Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач
Запропоновано підхід на основі генетичних алгоритмів для розв’язання нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Наведено результати чисельного експерименту. Предложен подход на основе генетических алгоритмов для решения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122839 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2015. — № 14. — С. 16-23. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860224578336325632 |
|---|---|
| author | Вакал, Л.П. |
| author_facet | Вакал, Л.П. |
| citation_txt | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2015. — № 14. — С. 16-23. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Комп’ютерні засоби, мережі та системи |
| description | Запропоновано підхід на основі генетичних алгоритмів для розв’язання нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Наведено результати чисельного експерименту.
Предложен подход на основе генетических алгоритмов для решения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены результаты численного эксперимента.
An approach based on genetic algorithms for solving of nonlinear boundary value problems for ordinary differential equations is proposed. Numerical experiment results are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:19:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 16
L. Vakal
GENETIC ALGORITHMS
AS A TOOL FOR SOLVING
OF NONLINEAR BOUNDARY
VALUE PROBLEMS
An approach based on genetic algo-
rithms for solving of nonlinear
boundary value problems for ordi-
nary differential equations is pro-
posed. Numerical experiment results
are given.
Key words: genetic algorithm,
nonlinear boundary value problem,
numerical experiment.
Предложен подход на основе ге-
нетических алгоритмов для реше-
ния нелинейных краевых задач для
обыкновенных дифференциальных
уравнений. Приведены результа-
ты численного эксперимента.
Ключевые слова: генетический
алгоритм, нелинейная краевая
задача, численный эксперимент.
Запропоновано підхід на основі
генетичних алгоритмів для роз-
в’язання нелінійних крайових задач
для звичайних диференціальних
рівнянь. Наведено результати
чисельного експерименту.
Ключові слова: генетичний алго-
ритм, нелінійна крайова задача,
чисельний експеримент.
Л.П. Вакал, 2015
УДК 519.6:004.021
Л.П. ВАКАЛ
ГЕНЕТИЧНI АЛГОРИТМИ
ЯК IНСТРУМЕНТ РОЗВ’ЯЗАННЯ
НЕЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
Вступ. Крайові задачі для звичайних диферен-
ціальних рівнянь другого порядку часто зустрі-
чаються в різних областях науки і техніки: ба-
лістиці, теорії пружності, механіці рідин та га-
зів, оптимальному керуванні та ін. Знайти точ-
ні розв’язки таких задач у елементарних функ-
ціях вдається лише в окремих випадках: для
цього необхідно знайти загальний розв’язок
диференціального рівняння і явно визначити з
крайових умов значення відповідних сталих.
Для чисельного розв’язання крайових задач
застосовують метод стрільби, що ґрунтується на
зведенні крайової задачі до задачі Коші [1, 2], та
різницевий метод, в якому початкова задача
наближено замінюється розв’язанням системи
алгебраїчних рівнянь з великим числом невідо-
мих − значеннями розв’язку у вузлах сітки [2,
3]. У нелінійному випадку обидва методи є іте-
раційними, при цьому побудова добре збіжних
ітераційних процесів сама виявляється досить
складною задачею [1]. Для отримання розв’язку
крайової задачі у вигляді аналітичного виразу
використовують наближено-аналітичні методи
(Гальоркіна, колокації, найменших квадратів та
ін.) [2, 3]. В них параметри наближеного
розв’язку визначають з умови мінімуму деякої
функції нев’язки, що у підсумку приводить до
необхідності розв’язан- ня системи алгебраїч-
них рівнянь. У випадку нелінійної крайової за-
дачі ця система також є нелінійною.
У даній роботі для знаходження наближе-
ного розв’язку нелінійної крайової задачі у
вигляді аналітичного виразу пропонується
підхід, що ґрунтується на застосуванні гене-
тичних алгоритмів для визначення оптима-
льних значень параметрів вказаного виразу.
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ЯК ІНСТРУМЕНТ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 17
Генетичні алгоритми − це потужний і гнучкий інструмент розв’язання скла-
дних оптимізаційних задач. Ідея генетичного алгоритму (ГА) полягає у
комп’ютерній організації еволюційного процесу створення, модифікації та від-
бору кращих розв’язків (у термінах ГА − особин). Перевагою ГА є те, що пошук
найкращих розв’язків у ньому здійснюється не з єдиної точки, як у більшості
традиційних методів оптимізації, а з цілої множини точок − популяції особин.
Сьогодні генетичні алгоритми широко використовуються для розв’язання
багатьох задач, про що свідчить велика бібліографія (див., наприклад, [4−11]).
Однак, публікацій з питання застосування ГА для розв’язання нелінійних крайо-
вих задач у науковій літературі вкрай мало [12, 13]. Дана стаття дозволить запо-
внити певні прогалини у вказаному питанні, а також поповнити арсенал ефекти-
вних методів знаходження наближених розв’язків нелінійних крайових задач.
Постановка задачі. Нехай задано нелінійне рівняння другого порядку
( ) 0=′′′ u,u,u,xf . (1)
Крайова задача для диференціального рівняння (1) ставиться наступним чином
[2]: знайти функцію ( )xuu = , яка всередині відрізку [ ]b,a задовольняє рівнянню
(1), а на кінцях відрізку – крайовим умовам (у загальному випадку − нелінійним)
( ) ( )[ ] 01 =′ au,aug , ( ) ( )[ ] 02 =′ bu,bug . (2)
Для наближеного розв’язку задачі (1), (2) вибирають функцію
( )nc,,c;xyy 1= , (3)
яка містить незалежні параметри nc,,c 1 і при довільному виборі цих парамет-
рів задовольняє крайовим умовам (2).
У випадку, коли крайові умови (2) лінійні, тобто
( ) ( ) 111 γ=′β+α auau , ( ) ( ) 222 γ=′β+α bubu , (4)
де iii ,, γβα – задані числа і 022 >β+α ii , 21,i = , функцію ( )xy доцільно вибирати у
вигляді
( ) ( ) ( )∑
=
ϕ+ϕ=
n
k
kkn xcxccxy
1
01 ,,; , (5)
де kϕ − лінійно незалежні, двічі неперервно диференційовані на [ ]b,a функції,
що задовольняють однорідним крайовим умовам, а функція 0ϕ − неоднорідним
крайовим умовам (4).
Підставляючи функцію ( )xy в ліву частину рівняння (1), отримують дифе-
ренціальну нев’язку
( ) ( )y,y,y,xfc,,c;xR n ′′′=1 . (6)
Якщо при деяких значеннях параметрів nc,,c 1 нев’язка (6) тотожно дорів-
нює нулю на відрізку [ ]b,a , то функція ( )xy збігається з точним розв’язком ( )xu
крайової задачі, оскільки задовольняється як диференціальне рівняння, так і
крайові умови.
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 18
Як правило, при розв’язанні крайових задач не вдається отримати нев’язку
тотожно рівною нулю. Тому ставиться задача: знайти такі значення параметрів
nc,,c 1 наближеного розв’язку ( )nc,,c;xy 1 , щоб на відрізку [ ]b,a відхилення
нев’язки (6) від нуля було мінімально можливим. Спосіб обчислення цього від-
хилення, яке позначимо ∆ , залежить від вибраного наближено-аналітичного
методу, наприклад, у методі найменших квадратів (дискретний варіант) −
( )∑
=
=∆
m
i
ni c,,c;xR
1
1
2 , (7)
у методі чебишовських наближень −
( )ni
mi
c,,c;xR 1
1
max
≤≤
=∆ , (8)
де ix − задані точки і nm >> .
Слід зазначити, що в нелінійному випадку знайти параметри nc,,c 1 досить
складно. Труднощі пов’язані не тільки з розв’язанням системи нелінійних рівнянь, як
зазначалося вище, але й з обчисленням матриці коефіцієнтів і координат вектора
правих частин цієї системи: в деяких методах це вимагає інтегрування по всьому
відрізку. Звичайно інтеграли доводиться обчислювати наближено з використан-
ням методів чисельного інтегрування (явне обчислення інтегралів можливе ли-
ше в окремих дуже простих випадках).
Для отримання розв’язку крайової задачі (1), (2) у вигляді аналітичного ви-
разу нами пропонується інший підхід. Він полягає у тому, що задача знаходжен-
ня оптимальних значень параметрів nc,,c 1 наближеного розв’язку ( )xy розг-
лядається як оптимізаційна задача пошуку мінімуму функції відхилення ∆ (де гло-
бальний мінімум дорівнює нулю і досягається на точному розв’язку ( )xu крайо-
вої задачі), і отримана оптимізаційна задача розв’язується за допомогою генети-
чного алгоритму. При такому підході розв’язок оптимізаційної задачі представ-
ляється у вигляді вектора (у термінах ГА − особини або хромосоми), компонен-
тами якого є шукані параметри nc,,c 1 (гени).
Генетичний алгоритм. ГА представляє собою стохастичну процедуру, що
імітує еволюційний процес створення, модифікації та відбору кращих особин
(розв’язків задачі). Кожна особина характеризується своєю хромосомою
( ) ( ) ( )( )k
n
kk
k p,,p,pP 21= , де n − число генів у хромосомі, і значенням функції
пристосованості ( )kk PFitFit = , N,k 1= , де N − чисельність популяції.
Значення функції пристосованості (функції цілі, фітнес-функції) фактично є
оцінкою якості закодованого в хромосомі розв’язку задачі. Мета ГА полягає у
пошуку особини з найкращим (найбільшим або найменшим) значенням функції
пристосованості.
Важливо зазначити, що ГА шукає розв’язок якнайближчий до оптимально-
го, але не гарантує знаходження точного максимуму (мінімуму) функції присто-
сованості [9].
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ЯК ІНСТРУМЕНТ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 19
Еволюція популяції моделюється послідовністю поколінь ( ){ }tPk ,
,,,t 210= , при цьому в кожному наступному поколінні її склад змінюється з
метою збільшення пристосованості особин.
Перші публікації щодо використання принципів біологічної еволюції для
розв’язання оптимізаційних задач з’явилися ще у 1960-х роках. А в 1975 році
вийшла знакова робота Дж. Холланда «Адаптація в природних і штучних си-
стемах» [14], де власне і був запропонований перший генетичний алгоритм.
Схема стандартного ГА складається з таких основних кроків:
1) створення початкового покоління популяції;
2) обчислення для кожної особини значення функції пристосованості;
3) застосування операторів схрещування (кросовера), мутації та селекції для
отримання нового покоління популяції;
4) перевірка критерію зупинки алгоритму, і у разі його невиконання повто-
рення еволюційного процесу з кроку 2.
Можливі різні варіанти реалізації стандартної схеми ГА, які відрізняються
операторами схрещування, мутації та селекції, процедурами вибору батьків для
схрещування, формою представлення хромосом (двійкове чи дійсне кодування) і
т. ін. [8, 9]. Вибір того або іншого варіанту реалізації стандартних складових при
розробці ГА для розв’язання конкретної задачі залежить від ряду факторів: осо-
бливостей предметної області, формалізації задачі, структури даних та ін.
Для розв’язання нелінійних крайових задач (1), (2) було взято ГА, запропо-
нований автором у роботі [11] для апроксимації функцій. Цей алгоритм має такі
особливості реалізації стандартної схеми ГА.
Початкове покоління популяції ( ){ }0kP створюється з N хромосом (особин)
kP , N,k 1= , кожна з яких складається з n генів ( ) ( ) ( )k
n
kk p,,p,p 21 , вибраних ви-
падковим чином із деякого заданого діапазону чисел. Ген ( )k
ip відповідає зна-
ченню параметра ic шуканого розв’язку крайової задачі.
В алгоритмі використовується дійсне кодування хромосом, коли гени на-
пряму подаються у вигляді дійсних чисел [15, 16]. У більшості випадків алгори-
тми з дійсним кодуванням здійснюють пошук оптимуму краще та швидше, ніж з
двійковим кодуванням [16].
Функція пристосованості обчислюється за формулою
( ) ( )kk PPFit ∆= , (9)
де ( )kP∆ − відхилення нев’язки закодованого в хромосомі розв’язку від нуля,
наприклад, квадратичне відхилення (7) або чебишовське відхилення (8). Чим
менше значення функції цілі (9), тим краще пристосованою є особина.
Для обчислення функції відхилення ∆ розрахункова область крайової зада-
чі покривається сіткою з m точок ix .
Батьки для створення нащадків вибираються за допомогою процедури пар-
ного турнірного відбору [8]. Схрещування здійснюється на основі змішаного
BLX−α кросовера з α = 0,5 [16]. При мутації змінюється значення випадкового
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 20
гена одного нащадка, який також вибирається випадковим чином. З розширеної
популяції батьків та нащадків до нового покоління включаються лише N осо-
бин з найменшим значенням функції пристосованості (9).
Умовою зупинки алгоритму є досягнення заданого (максимального) числа
поколінь maxt .
Слід зазначити, що оскільки ГА базується на імовірнісному підході, то при-
йнятний розв’язок можна отримати лише за наявності достатнього числа пусків
алгоритму.
Чисельний експеримент та його результати. Для проведення чисельного
експерименту в системі програмування Delphi на основі описаного ГА створено
комп’ютерну програму для розв’язання крайових задач. У ній передбачено, що
значення деяких параметрів ГА задаються користувачем, а саме:
• число генів у хромосомі n;
• розмір популяції N ;
• число поколінь maxt ;
• число пусків алгоритму;
• точки сітки ix ( )m,i 1= (якщо сітка рівномірна, то задається тільки число
m або крок сітки);
• діапазон чисел, з якого за допомогою датчика випадкових чисел генеру-
ються значення генів у початковому поколінні;
• вигляд функції пристосованості .Fit
З використанням створеної програми проведено чисельний експеримент по
розв’язанню низки задач, для яких відомі точні розв’язки. Тут наведено два при-
клади знаходження розв’язків крайових задач для нелінійних диференціальних
рівнянь з лінійними (приклад 1) і нелінійними (приклад 2) крайовими умовами.
Приклад 1. Потрібно знайти розв’язок крайової задачі
( ) 2164 2 =+′−′′ uuu ,
( ) 00 =u , ( ) 11 =u .
Наближений розв’язок y(x) цієї задачі шукаємо у вигляді
( ) ( ) ( )xxñxxñxxy −+−+= 11 2
21 . (10)
Після підстановки функції (10) в диференціальне рівняння отримуємо
нев’язку
( )21 c,c;xR ( ) ( )[ ] ( ) 2164 2 −+−= xyxqxr ,
де ( ) ( ) ( )2
21 32211 xxñxñxq −+−+= , ( ) ( )xññxr 3122 21 −+−= .
Для знаходження значень коефіцієнтів 1ñ і 2ñ , які мінімізують чебишовське
відхилення (8), застосовано розроблену програму з такими параметрами ГА:
• число генів у хромосомі − 2;
• розмір популяції − 70 особин;
• число поколінь − 120;
• число пусків − 50;
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ЯК ІНСТРУМЕНТ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 21
• сітка по х рівномірна з кроком 0.01;
• початкова популяція вибирається з інтервалу ( )11,− ;
• функція пристосованості має вигляд
( ) ( )i
i
k xRmaxPFit
1011 ≤≤
= . (11)
У результаті роботи програми отримані такі значення коефіцієнтів:
,4000000000000.11 −≈с ,04000000000000.02 −≈с
при цьому значення функції пристосованості (11) для знайденого розв’язку
( ) 32 00045000000000000037500000000001004200000000000 x.x.x.xy ++−= (12)
дорівнює 121046 −⋅. .
Легко бачити, що знайдений за ГА наближений розв’язок (12) крайової за-
дачі практично збігається з її точним розв’язком ( ) 2xxu = .
Приклад 2. Знайти розв’язок нелінійної крайової задачі:
( ) 02 =′−⋅′′ uuu ,
( ) ( ) 100 =′⋅uu , ( ) ( ) 011 =′−uu .
Наближений розв’язок цієї задачі шукаємо у вигляді
( ) ∑
=
−=
5
1
1
k
k
k xcxy . (13)
На відміну від задачі приклада 1 функція (13) не задовольняє точно крайо-
вим умовам для довільних значень kc ( )51,k = . Тому, після її підстановки в рів-
няння та в крайові умови отримуємо три нев’язки: диференціальну нев’язку
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2543211 xqxyxr,c,c,c,c,c;xR −⋅= (14)
і дві нев’язки крайових умов
( ) 121212 −⋅= ccc,cR , ( ) 543154313 32 ñññcc,c,c,cR −−−= , (15)
де ( ) 2
543 1262 xcxññxr ++= , ( ) 3
5
2
432 432 xñxñxññxq +++= .
Коефіцієнти kñ визначались за допомогою згаданої вище комп’ютерної
програми з такими параметрами ГА:
• число генів у хромосомі − 5;
• розмір популяції − 100 особин;
• число поколінь − 150;
• число пусків − 50;
• сітка по х рівномірна з кроком 0.01;
• початкова популяція вибирається з інтервалу ( )10, ;
• функція пристосованості має вигляд
( )
{ }
( ) 321 RRxRmaxPFit i
x
k
i
++= . (16)
У результаті роботи програми отримані такі значення коефіцієнтів набли-
женого розв’язку (13):
Л.П. ВАКАЛ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 22
99935701 .ñ = , 00062712 .ñ = , 50866603 .ñ = , 13439404 .ñ = , 07396805 .ñ = , (17)
при цьому значення функції пристосованості (16) дорівнює 0.01557.
Як видно з рисунка, при розв’язанні задачі ми досить швидко наблизились у
ГА від випадково вибраних розв’язків до близьких до оптимального: вже у 50-
му поколінні значення функції пристосованості (16) стає меншим 0.02.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
t
Fit
РИСУНОК. Залежність значення функції пристосованості Fit від числа поколінь t
Оскільки відомий точний розв’язок ( ) xexu = розглядуваної крайової задачі,
то можна обчислити похибку отриманого наближеного розв’язку. В розрахунко-
вій області крайової задачі ця похибка дорівнює 0.001.
Легко бачити, що коефіцієнти (17) близькі до коефіцієнтів ka розкладу в
ряд Тейлора функції xe (точного розв’язку крайової задачі)
11 =a , 12 =a , 503 .a = , 166670614 .a ≈= , 0416702415 .a ≈= .
Однак, похибка розв’язку (13) з коефіцієнтами ka замість kc дорівнює 0.00995,
що майже в 10 разів більше, ніж похибка знайденого за ГА розв’язку.
Висновки. При дослідженнях різноманітних проблем природознавства час-
то використовуються математичні моделі на основі диференціальних рівнянь. В
даній роботі запропоновано підхід до розв’язання нелінійних крайових задач для
звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, що ґрунтується на засто-
суванні генетичних алгоритмів для знаходження оптимальних значень парамет-
рів наближених розв’язків цих задач.
Перевагами ГА є ясність схеми побудови алгоритму, відсутність обмежень
на вигляд функції пристосованості, пошук найкращих розв’язків не з єдиної то-
чки, а з цілої множини точок. Крім того, структура алгоритму дає можливість
ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ЯК ІНСТРУМЕНТ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015, № 14 23
використання його для знаходження розв’язків інших подібних задач, не розро-
бляючи нової структури даних, не впроваджуючи нового підходу до розв’язання
задачі. Водночас ГА має ряд недоліків, зокрема, велике число пусків для отри-
мання прийнятного розв’язку, емпіричний підбір деяких параметрів алгоритму
та ін.
Результати виконаного чисельного експерименту показали, що отримані за
допомогою ГА наближені розв’язки нелінійних крайових задач добре узгоджу-
ються з їх точними розв’язками.
1. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука,
1967. – 368 с.
3. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.:
Наука, 1972. – 368 с.
4. Пейгин С.В., Перио Ж,, Тимченко С.В. Применение генетических алгоритмов для опти-
мизации формы тела по тепловому потоку // Мат. моделирование. – 1998. – Т. 10, № 9. –
С. 111–122.
5. Клепиков В.Б., Сергеев С.А., Махотило К.В. и др. Применение методов нейронных сетей
и генетических алгоритмов в решении задач управления электроприводами // Электро-
техника. – 1999. – № 5. – С. 2–6.
6. Сергеева О.П. Применение генетических алгоритмов для распознавания изображений //
Искусственный интеллект. – 2002. – № 4. – С. 516–520.
7. Nanda J., R. Narayanan R. Application of genetic algorithm to economic load dispatch with
lineflow constraints // International journal of electrical power & energy systems. – 2002. –
Vol. 24, N 9. – С. 723–729.
8. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы. – Астрахань: Издательский дом «Астраханский
университет», 2007. – 87 с.
9. Подлазова А.В. Генетические алгоритмы на примерах задач раскроя // Проблемы управ-
ления. – 2008. – № 2. – С. 57–63.
10. Погорілий С.Д., Білоус Р.Б. Генетичний алгоритм розв’язання задачі маршрутизації в
мережах // Проблеми програмування. – 2010. – № 2–3 Спец. вип. – С. 171–178.
11. Вакал Л.П. Генетичні алгоритми для чебишовської апроксимації // Комп’ютерні засоби,
мережі та системи. – 2013. – № 12. – С. 20–26.
12. Ясницкий Л.Н., Гладкий С.Л., Никитенко И.И. и др. Искусственный интеллект в решении
краевых задач проектной инженерии. – [Электронный ресурс]. − Режим доступа:
http://www.permai.ru/files/projects/P03.pdf.
13. Abu-Arqub Omar, Abo-Hammour Zaer, Momani Shaher. Application of continuous genetic
algorithm for nonlinear system of second-order boundary value problems // Appl. Math. Inf.
Sci. – 2014. – Vol. 8, N 1. – P. 235 – 248.
14. Holland J.H. Adaptation in natural and artificial systems. – Ann Arbor: Univ. of Michigan
Press, 1975. – 219 p.
15. Wright A. Genetic algorithms for real parameter optimization // Foundations of Genetic Algo-
rithms. – 1991. – Vol. 1. – P. 205 – 218.
16. Herrera F., Lozano M., Verdegay J.L. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and
tools for the behaviour analysis // Artificial Intelligence Review. – 1998. – Vol. 12, N 4. –
P. 265 – 319.
Одержано 16.09.2014
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0142061502000029
ftp://decsai.ugr.es/pub/arai/tech_rep/ga-fl/AIRE96.ps.Z
ftp://decsai.ugr.es/pub/arai/tech_rep/ga-fl/AIRE96.ps.Z
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-122839 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1817-9908 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:19:28Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вакал, Л.П. 2017-07-21T07:17:00Z 2017-07-21T07:17:00Z 2015 Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. — 2015. — № 14. — С. 16-23. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1817-9908 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122839 519.6:004.021 Запропоновано підхід на основі генетичних алгоритмів для розв’язання нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Наведено результати чисельного експерименту. Предложен подход на основе генетических алгоритмов для решения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены результаты численного эксперимента. An approach based on genetic algorithms for solving of nonlinear boundary value problems for ordinary differential equations is proposed. Numerical experiment results are given. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Комп’ютерні засоби, мережі та системи Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач Genetic algorithms as a tool for solving of nonlinear boundary value problems Article published earlier |
| spellingShingle | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач Вакал, Л.П. |
| title | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач |
| title_alt | Genetic algorithms as a tool for solving of nonlinear boundary value problems |
| title_full | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач |
| title_fullStr | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач |
| title_full_unstemmed | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач |
| title_short | Генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач |
| title_sort | генетичні алгоритми як інструмент розв'язання нелінійних крайових задач |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/122839 |
| work_keys_str_mv | AT vakallp genetičníalgoritmiâkínstrumentrozvâzannânelíníinihkraiovihzadač AT vakallp geneticalgorithmsasatoolforsolvingofnonlinearboundaryvalueproblems |