Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды
Предложены новые представления тензорных функций Грина уравнений Максвелла в плоскослоистой бианизотропной среде через скалярные потенциалы. Спектральные тензорные функции Грина исследованы в рамках теории обобщенных функций, причем явно определены регулярная и сингулярная составляющие спектральных...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2000 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2000
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122199 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды / Н.П. Жук, А.В. Малюскин, С.Н. Шульга // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 291-300. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244959405277184 |
|---|---|
| author | Жук, Н.П. Малюскин, А.В. Шульга, С.Н. |
| author_facet | Жук, Н.П. Малюскин, А.В. Шульга, С.Н. |
| citation_txt | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды / Н.П. Жук, А.В. Малюскин, С.Н. Шульга // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 291-300. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радиофизика и радиоастрономия |
| description | Предложены новые представления тензорных функций Грина уравнений Максвелла в плоскослоистой бианизотропной среде через скалярные потенциалы. Спектральные тензорные функции Грина исследованы в рамках теории обобщенных функций, причем явно определены регулярная и сингулярная составляющие спектральных диад Грина.
Запропоновано нові зображення тензорних функцій Гріна рівнянь Максвелла у плоскошаруватому біанізотропному середовищі через скалярні потенціали. Спектральні тензорні функції Гріна досліджено за допомогою теорії узагальнених функцій. Отримано явні вирази для регулярної та сингулярної частини спектральних діад Гріна.
The novel representations of the dyadic Green’s functions of Maxwell’s equations in plane-layered bianisotropic medium through scalar potentials are found. The spectral dyadic Green’s functions were investigated using theory of generalized functions. The formulas for the regular and singular constituents of spectral Green’s functions were obtained in explicit form.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:35:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3, стр. 291-300
© Н. П. Жук, А. В. Малюскин, С. Н. Шульга, 2000
УДК 537.8
Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой
бианизотропной среды
Н. П. Жук, А. В. Малюскин, С. Н. Шульга
Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина,
Украина, 61077, Харьков, пл. Свободы, 4
Статья поступила в редакцию 17 апреля 2000 г., после переработки 26 октября 2000 г.
Предложены новые представления тензорных функций Грина уравнений Максвелла в плоскослоистой
бианизотропной среде через скалярные потенциалы. Спектральные тензорные функции Грина исследова-
ны в рамках теории обобщенных функций, причем явно определены регулярная и сингулярная составля-
ющие спектральных диад Грина.
Запропоновано нові зображення тензорних функцій Гріна рівнянь Максвелла у плоскошаруватому
біанізотропному середовищі через скалярні потенціали. Спектральні тензорні функції Гріна досліджено за
допомогою теорії узагальнених функцій. Отримано явні вирази для регулярної та сингулярної частини
спектральних діад Гріна.
Введение
Бианизотропные среды представляют собой
класс линейных сред, характеризуемый материаль-
ными уравнениями, в которых как электрическая
( )RD , так и магнитная ( )RB индукции определя-
ются одновременно напряженностями электричес-
кого ( )RE и магнитного ( )RH полей ( ), , :R x y z=
ˆˆ ,D E H= ε ⋅ + ξ⋅ ˆ ˆB E H= −ζ ⋅ + μ ⋅ (1)
В соотношениях (1), которые справедливы для по-
лей, изменяющихся по гармоническому закону
(exp( )),i t− ω тензоры второго ранга ( )Rε̂ , ( )Rμ̂ –
диэлектрическая и магнитная проницаемости сре-
ды соответственно, а параметры ( )ˆ ,Rξ ( )ˆ Rζ яв-
ляются тензорами магнитоэлектрического взаимо-
действия. В зависимости от вида материальных
тензоров ε̂ , μ̂ , ˆ,ξ ζ̂ различают подмножества вза-
имных биизотропных (киральных) сред, невзаим-
ных биизотропных (Теллегинских) сред, природ-
ных магнитоэлектрических кристаллов и искусст-
венных бианизотропных сред. Общая классифика-
ция бианизотропных сред, основанная на структу-
ре тензоров магнитоэлектрического взаимодей-
ствия ˆ,ξ ζ̂ , приведена в работе [1].
Электромагнитные свойства бианизотропных
сред интенсивно исследуются в последние годы, что
связано с потенциальными возможностями биани-
зотропных материалов при создании новых прибо-
ров СВЧ и устройств антенной техники.
При изучении взаимодействия электромагнит-
ных волн с материальными средами удобно, а
иногда и необходимо, оперировать функциями
Грина (ФГ) уравнений Максвелла. Аппарат фун-
кций Грина уравнений Максвелла позволяет в
замкнутой форме получить компактные выраже-
ния для волнового поля, порождаемого сторон-
ними или наведенными источниками. Для изот-
ропных, а также одноосных анизотропных сред
ФГ построены в работах [2], [3]. В работе [4]
найдены спектральные ФГ однородной безгра-
ничной бианизотропной среды. Данная работа
посвящена построению ФГ краевых задач элек-
тродинамики в произвольной бианизотропной
плоскослоистой среде. Решение находится в рам-
ках метода скаляризации [5] электромагнитного
поля, применявшегося ранее к решению задач
дифракции электромагнитных волн в слоистых
анизотропных средах.
Н. П. Жук, А. В. Малюскин, С. Н. Шульга
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3292
1. Сведение векторной дифракции
электромагнитного поля к краевой задаче
для скалярных потенциалов
Плоскослоистая бианизотропная среда, рас-
сматриваемая в настоящей работе, занимает об-
ласть пространства 0 ,z< < +∞ ,x y−∞ < < +∞ и
характеризуется тензорами диэлектрической ( )ˆ zε
и магнитной ( )ˆ zμ проницаемостей и тензорами
магнитоэлектрического взаимодействия ( )ˆ ,zξ
( )ˆ zζ . Слоистый характер среды заключается в том,
что имеют место следующие обстоятельства либо
их сочетания: 1) величины ε̂ , μ̂ , ˆ,ξ ζ̂ непрерыв-
но зависят от вертикальной координаты z; 2) среда
является кусочно-однородной, т. е. существуют
границы раздела z = const, на которых свойства
среды изменяются скачкообразно.
В декартовой системе координат x, y, z тензоры
ε̂ , μ̂ , ˆ,ξ ζ̂ характеризуются комплексными, в
общем случае девятикомпонентными матрицами,
элементы которых являются произвольными фун-
кциями координаты z и не зависят от ( )yxr ,= .
При z = 0 среда ограничена импедансной поверх-
ностью, свойства которой определяются [6] тензо-
ром импеданса L̂ . Уравнения Максвелла для на-
пряженностей ( ),E R ( )H R , монохроматическо-
го электромагнитного поля в бианизотропной
( +∞<< z0 ) среде имеют вид:
( ) ( )0
ˆˆ 4 ,H ik E H c J∇ × + ε ⋅ + ξ ⋅ = π
(2)
( ) ( )0
ˆˆ 4 .E ik H E c M∇× − μ ⋅ − ζ ⋅ = − π
Здесь ( )RJJ ≡ и ( )RMM ≡ – объемные плотно-
сти сторонних объемных электрического и маг-
нитного токов соответственно, расположенных в
среде и не пересекающих границ раздела;
ck ω=0 ; с – скорость света в вакууме. На повер-
хностях раздела z = const, при отсутствии наве-
денных токов, тангенциальные компоненты напря-
женностей электромагнитного поля ,E τ H τ
( 0 0E zτ ⋅ = , 0 0H zτ ⋅ = , 0z – единичный вектор оси
z) удовлетворяют обычным условиям непрерывно-
сти. На импедансной поверхности z = +0 танген-
циальные компоненты поля удовлетворяют импе-
дансным граничным условиям
0
ˆ 0.E L z Hτ τ− ⋅ × = (3)
Рассмотрим случай, когда сторонние источни-
ки описываются пространственными гармониками
с волновым вектором ( , ,0):x yχ = χ χ
( ), ) exp ,J R J z i r= χ χ ⋅( ) (
(4)
( ), ) exp .M R M z i r= χ χ ⋅( ) (
Здесь величины , ),J zχ( , )M zχ( определяют век-
торные амплитуды источников, волновой вектор χ
в общем случае является комплексным вектором.
Как известно, соотношения (1) описывают линей-
ные анизотропные среды и учитывают эффекты
пространственной дисперсии первого порядка по
волновому вектору плоских волн [7]. Для неодно-
родных плоских волн (4) в среде с пространствен-
ной дисперсией существуют ограничения на зна-
чения волнового вектора, определяемые диспер-
сионным уравнением для пространственных гар-
моник. Подробное освещение этого вопроса для
однородных нормальных волн в анизотропной сре-
де с пространственной дисперсией имеется в ра-
боте [8]. Выбор сторонних источников в форме (4)
обусловлен тем фактом, что широкий класс воз-
буждающих источников может быть представлен
в виде соответствующей суперпозиции простран-
ственных гармоник (4). Из (2)-(4) следует, что элек-
тромагнитное поле также представимо в виде про-
странственных гармоник:
( ), ) exp ,E R E z i r= χ χ ⋅( ) (
(5)
( ), ) exp ,H R H z i r= χ χ ⋅( ) (
где ), zE χ( , ( )zH ,χ – векторные амплитуды поля.
Основная цель данного раздела заключается в том,
чтобы найти представление векторных амплитуд
через две скалярные величины – скалярные потен-
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды
293
циалы. Для этого введем правовинтовой базис век-
торов [5]
,la n= 0 ,ta z n= × 0 ,za z= (6)
здесь χχ=n – единичный вектор ( 1n n∗⋅ =
( )1 2∗χ = χ ⋅χ ), лежащий в плоскости z = 0, (символ
“*” означает комплексное сопряжение). Ветвь квад-
ратного корня выбрана так, что 0 arg≤ χ < π . Всю-
ду в дальнейшем считается, что 2 2| | | | 0x yχ + χ ≠ .
Заметим, что введенная согласно определению (6)
система векторов ортогональна:
.a aσ τ στ⋅ = δ
Здесь , , , ;z l t στσ τ = δ – символ Кронекера.
Умножив скалярно уравнения Максвелла (2) на
векторы ,za la , получим формулы, выражающие
величины ( ), ,z la E z⋅ χ , ( ), ,z la H z⋅ χ в терминах
скалярных функций
( ) ( )
( ) ( )
, , ,
, ,
t
t
z a E z
z a H z
χ ≡ ⋅ χ
χ ≡ ⋅ χ
E
H
(7)
и их первых производных по z. Вспомогатель-
ные функции ( ),zχE , ( ),zχH , в согласии с лите-
ратурой, посвященной рассеянию элетромагнит-
ных волн в анизотропных средах, принято назы-
вать “потенциалами” [2], [3]. В случае действи-
тельного, отличного от нуля вектора χ потен-
циалы (7) имеют физический смысл проекций
соответствующих векторных амплитуд простран-
ственных гармоник на направление в плоскости
z = 0, перпендикулярное направлению распрост-
ранения волны n .
После несложных преобразований можно по-
лучить представление векторных амплитуд
, )E zχ( , ( ),H zχ через скалярные потенциалы
( ),zχE , ( ),zχH :
( ) ( ) ( ), , ,e eE z v z w zχ = χ − χ +E H
( ) ( ) ( )ˆ ˆ4 , , ,ee emi J z M z⎡ ⎤+ π ω α ⋅ χ − α ⋅ χ⎣ ⎦
(8)
( ) ( ) ( ), , ,m mH z v z w zχ = χ + χ +H E
( ) ( ) ( )ˆ ˆ4 , , .mm mei M z J z⎡ ⎤+ π ω α ⋅ χ − α ⋅ χ⎣ ⎦
Здесь vβ , wβ ( ),e mβ = – векторные дифферен-
циальные операторы, действующие по z и завися-
щие от ,χ n :
( )1
0 0 0e l z ll lzw nt z t k z p np−= + + χ − +⎡⎣
( )0 ,zz zl zi np z p+ − ∂ ⎤⎦ (9)
( )1
0 0 0 0e l z lz l lv z n nv z v k nr z r− ⎡= × + + + χ − +⎣
( )0 .zl zz zi z r nr+ − ∂ ⎤⎦ (10)
Соответствующие выражения для оператора
mw получают заменой t uσ σ→ , στστ → qp в урав-
нении (9). Аналогично, выражения для оператора
mv получают заменой ,v wσ σ→ r sστ στ→ в урав-
нении (10), индексы σ, τ принимают значения l, z.
Индекс ,e mβ = в величинах типа β ,v βw указы-
вает на то, что соответствующая величина связа-
на с электрической либо магнитной составляю-
щей электромагнитного поля. Используемые ниже
обозначения типа ˆ emα определяют тот факт, что
соответствующая величина связана как с элект-
рической, так и с магнитной составляющей элек-
тромагнитного поля.
В формулах (9), (10) z z∂ = ∂ ∂ , ˆ ˆ, ...,ee mmα α –
диадные функции вектора n и переменной z:
0 0 0 0ˆ ,ee lz zl zz llnz p z np nnp z z pα = + − − (11)
0 0 0 0ˆ .em lz zl zz llnz r z nr nnr z z rα = + − − (12)
Выражения для функции ˆ mmα получают заменой
p qστ στ→ в уравнении (11), аналогично выраже-
Н. П. Жук, А. В. Малюскин, С. Н. Шульга
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3294
ния для функции ˆ meα получают заменой r sστ στ→
в уравнении (12). Индексы σ, τ принимают значе-
ния l, z.
Скалярные функции ,pστ ,qστ ,rστ ,sστ ,tσ ,uσ
,vσ wσ , ),,( zl=τσ , приведены в Приложении 1.
Умножим скалярно уравнения Максвелла (2) на
вектор .ta Подстановка в эти соотношения полу-
ченных ранее величин ( ), ,z la E z⋅ χ ( ), ,z la H z⋅ χ
дает систему связанных дифференциальных урав-
нений второго порядка для скалярных потенциалов
( ) ( ) ( ) ( ), , 4 , ,ss sp sD z D z c q zχ + χ = π χH E
(13)
( ) ( ) ( ) ( ), , 4 , .ps pp pD z D z c q z− χ + χ = π χH E
В уравнениях (13) ( )ν ,q zχ – функции сторонних
источников, λνD – операторы типа Штурма-Лиу-
вилля ( , ,p sλ ν = ):
( ) ( )0 zss z zz z z lz zl z l z lD p i p p ik b t= ∂ ∂ + χ ∂ + ∂ + ∂ − ∂ +
( ),0
2
μ
2
0 zzll tbkpk −χ+χ−δ+ (14)
( ) ( )0sp z zz z z lz zl z z l l zD r i r r ik d v= ∂ ∂ + χ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ +
( ).0
2
ζ
2
0 zzll vdkrk +χ+χ−δ+ (15)
Соответствующие выражения для оператора
ppD получают заменой ,b cσ σ→ ,t uσ σ→
,εμ δ→δ στστ → qp в уравнении (14), аналогич-
но, выражения для оператора psD получают за-
меной ,σσ → fd ,σσ → wv ,ζ ξδ → δ στστ → sr в
уравнении (15); индексы σ, τ принимают значе-
ния l, z.
( ) ( )[ −−χ+∂=χ zlllzzs bikpipzzq 00,
( ) ( )0 ,z zz zl ln p i p ik b J z− ∂ + χ + ⋅ χ +⎤⎦
( )0z zz zl ln r i r ik d+ ∂ + χ + −⎡⎣
( ) ( )0 0 0 0 , ,z lz ll zz r i r ik d ik z n M z− ∂ + χ − − × ⋅ χ⎤⎦ (16)
( ) ( )[ −+χ+∂=χ lzlzzzp cikqiqnzq 0,
( ) ( )0 0 ,z lz ll zz q i q ik c M z− ∂ + χ − ⋅ χ +⎤⎦
( )[ −+χ+∂ lzlzzz fiksisn 0
( ) ( )0 0 0 0 , .z lz ll zz s i s ik fd ik z n J z− ∂ + χ − − × ⋅ χ⎤⎦ (17)
Скалярные функции ,σb ,σc ,σd ,fσ
( ),, zl=σ αδ ( )ζξμε=α ,,, приведены в Прило-
жении 1.
Рассмотрим, как преобразуются импедансные
граничные условия (3), записанные в терминах
скалярных потенциалов. Подставляя (8) в (3) на
импедансной границе z = +0, получим пару соот-
ношений, связывающих скалярные потенциалы и
их первые производные по z:
( ) ( ) ( ) ( ) ,000 =χ∂++χ∂+ ,zbaik,zbaik zspspzssss EH
(18)
( ) ( ) ( ) ( ) .0,00 =χ∂++χ∂+ zbaik,zbaik zppppzpsps EH
Коэффициенты ,νλa νλb ( ), ,p sν λ = приведены в
Приложении 2. Таким образом, краевая электроди-
намическая задача для векторного электромагнит-
ного поля сводится, в рамках предложенного мето-
да, к системе связанных дифференциальных урав-
нений второго порядка (13) с граничными условия-
ми (18) для двух величин – скалярных потенциалов.
Соотношения (13), (18) являются исходным пунк-
том при построении скаляризованных представле-
ний тензорных ФГ уравнений Максвелла для плос-
кослоистых бианизотропных сред.
2. Тензорные ФГ плоскослоистой
бианизотропной среды
Решение задачи возбуждения электромагнит-
ного поля объемными источниками ,J M мо-
жет быть записано с помощью тензорных ФГ
( )zzG ′χαβ ,,ˆ ( )me,, =βα в виде:
( ) ( ) ( )
0
ˆ, d , , ,eeE z z G z z J z
+∞
⎡′ ′χ = χ ⋅ χ +⎣∫
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды
295
( ) ( )ˆ , , , ,emG z z M z ⎤′+ χ ⋅ χ ⎦
( ) ( ) ( )
0
ˆ, d , , ,meH z z G z z J z
+∞
⎡′ ′χ = χ ⋅ χ +⎣∫
( ) ( )ˆ , , , .mmG z z M z ⎤′+ χ ⋅ χ ⎦
(19)
Пространственные тензорные ФГ ( )RRG ′βα ,ˆ свя-
заны со спектральными ФГ посредством обратно-
го преобразования Фурье
( ) ( ) ( ) ( )2ˆ ˆ, 2 d exp , , .G R R i r r G z z−
αβ αβ′ ′ ′= π χ χ ⋅ − χ⎡ ⎤⎣ ⎦∫
(20)
Построим теперь спектральные тензоры Грина
для случая, когда на поверхностях раздела z = const
отсутствуют наведенные токи и, кроме того, на
бесконечности при ∞→z отсутствуют какие-либо
источники.
Определим скалярные функции
( ) ( )zzGz s ′χ≡χ ν ,,,H , ( ) ( )zzGz p ′χ≡χ ν ,,,E ( , )p sν =
как решение краевой задачи (13), (18) с источни-
ками вида
( ) ( ) ( ),4, zzczq p ′−δπ=χ ( ), 0sq zχ ≡ ( );pν =
(21)
( ) ( ) ( ),4, zzczqs ′−δπ=χ ( ), 0pq zχ ≡ ( ).sν =
Здесь ( )zz ′−δ – дельта-функция Дирака. Функ-
ции λνG должны также удовлетворять условию
излучения в бесконечности, например, убывать
при +∞→z , если среда в бесконечности облада-
ет диссипативными потерями. Решение краевой
задачи (13), (18) с произвольными источниками
,p sq можно, в силу линейности уравнений (13),
представить в виде:
( ) ( ) ( ) ( )
0
, 4 d , , ,pp pz c z G z z q z
+∞
′ ′⎡χ = π χ χ +⎣∫E
( ) ( ), , , ,ps sG z z q z′ ⎤+ χ χ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )
0
, 4 d , , ,sp pz c z G z z q z
+∞
′ ′⎡χ = π χ χ +⎣∫H
( ) ( ), , , .ss sG z z q z′+ χ χ ⎤⎦
(22)
Не останавливаясь на определении функций
Gνλ , ограничимся замечанием, что указанные фун-
кции могут быть найдены в виде суперпозиции
линейно-независимых решений однородной крае-
вой задачи (13), (18), аналогично случаю изотроп-
ной [2] либо одноосной [9] плоскослоистой cреды.
В свою очередь, решение однородной краевой за-
дачи (13), (18) может быть найдено строго анали-
тически стандартными методами (см., например,
[10]) в случае однородного бианизотропного слоя,
либо численно – методом конечных разностей – в
случае неоднородного слоя.
Отметим далее, что тензорные ФГ ( )zzG ′χαβ ,,ˆ
не являются обычными (локально интегрируемы-
ми) функциями, а принадлежат классу обобщен-
ных функций [3], [9]. Учтем представление (22) в
уравнениях (8), понимая операции дифференциро-
вания по z и интегрирования по z′ в рамках тео-
рии обобщенных функций [11]. Осуществим пере-
становку операций дифференцирования по z и ин-
тегрирования по ,z′ принимая во внимание опре-
деление источников ,p sq (16), (17). Сравнив резуль-
тат с представлением (19), можно легко получить
итоговые представления для спектральных тензо-
ров Грина через скалярные функции ( )zzGsν ′χ ,, ,
( )zzGpν ′χ ,, , ( sp,=ν ):
( ) ( ) ( ) ( )+′−δαπ=′χ zzznckizzG eeee ,ˆ4,,ˆ
0
( ) ( ) ( )04 ,e e pp e ps e e ss e spik c v v G w G w wG v G⎡ ⎤+ π − + −⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )0
ˆ ˆ, , 4 ,em emG z z i ck n z z z′ ′χ = − π α δ − +
( ) ( ) ( )04 ,e m ps m pp e m ss m spik c v v G w G w v G w G⎡ ⎤+ π − − −⎣ ⎦
Н. П. Жук, А. В. Малюскин, С. Н. Шульга
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3296
( ) ( ) ( ) ( )0
ˆ ˆ, , 4 ,me meG z z i ck n z z z′ ′χ = π α δ − +
( ) ( ) ( )04 ,m e ps e ss m e pp e psik c v v G w G w v G w G⎡ ⎤+ π − + −⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )0
ˆ ˆ, , 4 ,mm mmG z z i ck n z z z′ ′χ = π α δ − +
( ) ( ) ( )04 .m m ss e sp m m ps m ppik c v v G w G w v G w G⎡ ⎤+ π + + +⎣ ⎦
(23)
Здесь ,wβ βv
~
– векторные дифференциальные опе-
раторы, действующие по z и зависящие от ,χ n :
( )1
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )e l z zl llw nb z z b z k np z z p z−′ ′ ′ ′= + + χ − +⎡⎣
( )0( ) ( ) ,zz lzi np z z p z z′ ′ ′+ − ∂ ∂ ⎤⎦
(24)
(1
0 0 0( ) ( ) ( )e l z zlv z n nf z z f z k ns z−′ ′ ′= − × + + + χ −⎡⎣
) ( )0 0( ) ( ) ( ) ;ll zz lzz s z i ns z z s z z′ ′ ′ ′− + − ∂ ∂ ⎤⎦
me ww
~~
→ ( ),, στστσσ →→ qpcb
(25)
me vv
~~
→ ( )., στστσσ →→ rsdf
Соотношения (23) – это скаляризованные представ-
ления тензорных спектральных ФГ ( )zzGαβ ′χ ,,ˆ че-
рез четыре скалярных ФГ ( )zzG ′χντ ,, , ( me,, =βα ;
sp,, =τν ), которые являются решениями краевой
задачи (13), (18) с источниками вида (21).
Обратим внимание на то, что величина
( ) zzzG ∂′χ∂ λν ,, как функция переменной z′ ис-
пытывает в точке zz ′= скачок, величину которо-
го обозначим через ( )zh ,χλν :
( ) ( ) 0
0
, ,
, .
z z
z z
G z z
h z
z
′= +
λν
λν
′= −
′∂ χ
χ ≡
∂
Из определения величины ( )zh ,χλν следует, что
( ) ( ) 0
0
, ,
, .
z=z
z z
G z z
h z
z
′+
λν
λν
′= −
′∂ χ
′χ ≡
∂
Последнее свойство позволяет найти ( )zh ′χλν ,
в явном виде, проинтегрировав дифференциальные
уравнения для потенциалов ( ) ( )ν, , ,sz G z z′χ ≡ χH ,
( ) ( ), , ,pvz G z z′χ ≡ χE ( sp,=ν ) по z в пределах от
z − η до z + η и затем положив 0→η . В резуль-
тате получим систему линейных алгебраических
уравнений для величин ,sνh pνh , решение кото-
рой можно записать в виде:
( ), ,ss zzh z qχ = Δ ( ) ,~, Δ−=χ zzsp rzh
( ), ,ps zzh z sχ = Δ ( ), ,pp zzh z pχ = Δ
где zzzzzzzz srpq +=Δ~ . Обобщенная производная
функции ( ) zzzG ∂′χ∂ λν ,, по переменной z′ вы-
числяется с помощью хорошо известного правила
дифференцирования скачкообразно меняющейся
функции, которое в нашем случае может быть за-
писано в виде:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2, , , ,
, ,
o
G z z G z z
z z h z
z z z z
λν λν
λν
′ ′∂ χ ∂ χ
′ ′= − δ − χ
′ ′∂ ∂ ∂ ∂
(26)
где индексом “о” обозначены производные, по-
нимаемые в обычном смысле. Учитывая, что
( ) ( )2 2, , , , ,G z z z z G z z z zλν λν′ ′ ′ ′∂ χ ∂ ∂ = ∂ χ ∂ ∂ приме-
ним формулу (26) для вычисления вторых смешан-
ных производных в скаляризованных представле-
ниях (23). После группировки членов, содержащих
дельта-функции, получаем:
( ) ( )+′χ=′χ αβαβ zzGzzG reg ,,ˆ,,ˆ
( ) ( ) ( ).4 000 zGzzzzcik s ′′−δπ+ αβ (27)
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды
297
Регулярная часть ФГ ( )zzGreg ′χαβ ,,ˆ является ин-
тегрируемой функцией по каждой из переменных
z, z ′ и определяется в (23) членами, не содержа-
щими дельта-функцию, при этом все обобщенные
производные необходимо понимать в обычном
смысле. Сингулярная часть ФГ определяется в (23)
членами, пропорциональными дельта-функции
( ).z z′δ − Коэффициенты sGαβ , фигурирующие при
δ-функции в (27), могут быть записаны в следую-
щем виде:
( ) ( ) ( )s ,ee zzG z z a z′ ′ ′= μ
(28)
( ) ( ) ( )s ;mm zzG z z a z′ ′ ′= ε
( ) ( ) ( )s ,me zzG z z a z′ ′ ′= ζ
(29)
( ) ( ) ( )s .em zzG z z a z′ ′ ′= −ξ
В соотношениях (29)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )zzzzza zzzzzzzz ′ζ′ξ+′μ′ε=′ , а , ,zz zzμ ε… –
компоненты соответствующих тензоров ˆˆ , ,μ ε…
вдоль оси z (см. Приложение 1). Физический смысл
представления (27) заключается в выявлении син-
гулярного поведения спектральных диад Грина
( )zzG ′χαβ ,,ˆ в плоскости источника zz ′= . Следу-
ет отметить, что регулярная и сингулярная часть
спектральных ФГ ( )zzG ′χαβ ,,ˆ определены одно-
значно и единственным образом в отличие от про-
странственных тензорных ФГ.
Построим теперь тензоры Грина для частного
случая, когда бианизотропная среда занимает слой
0 < z < b, а пространство +∞<< zb занято одно-
родной изотропной средой с диэлектрической про-
ницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ.
Кроме того, примем, что точка локализации ис-
точника находится внутри бианизотропного слоя
bz <<0 , а точка наблюдения – в изотропном по-
лупространстве ∞<< zb (см. рис. 1).
Введем в рассмотрение векторы ( )zA ,χλα
(λ = p, s; α = e, m), определяющие p-поляризован-
ную ( αpA ) и s-поляризованную ( αsA ) составляю-
щие электромагнитного поля, создаваемого в по-
лупространстве ∞<< zb источником электричес-
кого ( e=α ) или магнитного ( m=α ) типа, распо-
ложенным в области бианизотропного слоя.
Учитывая определение операторов (9)-(10) и
скалярных функций ( )zzG ′χνλ ,, , для рассматри-
ваемой геометрии нетрудно получить спектраль-
ные ФГ:
( ) ( ) ( )0
ˆ , , 4 ,e pG z z i c z nA zα α⎡′ ′χ = π × χ +⎣
( ) ( ) ( )0 0, exp ,sn z A z k i z bα ⎤+ γ − χ χ ε γ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎦
(30)
( ) ( ) ( )0
ˆ , , 4 ,m sG z z i c z nA zα α⎡′ ′χ = π × χ +⎣
( ) ( ) ( )0 0, exp ,pz n A z k i z bα ⎤+ χ − γ χ μ γ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎦
,0 bz <′< .∞<< zb
Здесь α = e, m; ( ) ( )1 22 2kγ = γ χ = − χ , εμ= 2
0
2 kk ;
а ветвь квадратного корня выбрана так, что
0 arg< γ ≤ π .
Явные выражения для векторных величин ναA
могут быть записаны в следующем виде:
Рис. 1. Геометрия задачи:
1 – точка локализации источника; 2 – точка наблю-
дения
0
b
0l
0n
L
θ
ε, μ, ξ, ζ( )z
Н. П. Жук, А. В. Малюскин, С. Н. Шульга
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3298
( ) ( ) ( ),,0,
~
,0,
~
, 0 zbGwzbGvkzA sepee ′−χ−′−χ=′χ λλλ
(31)
( ) ( )0, , 0,m m pA z k v G b zλ λ′ ′χ = χ − −
( ), 0, .m sw G b zλ ′− χ −
Приближенное аналитическое выражение для
пространственных ФГ ( )RRG ′αβ ,ˆ для случая, ког-
да точка наблюдения находится в изотропном по-
лупространстве без омических потерь, а точка ло-
кализации источника – внутри бианизотропного
слоя, можно получить, асимптотически вычисляя
инетегралы в (20) стандартным методом седловой
точки [2]. Введем сферическую систему коорди-
нат L, θ, ϕ с центром в точке ),,(0 byxR ′′= , лежа-
щей на внешней границе слоя (рис. 1). Здесь L –
расстояние между началом координат 0R и точкой
наблюдения R : ( ) ( )
1 22 2 ;L r r z b⎡ ⎤′= − + −⎣ ⎦ θ и ϕ –
углы сферической системы, ортонормированный
базис которой ,0l ,0ϑ 0ϕ определяется следую-
щим образом:
( ) ( )0 0
(cos cos ,cos sin ,sin ),
l R r r z z b L′= − + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
= θ ϕ θ ϕ θ
( ) 000 ϕ×=ϑ lR , (32)
( ) ,000 nzr ×=ϕ
где
( ) ( ) ( )0 cos ,sin ,0 .n r r r r r′ ′= − − = ϕ ϕ (33)
Декартовы координаты точки наблюдения будут
выражаться через L, θ, ϕ следующим образом:
cos cos ,x x L′− = ϑ ϕ
cos sin ,y y L′− = ϑ ϕ (34)
.sinϑ=− Lbz
В предположении 1>>kL , 20 π≤θ< , а так-
же пренебрегая вкладом волн, локализованных
вблизи слоя, из (20) и (30) получим выражение для
пространственных ФГ:
( ) ( ) ( )=′×−=′ RRGRlWRRG me ,ˆ,ˆ
β0β
( ) ( ) ( )
0 β 0 0 β 0
exp
2 , , sin ,p s
ikL
k A z W A z
cL
⎡ ⎤′ ′= ϕ χ − ϑ χ ϑ⎣ ⎦
(35)
( ) ( ) ( )1
β 0 β
ˆ ˆ, ,m eG R R W l R G R R−′ ′= × =
( ) ( ) ( )1
0 β 0 0 β 0
exp
2 , , sin ,s p
ikL
k A z W A z
cL
−⎡ ⎤′ ′= ϕ χ + ϑ χ ϑ⎣ ⎦
.,me=β
В выражениях (35) ( ) 21εμ=W – импеданс
изотропного полупространства, 0 0 0nχ = χ , вектор
0n определен соотношением (33), а величина
0 cos .kχ = θ Векторные величины Aνβ определе-
ны ранее соотношениями (31). Представление тен-
зорных ФГ в виде (35) позволяет определять элек-
тромагнитные поля в области изотропного полу-
пространства ,b z< < +∞ создаваемые объемными
источниками, локализованными внутри бианизот-
ропного слоя 0 .z b′< < Исследование ФГ для слу-
чая, когда точка локализации источника, равно как
и точка наблюдения, находятся в области изотроп-
ного полупространства, может быть выполнено с
использованием концепции диадного импеданса
( )ˆ ,L zχ для внешней поверхности слоя [12].
Заключение
Для произвольной плоскослоистой бианизот-
ропной среды построены представления тензорных
ФГ уравнений Максвелла через скалярные функ-
ции, определенные как удовлетворяющие услови-
ям излучения на бесконечности решения краевой
задачи (13), (18), (21). Полученные результаты по-
зволяют рассчитывать электромагнитные поля, со-
здаваемые объемными источниками в слоистых би-
анизотропных средах, что является актуальной за-
дачей при проектировании устройств микроэлект-
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3
Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды
299
роники, интерпретации данных неразрушающего
контроля, а также в ряде других приложений.
Приложение 1
В базисе (6) компоненты тензоров ,ˆˆ ε=η ,μ̂
,ξ̂ ζ̂ определяются следующим соотношением:
( ) ˆn a aστ σ τη = ⋅η⋅ ( ).,,, ztl=τσ (1.1)
В терминах компонент στη функции вектора n
и переменной z – ,στp ,στq ,στr στs – запишутся
следующим образом.
( ) ( )[ +ζμ−ζμξ+μμ−μμε= ττσστστ zlzlzzllzzlzzllp
( )σ τ τ .z ll z zl l+ξ μ ζ − μ ζ Δ⎤⎦ (1.2)
Выражения для функций στr получаются заменой
,ζ↔ε ξ↔μ в уравнении (1.2), а выражения
для функций στs и στq получаются заменой
,ζ↔ε ξ↔μ в выражениях для функций στr и
στp соответственно; индексы σ, τ принимают
значения l, t, z. Величина ( )χΔ=Δ определена
ниже соотношением (1.5).
В базисе (10) тензоры ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , ,η = ε μ ξ ζ характе-
ризуются 3 × 3-матрицами ηηηηη с компонентами τση ,
определенными соотношением (1.1). Введем в рас-
смотрение матрицу с размерами 6 × 6
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
εξ
ζμ
π (1.3)
и обозначим посредством ij
kmπ определитель мат-
рицы, получаемой из матрицы π вычеркивани-
ем i-го и j-го столбца и k-ой и m-ой строки
(i, j, k, m = 1, 2, ... , 6). С учетом сделанных обо-
значений величины ,tσ ,uσ ,vσ wσ , фигурирую-
щие в формулах (11), (12), и величины
,σb ,σc ,σd σf ( )zl,=σ из соотношений (16),
(17) запишутся в виде:
25
45 ,lb = π Δ 25
56 ;zb = −π Δ
25
15 ,ld = π Δ 25
35 ;zd = π Δ
45
25 ,lt = −π Δ 56
25 ;zt = −π Δ
24
25 ,lv = −π Δ 26
25 ;zv = −π Δ (1.4)
,σσ ↔ cb ,σσ ↔ fd
,σσ ↔ ut ,σσ ↔ wv
,μ↔ε ;ζ ↔ ξ
.2525π=Δ (1.5)
Обозначим через i
kπ определитель матрицы,
получаемой из π вычеркиванием i-го столбца и
k-ой строки (i, k =1, 2, ... , 6). Тогда функции αδ
( , , , )α = ε μ ξ ζ можно представить в виде:
,2
2 Δπ=δε 5
5 ,μδ = π Δ
(1.7)
,6
3 Δπ−=δξ 2
5 .ζδ = π Δ
Приложение 2
Величины ,aνλ ( ), , ,b p sνλ ν λ = фигурирующие
в граничных условиях (18), имеют вид:
( )01 ,pp lz l tta q k u L= + χ −⎡ ⎤⎣ ⎦
( )[ ] ,0 ttllztlps LwksLa +χ−=
( )
( )
0
0
,
,
pp ll l lt l lz lz tl
sp l l lt lz lz lt
a L w L t p s L k
a v u L r q L k
= − − + χ −
= − + χ +
(2.1)
,ttzzpp Lqb = ,ttzzps Lsb −=
,ltppzzsp Lqrb += .ss zz zz ltb p s L= −
Здесь все функции переменной z в правой части
вычисляются при z = +0,
( ) ( )ˆL L a L aστ στ σ τ≡ χ = ⋅ χ ⋅ ( ), , .l tσ τ = (2.2)
Н. П. Жук, А. В. Малюскин, С. Н. Шульга
Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3300
Литература
1. S. A. Tretyakov, A. H. Sihvola, A. A. Sochava,
C. R. Simovski. J. Electromagn. Waves Applic. 1998, 12,
pp. 481-497.
2. Л. Фелсен, Н. Маркувиц. Излучение и рассеяние волн.
Том 1, том 2. Москва, Мир, 1978, 547 с. (т. 1), 555 с.
(т. 2).
3. Н. П. Жук, О. А. Третьяков. Р Э. 1985, №5. c. 869-875.
4. A. Sihvola, I. V. Lindell. Helsinki University of Technology.
Electromagnetics Laboratory Report. 1997, No. 243,
рр. 1-12.
5. N. P. Zhuck. Int. J. Electronics. 1993, 75, pp. 141-148.
6. Н. П. Жук. Радиотехника и Электроника. 1989, 34, №12,
c. 2512-2518.
7. Ф. И. Федоров. Теория гиротропии. Минск, Наука и
техника, 1976.
8. В. М. Агранович, В. Л. Гинзбург. Кристаллооптика
с учетом пространственной дисперсии и теория эк-
ситонов. Москва, Наука, 1979, 432 с.
9. Н. М. Богомолов, Н. П. Жук. Возбуждение и рассеяние
волн в плоскослоистых средах. Харьков, ХГУ, 1992, 172 с.
10. В. П. Паламодов. Линейные дифференциальные
операторы. Москва, Наука, 1967, 487 с.
11. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщенные функции
и действия над ними. Москва, Наука, 1959, 470 с.
12. А. В. Малюскин, В. М. Шульга, С. Н. Шульга. Радио-
физика и Радиоастрономия. 2000, 5, №2, с. 158-165.
Green’s Tensors of Maxwell’s Equations in
Plane-Layered Bianisotropic Medium
N. P. Zhuck, A. V. Malyuskin, S. N. Shulga
The novel representations of the dyadic Green’s
functions of Maxwell’s equations in plane-layered bi-
anisotropic medium through scalar potentials are
found. The spectral dyadic Green’s functions were
investigated using theory of generalized functions.
The formulas for the regular and singular constitu-
ents of spectral Green’s functions were obtained in
explicit form.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-122199 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:35:31Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жук, Н.П. Малюскин, А.В. Шульга, С.Н. 2017-06-29T17:45:10Z 2017-06-29T17:45:10Z 2000 Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды / Н.П. Жук, А.В. Малюскин, С.Н. Шульга // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 291-300. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122199 537.8 Предложены новые представления тензорных функций Грина уравнений Максвелла в плоскослоистой бианизотропной среде через скалярные потенциалы. Спектральные тензорные функции Грина исследованы в рамках теории обобщенных функций, причем явно определены регулярная и сингулярная составляющие спектральных диад Грина. Запропоновано нові зображення тензорних функцій Гріна рівнянь Максвелла у плоскошаруватому біанізотропному середовищі через скалярні потенціали. Спектральні тензорні функції Гріна досліджено за допомогою теорії узагальнених функцій. Отримано явні вирази для регулярної та сингулярної частини спектральних діад Гріна. The novel representations of the dyadic Green’s functions of Maxwell’s equations in plane-layered bianisotropic medium through scalar potentials are found. The spectral dyadic Green’s functions were investigated using theory of generalized functions. The formulas for the regular and singular constituents of spectral Green’s functions were obtained in explicit form. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды Green’s Tensors of Maxwell’s Equations in Plane-Layered Bianisotropic Medium Article published earlier |
| spellingShingle | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды Жук, Н.П. Малюскин, А.В. Шульга, С.Н. |
| title | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды |
| title_alt | Green’s Tensors of Maxwell’s Equations in Plane-Layered Bianisotropic Medium |
| title_full | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды |
| title_fullStr | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды |
| title_full_unstemmed | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды |
| title_short | Тензоры Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды |
| title_sort | тензоры грина уравнений максвелла для плоскослоистой бианизотропной среды |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122199 |
| work_keys_str_mv | AT žuknp tenzorygrinauravneniimaksvelladlâploskosloistoibianizotropnoisredy AT malûskinav tenzorygrinauravneniimaksvelladlâploskosloistoibianizotropnoisredy AT šulʹgasn tenzorygrinauravneniimaksvelladlâploskosloistoibianizotropnoisredy AT žuknp greenstensorsofmaxwellsequationsinplanelayeredbianisotropicmedium AT malûskinav greenstensorsofmaxwellsequationsinplanelayeredbianisotropicmedium AT šulʹgasn greenstensorsofmaxwellsequationsinplanelayeredbianisotropicmedium |