Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I
Сформулирован ряд астрофизических задач, для решения которых необходимо исследование нелинейной стадии неустойчивости разрывных магнитогидродинамических течений (джетов, ударных волн, магнитного динамо)....
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2002
|
| Назва видання: | Радиофизика и радиоастрономия |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122321 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I / А.В. Кац // Радиофизика и радиоастрономия. — 2002. — Т. 7, № 3. — С. 232-245. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-122321 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1223212025-02-23T17:56:06Z Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I Variational Principles and Canonical Variables for MHD Flows with Breaks. I Кац, А.В. Сформулирован ряд астрофизических задач, для решения которых необходимо исследование нелинейной стадии неустойчивости разрывных магнитогидродинамических течений (джетов, ударных волн, магнитного динамо). Сформульовано ряд астрофізичних задач, для розв’язання яких необхідне дослідження нелінійної стадії нестійкості розривних магнітогідродинамічних течій (джетів, ударних хвиль, магнітного динамо). In the paper some astrophysical problems are formulated relating to magnetohydrodynamic flows with breaks (jets, shocks, etc.) which solving needs investigation of the nonlinear stage of instability. Автор признателен В. М. Конторовичу за плодотворное обсуждение вопросов, касающихся радиоастрономических и астрофизических приложений, и С. А. Деревянко за сотрудничество на подготовительном этапе работы. Работа выполнена при поддержке INTAS (грант 00-00292). 2002 Article Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I / А.В. Кац // Радиофизика и радиоастрономия. — 2002. — Т. 7, № 3. — С. 232-245. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122321 532, 533.95, 523, 551.46 ru Радиофизика и радиоастрономия application/pdf Радіоастрономічний інститут НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Сформулирован ряд астрофизических задач, для решения которых необходимо исследование нелинейной стадии неустойчивости разрывных магнитогидродинамических течений (джетов, ударных волн, магнитного динамо). |
| format |
Article |
| author |
Кац, А.В. |
| spellingShingle |
Кац, А.В. Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I Радиофизика и радиоастрономия |
| author_facet |
Кац, А.В. |
| author_sort |
Кац, А.В. |
| title |
Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I |
| title_short |
Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I |
| title_full |
Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I |
| title_fullStr |
Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I |
| title_full_unstemmed |
Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I |
| title_sort |
вариационные принципы и канонические переменные для мгд течений с разрывами. i |
| publisher |
Радіоастрономічний інститут НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122321 |
| citation_txt |
Вариационные принципы и канонические переменные для МГД течений с разрывами. I / А.В. Кац // Радиофизика и радиоастрономия. — 2002. — Т. 7, № 3. — С. 232-245. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Радиофизика и радиоастрономия |
| work_keys_str_mv |
AT kacav variacionnyeprincipyikanoničeskieperemennyedlâmgdtečenijsrazryvamii AT kacav variationalprinciplesandcanonicalvariablesformhdflowswithbreaksi |
| first_indexed |
2025-11-24T04:22:42Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:22:42Z |
| _version_ |
1849644194501492736 |
| fulltext |
Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3, ñ. 232-245
© À. Â. Êàö, 2002
ÓÄÊ 532, 533.95, 523, 551.46
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå
äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè. I
À. Â. Êàö
Èíñòèòóò ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû,
Óêðàèíà, 61085, ã. Õàðüêîâ, ïð. Àê. Ïðîñêóðû, 12
E-mail: avkats@akfirst.kharkiv.com
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 28 ìàÿ 2002 ã.
Ñôîðìóëèðîâàí ðÿä àñòðîôèçè÷åñêèõ çàäà÷, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìî èññëåäîâàíèå
íåëèíåéíîé ñòàäèè íåóñòîé÷èâîñòè ðàçðûâíûõ ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ òå÷åíèé (äæåòîâ,
óäàðíûõ âîëí, ìàãíèòíîãî äèíàìî).
 êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà â ðàáîòå ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå âàðèàíòû âàðèàöèîííîãî ïðèí-
öèïà ïðèìåíèòåëüíî ê ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèì òå÷åíèÿì ñ ðàçðûâàìè â ýéëåðîâîì ïðåä-
ñòàâëåíèè êàê â ëàãðàíæåâûõ, òàê è â ãàìèëüòîíîâûõ (êàíîíè÷åñêèõ) ïåðåìåííûõ. Îáîáùåí-
íîå ïðåäñòàâëåíèå Êëåáøà äëÿ ñêîðîñòè ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ, â êîòîðûé âêëþ-
÷åíû óðàâíåíèÿ ñâÿçåé. Îáñóæäàåòñÿ êàëèáðîâî÷íàÿ ñâîáîäà, ñâÿçàííàÿ ñ ââåäåíèåì îáîáùåí-
íûõ ïîòåíöèàëîâ, îïèñûâàþùèõ ïîëå ñêîðîñòè. Èñïîëüçóåìîå ïðåäñòàâëåíèå îáëàäàåò òåìè
ïðåèìóùåñòâàìè, ÷òî îíî îòâå÷àåò òå÷åíèÿì îáùåãî âèäà è ñîäåðæèò âñå âîçìîæíûå ïðåäåëü-
íûå ñëó÷àè (èçýíòðîïè÷åñêèå è áàðîòðîïíûå òå÷åíèÿ è ò. ï.). Ïðè ýòîì âñå èíâàðèàíòû (âêëþ-
÷àÿ òîïîëîãè÷åñêèå) îòëè÷íû îò íóëÿ. Êðîìå òîãî, îíî ïîçâîëÿåò êîððåêòíûé ïðåäåëüíûé
ïåðåõîä ê ñëó÷àþ îáû÷íîé ãèäðîäèíàìèêè, ÷òî òàêæå ïðèâîäèò ê íåíóëåâûì çíà÷åíèÿì âñåõ
ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ, âêëþ÷àÿ ñïèðàëüíîñòü. Äëÿ ââåäåííûõ îáîáùåííûõ ïîòåí-
öèàëîâ (èãðàþùèõ ðîëü îáúåìíûõ è ïîâåðõíîñòíûõ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ)
íàéäåíû òàêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ðàçðûâàõ, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò èõ ýêâèâàëåíòíîñòü
îáû÷íûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Ïðèíöèïèàëüíî íîâûì ìîìåíòîì ðàññìàòðèâàåìîãî ïîäõîäà
ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü îïèñàíèÿ â òåðìèíàõ êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ íå òîëüêî
êîíòàêòíûõ ðàçðûâîâ, íî òàêæå óäàðíûõ âîëí è âðàùàòåëüíûõ ðàçðûâîâ. Äîïîëíèòåëüíîãî
èññëåäîâàíèÿ òðåáóþò òàíãåíöèàëüíûå ðàçðûâû, ïîñêîëüêó ñôîðìóëèðîâàííûé âàðèàöèîí-
íûé ïðèíöèï ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òå èç íèõ, ó êîòîðûõ ñêà÷îê ñêîðîñòè ïåðïåíäè-
êóëÿðåí ñêà÷êó ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ïðåäëîæåííîå îïèñàíèå ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ðåøåíèå àêòóàëüíûõ àñòðîôèçè-
÷åñêèõ çàäà÷, à òàêæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ äðóãèõ ðîäñòâåííûõ çàäà÷.
Ñôîðìóëüîâàíî ðÿä àñòðîô³çè÷íèõ çàäà÷, äëÿ ðîçâ�ÿçàííÿ ÿêèõ íåîáõ³äíå äîñë³äæåííÿ íå-
ë³í³éíî¿ ñòà䳿 íåñò³éêîñò³ ðîçðèâíèõ ìàãí³òîã³äðîäèíàì³÷íèõ òå÷³é (äæåò³â, óäàðíèõ õâèëü,
ìàãí³òíîãî äèíàìî).
Ïåðøèì êðîêîì â ðîáîò³ ðîçãëÿíóò³ ð³çí³ âàð³àíòè âàð³àö³éíîãî ïðèíöèïó, ÿê³ äîçâîëÿþòü
ðîçãëÿäàòè ìàãí³òîã³äðîäèíàì³÷í³ òå÷³¿ ç ðîçðèâàìè â åéëåðîâîìó çîáðàæåíí³ ÿê ó ëàãðàíæåâèõ,
òàê ³ â ãàì³ëüòîíîâèõ (êàíîí³÷íèõ) çì³ííèõ. Óçàãàëüíåíå çîáðàæåííÿ Êëåáøà äëÿ øâèäêîñò³
îòðèìóþòü ç ôóíêö³îíàëó 䳿, äî ÿêîãî âêëþ÷åí³ ð³âíÿííÿ çâ�ÿçêó. Çîáðàæåííÿ, ÿêå âèêîðèñòî-
âóºòüñÿ, ìຠò³ ïåðåâàãè, ùî âîíî â³äïîâ³äຠòå÷³ÿì çàãàëüíîãî âèäó ³ ì³ñòèòü óñ³ ìîæëèâ³ ãðà-
íè÷í³ âèïàäêè (³çåíòðîï³÷í³ òà áàðîòðîïí³ òå÷³¿ ³ ò. ï.). Ïðè öüîìó âñ³ ³íâàð³àíòè (âëþ÷àþ÷è
òîïîëîã³÷í³) â³äì³íí³ â³ä íóëÿ. Êð³ì òîãî, âîíî äîçâîëÿº êîðåêòíèé ãðàíè÷íèé ïåðåõ³ä äî âèïàä-
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
233Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3
1. Ââåäåíèå
Ìàãíèòíàÿ ãèäðîäèíàìèêà (ÌÃÄ) ñôîðìè-
ðîâàëàñü êàê îòäåëüíîå íàïðàâëåíèå èññëåäî-
âàíèé áîëåå 50 ëåò íàçàä. Íà âñåì ïðîòÿæå-
íèè ñâîåãî ðàçâèòèÿ îíà îñòàåòñÿ òåñíî ñâÿ-
çàííîé ñ àñòðîôèçèêîé.  ÷àñòíîñòè, ïðèìå-
íåíèå ÌÃÄ îïèñàíèÿ ê çàäà÷àì ôèçèêè êîñ-
ìè÷åñêîé è çâåçäíîé ïëàçìû îñòàåòñÿ âåñüìà
àêòóàëüíûì è â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Îñîáûé
èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ðàçðûâíûå ÌÃÄ òå÷å-
íèÿ âáëèçè ðàçëè÷íûõ àñòðîôèçè÷åñêèõ îáúåê-
òîâ. Îòìåòèì çäåñü òàíãåíöèàëüíûå ðàçðûâû,
îãðàíè÷èâàþùèå ïîâåðõíîñòè äæåòîâ � çàìàã-
íè÷åííûõ êîñìè÷åñêèõ ñòðóé, ñîåäèíÿþùèõ
àêòèâíûå ÿäðà ãàëàêòèê ñ óäàëåííûìè ïðîòÿ-
æåííûìè êîìïîíåíòàìè, [1, 2]. Ëèíåéíîé òå-
îðèè óñòîé÷èâîñòè òàêèõ ñòðóé ïîñâÿùåíî
ìíîãî ðàáîò (ñì. ññûëêè â îáçîðå [3]). Èññëå-
äîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ðåæèìîâ è îáðàçîâàíèÿ
ñòðóêòóð â äæåòàõ ïðîâîäÿòñÿ ïðàêòè÷åñêè
òîëüêî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè íà ìîùíûõ êîì-
ïüþòåðàõ (ñì. [4]). Ïðîáëåìû ðàñïðîñòðàíå-
íèÿ è óñòîé÷èâîñòè óäàðíûõ âîëí òàêæå âåñü-
ìà àêòóàëüíû â àñòðîôèçè÷åñêèõ óñëîâèÿõ.
Óêàæåì çäåñü â êà÷åñòâå ïðèìåðà êðóã âîïðî-
ñîâ, ñâÿçàííûõ ñ èññëåäîâàíèåì çàäà÷è óñòîé-
÷èâîñòè óäàðíûõ âîëí â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ,
ãäå ëèíåéíàÿ òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè íåäîñòàòî÷-
íà è ïðèâîäèò ê âûâîäó î âîçìîæíîñòè íåçà-
òóõàþùèõ âîçìóùåíèé (íåéòðàëüíàÿ óñòîé÷è-
âîñòü). Â ðåçóëüòàòå óäàðíàÿ âîëíà ñïîíòàííî
èçëó÷àåò çâóê, ÿâëÿÿñü â ýòîì ñìûñëå íåóñòîé-
÷èâîé (íåóñòîé÷èâîñòü Äüÿêîâà � Êîíòîðîâè-
÷à).  íåäàâíåé ðàáîòå [5] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
ýòà íåóñòîé÷èâîñòü, îòñóòñòâóþùàÿ â èäåàëü-
íîì ãàçå, ðåàëèçóåòñÿ â ñëó÷àå Âàí-äåð-Âààëü-
ñîâà óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ, ÷òî ñðàçó ñäåëàëî
ïðîáëåìó î÷åíü àêòóàëüíîé. Íåçàâèñèìî àâ-
òîðû ðàáîòû [6] ïîêàçàëè, ÷òî îáðàòíîå âëèÿ-
íèå ðåëÿòèâèñòñêèõ ýëåêòðîíîâ, óñêîðåííûõ
óäàðíîé âîëíîé (è îòâåòñòâåííûõ çà ñèíõðî-
òðîííîå èçëó÷åíèå ìíîãèõ àñòðîôèçè÷åñêèõ
îáúåêòîâ), ïðèâîäèò ê âîçìîæíîñòè ðàçâèòèÿ
íåóñòîé÷èâîñòè Äüÿêîâà � Êîíòîðîâè÷à.
 ñâîå âðåìÿ Ñ. Ô. Ïèìåíîâ [7] ïîêàçàë, ÷òî
ýòà íåóñòîé÷èâîñòü ìîæåò ðàçâèòüñÿ çà ñ÷åò
âëèÿíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé íà ÌÃÄ óäàðíûå
âîëíû. Ãàìèëüòîíîâ ïîäõîä â ñîâîêóïíîñòè ñ
ñîîòâåòñòâóþùèì âàðèàöèîííûì ïðèíöèïîì
äîëæåí îêàçàòüñÿ âåñüìà ïðîäóêòèâíûì â ýòîé
è äðóãèõ ïîäîáíûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷àõ, íàïðè-
ìåð â çàäà÷å ìàãíèòíîãî äèíàìî. Îá ýòîì ñâè-
äåòåëüñòâóåò òîò ôàêò, ÷òî â ðîäñòâåííûõ çàäà-
÷àõ èññëåäîâàíèÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ [8-13]
è ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ òå÷åíèé [14, 15]
â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ðàçðûâíûõ òå÷åíèé � ïðè
íàëè÷èè ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè � èñïîëüçîâà-
íèå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ äàëî âîçìîæ-
íîñòü (áëàãîäàðÿ îáùíîñòè è õîðîøî ðàçâèòûì
ñòàíäàðòíûì ìåòîäàì) ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû, êî-
òîðûå âðÿä ëè óäàëîñü áû ïîëó÷èòü äðóãèìè
ìåíåå ýôôåêòèâíûìè ìåòîäàìè.
Îäíàêî, çà èñêëþ÷åíèåì êîíòàêòíûõ ðàç-
ðûâîâ, ãàìèëüòîíîâà òåõíèêà äëÿ òå÷åíèé ñ
äðóãèìè òèïàìè ðàçðûâîâ äî ïîñëåäíåãî âðå-
ìåíè îòñóòñòâîâàëà, ÷òî áûëî îáóñëîâëåíî
çíà÷èòåëüíûìè ìåòîäè÷åñêèìè è ïñèõîëîãè-
÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè (ñâÿçàííûìè ñ íåòðèâè-
àëüíîñòüþ ïîäõîäà). Â ðåçóëüòàòå, õîòÿ îïè-
ñàíèå ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ è ìàãíèòîãèäðîäè-
íàìè÷åñêèõ òå÷åíèé ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñ-
êó çâè÷àéíî¿ ã³äðîäèíàì³êè, ùî òàêîæ ïðèâîäèòü äî íåíóëüîâèõ çíà÷åíü óñ³õ ã³äðîäèíàì³÷íèõ
³íâàð³àíò³â, âêëþ÷àþ÷è ñï³ðàëüí³ñòü. Äëÿ ââåäåíèõ óçàãàëüíåíèõ ïîòåíö³àë³â (ÿê³ â³ä³ãðàþòü
ðîëü îá�ºìíèõ ³ ïîâåðõíåâèõ êàíîí³÷íèõ êîîðäèíàò òà ³ìïóëüñ³â) çíàéäåí³ òàê³ ãðàíè÷í³ óìîâè
íà ðîçðèâàõ, ÿê³ çàáåçïå÷óþòü ¿õ åêâ³âàëåíòí³ñòü çâè÷àéíèì ãðàíè÷íèì óìîâàì. Ïðèíöèïîâî
íîâèì ìîìåíòîì ó ï³äõîä³, ùî ðîçãëÿäÿºòüñÿ, º íåòðèâ³àëüíà ìîæëèâ³ñòü îïèñó â òåðì³íàõ êàíî-
í³÷íèõ çì³ííèõ íå ò³ëüêè êîíòàêòíèõ ðîçðèâ³â, àëå òàêîæ óäàðíèõ õâèëü ³ îáåðòàëüíèõ ðîçðèâ³â.
Äîäàòêîâîãî äîñë³äæåííÿ ïîòðåáóþòü òàíãåíö³àëüí³ ðîçðèâè, îñê³ëüêè ñôîðìóëüîâàíèé âàð³àö-
³éíèé ïðèíöèï äîçâîëÿº ðîçãëÿäàòè ëèøå ò³ ç íèõ, ó ÿêèõ ñòðèáîê øâèäêîñò³ ïåðïåíäèêóëÿðíèé
äî ñòðèáêà ìàãí³òíîãî ïîëÿ.
Çàïðîïîíîâàíèé îïèñ äîçâîëÿº ñóòòºâî ñïðîñòèòè ðîçâ�ÿçàííÿ àêòóàëüíèõ àñòðîô³çè÷íèõ çàäà÷,
à òàêîæ ìîæå áóòè âèêîðèñòàíèé äëÿ ³íøèõ ñïîð³äíåíèõ çàäà÷.
À. Â. Êàö
234 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò.7, ¹3
êèõ ïåðåìåííûõ óñïåøíî èñïîëüçóåòñÿ óæå
âåñüìà äàâíî (ñì., íàïðèìåð, ìîíîãðàôèè [16-
18] è íåäàâíèå îáçîðû [19, 20], à òàêæå öèòè-
ðóåìóþ òàì ëèòåðàòóðó), âîïðîñ îïèñàíèÿ ðàç-
ðûâíûõ òå÷åíèé â áåçäèññèïàòèâíîì ñëó÷àå
èññëåäîâàí åùå íåäîñòàòî÷íî. Óêàæåì çäåñü
ïèîíåðñêèå ðàáîòû [8, 9], â êîòîðûõ áûëè ââå-
äåíû ïîâåðõíîñòíûå ãàìèëüòîíîâû ïåðåìåí-
íûå äëÿ ïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ íåñæèìà-
åìîé æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé, ðà-
áîòû Êðàéêî, ïîñâÿùåííûå ñèëüíûì ñòàöèî-
íàðíûì ðàçðûâàì â ãàçîäèíàìèêå (ñì., íàïðè-
ìåð, [21], à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå ññûëêè
â [16]); îáîáùåíèå ïåðåìåííûõ Â. Å. Çàõàðî-
âà íà íåïîòåíöèàëüíûå òå÷åíèÿ ñî ñâîáîäíîé
ãðàíèöåé â îáû÷íîé è ìàãíèòíîé ãèäðîäèíà-
ìèêå [22]. Â íåäàâíèõ ðàáîòàõ [23, 24] áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî ãàìèëüòîíîâî îïèñàíèå ïðèìå-
íèìî òàêæå äëÿ óäàðíûõ âîëí è òàíãåíöèàëü-
íûõ ðàçðûâîâ â îáû÷íîé ãèäðîäèíàìèêå. Çà-
ìåòèì, ÷òî ïðè ýéëåðîâîì îïèñàíèè äâèæåíèÿ
êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ âñïî-
ìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå òèïà Êëåáøà, îïðå-
äåëÿþùèå ïðåäñòàâëåíèå ñêîðîñòè (ñì., íàïðè-
ìåð, [16-19]). Ïðè ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ äâè-
æåíèé îáùåãî òèïà ñòàíäàðòíîå ïðåäñòàâëåíèå
Êëåáøà, âêëþ÷àþùåå ïîìèìî ñêàëÿðíîãî ïî-
òåíöèàëà ϕ äâå âñïîìîãàòåëüíûå ñêàëÿðíûå ïå-
ðåìåííûå µ è λ, êîòîðûå èãðàþò ðîëü îáîá-
ùåííîé êîîðäèíàòû è ñîïðÿæåííîãî ê íåé
èìïóëüñà ñîîòâåòñòâåííî, ÿâëÿåòñÿ íåäîñòàòî÷-
íûì, åñëè îãðàíè÷èòüñÿ îäíîçíà÷íûìè ôóíê-
öèÿìè. Äëÿ êîððåêòíîãî îïèñàíèÿ íåîáõîäèìî
ââåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðíûõ ïåðåìåí-
íûõ µ
r
è .λ
r
Âåëè÷èíà µ
r
èìååò ñìûñë ëàã-
ðàíæåâîé ìåòêè æèäêîé ÷àñòèöû è, ñëåäîâà-
òåëüíî, ïåðåíîñèòñÿ æèäêîñòüþ. Êàê áûëî
âïåðâûå (íàñêîëüêî èçâåñòíî àâòîðó) ïîêàçà-
íî â ðàáîòå [25], òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ìîæåò
áûòü ïîëó÷åíî ââåäåíèåì â ïëîòíîñòü äåé-
ñòâèÿ ÷ëåíà Dλ µ
r r
ñîîòâåòñòâóþùåãî ñâÿçÿì,
ãäå ( , )tD = ∂ + ∇r
v îáîçíà÷àåò ñóáñòàíöèîíàëü-
íóþ ïðîèçâîäíóþ,
r
v � ñêîðîñòü æèäêîñòè.
Ê ýòîìó ïðåäñòàâëåíèþ ìîæíî òàêæå ïðèéòè
â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ Âåáåðà, ïåðåõî-
äÿ îò ëàãðàíæåâîãî ê ýéëåðîâîìó îïèñàíèþ â
îáû÷íîé ãèäðîäèíàìèêå [18]. Äëÿ íåáàðîòðîï-
íûõ òå÷åíèé è äëÿ óäàðíûõ âîëí ê ñâÿçÿì,
ïîìèìî âåêòîðíûõ ïåðåìåííûõ Êëåáøà, ñëå-
äóåò äîáàâèòü ýíòðîïèéíîå ñëàãàåìîå σDs, ãäå
s � ïëîòíîñòü ýíòðîïèè, à σ � ñîïðÿæåííûé ê
ýíòðîïèè êàíîíè÷åñêèé èìïóëüñ (ñì. îáñóæ-
äåíèå â [23, 24]). Îòìåòèì çäåñü, ÷òî ïðåäñòàâ-
ëåíèå ñêîðîñòè, âêëþ÷àþùåå ýíòðîïèéíîå ñëà-
ãàåìîå, áûëî âïåðâûå ââåäåíî â ðàáîòå [26] äëÿ
îïèñàíèÿ íåáàðîòðîïíûõ òå÷åíèé èäåàëüíîé
æèäêîñòè áåç ðàçðûâîâ, ãäå ýíòðîïèÿ èãðàëà
ðîëü îäíîé èç ëàãðàíæåâûõ ìåòîê. Îäíàêî äëÿ
ðàçðûâíûõ òå÷åíèé ýíòðîïèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàçðûâ-
íîé ôóíêöèåé ëàãðàíæåâûõ ìåòîê, ÷òî è îáóñ-
ëîâëèâàåò åå èñêëþ÷èòåëüíóþ ðîëü.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâåäåíî îáîáùåíèå
ïðåäëîæåííîãî â [23, 24] âàðèàöèîííîãî ïðèí-
öèïà äëÿ ðàçðûâíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ òå÷å-
íèé íà ñëó÷àé ÌÃÄ. Âàðèàöèîííûé ïðèíöèï
ôîðìóëèðóåòñÿ â ýéëåðîâîì îïèñàíèè êàê
â ëàãðàíæåâûõ, òàê è â ãàìèëüòîíîâûõ ïåðå-
ìåííûõ. Îñíîâíîé ïðîáëåìîé â ñëó÷àå ðàçðûâ-
íûõ òå÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé äëÿ âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ.
Ïîñëåäíèå ÿâëÿþòñÿ ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðå-
íèÿ îáîáùåííûìè ïîòåíöèàëàìè, à ñëåäîâà-
òåëüíî, îïðåäåëÿþòñÿ íåîäíîçíà÷íî, îáëàäàÿ
êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Ïîýòîìó ãðà-
íè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ íèõ òàêæå ìîãóò áûòü
âûáðàíû íåîäíîçíà÷íî. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äîëæíà áûòü, âî-ïåðâûõ,
âíóòðåííå íåïðîòèâîðå÷èâîé è, âî-âòîðûõ, èç
íåå äîëæíû ñëåäîâàòü ñòàíäàðòíûå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ: íåïðåðûâíîñòü ïîòîêîâ ýíåðãèè è
èìïóëüñà, íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíî-
ãî è òàíãåíöèàëüíîé êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñ-
êîãî ïîëÿ. Êðîìå òîãî, ýòè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
íå äîëæíû ïðèâîäèòü íè ê êàêèì äîïîëíèòåëü-
íûì îãðàíè÷åíèÿì íà òå÷åíèå. Óäîáíî òàêæå
ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû óêàçàííûå ãðàíè÷íûå óñ-
ëîâèÿ ñîäåðæàëèñü â âàðèàöèîííîì ïðèíöèïå,
÷òî íèêàê íå îãðàíè÷èâàåò êàëèáðîâî÷íûõ ñòå-
ïåíåé ñâîáîäû, íî ïîçâîëÿåò âêëþ÷èòü âñþ
èíôîðìàöèþ î ñèñòåìå â ãàìèëüòîíèàí.
Ïëàí èçëîæåíèÿ ñëåäóþùèé. Âî âòîðîì ðàç-
äåëå ñôîðìóëèðîâàí âàðèàöèîííûé ïðèíöèï â
ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ. Ïðåäñòàâëåíèå ñêîðî-
ñòè ÷åðåç îáîáùåííûå ïîòåíöèàëû (ïåðåìåííûå
Êëåáøà) ïîëó÷àåòñÿ ïðè âàðüèðîâàíèè äåéñòâèÿ,
âêëþ÷àþùåãî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé, ïî ñêîðîñòè .rv
Ââîäèìûå óðàâíåíèÿ ñâÿçåé ýêâèâàëåíòíû îáû÷-
íî èñïîëüçóåìûì â ëèòåðàòóðå, îäíàêî îòëè÷à-
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
235Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3
þòñÿ îò íèõ, ÷òî ïðèâîäèò ê áîëåå ñèììåòðè÷íî-
ìó îïèñàíèþ. Â ýòîì æå ðàçäåëå ââîäÿòñÿ äîïîë-
íèòåëüíûå ïîâåðõíîñòíûå ïåðåìåííûå è ñîîò-
âåòñòâóþùàÿ ïîâåðõíîñòíàÿ ÷àñòü äåéñòâèÿ. Âà-
ðüèðîâàíèå äåéñòâèÿ ïî ýòèì ïåðåìåííûì è ïî
ãðàíè÷íûì çíà÷åíèÿì îáúåìíûõ ïåðåìåííûõ îï-
ðåäåëÿåò ñîâîêóïíîñòü ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Äî-
êàçûâàåòñÿ, ÷òî èç ïîëó÷åííûõ ãðàíè÷íûõ óñëî-
âèé (è ñîîòâåòñòâóþùèõ îáúåìíûõ óðàâíåíèé)
ñëåäóþò ñòàíäàðòíûå ÌÃÄ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
 òðåòüåì ðàçäåëå îïèñàí âàðèàöèîííûé ïðèí-
öèï â êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ è ââîäÿòñÿ ïî-
âåðõíîñòíûå êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå.
2. Âàðèàöèîííûé ïðèíöèï
äëÿ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
Ïóñòü óðàâíåíèå
( , ) 0R r t =
r
(2.1)
îïðåäåëÿåò ïîâåðõíîñòü, ðàçäåëÿþùóþ äâå
îáëàñòè íåïðåðûâíîãî òå÷åíèÿ, R > 0 è R < 0.
 îòñóòñòâèå ñàìîïåðåñå÷åíèé óðàâíåíèå ïî-
âåðõíîñòè ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â ðàçðåøåí-
íîì îòíîñèòåëüíî îäíîé èç êîîðäèíàò âèäå:
( , ) ( , ).R r t z r t⊥= − ζ
r r
(2.2)
Äëÿ ïîÿñíåíèÿ ñïîñîáà ââåäåíèÿ êàíîíè÷åñ-
êèõ ïåðåìåííûõ íà÷íåì ñ âàðèàöèîííîãî
ïðèíöèïà â ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ. Ôóíê-
öèîíàë äåéñòâèÿ A âêëþ÷àåò â ñåáÿ îáúåìíóþ
è ïîâåðõíîñòíóþ ÷àñòü:
.VA A AΣ= + (2.3)
Ïîâåðõíîñòíóþ ÷àñòü AΣ îáñóäèì íèæå,
à îáúåìíàÿ ÷àñòü ðàâíà
d ,VA t L′= ∫ d ,L r′ ′= ∫
r
L (2.4)
ãäå ′L îáîçíà÷àåò ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà ñî
ñâÿçÿìè,
,c′ = +L L L ( )
2 2
, .
2 8
H
s= ρ −ρε ρ −
π
L
v
(2.5)
Çäåñü s è ( , )sε ρ � ïëîòíîñòü ýíòðîïèè è âíóò-
ðåííåé ýíåðãèè ñîîòâåòñòâåííî, ρ è
r
v � ïëîò-
íîñòü è ñêîðîñòü, H
r
� ìàãíèòíîå ïîëå. Ñëà-
ãàåìîå ñî ñâÿçÿìè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëå-
äóþùåì âèäå:
( rot ).c tD D Ds H S S= ρ ϕ + λ µ + σ + ∂ −∇Φ − ×
r r rrr r
vL
(2.6)
Ââîäèìîå òàêèì îáðàçîì â ïëîòíîñòü ëàãðàí-
æèàíà ′L ñëàãàåìîå (2.6) îáåñïå÷èâàåò âû-
ïîëíåíèå óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè è ïåðå-
íîñà ýíòðîïèè, äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äëÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ðàâåíñòâî íóëþ äèâåðãåí-
öèè ,H
r
à òàêæå óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà âåêòîð-
íîãî ïîëÿ ìàðêåðîâ .µ
r
 îòñóòñòâèå ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ (2.6) íåïîñðåäñòâåííî ïåðåõîäèò
â îáñóæäàâøååñÿ ïîäðîáíî â ðàáîòå [24] âû-
ðàæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå íàèáîëåå îáùåìó
äâèæåíèþ.
Ñ÷èòàÿ ñêîðîñòü è âñå ââåäåííûå ïîëåâûå
ïåðåìåííûå, à òàêæå èõ âàðèàöèè íåçàâèñè-
ìûìè, èç óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äåéñòâèÿ ïîëó-
÷àåì îáúåìíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è ïðåä-
ñòàâëåíèå ñêîðîñòè:
div ( ) 0,tδϕ ⇒ ∂ ρ + ρ =r
v (2.7)
0,Dδλ ⇒ µ =
r r (2.8)
0,Dsδσ ⇒ = (2.9)
rot ( ) 0,tS H Hδ ⇒ ∂ − × =
r r rr
v (2.10)
div 0,HδΦ ⇒ =
r
(2.11)
À. Â. Êàö
236 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò.7, ¹3
2 2,D wδρ ⇒ ϕ = −v (2.12)
div ( ) 0,t m mδµ ⇒ ∂ λ + λ =
r r
v (2.13)
div ( ),ts Tδ ⇒ ∂ σ = −ρ − σr
v (2.14)
rot ,
4t
H
H S Sδ ⇒ ∂ = + ∇Φ + ×
π
r
r rr r
v (2.15)
rot ,m m s H Sδ ⇒ ρ = −ρ∇ϕ − λ ∇µ − σ∇ − ×
rrr r
v v
(2.16)
ãäå w p= ε + ρ � ïëîòíîñòü ýíòàëüïèè, p �
äàâëåíèå æèäêîñòè, T � òåìïåðàòóðà. Çäåñü
è äàëåå ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïî-
âòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü,
÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ââåäåííûõ ïå-
ðåìåííûõ ñîâìåñòíî ñ ïðåäñòàâëåíèåì ñêî-
ðîñòè îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå óðàâíåíèÿ
Ýéëåðà,
1
( rot ).
4
D p H Hρ = −∇ − ×
π
v
r rr
(2.17)
 äàëüíåéøåì óäîáíî ñ÷èòàòü ïåðåìåííûå ,ϕ
,µr s è S
r
îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè, îáî-
çíà÷àÿ èõ ñîâîêóïíîñòü .Q Òîãäà ,ρ ,λ
r
σ
è H
r
ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæåííûìè ê íèì èìïóëü-
ñàìè :P
( , ),Q S=
r
Q ( , , );Q s= ϕ µ
r
( , ),P H=
r
P ( , , ),P = ρ λ σ
r
(2.18)
,t V t t c tA A ′≡ δ δ∂ = δ δ∂ =∂ ∂∂ = ∂ ∂∂Q Q Q QP L L
ãäå Q è P îòíîñÿòñÿ ê ïîäìíîæåñòâó ïåðå-
ìåííûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ îáû÷íîé ãèäðîäè-
íàìèêå. Ïðåäñòàâëåíèå ñêîðîñòè óäîáíî çà-
ïèñàòü â âèäå:
0 ,h M= ≡ +r r r r
v v v v
(2.19)
,h
P
Q= − ∇
ρ
r
v
rot
,M
H S×= −
ρ
rr
r
v
âûäåëÿÿ ìàãíèòíóþ ( )M
r
v è ãèäðîäèíàìè÷åñ-
êóþ ( )h
r
v ÷àñòè.
2.1. Ïîâåðõíîñòíàÿ ÷àñòü äåéñòâèÿ
è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
Ïðè ïîëó÷åíèè îáúåìíûõ óðàâíåíèé
èç (2.7) � (2.16) ïðîâîäèëîñü èíòåãðèðîâà-
íèå ïî ÷àñòÿì ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðå-
ìåííûì è âðåìåíè. Â ðåçóëüòàòå â âàðèàöèè
äåéñòâèÿ îñòàþòñÿ ñëàãàåìûå, ñâîäÿùèåñÿ ê
èíòåãðàëàì ïî ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà è ñîäåð-
æàùèå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ âàðèàöèé îáúåì-
íûõ ïåðåìåííûõ. Êðîìå òîãî, â âàðèàöèè
îáúåìíîé ÷àñòè äåéñòâèÿ èìååòñÿ ñëàãàåìîå,
êîòîðîå îòâå÷àåò âàðèàöèè ñàìîé ãðàíèöû
è ïðîïîðöèîíàëüíî .Rδ Îáîçíà÷èì ãðàíè÷-
íîå çíà÷åíèå âàðèàöèè îáúåìíîé ïåðåìåí-
íîé X ñèìâîëîì ,Xδ% 0( ) .RX X =δ ≡ δ% Ïðè íå-
îáõîäèìîñòè ðàçëè÷àòü ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ,
ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì ñòîðîíàì ãðàíè-
öû, áóäåì äåëàòü ýòî ñ ïîìîùüþ âåðõíåãî
èíäåêñà ± ,
0
,
R
X X±
=±≡ èñïîëüçóÿ ôèãóð-
íûå ñêîáêè äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñêà÷êà,
{ } .X X X X+ − ς
ς=±
≡ − = ς∑ Çàìåòèì, ÷òî ïðè
íàëè÷èè äâóõ îáëàñòåé èíòåãðèðîâàíèÿ, ðàç-
äåëåííûõ ãðàíèöåé R = 0, ñîîòâåòñòâóþùèé
èíòåãðàë óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
( )d d ,VA t r R
ς=±
′= θ ς∑∫ ∫
r
L
ãäå θ � ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ Õýâèñàéäà. Çäåñü
è äàëåå ìû îïóñêàåì èíäåêñ, ðàçëè÷àþùèé
ïëîòíîñòè ëàãðàíæèàíà â ðàçíûõ îáëàñòÿõ. Âà-
ðèàöèÿ îáúåìíîé ÷àñòè äåéñòâèÿ íà óðàâíå-
íèÿõ äâèæåíèÿ, ( ) ( )bound bound
,VA Aδ = δ ïðèíè-
ìàåò âèä:
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
237Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3
(bound( ) d d ( )A t r R R R
ς
′δ = ς δ δ − δ −∑ ∫ ∫
r
& QL P
( ))[ ] ,R P Q S H H −∇ δ + δ × × − δΦ
r r rr r
v v (2.20)
ãäå ( )Rδ � äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà (íå ïóòàòü
ñ âàðèàöèåé ãðàíèöû )Rδ è ó÷òåíû òîæäå-
ñòâà ( ) ( ),R t R R∂θ ς ∂ = ς δ& ( ) ( ) ,R R R∇θ ς = ςδ ∇
( ) ( ) ;R R Rδθ ς = ςδ δ òî÷êîé îáîçíà÷åíà ÷àñòíàÿ
ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè. Âûïîëíÿÿ â (2.20) èí-
òåãðèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ δ-ôóíêöèè, ïîëó÷èì:
(bound
d
( ) d { }A t R
R
Σ ′δ = δ −
∇∫ ∫ L
( ){ } ( ){ })( ) ,R R H R S R− ∇ + δ − ∇ δ + δΦ
rrr r% % %& &
v vQP
(2.21)
ãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè
ðàçðûâà, dΣ îçíà÷àåò ýëåìåíò ïëîùàäè ýòîé
ïîâåðõíîñòè.
Âûáîð ïîâåðõíîñòíîé ÷àñòè äåéñòâèÿ è íå-
çàâèñèìî âàðüèðóåìûõ íà ïîâåðõíîñòè ïåðå-
ìåííûõ îïðåäåëÿåòñÿ òðåáîâàíèåì ïîëó÷èòü
â ðåçóëüòàòå ñîâîêóïíîñòü ãðàíè÷íûõ óñëîâèé,
êîòîðûå ñîãëàñóþòñÿ ñ îáúåìíûìè óðàâíåíè-
ÿìè è ýêâèâàëåíòíû îáû÷íûì ÌÃÄ óñëîâèÿì
íà ãðàíèöå.  ñèëó êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàí-
òíîñòè òàêîé âûáîð ÿâëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íûì,
÷òî íå îáëåã÷àåò, à çàòðóäíÿåò ñôîðìóëèðîâàí-
íóþ çàäà÷ó. Ïîèñê ðåøåíèÿ îáëåã÷àåòñÿ, åñëè
ðåøåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäåëüíîìó ïå-
ðåõîäó ê ñëó÷àþ îáû÷íîé ãèäðîäèíàìèêè, óæå
èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [23, 24]). Ïîýòîìó
âàæíî îïðåäåëèòü, êàêèìè äîëæíû áûòü ãðà-
íè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ÷èñòî ìàãíèòíîé ÷àñòè
ïåðåìåííûõ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ê íóæíîìó ðå-
çóëüòàòó ïðèâîäèò òðåáîâàíèå íåïðåðûâíîñ-
òè S
r
è Φ, êîòîðîå ãîäèòñÿ äëÿ ëþáûõ ðàçðû-
âîâ1. Â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì ïîâåðõíî-
ñòíóþ ÷àñòü äåéñòâèÿ ìîæíî âûáðàòü â âèäå:
d ,A tLΣ Σ= ∫ d ( ) ,L r RΣ Σ= δ∫
r
L (2.22)
{ }( , ) { } { },R F SΣ = ρ ′ ∇ Γ + + χ Φv
rrr
L
,G± ± ±Γ = γ + ϕ + ηµ
r r
(2.23)
( , ) ( , ) .R R R′ ∇ = ∇ +v v
r r &
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ΣL ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé
êîìáèíàöèåé ñâÿçåé ñ (ïîâåðõíîñòíûìè) ìíî-
æèòåëÿìè Ëàãðàíæà ,γ ,G ,η
r
îáåñïå÷èâàÿ
íåïðåðûâíîñòü ïîòîêîâ ìàññû, ïîòåíöèàëà
ñêîðîñòè è ëàãðàíæåâûõ ìåòîê, à ïîñëåäíèå
äâà ñëàãàåìûõ ãàðàíòèðóþò íåïðåðûâíîñòü S
r
è .Φ Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñëåäóþò èç òðåáîâà-
íèÿ îáðàùåíèÿ â íóëü ñóììû bound( )Aδ è âà-
ðèàöèè .AΣ Ïîñëåäíþþ óäîáíåå çàïèñàòü âîñ-
ïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì ãðàíèöû â ðàçðå-
øåííîé ôîðìå, ïîëàãàÿ ( , ).R z r t⊥= − ζ r
Òîãäà
ïîâåðõíîñòíûé ëàãðàíæèàí LΣ èìååò âèä
d ,L rΣ ⊥ Σ= ∫
r
L (2.24)
è äëÿ âàðèàöèè AΣ ïîëó÷àåì:
d d ,A t rΣ ⊥ Σδ = δ∫ ∫
r
L (2.25)
{ } { }( ) ( )K KΣδ = − ρζ δΓ + Γ δ − ζδρ −& &% %% %L
{ } { } { } { } { },S F F S− δζ + δ + δ + Φ δχ + χ δΦρΓ
r rr r% %& %%%
(2.26)
ãäå òèëüäîé îáîçíà÷åíû ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí, òàê ÷òî 0RX X =δ ≡ δ%
îçíà÷àåò âàðèàöèþ ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ âåëè-
÷èíû X, â îòëè÷èå îò ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ âàðè-
àöèè 0( ) ;RX X =δ = δ% ( ), ,K R= ρ ∇r%%v
( )( , ) ( ), .K P Q R H S R= − ∇ ∇ − × ∇ × ∇
rr%% %% (2.27)
Çäåñü òèëüäà íàä îïåðàòîðîì íàáëà îáîçíà-
÷àåò, ÷òî ñíà÷àëà ïðîèçâîäèòñÿ îïåðàöèÿ
1Îòìåòèì â ñâÿçè ñ ýòèì, ÷òî ïðåäëîæåííûå ðàíåå â
êðàòêîì ñîîáùåíèè [27] óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè rotS
r
è
íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû S
r
íå äàþò âîçìîæíîñòè êîð-
ðåêòíîãî îïèñàíèÿ âñåõ òèïîâ ðàçðûâîâ, â ÷àñòíîñòè,
òàêîé âûáîð íå ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü óäàðíûå âîëíû.
À. Â. Êàö
238 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò.7, ¹3
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè-
÷èíû, à ïîòîì ñîâåðøàåòñÿ ïåðåõîä ê çíà÷å-
íèþ íà ãðàíèöå. Âàðèàöèþ K óäîáíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå:
( ) ( ), ,K R Rδ = ∇ δρ +ρδ ∇ =r r% %% %v v
( )( ) ( ), , .R R= δ ρ ∇ + ρ δ∇r r% %% %v v (2.28)
Âàðèàöèÿ âåëè÷èíû Γ ðàâíà
.G G± ± ± ± ±δΓ = δγ + δϕ + ηδµ + ϕ δ +µ δη
r rr r% %% % % (2.29)
Êàê âèäíî, AΣδ ñîäåðæèò âàðèàöèþ ãðàíè-
öû ïîä çíàêîì ïðîñòðàíñòâåííûõ (ñëàãàåìîå
ñ Rδ∇ â (2.28)) è âðåìåííîé (÷ëåí ñ δζ& â (2.26))
ïðîèçâîäíûõ, âàðèàöèþ ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ
ñêîðîñòè, à òàêæå âàðèàöèè ãðàíè÷íûõ çíà÷å-
íèé îñòàëüíûõ âåëè÷èí. Ïîñêîëüêó bound( ) ,Aδ
â îòëè÷èå îò ,AΣδ ñîäåðæèò íå âàðèàöèè ãðà-
íè÷íûõ çíà÷åíèé, à ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ âàðèà-
öèé, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ëèíåéíûìè
ïî âàðèàöèè ãðàíèöû ñëàãàåìûìè, äëÿ äàëüíåé-
øåãî ñëåäóåò ïåðåéòè ê âàðèàöèÿì îäíîãî òèïà.
Óäîáíåå â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ âàðèàöèé âûá-
ðàòü âàðèàöèþ ãðàíèöû è âàðèàöèè ãðàíè÷íûõ
çíà÷åíèé îáúåìíûõ ïåðåìåííûõ, à òàêæå âàðè-
àöèè ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé èõ íîðìàëüíûõ ïðî-
èçâîäíûõ. ×òî êàñàåòñÿ âàðèàöèé ñêîðîñòè,
òî çäåñü âîçìîæíû äâà âàðèàíòà. Âî-ïåðâûõ,
ìîæíî ñ÷èòàòü ñêîðîñòü íåçàâèñèìîé ïåðåìåí-
íîé (íå èñêëþ÷àÿ åå èç äåéñòâèÿ). Òîãäà â ÷èñëî
íåçàâèñèìûõ âàðèàöèé âõîäÿò âàðèàöèè ãðàíè÷-
íûõ çíà÷åíèé ñêîðîñòè. Âî-âòîðûõ, ñêîðîñòü
ìîæåò áûòü çàâèñèìîé ïåðåìåííîé, ñâÿçàííîé
ñ îñòàëüíûìè ïåðåìåííûìè âûðàæåíèåì (2.19),
0.=r r
v v  ýòîì ñëó÷àå, ðàçóìååòñÿ, âàðèàöèè ãðà-
íè÷íûõ çíà÷åíèé ñêîðîñòè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç
âàðèàöèè ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé îñòàëüíûõ ïåðå-
ìåííûõ è èõ íîðìàëüíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ðàññìîò-
ðèì ñíà÷àëà ïåðâûé âàðèàíò, ñîîòâåòñòâóþùèé
íåèñêëþ÷åííîé ñêîðîñòè.
Âûðàçèì ñíà÷àëà bound( )Aδ ÷åðåç âàðèàöèè
ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé, äëÿ ÷åãî âîñïîëüçóåìñÿ
ñîîòíîøåíèåì
,nX X X R Rδ = δ − ∂ ⋅ δ ∇%% (2.30)
ãäå n∂ îçíà÷àåò íîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ,
0( , ) ,n RX n X =∂ = ∇r
à íîðìàëü îïðåäåëÿåòñÿ âåê-
òîðîì .n R R= ∇ ∇
r
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:
( ){bound
d
( ) d ,n n n nA t H S
R
Σ ′δ = − ′ ∂ + ∂ +∇∫ ∫ v v
rr
L P Q
} ( )( ){ }, ,n n n nH R R H S+ ∂ Φ δ − ∇ ′ δ − δ + δΦv v
rr %% %P Q
(2.31)
ãäå .n n R R′ = + ∇v v
& Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî
óïðîñòèòü, èñïîëüçóÿ îáúåìíûå óðàâíåíèÿ äâè-
æåíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè
âàðèàöèÿõ. Íàïðèìåð,
eq
′L (ãäå èíäåêñ eq ïîä-
÷åðêèâàåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåëè÷èíà ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ óðàâíå-
íèé äâèæåíèÿ) ìîæíî çàìåíèòü ñóììîé îáû÷-
íîãî è ìàãíèòíîãî äàâëåíèé. Äåéñòâèòåëüíî,
( )eq
rotPDQ H S S′ = + + − ∇Φ − × =v
r rr r&
L L
( ) ( )
2 2
2 22 2 .
8 8
H H
w p= ρ − ε + ρ − + = +
π π
v v
(2.32)
Ïðèâåäåì òåïåðü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ñëå-
äóþùèå èç ñôîðìóëèðîâàííîãî âàðèàöèîííî-
ãî ïðèíöèïà, (ÂÃÓ). Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ âàðèà-
öèîííûå ïðîèçâîäíûå îò äåéñòâèÿ ïî ïîâåðõ-
íîñòíûì ìíîæèòåëÿì Ëàãðàíæà, ïîëó÷àåì:
{ } 0,F Sδ ⇒ =
rr
(2.33)
{ } 0,δχ ⇒ Φ = (2.34)
{ } { } 0,n jδγ ⇒ ρ ′ ≡ =v (2.35)
{ } { } 0,nG jδ ⇒ ρ ′ ϕ = ϕ =v (2.36)
{ } { } 0,n jδη ⇒ ρ ′ µ = µ =v
r r r
(2.37)
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
239Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3
ãäå nj = ρ ′v � ïîòîê ìàññû, è â ïîñëåäíèõ äâóõ
óðàâíåíèÿõ ó÷òåíà åãî íåïðåðûâíîñòü, ñëåäó-
þùàÿ èç (2.35).
Äàëåå, âàðüèðîâàíèå ïî ãðàíè÷íûì çíà-
÷åíèÿì ñêîðîñòè è îñòàëüíûõ îáúåìíûõ
ïåðåìåííûõ äàåò ñëåäóþùèå óñëîâèÿ, êî-
òîðûå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñ îáåèõ ñòîðîí
ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà:
0,δ ⇒ ρΓ =r%
v (2.38)
0,nδρ ⇒ Γ ′ =v% (2.39)
0,nsδ ⇒ σ ′ =v% (2.40)
( 1) 0,G jδϕ ⇒ + =% (2.41)
( ) 0,jδµ ⇒ λ ρ + η =
r rr% (2.42)
( ) 0,n nS H H R Fδ ⇒ ′ − ∇ + =v v
r r rr%
(2.43)
0.nH RδΦ ⇒ ∇ + χ =% (2.44)
Èç óðàâíåíèé (2.38) � (2.44) ñëåäóþò óñëîâèÿ,
íàëàãàåìûå êàê íà ïîâåðõíîñòíûå ìíîæèòåëè
Ëàãðàíæà, òàê è íà ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ îáúåì-
íûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ ïîñëå íà-
õîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñêà÷êîâ. Ïðè ýòîì ñè-
ñòåìà óðàâíåíèé (2.33) � (2.44) ïðåîáðàçóåòñÿ ïî-
ðàçíîìó â çàâèñèìîñòè îò íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ
ïîòîêà ìàññû ÷åðåç ðàçðûâ. Íî â ëþáîì ñëó÷àå
óðàâíåíèå (2.38) ïðèâîäèò ê óñëîâèþ 0Γ =% è,
ñîîòâåòñòâåííî, { } 0Γ = è { } 0.ρΓ =
Íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíûì ÿâëÿåòñÿ âàðüè-
ðîâàíèå ïî R. Ïîëàãàÿ äëÿ óïðîùåíèÿ
,R z= − ζ ,Rδ = −δζ íàõîäèì, ÷òî
{ } { } 0,A tΣ ⊥δ δζ = ∂ ρΓ ∂ + ∇ ρ Γ =r
v
ãäå ( , ),x y⊥∇ = ∂ ∂ à îáðàùåíèå â íóëü ÿâëÿåò-
ñÿ ñëåäñòâèåì (2.38). Ïîýòîìó âàðüèðîâàíèå
ïîëíîãî äåéñòâèÿ ïî ζ äàåò ñëåäóþùåå ãðà-
íè÷íîå óñëîâèå:
2
bound( ) 0
8 n n
H
A A p
δ δζ = δ δζ = ⇒ + − ′ ∂ + π
vP Q
( ) }, 0,n n n nH S H+ ∂ + ∂ Φ =
rr
v (2.45)
ãäå ó÷òåíî ðàâåíñòâî (2.32).
Ïåðåìåííàÿ ζ èãðàåò ðîëü îáîáùåííîé ïî-
âåðõíîñòíîé êîîðäèíàòû. Âåëè÷èíà { }ζπ = − ρΓ
ÿâëÿåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê íåé èìïóëüñîì:
{ }.A Aζ Σπ ≡ δ δζ = δ δζ = − ρΓ& & (2.46)
Îáðàùåíèå Γ â íóëü ïðèâîäèò ê 0,ζπ = íî
ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ âñëåäñòâèå ãðà-
íè÷íûõ óñëîâèé, è èì íåëüçÿ ïîëüçîâàòüñÿ
äî âàðüèðîâàíèÿ.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.33) � (2.45) îáåñïå-
÷èâàåò ýêñòðåìàëüíîñòü äåéñòâèÿ äëÿ òå÷åíèé
ñ ðàçðûâàìè ïðîèçâîëüíîãî òèïà â ñëó÷àå íå-
èñêëþ÷åííîé ñêîðîñòè. Êàê óáåäèìñÿ â ñëåäó-
þùåì ðàçäåëå, âàðèàöèîííûé ïðèíöèï
ñ èñêëþ÷åííîé ñêîðîñòüþ ïðèâîäèò ê ýêâèâà-
ëåíòíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé. Îäíàêî îíà íå ýê-
âèâàëåíòíà ñèñòåìå îáû÷íûõ ÌÃÄ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé, õîòÿ ñîäåðæèò ÷àñòü èç íèõ, íàïðè-
ìåð, óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ïîòîêà ìàññû, òàí-
ãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ýëåêòðè÷åñêîãî è
íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëåé (÷òî
ñëåäóåò èç (2.43) è (2.44)). Íåäîñòàþùèå óñëî-
âèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèçèðóÿ ñèñòåìó îáúåì-
íûõ óðàâíåíèé äëÿ äîïîëíèòåëüíî ââåäåííûõ
ïîëåé. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìàòðèâàÿ ñêà÷êè
óðàâíåíèé (2.8), (2.9), (2.12) � (2.15) è äåëàÿ åñ-
òåñòâåííîå ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè ñî-
îòâåòñòâóþùèõ ïîâåðõíîñòíûõ èñòî÷íèêîâ
(ò. å. ïîëàãàÿ, ÷òî âñïîìîãàòåëüíûå ïîëÿ èìåþò
ìàêñèìàëüíóþ ñòåïåíü ãëàäêîñòè, ñîâìåñòèìóþ
ñ äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè), íàõîäèì:
{ } { }( ) 0,t∂ µ + ′∇ µ =v
r rr (2.47)
{ } ( ){ }( ) 0,t∂ λ ρ + ′∇ λ ρ =v
r rr (2.48)
À. Â. Êàö
240 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò.7, ¹3
{ } ( ){ } { }2 2 ,t w∂ ϕ + ′∇ ϕ = −v v
r
(2.49)
{ } ( ){ }( ) { },t T∂ σ ρ + ′∇ σ ρ = −v
r
(2.50)
{ } { }1
( ) { } rot ,
4
u S H S− ∇ = + ∇Φ + ×
π
r rrr r
v (2.51)
ãäå ,u′ = −v v
rr r
à u
r
� ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðà-
íèöû, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ
( ) 0,R u R+ ∇ =r
& (2.52)
êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì
ïî âðåìåíè óðàâíåíèÿ ãðàíèöû 0.R= Îï-
ðåäåëåíèå ñêîðîñòè u
r
íå ÿâëÿåòñÿ îäíî-
çíà÷íûì (ê u
r
ìîæíî äîáàâèòü ïðîèçâîëü-
íûé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé íîðìàëè
ê ïîâåðõíîñòè), îäíàêî åå íîðìàëüíàÿ êîì-
ïîíåíòà îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî, ÷òî äîñ-
òàòî÷íî äëÿ äàëüíåéøåãî. Ïðè ïîëó÷åíèè
óðàâíåíèé (2.47) � (2.49) ó÷òåíî ëåãêî ïðî-
âåðÿåìîå òîæäåñòâî
{ }{ } { } ( ) ,tDX X X= ∂ + ′∇v
r
à òàêæå íåïðåðûâíîñòü âåêòîðà .S
r
Êàê âèäíî, óðàâíåíèå (2.47) äàåò íàì äî-
ïîëíèòåëüíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ âñåõ
òèïîâ ðàçðûâîâ, à óðàâíåíèÿ (2.47) � (2.50)
îïðåäåëÿþò äèíàìèêó ñêà÷êîâ. Îäíàêî äëÿ òåõ
òèïîâ ðàçðûâîâ, íà êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùàÿ
âåëè÷èíà íåïðåðûâíà, ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìå-
íè îò ñêà÷êà îáðàùàåòñÿ â íóëü è ìû ïðèõî-
äèì ê ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ, äîïîëíÿþùåìó
ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.33) � (2.45). Î÷åâèäíî,
÷òî òàê áóäåò ïðè 0.j ≠
Àíàëèç ïîëó÷åííîé ñîâîêóïíîñòè ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé ïîêàçûâàåò, ÷òî èç íåå ñëåäóþò
íåïðåðûâíîñòü ïîòîêîâ ìàññû, ýíåðãèè, èì-
ïóëüñà, íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî
è òàíãåíöèàëüíûõ êîìïîíåíò ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðàñ-
ñìîòðåíèå âñåõ òèïîâ ðàçðûâîâ, âêëþ÷àÿ óäàð-
íûå âîëíû è âðàùàòåëüíûå ðàçðûâû, ÷òî ïðåä-
ñòàâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíûì ðåçóëüòàòîì. Âìå-
ñòå ñ òåì äîñòàòî÷íî íåîæèäàííûì ÿâëÿåòñÿ
òîò ôàêò, ÷òî ïîëó÷åííûå âûøå óðàâíåíèÿ
ïîçâîëÿþò îïèñàòü òîëüêî òàêèå òàíãåíöèàëü-
íûå ðàçðûâû, äëÿ êîòîðûõ ñêà÷îê ñêîðîñòè è
ìàãíèòíîãî ïîëÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíû. Äëÿ
äðóãèõ ðàçðûâîâ êàêèå-ëèáî îãðàíè÷åíèÿ îò-
ñóòñòâóþò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òðåáîâàíèÿ ê
âñïîìîãàòåëüíûì ïåðåìåííûì, ââåäåííûå
âûøå â âàðèàöèîííûé ïðèíöèï, ÿâëÿþòñÿ èç-
áûòî÷íûìè. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì, ÷òî
ýòî ñâÿçàíî ñ óñëîâèÿìè, íàëàãàåìûìè íà âåê-
òîð S
r
è ñêàëÿð Φ (îá ýòîì ñâèäåòåëüñòâóåò
ïðàâèëüíîñòü ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ê ñëó÷àþ
îáû÷íîé ãèäðîäèíàìèêè). Âìåñòå ñ òåì àâ-
òîðó íå óäàëîñü íàéòè òàêîé âàðèàíò ìîäè-
ôèêàöèè ÂÃÓ, êîòîðûé ñíèìàë áû óêàçàííîå
îãðàíè÷åíèå.
Ââèäó ãðîìîçäêîñòè çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ
ïðåîáðàçîâàíèÿ (îòäåëüíî äëÿ íóëåâîãî è íåíó-
ëåâîãî ïîòîêà ìàññû ÷åðåç ãðàíèöó), äîêàçûâà-
þùèå ñôîðìóëèðîâàííûå óòâåðæäåíèÿ. Ñóùå-
ñòâåííî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà îêàçûâàåòñÿ
ñîâìåñòíîé è, ðàçóìååòñÿ, ñîäåðæèò ìåíüøå íå-
çàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ÷åì íåèçâåñòíûõ ôóíê-
öèé. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ñâÿçàíî íå òîëü-
êî ñ òåì, ÷òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ôèçè÷åñ-
êèõ ïåðåìåííûõ (ñêîðîñòü, ïëîòíîñòü, äàâëåíèå,
ýíòðîïèÿ è ìàãíèòíîå ïîëå) äîëæíû îáëàäàòü
íåîáõîäèìûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, ñì. [28],
íî è ñ òåì ôàêòîì, ÷òî ââåäåííûå äîïîëíèòåëü-
íûå ïåðåìåííûå îáëàäàþò êàëèáðîâî÷íîé ñâî-
áîäîé. Ïðè ýòîì êàëèáðîâî÷íîé ñâîáîäîé ìîæ-
íî âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ óïðîùåíèé â êàæäîé
êîíêðåòíîé çàäà÷å.
2.2. Èñêëþ÷åíèå ñêîðîñòè
Êàê óæå óïîìèíàëîñü âûøå, âàðèàöèîííûé
ïðèíöèï ñ èñêëþ÷åííîé ñêîðîñòüþ ïðèâîäèò
ê òåì æå îáúåìíûì óðàâíåíèÿì. Åäèíñòâåí-
íîå èçìåíåíèå ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî ïðåäñòàâ-
ëåíèå ñêîðîñòè (2.16) ïðè ýòîì íå ñëåäóåò èç
âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà, à äîëæíî äîáàâëÿòü-
ñÿ ê ñèñòåìå âàðèàöèîííûõ óðàâíåíèé. Îäíà-
êî, èñêëþ÷åíèå ñêîðîñòè ïðèâîäèò ê íåîáõî-
äèìîñòè èçìåíåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî ÷ëåíà â
äåéñòâèè, ïîñêîëüêó ìåíÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü
íåçàâèñèìî âàðüèðóåìûõ âåëè÷èí è ïîâûøà-
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
241Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3
åòñÿ ïîðÿäîê îáúåìíîé ÷àñòè ëàãðàíæèàíà
ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïðîèçâîäíûì. Ïîëà-
ãàÿ òåïåðü, ÷òî âî âñåõ ñîîòíîøåíèÿõ, â ÷à-
ñòíîñòè â ëàãðàíæèàíå (2.5) è â ñëàãàåìîì
ñî ñâÿçÿìè (2.6), ñêîðîñòü âûðàæåíà ÷åðåç
ââåäåííûå ïåðåìåííûå ñîãëàñíî (2.19),
0,=r r
v v óáåæäàåìñÿ, ÷òî â âàðèàöèè îáúåì-
íîãî äåéñòâèÿ îòñóòñòâóþò ñëàãàåìûå, ïðî-
ïîðöèîíàëüíûå 0.δr
v Ïîýòîìó èñêëþ÷åíèå
ñêîðîñòè íå ìåíÿåò ïîâåðõíîñòíîãî èíòåã-
ðàëà bound( ) .Aδ Åäèíñòâåííîå èçìåíåíèå ñâÿ-
çàíî ñ òåì, ÷òî âàðèàöèÿ ãðàíè÷íîãî çíà÷å-
íèÿ ñêîðîñòè, âõîäÿùàÿ â âàðèàöèþ ïîâåðõ-
íîñòíîé ÷àñòè äåéñòâèÿ â êîìáèíàöèè K, äà-
åòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.26), (2.27). Çäåñü óäîá-
íåå çàïèñàòü K â âèäå
( )0, ,K R= ρ ∇r%%v (2.53)
òàê ÷òî ïðè 0R z= − ζ = èìååì:
( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,K R R R ⊥δ = δΠ ∇ + Π δ∇ = δΠ ∇ − Π ∇ δζ
r r r r% % % %
ãäå 0Π = ρ
r r% %%v � ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ïëîòíîñòè
èìïóëüñà æèäêîñòè. Â ðåçóëüòàòå äëÿ âàðèà-
öèè { }KΓ% ïîëó÷àåì:
{ } { } ( ){ } ( ){ }, ,K K R ⊥δ Γ = δΓ + δΠ ∇ Γ − Γ Π ∇ δζ =
r r% %% % % %
{ } ( ){ } { } { }, .K R ⊥ ⊥= δΓ + Γ δΠ ∇ + δζ∇ ΠΓ −∇ ΠΓδζ
r r r% % %% % % %
Âêëàä â âàðèàöèþ äåéñòâèÿ îò ïîñëåäíåãî
ñëàãàåìîãî îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè îòñóòñòâó-
þò ïåðåñå÷åíèÿ ðàçðûâîâ. Äåéñòâèòåëüíî, îí
ïðåîáðàçóåòñÿ â èíòåãðàë âäîëü ëèíèè, îãðà-
íè÷èâàþùåé ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà, è ïîýòîìó
â ñëó÷àå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè îáðàùàåòñÿ
â íóëü òîæäåñòâåííî, à ïðè áåñêîíå÷íîé ïî-
âåðõíîñòè ìû òðåáóåì îáðàùåíèÿ δζ â íóëü
íà áåñêîíå÷íîñòè, ÷òî ïðèâîäèò ê íóëåâîìó
çíà÷åíèþ èíòåãðàëà.
Ó÷òåì òåïåðü, ÷òî âàðèàöèÿ ãðàíè÷íîãî
çíà÷åíèÿ èìïóëüñà æèäêîñòè ðàâíà
P Q P QδΠ = −δ ⋅∇ − ⋅ δ∇ −
r% % % % %
H S H S − δ × ∇ × − × δ ∇ ×
r rr r% %% %
è ñîäåðæèò âàðèàöèè ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé
îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ δP è ãðàíè÷íûõ çíà-
÷åíèé ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ îò
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò .δ∇%Q Ñ÷èòàÿ ïîñëå-
äíèå âçàèìíî íåçàâèñèìûìè, à òàêæå íåçàâè-
ñèìûìè îò äðóãèõ âàðèàöèé, ïðèõîäèì ê âà-
ðèàöèîííûì óðàâíåíèÿì:
: 0,Q Pδ∇ ⇒ Γ⋅ =% % % (2.54)
: 0.S H R δ ∇ × ⇒ Γ ⋅ × ∇ =
r r%% % (2.55)
Ñëåäîâàòåëüíî, âìåñòî îäíîãî óðàâíåíèÿ
(2.38) ìû ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü îäíîòèï-
íûõ óðàâíåíèé. Îíè äîïóñêàþò äâà ðåøå-
íèÿ: 0Γ =% ïðè ïðîèçâîëüíûõ ãðàíè÷íûõ
çíà÷åíèÿõ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ è 0Γ ≠%
ïðè íóëåâûõ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèÿõ P% è íó-
ëåâûõ òàíãåíöèàëüíûõ êîìïîíåíòàõ ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ, 0.Hτ =
r% Î÷åâèäíî, ÷òî âàðèàíò ñ
0Γ ≠% íåïðèåìëåì, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì äëÿ
ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ñêîðîñòè ïîëó÷àåì:
0 ,nH S H n S ρ = − × ∇ × = − × ∇ ×
r rr rr % % %%%%v
0.Γ ≠%
 ÷àñòíîñòè, ïðè 0nH = ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå
ñêîðîñòè îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî ïðåäåëü-
íûé ïåðåõîä ê îáû÷íîé ãèäðîäèíàìèêå òàêæå
ñîîòâåòñòâóåò îáðàùåíèþ â íóëü ñêîðîñòè.
Âàðüèðîâàíèå ïî ãðàíè÷íûì çíà÷åíèÿì
îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ, çà èñêëþ÷åíèåì ïëîò-
íîñòè, ïðèâîäèò ê óñëîâèÿì:
À. Â. Êàö
242 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò.7, ¹3
: ( , ) 0,m mRδλ ⇒ − Γ⋅ ∇ ∇µ =% %% (2.56)
: ( , ) 0,R sδσ ⇒ − Γ ⋅ ∇ ∇ =%%% (2.57)
( ): ,[ ] 0.H R Sδ ⇒ Γ ⋅ ∇ ∇ × =
rr% %% (2.58)
Âàðüèðóÿ ïî ïëîòíîñòè ïîëó÷àåì:
( ): ( , ) 0.Rδρ ⇒ − Γ ⋅ ∇ ∇ϕ + ζ =&%%% (2.59)
Âèäíî, ÷òî ïðè 0Γ =% ýòè óðàâíåíèÿ, â ñðàâ-
íåíèè ñ ïðåäûäóùèìè, íå äàþò íè÷åãî íîâî-
ãî. Ïîýòîìó ìîæíî óïðîñòèòü âàðèàöèîííûé
ïðèíöèï, ïîëàãàÿ, ÷òî ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ
îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ íå âàðüèðóþòñÿ.
Âàðüèðîâàíèå ïî ζ, êàê è â ñëó÷àå íåèñê-
ëþ÷åííîé ñêîðîñòè, ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ
(2.45), ïîñêîëüêó ïðè 0Γ =% âàðèàöèîííàÿ
ïðîèçâîäíàÿ 0.AΣδ δζ = Âàðüèðîâàíèå
ïî ãðàíè÷íûì çíà÷åíèÿì îáîáùåííûõ êîîð-
äèíàò è âåëè÷èíû Φ% ïðèâîäèò ê òåì æå óðàâ-
íåíèÿì, ÷òî è ïðè íåèñêëþ÷åííîé ñêîðîñòè
(ñì. (2.40), (2.42) � (2.44)). Òî÷íî òàê æå íå
ìåíÿþòñÿ óðàâíåíèÿ (2.33) � (2.37).
Âèäíî, ÷òî ïîëó÷àåìàÿ ñèñòåìà ÂÃÓ ýêâè-
âàëåíòíà ðàññìîòðåííîé âûøå äëÿ ñëó÷àÿ íå-
èñêëþ÷åííîé ñêîðîñòè. Èçìåíåíèå çàêëþ÷àåò-
ñÿ â òîì, ÷òî âìåñòî âàðüèðîâàíèÿ ãðàíè÷íûõ
çíà÷åíèé ñêîðîñòè íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü âà-
ðüèðîâàíèå ïî ãðàíè÷íûì çíà÷åíèÿì ïðîèçâîä-
íûõ îò îáîáùåííûõ îáúåìíûõ êîîðäèíàò. Ïðè
ýòîì âìåñòî îäíîãî óðàâíåíèÿ (2.38) ïîëó÷àåì
ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.54), (2.55), êîòîðàÿ ïðè-
âîäèò ê òîìó æå óñëîâèþ 0,Γ =% ÷òî è (2.38).
Ïðîâåäåííîå èñêëþ÷åíèå ñêîðîñòè èç ÷èñ-
ëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ïîçâîëÿåò ëåãêî
ïåðåéòè ê ãàìèëüòîíîâûì ïåðåìåííûì.
3. Êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå
Ñôîðìóëèðóåì âàðèàöèîííûé ïðèíöèï
â ãàìèëüòîíîâûõ (êàíîíè÷åñêèõ) ïåðåìåííûõ.
Êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ðàññìîòðåíèÿ,
â êà÷åñòâå îáúåìíûõ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò,
( , ),Q S=
r
Q óäîáíî âûáðàòü ïëîòíîñòü æèä-
êîñòè, ëàãðàíæåâû ìàðêåðû ,µr ïëîòíîñòü ýí-
òðîïèè s è ëàãðàíæåâ ìíîæèòåëü .S
r
Ñîïðÿ-
æåííûìè ê íèì èìïóëüñàìè, ( , ),P H=
r
P ÿâ-
ëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ïîòåíöèàë ϕ, âåëè÷è-
íû ,λ
r
σ è ìàãíèòíîå ïîëå. Îáúåìíàÿ ïëîò-
íîñòü ãàìèëüòîíèàíà VH ðàâíà
( ), , ,V V ′= ∇ ∇Φ = − =&Q Q QH H P P L
( )
2 2
0 , ,
2 8
H
s H
ρ= + ρε ρ + + ∇Φ
π
rv
(3.1)
ãäå ñêîðîñòü 0 0( , )= ∇r r
v v QP îïðåäåëåíà â (2.20).
Âåëè÷èíà VH â (3.1) îòëè÷àåòñÿ îò ïëîòíîñòè
ýíåðãèè òîëüêî ñëàãàåìûì .H∇Φ
r
Âàðüèðîâà-
íèå îáúåìíîé ÷àñòè äåéñòâèÿ
d d ( )V VA t r= −∫ ∫ r &QP H (3.2)
ïî Q è P ïðèâîäèò ê êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèÿì:
,VH= δ δ&Q P ,VH= −δ δ& QP
ãäå
d .V VH r= ∫ r
H
Âàðüèðîâàíèå (3.2) ïî Φ ïðèâîäèò, êàê è ðàíü-
øå, ê óðàâíåíèþ div 0,H =
r
êîòîðîå ñ ó÷åòîì
òîãî, ÷òî ñîïðÿæåííûé ê Φ èìïóëüñ ðàâåí
íóëþ, ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå:
div 0.VH Hδ δΦ = − =
r
Íàëè÷èå â ãàìèëüòîíèàíå ïîëÿ Φ ïðèâîäèò, ïî
ñóòè, ê òîìó, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ ðàñøèðåííûì
ãàìèëüòîíîâûì ïîäõîäîì [29]. Ïóòåì âûáîðà êà-
ëèáðîâêè S
r
ïîëå Φ ìîæíî â ïðèíöèïå èñêëþ-
÷èòü èç ãàìèëüòîíèàíà (ñì. íàïðèìåð, [19]), îä-
íàêî ìû ïîêà íå áóäåì ôèêñèðîâàòü êàëèáðîâ-
êó. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå div 0H =
r
â äåé-
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
243Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3
ñòâèòåëüíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå íåçàâè-
ñèìûì: èç äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äëÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñëåäóåò, ÷òî (div ) 0,t H∂ =
r
ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïðèíÿòü, ÷òî óðàâíå-
íèå div 0H =
r
âûïîëíÿåòñÿ â íà÷àëüíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè. Òîãäà îíî áóäåò âûïîëíÿòü-
ñÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè è íàäîáíîñòè
âî ââåäåíèè Φ íåò.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîâåðõíîñòíûé ãàìèëü-
òîíèàí .HΣ Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîïðÿæåííûé ê ζ
èìïóëüñ { },ζπ = − ρΓ ñîãëàñíî ñòàíäàðòíîé
ïðîöåäóðå ïîëó÷àåì:
d ,H rΣ ⊥ Σ= ∫ r
H
(3.3)
( )0{ , } { } { }.R F SΣ ζ Σ≡ π ζ − = − ρ ∇ Γ − − χ Φ
rrr&
vH L
Ïîâåðõíîñòíûé âêëàä â äåéñòâèå òåïåðü çà-
ïèñûâàåòñÿ êàê
d ( ).A t HΣ ζ Σ= π ζ −∫ & (3.4)
Ïîñêîëüêó ïðè ãàìèëüòîíîâîì ïîäõîäå îáîá-
ùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû âàðüèðóþò-
ñÿ íåçàâèñèìî, çäåñü âîçíèêàåò ïðîáëåìà
ïðè âàðüèðîâàíèè ïî { }.ρΓ Äåéñòâèòåëüíî,
ρ ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, à Γ �
êîìáèíàöèÿ íåçàâèñèìî âàðüèðóåìûõ ïåðå-
ìåííûõ. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ïðåîäîëåíèÿ
ýòîé òðóäíîñòè çàêëþ÷àåòñÿ âî ââåäåíèè
äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ ïîâåðõ-
íîñòíûõ ôóíêöèé, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî
áûëî ñäåëàíî â ñëó÷àå îáû÷íîé ãèäðîäèíà-
ìèêè [24].  êà÷åñòâå îäíîé èç ýòèõ ôóíê-
öèé âûáåðåì z-êîìïîíåíòó ñêîðîñòè ãðàíè-
öû u, ïîëàãàÿ ,zu ue=r r
(ïðè ýòîì ),u R u∇ =r
ââîäÿ â ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü ëàãðàí-
æèàíà ñâÿçü uζ =& ñ ïîìîùüþ ìíîæèòåëÿ
Ëàãðàíæà :ψ
{ }0( , ) { } { } ( ),R F S uΣ = ρ ′ ∇ Γ + + χ Φ + ψ ζ −v
rrr &L
0 0 .ze u′ = −v v
rr r
Î÷åâèäíî, ÷òî òåïåðü ñîïðÿæåííûì ê ζ èìïóëü-
ñîì ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìàÿ âåëè÷èíà ,ψ à ïîâåð-
õíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ãàìèëüòîíèàíà ðàâíà
{ }0( , ) { } { } .R F S uΣ Σ≡ ψζ − = − ρ ′ ∇ Γ − −χ Φ +ψ
rrr&
vH L
(3.5)
Ïðåäïîëàãàÿ âàðèàöèè ψ è u íåçàâèñèìûìè
îò âàðèàöèé äðóãèõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì ïðè
âàðüèðîâàíèè (3.4) ñ ó÷åòîì (3.3) è (3.5) äâà
äîïîëíèòåëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ:
: { },uδ ⇒ ψ = − ρΓ (3.6)
.H H uΣζ = δ δψ = δ δψ =&
Âàðüèðîâàíèå ïî ζ òåïåðü äàåò:
2
08 n n
H H
p
δ ′ψ = − = + − ∂ +δζ π
& P v Q
( ) } { }0 0, .n n n nH S H ⊥+ ∂ + ∂ Φ + ∇ ρ Γ
rr r %%%v v (3.7)
Ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿþò
ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ äëÿ ïîâåðõíîñòíîé
îáîáùåííîé êîîðäèíàòû ζ è ñîïðÿæåííîãî
ê íåé èìïóëüñà .ψ Óðàâíåíèå (3.7) çàìåíÿåò
â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (2.45).
Îñòàëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñîâïàäàþò
ñ ðàññìîòðåííûìè âûøå. Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì
òîæäåñòâà (3.6) è ðàâåíñòâà 0Γ = óáåæäà-
åìñÿ, ÷òî ,ψ ψ& è { }0⊥∇ ρ Γr %%%v îáðàùàþòñÿ â
íóëü, òàê ÷òî óðàâíåíèÿ (3.7) è (2.45) ýêâè-
âàëåíòíû.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñôîðìóëèðîâàííûé âà-
ðèàöèîííûé ïðèíöèï â êàíîíè÷åñêèõ ïå-
ðåìåííûõ ïðèìåíèì äëÿ îïèñàíèÿ ÌÃÄ òå-
÷åíèé ñ ðàçðûâàìè, ïîñêîëüêó ñîâîêóï-
íîñòü âêëþ÷åííûõ â íåãî ãðàíè÷íûõ óñëî-
âèé òà æå, ÷òî è äëÿ ðàññìîòðåííîãî â ïðå-
äûäóùåì ðàçäåëå.
À. Â. Êàö
244 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò.7, ¹3
4. Çàêëþ÷åíèå
Ðàññìîòðåíû äâà âàðèàíòà âàðèàöèîííî-
ãî ïðèíöèïà, ïîçâîëÿþùèå èññëåäîâàòü ÌÃÄ
òå÷åíèÿ ñ ðàçðûâàìè â ýéëåðîâîì ïðåäñòàâ-
ëåíèè.  ÷àñòíîñòè, ñôîðìóëèðîâàí âàðèà-
öèîííûé ïðèíöèï â êàíîíè÷åñêèõ (ãàìèëü-
òîíîâûõ) ïåðåìåííûõ. Ïðè ýòîì êàíîíè÷åñ-
êîå îïèñàíèå òðåáóåò ââåäåíèÿ íå òîëüêî
îáúåìíûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëü-
ñîâ, íî òàêæå è ïîâåðõíîñòíîé ïàðû. Ïî-
âåðõíîñòíîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé ÿâëÿ-
åòñÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿþùàÿ óðàâíåíèå ïî-
âåðõíîñòè ðàçðûâà (â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå �
âîçâûøåíèå ãðàíèöû). Ïîâåðõíîñòíûé êà-
íîíè÷åñêèé èìïóëüñ îáðàùàåòñÿ â íóëü â
ñèëó ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ïî-
ëó÷åííûå âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ïîçâîëÿ-
þò ðàññìàòðèâàòü ÌÃÄ òå÷åíèÿ ñ ðàçðûâà-
ìè âñåõ äîïóñòèìûõ òèïîâ (ñ åäèíñòâåííûì
îãðàíè÷åíèåì � â òàíãåíöèàëüíûõ ðàçðûâàõ
ñêà÷îê ñêîðîñòè è ìàãíèòíîãî ïîëÿ âçàèìíî
îðòîãîíàëüíû).
Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ ðàññìîò-
ðåííîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ ÿâíîå âêëþ÷åíèå
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé â âàðèàöèîííûé ïðèí-
öèï. Êðîìå òîãî, èñïîëüçóåìîå ïðåäñòàâëå-
íèå ñêîðîñòè ÷åðåç îáîáùåííûå ïîòåíöèà-
ëû îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåíèÿ
íàèáîëåå îáùèõ ÌÃÄ òå÷åíèé, áåç êàêèõ-
ëèáî îãðàíè÷åíèé íà òîïîëîãè÷åñêèå èíâà-
ðèàíòû. Ïîëó÷åííîå îïèñàíèå äîïóñêàåò
ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê ñëó÷àþ îáû÷íîé ãèä-
ðîäèíàìèêè áåç êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà
õàðàêòåð òå÷åíèÿ. Íà áàçå ïðîâåäåííîãî àíà-
ëèçà âîçìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü óïðîùåííûå
âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû, ïîçâîëÿþùèå îïè-
ñàòü ðàçðûâû ÷àñòíûõ òèïîâ, ïîäîáíî òîìó,
êàê ýòî ñäåëàíî â ðàáîòå [24] äëÿ îáû÷íîé
ãèäðîäèíàìèêè. Ïðèíöèïèàëüíûì ìîìåí-
òîì ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåíèÿ â
ðàìêàõ ãàìèëüòîíîâà ïîäõîäà óäàðíûõ âîëí
è âðàùàòåëüíûõ ðàçðûâîâ.
Àâòîð ïðèçíàòåëåí Â. Ì. Êîíòîðîâè÷ó
çà ïëîäîòâîðíîå îáñóæäåíèå âîïðîñîâ, êà-
ñàþùèõñÿ ðàäèîàñòðîíîìè÷åñêèõ è àñò-
ðîôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, è Ñ. À. Äåðå-
âÿíêî çà ñîòðóäíè÷åñòâî íà ïîäãîòîâèòåëü-
íîì ýòàïå ðàáîòû.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå INTAS
(ãðàíò 00-00292).
Ëèòåðàòóðà
1. C. M. Begelman, R. D. Blanford, M. J. Rees. Rev.
Mod. Phys. 1984, 56, No. 2, pp. 255-351.
2. A. H. Bridle, R. A. Perley. Annual Rev. Astron.
and Astrophys. 1984, 22, pp. 319-358.
3. Ñ. Ã. Ãåñòðèí, Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Ðàäèîôèçèêà è
ðàäèîàñòðîíîìèÿ. 1997, 2, ¹ 4, ñ. 419-438.
4. M. L. Norman et al. Astron. Astrophys. 1982, 113,
No. 1, pp. 285-302.
5. J. W. Bates, D. C. Montgomery. Phys. Rev. Lett. 2000,
84, No. 6, pp. 1180-1183.
6. M. Mond, L. Drury. Asron. Asrophys. 1998, 338,
pp. 385-391.
7. Ñ. Ô. Ïèìåíîâ. ÆÝÒÔ. 1982, 83, âûï. 1(7), ñ.
106-113.
8. Â. Å. Çàõàðîâ, Í. Í. Ôèëîíåíêî. ÏÌÒÔ. 1967,
¹5, ñ. 310-314.
9. Â. Å. Çàõàðîâ. ÏÌÒÔ. 1968, ¹2, ñ. 86-90.
10. H. D. I. Abarbanel, R. Brown, Y. M. Yang. Phys.
Fluids. 1988, 31, No. 10, pp. 2802-2809.
11. D. Lewis, J. Marsden, R. Montgomery. Physica.
1986, 18D, pp. 391-404.
12. Â. È. Àðíîëüä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàñ-
ñè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ìîñêâà, Íàóêà, 1974, 432 ñ.
13. V. E. Zakharov, V. S. L�vov, G. Falkovich.
Kolmogorov Spectra of Turbulence. Wave
Turbulence. Springer�Verlag, N.Y., 1992, 330 pp.
14. V. A. Vladimirov, H. K. Moffatt. J. Fluid Mech.
1995, 283, pp. 125-139.
15. V. A. Vladimirov, H. K. Moffatt, K. I. Ilin. J. Fluid
Mech. 1996, 329, pp. 187-205; J. Plasma Phys. 1997,
329, pp. 89-120; J. Fluid Mech. 1999, 390, pp. 127-
150.
16. Â. Ë. Áåðäè÷åâñêèé. Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû
â ìåõàíèêå ñïëîøíîé ñðåäû. Ìîñêâà, Íàóêà, 1983,
447 ñ.
17. Â. Ï. Ãîí÷àðîâ, Â. È. Ïàâëîâ. Ïðîáëåìû ãèäðî-
äèíàìèêè â ãàìèëüòîíîâîì îïèñàíèè. Ìîñêâà,
Èçä. ÌÃÓ, 1993, 196 ñ.
18. H. Lamb. Hydrodynamics. Cambridge Univ. Press,
1932, 459 pp.
19. Â. Å. Çàõàðîâ, Å. À. Êóçíåöîâ. ÓÔÍ. 1997, 167,
¹11, ñ. 1137-1167.
20. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðî-
íîìèÿ. 2001, 6, ¹3, ñ. 165-211.
Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû è êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå äëÿ ÌÃÄ òå÷åíèé ñ ðàçðûâàìè
245Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹3
21. À. Í. Êðàéêî. ÏÌÌ. 1981, 45, ñ. 256-263.
22. Â. Ì. Êîíòîðîâè÷, Õ. Êðàâ÷èê, Â. Òèìå. Ïðå-
ïðèíò ÈÐÝ ÀÍ ÓÑÑÐ. Õàðüêîâ, 1980, ¹158, 12 ñ.;
ñá. �Âçàèìîäåéñòâèå è ñàìîâîçäåéñòâèå âîëí â íå-
ëèíåéíûõ ñðåäàõ.� ×àñòü II. Äóøàíáå, èçä-âî Äî-
íèø, 1988, ñ 73-77.
23. À. Â. Êàö, Â. Ì. Êîíòîðîâè÷. ÔÍÒ. 1997, 23,
¹1, ñ. 1137-1167.
24. A. V. Kats. Physica D. 2001, 152-153, pp. 459-474.
25. C. C. Lin. Liquid helium. In: Proc. of Int. School
of physics, Course XXI. 1963. Academic Press,
New York.
26. È. Ì. Õàëàòíèêîâ. ÆÝÒÔ. 1952, 23, ¹1,
ñ. 169-176.
27. A. V. Kats, V. N. Korabel. Problems of Atomic
Science and Technology. 2001, No. 6, pp. 88-90.
28. Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö. Ýëåêòðîäèíàìèêà
ñïëîøíûõ ñðåä. Ìîñêâà, Íàóêà, 1982, 620 ñ.
29. Ä. Ì. Ãèòìàí, È. Â. Òþòèí. Êàíîíè÷åñêîå êâàí-
òîâàíèå ïîëåé ñî ñâÿçÿìè. Ìîñêâà, Íàóêà, 1986,
216 ñ.
Variational Principles and Canonical
Variables for MHD Flows with Breaks. I
A. V. Kats
In the paper some astrophysical problems are
formulated relating to magnetohydrodynamic
flows with breaks (jets, shocks, etc.) which sol-
ving needs investigation of the nonlinear stage of
instability.
As the first step, some variants of the varia-
tional principle are under examination in appli-
cation to dissipation-free magnetohydrodynamic
flows with discontinuities in the Euler represen-
tation both in terms of Lagrange and Hamilton
(canonical) variables. The generalized Clebsch
representation for the velocity field follows from
the variational principle due to including the con-
straint terms into the action. The gauge freedom
related to the introducing of generalized poten-
tials which describe the velocity field is discussed.
The advantage of the representation introduced
lies in the fact that it corresponds to the general
type flows and includes all limiting cases (isen-
tropic and barotropic flows, etc.). At the same
time all the invariants of the motion (including
topological invariants) possess nonzero values.
Besides, the limiting transition to the case of
conventional hydrodynamics also leads to the
nonzero values of all hydrodynamic invariants,
including helicity. There are obtained such bound-
ary conditions on the breaks for the generalized
potentials (which represent generalized coordi-
nates and conjugate momenta) that make them
equivalent to conventional boundary conditions.
The principal new point of the approach proposed
is the fact that it allows dealing not only with the
contact breaks, but with shocks and rotational
breaks as well. The case of slide breaks needs
extra examining because the variational princi-
pal formulated allows dealing only with such
subset of slides in which the jumps of the velo-
city and magnetic field are orthogonal.
The approach proposed allows essential simpli-
fication of the astrophysical problems formulated,
and can be used for other analogous problems.
|