Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости
Доказано существование двух дополнительных первых интегралов в задаче о движении гиростата по абсолютно шероховатой плоскости.
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2002 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123692 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 85-87. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123692 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кулешов, А.С. 2017-09-08T16:56:23Z 2017-09-08T16:56:23Z 2002 Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 85-87. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123692 531.36 Доказано существование двух дополнительных первых интегралов в задаче о движении гиростата по абсолютно шероховатой плоскости. Работа выполнена при финансовой поддержкеРФФИ (00-15-96150, 01-01-00141, 02-01-06041). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости |
| spellingShingle |
Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости Кулешов, А.С. |
| title_short |
Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости |
| title_full |
Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости |
| title_fullStr |
Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости |
| title_full_unstemmed |
Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости |
| title_sort |
об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости |
| author |
Кулешов, А.С. |
| author_facet |
Кулешов, А.С. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Доказано существование двух дополнительных первых интегралов в задаче о движении гиростата по абсолютно шероховатой плоскости.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123692 |
| citation_txt |
Об интегралах уравнений движения гиростата на шероховатой плоскости / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 85-87. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kulešovas obintegralahuravneniidviženiâgirostatanašerohovatoiploskosti |
| first_indexed |
2025-11-26T20:21:12Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:21:12Z |
| _version_ |
1850773179302150144 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.36
c©2002. А.С. Кулешов
ОБ ИНТЕГРАЛАХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
НА ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ
Доказано существование двух дополнительных первых интегралов в задаче о движении гиростата по абсо-
лютно шероховатой плоскости.
Введение. В знаменитом трактате Э.Дж. Рауса [1] была рассмотрена задача о движении
по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости неоднородного шара, центр масс ко-
торого не совпадает с геометрическим центром, причем ось, проходящая через центр масс
и геометрический центр шара, является осью динамической симметрии. Раусом было уста-
новлено, что в данной задаче, помимо интеграла энергии, существуют два линейных по
обобщённым скоростям первых интеграла. Позднее С.А.Чаплыгин в работе [2] усилил этот
результат, показав, что интегралы, подобные тем, что найдены Раусом, существуют и в
случае, когда вдоль оси симметрии шара установлен ротор, обладающий постоянным гиро-
статическим моментом. Дальнейшему развитию результатов, касающихся данной задачи,
посвящена настоящая работа.
1. Постановка задачи. Пусть по неподвижной горизонтальной плоскости катится без
скольжения тяжелый неоднородный динамически симметричный шар. Движение шара бу-
дем рассматривать относительно подвижной системы координат Gx1x2x3 с началом в цен-
тре масс шара и осями, направленными по главным центральным осям инерции. Тогда
уравнения движения шара относительно данной системы координат можно записать в виде
[3, 4]
K̇ + [ωωω ×K]−m (ω̇ωω · ρρρ) ρρρ + m (ρρρ · ρρρ) ω̇ωω −m (ωωω · ρρρ) ρ̇ρρ + m (ρρρ · ρ̇ρρ) ωωω−
−m (ωωω · ρρρ) [ωωω × ρρρ]−mg [ρρρ× γγγ] = 0,
γ̇γγ + [ωωω × γγγ] = 0.
(1)
Здесь m – масса шара, K = Θωωω – кинетический момент шара, Θ = diag (A1, A1, A3)
– центральный тензор инерции, ωωω – угловая скорость вращения, g – ускорение свободного
падения. Единичный вектор восходящей вертикали обозначен через γγγ, а через ρρρ обозначен
радиус-вектор точки контакта шара с опорной плоскостью относительно центра масс. В
рассматриваемом случае ρρρ = −rγγγ +ae3, где r – радиус шара, a – расстояние от центра масс
шара до его геометрического центра, а e3 – единичный вектор оси динамической симметрии
шара. В дальнейшем через ωi и γi (i = 1, 2, 3) будем обозначать проекции векторов ωωω и γγγ
на главные центральные оси инерции шара.
Уравнения (1) допускают, помимо интеграла энергии, два линейных относительно
квазискоростей ωi (i = 1, 2, 3) первых интеграла
A1 (ω1γ1 + ω2γ2) + A3ω3 (γ3 − a/r) = c1, (2)
ω3
√
A1A3+mr2
(
A1 (γ2
1 +γ2
2)+A3 (γ3−a/r)2)=c2. (3)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (00-15-96150, 01-01-00141, 02-01-06041)
85
А.С. Кулешов
Интеграл (2) принято называть интегралом Желле [5], а интеграл (3) – интегралом
Чаплыгина. Впервые интегралы (2), (3) получены Э.Дж. Раусом (см. [1]).
Интегралы подобные интегралам (2), (3) существуют и в случае, когда вдоль оси дина-
мической симметрии шара установлен ротор, гиростатический момент которого постоянен.
Уравнениями движения гиростата указанного вида являются уравнения (1), в которых век-
тор K имеет вид
K = Θωωω + se3,
где s = const – постоянный гиростатический момент. В этом случае интегралы (2) и (3)
несколько изменятся и будут иметь вид
A1 (ω1γ1 + ω2γ2) + (A3ω3 + s) (γ3 − a/r) = c1, (4)
ω3
√
A1A3 + mr2
(
A1 (γ2
1 + γ2
2) + A3 (γ3 − a/r)2)+
+ mr2s
∫
(γ3 − a/r) dγ3√
A1A3 + mr2
(
A1 (1− γ2
3) + A3 (γ3 − a/r)2) = c2.
(5)
Второе слагаемое в интеграле (5) представляет собой неопределенный интеграл, вы-
ражающийся через элементарные функции. Существование интегралов (4), (5) было уста-
новлено в работах [2, 6, 7].
В данной работе показано, что интегралы вида (4), (5) будут существовать и в случае,
когда компоненты кинетического момента имеют вид
K1 = A1ω1 + s(γ3)γ1, K2 = A1ω2 + s(γ3)γ2, K3 = A3ω3 + p(γ3). (6)
2. Дополнительные интегралы. Получим сначала интеграл, аналогичный интегралу
(4). Умножим первое уравнение системы (1) скалярно на вектор ρρρ. После умножения
получим (
dK
dt
· ρρρ
)
= 0.
Отсюда следует, что
d
dt
(K · ρρρ)=
(
K · dρρρ
dt
)
= a
(
K · de3
dt
)
= a (ω2γ1 − ω1γ2) s(γ3) = as(γ3)γ̇3 = a
d
dt
∫
s(γ3)dγ3.
Таким образом, в случае, когда компоненты кинетического момента имеют вид (6),
уравнения движения гиростата (1) допускают первый интеграл вида (4)
A1 (ω1γ1 + ω2γ2) + (A3ω3 + p(γ3))
(
γ3 −
a
r
)
+
(
1− γ2
3
)
s(γ3) +
a
r
∫
s(γ3)dγ3 = c1. (7)
Для того, чтобы построить интеграл, аналогичный интегралу (5), в случае, когда ком-
поненты кинетического момента имеют вид (6), воспользуемся способом, предложенным
в работе [7]. Представим первое уравнение системы (1) в виде
K̇−m (ω̇ωω · ρρρ) ρρρ + B = 0,
B = m (ρρρ · ρρρ) ω̇ωω −m (ωωω · ρρρ) ρ̇ρρ + m (ρρρ · ρ̇ρρ) ωωω + [ωωω ×K]−m (ωωω · ρρρ) [ωωω × ρρρ]−mg [ρρρ× γγγ] .
86
Об интегралах уравнений движения гиростата
Проецируя данное уравнение на оси системы координат Gx1x2x3, получим:
A1ω̇1 +
ds(γ3)
dγ3
γ̇3γ1 + s(γ3)γ̇1 −mr2γ2
1 ω̇1 −mr2γ1γ2ω̇2 −mrγ1 (rγ3 − a) ω̇3 + B1 = 0,
A1ω̇2 +
ds(γ3)
dγ3
γ̇3γ2 + s(γ3)γ̇2 −mr2γ1γ2ω̇1 −mr2γ2
2 ω̇2−mrγ2 (rγ3 − a) ω̇3 + B2 = 0,
A3ω̇3 +
dp(γ3)
dγ3
γ̇3 −mrγ1 (rγ3−a) ω̇1 −mrγ2 (rγ3−a) ω̇2 −m (rγ3 − a)2 ω̇3 + B3 = 0.
(8)
Следуя рассуждениям, приведенным в [7], умножим третье из уравнений (8) на вели-
чину A1 + m (rγ3 − a)2 и подставим вместо A1ω̇1 и A1ω̇2 их выражения из первых двух
уравнений. После подстановки и приведения подобных членов указанное уравнение примет
вид
x
dy
dt
+
y
2
dx
dt
+ F (γ3)γ̇3 = 0, (9)
где обозначено
x = A1A3 + mr2
(
A1
(
1− γ2
3
)
+ A3 (γ3 − a/r)2) , y = ω3,
F (γ3) =
(
A1 + m (rγ3 − a)2) (
dp(γ3)
dγ3
− s(γ3)
)
+
+ mr2
(
γ3 −
a
r
) (
(1− γ2
3)
ds(γ3)
dγ3
+ p(γ3)− s(γ3)γ3
)
.
Заметим, что выражение x зависит только от переменной γ3. Разделив уравнение (9)
на
√
x, получим
√
x
dy
dt
+
y
2
√
x
dx
dt
+
F (γ3)√
x
γ̇3 = 0.
Тем самым, очевидно, уравнения движения гиростата (1) в случае, когда компоненты
кинетического момента имеют вид (6), допускают первый интеграл вида (5)
y
√
x +
∫
F (γ3)√
x
dγ3 = c2.
1. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. – М: Наука, 1983. – Т. 2. – 544 c.
2. Чаплыгин С.А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Чаплыгин С.А.
Исследования по динамике неголономных систем. – М.-Л.: Гостехиздат, 1949. – С. 4–27.
3. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. – М.: Наука, 1992. – 336 с.
4. Карапетян А.В. О специфике применения теории Рауса к системам с дифференциальными связями //
Прикл. математика и механика. – 1994. – 58, вып. 3. – С. 17–22.
5. Jellett J.H. A Treatise on the Theory of Friction. – Dublin, London: MacMillan, 1872. – 230 p.
6. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости // Изв. АН
СССР. Механика твердого тела. – 1980, No 4. – С. 11–21.
7. Кулешов А.С. Об обобщенном интеграле Чаплыгина // Вест. молодых ученых. Сер. Прикл. математика и
механика. – 2000. – No 4. – С. 26–30.
МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва
kuleshov@mech.math.msu.su
akule@pisem.net
Получено 01.11.02
87
|