Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling

The influence of electron correlations (direct dependence of electronic wave function on distance between electrons) on energy spectra of two-electron systems (D-, F ', F₂-centers and bipolarons) in polar crystals with strong electron-phonon interaction is investigated. Bipolaron is chosen as t...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2002
Main Authors: Kashirina, N.I., Lakhno, V.D., Sychyov, V.V.
Format: Article
Language:English
Published: Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України 2002
Series:Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/121239
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling / N.I. Kashirina, V.D. Lakhno, V.V. Sychyov // Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 235-242. — Бібліогр.: 21 назв. — англ.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-121239
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1212392025-02-09T21:50:25Z Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling Kashirina, N.I. Lakhno, V.D. Sychyov, V.V. The influence of electron correlations (direct dependence of electronic wave function on distance between electrons) on energy spectra of two-electron systems (D-, F ', F₂-centers and bipolarons) in polar crystals with strong electron-phonon interaction is investigated. Bipolaron is chosen as the simplest model of two-electron system in the crystal. Bipolaron energy is calculated for various distances between the centers of polarization wells of two polarons with accounting the electron correlations. A singlet bipolaron is stable at rather high energy of ion binding η ≤ ηm ≈ 0,143 (η= ε∞/ η₀). The unique energy minimum corresponds to a one-center bipolaron (an analog of a helium atom). The bipolaron binding energy constitutes up to 25.8% of a double polaron energy at η → 0. A triplet bipolaron (an analog of orthohelium) is energetically disadvantageous. The one-center configuration of a triplet bipolaron corresponds to a maximum on the distance dependence of the total energy JBp(R). The exchange interaction between polarons has antiferromagnetic character. A prediction is made about a possibility of the Wigner crystallization of a polaron gas, which occurs with antiferromagnetic ordering in the polaron system. The examples of energy calculations with accounting the electron correlations of exchanged-coupled pairs, D- and F '-centers in polar crystals are also given. The work was supported bу Russian Foundation for Basic Research. Project code 01-07-90317. 2002 Article Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling / N.I. Kashirina, V.D. Lakhno, V.V. Sychyov // Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 235-242. — Бібліогр.: 21 назв. — англ. 1560-8034 PACS: 71.38, 73.20.D, 74.80.D https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/121239 en Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics application/pdf Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language English
description The influence of electron correlations (direct dependence of electronic wave function on distance between electrons) on energy spectra of two-electron systems (D-, F ', F₂-centers and bipolarons) in polar crystals with strong electron-phonon interaction is investigated. Bipolaron is chosen as the simplest model of two-electron system in the crystal. Bipolaron energy is calculated for various distances between the centers of polarization wells of two polarons with accounting the electron correlations. A singlet bipolaron is stable at rather high energy of ion binding η ≤ ηm ≈ 0,143 (η= ε∞/ η₀). The unique energy minimum corresponds to a one-center bipolaron (an analog of a helium atom). The bipolaron binding energy constitutes up to 25.8% of a double polaron energy at η → 0. A triplet bipolaron (an analog of orthohelium) is energetically disadvantageous. The one-center configuration of a triplet bipolaron corresponds to a maximum on the distance dependence of the total energy JBp(R). The exchange interaction between polarons has antiferromagnetic character. A prediction is made about a possibility of the Wigner crystallization of a polaron gas, which occurs with antiferromagnetic ordering in the polaron system. The examples of energy calculations with accounting the electron correlations of exchanged-coupled pairs, D- and F '-centers in polar crystals are also given.
format Article
author Kashirina, N.I.
Lakhno, V.D.
Sychyov, V.V.
spellingShingle Kashirina, N.I.
Lakhno, V.D.
Sychyov, V.V.
Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling
Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics
author_facet Kashirina, N.I.
Lakhno, V.D.
Sychyov, V.V.
author_sort Kashirina, N.I.
title Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling
title_short Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling
title_full Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling
title_fullStr Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling
title_full_unstemmed Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling
title_sort investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling
publisher Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
publishDate 2002
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/121239
citation_txt Investigation of electron correlation effect on energy spectrum of two-electron systems in crystals with strong electron-phonon coupling / N.I. Kashirina, V.D. Lakhno, V.V. Sychyov // Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 235-242. — Бібліогр.: 21 назв. — англ.
series Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics
work_keys_str_mv AT kashirinani investigationofelectroncorrelationeffectonenergyspectrumoftwoelectronsystemsincrystalswithstrongelectronphononcoupling
AT lakhnovd investigationofelectroncorrelationeffectonenergyspectrumoftwoelectronsystemsincrystalswithstrongelectronphononcoupling
AT sychyovvv investigationofelectroncorrelationeffectonenergyspectrumoftwoelectronsystemsincrystalswithstrongelectronphononcoupling
first_indexed 2025-12-01T04:05:33Z
last_indexed 2025-12-01T04:05:33Z
_version_ 1850277302063071232
fulltext 235����������� � �� ����� � ���� ������ ������ ������������ ���� ������ ������ �� ��� � ���� ������ �������� ������� � � ����� ! ���� � � ��"� ����"�#"� $���� %"� �"� �%$&�'�" �������� ���� � ����� �� � �������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� �������� ������������������ ���� �� ���� ��������� �������� ���������� ���� ���� ���� � ��� �� ��� ����� ������ �� ����� ��� ��� ���� ���� �� ��� � �� �� ��� � ���� ������ �������� ������ ���� '$� !� �!�� �������� �%��(�)� *������ �� �&�� �+� ���� � �,�����"��� � ��"� �*"�� -��� � �� ��.� ���� ���� �� /����� �� 0 � 1���2���� 3'��4�������� � ��2��� � �&�� �+� ���, �!/"!��"�� !"��� �� ���������������������������������������� ������ �!�� �������������������"�#���������� ��� ��������$��"�������������%��������&'��!��������� �"�(����������'���)���5*��6 ′��6�(������� �� � $�!�������%� ��� !����� ��'������"���� �����&� ��������(!������ ������������ ��� ��#����&��� +�!������� ��� ������� ��� ���� ��)!�����)� ��� ��� �"�(��������� �'���)� ��� ���� ��'���� �+�!������ ����&'� ��� ��������� � ���� #������� ��������� $��"���� ���� �������� ��� !�����,������"����� ��� �"� !��������"���� ���������&� ���� ��������� ������������ ��� ���&���� $�!������� ��� ���$��� ��� ������ ��&������&'���� ����$�� ��&�η �≤η ��≈����� �� 0/εεη ∞= % ��������-�������&'�)���)�)������( �!�� �� ��� �� ���(������� $�!������� ���� �����&� ��� �� �����)� ���)% � ���� $�!������� $�� ��& ����&'��������������!���� . �/������ ��$���!�����������&'����η →�� ������!����$�!���������� �����&���� ����������)%� ��� ����&�������'� ��� #����&���� ��������(������� �����&����������� � ���!����$�!�������������!�� �� �����)�0�)�)���� ���� �������� �!�� �������� ���� ������ ����&' 70!�28"������0����&��������������$��"����!���������������������)�&��������������� ���!�� ��( ����� ���)� ���$������!����$����'���� ����1�&������'������,�����������!�������&����"����������� "���� ���������)�&�������� ����&� ��� ����!������� �'���) ����� �0�)!������� ����&'� ������������ "���� ���������&� ���� ��������� ���������������� �0����&� (���!�� �!������5*� �� �6 ′(�������� �� !����� ��'������ ���� ����� &�#�� ���� �#�$� $�!��������2�ö�����3�)���������� ��������(!������ ������������� ��������� �������( ������� ��!����� ����#��'�� ��&�(��)!�������� ��!����� ����#��' ��!�������iv� �� �� � 4���#��� �)�������!�������#� �� �5 � 4�����!�� �����!�$����������� � � %�� ���� #���� � +�!����������������)�����'��"�(����������'���)����!���� ��'����� �������"�(����������'���)����������0�)!���6 ′ �� �6 (�����������!�������'��������� ������5 *(���������� �0����&�(���!�� �!��������!���)�&������������������%��� ��#��������'�������� ���'������"����)�0� �!�����(��#����� ���!���&�����$������� ��� ����$��� �$�!�������!���� ��������� ���������������&�� �2���������������$�!��������� ������)!�����������'���)��������6�����)���� ������������&' ����������'���)�������������������� ������"������������( ����������������������$�'���)�"���������� ������'�������( �)�����'��0����������������������� ������!������!������ ���� ��������������"����"�������� �����$� �$'�2�ö�����3�)( ��������%� ��� ������� �0�)!������� �������)������ ���� � ����������!��������!���)������!���"�#����"�#����������&� �����'��� � % ����$�!�������!��$��)�������#�#� ��&���� ��������� ����#��'� ��� �� ��&�(��)!�������� ��!����� ����#��' �3���% �7�������������)��������������)� �� �������' !�!���� �#��� ����$�!�������������������0�)!������#��" 8�9%�"������������ ����8 9 ���������&'�)���)�)��$����� ���8 9����������(�������$�!�����������������$�!������8 9% "���)������"����������������!�� ��&�)���)�)����&�( ����'����� ����8�9��������"�(�������$�!������ �:�����)���� �!�����������&����������������(�������$�!���������������( &��������������)����)��"����������"�(���������������� �����&�������' ��&���)������� ���$��-�����'������������� ���8 9�"������!���� �'���!�� ��� �����$������������� ;������������������8���.(�9 ���� ��� ��&���������"�����������&���$�!�������!��$� "�#������������12%����#�������������������������"������ ���)����!������#�����) �2��������"�(�������$�!���������� !��$��12�"����������8�9�������'))����,� �!�� ������ ���(���������12� �2��������(�������$�!��������������( �������������"������6����������������$'������ ����&������) �!�� ��&�������� �������������������������� �������8 ��.� <9�����"���������"��������!�����������'!���������������� ��������"����$��������� ����������������������������% 3�"�#��������������!���������)��������������������#� $����!�����)� ������6���������������$�������������������� ������)����)� ����������������-��������"�������������"� < �� ��$9%8������ ����� ������ ���� �$��������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ���������� �������������������� $�!������������&����������������&�������'�)����� #����( &�������������)������!�� �����������"��6��8���59��������� ����0!����������"�(�������$�!�������� ��!����������������� ��������������8 9��$����� ��� ��!���)���)�)������������( �������$�!���������������8���59% ���-���������#������)��� �������������$������������������������������������������( ��&'�����"�(����������'���)����������'!��������&�(�� ��� !���� ������������!�������'�������2 (����������=���' ��( &���)��������!���� ������!���������� >%����'������$���$( ����� ����� �������#������!��$��)������������������������� ��)����������'������ ���$��������!��)���������'))���' ���12��� ������������������������� ��������&'�����������(�������$�!�����������$�������( ���� �����&�"�#��������������������������'!��8 9 =Ψ ),( 21 rr ( )( )212112 exp)1)(1)(1( rrrrrN +−+++= αααγ � ��% "���������������)���,������)����!����������� �����������( �� ���������������������� ������ ���������������!����#��'� �� �?� @���*�� @� ��� ���� ��������$��"���������������� ���� ����� ��������������?�@��@��� �?�@� @��γ� �� �α�����#���������� !���)����� ����$�!�����������&'������������� �����'������'��� ��������#��������������������$��-�����'�#���� ��#������ !���)�����γ��α�������-���'� ����)��� �$'�γ% ����� ��� ( ��&������������������)�����������$��� ��"�(�������������� ��������#����$����'���������������������)�!��!����������� ���� �������������������������� �������γ �� ���������������� ���� �"�(�������$�!����������� ���( ����� �"��������� ���������������!��)���������'))���' �����������������'���) �����"�#�������������������"�(����( ������'���)�������������������'))����,� ����)� ),(),(),( 122121 rrrrrr Φ+Φ=Ψ � � % :������'�!�!���� �#��� �������������������$�!������ ��������Φ������ %�"���������������!�� ��������' ��&��(��6� 12�������� ����#�������!������8�9 �:�������������!�!���8�9 ����� �����"����������������������"�(�������$�!��������Φ���� � %����������������!�� �����������������!���������������� ���A�α���%�0!�*α���%���A�α�/ %�0!�*α�/ %��"����������� )� ��������������������� �����������������"�(�����������( �������'���)��������� %���������� ���(#�����������������������( �� %�������������6��� ����)������������a���/����/ %������� ��)�����������������/% �+�������8�9��� ����8�9���������&' )���)��"����)������&�����������������!�� ��&�)���( )�)��$����� ����8 9�"�������������������"�#�������������% ���������������#��������������������������&&����������!���( ������������ �$��&�#����������12������&�#����� ��!�� ����&'�)���)�) �3�"�#�������������������������"������� �"��$�!�����������)����!������$�������&�������'�����$� )� �����'�������������"�������������������������������� ����"�#������������ %�������6��������������� ������)���� ���������� =Φ ),( 21 rr ( )( )211221 exp)1)(1)(1( baba rrrrr +−+++= αγαα �� % 3�"�#��������&������"�#������������ %��������������)( !������)������������������#�����$��������"������'��&��� ��� �����'������'������"�(�����������&���� ��������������� !��$��)�������"�(�������$�!��������������$�����#� ��� ����"�'�������"��� ���������������(�������$�!������ �+�� ���12� ���� ������� ��� ���� ���)���� �� ��)$�������� �� ;�������� ��$������� ����'������ ������������� $���)� �����&�����"�� ��� �����!��$��)������ ��� ����#�������� �����)����!���)������������������ B������'�������������!��������� �$�!���������$C��� ���� ������������ ��&���� �������0!������������������� ��� ��#����&������������������!�����'���������"( �)�������� ������������� ��'���)��"����-�����)�"�����8<����(� 9 ���� !��$��)��������������������$�!��������!�����������&���( ������� ������ ������������������������������������������ ����������'���)������ ������)���������"��6�"��������������������$�!������ ����&'� �!�� ��&�������� ��������$��"������������������ !�����,������"�������6��&��������������$����������������( ������������ �����!��)���������'))���'���������������� �'���) :���!���������������������$�!�����������������)�����' �"�(����������'���)����!�������'������������������������( ��� �������)������)!��0����������0!���������!���������( �!�� ��&�������������!��������� �����$��&������������( ����������������������'���)�"������!���������� �����&�#�� ������������������������&������������������� �)�������� �'���)� �2��)������!��������#��"����� �����!����������� $�!��������$��� �"���������� ���������������&������'���( ��&���������'���)!�������������6 ������������"���0�)��� ��&��������������������$��� �$�!��������� ��0�������!�( ��������)����������������$���� ���� ������� � ����$��� ������ &��' ��� � ��� �� �#� �� �� �� D�����������������3�)���������������'���)����������&��� �"�������������� ���!���������� �����������)� +∑= + k kk aa��H ( ) ( ) ( )( )−+−+∑ + − k kkk iiaaV 21 expexp krkr , � e mm C** H rr + − +∆−∆− ∞ 21 2 2 2 1 2 22 �� � ��% "����� , �V �� k e iVk ~ 2 �−= � 0 11 ~ 1 εεε −= ∞ ��#����������'���� #���)���ω�����������-����'�����!������!���������������� "�#��#�������������!�������� + ka ��� � ka ����������!���( ������������������� �����������������!�������"��������"�#� #��������� ∞ε ��� � 0ε �����������&�(���-����'��� ������� �����������������������!����#��'������� ������������������( ������ ��������������)������%�������!�� �����3�)�������� ����������� �����!������!����������������� �������!������� 3�)��������������������(!������������������������"�(����( ����� ������ ���� �$��������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ���������� �������������������� ��� ��$9%8������ ������'���)�"��������������2�ö��������)���������� ��� ���� ����������)������ �����6�����������&'������������������ ���������)� �����$��������)$���!���������������������3� �����$������������)$���������������������������"���������� ����&����� ��������)��&����)���#�� ���������� ��������)������ ���3�)��������� ��% �0!���%:��0!�;��%��"���� ∑ −= + k kkka aaCS )( ��� �#���( �������#���!���)������<�����������������)�����%�'��� ����� �����"��&��0!����������������������������������$�!������ &���� ������ ∑ −= + k kkka aaCS )( � �.% )r,r()r,r( 21 12 2 21 ΨΨ= ∞r e Vee ε � � �<% )r,���H)r,��� 2121 CCH = � ��% )r,r()r,r( 2 212121 2 Ψ∆+∆Ψ−= ∗m T � � ��% )r,r()krexp()krexp()r,r( 212121 Ψ+Ψ= iiVU kk �5% :��"���� �����"��"��"���� ���� �������#�����)�������� !�����&� ,1 ,1 ,1 ,1 ==== ∞ ∗ εme� � � � ����������������&' "����$�� 22*4* ∞= ε�meRy ��� ����������������&���"����$� �������#��+���E���� ���� 2*2* 0 ema ∞= ε� ��))��&�������������.%��#�������"�#��#�������� �����( &�����&� ���"�� �0!����� ��� ��� ���� ���)� ��� �������� ��� $�!�������!��$��)�� efCeeBp VHVTJ +++= � � ���% ∫ ΨΨ −= 3412 13 2 43 2 21 2 �� )r,r()r,r( ~ 2 dd r e Vef ε ���% F���������������������)���������������!��$��)�"�� ����� �������������!������ ��$������!!��0�)��������'"���� �1� !�����)�#���������������������������������������3�)����( �������%�"�����������������������������)����������&����� ������������.% ���������)���������������������� �������� ����������������&(���!���&���)����� �&�#����������������)��� �����0!��������������!��������$�!������%�����&'�������)� ����Gα���"�����α���������2�ö�����$�� ��&�����������α >> 1% !��!������������α2� ωε α �� 2~ *2 me = � �� % ����!��$��12�"����$�����������������������)$������� ���;����������$������ )r,r()1()r,r()r,r( 122121 Φ−+Φ=Ψ S S � � �� % "�������?��������������&������������'))������"�������!��� ��������!�����������!��)������������������������ ������% �� ���?��������������!����������'))�����%�$�!������������ :������ =Φ )r,r( 21 ( )∑ = −⋅−−= n i biiaii raaraC 1 2 23212 2 11 )rr(2exp � ���% "���������� ���������� ���(#������������������������� %�����( ��������6��� ����)��������� ���������&���!���� �����"�' $��"��������!���������� �/"������0��� =���� ������ ����) ���������������������������/"����� ��������$��"������� !���������� �/�����-�������2 �����-����������<��������� ���� � ����#�����������!���)����� ������������������������������ ��6����������������$'��������)� � ����⋅� %�������%������⋅�� %��� �����������!�� �������#������������ �� ��������12���������������������)� ( ) ∑ = −=Ψ n i iip rc 1 2 )exp(r α � � ��.% "�����<�� α������#�����������!���)����� H��!����� ��&�����������(�������$�!��������������?�� � 12����%�����-��#�������"��������������'���������������� ���#�����������!���)�����%��������12���� ����8.9�������� ���(�������$�!��������� ����������)����������������$����� �����������!'������� ���"��������"�#�������������&&���� ��� 8<9� ���� ��������������� ���� ����&'���� �������(������ $�!������������������!�����'����� (��) �� �� �� ���� �� %"3"� � �1�� � / ! ��� � I��������#������'����������������������������������#��( �����'�$�������� �����"�������������������)!����������(!�( ��)�����"�#����������� ( ) )rr2exp()r,r( 2 23212 2 1121 ba raara −⋅−−=Φ � ��<% 2�& �����"������ �!�� ������������������&'������� &���� �����&���%�������������� ��������$��"��������������� ���!�����,������"���������"��!������� �:����������������� ���� ��������$��"��������!�������������������������������� �������$�!��������'���)�$���6�� �"����������������������( ���!�� ��&���������"��!�������������$�!�����������&'���� � ��� ��$�� �!�����������&'���������� ����������!!��0�)�( �������G π%���� ������)!�������������������������������� �������� �����2�& ������� ��!��'������ �!�� �������������( ���!�� ��&�����&�������������'���)�"���������&�� ���������( ����������������������#������� � % �:��&���&��������)����!��( ����#�����)����2�?�������#���������������� ��������?�� � � �?� �� �� � ������!�� �� ��� �'))����,� � !�� ���� �� ;����������$�����%������$�!������������������$���6�� �"� ����� ��$�� �!����������������� ���������������12��� ����)����&����������)����≠ � ��� �?��%���� �����������&��� �"��)���)����������"����������� ��!%�������!�� �������� ���(�������$�!��������� �����������*���������"�(������ ��������#�� % ���6��&����������������������������������� ����������������-���)���)�)����2�?����"�����������!�� � ����������(�������$�!�����������#�� ���������� ���������? � �� ��$9%8������ ����� ������ ���� �$��������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ���������� �������������������� ?�� ��� � ≠ ��%% �2��� ���� �����(!���)�����12�����#��� ��������� �������≠ � ��� � ≠ �%������ ��!������ ����-�� )���)�)�������!�� �����2�?�����������(�������$�!������%� ��������"�(�������$�!��������$����� �"���������&�� ���� ���������������������������������� �"����������!!��!����� ����������12 ���������)$�������0!�����������0!�����������%���( �������������-��������#��!����������"�����2�& �� ������� ����&� �2�& � �!������������ �!�� ��������������$�!������ ����&'�������#���0!�������������� ��������$��"������� �����������!�����,������"���������"��!���������"����� % �� �"���������%���&�� ��������������������������% ������)( !����������2�&���� ���&&����������-��������#��!������������� ���������$��"��������#�����������������&'�)���)��������� ���(��������� ��"�(�������$�!�������� ������������&�� ����&������$�!����������!���&�����&'�&��"��)�������� �"��� �2�������������������������)$�������0!������������� ��������"�#����������� ����������� ������'��������$���-����( ����#������&�� ��������-�������&'�)���)�)�������!�� � ����������(������������&������������������ 2�& � �����"������ �!�� ����������#�������������$�( ���������������$�!�����������&'��6�����������&'������&' �����������(����������������������!�����������$���������� ��������������&'%�������#�����)���������"�#��������������% :��2�& �$������!!��!������ �!�� �������"�������������( �����������������������������������"�#������������������� ��� �� �'))����,� � !�� ���� ��� !�������J2� �����?�� �� � ��?��%��������"� *���� %�� ��!�� ����� ��� ���� $�!������� ����&'� ��� ���� ������� $��"���� �������� ��� !�����,������"����� ���� ���� �0!������ ��� ?� �%� ���#�� �� ������!�� �� ��� ���� #����������� !���)����� ����� ?� � �� � ��?� ��+� ��������� ������������� ���� �$����%�� ���#�� � ��� ���������� ���� �"��#����������� !���)������ ����� ��� ���� � ��?� ��+���������� �����( �������� ���� �$����%�� ���#�� � *� �"�� #����������� !���)����� �����?�� ���� �%�����#����*�������#�����������!���)�������������� ���� �% *���� &����������� �!�� ����� ��� ���� $�!������� ����&'�� ���#�� �� * "������� ��&�� � ���� ���� ������������ �����?�� ��� � ��?� �����?.%�� ���#� �*�����)����&�����������������#�����������!���)������������� ����� �� ��?.% ���������"�(�������$�!��������������&�������'� ��� ( #����&�����������������!�����'�������� ���������&'�)���( )�)�������&����2�K��������������� �"�������!!��!����� ����������12�"������� �����&�� ���������������������( ����� :��)��'�!�!�����������#��#�������������$�!�������$�� ( ��&�����&'�����&�#��������������������!�����������&'����( ������ ����������)���!!��0�)�����%��"�������� �����)��( �� ������ ��&������)!����&�����#�������������&'�)���)� �$����� �$'� ���������������� ������)� '�������"��&�#� �$�������#�����������������&'����� �����&�#�������12 ���������������������%���� 00 == ∞ εεη ���� �������� &���� �����������&'�70!�?�*� � �< 5 ����!�������$�� ��&�����&'����&�#���$' pBp JJE 2−=∆ � ���% H��� ��� ������#�� ������∆�G 7!� ≈ �� ����"����� 7!�? ?�*� �.� .<����������0����#������������!�����������&' �$����� ���)�������'����������)�����������&�$�� ��&��� 8��9 ������ #��������7!�"�������� ���� ��&��������� �&���� �� ���� �����&�����!�������12�����������)���.%�������?�. ������&��������0���������������$�!�������������������� 12���� ����)��� �$'� mηεεη ≤= ∞ 0 ?�� � :��8 9��$�������#�������������&���� �����������&'���� ����&�#������ ����&���'��#������)��� �����������������$�� ( ��&�����&'��� �������&��������0���������������$�!������ �∆�G 7!� ≈ �� .��η�� ≈ �� ���%�"������������� �"������� ��������������$�!�����������&'�"������������ �"������( �!����������&���'��#������)��� �#��������!�����������&' �$����� �����12������������������)����A α�%�0!�*α�% ����� ������ ���� �$��������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ���������� �������������������� 5�� ��$9%8������ ����$����#����������������&'��������$�!�������&���� �������$����� �$'�������η�?������?���%�"���7!?�*� � <.�5�� ������ �)�����������������∆�G 7!� ≈ �� .���η�� ≈ �� �� :�����������&(���!���&���&�)�������!��������!!����� !��#� ��������&���$�� ��&�����&'��� �$��� �����&���������� $�!����������$����'�������������$����� ����8 �����.������.9 2�& ������"������ �!�� �������∆LGB�����&���������% ���� ���������η %"��>� !�� � / ! ��� � :����� �������!������� ����#��'�σ�ω%����M+�H���#��& �� ����C��8�<9����� ���"� ���$���!�����!��6�������������( �� ����-����'����&��(ω� ≈ �. .⋅�� ��)*�% ������ ��&��� �����������!��������������!��6�������!�� ���������������( ��������$���������)�����&���� �����&���%���������0���� )������$������!��������� ���������������!��!��� �������� ���������"���)!������������&����$�!�����������0����"��� ���!������������ �C�������!����$�!���������������!����$�� ����"� ����&��������� �H�FNB����������M+�H �:������ ����������!�!��������������!������#��������� ����������"��� ��)!�������������������?≈ ���O�C�������!����$�!������� ����� ���#���� �)����������������� ����#��' ���$��-�����' �����!�� ���� ����8�<9�����&������������!������������#��ρ�; >�"����������'��$���#� �����������)!���������������#��" 8��9��� �������������������% 1����#����������� ���������&'���������!����$�!������ ������&���������(�����)% �����$������)�������#������$( ����� �������������&'���������(������������&���������� ���!����$�!�����������&����12��� %������?����η�?���"�� 7!�?�*� ��<�� ������� ��������$��"�������������������!�����,����� "������������������������&'�������!�� ��&�����������!��� *���� ,�� ���� $�!������� $�� ��&� ����&'� ��� �� ��������� ��� ������� $��"���� ���� �����������!�����,������"����� ����#�������!���)������η *���(���� *���!�� ������� ��� #������� ������$������� ����� ���� $�!������� ����&'���� ���� ��������$��"���� ���� �������� ��� !�����,������"���� >�2%� ��� ���� $�!������� 6������� ����&'��#@�2%� ��� ���� ����&'� ��� �������������� �������������#��2%� ��� ���� !������ ������$������ ����� ��� $�!�����������&'��>�2%�K����#@�2%�K����#��2%�K��% �70!�2%� ��� ���� ������$�!�����������&' ����������������������!�����)� �����#���������� !���)������ ���� ��� ���� � �� ���� ?.4� � /� *� ���� �!!��!������ �!�� �������"������� ���� �������� ��� ��������� ������������� ����"�#�� ���������� ���������� �'))����,� �!�� �������!�������J2� �����?�� ��� � ��?��% R −���� −���� −���� −���� −���� −���� −���� −��� −��� −���� −���� −���� −���� −���� −���� −���� −��� −���� −���� −�� � −�� � −�� −�� � −�� � � � � � � � b −V R( ) −T R( ) J R( )B p V R( )q f �� �� ��$9%8������ ����� ������ ���� �$��������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ���������� �������������������� ���)� ��� $�!�������)�����������'� ��������� ����) *� �<�� ����2�?��%�$'���)!����������&'�"���� ��(����)��� ���' ��&���)������� ����2�?������� �������� �!�� ���� �����������&'��0��$�����������������!�)�0�)�)��"���� ��&&����������$����'���������!���� ����������������������� �����0�)!������ �������-����$���)���� ������� ����& �0���&�����������&����$�!�����������,������������� �:� �����������$�!��������$���6� �"�������������� �!������� F�������������������������12���� %�����%��������������( ������������������&'����!���(��� �����������)��������$�� ������&���������&���)����"�����0!���)���������������"���� ��&&���������� ���$������0�$����'��������12����� %"%"��A����1�� � ���� �� /� B���� ! ��� �� F���"����'�������������������������������)�&��������2% �0����&��������������$��"����!������� ��������������&� ����������12� ��� �� !������� ���� $�� !������� � ��� � �'))����,� �����&���������%���������'))����,� �����!��� �����%�!�� �����������!�������12 ��������������������� ����&'�����"��!�������������������)��"��������������'��� �������)��-�� ����������#����!!��&�����&����P% 211int SSexJEE −= � ���% "����� ���� � ������!������������������� ���������� �����( ����� ( ) ( ) ,� 211 12 12 22 0 1 d r ba E ∫= ε � ��5% ,~ 41 21 KKKJex εε −= ∞ � � �% ,� )2()2()1()1( 12 12 1 ∫= d r baba K ,� )2()1()1( 12 12 2 2 ∫= d r bba K ,�)1()1( 1∫= dbaK "�����"���������������������� �������������"�(���������( �� �������'���)������%��/��%����������12�������!������ ������� ����!���������� �/�����!����#��'�����%�≡ Ψp(ra1), /��%�≡ Ψp(rb1)% �������������)����� �%�������!�� ��������������)�&����� �����)$� �0����&��� ���� ����� � ���� �����$�� ���������)�&������ ��2%� ������������$��"����!������� ����� �$'�!������������$����� ������������&�� ������������� ,0 ∞>>εε � RKJex ∞−≈ ε/3 2 %� !��������!���������� ������!��( �!�� ��&�!�������������( ������������������0����&�%������2���������� ����������� ����1�&������'������,����������)!���� �$'��2��� ����& ���������������!��������'���) :������������"�������������$�!����������������$�����)� ����!���������$������������ �$���#����)� �2�������������$��"����!������������$�����!����$�� �������� ���������������!���)�&��������)!������������ )�&�����������!��$����'������!�������&����������!������ �������������������������#�������&��$��� �$�!������ ������������������)� :����$����'�������!����$�!�������"�������!�����������$���6( ��&� �"��������� �#� ����!����������$����� �$'���������� ���)�"��6����2�Q�����3�)��������� �����$��&����������( ��������������������"�����!������!�������� ���������0( ��� ����!����$����'������������)������������!��������������� �"�(����������'���)������ �$'����������������������������� "�������)�����'��0������������� ����������������������0( �)!����"�����!���"�#�� �2��)�������������(������,� �����( ������������������������)�&�������"����������"�F������)( !���������=�!���!������>��������2���'����%�"�������� ( ��� ����8�����59 ����������������8��9�!��!��� ��������&� ��)!����������!����� ����#��'������������� �C����"�����!�� !����������������)���$��� �������$'�����������&'�"����� $�!������ ,�� - ��#� "�� � �� �������0�)!������$��� �$�!��������"������������� ������ �0����&�����!�� �!��������!���)�&������������������%��� !�������'����� �2���������'���)�����!�������3�)��������� �����$��&������������������������������$�'���)�"����� ���� ���������)$�����&�����������������"��&����)� R e r e r e r e r e bbaa k 0 2 20 2 10 2 20 2 10 2 H εεεεε +−−−−= �� � �% "����������������� ���������� ����)�� �����$������������� ��������������� ���������� ����������"����������&�������( �,� ������!�������%���� ��������� ��� ������������� �����$� ������������������������ ���������� ����������"����������&� ������,� ������!������$%��������!�� ��&�'���������������) �����$�����������������������������&����)��&����)���#�� ���������&���������������� ��� ��'���)�������!�� � ���������������)������������' ��&���=!���� ����!����� ���� > �:�����������"��������)����������'���)������� ��( ������$��"��������������'��������� ����)��� �$'��������( ������������'�������������������� ���� ��������2��������( �!�� ��&������)���)�)���������������������������0����&� ���!�� �!���� �2���������)����������������������"������� )����������'���)����������!�������)�������"���������������#� �!�� ����������������&'����)��� ��������$��"�������� )���)�)��������!�����������������0�)!��������������!��� ��(���)%������$���#�$�� �������)����������������������������������������������� $��� ��"�(�����������������"����������������������0�)!�� �����0����&�����!�� �!������������������'���� �:���2�& �. ���� �!�� �������������&'��������&���� ���������������0( ����&�����!�� �!���������������!���)���������)����(�)( )������������������!������� ��������#����%�������!�� � ������������ ��������!�����)� �"���������'����������� ������������������������' ��&��(��6��12%���������#��� % ������!�� �������������&'�����0����&�����!�� �!����� �( ��&�� ����#��"����������������������������������?�.�����0( ����� ������ ���� �$��������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ���������� �������������������� ���� ��$9%8������ !�����������% �������)!����������������,���������!�"�� )���)�)����"�������������������������������������������� ��'������"�����������!���&���"������� �"������ �/������)( !�������"���������!!��!������#�������������� �"������ ����� �������������������������������� �F������������)( !����������������������)����� �)����������'���)������&�#�� #����� ���������0��� �� �/ �����������)�����������#���� ����������������������������������������������������!������ �"�(����������'���)������������ �������'����� �����$��& ���������������������"������!���������� �D��E��!������ ����������"��&�#���������������&'�6 (����������)����(��)( )����� ��������� ��� *�� �<<�� ���� ����&'� ����6 ′(������� * � �. .������$�!�����������&'�*�� �� �������!���������( ��&'�*� � ��.5�� ���� ����&'����6&������� *� � �� � �����( �!�� ��&�' �����#�����*� �5 �������!�� ������������!��� ���������6 ′(��������� � �����&�#����������������� ��� ��'�( ��)� ��� ����&�������'� �����$���� ���"���� ��� ���� ���!��� $�!������ .�� ) �� ��� �� :������"��6��������� '���������������������������������( �����������!�"����!�����)�����"�(������������'���)������ ��'�������������� ���� ��������)� ����'���)�������'����� "���������&���������(!���������������������������� ���� �����������������������������������������������������!����� �����&���������������$�!������������"( �)����������'�( ��)�� ����#����� �!�� ��������� ������� �������������$����� �"����$��&�������,� ������'����� "���������)� �������������(!���������!���&�������!����� !�!�� �F����������'�����������������������$������������( &����� ��� #����&������� �"�(�������$�!���������)���� ������&� �2��)���&�������,����������������������$����� $'����������&����!���&�)���� �����������&����������)� �( ����#��������� ����2�Q�������������(!������ ����������� !���)�����α�����&��������)��� , )1( 2 2 2 ω η α � − = Bpi JJ � � % �"�����70!�������!�� ���������$�!�����������&'�������������& ���!���&���)�������������#��B' $��&� 22*4* ∞= ε�meRy %� ��������'�&�#����� ������)��� �#��������������$�!������ ����&'��� ��������������!���)�������������)!��� ������� ���������$����� �$'����������)� ��������!���&�)���� �8�.� �9 �������������"����#�������������$�!�����������&'���� α R��������$����� ����8 �9�"��������α ?����η�?����70!��� ��������� ����$��*�< � ,ω� �"��������)����� �%�'��� ��* � � .ω� F������ ����� ����#���������!���)�������?�R���*� � K "�������������� ����8 �9��������)���� �����������"���� ����������������������������&�����������#���������!���)( �����B���� ���������!�!�� �H���������������������"����"��� ���������������������'�����&'�)���)�)������$�!������ ������!�� �������?���8 �9 :�� ���� ���&�� ��R α R� .�� ���� ��"���� #�������� ��� $�!������������������������!�� ��������������������8�.9 �� ����� .�R α������!!���$��� ��������$�!�����������&'��� ����)��� �$'��������)����� �% :���!���������������������������� '���������������������( ��������������������������!���������$�!������������&���( ������ ������ �����$'����� ���� ���"�� ����� �"��*� ������ $�!��������������&�������'���!������$����"�������������� ���������������"��6�� �#��� ������� '��������$�!��������� "�������#��!��#� ���$������!!�������'�����������)����� "�����0����� �C�������������"�(�����������8�9 ��� ����8 �9� ������0����� ����������"�(������������&������������"�� ���"������������������)���������������������������������!�� �'���)����������������$���,����������$�!������ ���������( ��)����������������'������������"��6��8�� �9��������)$�� ���������$��-�����"��6�� �#��� ������� '����#���������( !�����������������'�����$�!������������$���������������!������ ��������������������J2�"���������������$'�����)�����������( �����)�&� ���������)����)������������������������������'��!��( ���)��������$�!��������������#������'��������0�������)���( )�)�� �!!��!������� ���� �"�(������� �����&�������� �� $�!�������859��������0�)!��������� '������������������������ �0�����������"���������)!����$����#��������!!��� !��� � �#������ ����"��6�"�����!!���� �$'�B�������2��� ��������� +�����B������� ����C������ ����(��(5� �� 2��������� � J D �J����6�'��F : �P����������L � �������6�'��+�!������������� ��� &����� �� ���� �� � ���� !��$��)���� ��&�� ��)!�������� ��!��( ��� ����#��'� GG����� ���"� 6 ="�C����"�(/0�%�� !! �<(� 5�� ��55 % *���� .����!�� ������� ��� ����&'� ��� ���� &���� � ������ ��� ���� �0( ����&�� ���!�� � !����� ��� ��� ���� !���)������ ���)����(�))���� ���������� ���#�� ��%� ������!�� �� ��� ���� ����� �������� !�����)� "������� �������� ��� ��������� ������������� ��' ��&��(��6��12%� ���� ���#�� � %� ������!�� �� ��� ���� ����&'� ��� �0����&�� ���!�� !����� ���&�� � ��� #��"� ��� ����������� ������������� ���� �� ?� .� �� �0!�������� ���% � �� ��$9%8������ ����� ������ ���� �$��������� �� �� ��� ���� ��� ��� �� ���������� �������������������� � ; � ��!�����+ M� �N�',�����B���� ���L�������� ������������ ������)���������������$�!�������GG�6 ="�>*���"�>���"��&,0�.%��!! �.��(�.� � ��5� % � � : � ��6�� � 2�������� �� ���� � �� >�� ��� �� <��� ��� ;����6��, ����N����"� ��5.�%�� .<� ! �� ����B������% � J D �J����6�'��N � � �;�����)�� ���� ���� �����'� ��� =� � > ����&��� ������������ ��� !����� ��'������ GG� � S� �L6�! ����� �2�, ((� %�� !! � � �(� �� ��5.�% . J D �J����6�'��H �N��� �#��J � �M�����6��I�����)� ���)( ����'� ��� $�!�������� ��� � ���� ������!� ��������)� ��#����)���� GG >� �"� ���!"�)� �"�&.0<%�� !! <��(<���� ��5�5% < F : �P����������L N �N�, ����L � � ������6�'��J � : � ���6�� +�!�������������������!�����'������GG�=*"�2 �"�����"�����"����" 6 ="�.10�%�� !! � � �(� � ��55.% � F : �P���������� L J �N�, ���� L � � �������6�C�� J : � ���6�� +�!�������� ��� ��������!��� ��'������ �� � ��"� �)��������� �����( ������ GG� ��� � ���� �� ���� ��� ���� ��� ���� � � ��� � ! ���� � � ��� &�&%�� !! � �(�� ��555% � J P �N���)���#�� �;���� � ������ ��� ��� �!������ $�!������ �-����(�)��������� �)��%� "���� ��� �����)� ����� �����&��� �� ���!���&� GG� ! "� �!�� � ��"� 23��%�� !! � .�(..� ��555% 5 J P �N���)���#��+�!������� ���������� ����������� �)�&����� !��!������� ���)����(�))����� �'���)�� GG�����"� � � "� � �"� 9/8 &%1��%�� !! ��(�5� � ���% �� J � � D�6����� � �������� ��������� ��� L�B� ��� ���� ��&���#��' ����&� � ��������� ��� "����� �� � �))����� 44�=*"� 2 �"� ����" ����"� ���"� 6 =�� 3%�5%�� !! �� �(�� �� � ��55<% �� L �� ���6�����#��J �N �2�)����T �� ���#�������� �F �+���$��� � �F �P��)���� +�!������� $�� ��&� ��� -�����)�"����� GG�����" 2�*"0� 3%��%�� !! � �( � �� � ���% � T � ���#������ ��J N �2�)����L � ���6�����#��L � �P���)��� B �L&����� ������'����$��� �!������� ��� �����0� �� ��)!��� � GG�����"�2�*"0�3(0��%�� � !! ��� ��(�(��� ��(.� � ���% � T �� �)�#�6���N � ��$6�"��,��+ � �,�������L��������!���� ��� � ;�������� ��������&� !��������� GG�B�# +� 3&� ��%� !! � � �(� � � ���% �� � T �N�'�6��� �����&� ���!���&� ��)��� ��� ���� !������� &���� ������ GG� 7"�����"� � �"� 7�!��"�(2��%�� !! � ���(�� � ��5�.% �. T �� �)�#�6��� ��+� ����6 � ���$����'� ��� ���&��$�!�������� GG�7" ����"�< �����"�.� �� � ,���%�� !! � ��.( �..� ��55 % �< 3 D ���"��&�� L P 3 � ���C��� ���� ������� ��� ��!����� �����& !����� �������������� ��������(������� ��$���!��������M+� �� H�( ����� GG� 7"� ����"� ��!��� ��"� �� "� >���� � � .0 %�� !! .�(. 0�55 % �� F 2 �N����� � ��������)� ���� ��� ��&�(��)!�������� ��!�����( ������� GG7"����"+< �����"�.� ��� .0 %�� !! � ���( .�< ��55 % �� J �� �D�6�����L �D �F�&��#��N�&�������������� �������� GG6 =" >*���"�>�����&50�%�� !! � (�<� � ��5��% �5 J �� �D�6�����;����&� ��������� ������ ��� �� ���� � ��� �����)$ �)!����'� ��� ���� ���������)�&������ GG6 ="� >*���"� >���� &/0 %� !! <<5(<� � � ��5�.% � ; �J��$����� 2 �N ���������� T � � ���#�������D��&�� $�!������� ��� �"���� � ������ �)�������� DD�����"�2�*��0�,(��%�� !! � �� ( � �� ��55�% �� �J D �J����6�'�� L � � ������6�'�� +�!������� ������� ��� ��'����� "���� ��������!� �������#��)���� ��� ����� ����&�� ��������� GG�6 =" >*���"� >���� .�<%�� !! ����(����� ��5� %