Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах
Рассмотрен магнитный резонанс в ядерной парамагнитной системе при малой концентрации спинов. Вычислены сигнал свободной индукции (ССИ) и функция формы линии резонанса (ФФЛ). В основе теории лежит введение вспомогательной системы, где один спин не имеет флип-флоп взаимодействия с окружением. ССИ для...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2015
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122010 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах / Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 1. — С. 14-21. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-122010 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1220102025-02-09T17:28:41Z Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах Spin-spin relaxation in magnetically dilute crystals Джепаров, Ф.С. Львов, Д.В. Веретенников, М.А. Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений: Анатоль Абрагам, Евгений Завойский, Казань Рассмотрен магнитный резонанс в ядерной парамагнитной системе при малой концентрации спинов. Вычислены сигнал свободной индукции (ССИ) и функция формы линии резонанса (ФФЛ). В основе теории лежит введение вспомогательной системы, где один спин не имеет флип-флоп взаимодействия с окружением. ССИ для этого спина рассчитан, основываясь на теории Андерсона–Вейсса–Кубо, а его функция памяти использована для построения функции памяти основной системы. Необходимые численные коэффициенты получены на основе концентрационных разложений ССИ. При этом впервые проведен учет переноса поляризации в магниторазбавленных кристаллах. Показано, что это приводит к существенному замедлению спада ССИ при временах, больших времени фазовой релаксации. Проведено сравнение результатов с существующими экспериментальными данными и численным моделированием. Получено удовлетворительное согласие в описании центральной части ФФЛ после введения в теорию дополнительного уширения, наблюдаемого в экспериментах. Выявлено, что данные по амплитуде и положению сателлитных максимумов различных экспериментов не очень хорошо согласуются как между собой, так и с теорией. Розглянуто магнітний резонанс в ядерній парамагнітній системі при малій концентрації спінів. Обчислені сигнал вільної індукції (СВІ) та функція форми лінії резонансу (ФФЛ). В основі теорії лежить введення допоміжної системи, де один спін не має фліп-флоп взаємодії з оточенням. СВІ для цього спіна розраховано, грунтуючись на теорії Андерсона–Вейса–Кубо, а його функцію пам'яті було використано для побудови функції пам'яті основної системи. Необхідні чисельні коефіцієнти отримано на основі концентраційних розкладень ССІ. При цьому вперше проведено облік перенесення поляризації в магніторозбавлених кристалах. Показано, що це призводить до істотного уповільнення спаду СВІ при часах, великих від часу фазової релаксації. Проведено порівняння результатів з існуючими експериментальними даними та чисельним моделюванням. Отримано задовільну згоду в описі центральної частини ФФЛ після введення в теорію додаткового розширення, яке спостерігається в експериментах. Виявлено, що дані по амплітуді та положенню сателітних максимумів різних експериментів не дуже добре узгоджуються як між собою, так і з теорією. Magnetic resonance in a nuclear paramagnetic system is considered at low spin concentration. Free induction decay (FID) and resonance line shape function (LSF) are calculated. The theory is based on introduction of an auxiliary system where one spin has no flipflop interaction with surrounding. FID for the spin was calculated using the Anderson–Weiss–Kubo theory, and it’s a memory kernel was applied to construct memory kernel of the main system. Necessary numerical coefficients were obtained from the concentration expansion of FID. The theory was first to take into account the polarization transfer in magnetically dilute systems that produces a substantial slowing down of the decay for times larger than the phase relaxation time. Comparison of the theory with existing experimental results and computer simulations is fulfilled. Satisfactory agreement for the central part of LSF was received after introducing additional broadening existed in the experiments. It is shown that the results of different experiments on magnitude and position of side-band peaks have visible disagreement with one another and with the theory 2015 Article Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах / Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 1. — С. 14-21. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.10.–a, 05.30.–d, 05.60.–k, 76.20.+q https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122010 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений: Анатоль Абрагам, Евгений Завойский, Казань Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений: Анатоль Абрагам, Евгений Завойский, Казань |
| spellingShingle |
Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений: Анатоль Абрагам, Евгений Завойский, Казань Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений: Анатоль Абрагам, Евгений Завойский, Казань Джепаров, Ф.С. Львов, Д.В. Веретенников, М.А. Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах Физика низких температур |
| description |
Рассмотрен магнитный резонанс в ядерной парамагнитной системе при малой концентрации спинов. Вычислены сигнал свободной индукции (ССИ) и функция формы линии резонанса (ФФЛ). В основе теории лежит введение вспомогательной системы, где один спин не имеет флип-флоп взаимодействия с окружением. ССИ для этого спина рассчитан, основываясь на теории Андерсона–Вейсса–Кубо, а его функция памяти использована для построения функции памяти основной системы. Необходимые численные коэффициенты получены на основе концентрационных разложений ССИ. При этом впервые проведен учет переноса поляризации в магниторазбавленных кристаллах. Показано, что это приводит к существенному замедлению спада ССИ при временах, больших времени фазовой релаксации. Проведено сравнение результатов с существующими экспериментальными данными и численным моделированием. Получено удовлетворительное согласие в описании центральной части ФФЛ после введения в теорию дополнительного уширения, наблюдаемого в экспериментах. Выявлено, что данные по амплитуде и положению сателлитных максимумов различных экспериментов не очень хорошо согласуются как между собой, так и с теорией. |
| format |
Article |
| author |
Джепаров, Ф.С. Львов, Д.В. Веретенников, М.А. |
| author_facet |
Джепаров, Ф.С. Львов, Д.В. Веретенников, М.А. |
| author_sort |
Джепаров, Ф.С. |
| title |
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах |
| title_short |
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах |
| title_full |
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах |
| title_fullStr |
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах |
| title_full_unstemmed |
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах |
| title_sort |
спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Актуальные проблемы магнитного резонанса и его приложений: Анатоль Абрагам, Евгений Завойский, Казань |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122010 |
| citation_txt |
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах / Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 1. — С. 14-21. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT džeparovfs spinspinovaârelaksaciâvmagnitorazbavlennyhkristallah AT lʹvovdv spinspinovaârelaksaciâvmagnitorazbavlennyhkristallah AT veretennikovma spinspinovaârelaksaciâvmagnitorazbavlennyhkristallah AT džeparovfs spinspinrelaxationinmagneticallydilutecrystals AT lʹvovdv spinspinrelaxationinmagneticallydilutecrystals AT veretennikovma spinspinrelaxationinmagneticallydilutecrystals |
| first_indexed |
2025-11-28T17:22:38Z |
| last_indexed |
2025-11-28T17:22:38Z |
| _version_ |
1850055664966041600 |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1, c. 14–21
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных
кристаллах
Ф.С. Джепаров1,2,3, Д.В. Львов1,2, М.А. Веретенников4
1Институт теоретической и экспериментальной физики, г. Москва, 117218, Россия
E-mail: dzheparov@itep.ru
2Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва, 115409, Россия
3Московский физико-технический институт, Московск. обл., 141700, Россия
4Институт радиотехники и электроники РАН, г. Москва, 125009, Россия
Статья поступила в редакцию 18 августа 2014 г., опубликована онлайн 24 ноября 2014 г.
Рассмотрен магнитный резонанс в ядерной парамагнитной системе при малой концентрации спинов.
Вычислены сигнал свободной индукции (ССИ) и функция формы линии резонанса (ФФЛ). В основе тео-
рии лежит введение вспомогательной системы, где один спин не имеет флип-флоп взаимодействия с ок-
ружением. ССИ для этого спина рассчитан, основываясь на теории Андерсона–Вейсса–Кубо, а его функ-
ция памяти использована для построения функции памяти основной системы. Необходимые численные
коэффициенты получены на основе концентрационных разложений ССИ. При этом впервые проведен
учет переноса поляризации в магниторазбавленных кристаллах. Показано, что это приводит к сущест-
венному замедлению спада ССИ при временах, больших времени фазовой релаксации. Проведено срав-
нение результатов с существующими экспериментальными данными и численным моделированием. По-
лучено удовлетворительное согласие в описании центральной части ФФЛ после введения в теорию
дополнительного уширения, наблюдаемого в экспериментах. Выявлено, что данные по амплитуде и по-
ложению сателлитных максимумов различных экспериментов не очень хорошо согласуются как между
собой, так и с теорией.
Розглянуто магнітний резонанс в ядерній парамагнітній системі при малій концентрації спінів. Обчи-
слені сигнал вільної індукції (СВІ) та функція форми лінії резонансу (ФФЛ). В основі теорії лежить вве-
дення допоміжної системи, де один спін не має фліп-флоп взаємодії з оточенням. СВІ для цього спіна роз-
раховано, грунтуючись на теорії Андерсона–Вейса–Кубо, а його функцію пам'яті було використано для
побудови функції пам'яті основної системи. Необхідні чисельні коефіцієнти отримано на основі концен-
траційних розкладень ССІ. При цьому вперше проведено облік перенесення поляризації в магнітороз-
бавлених кристалах. Показано, що це призводить до істотного уповільнення спаду СВІ при часах, вели-
ких від часу фазової релаксації. Проведено порівняння результатів з існуючими експериментальними
даними та чисельним моделюванням. Отримано задовільну згоду в описі центральної частини ФФЛ піс-
ля введення в теорію додаткового розширення, яке спостерігається в експериментах. Виявлено, що дані
по амплітуді та положенню сателітних максимумів різних експериментів не дуже добре узгоджуються як
між собою, так і з теорією.
PACS: 05.10.–a Вычислительные методы в статистической физике и нелинейной динамике;
05.30.–d Квантовая статистическая механика;
05.60.–k Процессы переноса;
76.20.+q Общая теория резонансов и релаксаций.
Ключевые слова: ядерный магнитный резонанс, сигнал свободной индукции, функция формы линии ре-
зонанса, электронный парамагнитный резонанс, неупорядоченные среды, магниторазбавленные среды,
спиновая динамика, метод функций памяти, кумулянтные разложения.
© Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников, 2015
mailto:dzheparov@itep.ru
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах
1. Введение
Сигнал свободной индукции ( )F t и форма линии
резонанса ( )G ω принадлежат к основным измеримым
величинам в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) [1].
Они тщательно измерены в магнитоконцентрирован-
ных кристаллах (МКК) как для матричных (например,
19F в CaF2 [2]), так и для примесных (8Li в LiF [3])
спинов, и развито соответствующее теоретическое опи-
сание (см., например, работы [1,3–6] и ссылки в них).
Однако надежная экспериментальная информация о
таких магниторазбавленных кристаллических системах
(МРК), как 29Si в монокристалле кремния или 13С в
алмазе, отсутствует. Недавно построена общая теория
фазовой релаксации, применимая как для МКК, так и
для МРК систем [7–9]. В настоящей работе описаны
основы новой теории и проведено сравнение ее ре-
зультатов с имеющимися экспериментальными дан-
ными [10–14].
2. Основы теории
Теория объединяет проекционную технику Накад-
жима–Цванцига и приближение случайного локально-
го поля Андерсона–Вейсса–Кубо (АВК). Оба метода
хорошо известны. Проекционная техника часто назы-
вается также методом функций памяти (convolution
master equations), а приближение АВК — кумулянтны-
ми разложениями (convolutionless master equations). В
литературе проведено подробное сравнение этих мето-
дов и выявлены их достоинства и недостатки. Мы ис-
пользуем оба подхода, объединяя их достоинства и
устраняя, в меру возможности, недостатки. В частно-
сти, метод функций памяти более гибок, но очень важ-
ная для наших целей задача релаксации одного спина в
случайном одномерном поле имеет точное решение,
которое составляет основу модели АВК. Кроме того,
когда взаимодействие со случайным одномерным по-
лем, определяющее сигнал свободной индукции (ССИ)
примесного спина, мало, и можно ожидать, что про-
цесс может быть описан методом функций памяти по-
средством разложения по степеням этого поля, решение
на основе главного приближения имеет нефизическое
поведение около вершины соответствующей односпи-
новой функции формы линии (ФФЛ) [15], в противо-
положность точному решению. Существенно также, что
приближение АВК дает хорошее описание ФФЛ при-
месного ядра [3,6], но не воспроизводит осциллирую-
щий ССИ для спинов матрицы, например в CaF2 [2].
При стандартном определении сигнал свободной
индукции
0
0
( )
( ) ,
I I t
F t
I I
− +
− +
= ,x yI I iI n I +
+ = + = ∑ r r
r
( )I I +
− += , ( )0 Tr / Tr (1)⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ . (1)
Здесь использовано обычное обозначение I α
r для одно-
спинового оператора и применено не зависящее от
времени число заполнения nr узла решетки r спином
rI ( (0)1n =r [8,9], если узел r (не)занят спином rI ).
Гейзенбергова эволюция в (1) определяется, как обыч-
но [1], секулярной частью гамильтониана диполь-
дипольных взаимодействий, которую будем использо-
вать в форме [9]
( )1 2 ( ) ,
2
z z x x y y
dH n n b I I I I I I= +β−∑ r q rq r q rq r q r q
r,q
(2)
2
3 (1 3cos ), 0,
2
b b≠
γ γ
= − ϑ =
−
r q
r q rq rr
r q
(3)
где ϑrq — угол между −r q и внешним статическим
полем 0H , направленным вдоль оси z, а коэффициент
1,β =rq если гиромагнитные отношения спинов совпа-
дают, т.е. ,γ = γ = γr q и 0β =rq при | | | |γ − γ γr q r .
Мы рассматриваем большие трансляционно-инва-
риантные в среднем системы, для которых
0
0
( )
( ),
I I t
F t
I I
− +
− +
= ∑ qr
q
( ) 1
0 0
( ) ( )
c
F t n n I I t c I I
−
− + − += ⋅qr q r q r r r , (4)
c〈⋅ ⋅ ⋅〉 — усреднение по расположению спинов в образ-
це, т.е. по числам заполнения при заданном значении
концентрации 1.cc n= 〈 〉 ≤r В МКК все узлы решетки
заполнены спинами и, соответственно, все 1.n ≡r В МРК
заполнения узлов случайны, при этом 1c . Далее ог-
раничимся основной моделью [8,9], в которой за-
полнения разных узлов независимы, т.е., например,
2 (1 ) ,cn n c c〈 〉 = − δ + δr q rq rq а все спины равны ½. От-
метим, что перенос намагниченности в процессе спин-
спиновой (фазовой) релаксации существует только при
0β ≠rq и проявляется в том, что ( ) 0.F t≠ ≠q r
Новая теория [7–9] основана на связи между ядром
памяти ( )M τ основного кинетического уравнения
0
( ) ( ) ( )
t
F t d M F t
t
∂
= − τ τ − τ
∂ ∫ , (5)
для ССИ ( )F t одинаковых спинов матрицы и ядром
памяти ( )IM τ кинетического уравнения
0
( ) ( ) ( )
t
I I IF t d M F t
t
∂
= − τ τ − τ
∂ ∫ ,
0 0 0
0 0 0
( )
( ) ,I
I I t
F t
I I
− +
− +
= (6)
для односпинового ССИ ( )IF t вспомогательной систе-
мы, где один спин, расположенный в 0=r , не имеет
флип-флоп взаимодействия с окружением, а остальные
взаимодействия и спины такие же, как в основной сис-
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1 15
Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников
теме. Таким образом, в основной системе 1,β =rq а во
вспомогательной системе изменены только 0 0 0.β = β =r r
Вспомогательный ССИ ( )IF t может быть рассчитан
независимо, основываясь на успешном применении
теории АВК к описанию ФФЛ примесных ядер [3,6],
тогда уравнение (6) определяет вспомогательное ядро
( )IM τ . Связь между ( )M τ и ( )IM τ , которая будет ука-
зана ниже, определяет ( )M τ , и решение уравнения (5)
дает искомый ССИ ( )F t спинов матрицы.
Эта программа может быть реализована непосредст-
венно для магнитоконцентрированных систем (напри-
мер, для кристалла CaF2), исходя из точных значений
первых членов разложений главного и вспомогатель-
ного ССИ по степеням времени (на знании моментов
2 2
2 ( 1) ( / ) ( 0)n n n
nM d dt F t= − = для основной и вспо-
могательной систем), и из общих свойств ядер памяти.
Используя представления
2 2( ) ( ), ( ) ( )I I IM M M Mτ = χ τ τ = χ τ , (7)
где 2IM — второй момент вспомогательной системы,
можно ожидать, что соотношение ( ) ( )Iχ τ = χ τ будет
выполняться с точностью порядка 1/ ez ( ez — эффек-
тивное число ближайших соседей). В результате полу-
чаем
2 2
( )36( ) e ( ) ,
2 25 ( ( ) 9 / 5) ( ( ))
i t c
s c
gdtG F t
g g
∞
ω
−∞
ω
ω = =
π π ω ω − + ω ω∫
(8)
где учтено, что 162 29 IM M= , а вещественные функ-
ции ( )cg ω и ( )sg ω определены как
0
e ( ) ( ) ( )i t
I c sdt F t g ig
∞
ω = ω + ω∫ . (9)
Вспомогательный ССИ равен
( )2
0
( ) exp ( ) ,
t
I IF t M d t
= − τ − τ κ τ
∫ (10)
где ( )κ τ — корреляционная функция локального поля
на спине 0I . Результат для магнитоконцентрированной
системы показан на рис. 1.
Применение теории к магниторазбавленным систе-
мам требует существенной модификации для учета то-
го, что в главном (континуальном) приближении ССИ
F(t) является неаналитической функцией времени, и в
главных порядках по спиновой концентрации c [17]
( )2 35( ) 1 | | ( ) | |
9A A AF t D t D t O D t= − + + ,
2
22
3 3AD nπ
= γ , (11)
где /n c= Ω — число спинов в единице объема, γ —
гиромагнитное отношение и Ω — объем на один узел
кристалла. Поэтому дальше будем использовать кон-
центрационное разложение вместо ряда Тейлора по
времени, примененного выше. Напомним, что конти-
нуальное приближение соответствует пределу, когда
концентрация 0,c → но 1.AD t Согласно общей тео-
рии концентрационных разложений [18,19], второй
член в (11) имеет вид
( )(2) (2) (1)( ) ( ,0 | ) (0 | )F t c Q t Q t= −∑
q
q , (12)
(1) (0 | ) 1Q t = — ССИ для системы, состоящей из одного
спина, расположенного в узле 0, а (2) ( ,0 | )Q tq — ССИ
для системы из двух спинов, расположенных в узлах 0
и q. В соответствующей двухспиновой задаче гамиль-
тониан Hd приобретает вид
( ) ( )(2)
0 0 0 0 0 002 3yz z x x y z z
dH b I I I I I I b I I = − + = − q q q q q q qI I .
(13)
Для спинов 1
2 выполняется соотношение
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1
2 2 2
z z z z z z z zI I I I I I I I = + − − = + −
q q q q .
Поэтому изотропный член гамильтониана (13)
2 2 2 2
0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) 3 / 2
2 2
b b b
+ − − + −
= =q q q
q q q q
I I I I I I
I I
коммутирует с первым слагаемым в (13), а поскольку
он коммутирует и с оператором ,I I+ ++r q то он пол-
ностью выпадает из расчета (2) ( ,0 | )Q tq . В итоге
Рис. 1. Сигнал свободной индукции, вычисленный на основе
соотношений (8)–(10) (линия 2), в сравнении с подгоночной
формулой [2] ( ) sin ( ) / ( sh ( ))F t a bt b at= (линия 1). Использо-
вано соотношение 2194 29M M= как простейшая аппрокси-
мация для кубических кристаллов (подробнее см. [16]). Три
модельных функции 2
loc( ) exp ( ( ) /4),t tκ = − ω ( ) 1/ chtκ = ×
loc( / 2)t× ω и 2 3/4
loc( ) 1 / (1 ( ) /3)t tκ = + ω , где 1/2
loc 2Mω = ,
дают линии, совпадающие в пределах их толщин.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
0 2 4 6
F
t()
ωloct
1
2
16 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах
(2) (2)
0 0
(2) 0
0 0 0
( )e ( )e
( ,0 | )
( )( )
d diH t iH tI I I I
Q t
I I I I
−− − + +
− − + +
+ +
= =
+ +
q q
q q
q
0
3cos
2
b t =
q
и (2)
0( ) [cos (3 / 2) 1].F t c b t= −∑ qq Аналогично, для вспо-
могательного ССИ получается, что
(2)
0( ) [cos ( ) 1]IF t c b t= −∑ q
q
.
Соответственно, в континуальном пределе, когда
3c n d q→∑ ∫
q
,
получается, что (2) ( ) ,AF t D t= − а (2) ( ) 2 / 3.AIF t D t= −
Поэтому вспомогательный ССИ запишем в форме
( )
1/2
2
0
( ) exp 2 exp ( | |) ,
t
IF t B d t B
= − τ − τ −α τ
∫ (14)
где 2
3 AB D= , а значение 1
2α = будет получено ниже
на основе сравнения рассчитанного F(t) с разложением
(11). Выбор функции ( ) exp ( | |)Bκ τ = −α τ здесь имеет
тот же смысл, что и применение ( )tκ =
2
locexp [ ( ) /4]t= − ω в соотношении (10): это простей-
шая функция, которая представляет влияние флип-
флоп переходов в окружающих спинах и совместна с
аналитической структурой разложения (11). Квадрат-
ный корень в (14) отражает статические флуктуации
взаимодействия центрального спина с его окружением
из-за случайного расположения спинов. Если 0α = ,
то (12) совпадает с точным решением, полученным
Андерсоном и Абрагамом [20] для МРК в континуаль-
ном приближении и при отсутствии флип-флоп пере-
ходов. Другой метод получения этого решения содер-
жится в работе [21].
Чтобы получить связь между основным и вспомога-
тельным ядрами, удобно использовать представление
Лапласа
0
( ) exp( ) ( ) ( ) ( ),M dt t M t m
∞
λ = −λ = λ σ λ∫
0
( ) exp( ) ( ) ( ) ( ).I I I IM dt t M t m
∞
λ = −λ = λ σ λ∫ (15)
Функции ( )m λ и ( )Im λ содержат только члены поряд-
ка 1c , соответственно, ( , 0) 1cσ λ → = и ( , 0) 1.I cσ λ → =
Естественно ожидать, что различие между ( )σ λ и
( )Iσ λ имеет порядок 1/ ez , где эффективное число со-
седей 6,6ez = [9]. Поэтому примем, что ( ) ( )Iσ λ = σ λ .
В результате континуальное приближение дает
3
2( ) ( )IM Mλ = λ , сравнение разложения решения ура-
внения (5) по концентрации с соотношением (11) при-
водит к значению 1
2α = , и для ФФЛ получается [9]
( ) ( )2 2
( )6( )
( ) 3 ( )
c
s c
g
G
g g
ω
ω =
π ω ω − + ω ω
. (16)
Численный и аналитический анализ показывают [9],
что в главной временной области, где ( ) 0,01IF t > , с
достаточной точностью
( )25/62 3 5( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
5 2 12I I IF t t F t F t F t ≈ Φ = + − −
. (17)
Зависимость от кристаллической структуры восста-
навливается подстановкой [9]
0
0
3| | ( ) 1 cos
2e
A
ct t t b t
D ≠
→ = −
∑ r
r
,
2
2
0 03 (1 3cos )
2
b
r
γ
= − ϑr r . (18)
Равенство | | ( )et t t= достигается, если сумму заменить
интегралом
3
0
d r
≠
→
Ω∑ ∫
r
.
Как мы уже видели, такая замена производилась при
получении выражения (11) для AD . Соответственно,
ФФЛ для кристалла
( )( ) e ( ) .
2
i t
e
dtG t t
∞
∆
−∞
∆ = Φ
π∫ (19)
Результаты расчета ССИ ( )F t в магниторазбавлен-
ных системах показаны на рис. 2. Необходимо заме-
тить, что как новая теория (линии 1 и 4), так и ее
Рис. 2. Сигнал свободной индукции ( )F t для магниторазбав-
ленных систем (1) вычислен по формуле (17). Вспомогатель-
ный ССИ ( )IF t (2), ССИ из [17] (3), где соотношение, анало-
гичное (10), было применено прямо к ( )F t , ССИ для кри-
сталла кремния при 0,0467c = и внешнем поле [ ]0 1|| 11H (4)
вычислен по соотношению (19).
F
t()
0 2 4
(2/3)D tA
1,0
0,1
0,01
24
3
1
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1 17
Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников
предшествующий вариант (линия 3) основаны на од-
ном и том же концентрационном разложении (11), по-
этому они совпадают при малых временах. Основное
качественное различие между этими зависимостями
состоит в том, что новая теория, в отличие от старой,
учитывает перенос поляризации в процессе фазовой
релаксации. Из полученных результатов следует, что в
магниторазбавленных кристаллах осцилляции на мас-
штабе
2
0
( ) 1/ AT dtF t D
∞
= ∫
отсутствуют, тогда как в магнитоконцентрированных
системах они сильно выражены (см. рис. 1).
3. Сопоставление теории с экспериментальными
результатами и численным моделированием
Экспериментальные данные для прямого сравнения
с нашей теорией для трехмерных систем в настоящее
время отсутствуют, так как во всех известных измере-
ниях проявилось значительное уширение другими
взаимодействиями. Тем не менее мы выделили работы
[10–14], в которых сравнение может быть осуществле-
но при введении минимальных дополнительных пред-
положений. В этих работах измерения были проведены
для ядер 29Si в кристаллах кремния. На рис. 3 в рабо-
тах [10,11] показан ССИ для порошка кремния, изме-
ренный методом спинового эха Хана. Он находится в
удовлетворительном согласии с соотношением
( )0 0
0
( ) ( ) exp 1 cos ( ) ,
p
F t F t c b t
≠
= = − −
∑ r
r
(20)
где p⋅ ⋅ ⋅ означает усреднение по ориентациям кри-
сталлитов. Соотношение (20) соответствует отсутст-
вию флип-флоп взаимодействий для всех спинов в об-
разце (см., например, [21]). Формула (20) была, по-
видимому, неизвестна авторам, и они выполнили пря-
мое численное моделирование процесса. Полученный
результат показывает, что образцы не годились для
изучения чисто дипольной динамики. Действительно,
как было выявлено в [22], уровень допирования, ис-
пользованный в [10,11], вызывает большое неоднород-
ное уширение из-за неоднородного сдвига Найта.
Оценки показывают [9], что при этом различие сдвигов
Найта для ядер 29Si, расположенных на среднем рас-
стоянии 1/3( / )cr c= Ω , много больше, чем ожидаемая
дипольная ширина линии ( 0,0467) 42,1 ГцAD c = = . Сле-
довательно, флип-флоп взаимодействия несекулярны и
должны быть опущены, что и приводит к соотноше-
нию (20).
Функция формы линии ( )G ∆ измерена в [12] для
монокристаллов кремния с концентрацией c, равной
0,012, 0,0467 и 0,103 при [ ]0 || .111H Авторы выделили
дипольный вклад в полуширину на полувысоте 1/2∆ и в
( 0)G ω = . Они предположили, что добавочное уширение
одинаково для всех образцов, а искомые параметры ли-
нейно зависят от c, поэтому они сочли дипольными те
части 1/2∆ и ( 0)G ω = , которые пропорциональны c.
Нами проведен более подробный анализ, с использо-
Рис. 3. Сравнение экспериментальных данных [12] () с тео-
ретической линией (19) (не содержащей подгоночных пара-
метров), уширенной функцией Фойгта (21), при различных с.
10
8
6
4
2
0
G
–300 –200 –100 0 100 200 300
с = 0,012, || [111]H
∆, Гц
(а)
8
6
4
2
0
G
–400 –600 –200 0 200 400 600
∆, Гц
с = 0,103, || [111]H10
8
6
4
2
0
G
–400 –600 –200 0 200 400 600
∆, Гц
(б)
(в)
с 0= 0, 47, || [111]H
18 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах
ванием рассчитанной (без подгоночных параметров)
ФФЛ и уширения функцией Фойгта
( )
2 2
2 2 2 1/2
exp [ / (2 )]
,
[( ) ] (2 )
GL
V
L G
DDg d
D D
∞
−∞
−µ
ω = µ
π ω − µ + π∫ (21)
которое, в соответствии с гипотезой авторов [12], при-
нималось одинаковым для всех образцов, а значения
2 7,6(4) ГцLD = π⋅ и 2 22,6(6) ГцGD = π⋅ для лоренце-
вой и гауссовой компонент соответственно были полу-
чены при подгонке результатов работы [12]. Как уже
отмечалось, в континуальной теории Андерсона–Аб-
рагама [20] DA(c = 0,0467) = 42,1 Гц. Напомним, что
DA ∼ c. На рис. 3 видно, что центральные части линий
находятся в удовлетворительном согласии с теорией,
но положения и амплитуды сателлитов существенно
отличаются. Сателлиты порождаются спинами, распо-
ложенными на расстояниях, сравнимых с минималь-
ным расстоянием между ядрами в кристалле.
Чтобы выяснить причины расхождения, мы провели
подобный анализ функций формы линии, измеренных
в монокристалле кремния при c = 0,0467 для трех ори-
ентаций внешнего поля в [13,14]. Авторы этих работ
обращали особое внимание на сателлиты и утвержда-
ли, что имеется хорошее согласие измерений с их тео-
ретическими оценками. Наши результаты показаны
на рис. 4.
Согласие нашей теории с измерениями [13,14] в цен-
тре линии опять вполне удовлетворительное, а описание
сателлитов значительно лучше, чем на рис. 3, но ушире-
ние больше: 16( Гц2)2LD = π⋅ и 41( Гц2)2GD = π⋅ , что
подавляет различия. Теоретические оценки работ [13,14]
относительно величины и положения сателлитов яв-
ляются по сути двухчастичными, и они автоматически
включаются в соотношения (18) и (19). Поэтому мы
дополнительно сравнили наши результаты с числен-
ным моделированием, выполненным на шести спинах
и представленным на рис. 17 в работе [10], и получили,
что положения и величины сателлитов практически
совпадают. Этот результат показывает, что правило (19)
достаточно точно, и причина различия теории с экспе-
риментом [12] остается невыясненной.
Отметим что прибавление к гамильтониану (2) кос-
венного спин-спинового взаимодействия (J-coupling)
не может устранить эти различия. Действительно, кос-
венное взаимодействие эффективно только для бли-
жайших соседей, где его величина по известным дан-
ным не превосходит 200 Гц для изотропной части [13].
Однако такое изотропное взаимодействие, как и изо-
тропная часть из диполь-дипольного взаимодействия
(13), не даст вклад в главный член концентрационного
разложения ССИ (11). Анизотропная же часть косвен-
ного взаимодействия обычно на порядок меньше, по-
этому и ее влияние должно быть пренебрежимо мало.
Соотношения (1)–(3) могут рассматриваться как ба-
зовые и для электронного парамагнитного резонанса
(ЭПР). Вместе с тем в ЭПР реализуются гораздо более
разнообразные гамильтонианы. Однако нам не извест-
ны работы, в которых были бы получены убедитель-
0,7
0,6
0,4
0,5
0,3
0,2
0
G
–750 –1000 1000 –500 –250 0 250 500 750
∆, Гц
H || [100]
0,1
(а)
(в)
0,7
0,6
0,4
0,5
0,3
0,2
0
G
–750 –1000 1000 –500 –250 0 250 500 750
∆, Гц
H || [110]
0,1
(б)
0,7
0,6
0,4
0,5
0,3
0,2
0
G
–750 –1000 1000 –500 –250 0 250 500 750
∆, Гц
0,1
(в)H || [111]
Рис. 4. Сравнение экспериментальных данных [13,14] () с
теоретической линией (19) (не содержащей подгоночных
параметров), уширенной функцией Фойгта (21), при различ-
ных направлениях H.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1 19
Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников
ные данные по дипольной форме линии ЭПР в трех-
мерных системах.
В работе [23] исследованы ЭПР спектры парамаг-
нитных центров, распределенных на поверхностях пор
в активированных углях, т.е. спектры двумерных сис-
тем. В [23] была найдена область значений контроли-
руемых параметров, в которой по всем проверенным
признакам фазовая релаксация определялась диполь-
дипольными взаимодействиями. Наш анализ этих спект-
ров показал, что форма линии ЭПР работы [23] соответ-
ствует не чисто диполь-дипольному взаимодействию,
а модели Андерсона–Абрагама, т.е. двумерному слу-
чаю с 0β =rq в гамильтониане (2), когда ССИ имеет
форму [23]
2/3
2 2( ) ( ) exp ( )pF t F t B t
ϑ
= = − ϑ
, (22)
pϑ — угол между нормалью к поверхности и внешним
полем H0, а ϑ⋅⋅⋅ означает усреднение по этому углу.
Явный вид функции 2 ( )pB ϑ указан в [23]. Близость
результатов [23] к выводам модели Андерсона–
Абрагама уже отмечалась ранее в [23] и [17]. Однако
отсутствие различий между ФФЛ, вычисленной на
основе формулы (22), и результатами измерений [23]
выявлено впервые. Объяснения этому исчезновению
флип-флоп взаимодействия мы сейчас не имеем. На-
помним, что подобный результат работ [10,11] для
трехмерных ядерных спиновых систем был естествен-
но объяснен выше за счет возникновения большого
неоднородного сдвига Найта, в результате которого
флип-флоп члены гамильтониана становились несеку-
лярными.
4. Заключение
Проведенное исследование выявило весьма проти-
воречивую картину как в соответствии теории и экспе-
римента, так и в согласии между результатами различ-
ных экспериментов. Для более определенных выводов
необходимы дополнительные теоретические и, в пер-
вую очередь, экспериментальные исследования.
1. А. Абрагам, М. Гольдман, Ядерный магнетизм: порядок
и беспорядок, Мир, Mосква (1984), т. 1–2.
2. M. Engelsberg and I.J. Lowe, Phys. Rev. B 10, 822 (1974).
3. М.И. Булгаков, А.Д. Гулько, Ф.С. Джепаров, С.В. Степа-
ров, С.С. Тростин, Письма ЖЭТФ 58, 614 (1993).
4. В.Е. Зобов, М.А. Попов, ЖЭТФ 127, 877 (2005).
5. В.Л. Боднева, А.А. Лундин, ЖЭТФ 135, 1142 (2009).
6. Ю.Г. Абов, А.Д. Гулько, Ф.С. Джепаров, С.В. Степаров,
С.С. Тростин, ЭЧАЯ 95, 1654 (1995).
7. F.S. Dzheparov, Combining of Projection Operator Techni-
que of Nakajima–Zwanzig with Anderson–Weiss–Kubo Sto-
chastic Local Field Approach for Calculation of Correlation
Functions in Spin Dynamics, in: Actual Problems of Mag-
netic Resonance and its Application. XIII Intern. Youth Scien-
tific School. Program, Lecture Notes, Proceedings, Kazan
State University (2010), p. 11.
8. F.S. Dzheparov, J. Phys.: Conf. Ser. 324, 012004 (2011).
9. Ф.С. Джепаров, Д.В. Львов, М.А. Веретенников, Письма
ЖЭТФ 98, 543 (2013).
10. D. Li, Y. Dong, R.G. Ramos, J.D. Murray, K. MacLean,
A.E. Dementyev, and S.E. Barrett, Phys. Rev. B 77, 214306
(2008).
11. D. Li, Y. Dong, R.G. Ramos, J.D. Murray, K. MacLean,
A.E. Dementyev, and S.E. Barrett, arXiv: 0704.3620v1
[cond-mat. mes-hall].
12. H. Hayashi, K.M. Itoh, and L.S. Vlasenko, Phys. Rev. B 78,
153201 (2008).
13. A.S. Verhulst, D. Maryenko, Y. Yamamoto, and K.M. Itoh,
Phys. Rev. B 68, 054105 (2003).
14. A.S. Verhulst, Optical Pumping Experiments to Increase the
Polarization in Nuclear-Spin Based Quantum Computers,
Thesis, Stanford University (2004).
15. F.S. Dzheparov, Some Modern Problems in Beta-NMR-Spec-
troscopy, in: VI Int. School on Neutron Physics, Lectures,
Dubna (1991), Vol. 2, p. 58.
16. T. Charpentier, D. Sakellariou, J. Virlet, F.S. Dzheparov, and
J.-F. Jacquinot, J. Chem. Phys. 127, 224506 (2007).
17. Ф.С. Джепаров, И.В. Каганов, Письма ЖЭТФ 75, 309
(2002).
18. Ф.С. Джепаров, В.С. Смелов, В.Е. Шестопал, Письма
ЖЭТФ 32, 51 (1980).
19. Ф.С. Джепаров, А.А. Лундин, Т.Н. Хазанович, ЖЭТФ 92,
554 (1987).
20. А. Абрагам, Ядерный магнетизм, Изд-во иностр. лит.,
Москва (1963).
21. F.S. Dzheparov, J. Supercond. and Novel Magnetism 20, 161
(2007).
22. M.J. Hirsch and D.F. Holcomb, Phys. Rev. B 33, 2520
(1986).
23. В.А. Ацаркин, Г.А. Васнева, В.В Демидов, Ф.С. Джепа-
ров, Б.М. Одинцов, Р.Б. Кларксон, Письма ЖЭТФ 72,
530 (2000).
Spin-spin relaxation in magnetically dilute crystals
F.S. Dzheparov, D.V. Lvov, and M.A. Veretennikov
Magnetic resonance in a nuclear paramagnetic sys-
tem is considered at low spin concentration. Free in-
duction decay (FID) and resonance line shape function
(LSF) are calculated. The theory is based on introduc-
tion of an auxiliary system where one spin has no flip-
flop interaction with surrounding. FID for the spin was
calculated using the Anderson–Weiss–Kubo theory,
and it’s a memory kernel was applied to construct
memory kernel of the main system. Necessary numer-
ical coefficients were obtained from the concentration
expansion of FID. The theory was first to take into ac-
20 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1
Спин-спиновая релаксация в магниторазбавленных кристаллах
count the polarization transfer in magnetically dilute
systems that produces a substantial slowing down of
the decay for times larger than the phase relaxation
time. Comparison of the theory with existing experi-
mental results and computer simulations is fulfilled.
Satisfactory agreement for the central part of LSF was
received after introducing additional broadening exist-
ed in the experiments. It is shown that the results of
different experiments on magnitude and position of
side-band peaks have visible disagreement with one
another and with the theory.
PACS: 05.10.–a Computational methods in statistical
physics and nonlinear dynamics;
05.30.–d Quantum statistical mechanics.
05.60.–k Transport processes;
76.20.+q General theory of resonances and re-
laxations.
Keywords: nuclear magnetic resonance, free induction
decay, resonance line shape function, electron para-
magnetic resonance, disordered media, magnetically
diluted media, spin dynamics, convolution master
equation, convolutionless master equation.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 1 21
1. Введение
2. Основы теории
3. Сопоставление теории с экспериментальными результатами и численным моделированием
4. Заключение
|