Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона
Изучается структура фазового пространства в окрестности известных периодических решений задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для семейств частных решений, полученных Ковалевским, Горячевым...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123688 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона / И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 50-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123688 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гашененко, И.Н. Кучер, Е.Ю. 2017-09-08T16:49:26Z 2017-09-08T16:49:26Z 2002 Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона / И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 50-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123688 531.38 Изучается структура фазового пространства в окрестности известных периодических решений задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для семейств частных решений, полученных Ковалевским, Горячевым и Докшевичем. В пространстве параметров определены области динамической неустойчивости движения. Для типичных значений параметров приведены результаты компьютерного моделирования. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона |
| spellingShingle |
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона Гашененко, И.Н. Кучер, Е.Ю. |
| title_short |
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона |
| title_full |
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона |
| title_fullStr |
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона |
| title_full_unstemmed |
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона |
| title_sort |
характеристические показатели периодических решений уравнений эйлера-пуассона |
| author |
Гашененко, И.Н. Кучер, Е.Ю. |
| author_facet |
Гашененко, И.Н. Кучер, Е.Ю. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Изучается структура фазового пространства в окрестности известных периодических решений задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для семейств частных решений, полученных Ковалевским, Горячевым и Докшевичем. В пространстве параметров определены области динамической неустойчивости движения. Для типичных значений параметров приведены результаты компьютерного моделирования.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123688 |
| citation_txt |
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона / И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 50-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gašenenkoin harakterističeskiepokazateliperiodičeskihrešeniiuravneniiéilerapuassona AT kučereû harakterističeskiepokazateliperiodičeskihrešeniiuravneniiéilerapuassona |
| first_indexed |
2025-11-27T01:29:18Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:29:18Z |
| _version_ |
1850791025449107456 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.38
c©2002. И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА–ПУАССОНА
Изучается структура фазового пространства в окрестности известных периодических решений задачи о дви-
жении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной
системы уравнений возмущенного движения для семейств частных решений, полученных Ковалевским, Го-
рячевым и Докшевичем. В пространстве параметров определены области динамической неустойчивости
движения. Для типичных значений параметров приведены результаты компьютерного моделирования.
Введение. Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки описывается
уравнениями Эйлера–Пуассона
Aω̇ = Aω × ω + r× ν, ν̇ = ν × ω. (1)
Эти уравнения допускают три алгебраических интеграла
1
2
Aω · ω − r · ν = h, Aω · ν = g, ν · ν = 1.
Исследуем поведение решений уравнений (1) в окрестности частного периодического ре-
шения вида
ω = ω∗(t), ν = ν∗(t), (2)
которое без ограничения общности будем считать 2π-периодическим. Детальное анали-
тическое и качественное описание известных периодических решений динамики твердого
тела имеется в монографиях [1, 2].
Положим ω = ω∗ + δω, ν = ν∗ + δν и обозначим x = (δω, δν)T . Запишем лине-
аризованную относительно x систему уравнений возмущенного движения (уравнение в
вариациях)
ẋ = A(t)x, (3)
где коэффициенты матрицы A(t) являются периодическими функциями и для всех t
выполняется равенство A(t) = A(t + 2π). Общие свойства дифференциальных уравнений
(3) достаточно хорошо изучены [3]. Матрица X(t) фундаментальной системы решений
уравнения (3) удовлетворяет следующим соотношениям
X(0) = E, X(t + 2π) = X(t)X(2π), detX(t) = 1, (4)
где E – единичная матрица шестого порядка. Матрица X(2π) называется матрицей моно-
дромии, а ее собственные значения – мультипликаторами уравнения в вариациях. Мульти-
пликаторы являются решениями характеристического уравнения
det [X(2π)− ρE] = 0. (5)
Каждому собственному вектору ak матрицы монодромии X(2π) с мультипликатором ρk
соответствует решение xk(t) = X(t)ak уравнения (3), удовлетворяющее условию
xk(t + 2π) = ρkx
k(t).
50
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона
Пусть ρ1, ..., ρ6 – мультипликаторы уравнения (3), тогда характеристическими показателями
уравнения (3) являются величины
λk =
1
2π
ln ρk, k = 1, ..., 6. (6)
1. Вычисление характеристических показателей. В рассматриваемой постановке
необходимо вычислить только два показателя (6), так как уравнение в вариациях имеет не
менее четырех нулевых характеристических показателей из шести. Предположим, что для
фиксированного набора конструктивных параметров Ai, ri, определяющих распределение
масс в твердом теле, известна начальная точка (ω(0), ν(0)), принадлежащая периодическо-
му решению (2) системы (1). В этом случае для вычисления характеристических показа-
телей уравнения (3) требуется проинтегрировать уравнения (1) с начальными условиями
(ω(0), ν(0)) и решить задачу Коши для матричного уравнения
Ẋ = A(t)X, (7)
с начальным условием X(0) = E. Если для периодического решения (2) известны явные
зависимости фазовых переменных от времени, тогда требуется проинтегрировать только
уравнение (7) с известными периодическими коэффициентами. В задачах динамики твер-
дого тела коэффициенты матрицы A(t) обычно зависят от сложных функций, полученных
обращением эллиптических и гиперэллиптических квадратур. В редких случаях уравнение
(7) может быть решено в явном виде.
Один из методов упрощения уравнения (3) связан с понижением порядка системы
на фиксированном интегральном уровне. Тогда (3) сводится к линейному неоднородно-
му уравнению второго порядка с периодическими коэффициентами (уравнению Хилла).
Характеристические показатели этого уравнения могут быть найдены из различных доста-
точных условий. Некоторые результаты данного подхода перечислены в обзоре [4].
Метод редукции, использующий свойство обратимости линейной 2π-периодической
системы (3), рассмотрен в работе [5]. Уравнения в вариациях записываются в следующем
виде
u̇ = A−(t)u + A+(t)v, v̇ = B+(t)u + B−(t)v, (8)
где u ∈ R4, v ∈ R2, матрицы с индексами плюс (минус) состоят из четных (нечетных)
функций. Система (8) инвариантна относительно линейных преобразований
ϕ1 : (t,u,v) → (−t,−u,v), ϕ2 : (t,u,v) → (−t,u,−v),
неподвижные точки которых принадлежат множествам
M1 = {u,v : u = 0}, M2 = {u,v : v = 0}.
Вместе с каждым решением u(t),v(t) обратимая система (8) допускает решения, симмет-
ричные относительно множеств M1 и M2. Введем обозначения u±(t),v±(t) для решений,
составленных из четных или нечетных функций. Тогда фундаментальная матрица решений
системы (8) записывается в виде
S(t) =
(
u+(t) u−(t)
v−(t) v+(t)
)
, где S(0) = E.
51
И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер
Если ρ является собственным значением матрицы монодромии S(2π), тогда матрицы
S(−2π) = S−1(2π), 2S = S(2π) + S(−2π) имеют собственные значения, равные соответ-
ственно ρ−1 и ρ+ρ−1. Также известно [5], что обратимая система (8) имеет не менее двух
мультипликаторов, равных единице, а все остальные мультипликаторы % = (ρ + ρ−1)/2
являются корнями квадратного уравнения
det[v+(2π)− %E2] = 0, где E2 = diag(1, 1). (9)
Следствием этого утверждения является важный результат: для вычисления характеристи-
ческих показателей обратимой линейной системы (8) достаточно построить только два
частных решения задачи Коши на отрезке [0, 2π] с начальными условиями
1) u(0) = 0, v1(0) = 1, v2(0) = 0; 2) u(0) = 0, v1(0) = 0, v2(0) = 1.
2. Частные периодические решения.
Решение Гриоли. Распределение масс в твердом теле подчиним условиям
A1 > A2 > A3, r1
√
A2 − A3 + r3
√
A1 − A2 = 0, r2 = 0.
Константы первых интегралов запишем в виде
h =
A1 + A3
2(A2
1 + A1A3 + A2
3 − A1A2 − A2A3)
1
2
, g =
A1A3
(A2
1 + A1A3 + A2
3 − A1A2 − A2A3)
3
4
.
При этих параметрических ограничениях Дж. Гриоли в 1947 г. нашел семейство перио-
дических решений системы (1), которое выражается через тригонометрические функции
времени и зависит от двух свободных параметров α, β. Положим α = A2/A1, β = A3/A1,
тогда физически допустимые значения параметров α, β принадлежат треугольнику с вер-
шинами P1(1, 0), P2(1, 1), P3(1/2, 1/2). Устойчивость решения Гриоли в первом приближе-
нии полностью исследована в работах [5-7], нелинейный анализ орбитальной устойчивости
выполнен А.П. Маркеевым [7].
а) Случай Гриоли б) Случай Докшевича
Рис. 1. Области неустойчивости и кривые резонансов на плоскости R2(α, β).
Результаты проведенного в [5,7] численного исследования устойчивости (в первом при-
ближении) решения Гриоли показаны на рис. 1, a: здесь заштрихованы области параметри-
ческого резонанса и отмечены кривые резонансов до четвертого порядка включительно; в
52
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона
незаштихованных областях периодическое решение устойчиво в первом приближении. Для
мнимых характеристических показателей λ1,2 уравнения (3) введем обозначение ±iκ, где
κ ∈ R. Величина κ является собственной частотой малых колебаний в окрестности невоз-
мущенного движения. При выполнении равенства A2 = A3 решение Гриоли вырождается
в частное решение Лагранжа, а собственная частота вычисляется по формуле [6]
κ =
√
α2 + 1
α
, где α ∈
(
1
2
, 1
)
.
Целые и полуцелые частоты соответствуют следующим точкам отрезка P2P3:
α = β =
√
1/3 (κ = 2), α = β =
√
4/5 (κ = 3/2).
Результаты компьютерного моделирования решений, находящихся в малой окрестности
а) α = 0.772, β = 0.38 б) α = 0.798, β = 0.345 в) α = 0.652, β = 0.43 г) α = 0.942, β = 0.67
Рис. 2. Окрестность решения Гриоли.
а) α = 0.723, β = 0.5 б) α = 0.904, β = 0.5 в) α = 0.53, β = 0.487 г) α = 0.5305, β = 0.487
д) α = 0.9, β = 0.25 е) α = 0.833, β = 0.399 ж) α = 0.9, β = 0.23 з) α = 0.97, β = 0.57
Рис. 3. Окрестность решения Докшевича.
решения Гриоли, показаны на рис. 2. Методика выбора фазовых сечений обсуждалась в
работе [8]. Там же дана классификация топологических типов изоэнергетических поверх-
ностей, несущих известные точные решения уравнений Эйлера–Пуассона.
53
И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер
Если мультипликаторы уравнения в вариациях лежат на единичной окружности
ρ1ρ2 = 1, где ρ1,2 = e±2πiκ, κ ∈ R,
то фазовое пространство вблизи решения Гриоли почти всегда разделено семейством инва-
риантных поверхностей. Структура такого локального разбиения может быть представлена
молекулами, которыми описывается слоение Лиувилля вполне интегрируемой системы на
трехмерном многообразии постоянной энергии [9]. Слоение Лиувилля состоит из двумер-
ных инвариантных торов и особых слоев, заполняющих множество меры нуль. Внутри
каждого семейства вложенных друг в друга концентрических торов существует счетное
множество резонансных торов, заполненных периодическими траекториями. При сколь
угодно малом возмущении торы с соизмеримыми частотами разрушаются. На каждом из
них останется лишь конечное число замкнутых траекторий, а остальные фазовые траекто-
рии будут вести себя существенно сложнее. Таким образом, в динамических системах,
близких к интегрируемым, на трехмерной изоэнергетической поверхности сохраняется
основная часть исходного слоения: большинство нерезонансных торов немного дефор-
мируется, изолированные периодические траектории снова принадлежат особым слоям, но
образуется счетное множество щелей между инвариантными торами, в которых заперты
траектории возмущенного движения. С учетом этих поправок применим терминологию
работы [9] для качественного описания траекторной структуры фазового пространства в
окрестности периодического решения.
Из рис. 2, а, б следует, что фазовые траектории лежат на концентрических торах, стя-
гивающихся к замкнутой кривой. Бифуркации торов в окрестности изолированного перио-
дического решения описывает атом A. На рис. 2, в неустойчивое решение Гриоли (κ = 2)
соответствует точке самопересечения плоской кривой. В фазовом пространстве особый
слой является произведением “восьмерки” на окружность. Здесь два атома A перестраи-
ваются в атом B. Двум периодическим траекториям соответствуют изолированные точки
на поверхности сечения. На рис. 2, г показан другой тип неустойчивого решения Гриоли
(κ = 3/2), сечение снова является “восьмеркой”, но бифуркации торов описывает атом A∗.
Особый слой можно реализовать в R3 как погружение двумерной “бутылки Клейна”. В
результате бифуркации один тор Лиувилля перестраивается в один тор, но при этом изме-
няется число вращения. В малой окрестности решения Гриоли здесь происходит удвоение
периода, так как период колебаний соседних траекторий в два раза больше периода обра-
щения по предельному циклу. Две точки, лежащие внутри концентрических окружностей,
принадлежат одной и той же изолированной периодической траектории.
Решение Докшевича при условиях Гесса. Главные моменты инерции и координаты
центра масс твердого тела подчиним условиям Гесса
A1 > A2 > A3, r1
√
A1(A2 − A3) + r3
√
A3(A1 − A2) = 0, r2 = 0.
Пусть константы первых интегралов имеют следующий вид
g = 0, h =
3A1A3(A1 + A3 − d)|r|
(A1 + A3 + 2d)(2A1A2 + 2A2A3 − 3A1A3 − 2A2d)
+ |r|,
где обозначено d = (A2
1 + A2
3 − A1A3)
1/2. При этих ограничениях А.И. Докшевич в 1966 г.
нашел двухпараметрическое семейство периодических решений уравнений Эйлера–Пу-
ассона [1]. В явном виде решение записано с помощью эллиптических функций времени.
54
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона
Положим α = A2/A1, β = A3/A1, тогда допустимые значения параметров α, β сно-
ва принадлежат треугольнику с вершинами P1(1, 0), P2(1, 1), P3(1/2, 1/2). В результате
численного исследования решения Докшевича выявлены две области параметрического
резонанса. На рис. 1, б эти области заштрихованы. На основании теоремы Ляпунова об
устойчивости по первому приближению внутренним точкам областей соответствуют ор-
битально неустойчивые решения. В незаштихованных областях решения, как правило, ор-
битально устойчивы в первом приближении. Исключение составляют кривые резонансов,
где необходим учет нелинейных возмущений. Кривые наиболее существенных резонансов
(до четвертого порядка включительно) показаны на рис. 1, б. В треугольнике P1P2P3 все
линии, начинающиеся между точками P4P3, пересекают сторону P1P3, а остальные линии
заканчиваются в точке P1.
Характеристические показатели определяются из уравнения (6) неоднозначно, с точно-
стью до слагаемых im, где m – целое число. Непрерывная зависимость λ1,2 от парамет-
ров позволяет устранить эту неоднозначность. Рассмотрим, например, предельный случай
A2 = A3. Тогда центр масс тела принадлежит первой оси инерции, решение Докшевича
вырождается в частный случай прецессионных движений волчка Лагранжа. Линеаризован-
ные уравнения возмущенного “предельного” движения имеют постоянные коэффициенты,
а собственная частота малых колебаний в окрестности невозмущенного движения записы-
вается в виде
κ =
√
4α2 − α + 2 + 2
√
α2 − α + 1
2α
, где α ∈
(
1
2
, 1
)
. (10)
Полученные из формул (10) соотношения
α = β =
1− 2
√
4κ2 − 3
4(1− κ2)
, κ ∈
(√
7
2
,
√
5
2
+
√
3
)
позволяют вычислить значения безразмерных параметров α, β, при которых кривые ре-
зонансов пересекают отрезок P2P3. На плоскости R2(α, β) области параметрического
резонанса ограничены ветвями линий уровня κ = 2, κ = 3/2, ветвление этих кривых
происходит в точках P4, P5 с координатами
α = β =
√
13
6
− 1
12
, α = β =
2
5
√
6− 1
5
.
Вблизи точек ветвления границы области неустойчивости могут быть записаны в виде
степенных рядов [3]. Период τ предельного движения в реальном времени t связан с
параметрами следующей зависимостью
(τ/2π)2 = A2
(α + 2γ + 1)(2α− 2γ − 1)
(α− γ − 2)(α− γ + 1)
, (11)
здесь использовано обозначение γ = (α2 − α + 1)1/2.
Результаты численного интегрирования уравнений (1) в окрестности решения Док-
шевича представлены на рис. 3. Структура фазового пространства вблизи устойчивого
периодического решения показана на рис. 3, а – в. Почти все траектории возмущенного
55
И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер
движения принадлежат инвариантным торам. На рис. 3, г периодическое решение неустой-
чиво (κ = 2), оно принадлежит сепаратрисной поверхности – особому слою атома B. Этот
атом описывает топологическую перестройку двух торов Лиувилля в один тор [9]. Неустой-
чивое решение Докшевича на рис. 3, д соответствует точке самопересечения инвариантной
кривой. Появление предельного цикла связано с полуцелым резонансом (κ = 3/2). Здесь
сепаратриса является особым слоем атома A∗, который описывает топологическую пере-
стройку инвариантного тора в тор. На рис. 3, е – з показаны сечения орбитально неустой-
чивых траекторий для области параметрического резонанса (область расположена между
точками P1, P4 на рис. 1, б). Эти рисунки иллюстрируют “расщепление” сепаратрисной по-
верхности, траектории возмущенного движения заполняют трехмерную область фазового
пространства.
Решение Ковалевского. Пусть центр масс твердого тела принадлежит первой главной
оси ( r = (1, 0, 0) ), а моменты инерции удовлетворяют соотношению
9(2A3 − A1)(A3 − A2) + A1A2 = 0.
Тогда существует однопараметрическое семейство периодических решений, в котором уг-
ловая переменная связана с t гиперэллиптической квадратурой [1, 2]. С помощью безраз-
мерного параметра γ = A3/A2 найдем выражение
A1 =
18γ(1− γ)
(10− 9γ)
A2, где γ ∈ (
10
27
, γ∗], γ∗ ≈ 0.6219116.
Неравенство γ > 10/27 является следствием условия A1 + A3 > A2, а максимальное зна-
чение γ∗ соответствует вырождению периодического движения в устойчивое равномерное
вращение тела вокруг главной оси инерции. Константы интегралов зависят от γ. Если
γ = γ∗, то константы принадлежат бифуркационной кривой
h =
g2
2A1
− |r1|,
состоящей из минимумов допустимой энергии h при заданных значениях g. В случае
равномерного вращения уравнение в вариациях имеет постоянные коэффициенты и явно
решается. Вычислим ненулевые характеристические показатели системы с постоянными
коэффициентами, сравним их с показателями уравнения (3), найдем постоянную составля-
ющую i m и устраним неоднозначность определения величин λ1,2.
Результаты исследования орбитальной устойчивости однопараметрического семейства
решений Ковалевского представлены на рис. 4, а. Комплексные и действительные показате-
ли здесь показаны на одном рисунке. Заштрихована область под кривой, которая изображает
параметрическую зависимость показателя с ненулевой действительной частью.
Кроме интервалов неустойчивости, появляющихся при резонансах с целыми собствен-
ными частотами (κ = 2, 3), существует очень узкий интервал полуцелого резонанса с
частотой κ = 5/2. Частоты всех основных резонансов отмечены горизонтальными линия-
ми на рис. 4. Фазовое сечение орбитально устойчивого решения Ковалевского изображено
на рис. 5, а. В случае резонанса с показателями λ1,2 = ±2i неустойчивое периодическое
решение принадлежит особому слою атома B, описывающего топологическую перестрой-
ку двух торов в один тор (рис. 5, б). Если γ ∈ (10/27, 0.39066), то решение Ковалевского
неустойчиво по первому приближению, хаотические траектории возмущенного движения
56
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона
а) Случай Ковалевского б) Случай Горячева
Рис. 4. Характеристические показатели периодических решений.
заполняют трехмерные области фазового пространства (рис. 5, в). На рис. 5, г изображено
сечение фазового пространства при λ1,2 ≈ ±2.5i. На рис. 5, д – з показана последова-
тельность перестроек, происходящих на поверхности сечения, когда параметр γ проходит
интервал (0.479117, 0.4885) динамической неустойчивости.
а) γ = 0.61 б) γ = 0.3906 в) γ = 0.39 г) γ = 0.41237
д) γ = 0.47 е) γ = 0.48 ж) γ = 0.4847 з) γ = 0.49
Рис. 5. Окрестность решения Ковалевского.
Решение Горячева. Пусть центр масс тела принадлежит первой главной оси, моменты
инерции удовлетворяют равенству
8(A1 − 2A3)(A2 − A3) + A1A2 = 0.
Положим A3 = γA2, A1 = 16γ(1−γ)
(9−8γ)
A2, где γ ∈ (3/8, 1/2), и зададим выражения констант
57
И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер
интегралов
g = 0, h =
(12γ2 − 22γ + 9)|r1|
(1− 2γ)(3− 4γ)(3− 2γ)
.
Тогда существует однопараметрическое семейство периодических решений уравнений (1),
которое выражается в эллиптических функциях времени. Устойчивость решений этого се-
мейства зависит от значений безразмерного параметра γ. Комплексные и действитель-
ные показатели, полученные в результате численного решения задачи Коши, показаны на
рис. 4, б. Заштрихована область под кривой с ненулевыми действительными частями ха-
рактеристических показателей. Если γ ∈ (3/8, 0.38492), то решение Горячева неустойчиво
по первому приближению. В случае резонанса с показателями λ1,2 = ±2i неустойчи-
вое периодическое решение принадлежит особому слою атома B. Приближенное значение
γ ≈ 0.4163135 соответствует резонансу с собственной частотой κ = 5/2. В окрестности
невозмущенной траектории происходит нетривиальная бифуркация одного инвариантного
тора в два тора с удвоением периодов обращения вдоль осевых окружностей этих торов
(см. атом B∗∗
1 в работе [9]). Если значение γ → 1/2, то ненулевые характеристические
показатели уравнения (3) стремятся к λ1,2 = ±3i . Методом фазовых сечений решение
Горячева исследовано в работе [8].
Решение Докшевича при условиях Ковалевского. Если распределение масс тела подчи-
нено условиям Ковалевского, значение безразмерного параметра γ фиксировано и равно
(25− 2
√
37)/27, а константы интегралов имеют вид
g = 0, h =
6(89 + 17
√
37)|r1|
(20−
√
37)
√
17 + 8
√
37
≈ 10.2367386|r1|,
тогда существует еще одно частное периодическое решение Докшевича. Укажем прибли-
женные значения моментов инерции (A1, A2, A3) = (3.463654, 4.414836, 2.098596) и началь-
ные условия
ω0 = (1.3285650, 1.9105803, 0), ν0 = (0.877859,−0.478919, 0),
характеризующие это решение. Непосредственным интегрированием уравнений (1), (3)
вычислим матрицу монодромии и период движения τ = 5.84075703 в реальном времени,
далее найдем ρ1,2 = 0.740917 ± i 0.6715965 – мультипликаторы и λ1,2 = ±i 0.11719557
– ненулевые характеристические показатели (они определены с точностью до слагаемых
i m, где m ∈ Z). Решение Докшевича орбитально устойчиво в первом приближении. Ре-
зультаты компьютерного моделирования приведены в [8].
Решение Коносевича и Поздняковича. Точные значения постоянных коэффициентов,
определяющих это решение, могут быть представлены в виде корней полиномов с целыми
коэффициентами [2]. Пусть центр масс тела принадлежит главной оси (r = (1, 0, 0)),
моменты инерции удовлетворяют двум полиномиальным условиям, одно из которых имеет
следующий вид
4(A1 − 2A2)(A1 − 2A3) + A3A2 = 0.
Тогда существуют два набора параметров, каждому из которых соответствует частное пе-
риодическое решение уравнений (1). Независимая переменная связана со временем гипер-
эллиптической квадратурой.
58
Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона
Для первого варианта запишем приближенные значения главных моментов инерции
(A1, A2, A3) = (2.42774682, 1.71506506, 1.0), константы h = 3.095405319, g = 3.138280237
и начальные условия
ω0 = (−1.0824675, 1.0043389, 0), ν0 = (−0.8080760, 0.5890783, 0),
позволяющие интегрировать уравнение (1). Численным интегрированием уравнений (1),
(3) найдем матрицу монодромии и вычислим следующие величины
τ = 17.7933295, ρ1 = 9.10939, λ1 = 0.351622.
Для второго варианта рассматриваемого решения также запишем приближенные зна-
чения параметров (A1, A2, A3) = (1.41205769, 0.58224098, 1.0), интегральные константы
h = 3.0672233, g = 2.36942697 и начальные условия
ω0 = (−1.6751840, 0.5435889, 0), ν0 = (−0.9999129, 0.0131956, 0).
Вычислением находим
τ = 20.2373343, ρ1 = 920.91687, λ1 = 1.086291.
Динамическая система (1) является локально неустойчивой в окрестности решения
Коносевича и Поздняковича, так как имеет действительные показатели Ляпунова.
1. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и
современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
2. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегродифференциальное уравнение динамики твердого тела. – Киев:
Наук. думка, 1986. – 296 с.
3. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффи-
циентами и их приложения. – М.: Наука, 1972. – 720 с.
4. Вархалев Ю.П., Горр Г.В. Первый метод Ляпунова в исследовании асимптотических движений в динамике
твердого тела// Механика твердого тела. – 1992. – Вып. 24. – С. 25-41.
5. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли// Прикл. математика и механика. – 2000. – 64,
вып. 5. – С. 848-857.
6. Брюм А.З. Исследование регулярной прецессии тяжелого твердого тела с неподвижной точкой первым
методом Ляпунова// Механика твердого тела. – 1987. – Вып. 19. – С. 68-72.
7. Маркеев А.П. Об устойчивости регулярной прецессии несимметричного гироскопа (случай Гриоли)// Докл.
РАН. – 2002. – 387, N 3. – С. 338-342.
8. Гашененко И.Н., Кучер Е.Ю. Анализ изоэнергетических поверхностей для точных решений задачи о
движении твердого тела// Механика твердого тела. – 2001. – Вып. 31. – С. 18-30.
9. Болсинов А.В., Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Топологическая классификация простых интегрируемых га-
мильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности// Усп. математических
наук. – 1990. – 45, вып. 2. – С. 49-77.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
Донецкий ин-т ж.-д. транспорта
gashenenko@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 21.12.02
59
|