Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
Изучены условия существования регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил.
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123689 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Узбек // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 60-67. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123689 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Узбек, Е.К. 2017-09-08T16:50:44Z 2017-09-08T16:50:44Z 2002 Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Узбек // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 60-67. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123689 531.38 Изучены условия существования регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| spellingShingle |
Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Узбек, Е.К. |
| title_short |
Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| author |
Узбек, Е.К. |
| author_facet |
Узбек, Е.К. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Изучены условия существования регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123689 |
| citation_txt |
Об одном классе регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Узбек // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 60-67. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT uzbekek obodnomklasseregulârnyhprecessiigirostatapoddeistviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-11-26T01:39:31Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:39:31Z |
| _version_ |
1850603203299639296 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.38
c©2002. Е.К. Узбек
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЙ ГИРОСТАТА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Изучены условия существования регулярных прецессий гиростата под действием потенциальных и гироско-
пических сил.
Введение. Регулярные прецессии гиростата относятся к наиболее наглядным меха-
ническим движениям [1, 2]. Примером таких движений служит регулярная прецессия ги-
роскопа Лагранжа относительно вертикали. Начало изучению условий существования пре-
цессий положили Г.Г.Аппельрот [3] и Д.Гриоли [4]. Г.Г.Аппельрот [3] рассматривал прецес-
сии относительно вертикали гироскопов, подобных гироскопам Ковалевской и Горячева-
Чаплыгина. Д.Гриоли [4] открыл новый случай интегрируемости уравнений Эйлера-Пу-
ассона, который описывает регулярную прецессию тяжелого твердого тела относительно
наклонной оси. Г.В.Горр [1, 2] разработал метод исследования прецессионных движений
гиростата для того случая, когда ось, образующая неизменный угол с вертикалью, занимает
фиксированное положение в гиростате.
В данной статье рассмотрены регулярные прецессии под действием потенциальных
и гироскопических сил [5-9] в предположении, что ось, образующая неизменный угол
с вертикалью, может занимать произвольное положение в некоторой плоскости. Доказа-
но, что такие движения описываются только частными решениями случаев Г.Кирхгофа –
П.В.Харламова [8, 7] и В.А.Стеклова [6].
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата с неподвижной точ-
кой под действием потенциальных и гироскопических сил, которая описывается дифферен-
циальными уравнениями класса Г.Кирхгофа (см. работы [4, 5–7, 8])
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + s× ν + ν × Cν, (1)
ν̇ = ν × ω, (2)
где обозначено ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3)
– единичный вектор оси симметрии силового поля; λ = (λ1, λ2, λ3) – гиростатический
момент; s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс
гиростата; À = (Àij) – тензор инерции, построенный в неподвижной точке; Â = (Bij) и
Ñ = (Ñij) – постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными
обозначает производную по времени t.
Уравнения (1), (2) допускают три первые интеграла
(Aω · ω)− 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, ν · ν = 1, (3)
(Aω + λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k. (4)
Движение тела называют прецессией относительно вектора ν [1, 2], если постоянен
угол между векторами n и ν, где вектор n неизменно связан с гиростатом. Условие прецес-
сионности можно представить инвариантными соотношением
n · ν = n0, (5)
60
Об одном классе регулярных прецессий гиростата
где n0 – постоянная. Производная от соотношения (5), в силу уравнения Пуассона (2),
приводит к равенству ω · (n× ν) = 0, из которого в случае регулярной прецессии вытекает
ω = n∗n + m∗ν. (6)
Здесь n∗ и m∗ – постоянные. Тогда из (2), (6) имеем
ν̇ = n∗(ν × n). (7)
Предположим, что конец вектора n описывает единичную окружность в плоскости
векторов α = (1, 0, 0) и β = (0, 1, 0), то есть его компоненты имеют вид
n1 = cos κ0, n2 = sin κ0, n3 = 0. (8)
Постоянную n0, входящую в равенство (5), обозначим через cos ε0, где ε0 – произвольная
или фиксированная постоянная. Поставим задачу исследования регулярных прецессий ги-
ростата в задаче (1), (2) при условии, что кинематическое условие (5) выполняется для
любых значений κ0.
Кинематическое соотношение (5) и геометрический интеграл ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1 пара-
метризуем следующим образом
ν1 = cos κ0 cos ε0 − sin κ0 sin ε0 cos u,
ν2 = sin κ0 cos ε0 + cos κ0 sin ε0 cos u, ν3 = sin ε0 sin u, (9)
где u – вспомогательная переменная. На основании равенств (8), (9) из второго уравнения
системы (7) получим u̇ = −n∗, то есть переменная u = −n∗t. Постоянная интегрирования,
в силу периодичности νi(t), принята равной нулю.
2. Условия существования регулярных прецессий. Подставим значение ω из (6)
в уравнение (1) и интегралы (3), (4) и учтем уравнение (7). Тогда получим следующие
равнества(
D(i)ν · ν
)
+
(
d(i) · ν
)
= li (i = 1, 2),
n0
(
D(2)ν · ν
)
− 2(n∗ + m∗n0)
(
D(1)ν · ν
)
+ 2(m∗ + n∗n0)
(
D(1)n · ν
)
− (10)
−
(
D(2)n · ν
)
− (n∗ + m∗n0)
(
d(1) · ν
)
+
n0
2
(
d(2) · ν
)
+ n∗m∗Sp(A) sin2 ε0+
+ (m∗ + n∗n0)
(
d(1) · n
)
− 1
2
(
d(2) · n
)
= 0,
D(1) =
(
d
(1)
ij
)
= m∗A−
1
2
B, D(2) =
(
d
(2)
ij
)
= m2
∗A + C, (11)
d(1) = n∗An + λ, d(2) = 2 (n∗m∗An− s) , l1 = k, l2 = 2E − n2
∗(An · n).
Равенства (10), записанные с помощью обозначений (11) в скалярном виде, будут тожде-
ствами по переменной u при выполнении условий
2m∗(A23 cos κ0 − A13 sin κ0)−B23 cos κ0 + B13 sin κ0 = 0,
m2
∗(A23 cos κ0 − A13 sin κ0) + C23 cos κ0 − C13 sin κ0 = 0,
(12)
61
Е.К. Узбек[
2m∗(A11 − A33)−B11 + B33
]
sin2 κ0+
+
[
2m∗(A22 − A33)−B22 + B33
]
cos2 κ0 − (2m∗A12 −B12) sin 2κ0 = 0, (13)[
m2
∗(A11 − A33) + C11 − C33
]
sin2 κ0+
+
[
m2
∗(A22 − A33) + C22 − C33
]
cos2 κ0 −
(
m2
∗A12 + C12
)
sin 2κ0 = 0, (14)[
2m∗(A22 − A11)−B22 + B11
]
sin 2κ0 cos ε0 + 2(2m∗A12 −B12) cos 2κ0 cos ε0+
+ n∗(A22 − A11) sin 2κ0 + 2A12n∗ cos 2κ0 + 2(λ2 cos κ0 − λ1 sin κ0) = 0, (15)[
m2
∗(A22 − A11) + C22 − C11
]
sin 2κ0 cos ε0 + 2(m2
∗A12 + C12) cos 2κ0 cos ε0+
+ 2n∗m∗A12 cos 2κ0 + n∗m∗(A22 − A11) sin 2κ0 + 2(s1 sin κ0 − s2 cos κ0) = 0, (16)[
m2
∗(A22 − A11)−m∗(B22 −B11)− C22 + C11
]
sin 2κ0+
+ 2(m2
∗A12 −m∗B12 − C12) cos 2κ0 = 0, (17)
m2
∗(A13 cos κ0 + A23 sin κ0)−m∗(B13 cos κ0 + B23 sin κ0)−C13 cos κ0−C23 sin κ0 = 0, (18)[
2m∗(A13 cos κ0 + A23 sin κ0)−B13 cos κ0 −B23 sin κ0
]
+ n∗(A13 cos κ0 + A23 sin κ0) + λ3 = 0, (19)
m∗(m∗ cos ε0 + n∗)(A13 cos κ0 + A23 sin κ0) + (C13 cos κ0 + C23 sin κ0) cos ε0 − s3 = 0, (20)[
(m2
∗ + 2n2
∗ + 2n∗m∗ cos ε0)(A11 cos2 κ0 + A22 sin2 κ0 + 2A12 sin κ0 cos κ0)−
− (m∗ + n∗ cos ε0)(B11 cos2 κ0 + B22 sin2 κ0 + 2B12 sin κ0 cos κ0)−
− (C11 cos2 κ0 + C22 sin2 κ0 + 2C12 sin κ0 cos κ0) + (n∗ + m∗ cos ε0)(λ1 cos κ0 + λ2 sin κ0)+
+ (s1 cos κ0 + s2 sin κ0) cos ε0
]
cos ε0 +
[
(d
(2)
11 cos2 κ0 + d
(2)
22 sin2 κ0) cos2 ε0+
+
1
2
(d
(2)
11 sin2 κ0 + d
(2)
22 cos2 κ0 + d
(2)
33 ) sin2 ε0 − d
(2)
12 sin κ0 cos κ0 sin2 ε0+
+ (d
(2)
1 cos κ0 − d
(2)
2 sin κ0)
]
cos ε0 − 2(n∗ + m∗ cos ε0)
[
(d
(1)
11 cos2 κ0 + d
(1)
22 sin2 κ0) cos2 ε0+
+
1
2
(d
(1)
11 sin2 κ0 + d
(1)
22 cos2 κ0 + d
(1)
33 ) sin2 ε0 − d
(1)
12 sin κ0 cos κ0 sin2 ε0+
+ (d
(1)
1 cos κ0 − d
(1)
2 sin κ0) cos ε0
]
+ n∗m∗(A11 + A22 + A33) sin2 ε0+
+ (m∗ + n∗ cos ε0)(λ1 cos κ0 + λ2 sin κ0) + s1 cos κ0 + s2 sin κ0 = 0. (21)
В системе (12)–(21) через Aij , Bij , Cij обозначены компоненты матриц A, B, C в си-
стеме координат, связанной с векторами α, β, а через si и λi – компоненты векторов s и λ
в этой системе. Для простоты записи в уравнение (21) не подставлены величины (11).
Предположим, что величины n∗ и m∗ зависят от призвольной постоянной κ0. Рассмот-
рим случай, когда ось, ортогональная векторам α и β, не является главной: A2
13 + A2
23 6= 0.
Из уравнений (12), исключая величину m∗, имеем
m∗ =
B23 cos κ0 −B13 sin κ0
2(A23 cos κ0 − A13 sin κ0)
, (22)
(B13g0−B23)
2 + 4(A23 − A13g0)(C23 − C13g0) = 0, (23)
где g0 = tg κ0. Уравнение (23) может быть тождеством при любых значениях g0 при
следующих условиях на параметры
B2
13 = −4A13C13, B2
23 = −4A23C23, B13B23 = −2(A13C23 + A23C13). (24)
62
Об одном классе регулярных прецессий гиростата
Очевидно, что величины B13, B23 в формуле (22) и соответственно C13, C23 в формулах
(24) не могут обращаться в нуль. Следовательно, равенство C13A23 − C23A13 = 0, которое
вытекает из системы (24), можно параметризировать так: C13 = λ0A13, C23 = λ0A23, где λ0
– некоторый параметр. Тогда из второго уравнения системы (12) следует, что m∗ не зависит
от параметра κ0.
Пусть теперь A13 = A23 = 0, то есть третья координатная ось является главной. Из
уравнения (12) вытекает, что B13 = B23 = 0, C13 = C23 = 0. Рассмотрим систему (12)–(21)
при данных условиях. Из уравнений (19), (20) следует, что λ3 = 0, s3 = 0, а уравнение (18)
становится тождеством. Условия λ3 = 0, s3 = 0 показывают, что векторы s и λ лежат в
главной плоскости элипсоида инерции, содержащей векторы α и β.
При анализе системы (12)–(21) возникает вырожденный случай A12 = 0, A11 = A22 =
= A33, B12 = 0, B11 = B22 = B33, C12 = 0, C11 = C22 = C33. Из этой системы следует, что
s = 0, λ = 0. Тогда уравнения (1), (2) приводят к векторному равенству
A11ω = −B11ν + c, (25)
где c – произвольный вектор. Сопостовляя равенство (6) и соотношение (25), получим
m∗ = −B11
A11
, n =
c
n∗A11
. То есть в этом случае вектор n может занимать произвольное
положение в теле.
Обратимся к уравнениям (13), (14). Из уравнения (13) определим m∗
m∗ =
(B11 −B33) sin2 κ0 + (B22 −B33) cos2 κ0 −B12 sin 2κ0[
2(A11 − A33) sin2 κ0 + (A22 − A33) cos2 κ0 − A12 sin 2κ0
] (26)
и, подставляя это значение в уравнение (14), потребуем, чтобы полученное уравнение было
тождеством по κ0. В результате найдем следующие условия
(B11 −B33)
2 + 4(A11 − A33)(C11 − C33) = 0, (B22 −B33)
2 + 4(A22 − A33)(C22 − C33) = 0,
B12(B11 −B33) + 2A12(C11 − C33) + 2C12(A11 − A33) = 0,
B12(B22 −B33) + 2A12(C22 − C33) + 2C12(A22 − A33) = 0, (27)
2B2
12 + 8A12C12 + (B11 −B33)(B22 −B33)+
+ 2(A11 − A33)(C22 − C33) + 2(A22 − A33)(C11 − C33) = 0.
Первые два уравнения из системы (27) параметризуем так (µ0, ν0 – параметры)
B11 −B33 = µ0(A11 − A33), B22 −B33 = ν0(A22 − A33). (28)
Тогда из (27) имеем
(A11 − A33)
[
µ2
0(A11 − A33) + C11 − C33
]
= 0,
(A22 − A33)
[
ν2
0(A22 − A33) + C22 − C33
]
= 0,
(A11 − A33)(µ0B12 + C12) + A12(C11 − C33) = 0,
(A22 − A33)(ν0B12 + C12) + A12(C22 − C33) = 0, (29)
B2
12 + 4A12C12 + 2µ0ν0(A11 − A33)(A22 − A33)+
+ (A11 − A33)(C22 − C33) + (A22 − A33)(C11 − C33) = 0.
63
Е.К. Узбек
Вариант A11 = A22 = A33 рассмотрен выше, поэтому предположим, что A22 = A33 6=
6= A11. Третье уравнение системы (29) на основании первого уравнения приведем к виду
µ0B12 + C12 − µ2
0A12 = 0. Выбором системы координат можно добиться условия C12 = 0,
следовательно, B12 = µ0A12. Матрица A приводится к диагональному виду с помощью
поворота вокруг третьей оси координат на угол α0, где
tg 2α0 =
2A12
A11 − A22
. (30)
Рассмотрим выражение 2B12(B11−B22)
−1. В силу B33 = B22, первого равенства из (28)
и значения B12 = µ0A12, указанное выражение будет равно правой части соотношения (30).
Это означает, что матрицы A и B одновременно могут быть приведены к диагональной
форме. Поэтому равенства (29) рассмотрим в той системе, в которой A и B имеют диаго-
нальную структуру (очевидно, условие C12 = 0 следует снять). Но из третьего уравнения
системы (29) все-таки следует, что C12 = 0, то есть матрица C тоже диагональна. Итак, в
случае A22 = A33 из системы (29) получим C22 = C33. Из равенства (26) вытекает, что m∗
не зависит от κ0.
Пусть среди величин A11, A22, A33 нет равных. Тогда, принимая во внимание соотно-
шения (28), из системы (29) имеем
A2
12 = (A11 − A33)(A22 − A33), C12 = −A12µ0ν0, B12 = A12(µ0 + ν0),
C11 − C33 = µ2
0(A33 − A11), C22 − C33 = ν2
0(A33 − A22).
(31)
Отсюда легко получить условие C2
12 = (C11 − C33)(C22 − C33). Введем обозначения
A11 − A33 = a2, A22 − A33 = b2. Тогда из (28), (31) следует
A12 = ab, B12 = ab(µ0 + ν0), C12 = −abµ0ν0, B11 −B33 = 2µ0a
2,
B22 −B33 = 2ν0b
2, C11 − C33 = −µ2
0a
2, C22 − C33 = −ν2
0b
2.
(32)
На основании (32) значение m∗ из (26) представим так
m∗ =
µ0a sin κ0 − ν0b cos κ0
a sin κ0 − b cos κ0
. (33)
Легко проверить, что при наличии соотношений (32), (33) уравнение (17) становится тож-
деством.
Исключая из уравнений (15), (16) параметр n∗, получим
m∗ = − s1 sin κ0 − s2 cos κ0
λ1 sin κ0 − λ2 cos κ0
. (34)
Правые части выражений (33), (34) совпадают, если выполнены условия
λ1 = c0a, λ2 = c0b, s1 = −µ0c0a, s2 = −ν0c0b, (35)
где c0 – постоянная. На основании соотношений (33), (35) из уравнения (15) определим
n∗ =
(ν0 − µ0)abn0 + c0(a cos κ0 − b sin κ0)
(a sin κ0 − b cos κ0)(a cos κ0 + b sin κ0)
. (36)
64
Об одном классе регулярных прецессий гиростата
Внесем выражения (31), (34)–(36) в уравнение (21)
(A11 + A22 − A33)(µ0a sin κ0 − ν0b cos κ0)+B33(a sin κ0 − b cos κ0)−
− ab(µ0 − ν0)(a cos κ0 + b sin κ0) = 0.
Это уравнение выполняется для любых значений κ0 только при условиях
ν0 = µ0, µ0 = − B33
(A11 + A22 − A33)
. (37)
Выражения (33), (36) при наличии равенств (37) упрощается
m∗ = µ0, n∗ = − c0
a cos κ0 + b sin κ0
, (38)
то есть скорость собственного вращения зависит от κ0, а скорость прецессии нет. Исследуем
полученное решение до конца. Структура его определяется формулами (6), (9)
ω1 = µ0ν1 + n∗ cos κ0, ω2 = µ0ν2 + n∗ sin κ0, ω3 = µ0ν3,
ν1 = cos κ0 cos ε0 − sin κ0 sin ε0 cos n∗t, (39)
ν2 = sin κ0 cos ε0 + cos κ0 sin ε0 cos n∗t, ν3 = − sin ε0 sin n∗t,
а условиями существования служат равенства (31). В силу ν0 = µ0 из равенств (28), (31)
следуют условия, которые показывают, что одним и тем же преобразованием координат
матрицы A, B, C приводятся к диагональному виду. Так как это преобразование является
поворотом вокруг третьей оси, то его применение не ограничивает общности задачи.
Запишем условия (28), (31), (37) в главной системе координат Aii = Ai, Bii = Bi,
Cii = Ci (i = 1, 2, 3)
A3 = A2, B3 = B2, C3 = C2,
B1 =
(2A2 − A1)B2
A1
, C1 = C2 +
(A2 − A1)B
2
2
A2
1
.
(40)
Векторы λ и s и значение n∗ найдем из равенств (35), (38):
λ = (c0
√
A1 − A2, 0, 0), s = (−c0µ0
√
A1 − A2, 0, 0)
(
µ0 = −B2
A1
)
;
n∗ = − c0√
A1 − A2 cos κ0
.
(41)
Таким образом, если для матриц A, B, C выполнены условия (40), а для векторов λ и
s – условия из (41), то уравнения (1), (2) допускают частное решение (39), существующее
в рамках случая Г.Кирхгофа-П.В.Харламова и описывающее семейство регулярных пре-
цессий относительно вертикали со скоростью прецессии µ0 и со скоростью собственного
вращения n∗ из соотношений (41).
Пусть в системе (12)–(21) m∗ не зависит от κ0. Тогда имеем следующие условия
2m∗A23 −B23 = 0, 2m∗A13 −B13 = 0, 2m∗A12 −B12 = 0,
m2
∗A13 + C13 = 0, m2
∗A23 + C23 = 0, m2
∗A12 + C12 = 0,
(42)
65
Е.К. Узбек
2m∗(A11 − A33)− (B11 −B33) = 0, 2m∗(A22 − A33)− (B22 −B33) = 0,
m2
∗(A11 − A33) + C11 − C33 = 0, m2
∗(A22 − A33) + C22 − C33 = 0,
(43)
n∗
[
(A22 − A11) sin κ0 cos κ0 + A12(cos2 κ0 − sin2 κ0)
]
+ λ2 cos κ0 − λ1 sin κ0 = 0,
m∗n∗
[
(A22 − A11) sin κ0 cos κ0 + A12(cos2 κ0 − sin2 κ0)
]
+ s1 sin κ0 − s2 cos κ0 = 0,
(44)
n∗(A13 cos κ0 + A23 sin κ0) + λ3 = 0,
m∗(m∗ cos ε0 + n∗)(A13 cos κ0 + A23 sin κ0) + (C13 cos κ0 + C23 sin κ0) cos ε0 − s3 = 0.
(45)
Соотношения (42), (43) запишем в матричном виде
B = b0δ + 2m∗A, C = −m2
∗A, b0 = B33 − 2m∗A33, (46)
где δ – единичная матрица. Выбирая подвижную систему координат так, что A23 = 0, из
равенств (44), (45) получим
s = −m∗λ, n∗A13 cos κ0 = −λ3,
n∗
[
(A22 − A11) sin κ0 cos κ0 + A12(cos2 κ0 − sin2 κ0)
]
= λ1 sin κ0 − λ2 cos κ0.
(47)
На основании этих условий равенство (21) упрощается
m∗ =
B33
A33 − A11 − A22
. (48)
С помощью (48) условия (46) преобразуем к виду
B = m∗(2A− Sp(A)δ), C = −m2
∗A. (49)
Равенство s = −m∗λ из системы (47) и равенства (49) характеризуют условия, при вы-
полнении которых уравнения (1), (2) имеют дополнительный первый интеграл, который
является частным случаем интеграла, указанного В.А.Стекловым [5]. Таким образом, ре-
шение (39) дифференциальных уравнений (1), (2) при условиях (47), (49) является частным
решением в случае В.А.Стеклова.
Проанализируем второе и третье равенства из системы (47). Если считать, что λ3 = 0,
то есть векторы гиростатического момента и обобщенного центра масс расположены в
плоскости векторов α и β, тогда A13 = 0. Это означает, что векторы α и β и, следовательно,
вектор n лежат в главной плоскости эллипсоида инерции, построенного для неподвижной
точки. Тогда при A11 6= A22 скорость собственного вращения гиростата такова
n∗ =
λ1 sin κ0 − λ2 cos κ0
(A22 − A11) sin κ0 cos κ0
,
значит, она зависит от параметра κ0. Скорость прецессии, в силу формулы (48), не зависит
от κ0.
Пусть в соотношениях (47) λ3 6= 0. Тогда, исключая величину n∗ во втором и третьем
равенствах (47), получим следующие условия
λ2 = 0, A12 = A23 = 0,
λ1
λ3
=
A11 − A22
A13
, n∗ = − λ3
A13 cos κ0
. (50)
Таким образом, вторая координатная ось подвижной системы координат является главной,
а векторы λ и s лежат в главной плоскости эллипсоида инерции. Очевидно, что угол γ0
66
Об одном классе регулярных прецессий гиростата
между вектором λ и вектором α × β определен по формуле tg γ0 =
A11 − A22
A13
, то есть
векторы λ и s занимают фиксированное положение в гиростате.
Вариант (40), (41) вытекает из решения В.А.Стеклова при условиях: λ2 = 0, λ3 = 0,
A22 = A33, Â22 = Â33, Ñ22 = Ñ33, Aij = 0, Bij = 0, Cij = 0 (i 6= j). Случай (50) аналога в
решении Г.Кирхгофа-П.В.Харламова не имеет.
Для условий (47)–(49) в решении (39) параметр ε0 оказался произвольным (не завися-
щим от κ0). Поэтому решение (39) зависит от двух произвольных постоянных κ0 и ε0.
1. Горр Г.В. Методы исследования движений твердого тела и их приложения в классификации движений //
Механика твердого тела. – 1982. – Вып. 14. – С.54–74.
2. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев А.М., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем.
– Киев: Наук. думка, 1984. – 228 с.
3. Аппельрот Г.Г. Определение классов кинетически симметричных тяжелых гироскопов, способных до-
пускать упрощенные движения, близкие к инерциальному или к некоторому упрощенному движению
гироскопа Лагранжа // Изв. АН СССР. Серия физическая. – 1938. – Вып.3. – С.385–411.
4. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante
asimmetrico //Ann. mat. pura ed appl. – 1947. – S.4, 26, f.3–4. – Р.271–281.
5. Орешкина Л.Н. Математические аналогии некоторых задач динамики твердого тела // Механика твердого
тела. – 1986. – Вып. 18. – С.103–110.
6. Стеклов В.А.О некоторых возможных движениях твердого тела в жидкости // Тр. отделения физических
наук общества любителей естествознания. – 1895. – 7, вып.2. – С.10–21.
7. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхностью // Журнал прикл.
механики и техн. физики. – 1963. – N4. – С.17-29.
8. Kirchhoff G.R. Über Bewegung eines Rötation korpers in einer Flüssigkeit // J. fur die reine und angew. Math. –
1870. – B.71. – S.237–262.
9. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forсes. I: The equation of
motion and their transformations // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. – 5, N5. – P.747–754.
Донецкий гос. ун-т экономики и торговли, Донецк Получено 27.05.2002
67
|