Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах
На основе линеаризованного уравнения баланса рассмотрена задача о прыжковой проводимости системы со случайно распределенными примесными центрами при низких температурах. С использованием диаграммных методов найдено самосогласованное выражение для конфигурационно-усредненной функции Грина, описывающ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика низких температур |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/120223 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах / М.П. Фатеев // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 7. — С. 879–886. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-120223 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Фатеев, М.П. 2017-06-11T13:08:30Z 2017-06-11T13:08:30Z 2006 Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах / М.П. Фатеев // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 7. — С. 879–886. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 72.20.–i, 72.20.Fr, 72.20.Dp https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/120223 На основе линеаризованного уравнения баланса рассмотрена задача о прыжковой проводимости системы со случайно распределенными примесными центрами при низких температурах. С использованием диаграммных методов найдено самосогласованное выражение для конфигурационно-усредненной функции Грина, описывающей перенос заряда в неупорядоченной системе с учетом корреляций Ферми. Показано, что выбранное приближение соответствует хорошо известному приближению когерентного потенциала. В пределе низких частот найдено выражение для прыжковой проводимости в зависимости от температуры и частоты для степенного закона плотности состояний. Полученные результаты хорошо согласуются с перколяционным подходом и в статическом пределе приводят к закону Мотта. На основі лінеаризованого рівняння балансу розглянуто задачу про стрибкову провідність системи з випадково розподіленими домішковими центрами при низьких температурах. З використанням діаграмних методів знайдено самоузгоджений вираз для конфігураційно-усередненої функції Гріна, що описує перенос заряду в неупорядкованій системі з урахуванням кореляцій Фермі. Показано, що обране наближення відповідає добре відомому наближенню когерентного потенціалу. У межі низьких частот знайдено вираз для стрибкової провідності залежно від температури й частоти щодо степеневого закону щільності станів. Отримані результати добре узгоджуються з перколяційним підходом і у статичній межі призводять до закону Мотта. Using the linearized equations of balance the problem of hopping conductivity for a system with random distributed impurity centers is considered at low temperatures. A self-consistent expression for the configuration-average Green function describing transfer of a charge in the disordered system with due account of the Fermi correlation is found by the diagrammatic methods. It is shown, that the chosen approximation corresponds to the well-known approximation of coherent potential. Within the limits of low frequencies an expression for hopping conductivity as a function of temperature and frequency for the power-law of density of states is derived. The results obtained are in good agreement with the percolation approach and in a static limit lead to the Mott law. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Физика низких температур Низкоразмерные и неупорядоченные системы Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах Self-consistent approach for the theory of hopping transport in disordered systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах |
| spellingShingle |
Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах Фатеев, М.П. Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| title_short |
Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах |
| title_full |
Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах |
| title_fullStr |
Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах |
| title_full_unstemmed |
Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах |
| title_sort |
приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах |
| author |
Фатеев, М.П. |
| author_facet |
Фатеев, М.П. |
| topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физика низких температур |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Self-consistent approach for the theory of hopping transport in disordered systems |
| description |
На основе линеаризованного уравнения баланса рассмотрена задача о прыжковой проводимости системы со случайно распределенными примесными центрами при низких температурах.
С использованием диаграммных методов найдено самосогласованное выражение для конфигурационно-усредненной функции Грина, описывающей перенос заряда в неупорядоченной системе с учетом корреляций Ферми. Показано, что выбранное приближение соответствует хорошо известному приближению когерентного потенциала. В пределе низких частот найдено
выражение для прыжковой проводимости в зависимости от температуры и частоты для степенного закона плотности состояний. Полученные результаты хорошо согласуются с перколяционным подходом и в статическом пределе приводят к закону Мотта.
На основі лінеаризованого рівняння балансу розглянуто задачу про стрибкову провідність
системи з випадково розподіленими домішковими центрами при низьких температурах. З використанням діаграмних методів знайдено самоузгоджений вираз для конфігураційно-усередненої
функції Гріна, що описує перенос заряду в неупорядкованій системі з урахуванням кореляцій
Фермі. Показано, що обране наближення відповідає добре відомому наближенню когерентного
потенціалу. У межі низьких частот знайдено вираз для стрибкової провідності залежно від температури й частоти щодо степеневого закону щільності станів. Отримані результати добре узгоджуються з перколяційним підходом і у статичній межі призводять до закону Мотта.
Using the linearized equations of balance
the problem of hopping conductivity for a system
with random distributed impurity centers is
considered at low temperatures. A self-consistent
expression for the configuration-average Green function describing transfer of a charge
in the disordered system with due account of
the Fermi correlation is found by the diagrammatic
methods. It is shown, that the chosen approximation
corresponds to the well-known approximation
of coherent potential. Within the
limits of low frequencies an expression for hopping
conductivity as a function of temperature
and frequency for the power-law of density of
states is derived. The results obtained are in
good agreement with the percolation approach
and in a static limit lead to the Mott law.
|
| issn |
0132-6414 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/120223 |
| citation_txt |
Приближение самосогласованного поля в теории прыжкового переноса в неупорядоченных системах / М.П. Фатеев // Физика низких температур. — 2006. — Т. 32, № 7. — С. 879–886. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT fateevmp približeniesamosoglasovannogopolâvteoriipryžkovogoperenosavneuporâdočennyhsistemah AT fateevmp selfconsistentapproachforthetheoryofhoppingtransportindisorderedsystems |
| first_indexed |
2025-11-26T17:40:01Z |
| last_indexed |
2025-11-26T17:40:01Z |
| _version_ |
1850765991318913024 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7, ñ. 879–886
Ïðèáëèæåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ â òåîðèè
ïðûæêîâîãî ïåðåíîñà â íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåìàõ
Ì.Ï. Ôàòååâ
Íàöèîíàëüíûé íàó÷íûé öåíòð «Õàðüêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò»
óë. Àêàäåìè÷åñêàÿ, 1, ã. Õàðüêîâ, 61108, Óêðàèíà
E-mail: mfateev@kipt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 26 àïðåëÿ 2005 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 27 îêòÿáðÿ 2005 ã.
Íà îñíîâå ëèíåàðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ áàëàíñà ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ïðûæêîâîé ïðîâîäè-
ìîñòè ñèñòåìû ñî ñëó÷àéíî ðàñïðåäåëåííûìè ïðèìåñíûìè öåíòðàìè ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì äèàãðàììíûõ ìåòîäîâ íàéäåíî ñàìîñîãëàñîâàííîå âûðàæåíèå äëÿ êîíôèãó-
ðàöèîííî-óñðåäíåííîé ôóíêöèè Ãðèíà, îïèñûâàþùåé ïåðåíîñ çàðÿäà â íåóïîðÿäî÷åííîé ñèñ-
òåìå ñ ó÷åòîì êîððåëÿöèé Ôåðìè. Ïîêàçàíî, ÷òî âûáðàííîå ïðèáëèæåíèå ñîîòâåòñòâóåò õîðî-
øî èçâåñòíîìó ïðèáëèæåíèþ êîãåðåíòíîãî ïîòåíöèàëà.  ïðåäåëå íèçêèõ ÷àñòîò íàéäåíî
âûðàæåíèå äëÿ ïðûæêîâîé ïðîâîäèìîñòè â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû è ÷àñòîòû äëÿ ñòåïåí-
íîãî çàêîíà ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ïåðêîëÿöèîí-
íûì ïîäõîäîì è â ñòàòè÷åñêîì ïðåäåëå ïðèâîäÿò ê çàêîíó Ìîòòà.
Íà îñíîâ³ ë³íåàðèçîâàíîãî ð³âíÿííÿ áàëàíñó ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ïðî ñòðèáêîâó ïðîâ³äí³ñòü
ñèñòåìè ç âèïàäêîâî ðîçïîä³ëåíèìè äîì³øêîâèìè öåíòðàìè ïðè íèçüêèõ òåìïåðàòóðàõ. Ç âèêî-
ðèñòàííÿì ä³àãðàìíèõ ìåòîä³â çíàéäåíî ñàìîóçãîäæåíèé âèðàç äëÿ êîíô³ãóðàö³éíî-óñåðåäíåíî¿
ôóíêö³¿ Ãð³íà, ùî îïèñóº ïåðåíîñ çàðÿäó â íåóïîðÿäêîâàí³é ñèñòåì³ ç óðàõóâàííÿì êîðåëÿö³é
Ôåðì³. Ïîêàçàíî, ùî îáðàíå íàáëèæåííÿ â³äïîâ³äຠäîáðå â³äîìîìó íàáëèæåííþ êîãåðåíòíîãî
ïîòåíö³àëó. Ó ìåæ³ íèçüêèõ ÷àñòîò çíàéäåíî âèðàç äëÿ ñòðèáêîâî¿ ïðîâ³äíîñò³ çàëåæíî â³ä òåì-
ïåðàòóðè é ÷àñòîòè ùîäî ñòåïåíåâîãî çàêîíó ù³ëüíîñò³ ñòàí³â. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè äîáðå óçãîä-
æóþòüñÿ ç ïåðêîëÿö³éíèì ï³äõîäîì ³ ó ñòàòè÷í³é ìåæ³ ïðèçâîäÿòü äî çàêîíó Ìîòòà.
PACS: 72.20.–i, 72.20.Fr, 72.20.Dp
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïðûæêîâûé ïåðåíîñ, äèàãðàììíûå ìåòîäû, ôóíêöèÿ Ãðèíà, êîððåëÿöèè Ôåðìè.
1. Ââåäåíèå
Ïðîáëåìà ïðûæêîâîãî ïåðåíîñà â íåóïîðÿäî-
÷åííûõ ñèñòåìàõ — àìîðôíûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ,
ñèëüíî ëåãèðîâàííûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ, æèäêèõ
ìåòàëëàõ è ò.ä. — ïðèâëåêàåò ê ñåáå áîëüøîå âíè-
ìàíèå èññëåäîâàòåëåé [1–3]. Ýòî îáóñëîâëåíî êàê
âîçðîñøåé ïðàêòè÷åñêîé âàæíîñòüþ òàêèõ ìàòå-
ðèàëîâ, òàê è íåîáû÷àéíîñòüþ ìíîãèõ ôèçè÷åñêèõ
ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ â ðàçóïîðÿäî÷åííûõ ñðå-
äàõ. Öåíòðàëüíîé ïðîáëåìîé òåîðèè ïðûæêîâîãî
ïåðåíîñà ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ñðåäíåé ýëåêòðî-
ïðîâîäíîñòè ñèñòåìû ñî ñëó÷àéíî ðàñïðåäåëåííû-
ìè ïðèìåñíûìè öåíòðàìè, ïî êîòîðûì ïðîèñõîäèò
ïåðåíîñ çàðÿäà. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è áûëè
ðàçâèòû ðàçëè÷íûå ìåòîäû [3]. Ïðè ýòîì íàèáîëåå
÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïîëóôåíîìåíîëîãè÷åñêèå ïîä-
õîäû, îñíîâàííûå íà òåîðèè ïåðêîëÿöèè è
ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé ñðåäû. Â ýòèõ ïðèáëè-
æåíèÿõ ïðûæêîâûé ïåðåíîñ îïèñûâàåòñÿ â òåðìè-
íàõ ïðîâîäèìîñòè ñëó÷àéíîé ñåòêè ñîïðîòèâëåíèé.
Ïåðêîëÿöèîííûé ïîäõîä îñíîâàí íà òîì ôàêòå,
÷òî ñóùåñòâóåò ðåçêàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ çàâèñè-
ìîñòü òåìïîâ ïåðåõîäîâ îò õàðàêòåðíûõ ðàçíîñòåé
ýíåðãèé è ðàññòîÿíèé ìåæäó öåíòðàìè, îáìåíè-
âàþùèìèñÿ çàðÿäîì. Òàêèì îáðàçîì, â ïðèìåíåíèè
ê çàäà÷å î ñëó÷àéíîé ñåòêå ñîïðîòèâëåíèé ïåðêîëÿ-
öèîííûé ïîäõîä îêàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíûì ïðè-
áëèæåííûì ìåòîäîì, ïîçâîëÿþùèì èçáåæàòü ïðÿ-
ìîãî ðåøåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà
çàðÿäà ïî ñëó÷àéíî ðàñïîëîæåííûì ïðèìåñíûì
öåíòðàì, êîòîðûå èìåþò ñëó÷àéíîå ðàñïðåäåëåíèå
© Ì.Ï. Ôàòååâ, 2006
óðîâíåé ýíåðãèé. Â ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé
ñðåäû çàäà÷à î ñëó÷àéíîé ñåòêå ñîïðîòèâëåíèé ñâî-
äèòñÿ ê çàäà÷å îá óïîðÿäî÷åííîé ñåòêå ýôôåêòèâ-
íûõ ñîïðîòèâëåíèé. Èç óñëîâèÿ ñàìîñîãëàñîâàíèÿ
íàõîäèòñÿ çíà÷åíèå ýôôåêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ,
êîòîðîå îïðåäåëÿåò óñðåäíåííóþ ïðîâîäèìîñòü
ñèñòåìû.
Äëÿ ñëó÷àÿ R-ïðîòåêàíèÿ èëè NNH ïðîâîäèìî-
ñòè (NNH — nearest neighbor hopping), êîãäà òåìïû
ïåðåõîäîâ çàðÿäîâ çàâèñÿò òîëüêî îò ðàññòîÿíèé ìå-
æäó óçëàìè, îáà ìåòîäà ïðèâîäÿò ê ïîäîáíûì ðå-
çóëüòàòàì, êîòîðûå õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ÷èñëåí-
íûìè ðàñ÷åòàìè.  ñëó÷àå R,�- ïðîòåêàíèÿ èëè VRH
-ïðîâîäèìîñòè (VRH—variable range hopping), êîã-
äà òåìïû ïåðåõîäîâ çàâèñÿò êàê îò óðîâíåé ýíåðãèé,
òàê è ðàññòîÿíèé ìåæäó ïðèìåñÿìè, ñèòóàöèÿ áîëåå
ñëîæíàÿ. Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ òåîðèè
ïðîòåêàíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà ïðîâîäèìîñòè ïðèâîäèò ê
èçâåñòíîìó çàêîíó Ìîòòà. Â òî æå âðåìÿ ñòàíäàðò-
íîå ïðèáëèæåíèå ýôôåêòèâíîé ñðåäû äàåò çàìåòíîå
îòêëîíåíèå îò ýòîãî çàêîíà [4]. Áûëî ïðåäëîæåíî
íåñêîëüêî èñêóññòâåííûõ ïðèåìîâ, ÷òîáû îáîéòè
ýòó ïðîáëåìó [5,6]. Îäíàêî íåïîíÿòíî, êàêèì îáðà-
çîì êîððåêòíî èíòåãðèðîâàòü ýòè ïîäõîäû â ïðè-
áëèæåíèå ýôôåêòèâíîé ñðåäû.
 ñèëó ïîëóýìïèðè÷åñêîãî õàðàêòåðà ýòèõ ìåòî-
äîâ îñíîâíûì êðèòåðèåì èõ ïðèìåíèìîñòè ÷àùå
âñåãî ÿâëÿåòñÿ íå âíóòðåííÿÿ ñàìîñîãëàñîâàííîñòü
òåîðèè, à ñðàâíåíèå ñ äàííûìè êîìïüþòåðíûõ ðàñ-
÷åòîâ. Ñ öåëüþ ïðåîäîëåíèÿ óêàçàííûõ òðóäíîñòåé
è îòêàçà îò ôåíîìåíîëîãè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ
ïðûæêîâîãî ïåðåíîñà ïîñðåäñòâîì ñëó÷àéíîé ñåòêè
ñîïðîòèâëåíèé áûëè ðàçâèòû ðàçëè÷íûå äèàãðàì-
ìíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ êîíôèãóðàöèîííî-óñðåä-
íåííîé ôóíêöèè Ãðèíà, îïèñûâàþùåé ïåðåíîñ íî-
ñèòåëåé çàðÿäà, êàê äëÿ ñëó÷àÿ R-ïðîòåêàíèÿ, òàê è
äëÿ ñëó÷àÿ R,�- ïðîòåêàíèÿ.  òî âðåìÿ êàê â ðàáîòå
[7] èñïîëüçîâàëàñü ìîäåëü ñâÿçåé â òîïîëîãèè äå-
ðåâüåâ Êåéëè, àâòîðû ðàáîò [8] è [9] íå ââîäèëè íè-
êàêîé âñïîìîãàòåëüíîé ðåøåòêè. Â [8] äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷è R,�-ïðîòåêàíèÿ èñïîëüçîâàëè ìîäèôèöèðî-
âàííóþ äèàãðàììíóþ òåõíèêó Ãîãåíàóåðà, Àíäåðñå-
íà, Ôàóýðà (ÃÀÔ) [10], îñíîâàííóþ íà ñàìîñî-
ãëàñîâàííîì ðàñ÷åòå ôóíêöèè Ãðèíà â ïàðíîì
ïðèáëèæåíèè, ñïðàâåäëèâîì äëÿ ìàëîé êîíöåíòðà-
öèè ïðèìåñåé.  îòëè÷èå îò ïîäõîäà ÃÀÔ àâòîðû
[9] èñïîëüçîâàëè îáùèé ìåòîä íàõîæäåíèÿ óñðåä-
íåííîé ôóíêöèè Ãðèíà, âïåðâûå ïðåäëîæåííûé
Áðûêñèíûì è ßøèíûì (Áß) [11] è ìîäèôèöèðî-
âàííûé Áðûêñèíûì [12], äëÿ çàäà÷è R-ïðîòåêàíèÿ.
Ýòîò ïîäõîä ôîðìàëüíî ñïðàâåäëèâ äëÿ ëþáîé êîí-
öåíòðàöèè ïðèìåñíûõ öåíòðîâ è ÿâëÿåòñÿ áëèçêèì ê
ìåòîäó êîãåðåíòíîãî ïîòåíöèàëà, êîòîðûé øèðîêî
èñïîëüçóåòñÿ äëÿ àíàëèçà ðàçëè÷íûõ íåóïîðÿäî÷åí-
íûõ ñèñòåì ñî ñòàòè÷åñêèì áåñïîðÿäêîì [13].  ñëó-
÷àå R-ïðîòåêàíèÿ îáà ïîäõîäà ïðèâîäÿò ê áëèçêèì
ðåçóëüòàòàì, ñîãëàñóþùèìñÿ ñ òåîðèåé ïðîòåêàíèÿ
è ïðèáëèæåíèåì ýôôåêòèâíîé ñðåäû. Îäíàêî îáîá-
ùåíèå äèàãðàììíûõ ìåòîäîâ íà ñëó÷àé R,�- ïðîòå-
êàíèÿ íàòîëêíóëîñü íà çíà÷èòåëüíûå òðóäíîñòè. Â
ýòîì ñëó÷àå äëÿ íàõîæäåíèÿ êîíôèãóðàöèîííî-óñ-
ðåäíåííîé ôóíêöèè Ãðèíà íåîáõîäèìî ðåøàòü ñàìî-
ñîãëàñîâàííîå êâàíòîâîå äèôôóçèîííîå óðàâíåíèå,
îïèñûâàþùåå ïðîöåññ äèôôóçèè â ïðîñòðàíñòâå
ýíåðãèé. Â ðàáîòå [8] ýòî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
àïïðîêñèìèðîâàëîñü àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì.
Äàëåå ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû ñàìîñîãëàñîâàíèÿ
ÃÀÔ íàõîäèëè äèàãîíàëüíóþ ÷àñòü óñðåäíåííîé
ôóíêöèè Ãðèíà, êîòîðàÿ â ýòîì ïðèáëèæåíèè îïðå-
äåëÿåò ïðîâîäèìîñòü ñèñòåìû. Ïóòåì ðàçäåëåíèÿ
óñðåäíåíèÿ ïî äëèíàì ïðûæêîâ è òåìïàì ïåðåõîäîâ
ìåæäó ïðèìåñíûìè óçëàìè íàéäåíî âûðàæåíèå äëÿ
ñòàòè÷åñêîé ïðûæêîâîé ïðîâîäèìîñòè â ïðåäåëå
ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ôîíîíàìè. Íåñìîòðÿ íà
ñîâïàäåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ðåçóëüòàòàìè
òåîðèè ïðîòåêàíèÿ, ïðåäëîæåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ
çàäà÷è R,�-ïðîòåêàíèÿ íåëüçÿ ïðèçíàòü ïîëíîñòüþ
óäîâëåòâîðèòåëüíûì. Â ðàáîòå [9] íà îñíîâå ìîäè-
ôèöèðîâàííîãî ïîäõîäà Áß [12] áûëî âïåðâûå ïî-
ëó÷åíî êâàíòîâîå äèôôóçèîííîå óðàâíåíèå äëÿ
ôóíêöèè Ãðèíà â çàäà÷å R,�-ïðîòåêàíèÿ. Ïóòåì ââå-
äåíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà è ïåðåõîäà ê áåçðàç-
ìåðíûì ìàñøòàáíûì ïåðåìåííûì áûëî íàéäåíî
âûðàæåíèå äëÿ ïðûæêîâîé ïðîâîäèìîñòè êàê â ñòà-
òè÷åñêîì, òàê è äèíàìè÷åñêîì ðåæèìå ñ òî÷íîñòüþ
äî ÷èñëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Íåèçâåñòíûé ïàðà-
ìåòð îïðåäåëÿëè èç óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ â íóëü äî-
ïîëíèòåëüíîãî âêëàäà â âûðàæåíèå äëÿ ýëåêòðîïðî-
âîäíîñòè. Ê ñîæàëåíèþ, âûáðàííàÿ ïðîöåäóðà
ñàìîñîãëàñîâàíèÿ íîñèò ÷èñòî ïîäãîíî÷íûé õàðàê-
òåð è íå èìååò ñòðîãîãî äèàãðàììíîãî îáîñíîâàíèÿ
[12]. Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè â ýòîì ïðèáëèæåíèè
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, êîòîðàÿ
â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñèò ñàìîñîãëàñîâàííûì îáðàçîì
îò êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè. Ýòî ïðèâîäèò ê íåîá-
õîäèìîñòè ðåøåíèÿ ñëîæíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâ-
íåíèÿ äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà ïðè âû÷èñëåíèè ïðîâîäè-
ìîñòè ñèñòåìû äëÿ ñëó÷àÿ R,�-ïðîòåêàíèÿ. Áîëåå
òîãî íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ, êîòî-
ðûå âõîäÿò â âûðàæåíèå äëÿ ÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòè
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè, îáðàùàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü
äëÿ ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ìåíüøåì èëè ðàâíîì
äâóì d � 2 [9]. Ñëåäîâàòåëüíî, íåñìîòðÿ íà õîðîøåå
ñîâïàäåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ çàêîíîì Ìîò-
òà è ÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòüþ ïðîâîäèìîñòè, îñòàþò-
ñÿ íåîïðåäåëåííûìè íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû, êî-
òîðûå ïðè âûáðàííîì óñëîâèè ñàìîñîãëàñîâàíèÿ
880 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7
Ì.Ï. Ôàòååâ
îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåøåíèÿ êâàíòîâîãî äèôôóçèîí-
íîãî óðàâíåíèÿ.
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçâèòèè
ìèêðîñêîïè÷åñêîãî ïîäõîäà äëÿ îïèñàíèÿ ïðûæêî-
âîãî ïåðåíîñà, êîòîðûé áûë áû èçáàâëåí îò óêàçàí-
íûõ íåäîñòàòêîâ. Çäåñü îáîáùèì ïîäõîä Áß [11] íà
ñëó÷àé R,�-ïðîòåêàíèÿ.  îòëè÷èå îò ðàáîòû [9], áó-
äåò èñïîëüçîâàíî óñëîâèå ñàìîñîãëàñîâàíèÿ, êîòîðîå
îñíîâàíî íà äèàãðàììíîì ïðåäñòàâëåíèè è êîòîðîå
ñîîòâåòñòâóåò èçâåñòíîìó ìåòîäó êîãåðåíòíîãî ïîòåí-
öèàëà. Ýòî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ïðûæêîâóþ ïðîâî-
äèìîñòü êàê â ñòàòè÷åñêîì, òàê è äèíàìè÷åñêîì ñëó-
÷àå è íàéòè âñå íåèçâåñòíûå ïðåäýêñïîíåíöèàëüíûå
êîýôôèöèåíòû. Ïðè ýòîì óäàåòñÿ èçáåæàòü íàõîæäå-
íèÿ ðåøåíèÿ ñëîæíîãî èíòåãðàëüíîãî äèôôóçèîííî-
ãî óðàâíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ýíåðãèè.
2. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ïðûæêîâîé
ïðîâîäèìîñòè
Äëÿ ðàñ÷åòà òîêà èñïîëüçîâàí ïîäõîä, îñíîâàí-
íûé íà ââåäåíèè ôóíêöèè óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè
P tn n,
, ( )
�
�� � (äèôôóçèîííîé ôóíêöèè), êîòîðàÿ èìååò
ñìûñë âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ýëåêòðîíà íà óçëå
n ñ ýíåðãèåé � â ìîìåíò âðåìåíè t, åñëè ïðè t � 0 îí
íàõîäèëñÿ íà óçëå n� ñ ýíåðãèåé �� [3]. Ñîãëàñíî ýòî-
ìó ïîäõîäó, â ëèíåéíîì ïî âíåøíåìó ýëåêòðè÷å-
ñêîìó ïîëþ E ïðèáëèæåíèè, âûðàæåíèå äëÿ òîêà
èìååò âèä
j R R ER( ) ( )( ) ( )
,
,
,
,s
e s
T
P sn n
n n
n n n� ��
�
�
� �
��
2 2
2 �
� �
� � , (1)
ãäå P sn n,
, ( )
�
�� � — ôóíêöèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè â
ïðåäñòàâëåíèè Ëàïëàñà, s i� � �, �— ÷àñòîòà âíåø-
íåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, e — åäèíè÷íûé çàðÿä, �
— îáúåì ñèñòåìû, T— òåìïåðàòóðà, âûðàæåííàÿ â
ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êóáè-
÷åñêîé ðåøåòêè ðàçìåðíîñòè d ïîëó÷àåì ñîîòíîøå-
íèÿ äëÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè:
� � �
� �
( ) ( ) ( ),
,
,
,
s
e s
dT
P sn n n n
n n
� � � �
�
�
�
�
2 2
2
2 �
R R . (2)
Äèôôóçèîííàÿ ôóíêöèÿ P sn n,
, ( )
�
�� � óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ
sP F
P
n n n n n n n
n n
,
,
, , ,
, ,( )
�
�
� � � ��
�� �� �
��
� � � �
� �
� �
�
� �
,
,
,
,
� � �
�
�
��
�
�
�� ��
�
�
�
��
�
�
�
��
� F
P
Fn
n n
nn
.
(3)
Çäåñü F f fn F
n
F
n( ) ( )( ( ))� � �� �1 , ãäå fF
n ( )� — ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè ñ ýíåðãèåé � íà óçëå n,
� �n n n n,
,
,
,
�
�
�
��� � � � — âåðîÿòíîñòü ïðûæêà èç óçëà n,� íà
óçåë n� �,� â åäèíèöó âðåìåíè. Ôóíêöèÿ óñëîâíîé
âåðîÿòíîñòè P óäîâëåòâîðÿåò íîðìèðîâî÷íûì óñëî-
âèÿì, ñëåäóþùèì èç ïðèíöèïà äåòàëüíîãî áàëàíñà
è çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:
sP Fn n n
n
,
,
,
( )
�
�
� �
�� � �
�
� , (4)
sP Fn n n
n
,
,
,
( )
�
�
�� �� � �
�
� . (5)
Íèæå ïîëàãàåì, ÷òî � íå çàâèñèò îò s, ÷òî ñîîò-
âåòñòâóåò ìàðêîâñêîìó ïðåäåëó äëÿ íåóñðåäíåííîãî
óðàâíåíèÿ äèôôóçèè. Ýòà çàâèñèìîñòü ñóùåñòâåííà
ëèøü â îáëàñòè âûñîêèõ ÷àñòîò, íà÷èíàÿ ñ èíôðà-
êðàñíîãî äèàïàçîíà.  ñëó÷àå íèçêèõ òåìïåðàòóð
âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â
âèäå [1–3]
� �
� � � � � �
�n n n n T,
, exp
�
�
�� � � �
� � ��
�
��
�
�
��
� � � �
� � � �
0 2
2
R R ,
(6)
ãäå � — îáðàòíûé ðàäèóñ Áîðà, �0 — ôîíîííàÿ
÷àñòîòà. Çäåñü è äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ýíåð-
ãèè îòñ÷èòûâàþòñÿ îò óðîâíÿ Ôåðìè.
3. Äèàãðàììíûé ìåòîä
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòü óçëîâ ñëó÷àéíûì îáðà-
çîì çàíÿòà ïðèìåñÿìè, êîòîðûå èìåþò ñëó÷àéíîå
ðàñïðåäåëåíèå óðîâíåé ýíåðãèè.  ýòîì ñëó÷àå
óðàâíåíèå (3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñòîõàñòè-
÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:
sP c Fn n n n n n,
,
, , ( ) ( )
�
�
� � � �� � � � �
� �
� �
�� �
��
��
��
�� �
�� �
��
��n n n
n n
n
n
n nc
P
F
c
P
,
, ,
,
,( ) ( )� �
� � �
� �
,
,
�
�
�
�� ��
�
�
��
�
�
�
��
� Fnn
,
(7)
ãäå cn ( )� ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿþùàÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèå ïðèìåñåé ïî ýíåðãèÿì è ïðîñòðàíñòâó:
c
n
n ( )
,
� �
1 åñëè â óçëå íàõîäèòñÿ ïðèìåñü ñ
óðîâíåì ýíåðãèè
â ïðîòèâíîì ñëó àå
�;
,0 �
�
�
�
�
Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü îòñóòñòâèå êîð-
ðåëÿöèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè óçëàìè (ðàññìàòðèâàþò-
ñÿ ñèñòåìû ñ ìàëîé êîíöåíòðàöèåé ïðèìåñåé). Òàêæå
ñ÷èòàåì, ÷òî îòñóòñòâóþò êîððåëÿöèè ìåæäó ðàñïðå-
äåëåíèåì ïðèìåñåé ïî ýíåðãèÿì è ïî ðàñïîëîæåíèþ
â ïðîñòðàíñòâå:
Ïðèáëèæåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ â òåîðèè ïðûæêîâîãî ïåðåíîñà â íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåìàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7 881
� � �c cNn ( ) ( )� � ;
� � � � ��c c c N Nn n( ) ( ) ( ) ( )� � � �2 , n n� �;
� � � � �c c cNn n( ) ( ) ( )� � �
� � . (8)
Çäåñü N( )� — âåðîÿòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíåé
ýíåðãèè ïðèìåñåé, c — êîíöåíòðàöèÿ ïðèìåñåé íà
óçëàõ ðåøåòêè. Äèôôóçèîííîå óðàâíåíèå äëÿ ôóíê-
öèè óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè óäîáíî ïðåäñòàâèòü â ìàò-
ðè÷íîì âèäå, èñïîëüçóÿ ôîðìàëèçì Äèðàêà:
P � �� � �
�
�
�
�
�P n nn n
n n
,
,
,
,
| , , |� �
� �
� � ;
V v� �cn n
n
( ) ( )
,
� �
�
;
v n
n n
nn
F
n n n( )
( )
(| , | , ) , |,
,
,
�
�
� � �
� �
�
�
�
� � � � � � � ��
�
�
� �
�
�
;
F f� � � �� �c F n n cn n
n
n n
n
( ) ( ) | , , | ( ) ( )
, ,
� � � � � �
� �
; (9)
ãäå áàçèñíûå âåêòîðû | ,n �� ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíû-
ìè è îáðàçóþò ïîëíûé íàáîð:
| , , |
,
n n
n
� �
�
� � �� 1.
Òîãäà óðàâíåíèå (7) ïðèìåò âèä
sP F VP� . (10)
Èòåðàöèÿ óðàâíåíèÿ (7) ïî ñâîáîäíîìó ÷ëåíó
ïðèâîäèò ê ðÿäó
P f� � �s cn
n
n
1 ( ) ( )
,
� �
�
� � �
� �
� ��s c cn
n
n
n n n
2 ( ) ( ) ( ) ( )
, ;
,
� � � �
�
�
v f
� � ��
� �
�� ��
� � ��s c c cn
n n
n
n n n n
3 ( ) ( ) ( ) ( )
, ; , ;
,
� � � �
� �
�
v v � � �� � � ( ) ( )� �fn �
(11)
Óñðåäíèì êàæäûé ÷ëåí ýòîãî ðÿäà ïî ñëó÷àé-
íîìó ðàñïðåäåëåíèþ { ( )}cn � ñîãëàñíî (8). Ôîðìà-
ëüíî ïîëó÷åííûé ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé àíàëîãè-
÷åí ðåøåòî÷íûì ìîäåëÿì, èñïîëüçóåìûì â òåîðèè
íåóïîðÿäî÷åííûõ ñïëàâîâ [14]. Äëÿ åãî àíàëèçà
ïðèìåíèì ìåòîä êóììóëÿíòíûõ ðàçëîæåíèé
[14,15]. Ïðè ýòîì ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí cn ( )� ìîæåò áûòü ðàçáèòî íà ñóììó ïðîèç-
âåäåíèé êóììóëÿíòíûõ ñðåäíèõ îò ýòèõ âåëè÷èí:
� � � � �c cn n
c( ) ( )� � ; � � � � � � � � � � � �� � �c c c c c cn n n
c
n
c
n n
c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � ,
� � �� � � � � � � � � ��
� �� � ��c c c c c cn n n n
c
n
c
n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (� � � � � � � � �) ( ) ( ) ( )� � � � � �� � � ��
c
n
c
n n
cc c c
� � � � �� � � ��c c cn
c
n n
c( ) ( ) ( )� � � � �� � � � � � � ���� � � ��c c c c c cn
c
n n
c
n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � c;
è òàê äàëåå. Ðåçóëüòàò óñðåäíåíèÿ óäîáíî ïðåäñòà-
âèòü â ãðàôè÷åñêîì âèäå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.
Ïóñòîé òî÷êå ñîïîñòàâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü fn ( )� ,
æèðíûì òî÷êàì ñîïîñòàâëÿåòñÿ v n ( )� . Âñåì òîíêèì
âíóòðåííèì ëèíèÿì ñîîòâåòñòâóåò ìíîæèòåëü s�1,
ïó÷îê ïóíêòèðíûõ (ïðèìåñíûõ) ëèíèé, ñîåäèíÿþ-
ùèé m òî÷åê, îáîçíà÷àåò êóììóëÿíòíîå ñðåäíåå
Qm îò m ìíîæèòåëåé:
Q c c c cm m m m
c( ; , ,.. ) ( ) ( )... ( )� � � � � �1 2 1 1 2 2� � � . (12)
Åñëè êîíöåíòðàöèÿ ïðèìåñåé ìàëà c �� 1, òî âû-
ðàæåíèå äëÿ êóììóëÿíòîâQm çàìåòíî óïðîùàåòñÿ.
Ïðåíåáðåãàÿ áîëåå âûñîêèìè ñòåïåíÿìè cn , èìååì
� � �c c cm m
c
1 1 2 2( ) ( )... ( )� � �
�
�
�
�� � � � � �12 1 1 11 2 1 1m m m m m m
cN� �( ) ( ) .
(13)
Íà ðèñ. 1 âèäíî, ÷òî âñå äèàãðàììû ïîäðàçäå-
ëÿþòñÿ íà ïðèâîäèìûå (êîòîðûå ìîæíî ðàçáèòü íà
äâå èëè áîëåå ÷àñòåé âåðòèêàëüíûìè ñå÷åíèÿìè, íå
ïåðåñåêàþùèìè ïðèìåñíûå ëèíèè) è íåïðèâîäè-
882 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7
Ì.Ï. Ôàòååâ
. . .
P =
Ðèñ. 1. Äèàãðàììíîå ïðåäñòàâëåíèå êîíôèãóðàöèîí-
íî-óñðåäíåííîé ôóíêöèè P.
ìûå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ñóììó âñåõ íåïðèâîäèìûõ
äèàãðàìì, êîòîðûå ñîäåðæàò ïóñòóþ òî÷êó. Ýòè
äèàãðàììû èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2. Ñóììó âñåõ
îñòàëüíûõ äèàãðàìì îáîçíà÷èì ÷åðåç G. Òîãäà êîí-
ôèãóðàöèîííî-óñðåäíåííàÿ äèôôóçèîííàÿ ôóíê-
öèÿ ðàâíà:
P SG� . (14)
 ñâîþ î÷åðåäü, êëàññ äèàãðàìì, îòíîñÿùèõñÿ ê
ôóíêöèè G, ìîæåò áûòü ðàçáèò íà êëàññ íåïðè-
âîäèìûõ äèàãðàìì, ñóììó êîòîðûõ îáîçíà÷èì ÷åðåç
W (ìàññîâûé îïåðàòîð), è êëàññ ïðèâîäèìûõ
äèàãðàìì. Èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíóþ ïðîöåäóðó òåî-
ðèè âîçìóùåíèé, ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå Äàéñî-
íà äëÿ ôóíêöèè G:
sG I WG� , (15)
ãäå I — åäèíè÷íûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå ñî-
ñòîÿíèé R,�. Íà ðèñ 3. èçîáðàæåíû äèàãðàììû,
ïðåäñòàâëÿþùèå ìàññîâûé îïåðàòîð W. Êàê âèäíî
èç (15), ôóíêöèÿ G ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ
Ãðèíà, îïèñûâàþùóþ äèôôóçèþ ÷àñòèöû â ïðî-
ñòðàíñòâå ÷åòûðåõ èçìåðåíèé R,�. Ôóíêöèÿ S ó÷è-
òûâàåò êîððåëÿöèè, êîòîðûå âîçíèêàþò èç-çà ñëó-
÷àéíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé â (7).
4. Òåìïåðàòóðíàÿ è ÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü
ïðûæêîâîé ïðîâîäèìîñòè ïðè íèçêèõ
òåìïåðàòóðàõ
Òî÷íîå ñóììèðîâàíèå äèàãðàììíûõ ðÿäîâ äëÿ
ôóíêöèé W è S íåâîçìîæíî. Îäíàêî ìîæíî ïðîâåñ-
òè ÷àñòè÷íîå ñóììèðîâàíèå ýòèõ ðÿäîâ ïóòåì ó÷åòà
òîëüêî îäíîïó÷êîâûõ äèàãðàìì (ñì. ðèñ. 4) [11]. Â
ïðåäåëå c � 0, ýòî ïðèáëèæåíèå ñîîòâåòñòâóåò ïðè-
áëèæåíèþ êîãåðåíòíîãî ïîòåíöèàëà [14]. Èñïîëü-
çóÿ ôîðìàëüíîå ñõîäñòâî ðÿäà äëÿ äèôôóçèîííîé
ôóíêöèè (11) ñ ðÿäîì òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ
ôóíêöèè Ãðèíà â ìîäåëè ñïëàâà ñ äèàãîíàëüíûì
áåñïîðÿäêîì, ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿ W è S,
ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèáëèæåíèþ êîãåðåíòíîãî ïîòåí-
öèàëà äëÿ ñëó÷àÿ c �� 1:
W w� � n
n
( )
,
�
�
; S s� � n
n
( )
,
�
�
;
w v v Gwn n n ncN( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� ; (16)
s f v Gsn n n ncN( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� . (17)
Íà ÿçûêå äèàãðàììíîé òåõíèêè óêàçàííîå ïðè-
áëèæåíèå ñîîòâåòñòâóåò ñóììèðîâàíèþ âñåõ îäíî-
ïó÷êîâûõ äèàãðàìì ñ çàìåíîé òîíêèõ âíóòðåííèõ
ëèíèé íà òîëñòûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëíûì ôóíê-
öèÿì Ãðèíà G (ñì. ðèñ. 4). Ê ñîæàëåíèþ, òî÷íîå
ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (16), (17) â îòëè÷èå
îò ìîäåëè ñïëàâà ñ äèàãîíàëüíûì áåñïîðÿäêîì
íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó îïåðàòîð w n ( )� ÿâëÿåòñÿ
íåäèàãîíàëüíûì. Ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè
ñàìîñîãëàñîâàííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû çàöåïëÿþ-
ùèõñÿ óðàâíåíèé äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðà-
òîðîâ w n ( )� è sn ( )� . Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò òî-
ëüêî ñëó÷àé, êîãäà îïåðàòîð G ÿâëÿåòñÿ
äèàãîíàëüíûì îïåðàòîðîì. Ïðè ýòîì âêëàäû îò
ðàçëè÷íûõ ïàð óçëîâ ðàñöåïëÿþòñÿ, è çàäà÷à ñâî-
äèòñÿ ê ïðèáëèæåíèþ ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ
äëÿ âûäåëåííîé ïàðû óçëîâ [9,10]. Çàìåíÿÿ â (16)
îïåðàòîð G íà gd (ãäå gd— äèàãîíàëüíàÿ ÷àñòü
îïåðàòîðà G), ñ ó÷åòîì (9) ïîëó÷àåì:
S F� � � � ���cF N n nn
n
( ) ( )| , , |
,
� � � �
�
,
W W W� � �
�
�
�
�
�
�
�
�d nd
n n
n n n
n n
cN
/F
( )
( )
,
,
,
,
,
,
�
�
� �
� �
� �
�
�1 �
�� �
g s /Fd n( , ) ( )� �
�� � � � � � �(| , | , ) , |n n n� � � ,
ãäå g s
s w sd
d
( , )
( , )
�
�
�
1
. (18)
 ñèëó òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ôóíê-
öèè w n nd d� � �, | | ,� �W , è g n nd d� � �, | | ,� �g íå çàâè-
ñÿò îò n. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ÷àñòîòà ïåðåñêîêîâ �nn�
ñëàáî èçìåíÿåòñÿ íà àòîìíûõ ðàññòîÿíèÿõ, ìîæíî
ïåðåéòè îò ñóììèðîâàíèÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî
ïðîñòðàíñòâó â (18). Â ðåçóëüòàòå äèàãîíàëüíàÿ
÷àñòü ìàññîâîãî îïåðàòîðà W ðàâíà:
Ïðèáëèæåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ â òåîðèè ïðûæêîâîãî ïåðåíîñà â íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåìàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7 883
. . .
S =
Ðèñ. 2. Äèàãðàììíîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè S.
. . .
W =
Ðèñ. 3. Äèàãðàììíîå ïðåäñòàâëåíèå ìàññîâîãî îïåðà-
òîðà W.
w s
N R /F
R / s w s F
d
d
( , )
( ) ( ) ( )
( ) [ ( , )]
,
,
� �
� �
�
� �
� �
�
�
� �
�
�
�
�1 ( )
,
�
�d ddR ��
(19)
ãäå ! — ïëîòíîñòü ïðèìåñåé. Óðàâíåíèå (19)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòîå ñàìîñîãëàñîâàííîå
óðàâíåíèå äëÿ íåèçâåñòíîé âåëè÷èíû w sd ( , )� .  îò-
ñóòñòâèå ðàçáðîñà ïî ýíåðãèÿì, êîãäà N( ) ( )�
�� ,
óðàâíåíèå (19) ñîâïàäàåò ñ ñàìîñîãëàñîâàííûì
óðàâíåíèåì, ïîëó÷åííûì â ðàáîòå [11] äëÿ ñëó÷àÿ
R-ïðîòåêàíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ïî ýíåð-
ãèÿì èìååò ñòåïåííîé âèä âáëèçè ýíåðãèè Ôåðìè:
� �N N m( )� �� 0 . (20)
Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (19), ââåäåì
íîâóþ áåçðàçìåðíóþ ôóíêöèþ " �c s( , ) òàê, ÷òî
� � � �� " � �0 2exp ( ( , ) )� # � c ds T s w . (21)
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî " �c T$$ # $$ 1 ñ òî÷íîñòüþ äî
ëîãàðèôìè÷åñêèõ ÷ëåíîâ, ìîæíî âûïîëíèòü èíòåã-
ðèðîâàíèå â (19) ïóòåì çàìåíû ïîäûíòåãðàëüíîãî
âûðàæåíèÿ ñòóïåí÷àòîé %-ôóíêöèåé Ôåðìè, êîòî-
ðàÿ ðàâíà íóëþ, åñëè � � � �" � � � �c R / T$ � � �2 2( ) . Â
ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ (19) ïîëó÷àåì:
w s s
T
Td c
m d
m
( , ) ( , )� � " ��
�
�
��
�
�
�� � �
�
0
1
0
1
� � � exp ( ( , ) )" � �c s / T2 , (22)
ãäå �( )x — Ãàììà ôóíêöèÿ.  ñòàòè÷åñêîì ïðåäåëå
(s � 0), ôóíêöèÿ " �c s( , ) çàâèñèò òîëüêî îò òåìïå-
ðàòóðû, ïîëó÷àåì:
" c
m
m dT
T
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0
1
1
, (23)
ãäå
T
N
d m d
d m
d d
d
m
0
0
2
2
1
2 2 1
1
�
#
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
! &
�( )( )!
( )! !
� �1
. (24)
Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè. Â
âûáðàííîì ïðèáëèæåíèè äèôôóçèîííàÿ ôóíêöèÿ
P óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
sP F WP� � � . (25)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ñîîòíîøåíèå â âûðàæåíèå äëÿ
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè (2), ñ ó÷åòîì óñëîâèé íîðìè-
ðîâêè (4) è òðåáîâàíèé òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíò-
íîñòè èìååì:
� � � �
� �
( ) ( ) , | | , ( )
,
,
s
e c
dT
n n Fn n n
n n
� � � � � � �� �
�
�
�
2
2
2 �
R R W .
(26)
Ïåðåõîäÿ îò ñóììèðîâàíèÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ, ñ
ó÷åòîì (20), ëåãêî âûïîëíèòü èíòåãðèðîâàíèå â
(26).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:
� � "( )
!( )
( )( )
( )s
m d
d m d m
s
T
T
m
c
m d�
�
�
��
��
� �2 1
3 2
1
0
3
0 �
�� �
�m m
c
e N T
s
1 2
0
22
!
�
"
( )
exp ( ( )), (27)
ãäå ôóíêöèÿ " c s( ) áåðåòñÿ íà óðîâíå Ôåðìè. Êàê âèäíî èç (27), â ñòàòèñòè÷åñêîì ïðåäåëå äëÿ ïîñòîÿííîé
è ïàðàáîëè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé îò ýíåðãèè âûïîëíÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, çàêîíû
Ìîòà [2] (äëÿ m � 0) è Ýôðîñà (m � 2) [1]:
�
! �
�
( )
!( )
( )( ) ( )
0
2 1
3 2 2
1 2
0 0
2
0�
�
�
�
�m
mm d
d m d m
e N
T
T
T
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� �
2 1
1 0
1
1
( )
exp
m
m d
m
m dT
T
. (28)
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè ïëîò-
íîñòè ñîñòîÿíèé ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå (28) ñîãëà-
ñóåòñÿ ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, íàéäåí-
íîé èç ïåðêîëÿöèîííûõ ñîîáðàæåíèé (êðèòåðèé
ñâÿçåé) [16]. Íåïîñðåäñòâåííîå ñðàâíåíèå ïî òåìïå-
ðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ïðîâîäèìîñòè (28) ñ
ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè çàòðóäíåíî. Äåéñò-
âèòåëüíî, â óñëîâèÿõ, êîãäà ýíåðãèÿ àêòèâàöèè ïðî-
884 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7
Ì.Ï. Ôàòååâ
. . .
W =
Ðèñ. 4. Äèàãðàììû, ïðåäñòàâëÿþùèå îäíîïó÷êîâûé
âêëàä â ìàññîâûé îïåðàòîð W.
âîäèìîñòè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, òðóäíî ñ ïîëíîé
óâåðåííîñòüþ óñòàíîâèòü çàêîí èçìåíåíèÿ ïðîâîäè-
ìîñòè êàê èç-çà îãðàíè÷åííîñòè òåìïåðàòóðíîãî
èíòåðâàëà èçìåðåíèé, òàê èç-çà íåîïðåäåëåííîñòè,
ñâÿçàííîé ñ ïðåäýêñïîíåíöèàëüíûì ìíîæèòåëåì.
Òàê ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èçìåðåíèé ïðî-
âîäèìîñòè àìîðôíûõ ãåðìàíèÿ è êðåìíèÿ â èíòåð-
âàëå òåìïåðàòóð 40–400 Ê îïèñûâàëèñü çàâèñèìî-
ñòüþ � ' �T T /Tn mexp [ ( ) ]0 [17]. Îêàçàëîñü, ÷òî
õîðîøåå ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì ìîæåò áûòü äîñ-
òèãíóòî â øèðîêîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé m çà ñ÷åò
ïîäáîðà ïàðàìåòðà n. Ïî-âèäèìîìó, â íàñòîÿùåå
âðåìÿ íåëüçÿ äîñòàòî÷íî òî÷íî îïðåäåëèòü êàêèì
çíà÷åíèÿì n è m ñîîòâåòñòâóþò èìåþùèåñÿ ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûå äàííûå [18].
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (22) è (27) äëÿ
( ( ) ( )) ( )� � �s � # ��0 0 1, ìîæíî íàéòè ìàñøòàáíîå
ñîîòíîøåíèå äëÿ ÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòè ïðîâîäèìî-
ñòè, êîòîðîå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ àíàëèçà ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûõ äàííûõ [19,20]:
�
�
�
�
( )
( )
ln
( )
( )
s s s
s0 0 0
� , (29)
ãäå s0 îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ
s m d
T
T
T
T
m
m d
m
m
0
0
1
1
0
0
1
1
1�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
( ) exp�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
d
.
(30)
Ïðè ïîëó÷åíèè (29) ìû ïðåíåáðåãëè çàâèñèìî-
ñòüþ îò ÷àñòîòû ïðåäýêñïîíåíöèàëüíîãî ìíîæèòåëÿ
â ñîîòíîøåíèè (27) äëÿ ïðîâîäèìîñòè. Ìàñøòàáíîå
ñîîòíîøåíèå (29) äëÿ ñëó÷àÿ R,�-ïðîòåêàíèÿ áûëî
ïîëó÷åíî âïåðâûå â ðàáîòå [9], íî ñ äðóãèì âûðàæå-
íèåì äëÿ êîýôôèöèåíòà s0.
5. Âûâîäû
Ïîêàçàíî, ÷òî èññëåäîâàíèå ïðûæêîâîé ïðîâî-
äèìîñòè â ñèñòåìå ñî ñëó÷àéíûìè ïðèìåñíûìè öåí-
òðàìè ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî íà îñíîâå ìåòîäà ñàìî-
ñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ, ÿâëÿþùåãîñÿ àíàëîãîì ìåòîäà
êîãåðåíòíîãî ïîòåíöèàëà. Õîðîøåå ñîâïàäåíèå ïîëó-
÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñî âñåìè èçâåñòíûìè ïðåäåëüíû-
ìè ñëó÷àÿìè óêàçûâàåò íà ýôôåêòèâíîñòü ðàçâèòîãî
ïîäõîäà è âîçìîæíîñòü åãî èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ
äðóãèõ çàäà÷ ïðûæêîâîãî ïåðåíîñà. Ñëåäóåò îòìå-
òèòü, ÷òî àëüòåðíàòèâíûé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ïðûæ-
êîâîé ïðîâîäèìîñòè, îñíîâàííûé íà äèàãðàììíîé
òåõíèêå ÃÀÔ, ìîæåò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷åí
â ðàìêàõ ðàññìîòðåííîãî ïîäõîäà ïóòåì âûáîðî÷-
íîãî ñóììèðîâàíèÿ ÷ëåíîâ óñðåäíåííîãî ðÿäà (11),
îòíîñÿùèõñÿ ê âûáðàííîé ïàðå ïðèìåñåé. Ýòîò
ïîäõîä ïîçâîëÿåò ó÷åñòü èíòåðôåðåíöèîííûå äèà-
ãðàììû, ñîîòâåòñòâóþùèå âûáðàííîé ïàðå óçëîâ. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íîå (18) óðàâíåíèå
äëÿ ìàññîâîãî îïåðàòîðà Wd , ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû
êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ñèììåòðèè
� � � � � ��n n Fd n, | | , ( )� � �W � � � �n n Fd n, | | , ( )� � �W . Ýòî
îòëè÷èå ïðèâîäèò ê íåñóùåñòâåííûì èçìåíåíèÿì
÷èñëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ â âûðàæåíèè äëÿ
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè, êàê äëÿ ñëó÷àÿ R-ïðîòåêàíèÿ,
òàê è äëÿ ñëó÷àÿ R,�-ïðîòåêàíèÿ.
1. Á.È. Øêëîâñêèé, À.Ë. Ýôðîñ, Ýëåêòðîííûå ñâîéñòâà
ëåãèðîâàííûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ, Íàóêà, Ìîñêâà
(1979).
2. Â.Ë. Áîí÷-Áðóåâè÷, È.Ï. Çâÿãèí, Ð. Êàéïåð, À.Ã.
Ìèðîíîâ, Ð. Ýíäåðëàéí, Á. Ýññåð, Ýëåêòðîííàÿ
òåîðèÿ íåóïîðÿäî÷åííûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ, Íàó-
êà, Ìîñêâà (1979).
3. H. B�ttger and V.V. Bryksin, Hopping Conduction
in Solids, Akademie-Verlag, Berlin (1985).
4. O. Bleibaum, H. B�ttger, V.V. Bryksin, F. Schulz,
Phys. Rev. B51, 14020 (1995).
5. O. Bleibaum, H. B�ttger, and V.V. Bryksin, Phys.
Rev. B53, 13190 (1996).
6. H. Overhoff and P. Tomas, Phys. Rev. B53, 13187
(1996).
7. B. Movaghar and W. Schirmacher, J. Phys. C14, 859
(1981).
8. D. Bourbie, Philos. Mag. B73, 201 (1996).
9. O. Bleibaum, H. B�ttger, and V.V. Bryksin, Phys.
Rev. B54, 5444 (1996).
10. C.R. Gochanour, H.C. Andersen, and M.D. Fayer, J.
Chem. Phys. 70, 4254 (1979).
11. Â.Â. Áðûêñèí, Ã.Þ. ßøèí, ÔÒÒ 25, 3025 (1983).
12. Â.Â. Áðûêñèí, ÔÒÒ 26, 1362 (1984).
13. J.W. Haus and K.W. Kehr, Phys. Rep. 150, 263
(1987).
14. F. Yonezawa and T. Matsubara, Prog. Theor. Phys.
Suppl. 53, 1 (1973).
15. R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn. 17, 1100 (1962).
16. M. Pollak, J. Non-Cryst. Solids 11, 1 (1972).
17. A.J. Lewis, Phys. Rev. B13, 2565 (1976).
18. R.M. Hill, Phys. Status Solidi 35, K29 (1976).
19. J.R. Macdonald, Phys. Rev. B49, 9428 (1994).
20. J.C. Dyre, Phys. Rev. B48, 12511 (1993).
Self-consistent approach for the theory of hopping
transport in disordered systems
M.P. Fateev
Using the linearized equations of balance
the problem of hopping conductivity for a sys-
tem with random distributed impurity centers is
considered at low temperatures. A self-consis-
tent expression for the configuration-average
Ïðèáëèæåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ â òåîðèè ïðûæêîâîãî ïåðåíîñà â íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåìàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7 885
Green function describing transfer of a charge
in the disordered system with due account of
the Fermi correlation is found by the diagram-
matic methods. It is shown, that the chosen ap-
proximation corresponds to the well-known ap-
proximation of coherent potential. Within the
limits of low frequencies an expression for hop-
ping conductivity as a function of temperature
and frequency for the power-law of density of
states is derived. The results obtained are in
good agreement with the percolation approach
and in a static limit lead to the Mott law.
Keywords: hopping transport, diagrammatic met-
hods, Green function, Fermi correlations.
886 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2006, ò. 32, ¹ 7
Ì.Ï. Ôàòååâ
|