pn ( )� — ïîëèíîìû ñòåïåíè n, óäîâëå-
òâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ:
b P a P b Pn n n n n n� � �� � �1 1 1( ) ( ) ( ) ( )� � � � (7)
ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ:
P P� � �1 00 1( ) ; ( ) ;� � (8)
Qn ( )� — ïîëèíîìû ñòåïåíè n � 1, óäîâëåòâîðÿþùèå
òîìó æå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ (7), íî ïðè
íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ:
Q Q b0 1 0
10( ) ; ( ) .� �� � �
(9)
Çäåñü an è bn — ñîîòâåòñòâåííî äèàãîíàëüíûå è íå-
äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû òðåõäèàãîíàëüíîé ÿêîáèåâîé
ìàòðèöû (J-ìàòðèöû) îïåðàòîðà, èíäóöèðîâàííîãî
îïåðàòîðîì (3) â äàííîì ïîäðîñòðàíñòâå. K� ( )� —
ôóíêöèÿ, â êîòîðóþ ñâîðà÷èâàåòñÿ íåïðåðûâíàÿ
äðîáü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ J-ìàòðèöå, âñå ýëåìåíòû êî-
òîðîé ðàâíû ñâîèì ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì. Åñëè ïî-
ëîñà ñïëîøíîãî ñïåêòðà êðèñòàëëà îäíîñâÿçíà —
� �� [ , ]0 m , òî
lim lim
n
n
n
n
ma b
�� ��
� �2
2
�
, (10)
è ôóíêöèÿ K� ( )� èìååò âèä
K Z
m
m� � �
�( ) { ( ) | |}�
�
� � � � � �
4
2 2
2
, (11)
Z i m m( ) ( ) ( )� � � � � �� � � ��
�� � . (12)
ÔóíêöèÿG n( )( )� ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì
ôóíêöèè Ãðèíà, òî÷íîñòü êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ âå-
ëè÷èíîé n (ïîðÿäêîì ãþéãåíñîâñêîé âîëíû) è ñêîðî-
ñòüþ ñòðåìëåíèÿ ñ ðîñòîì ýòîé âåëè÷èíû ìàòðè÷íûõ
ýëåìåíòîâ ê ñâîèì ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì (10).
Ëþáîé ýëåìåíò ãðèíîâñêîãî îïåðàòîðà Gmn ( )�
ñâÿçàí ñ ôóíêöèåé Ãðèíà ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì:
G P Q P P G m nmn m n m n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ).� � � � � �� �
�
(13)
Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèÿ (6–13) ïîëíîñòüþ çàäàþò
ñõåìó âû÷èñëåíèÿ ãðèíîâñêîãî îïåðàòîðà ñèñòåìû.
Íîðìèðîâàííàÿ íà åäèíèöó ñïåêòðàëüíàÿ ïëîò-
íîñòü
� �
�
�
��
( ) ( )( ) Im ( )n n
m
G� � �
1 8
2
� �
�
�
�
� �
� � �
� � �
� � �
� � �
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )m
n l n
m
P b P K1 1
2
� � (14)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòî ïðèìåíÿåìîå â ïðèáëè-
æåííûõ ðàñ÷åòàõ òàê íàçûâàåìîå ðåãóëÿðíîå èëè
ýëëèïòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå êâàäðàòîâ ÷àñòîò
(ñì., íàïðèìåð, [19]), ìîäóëèðîâàííîå íåêîòîðûì
ïîëèíîìîì ñòåïåíè 2n. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî è ôóíê-
öèÿ (14), è ñëåäóþùàÿ èç (6) àïïðîêñèìàöèÿ âåùå-
ñòâåííîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãðèíà àíàëèòè÷íû âíóòðè
ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà. Òàêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ
âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé ôóíêöèè Ãðèíà íå
ìîæåò áûòü èõ òî÷íûì âûðàæåíèåì, òàê êàê â ïîëî-
ñå íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà äàííûå ôóíêöèè àíàëèòè-
÷åñêèìè íå ÿâëÿþòñÿ. Õîòÿ óæå ïðè ñðàâíèòåëüíî
íåáîëüøèõ n âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè (6) íà
èíòåðâàëàõ ðåãóëÿðíîñòè äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé
÷àñòåé ôóíêöèè G( )� ñõîäÿòñÿ ê èñòèííûì çíà÷åíè-
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 345
ÿì ýòèõ ôóíêöèé, íî âáëèçè òî÷åê ñèíãóëÿðíîñòè
(îñîáåííîñòåé Âàí Õîâà) îòêëîíåíèå (14) è (6) îò
ýòèõ èñòèííûõ çíà÷åíèé çàìåòíû äàæå ïðè äîñòà-
òî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n (ñì., íàïðèìåð, [20]).
Çà ïðåäåëàìè ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà ïîâåäå-
íèå ôóíêöèè Ãðèíà ñóùåñòâåííî ïðîùå. Ïðè � �� m
ôóíêöèÿG G( ) ( )� �� Re è ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷å-
ðåç èíòåãðàë îò ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Cèí-
ãóëÿðíîñòè áóäóò ñãëàæåíû, è âíå ïîëîñû íåïðåðûâ-
íîãî ñïåêòðà ôóíêöèÿ Ãðèíà áóäåò àíàëèòè÷åñêîé.
Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ýòîé ôóíêöèè c ðîñòîì n
î÷åíü âåëèêà — àïïðîêñèìàöèè (6) äëÿ n � 1è áîëü-
øèõ n ñîâïàäàþò ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ, ÷òî îò÷åòëè-
âî âèäíî íà ðèñ. 1 è 2. Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíû çàâè-
ñèìîñòè îò ÷àñòîòû � âåùåñòâåííîé ÷àñòè ôóíêöèè
ÃðèíàG Gn n( ) ( )( ) ( )� � �� 2 — êðèâûå 2 è �2 , à òàêæå
(êðèâûå 1 è �1 ) ñîîòâåòñòâóþùåé ñïåêòðàëüíîé ïëîò-
íîñòè � � � �( ) ( )� �1ImG ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðå-
øåòêè ñ öåíòðàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó áëè-
æàéøèìè ñîñåäÿìè. Êðèâûå 1 è 2 ñîîòâåòñòâóþò
n � 60 äëÿ ÃÖÊ è n � 36 äëÿ ÃÏÓ, à øòðèõîâûå
ëèíèè �1 è �2 — n � 1. Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè � �( )
íîðìèðîâàíû íà åäèíèöó, à íîðìèðîâêà ReG( )� îï-
ðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì Êðàìåðñà–Êðîíèãà. Åñëè
ïðè � �� [ , ]0 m ìåæäó çàâèñèìîñòÿìè, ðàññ÷èòàííû-
ìè äëÿ n � 1 è äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé n, ìàëî îáùå-
ãî, òî ïðè � �� m , çà èñêëþ÷åíèåì î÷åíü óçêîé îá-
ëàñòè âáëèçè ãðàíèö ïîëîñû íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà,
êðèâûå 2 è �2 ïðàêòè÷åñêè ñëèâàþòñÿ.
Íà ðèñ. 2 äëÿ ÷àñòîò � �� m ïðèâåäåíû ÷àñòîò-
íûå çàâèñèìîñòè âåëè÷èíû �
� �
�G G
G
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 60
60
� �
�
,
ò.å. îòíîñèòåëüíîãî óêëîíåíèÿ àïïðîêñèìàöèè
G( )( )1 � îò ôóíêööèè G( )( )60 � äëÿ èäåàëüíûõ êðè-
ñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòîê ñ öåíòðàëüíûì âçàèìîäåéñò-
âèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé: ÃÖÊ (êðèâàÿ 1) è ÃÏÓ
ðåøåòêå äëÿ ñëó÷àÿ c/a /� 8 3 (êðèâûå 2 è 3 —
ïîðîæäàþùåå ñìåùåíèå íàïðàâëåíî âäîëü îñåé a è
c ñîîòâåòñòâåííî). Âèäíî, ÷òî çíà÷åíèÿ � èçìåíÿ-
þòñÿ îò âåëè÷èí � 1% âáëèçè ãðàíèöû ïîëîñû
ñïëîøíîãî ñïåêòðà äî âåëè÷èí � 01, –0 01,. % íà çà-
ìåòíîì óäàëåíèè îò íåå.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ëîêàëüíîé ÷àñòîòû, îáóñëîâ-
ëåííîé íàëè÷èåì â êðèñòàëëå ëåãêîé èçîòîïè÷åñêîé
ïðèìåñè çàìåùåíèÿ, óðàâíåíèå Ëèôøèöà (4) ìîæ-
íî çàïèñàòü â âèäå
G S( ) ( , � )� �
��
� ��
2
, (15)
ãäå � — äåôåêò ìàññû ïðèìåñíîãî àòîìà
� � �
� ��m
m
m m
m
(16)
( �m è m — ìàññû ïðèìåñè è àòîìà îñíîâíîé ðåøåòêè
ñîîòâåòñòâåííî). Ïðèìåð ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ Ëèôøèöà (15) ïðèâåäåí íà ðèñ. 1. Êðè-
âàÿ 3 íà ýòîì ðèñóíêå ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèè
S( , )� � äëÿ � � �0 75, (ïðèìåñü â 4 ðàçà ëåã÷å àòîìà
îñíîâíîé ðåøåòêè). Çíà÷åíèÿ �, ïðè êîòîðûõ ýòà
êðèâàÿ ïåðåñåêàåò êðèâûå G( )( )60 � è G( )( )1 � (ò.å.
âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ëîêàëüíûõ ÷àñòîò),
ñîâïàäàþò ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí � �10 4.
Ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ áîëåå óäàëåííûìè ñîñåäÿ-
ìè, êàê âèäíî íà ðèñ. 3, íå óõóäøàåò (à âáëèçè ãðà-
íèöû ñïëîøíîãî ñïåêòðà äàæå óëó÷øàåò) òî÷íîñòü
àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè Ãðèíà âåëè÷èíîé G( )( )1 �
ïðè � �� m . Òàêèì îáðàçîì, è â ýòîì ñëó÷àå äàííàÿ
àïïðîêñèìàöèÿ âïîëíå ïðèãîäíà äëÿ îïèñàíèÿ õà-
ðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé.
346 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
–4
–2
2
4
6
8
3
2,2 '
2'
1'
2
�/�0
�
1
Ðèñ. 1. Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè (êðèâûå 1 è �1) è âåùå-
ñòâåííûå ÷àñòè ôóíêöèé Ãðèíà (2 è �2 ) èäåàëüíîé ÃÖÊ
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ öåíòðàëüíûì âçàèìîäåéñòâè-
åì áëèæàéøèõ ñîñåäåé. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ êðèâûõ (2) è
(3) îïðåäåëÿåò ëîêàëüíóþ ÷àñòîòó, êðèâûõ ( �2 ) è (3) —
åå àïïðîêñèìàöèþ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè G( )( )1 � .
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
–0,010
–0,005
2
1
�/�0
�
3
Ðèñ. 2. ×àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû � — îòíîñèòåëü-
íîãî óêëîíåíèÿ àïïðîêñèìàöèè G( )( )1 � îò ôóíêöèè G( )( )60 �
äëÿ èäåàëüíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòîê ñ öåíòðàëüíûì
âçàèìîäåéñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé: ÃÖÊ (1); ÃÏÓ (ñìå-
ùåíèå âäîëü îñè a) (2); ÃÏÓ (ñìåùåíèå âäîëü îñè c) (3).
Çàìåòèì, ÷òî è äëÿ ïåðâûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ
J-ìàòðèöû a0 è b0, è äëÿ ôóíêöèè G( )( )1 � íåñëîæíî
ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Ïîýòîìó òîò
ôàêò, ÷òî çà ïðåäåëàìè ïîëîñû íåïðåðûâíîãî ñïåê-
òðà ôóíêöèÿG( )( )1 � ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñè-
ìèðóåò ôóíêöèþ Ãðèíà, ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî
ïðîäâèíóòüñÿ â èçó÷åíèè ëîêàëüíûõ óðîâíåé, â ÷à-
ñòíîñòè, íàïèñàòü ñðàâíèòåëüíî íåñëîæíûå àíàëè-
òè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ÷àñòîò è äðóãèõ õàðàêòåðè-
ñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé.
1.2. Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â ìåòîäå J-ìàòðèö
Åñëè îïåðàòîð �� â ðàññìàòðèâàåìîì öèêëè÷åñêîì
ïîäïðîñòðàíñòâå ïðåäñòàâëÿåòñÿ J-ìàòðèöåé êîíå÷íî-
ãî ðàíãà, òî â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå ìîæíî çàïèñàòü
óðàâíåíèå Ëèôøèöà [20,30,31], èç êîòîðîãî ìîæíî
îïðåäåëèòü óñëîâèÿ îáðàçîâàíèÿ è õàðàêòåðèñòèêè
ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé (ñì., íàïðèìåð, [24]).
Êîíñòðóêòèâíîé àëüòåðíàòèâîé äàííîìó ìåòîäó
ÿâëÿåòñÿ â ðÿäå ñëó÷àåâ íåïîñðåäñòâåííîå íàõîæäå-
íèå ïîëþñîâ ôóíêöèè Ãðèíà âîçìóùåííîé ñèñòåìû,
êîãäàG G( ) ( )� �� �00 ( , [ � � �] )
� �
h I L h0 0
1
0� � � �� , ò. å. ñ
èñïîëüçîâàíèåì â (6) J-ìàòðèöû îïåðàòîðà �L �
�
� �L0 �. Ýòîò ñïîñîá ïðèãîäåí è äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé, îáóñëîâëåííûõ íåâûðîæäåí-
íûì îïåðàòîðîì âîçìóùåíèÿ (åñëè âîçìóùåíèå íå
ìåíÿåò øèðèíó ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà, ò.å. ïðå-
äåëüíûõ çíà÷åíèé J-ìàòðèöû, è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ
«àñèìïòîòè÷åñêè âûðîæäåííûì»). Ïîëþñû ôóíê-
öèè Ãðèíà �d îïðåäåëÿþò äèñêðåòíûå ÷àñòîòû (â
÷àñòíîñòè, ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ), a âû÷åòû â ýòèõ
ïîëþñàõ � �� �0 00
( ) ( )d
d
G� �res — èíòåíñèâíîñòè,
ò.å. õàðàêòåðèçóþò âåëè÷èíó àìïëèòóäû òåõ æå îï-
ðåäåëåííûõ âåêòîðîì
�
h0 êîëåáàíèé íà äèñêðåòíûõ
÷àñòîòàõ, ïðè ýòîì
� � � �
�
( )d d
d
m
��� 0 1
0
.
Èç (13) ñëåäóåò, ÷òî � �� �n
d
nnd
G( ) ( )� ��res
� � �0
2( ) ( )d
n dP , ò.å. ôóíêöèÿ Pn d
2( )� îïðåäåëÿåò çàòó-
õàíèå àìïëèòóäû ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ ñ ðîñòîì íî-
ìåðà âòîðè÷íîé ãþéãåíñîâñêîé âîëíû. Ïðè ñòðåì-
ëåíèè ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ J-ìàòðèöû ê ñâîèì
ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì (10) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ ( )}Pn d n na
2 �
�
� ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé
ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, òàêèì îáðàçîì, àìïëè-
òóäû ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé çàòóõàþò ýêñïîíåíöèàëü-
íî [25–27]. Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ëîêàëüíîãî
óðîâíÿ äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå
� � �n
d
n
d
n d
n
P( ) ( ) ( )
�
�
�
�
� �� �
0
0
2
0
1 , (17)
êîòîðîå ñëåäóåò èç ôîðìóë äëÿ ðàçíîñòè ñëåäîâ âîç-
ìóùåííîãî è íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðîâ [5,20,21].
Òàê êàê çà ïðåäåëàìè ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà
ôóíêöèÿ G( )( )1 � ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé àïïðîêñèìàöèåé
ôóíêöèè Ãðèíà, òî âïîëíå ðàçóìíî îæèäàòü, ÷òî ñ åå
ïîìîùüþ ìîæíî âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíî îïèñàòü
õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé. Âû÷èñëèì
ýòè õàðàêòåðèñòèêè.
Ââåäåì ïàðàìåòðû �è�, õàðàêòåðèçóþùèå îòêëî-
íåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ a0 è b0 îò ïðåäåëüíûõ
çíà÷åíèé (10):
a bm m
0 02 1 4 1
�
�
�
�
�
�( )
; , (18)
î÷åâèäíî, ÷òî � �, [ , )� �
1 .
Ôóíêöèþ Ãðèíà G( )( )1 � ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
G G( ) ( )( ) ( , , )1 1� � � �� �
4 1 1
2 1 1 2 1 2 2 1
( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) |
�
� �
�
� �
� � � � � � � � � �m Z �m |
. (19)
Çíà÷åíèÿ � � � � �� �d m( , ) , ïðè êîòîðûõ çíàìåíà-
òåëü (19) îáðàùàåòñÿ â íóëü, îïðåäåëÿþò êâàäðàòû
÷àñòîò ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé. Èç ýëåìåíòàðíûõ, õîòÿ
è ãðîìîçäêèõ, âû÷èñëåíèé ñëåäóåò, ÷òî òàêîå çíà÷å-
íèå îäíî:
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 347
1,2 1,4 1,6
–0,01
0
0,01
�
�/�0
!2/!1 = 0; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2
Ðèñ. 3. Ýâîëþöèÿ ÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòè �( )� ñ ðîñòîì
âçàèìîäåéñòâèÿ ñî âòîðûìè ñîñåäÿìè (!1 è !2 — ñèëî-
âûå êîíñòàíòû ïåðâûõ è âòîðûõ ñîñåäåé ñîîòâåòñòâåííî).
� � � � � �
�
� �1
2
4 1
( , ) ( , )
( )
� �
�l
m
� � � �
�
"
#
$
%$
&
'
$
($
2
1
2
� � �
� �
�
( )
(20)
è ñóùåñòâóåò ïðè
�
�
) �
� �
"
#
$
%$
3
4
1
;
[ , );
èëè
�
� � �
�
�
� �
) * � �
"
#
$
%
$
3
4
1 2
3 4
;
)
. (21)
Íàëè÷èþ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, õàðàêòå-
ðèçóåìîé ïàðàìåòðàìè � è �, ñîîòâåòñòâóåò çàøòðè-
õîâàííàÿ îáëàñòü íà ðèñ. 4.
 [24] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïîðîãîâûì çíà÷åíèÿì
ïàðàìåòðîâ � è �, ëåæàùèì íà êðèâîé � � �� * ( ), ñî-
îòâåòñòâóåò êîðíåâàÿ îñîáåííîñòü ñïåêòðàëüíîé
ïëîòíîñòè ïðè � �� m . Äåéñòâèòåëüíî, ñïåêòðàëü-
íàÿ ïëîòíîñòü
� � � �
�
��
� � �
� � �
( )( , , )
( )
( )
1
1
2
1
4
�
�
�
m
d
d+
, (22)
ãäå �2, îòëè÷àþùàÿñÿ îò �1 (20) çíàêîì ïåðåä ðàäè-
êàëîì, èìååò òàêóþ îñîáåííîñòü ïðè � �� * , òàê êàê
ïðè ýòîì � �1 � m .  ÷àñòíîñòè, èäåàëüíîé ëèíåéíîé
öåïî÷êå ñî âçàèìîäåéñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé ñî-
îòâåòñòâóåò � � 0 è � � �1 2/ . Ýòè çíà÷åíèÿ ëåæàò íà
êðèâîé � � �� *( ). Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òàêîé öå-
ïî÷êè èìååò êîðíåâûå îñîáåííîñòè íà êðàÿõ ïîëîñû
íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà, è îáðàçîâàíèå ëîêàëüíûõ êî-
ëåáàíèé ëåãêîé èëè ñèëüíî ñâÿçàííîé ïðèìåñüþ
ïðîèñõîäèò áåñïîðîãîâûì îáðàçîì.
Äëÿ èíòåíñèâíîñòè ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ �0 �
= res
� �
�
� l
G2 ( ) ïîëó÷èì:
�
�
� � �
� � �
� �
�
� � �0
1 2
1 1
1
4
2 1 2
1 2
1
2�
�
�
�
� �
"
#
%
&
( )
( ) ( )m m '
(
�
�
�
�
�
�
� �,
-
.
/
0
1
� � �
� �
�
� �
� �
�
� �
( )
( )
( )
1 2
1
2
1
3
4
2
2
� �
,
-
.
/
0
1 �
�
,
-
..
/
0
11
&
'
(
"
#
%
3
4
1 2
3 4
�
�
�
� . (23)
Ïîäñòàíîâêà (20) â óðàâíåíèå Ëèôøèöà [20,24],
êîòîðîå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ïðèìåò âèä
( [ , ])� �2 0 m
� � � � �
�
�m m m
�
3
4
5
6
7
8 �2 2
1
1
( )
� � � � �[ ( )]2 2 0� � � � �m m , (24)
ïîêàçûâàåò, ÷òî � � �1( , ) óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâ-
íåíèþ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (21).
Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî õàðàêòåðèñòèêîé çàòóõà-
íèÿ êîëåáàíèé ìîæåò ñëóæèòü èçìåíåíèå èõ àìïëè-
òóäû ñ ðîñòîì íîìåðà n âòîðè÷íîé ãþéãåíñîâñêîé
âîëíû, êîòîðîå ïðîïîðöèîíàëüíî Pn
2
1( )� . Ïîäñòà-
âèâ (20) â (7),(8), ïîëó÷èì:
P1 1
21
1 1
( )
( )
( )
�
�
� �
� �
� �
�
� �
�
�
3
4
5
5
6
7
8
8
. (25)
Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ëåãêî
äîêàçàòü, ÷òî ïðè n � 1
P Pn
n( ) [ ( )]�
�
� �1 1 1
1
1
1�
, (26)
ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû �n , åñëè îíè îòëè÷íû îò
íóëÿ (ò.å. âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (21) è ëîêàëüíûå
348 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
1 2 3
1
2
3
�
�
Ðèñ. 4. Îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ (çàøòðèõîâàíà) è îòñóò-
ñòâèÿ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, îïèñûâàåìîé
ôóíêöèåé Ãðèíà (19). Ðàçäåëèòåëüíàÿ êðèâàÿ � � �� *( )
çàäàåòñÿ ñèñòåìîé íåðàâåíñòâ (21).
óðîâíè äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò), ïðè n � 1 îáðà-
çóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ:
� �
�
�n
n nq q� �
�
1
1 0
1
. (27)
Çíàìåíàòåëü ýòîé ïðîãðåññèè
q P�
�
�
�
3
4
5
5
6
7
8
8
"
#[ ( )]
( )
( )
( )
1
1
1 11 1
2
2
� �
�
� �
� �
� �
�
$
%$
&
'
$
($
2
(28)
ïðè âûïîëíåíèè (21) ìåíüøå åäèíèöû è óñëîâèå
(17) âûïîëíÿåòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûå â ýòîì ðàçäåëå ôîð-
ìóëû (20), (21), (23) è (28) ñîäåðæàò ïîëíîå ðåøå-
íèå çàäà÷è àòîìíîé äèíàìèêè äëÿ ëîêàëüíûõ êîëå-
áàíèé â ñèñòåìå, îïèñûâàåìîé ôóíêöèåé Ãðèíà
(19), ò.å. îïðåäåëÿþò óñëîâèÿ èõ ñóùåñòâîâàíèÿ,
÷àñòîòó, èíòåíñèâíîñòü è çàòóõàíèå.  ñëåäóþùåì
ðàçäåëå áóäåò ïðîàíàëèçèðîâàíà è ïðîèëëþñòðèðî-
âàíà ïðèìåíèìîñòü ýòèõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ êîíêðåò-
íûõ ìîäåëåé ïëîòíîóïàêîâàííûõ êðèñòàëëîâ ñ ïðè-
ìåñÿìè çàìåùåíèÿ.
2. Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå
íàëè÷èåì ïðèìåñè çàìåùåíèÿ â
ïëîòíîóïàêîâàííûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
 ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàëàñü ôóíêöèÿ
Ãðèíà âîçìóùåííîé ñèñòåìû (19), õîòÿ îòëè÷èå îò
íóëÿ ïàðàìåòðîâ � è � ìîæåò áûòü ïðèñóùå è áåçäå-
ôåêòíîé ñòðóêòóðå è â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè õàðàêòå-
ðèçîâàòü îñîáåííîñòè åå ãåîìåòðèè è ñèëîâîãî âçàè-
ìîäåéñòâèÿ. Äëÿ ðåøåòêè, ñîäåðæàùåé äåôåêòíûå
àòîìû, ïàðàìåòðû � è � áóäóò íåêîòîðûìè ôóíêöèÿ-
ìè ïàðàìåòðîâ äåôåêòà — îòíîñèòåëüíûõ èçìåíåíèé
ìàññû � (16) è ñèëîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ 9,
9
!
!
! !
!
� �
� ��
, (29)
ãäå �! è ! — ñèëîâûå ïîñòîÿííûå, îïèñûâàþùèå
âçàèìîäåéñòâèå ïðèìåñè ñ áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè è
ìåæàòîìíîå âçàèìîäåéñòâèå â èäåàëüíîé ðåøåòêå.
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèé � � 9( , ) è �
�: 9� ñ èñ÷åçíîâåíèåì
âëèÿíèÿ äåôåêòà ìîãóò áûòü îòëè÷íûìè îò íóëÿ
(êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, èäåàëüíîé ëèíåéíîé
öåïî÷êå ñîîòâåòñòâóåò � � �1 2/ ). Îäíàêî áåçäå-
ôåêòíîé ñèñòåìå íå ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèÿ
� è �, îáåñïå÷èâàþùèå íàëè÷èå ëîêàëüíûõ êîëåáà-
íèé (ñì., íàïðèìåð, [32]).  ÷àñòíîñòè, äëÿ èäåàëü-
íûõ ðåøåòîê äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
� � � 3 4/ .
Îïðåäåëèâ ôóíêöèè � � 9( , ) è �
�: 9� äëÿ êîíêðåò-
íûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóð ñ ðàçëè÷íûìè äå-
ôåêòíûìè êîíôèãóðàöèÿìè è ïîäñòàâèâ èõ â
(20),(23),(28) è (21), ìîæíî ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòè
óñëîâèé îáðàçîâàíèÿ è äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðè-
ñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé îò ïàðàìåòðîâ, õàðàêòå-
ðèçóþùèõ îòäåëüíûé äåôåêò, êîíôèãóðàöèþ äå-
ôåêòîâ, à òàêæå èäåàëüíóþ ðåøåòêó. Â íàñòîÿùåì
ðàçäåëå òàêèå çàâèñèìîñòè ïîëó÷åíû äëÿ ïðèìåñåé
çàìåùåíèÿ â ÃÖÊ è ÃÏÓ ðåøåòêàõ. Ðåçóëüòàòû ñî-
ïîñòàâëÿþòñÿ ñ ÷èñëåííûìè ðàñ÷åòàìè, ïðîâåäåí-
íûìè ñ ïîìîùüþ J-ìàòðèö âûñîêîãî ðàíãà.
2.1. Èçîëèðîâàííàÿ èçîòîïè÷åñêàÿ ïðèìåñü â
ÃÖÊ è ÃÏÓ êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Èçîòîïè÷åñêàÿ ïðèìåñü çàìåùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âàæ-
íûì îáúåêòîì äèíàìèêè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ
äåôåêòàìè. Âî-ïåðâûõ, ïîòîìó ÷òî âêëàä â êîëåáà-
òåëüíûé ñïåêòð êðèñòàëëà, âíîñèìûé ðåàëüíûìè
ïðèìåñÿìè çàìåùåíèÿ (ïðèìåñè çàìåùåíèÿ âñòðå÷à-
þòñÿ íàèáîëåå ÷àñòî), îáóñëîâëåí, ãëàâíûì îáðàçîì,
èìåííî îòëè÷èåì ìàññû, à íåêîòîðûå òâåðäûå ðàñ-
òâîðû ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê èçîòîïè÷åñêèå (íàïðèìåð, Ag–Al�).
Âî-âòîðûõ, åñëè èçâåñòåí õèìè÷åñêèé ñîñòàâ ðàñòâî-
ðà, îòëè÷èå ìàññ îñíîâíîé ðåøåòêè è ïðèìåñè èç-
âåñòíî òî÷íî, à îòëè÷èå ñèëîâûõ êîíñòàíò, à òàêæå
âåëè÷èíà îáóñëîâëåííûõ íàëè÷èåì ïðèìåñè íàïðÿ-
æåíèé è âëèÿíèå äðóãèõ ïðîöåññîâ (ðîòàöèÿ, êîí-
âåðñèÿ), ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé çàäà÷åé ýêñïå-
ðèìåíòà. Äëÿ åå ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî ñðàâíåíèå
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ñ òåîðåòè÷åñêèì ðàñ÷å-
òîì äëÿ ìîäåëè èçîòîïè÷åñêîé ïðèìåñè, ÷òî äåëàåò
òåîðåòè÷åñêèé ó÷åò âëèÿíèÿ èçîòîï-ýôôåêòà íåîòú-
åìëåìîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé.
Öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííûå
ñìåùåíèÿìè èçîëèðîâàííîé èçîòîïè÷åñêîé ïðèìåñè
âäîëü ãëàâíûõ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé, ñîäåð-
æàò â ñåáå ïîëíóþ èíôîðìàöèþ îá èçìåíåíèè ôî-
íîííîãî ñïåêòðà êðèñòàëëà òàêèì äåôåêòîì
[20,30,31]. Â êàæäîì èç òàêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ èìå-
åòñÿ òîëüêî äâà îòëè÷íûõ îò íóëÿ ýëåìåíòà J-ìàòðè-
öû îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ ��
�00 01
� �
�
�
a , �01 01
1
1
� �
,
-
.
/
0
1
�
b , (30)
ãäå � — äåôåêò ìàññû (16); a0 è b0 — äâà ïåðâûõ
ýëåìåíòà J-ìàòðèöû íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà.
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 349
� Îáà ýòè ìåòàëëà èìåþò ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó, ïîñòîÿííàÿ êîòîðîé ó Al ; 404, �, à ó Ag ; 408, � �����
Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàìåòðû � è � (18) ïîëíîñòüþ
îïèñûâàþò âîçìóùåíèå, âíîñèìîå òàêèì äåôåêòîì.
Ñèëîâûå ìàòðèöû
�ik � äëÿ ñëó÷àÿ öåíòðàëü-
íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó àòîìàìè èìåþò âèä
� �
� �
�
ik
i k� �� � �
! <( ) ( ),2 01
�< !�
�
, ( )0 2
�
� �
�
i k . (31)
 ïðåäëàãàåìîé ðàáîòå îãðàíè÷èìñÿ âçàèìîäåé-
ñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì
êðèñòàëëè÷åñêèå ñòðóêòóðû ÃÖÊ è ÃÏÓ ñ = � 1. Òî-
ãäà âñå çíà÷åíèÿ � îäèíàêîâû è ! !( )� � . Ïðè ýòîì
êâàäðàò ìàêñèìàëüíîé ÷àñòîòû � !m /m� 8 . Âåëè÷è-
íà a /m0 2� � , à b /m0 4� � , ò.å. ôóíêöèÿ Ãðèíà (19)
ñîâïàäàåò ñ âåëè÷èíîé K� ( )� , îïðåäåëåííîé â (11).
 öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ, ïîðîæäåííûõ
ñìåùåíèÿìè èçîòîïè÷åñêîé ïðèìåñè, ïàðàìåòðû
� � �� � . Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â (20), (23) è
(29), ïîëó÷èì:
�
�
� �
l
m2
2
2
1
1
�
,
-
.
/
0
1
�| |( | |)
; (32)
�
� �
�
�0 1
1
2
1
4
� �
�
� � �,
-
.
/
0
1
|
| |
� ; (33)
q �
�,
-
.
.
/
0
1
1
1
2
| |
| |
�
�
. (34)
Íà ðèñ. 5 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè � �l ( ), � �0( ), à
òàêæå âåëè÷èíû
� � � � �1 0 1
2 2( ) ( ) ( )� �P l
� �,
-
.
/
0
1
�,
-
.
.
/
0
1
1
� �,
-
.
/
0
1| |
|
�
� �
�
�
1
2
1 1
42
� , (35)
ðàññ÷èòàííûå êàê ïî ôîðìóëàì (32)–(35), òàê è ñ
ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà (6), ïîëó÷åííîé ïî J-ìàò-
ðèöàì âûñîêîãî ðàíãà. Òîëüêî âáëèçè ãðàíèöû
ñïëîøíîãî ñïåêòðà çàìåòíî íåêîòîðîå ( %)� 5 îòëè-
÷èå â ïîâåäåíèè èíòåíñèâíîñòåé (íî íå ÷àñòîò) ëî-
êàëüíûõ êîëåáàíèé.
Çàìåòèì, ÷òî óæå ïðè �l � 1,01�m âåëè÷èíà
1 0�
( ( ) ( ))� � � �l � 10–4, ò.å. ëîêàëüíîå êîëåáàíèå
ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ëîêàëèçîâàíî â ïðåäåëàõ
ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé ñôåðû ïðèìåñíîãî àòîìà.
Âåëè÷èíà ïîðîãîâîãî äåôåêòà ìàññû �� , íåîáõî-
äèìîãî äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ,
ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ
óðàâíåíèÿ Ëèôøèöà ïðè � �>
m 0. Â [24] áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî
�
� � � �
*
m m m mG G
�
�
1
0
2
0( ) ( )
. (36)
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿG m( )�
0 è �* äëÿ
ðàññìîòðåííûõ ñèñòåì.
Òàáëèöà 1. Çíà÷åíèÿ G m00 0( )�
è ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ
äåôåêòà ìàññû äëÿ ÃÖÊ è ÃÏÓ (= � 1) êðèñòàëëè÷åñêèõ
ðåøåòîê
Ñèñòåìà G m00 0( )� � �*
J-ìàòðèöà ðàíãà n � 1 8 –0,25
ÃÖÊ 8,161155 –0,245063
ÃÏÓ [100] 8,214850 –0,243462
ÃÏÓ [001] 8,080908 –0,247497
Åñëè â ÃÏÓ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ïàðàìåòð
= ? 1, òî ! ! < ! <( ) ( ), ,�
�
�
z zc0 01 , ãäå ! !� ( )a ;
! !
= �c a /�
( )1 2 32 (a — ïîñòîÿííàÿ ÃÏÓ ðåøåò-
êè). Åñëè ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà äîñòèãàåòñÿ íà äíå
îïòè÷åñêîé çîíû, ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ áîëüøèíñòâà
òàêèõ ñòðóêòóð, òî â öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñò-
âàõ, ïîðîæäåííûõ ñìåùåíèÿìè ïðèìåñè âäîëü è
ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè c, ïàðàìåòðû � è � ìîãóò
áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
350 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
0,25 0,50 0,75 1,00
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3
2
–�
�
/ �
m
�
1
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü îò äåôåêòà ìàññû èçîëèðîâàííîé èçî-
òîïè÷åñêîé ïðèìåñè îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíîãî
êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííîãî íàëè÷èåì òàêîãî äåôåêòà â
ïëîòíîóïàêîâàííûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ ñ öåíòðàëü-
íûì âçàèìîäåéñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé. ×àñòîòà ëîêàëü-
íîãî êîëåáàíèÿ (1); èíòåíñèâíîñòü ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ
íà ñàìîì ïðèìåñíîì àòîìå (2); èíòåíñèâíîñòü ëîêàëüíîãî
êîëåáàíèÿ íà ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé ñôåðå ïðèìåñè (3).
Ñïëîøíûå ëèíèè ðàñ÷åò ïî J-ìàòðèöå ïåðâîãî ðàíãà; òî÷êè
— ïî J-ìàòðèöå n � 60: � — ÃÖÊ; � è � — ÃÏÓ âäîëü
îñåé a è c ñîîòâåòñòâåííî.
�
h0 0 100� @| | [ ] :
�
� �
! = � !
! !
( )
[ ]
;
;�
� �
c
c
4 1 1 3
3
2
� �
! = = � !
! = = !
( )
[ ( ) ]
( )
�
� �
c
c
2 2 2 2
2 2 2 2
2 5 6 1 9
1 2 9
;
�
h0 0 001� @| | [ ] :
� � � A � �
= �
=
( ) ( )
( )
� �
�
1 1 3
1 2
2
2
.
(37)
Ïîäñòàíîâêà ýòèõ ïàðàìåòðîâ â (20), (23) è (28)
ïðèâîäèò ê íåñëîæíûì, íî î÷åíü ãðîìîçäêèì âûðà-
æåíèÿì äëÿ õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé,
âûïèñûâàòü ÿâíûé âèä êîòîðûõ ìû ïîñ÷èòàëè íå-
öåëåñîîáðàçíûì.
Ñîïîñòàâëåíèå ïîëó÷åííûõ òàêèì îáðàçîì ðå-
çóëüòàòîâ ñ äàííûìè ðàñ÷åòà ñ èñïîëüçîâàíèåì
ôóíêöèé Ãðèíà, âîññòàíîâëåííûõ ïî J-ìàòðèöàì
âûñîêîãî ðàíãà, ïðèâåäåíî íà ðèñ. 6. Âèäíî, ÷òî è â
ýòîì ñëó÷àå (20) ÿâëÿåòñÿ î÷åíü õîðîøåé àïïðîê-
ñèìàöèåé ëîêàëüíîé ÷àñòîòû âî âñåì ÷àñòîòíîì
äèàïàçîíå, à (23) õîðîøî îïèñûâàåò èíòåíñèâíîñòü
ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ ïðè �l � 1,05–1,10 �m .
Ïðàêòè÷åñêè äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ëî-
êàëüíîãî êîëåáàíèÿ äîñòàòî÷íî ó÷åñòü, ÷òî âáëèçè
�m ôîðìà ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè îïðåäåëåíà:
� � � �( ) � �m
2 2 (ñì., íàïðèìåð, [7]). Òàêàÿ àï-
ïðîêñèìàöèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïðèìåíÿëàñü,
â ÷àñòíîñòè, â [33]. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëü-
íîñòè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñðåäíåå ïî ñïåêòðó
çíà÷åíèå ÷àñòîòû è äèñïåðñèþ ýòîãî ñðåäíåãî çíà-
÷åíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ÷åðåç a0 è b0. Äåéñòâèòåëüíî,
òàê êàê ïîëèíîìû Pn ( )� îðòîíîðìèðîâàíû â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ âåñîâûì ìíîæèòåëåì � �( )
(ñì., íàïðèìåð, [28,29]), òî
a M b M M0 1 0 2 1
2� � �; , (38)
ãäå M dn
n�
�
�� � � �( )
0
.
Ñîîòâåòñòâåííî, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò a0 — ýòî êâàä-
ðàò ýéíøòåéíîâñêîé ÷àñòîòû, à ìàòðè÷íûé ýëåìåíò b0
õàðàêòåðèçóåò äèñïåðñèþ ðàñïðåäåëåíèÿ êîëåáàíèé.
Âëèÿíèå íà âåëè÷èíû a0 è b0 îêàçûâàþò òîëüêî
òå ñîñåäè ïðèìåñíîãî àòîìà, ñ êîòîðûìè îí íåïî-
ñðåäñòâåííî âçàèìîäåéñòâóåò. Â ðàññìàòðèâàåìîé
íàìè ìîäåëè — ýòî áëèæàéøèå ñîñåäè, ïîýòîìó âîç-
ìîæíîñòü îïèñàíèÿ ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ëîêàëüíûõ
÷àñòîò ñ ïîìîùüþ (20) îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâóþùèå
íà ðåøåòêó äðóãèå âîçìóùåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå èç-
ìåíÿò ÷àñòîòó ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ, åñëè îíè íå
çàòðàãèâàþò ïåðâóþ êîîðäèíàöèîííóþ ñôåðó ïðè-
ìåñè.  ÷àñòíîñòè, ïðè êîíå÷íîé êîíöåíòðàöèè
ïðèìåñíûõ àòîìîâ ðàçìûòèå ëîêàëüíûõ óðîâíåé
ïðîèñõîäèò ãëàâíûì îáðàçîì çà ñ÷åò ïàð ïðèìåñåé,
êîòîðûå ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî ìíîæåñòâà àòîìîâ, ñ
êîòîðûìè âçàèìîäåéñòâóåò êàæäàÿ èç íèõ, ïåðåñå-
êàþòñÿ. Ýòîò ñëó÷àé ðàññìîòðåí â ñëåäóþùåì ïàðà-
ãðàôå.
2.2. Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå ïàðîé
èçîòîïè÷åñêèõ ïðèìåñåé â ÃÖÊ
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå
 ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ñ öåíòðàëüíûì
âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè àòî-
ìû, âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ îáåèìè ïðèìåñÿìè, áóäóò
ñóùåñòâîâàòü, åñëè ïðèìåñè ÿâëÿþòñÿ áëèæàéøè-
ìè, âòîðûìè, òðåòüèìè èëè ÷åòâåðòûìè ñîñåäÿìè
äðóã äðóãà.
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 351
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
�
m
�
�/
0,25 0,50 0,75 1,00–�
á
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü îò äåôåêòà ìàññû èçîëèðîâàííîé
èçîòîïè÷åñêîé ïðèìåñè ÷àñòîòû è èíòåíñèâíîñòè ëîêàëü-
íîãî êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííîãî íàëè÷èåì òàêîãî äåôåê-
òà â ÃÏÓ êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ ñ öåíòðàëüíûì
âçàèìîäåéñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé è îòëè÷íûìè îò
åäèíèöû çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà = � a/c /8 3: = � 105, ,
! !c a� 088, ( ); = � 095, , ! !c á� 115, ( ). Ñïëîøíûå ëèíèè
ðàñ÷åò ïî J-ìàòðèöå ïåðâîãî ðàíãà, � è � ïî J-ìàòðèöå
n � 60 (âäîëü è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè c).
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
a
�
m
�
�/
Ïóñòü èìååòñÿ èçîëèðîâàííàÿ ïàðà èçîòîïè÷åñêèõ
ïðèìåñåé, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè
äðóã äðóãà. Ñîâìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò ñ îäíîé èç
ïðèìåñåé è âûáåðåì êîîðäèíàòíûå îñè âäîëü îñåé
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êîîðäèíà-
òû äðóãîé ïðèìåñè áûëè ( , , )a/ a/2 2 0 , ãäå a — ïî-
ñòîÿííàÿ ÃÖÊ ðåøåòêè.
 îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ îäíîé èçîëèðîâàííîé ïðèìå-
ñè, íàëè÷èå òàêîãî äåôåêòà ïîíèæàåò ñèììåòðèþ
ñèñòåìû ñOh äî D h2 . Âñå ïðîñòðàíñòâî àòîìíûõ ñìå-
ùåíèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðÿìîé ñóì-
ìû øåñòè âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ öèêëè÷åñêèõ ïîä-
ïðîñòðàíñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî
îäíîìåðíîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ òî÷å÷-
íîé ãðóïïû D ih
i
2 � �B ( 1, 3, 4, 5, 6, 8, îáîçíà÷åíèÿ
èç [34]). Êàæäîå èç ýòèõ öèêëè÷åñêèõ ïîäïðî-
ñòðàíñòâ ïîðîæäàåòñÿ îäíîâðåìåííûì ñìåùåíèåì
áëèæàéøèõ ñîñåäíèõ àòîìîâ (ñèíôàçíûì èëè ïðîòè-
âîôàçíûì) â íàïðàâëåíèè âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþ-
ùåé ýòè àòîìû (B1 è B 8), è â äâóõ ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
ê ýòîé ïðÿìîé íàïðàâëåíèÿõ. Âíîñèìîå èçîòîïè÷å-
ñêèì çàìåùåíèåì âîçìóùåíèå êàæäîãî èç øåñòè ðàç-
ëè÷íûõ îïåðàòîðîâ �( )L i
0 , èíäóöèðîâàííûõ â ýòèõ
ïîäïðîñòðàíñòâàõ îïåðàòîðîì �L0, îïèñûâàþùèì êî-
ëåáàíèÿ èäåàëüíîãî êðèñòàëëà, áóäåò ïðåäñòàâëåíî
âûðàæåíèÿìè (30), â êîòîðûõ âåëè÷èíû a0 è b0 —
äâà ïåðâûõ ýëåìåíòà J-ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùåãî
îïåðàòîðà. Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîì èç öèêëè÷åñêèõ
ïîäïðîñòðàñòâ B i ìîæíî îïðåäåëèòü ñâîè çíà÷åíèÿ
� �( ) è � �( ) (îíè ïðèâåäåíû â ôîðìóëàõ (+.1)–(+.6)
Ïðèëîæåíèÿ).
 êàæäîì èç öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ B i
ôóíêöèÿ Ãðèíà çà ïðåäåëàìè ïîëîñû íåïðåðûíîãî
ñïåêòðà, êàê âèäíî íà ðèñ. 7, õîðîøî àïïðîêñèìè-
ðóåòñÿ âûðàæåíèåì (19), â êîòîðîå â êà÷åñòâå ïàðà-
ìåòðîâ �è � cëåäóåò ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ �( )0 è�( )0
èç (+.1)–(+.6).
Ïîäñòàíîâêà â (20), (23) è (28) ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ çíà÷åíèé � �( ) è �
�� äëÿ ÷àñòîò, èíòåíñèâíîñòåé
è ïàðàìåòðîâ çàòóõàíèÿ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé äàåò
àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, òàêæå ïðèâåäåííûå â
( .+ 1)–(+.6). Íà ðèñ. 8 ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè
÷àñòîò è èíòåíñèâíîñòåé ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé â êà-
æäîì èç öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ, ðàññ÷èòàí-
íûå êàê ïî ôîðìóëàì (+.1)–(+.6), òàê è ñ ïîìîùüþ
352 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
1,1 1,2
–0,02
0,02
0,04
1,1 1,2
7
5
1
2
3
4
6
�/�0
�
Ðèñ. 7. ×àñòîòíûå çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû � âíåäðåííîãî â
èäåàëüíóþ ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó ñ öåíòðàëüíûì
âçàèìîäåéñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé èçîëèðîâàííîãî äå-
ôåêòà «ïàðà ðÿäîì ðàñïîëîæåííûõ ïðèìåñåé»: ñìåùåíèå
B�
� (îäíà èçîëèðîâàííàÿ ïðèìåñü ñìåùàåòñÿ â ïðîèçâîëü-
íîì íàïðàâëåíèè) (1); B8 (2); B6 (3); B1 (4); B7 (5); B4
(6) (ïîðîæäàþùèå âåêòîðû ïðèâåäåíû â Ïðèëîæåíèè)�
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
B8
B8
B1
�
�
B1
m
�
CD�
à
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
B3
B3
B6
�
/
�
m
�
B6
á
0,25 0,50 0,75 1,00
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
B5
B5
B4
–�
�
/ �
m
�
B4
â
Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòü îò äåôåêòà ìàññû ÷àñòîò è èíòåíñèâ-
íîñòåé ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé èçîëèðîâàííîé ïàðû ðÿäîì
ðàñïîëîæåííûõ èçîòîïè÷åñêèõ ïðèìåñåé â ÃÖÊ êðèñòàë-
ëè÷åñêîé ðåøåòêå ñ öåíòðàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì áëè-
æàéøèõ ñîñåäåé. Cïëîøíûå ëèíèè — ðàñ÷åò ïî J-ìàòðè-
öå ïåðâîãî ðàíãà, òî÷êè — ïî J-ìàòðèöå n � 60.
ôóíêöèé Ãðèíà, âîññòàíîâëåííûõ ïî J-ìàòðèöàì
ðàíãà n � 50. Êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, îòëè÷èå
çàìåòíî òîëüêî â ïîâåäåíèè èíòåíñèâíîñòåé äëÿ êî-
ëåáàíèé, ÷üè ÷àñòîòû î÷åíü ìàëî ïðåâûøàþò �m .
Ñëàãàåìîå, îïèñûâàþùåå âêëàä èçîòîïè÷åñêîãî
äåôåêòà â óðàâíåíèå Ëèôøèöà, íå çàâèñèò îò ïàðà-
ìåòðîâ èäåàëüíîé ðåøåòêè è îäèíàêîâî âî âñåõ
öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ [24]. Ïîýòîìó äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ïîðîãîâ âîçíèêíîâåíèÿ ëîêàëüíîãî êî-
ëåáàíèÿ â êàæäîì èç ïîäïðîñòðàíñòâ B i ìîæíî
ïîëüçîâàòüñÿ cîîòíîøåíèåì (36) ñ èñïîëüçîâàíèåì
ôóíêöèè Ãðèíà èäåàëüíîé ðåøåòêè â äàííîì ïîä-
ïðîñòðàíñòâå. Çíà÷åíèÿG m( )� âìåñòå ñ ïîðîãîâûìè
çíà÷åíèÿìè äåôåêòà ìàññû ïðèâåäåíû â òàáë. 2.
Òàáëèöà 2. Çíà÷åíèÿ G m00 0( )�
è ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ
äåôåêòà ìàññû äëÿ ÃÖÊ ðåøåòêè
H i( )
G m00 0( )� � �*
n � 50 n � 1 n � 50 n � 1
�1 12,30378 12,8 –0,162552 –0,15625
�3 7,562446
64
9
–0,264465 –0,28125
�4 9,315600
32
3
–0,214694 –0,18750
�5 7,039269 6,4 –0,284120 –0,31250
�6 8,817075
64
7
–0,226833 –0,21875
�8 4,000041
64
15
–0,499995 –0,46875
Ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ëîêàëüíûìè
÷àñòîòàìè ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè � â ðàçëè÷-
íûõ öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ, ò.å. ðàçíîñòü
�� � � � � �� �
l l l( ) ( ) ( )( ) ( )� �
1 8
, ìîæåò ñëóæèòü äëÿ
îöåíêè øèðèíû ïðèìåñíîé çîíû ïðè êîíå÷íîé êîí-
öåíòðàöèè ïðèìåñè c. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî â äàí-
íîì ðàçäåëå ñëó÷àÿ ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ
öåíòðàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó áëèæàéøèìè
ñîñåäÿìè â ïîäïðîñòðàíñòâå, ïîðîæäåííîì ñìåùåíè-
åì êàêîãî-ëèáî àòîìà, ñìåùåíèÿ åãî âòîðûõ ñîñåäåé
íå âõîäÿò â áàçèñíûå âåêòîðû
�
h1,
�
h2, ò.å. íå äàþò
âêëàä íè â ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû a0 è b0, íè â äâà ïåð-
âûõ ìîìåíòà ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Ïîýòîìó åñëè
äâå èçîòîïè÷åñêèõ ïðèìåñè ÿâëÿþòñÿ âòîðûìè ñîñå-
äÿìè äðóã äðóãà, òî õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíûõ êîëå-
áàíèé äëÿ òàêîé ïàðû ïðèìåñåé áóäóò îïèñûâàòüñÿ
âûðàæåíèÿìè (32)–(34), õîòÿ ìíîæåñòâà àòîìîâ, ñ
êîòîðûìè âçàèìîäåéñòâóåò êàæäàÿ èç íèõ, ïåðåñåêà-
þòñÿ. Ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñî âòîðûìè ñîñåäÿìè èëè
íåöåíòðàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó áëèæàéøèìè
ñîñåäÿìè ïðèâåäåò ê ñíÿòèþ âûðîæäåíèÿ ëîêàëüíûõ
êîëåáàíèé, êîòîðûå, êàê è äëÿ ñëó÷àÿ ðÿäîì ðàñïî-
ëîæåííûõ ïðèìåñíûõ àòîìîâ, ñòàíóò çàâèñåòü îò èõ
âçàèìíûõ ñìåùåíèé.
Äëÿ ïàð ïðèìåñåé, ÿâëÿþùèõñÿ òðåòüèìè è ÷åò-
âåðòûìè ñîñåäÿìè äðóã äðóãà, âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó
ïðèìåñÿìè ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ òîëüêî ìàòðè÷íîãî
ýëåìåíòà b0 (êàê è â ïîäïðîñòðàíñòâàõ B2–B6 äëÿ
ïàðû ðÿäîì ðàñïîëîæåííûõ ïðèìåñåé). Åñëè ïðèìå-
ñè ÿâëÿþòñÿ ÷åòâåðòûìè ñîñåäÿìè äðóã äðóãà, òî
âçàèìîäåéñòâèå ïðîÿâèòñÿ òîëüêî äëÿ ñìåùåíèé
âäîëü ñîåäèíÿþùåé èõ ïðÿìîé, ïðè÷åì â ýòîì ñëó÷àå
çàâèñèìîñòü îò äåôåêòà ìàññû ïàðàìåòðîâ � è �, à
ñëåäîâàòåëüíî, è âñåõ õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êî-
ëåáàíèé òîæäåñòâåííî ñîâïàäàþò: äëÿ ñèíôàçíîãî
ñìåùåíèÿ ñ àíàëîãè÷íûìè çàâèñèìîñòÿìè â ïîäïðî-
ñòðàíñòâå B 4, à äëÿ ïðîòèâîôàçíîãî — â ïîäïðî-
ñòðàíñòâå B5 (ñì. (+.3) è (+.4) ñîîòâåòñòâåííî).
Àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ � è �
êàê ôóíêöèé äåôåêòà ìàññû �, à òàêæå äëÿ óñëîâèé
ñóùåñòâîâàíèÿ è îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ëîêàëü-
íûõ êîëåáàíèé ïðèâåäåíû â ôîðìóëàõ
+. )7 –(+.13)
Ïðèëîæåíèÿ.
2.3. Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå ëåãêèìè
ñëàáî ñâÿçàííûìè ïðèìåñÿìè
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èç ýëåìåíòîâ, îáðàçóþùèõ
îäèíàêîâûå êðèñòàëëè÷åñêèå ðåøåòêè (íàïðèìåð,
ÃÖÊ), áîëåå ëåãêèå àòîìû îáëàäàþò ìåíüøèìè àòîì-
íûì ðàäèóñîì è ïîñòîÿííîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåò-
êè (cì., íàïðèìåð, òàáë. 3). Ïîýòîìó ëåãêàÿ ïðèìåñü
çàìåùåíèÿ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîïàäàåò â ðåøåòêó ñ
ìåæàòîìíûì ðàññòîÿíèåì �, ïðåâûøàþùèì � 0 —
ðàññòîÿíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ìèíèìóìó õàðàêòåðíî-
ãî äëÿ äàííîãî ïðèìåñíîãî àòîìà ïîòåíöèàëà ìåæ-
àòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýòî, êàê ïðàâèëî, ïðèâî-
äèò ê îñëàáëåíèþ ñâÿçè ïðèìåñè ñ îêðóæåíèåì.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïðè ýòîì äîëæíû âîçíèêíóòü è íå-
öåíòðàëüíûå ñèëû, îäíàêî íåñëîæíûå îöåíêè (ïðè-
âåäåííûå, íàïðèìåð, â [36]) ïîêàçûâàþò, ÷òî â îá-
ëàñòè çíà÷åíèé �, ãäå åùå âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå
ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé, íåöåíòðàëüíûå ñèëû ïðåíåá-
ðåæèìî ìàëû è ìåæàòîìíîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæíî
ñ÷èòàòü öåíòðàëüíûì.
Òàáëèöà 3. Àòîìíûå ìàññû, àòîìíûå ðàäèóñû è
ïîñòîÿííûå ðåøåòêè îòâåðäåâøèõ èíåðòíûõ ãàçîâ [35]
m, a.e. �, � a, �
Ar 39,94 3,405 5,40
Kr 83,80 3,624 5,59
Xe 131,30 3,921 6,20
Çàäà÷à îá óñëîâèÿõ îáðàçîâàíèÿ è õàðàêòåðèñòè-
êàõ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé â ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 353
ðåøåòêå, ñîäåðæàùåé ïðèìåñè, îòëè÷àþùèåñÿ è
ìàññîé, è ìåæàòîìíûì âçàèìîäåéñòâèåì, ðàññìîò-
ðåíà â [24]. Êàê è â ñëó÷àå ëåãêîãî èçîòîïà, ëîêàëü-
íûå êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå ëåãêîé ñëàáî ñâÿçàí-
íîé ïðèìåñüþ, âîçíèêàþò òîëüêî â öèêëè÷åñêîì
ïîäïðîñòðàíñòâå, ïîðîæäåííîì ñìåùåíèåì ñàìîãî
ïðèìåñíîãî àòîìà. Ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî ïðåîáðàçó-
åòñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ B5 òî÷å÷íîé
ãðóïïû Oh (îáîçíà÷åíèÿ èç [34]).
Îïåðàòîð âîçìóùåíèÿ �� â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå
èìååò òðè îòëè÷íûõ îò íóëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòà
[20,30,31]:
� � �00 0 01 0 011
1
1
1 8
�
�
� �
,
-
.
/
0
1 �
� 9
�
9
�
9
�
a b m; , ,
(39)
è äàííîå âîçìóùåíèå íåëüçÿ îïèñàòü ÷åðåç ïàðàìåòðû
� è �. Íî òàê êàê ìàòðè÷íûé ýëåìåíò J-ìàòðèöû èäå-
àëüíîé ÃÖÊ ðåøåòêè a /1 9 16� , òî ïðè îñëàáëåíèè
ñèëîâûõ ñâÿçåé ìåíåå ÷åì âäâîå ( )� � )1 2 0/ 9 äàí-
íîå îáñòîÿòåëüñòâî òîëüêî óëó÷øàåò ïðèáëèæåíèå
ôóíêöèè Ãðèíà âûðàæåíèåì (19). Ïðè áîëüøåì îñ-
ëàáëåíèè ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ñóùåñòâîâà-
íèå ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ìàëîâåðîÿòíî, íî âîçìîæ-
íîñòü äîñòàòî÷íî àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ñïåêòðàëüíûõ
ñâîéñòâ ïî äâóì ïåðâûì ìîìåíòàì ñîõðàíèòñÿ, òàê
êàê â ýòîì ñëó÷àå êîëåáàíèÿ áóäóò ñèëüíî ëîêàëèçî-
âàíû (ñì., íàïðèìåð, [37]).
Èñïîëüçóÿ (39), äëÿ ïàðàìåòðîâ � è � ìîæíî çà-
ïèñàòü:
� � 9
� 9
9
� � 9
� 9 9
9
( , ) ; ( , )
( )
( )
�
�
�
�
1
2
1 2
. (40)
Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â (20), (23) è (28), ïîëó÷èì:
�
� 9
�
� 9 � 9 9
l
m2
2
2
1
1
3 1
�
,
-
.
/
0
1
�
�
� � �
�| |
| |
| | | | ( | | | | ) ( | | )3 2
0
2
2
2
1 4
4
/ | | | | ( | | )
| | | | ( | | )
;
� 9 �
� 9 9
�
9 9
�
� �
� �
�
�
�
,
-
.�
.
/
0
1
1
� � � �
�
2 2 2
2 1 22
[| | | | ( | | )] | | | | ( | | )
{[ | ( | | )
� 9 9 � 9 �
9 ( | )] | | | | ( | | ) (| | | | )( | | ) };
| |
� 9 � 9 � � 9 9
�
� �
� �
�
�
2 3 22 1 /
q
| | ( | | )| | | | ( | | )
| | | | ( | | )
9 9 � 9 �
� 9 9
� � � �
� �
"
#
$
%$
&
'
$
($
1 2
2
2
.
"
#
$
$
$
$
$
%
$
$
$
$
$
(41)
Ýâîëþöèÿ ëîêàëüíûõ ÷àñòîò è èíòåíñèâíîñòåé
ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðîâ 9 è �
ïðèâåäåíà íà ðèñ. 9, 10. Êàê è äëÿ âñåõ ðàññìîòðåí-
íûõ â íàñòîÿùåé ðàáîòå ñëó÷àåâ, íà ýòèõ ðèñóíêàõ
ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ (41) ñ ðàñ÷åòàìè
ïî J-ìàòðèöå ðàíãà n � 60. Äëÿ ëåãêîé ñëàáî ñâÿçàí-
íîé ïðèìåñè ñîãëàñèå ðåçóëüòàòîâ îáîèõ ðàñ÷åòîâ
îêàçûâàåòñÿ äàæå ëó÷øèì, ÷åì äëÿ ëåãêîé èçîòîïè-
÷åñêîé ïðèìåñè.
Çàêëþ÷åíèå
Òàêèì îáðàçîì, àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (20),
(23) è (28), ïîëó÷åííûå â ðàìêàõ ïðèáëèæåíèÿ
ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ
îäíîñâÿçíîé ïîëîñîé êâàçèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà
ïî èçâåñòíûì äâóì ïåðâûì åå ìîìåíòàì è ïîâåäå-
íèþ íà êîíöàõ ýòîé ïîëîñû, ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ
îïèñûâàåò õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé,
îáóñëîâëåííûõ íàëè÷èåì ëåãêîé ïðèìåñè (èçîòîïè-
÷åñêîé èëè ñëàáî ñâÿçàííîé) â ïëîòíîóïàêîâàííûõ
êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ. Ñîãëàñèå áóäåò òåì
ëó÷øå, ÷åì äàëüøå îòñòîèò ëîêàëüíûé óðîâåíü îò
âåðõíåãî êðàÿ ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà, íî è
âáëèçè âåðõíåé ãðàíèöû ñîãëàñèå ìîæíî ñ÷èòàòü
âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíûì.  ÷àñòíîñòè, óñëîâèÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ
âûðàæåíèåì (21) ñ òî÷íîñòüþ 2–3%.
Ïðèìåíèìîñòü ýòèõ ôîðìóë äëÿ äðóãèõ ñòðóêòóð
ìîæíî îïðåäåëèòü, èññëåäîâàâ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè
ôóíêöèè Ãðèíà âíå ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà ñ ðîñ-
òîì ðàíãà ñîîòâåòñòâóþùåé J-ìàòðèöû, ÷òî îòâå÷àåò
ñòðåìëåíèþ ôîðìû ôðîíòà âîëíû, ðàñïðîñò-
ðàíÿþùåéñÿ â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå îò ëîêàëè-
çîâàííîãî èñòî÷íèêà, ê ñôåðè÷åñêîé. Ñëåäóåò îæè-
äàòü õîðîøåãî ñîãëàñèÿ äàííûõ ôîðìóë äëÿ ëåãêèõ
èçîòîïè÷åñêèõ è ëåãêèõ ñëàáî ñâÿçàííûõ ïðèìåñåé
íå òîëüêî â ïëîòíîóïàêîâàííûõ, íî è äðóãèõ êðè-
ñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ (â ÷àñòíîñòè, è ñ ìíîãîàòîì-
íûìè ýëåìåíòàðíûìè ÿ÷åéêàìè, íî èìåþùèõ îäíî-
ñâÿçíóþ ïîëîñó ñïëîøíîãî ñïåêòðà), â òîì ÷èñëå è â
ñèëüíî àíèçîòðîïíûõ ñëîèñòûõ è öåïî÷å÷íûõ êðè-
ñòàëëàõ. ×òî êàñàåòñÿ ñèëüíî ñâÿçàííûõ ïðèìåñåé
354 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
(îñîáåííî òÿæåëûõ), òî â öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàí-
ñòâàõ, ïîðîæäåííûõ ñìåùåíèÿìè ñàìîãî ïðèìåñíîãî
àòîìà, òàêîå ñîãëàñèå ìîæåò áûòü óõóäøåíî èç-çà
áîëüøîãî îòêëîíåíèÿ îò ñâîåãî àñèìïòîòè÷åñêîãî
çíà÷åíèÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà a1 (ñâÿçàííîãî ñ
òðåòüèì ìîìåíòîì ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè). Â òåõ
æå öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ, ãäå ïðèìåñíîé
àòîì ïîêîèòñÿ è ðàíã îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ �� ðàâåí
åäèíèöå (ñì., íàïðèìåð, [24]), ñëåäóåò îæèäàòü õî-
ðîøåãî ñîãëàñèÿ õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ êîëåáà-
íèé ñ ôîðìóëàìè (20), (21), (23) è (28).
Ïðè êîíå÷íûõ êîíöåíòðàöèÿõ ïðèìåñè ðàçìûòèå
ëîêàëüíîãî óðîâíÿ áóäåò â ïåðâóþ î÷åðåäü îáóñëîâ-
ëåíî òàêèìè ïðèìåñíûìè êîíôèãóðàöèÿìè, äëÿ
êîòîðûõ õàðàêòåðíî èçìåíåíèå ïåðâîãî ìîìåíòà
ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Â ðåøåòêàõ ñî âçàèìîäåé-
ñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé — ãðóïïàìè ïðèìåñíûõ
àòîìîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ áëèæàéøèì
ñîñåäîì îñòàëüíûõ (â ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåò-
êàõ — ýòî ïðèìåñíûå ïàðû, ðàâíîñòîðîííèå òðå-
óãîëüíèêè è òåòðàýäðû). Åñëè ÷àñòîòà ëîêàëüíîãî
êîëåáàíèÿ õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé (20), òî
òàêîå ëîêàëüíîå êîëåáàíèå íàáëþäàåòñÿ â âèäå îñò-
ðîãî ïèêà è ïðè êîíå÷íûõ êîíöåíòðàöèÿõ ïðèìåñ-
íûõ àòîìîâ (c � 5%). Ïðè c � 5–10% íàðÿäó ñ ýòèì
ïèêîì äîëæíû íàáëþäàòüñÿ äâà äðóãèõ, ñîîòâåòñò-
âóþùèõ ñèí- è ïðîòèâîôàçíûì ñìåùåíèÿì ïàð ïðè-
ìåñíûõ àòîìîâ�. Ïðè äàëüíåéøåì ðîñòå êîíöåíòðà-
öèè ýòè ïèêè ðàçìûâàþòñÿ, ñëèâàþòñÿ è îáðàçóþò
ïðèìåñíóþ êîëåáàòåëüíóþ çîíó.
Àâòîðû âûðàæàþò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü À.Ì.
Êîñåâè÷ó, À.Ñ. Êîâàëåâó è Å.Ñ. Ñûðêèíó çà ïëîäî-
òâîðíûå îáñóæäåíèÿ è öåííûå çàìå÷àíèÿ.
Ïðèëîæåíèå
 íàñòîÿùåì ïðèëîæåíèè äëÿ ëîêàëüíûõ êîëåáà-
íèé, îáóñëîâëåííûõ ðàçëè÷íûìè ñìåùåíèÿìè èçî-
ëèðîâàííûõ ïàð ëåãêèõ èçîòîïè÷åñêèõ ïðèìåñåé çà-
ìåùåíèÿ, ÿâëÿþùèõñÿ áëèæàéøèìè, òðåòüèìè è
÷åòâåðòûìè ñîñåäÿìè äðóã äðóãà, ïðèâåäåíû çíà÷å-
íèÿ ïîðîãîâûõ äåôåêòîâ ìàññû (êàê àðãóìåíòû
�-ôóíêöèé) è çàâèñèìîñòè îò äåôåêòà ìàññû ëî-
êàëüíûõ ÷àñòîò �l , èíòåíñèâíîñòåé �0 è ïàðàìåòðîâ
çàòóõàíèÿ q. Äàííûå çàâèñèìîñòè ìîãóò ñëóæèòü
äëÿ èäåíòèôèêàöèè ðàçëè÷íûõ ëîêàëüíûõ êîëåáà-
íèé, âîçíèêàþùèõ ïðè ìàëûõ (� 1–5%) êîíöåíòðà-
öèÿõ ïðèìåñíûõ àòîìîâ.
Øåñòü âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ ñîáñòâåííûõ ñìå-
ùåíèé ïàðû áëèæàéøèõ ñîñåäåé â ÃÖÊ êðèñòàëëè-
÷åñêîé ðåøåòêå è ïîðîæäåííûå ýòèìè ñìåùåíèÿìè
(ïîðîæäàþùèìè âåêòîðàìè
�
h0) âçàèìíî îðòîãî-
íàëüíûå öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâà ïðåîáðàçóþò
ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì B1–B 8 ãðóïïû
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 355
0,25 0,50 0,75 1,00
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1 2 3 4 5
–�
�
/
�
m
�
Ðèñ. 9. Çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû è èíòåíñèâíîñòè ëîêàëüíûõ
êîëåáàíèé îò äåôåêòà ìàññû èçîëèðîâàííîé ïðèìåñè
çàìåùåíèÿ â ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ñ öåíòðàëü-
íûì âçàèìîäåéñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé. Âçàèìîäåéñò-
âèå ïðèìåñíîãî àòîìà ñî ñâîèìè ñîñåäÿìè ñëàáåå, ÷åì â
îñíîâíîé ðåøåòêå. Êðèâûå 1, 2, 3, 4, 5 ñîîòâåòñòâóþò çíà-
÷åíèÿì �! !/ � = – 0,1; – 0,2; – 0,3; – 0,4 è – 0,5. Âåðõ-
íèå êðèâûå — ÷àñòîòà ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ; íèæíèå —
åãî èíòåíñèâíîñòü íà ñàìîì ïðèìåñíîì àòîìå; n � 1
(ñïëîøíûå ëèíèè); n � 60 (òî÷êè).
–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
32
�
�
/ �
m
/�! !
1
Ðèñ. 10. Èçìåíåíèå ÷àñòîòû è èíòåíñèâíîñòè ëîêàëüíûõ
êîëåáàíèé ëåãêîé èçîëèðîâàííîé ïðèìåñè çàìåùåíèÿ â
ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ñ öåíòðàëüíûì âçàèìîäåé-
ñòâèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé ïî ìåðå îñëàáëåíèÿ âçàèìî-
äåéñòâèÿ ïðèìåñíîãî àòîìà ñî ñâîèìè îêðóæåíèåì 1, 2 è
3 ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì �m/m � äëÿ ïðèìåñåé Ar â
Xe, Ar â Kr è Kr â Xe Âåðõíèå êðèâûå — ÷àñòîòà ëî-
êàëüíîãî êîëåáàíèÿ; íèæíèå — åãî èíòåíñèâíîñòü íà ñà-
ìîì ïðèìåñíîì àòîìå; n � 1 (ñïëîøíûå ëèíèè);
� Ïðè íåäîñòàòî÷íîé ìîùíîñòè äåôåêòà ëîêàëüíàÿ ÷àñòîòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèíôàçíûì ñìåùåíèÿì, ìîæåò íå âûéòè
èç ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà.
Oh
Oh [34]. Íèæå äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ ïîäïðîcòðàíñòâ
ïðèâåäåíû: èíäåêñ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäñòàâëå-
íèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé ïîðîæäàþùèé âåêòîð
�
h0,
çíà÷åíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ a0 è b0 èäåàëüíîé
ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè â ýòèõ ïîäïðîñòðàí-
ñòâàõ, çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ � è � (18) è îñíîâ-
íûõ ïàðàìåòðîâ ëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ îò äåôåêòà
ìàññû � (16)
B1 0
1
2
0 0 0
2 2
0
1 1 0
1 1 0
:
, ,
, , –
�
h a a�
�
;
a0
5
8
4 1
5
� �
�
; ( ) ;� �
�
b0
14
16
8 1
7
� �
; ( ) ;� �
�
�
� � �
� �
�
l
m2
2
0
4
52 17 7 26 1
1 8 1
�
,
-
.
/
0
1
�
�
� �
�
| | | |
( | | )( | | )
;
7 1 4 16 9 26 1
2 8 1 26 1
5
32
( | | ) ( | | ) | |
( | | ) | |
� �
� �
� �,� � �
� �
��
-
.
/
0
1
�
� �
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
$
$
;
| | | |
| |
;q 2
1 4 26 1
8 1
2
� �
�
$
$
(+.1)
B3 0
1
2
0 0 0
2 2
0
1 1 0
1 1 0
:
, ,
, , –
�
h a a�
�
;
a0
1
2
� �; ( ) ;� � �
b0
14
16
8 1
7
� �
; ( ) ;� �
�
�
� � �
� �l
m2
2
4
4 9 2 7 2 9 1
8 1 1
�
,
-
.
/
0
1
�
�
� �
( | | ) ( | | )
( | | )( | | )
;
�
� � �
� �
�0
14 2 16 9 9 1
2 8 1 9 1
9
32
�
� �
� �
� �,
-
.
| | ( | | ) | |
( | | ) | |
� /
0
1
�
� �
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
$
$
$
$
;
| | ( | | )
| |
;q 2
4 2 9 1
8 1
2
� �
�
(+.2)
B 4
0
1
2
0 0 0
2 2
0
0 0 1
0 0 1
:
, ,
, ,
�
h a a� ;
a
b
0
0
1
2
5
8
4 1
5
� �
� �
�
; ( ) ;
; ( ) ;
� � �
� �
�
�
� � �
� �
�
l
m2
2
0
2
4 6 5 1 3
2 1 1 4
10
�
,
-
.
/
0
1
�
�
| | | |
( | | )( | | )
;
| | ( | | ) | |
( | | ) | |
;
� � �
� �
�
�
� �,
-
.
/
0
1
�
8 3 1 3
2 1 4 1 3
3
16
2
�
q
2 1 3
1 4
2
| | | |
| |
;
� �
�
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
$
$
$
$
(+.3)
B5 0
1
2
0 0 0
2 2
0
0 0 1
0 0 1
:
, ,
, ,
�
h a a�
�
;
a
b
0
0
1
2
3
8
4 1
3
� �
� �
; ( ) ;
; ( ) ;
� � �
� �
�
�
� � �
� �
�
l
m2
2
0
2
2 5 2 3 5 1
2 1 4 1
�
,
-
.
/
0
1
�
�
� �
( | | ) | |
( | | )( | | )
;
�
� �
� �
� �,
-
.
/
0
1
6 8 5 5 1
2 4 1 5 1
5
16
| | ( | | ) | |
( | | ) | |
;
� � � �
� �
��
q �
� �
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
$
$
$
$
2
2 5 1
4 1
2
| | | |
| |
;
� �
�
(+.4)
B6 0
1
2
0 0 0
2 2
0
1 1 0
1 1 0
:
, ,
, ,
�
h a a�
�
�
;
a
b
0
0
1
2
3 2
16
8 1
9
� �
� �
�
; ( ) ;
; ( ) ;
� � �
� �
�
�
� � �
� �l
m2
2
4
4 1 7 9 2 1 7
1 1 8
�
,
-
.
/
0
1
�
( | | ) ( | | )
( | | )( | | )
;
�
� � �
� �
0
36 16 7 2 1 7
2 1 8 2 1 7
7
32
�
�
�
| | ( | | ) ( | | )
( | | ) ( | | )
� �,
-
.
/
0
1
�
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
�
� �
�
;
| | ( | |)
| |
;q 2
4 2 1 7
1 8
2
$
$
$
$
$
(+.5)
356 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
B 8
0
1
2
0 0 0
2 2
0
1 1 0
1 1 0
:
, ,
, ,
h a a� ;
a
b
0
0
3
8
4 1
3
10
16
8 3
5
� �
� �
; ( ) ;
; ( ) ;
� �
�
� �
�
�
� � �
� �
�
l
m2
2
0
4
28 13 5 14 5
1 8 3
�
,
-
.
/
0
1
�
�
� �
�
| | | |
( | | )( | | )
;
5 4 1 16 11 14 5
2 8 3 14 5
15
32
( | | ) ( | | ) | |
( | | ) | |
� � �
� �
�
� �
� �
� �� �
� �
�
,
-
.
/
0
1
�
�
�
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
;
( | | | |
| |
.q 2
1 4 14 5
8 3
2
$
$
$
$
$
(+.6)
Äëÿ ñëó÷àÿ ÃÖÊ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ öåí-
òðàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó áëèæàéøèìè ñî-
ñåäÿìè â ïîäïðîñòðàíñòâå, ïîðîæäåííîì ñìåùåíè-
åì êàêîãî-ëèáî àòîìà, âòîðûå ñîñåäè íå äàþò âêëàä
íè â ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû a0 è b0, íè â äâà ïåðâûõ
ìîìåíòà ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Ïîýòîìó, åñëè
äâå èçîòîïè÷åñêèõ ïðèìåñè ÿâëÿþòñÿ âòîðûìè ñî-
ñåäÿìè äðóã äðóãà, òî õàðàêòåðèñòèêè ëîêàëüíûõ
êîëåáàíèé äëÿ òàêîé ïàðû ïðèìåñåé áóäóò îïèñû-
âàòüñÿ âûðàæåíèÿìè (32)–(34), õîòÿ ìíîæåñòâà
àòîìîâ, ñ êîòîðûìè âçàèìîäåéñòâóåò êàæäàÿ èç
íèõ, ïåðåñåêàþòñÿ.
Íèæå ïðèâåäåíû ïîðîæäàþùèå âåêòîðû è çàâè-
ñèìîñòè îò � îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ëîêàëüíûõ
êîëåáàíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ
ñìåùåíèé èçîëèðîâàííûõ ïàð èçîòîïè÷åñêèõ ïðè-
ìåñåé, ÿâëÿþùèõñÿ òðåòüèìè è ÷åòâåðòûìè ñîñåäÿ-
ìè äðóã äðóãà:
�
h a a
a0
1
2 3
0 0 0
2 2
1 1 2
1 1 2
�
, ,
, ,
;
a0
1
2
� �; ( ) ;� � �
b0
19
16
1 3
19
� �
�
; ( ) ;� �
E�
�
� � �
� �l
m2
2
4
4 13 6 19 13 3
1 16 3
�
,
-
.
/
0
1
�
( | | ) | |
( | | )( | | )
;
| | ( | | ) | |
( | | ) | |
�
� � �
� �
0
76 32 13 13 3
2 16 3 13 3
13
64
�
�
�� �,
-
.
/
0
1
�
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
�
� �
�
;
| | | |
| |
;q 4
4 13 3
16 3
2$
$
$
$
(+.7)
�
h
a
a a
a0
1
2 3
0 0
2 2
1 1 2
1 1 2
�
� � �
, ,
, ,
;
a0
1
2
� �; ( ) ;� � �
b0
13
16
1 3
13
� �
; ( ) ;� �
E�
�
� � �
� �l
m2
2
4
4 19 6 13 19 3
1 16 3
�
,
-
.
/
0
1
�
�
� �
( | | ) | |
( | | )( | | )
;
| | ( | | ) | |
( | | ) | |
�
� � �
� �
0
52 32 19 19 3
2 16 3 19 3
19
64
�
� �
� �
�� �,
-
.
/
0
1
�
� �
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
�
� �
�
;
| | | |
| |
;q 4
4 19 3
16 3
2$
$
$
$
(+.8)
�
h a a
a0
1
2 3
0 0 0
2 2
1 1 0
1 1 0
�
�
�
, ,
, ,
;
a0
1
2
� �; ( ) ;� � �
b0
17
16
1 1
17
� �
�
; ( ) ;� �
E�
�
� � �
� �l
m2
2
4
4 15 2 17 15 1
1 16 1
�
,
-
.
/
0
1
�
( | | ) | |
( | | )( | | )
;
| | ( | | ) | |
( | | ) | |
�
� � �
� �
0
68 32 15 15 1
2 16 1 15 1
15
64
�
�
�� �,
-
.
/
0
1
�
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
�
� �
�
;
| | | |
| |
;q 4
4 15 1
16 1
2$
$
$
$
(+.9)
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 357
�
h a a
a0
1
2 3
0 0 0
2 2
1 1 0
1 1 0
�
�
�
, ,
, ,
;
a
b
0
0
1
2
15
16
1 1
15
� �
� �
; ( ) ;
; ( ) ;
� � �
� �
E�
�
� � �
� �l
m2
2
4
4 17 2 15 17 1
1 16 1
�
,
-
.
/
0
1
�
�
� �
( | | ) | |
( | | )( | | )
;
| | ( | | ) | |
( | | ) | |
�
� � �
� �
0
60 32 17 17 1
2 16 1 17 1
17
64
�
� �
� �
�� �,
-
.
/
0
1
�
� �
�
,
-
.
.
/
0
1
1
"
#
$
$
$
$$
%
$
�
� �
�
;
| | | |
| |
;q 4
4 17 1
16 1
2$
$
$
$
(+.10)
�
�
h a a
a0
1
2 3
0 0 0
2 2
1 1 1
1 1 1
�
�
F F
, ,
, ,
;
a
b
0
0
1
2
1
4
�
� �
�
;
( ) ( ) ;
;
� � � � �
(+.11)
âåëè÷èíû �l
2, �0 è q îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
(32)–(34) ñîîòâåòñòâåííî.
�
h
a a0
1
2
0 0 0
0
1 1 0
1 1 0
�
, ,
, ,
;
a
b
0
0
1
2
3
8
4 1
5
� �
� �
�
; ( ) ;
; ( ) ;
� � �
� �
�
(+.12)
âåëè÷èíû �l
2, �0 è q îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
( .+ 3).
h
a a0
1
2
0 0 0
0
1 1 0
1 1 0
�
� �
, ,
, ,
;
a
b
0
0
1
2
5
8
4 1
5
� �
� �
; ( ) ;
; ( ) ;
� � �
� �
�
(+.13)
âåëè÷èíû �l
2, �0 è q îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
( .+ 4).
Âî âñåõ ñëó÷àÿõ: ïðè � � � � �� � �*; ;l m 0 0 è
q � 1; ïðè � � �> � > >1 10; ;l è q > 0.
1. È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 12, 156 (1942).
2. È.Ì. Ëèôøèö, ÄÀÍ ÑÑÑÐ 48, 83 (1945).
3. È.Ì. Ëèôøèö, ÆÝÒÔ 17, 1076 (1948).
4. I.M. Lifshitz, Nuovo Cim. Suppl. 3, 716 (1956) [ðóñ-
ñêèé ïåðåâîä â êí: È.Ì. Ëèôøèö, Èçáðàííûå òðó-
äû, Íàóêà, Ìîñêâà (1987), ò. 1, c.106.
5. I.M. Lifshitz and A.M. Kosevich, Rep. Progr. Phys. 29,
217 (1966) [ðóññêèé ïåðåâîä â êí: È.Ì. Ëèôøèö, Èç-
áðàííûå òðóäû, Íàóêà, Ìîñêâà (1987), ò. 1, ñ. 142.
6. È.Ì. Ëèôøèö, ÓÌÍ 7, 171 (1952).
7. À.Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
(ôèçè÷åñêàÿ ìåõàíèêà êðèñòàëëîâ), Âèùà øêîëà,
Õàðüêîâ (1988).
8. A.M. Kossevich, The Crystal Lattice (Phonons,
Solitons, Dislocations), WILEY-VCH Verlag Berlin
GmBH, Berlin (1999).
9. À. Ìàðàäóäèí, Ý. Ìîíòðîëë, Äæ. Âåéñ, Äèíàìè÷å-
ñêàÿ òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè â ãàðìîíè÷å-
ñêîì ïðèáëèæåíèè, Ìèð, Ìîñêâà (1965).
10. À. Ìàðàäóäèí, Äåôåêòû è êîëåáàòåëüíûé ñïåêòð
êðèñòàëëîâ, Ìèð, Ìîñêâà (1968).
11. Õ. Áåòãåð, Ïðèíöèïû äèíàìè÷åñêîé òåîðèè ðåøåò-
êè, Ìèð, Ìîñêâà (1986).
12. Þ.Ã. Íàéäþê, Í.À. ×åðíîïëåêîâ, Þ.Ë. Øèòèêîâ,
Î.È. Øêëÿðåâñêèé, È.Ê. ßíñîí, ÆÝÒÔ 83, 1177
(1982).
13. Þ.Ã. Íàéäþê, È.Ê. ßíñîí, À.À. Ëûñûõ, Þ.Ë. Øè-
òèêîâ, ÔÒÒ 26, 2734 (1984).
14. Ë.À. Ôàëüêîâñêèé, Ïèñüìà ÆÝÒÔ 71, 225 (2000).
15. Ë.À. Ôàëüêîâñêèé, ÆÝÒÔ 117, 735 (2000).
16. Ì.À. Èâàíîâ, Þ.Â. Ñêðèïíèê, ÔÒÒ 34, 641 (1992).
17. Ì.À. Èâàíîâ, Þ.Â. Ñêðèïíèê, ÔÒÒ 36, 94 (1994).
18. O. Braun and Yu.S. Kivshar, Phys. Rep. 306, (1998).
19. Ã. Ëåéáôðèä, Í.Áðîéåð, Òî÷å÷íûå äåôåêòû â ìå-
òàëëàõ, Ìèð, Ìîñêâà (1981).
20. Â.È. Ïåðåñàäà, Äèññ. äîê. ôèç.-ìàò. íàóê, Õàðüêîâ,
(1972).
21. Â.È. Ïåðåñàäà, Ôèçèêà êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ, ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ, Õàðüêîâ (1968), ñ. 172.
22. Â.È. Ïåðåñàäà, Â.Í. Àôàíàñüåâ, Â.Ñ. Áîðîâèêîâ,
ÔÍÒ 1, 461 (1975).
23. R. Haydock, in: Solid State Phys,. H. Ehrenreich et
al. (eds.), Academic Press, New York (1980), v. 35, p.
129.
24. È.À. Ãîñïîäàðåâ, À.Â. Ãðèøàåâ, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á.
Ôåîäîñüåâ, ÔÒÒ 42, 2153 (2000).
25. Ì.À. Ìàìàëóé, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ, ÔÒÒ
38, 3683 (1996).
26. Ì.À. Ìàìàëóé, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ,
ÔÍÒ 24, 8, 586 (1998).
27. Ì.À. Ìàìàëóé, Å.Ñ. Ñûðêèí, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ,
ÔÍÒ 25, 586 (1999).
28. Ã. Ñåãå Îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû, Ãîñ. èçä-âî
ôèç.-ìàò. ëèò., Ìîñêâà (1962).
29. Í.È. Àõèåçåð, Êëàññè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ìîìåíòîâ,
Ãîñ. èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèò., Ìîñêâà (1961).
30. Â.È. Ïåðåñàäà, Â.Ï. Òîëñòîëóæñêèé, Î âëèÿíèè
ïðèìåñíûõ àòîìîâ íà òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà
ÃÖÊ ðåøåòêè, Ïðåïðèíò ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ, Õàðü-
êîâ (1970).
358 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3
À.Â. Êîòëÿð, Ñ.Á. Ôåîäîñüåâ
31. Â.È. Ïåðåñàäà, Â.Ï. Òîëñòîëóæñêèé, ÔÍÒ 3, 788
(1977).
32. Â.Í. Àôàíàñüåâ, â ñá.: Ôèçèêà êîíäåíñèðîâàííîãî ñî-
ñòîÿíèÿ, ÔÒÈÍÒ ÀÍ ÓÑÑÐ, Õàðüêîâ (1970), ñ. 10.
33. Ã.Ã. Ñåðãååâà, ÆÝÒÔ 48, 158 (1965).
34. Î.Â. Êîâàëåâ, Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïðî-
ñòðàíñòâåííûõ ãðóïï, èçä-âî ÀÍ ÓÑÑÐ, Êèåâ (1961).
35. À.Ô. Ïðèõîòüêî, Â.Ã. Ìàíæåëèé, È.ß. Ôóãîëü,
Þ.Á. Ãàéäèäåé, È.Í. Êðóïñêèé, Â.Ì. Ëîêòåâ, Å.Â.
Ñàâ÷åíêî, Â.À. Ñëþñàðåâ, Ì.À. Ñòðæåìå÷íûé, Þ.À.
Ôðåéìàí, Ë.È. Øàíñêèé, Êðèîêðèñòàëëû, Íàóêîâà
äóìêà, Êèåâ (1983).
36. S.B. Feodosyev, I.A. Gospodarev, V.I. Grishaev, and
E.S. Syrkin, Fiz. Nizk. Temp. 29, 710 (2003).
37. S.B. Feodosyev, I.A. Gospodarev, M.A. Mamalui, and
E.S. Syrkin, J. Low Temp. Phys. 111, 441 (1998).
Local oscillations in crystal lattices with a simply
connected region of the quasi-continuons
phonon spectrum
A.V. Kotlyar and S.B. Feodosyev
It is shown, that the use of the oscillation
classification, which is accepted in the J-matrices
method and is most natural in describing local-
ized states, results in a very rapid convergence of
the Green function for frequencies beyond the
quasi-continuous spectral band of the crystal.
This makes possible to derive rather general ana-
lytical expressions for the conditions of formation
of local oscillations that are due to the existence
of light impurity atoms in the crystal lattice
whose quasi-continuous spectral region is simply
connected. The accuracy of determining local os-
cillations frequencies and intensities by these ex-
pressions is illustrated with light substitutional
impurities (isotopic and simply connected) in
close-packed structures (fcc and hcp) and isolated
pairs of isotopic impurities in the fcc crystal lat-
tice. The results obtained can, in particular, be
used to calculate simply and very accurately the
fundamental lattice parameters and crystal imper-
fection by the known values of local frequencies.
Keywords: crystal lattice, phonon spectrum,
Green function, Jacobi matrix, local vibration
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ â êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 3 359
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-120149 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:37:04Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Котляр, А.В. Феодосьев, С.Б. 2017-06-11T07:36:30Z 2017-06-11T07:36:30Z 2006 Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра / А.В. Котляр, С.Б. Феодосьев // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 3. — С. 343–359. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 63.20.–e https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/120149 Показано, что использование классификации колебаний, принятой в методе якобиевых матриц и являющейся наиболее естественной для описания локализованных состояний, приводит к чрезвычайно быстрой сходимости функций Грина для частот, расположенных вне полосы квазинепрерывного спектра кристалла. Это позволило получить достаточно общие аналитические выражения для условий образования и характеристик локальных колебаний, обусловленных наличием легких примесных атомов в кристалличесой решетке, область квазинепрерывного фононного спектра которой односвязна. Точность определения с помощью данных выражений частот и интенсивностей локальных колебаний проиллюстрирована на примерах легких примесей замещения (изотопических и слабосвязанных) в плотноупакованных структурах (ГЦК и ГПУ), а также изолированных пар изотопических примесей в ГЦК кристаллической решетке. Полученные результаты могут, в частности, быть использованы для простого и весьма точного вычисления параметров основной решетки и дефекта по известным величинам локальных частот. Показано, що використання класифiкацiї коливань, яка прийнята в методi якобiйових матриць та є найбiльш природною для описання локалiзованих станiв, призводить до надзвичайно швидкої збіжностi функцiй Грiна для частот, розташованих поза смугою квазiбезперервного спектра кристала. Це дозволило отримати досить загальнi аналiтичнi вирази для умов утворення та характеристик локальних коливань, що обумовленi наявнiстю легких домiшкових атомiв в кристалiчнiй гратцi, область квазiбезперервного фононного спектра якої однозв’язна. Точнiсть визначення за допомогою даних виразiв частот та iнтенсивностей локальних коливань проiлюстровано на прикладах легких домiшкiв замiщення (iзотопiчних та слабкозв‘язаних) в щiльноупакованих структурах (ГЦК та ГПУ), а також iзольованих пар iзотопiчних домiшок у ГЦК кристалiчнiй гратцi. Отриманi результати можуть, зокрема, бути використанi для простого й досить точного обчислення параметрiв основної гратки й дефекту по вiдомих величинах локальних частот. It is shown, that the use of the oscillation classification, which is accepted in the J-matrices method and is most natural in describing localized states, results in a very rapid convergence of the Green function for frequencies beyond the quasi-continuous spectral band of the crystal. This makes possible to derive rather general analytical expressions for the conditions of formation of local oscillations that are due to the existence of light impurity atoms in the crystal lattice whose quasi-continuous spectral region is simply connected. The accuracy of determining local oscillations frequencies and intensities by these expressions is illustrated with light substitutional impurities (isotopic and simply connected) in close-packed structures (fcc and hcp) and isolated pairs of isotopic impurities in the fcc crystal lattice. The results obtained can, in particular, be used to calculate simply and very accurately the fundamental lattice parameters and crystal imperfection by the known values of local frequencies. Авторы выражают глубокую благодарность А.М. Косевичу, А.С. Ковалеву и Е.С. Сыркину за плодотворные обсуждения и ценные замечания. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Динамика кристаллической решетки Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра Local oscillations in crystal lattices with a simply connected region of the quasi-continuons phonon spectrum Article published earlier |
| spellingShingle | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра Котляр, А.В. Феодосьев, С.Б. Динамика кристаллической решетки |
| title | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра |
| title_alt | Local oscillations in crystal lattices with a simply connected region of the quasi-continuons phonon spectrum |
| title_full | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра |
| title_fullStr | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра |
| title_full_unstemmed | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра |
| title_short | Локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра |
| title_sort | локальные колебания в кристаллических решетках с односвязной областью квазинепрерывного фононного спектра |
| topic | Динамика кристаллической решетки |
| topic_facet | Динамика кристаллической решетки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/120149 |
| work_keys_str_mv | AT kotlârav lokalʹnyekolebaniâvkristalličeskihrešetkahsodnosvâznoioblastʹûkvazinepreryvnogofononnogospektra AT feodosʹevsb lokalʹnyekolebaniâvkristalličeskihrešetkahsodnosvâznoioblastʹûkvazinepreryvnogofononnogospektra AT kotlârav localoscillationsincrystallatticeswithasimplyconnectedregionofthequasicontinuonsphononspectrum AT feodosʹevsb localoscillationsincrystallatticeswithasimplyconnectedregionofthequasicontinuonsphononspectrum |