Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней
Рассматривается задача устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения системы имеет пару чисто мнимых корней. Получены достаточные условия, накладываемые на нелинейные чле...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123697 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней / С.Р. Амбарцумян // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 117-120. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860264186877050880 |
|---|---|
| author | Амбарцумян, С.Р. |
| author_facet | Амбарцумян, С.Р. |
| citation_txt | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней / С.Р. Амбарцумян // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 117-120. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассматривается задача устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения системы имеет пару чисто мнимых корней. Получены достаточные условия, накладываемые на нелинейные члены, при которых тривиальное решение будет асимптотически устойчивым по действующей силе.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:58:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.36
c©2002. С.Р. Амбарцумян
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
ПРИ ПАРЕ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Рассматривается задача устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных урав-
нений в критическом случае, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения
системы имеет пару чисто мнимых корней. Получены достаточные условия, накладываемые на нелинейные
члены, при которых тривиальное решение будет асимптотически устойчивым по действующей силе.
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
ẏi = Φi(y1, . . . , yn) (i = 1, . . . , n), (1)
где Φi(y1, . . . , yn) : Rn → R1 – аналитические функции в Rn и Φi(0, . . . , 0) = 0 (i = 1, . . . , n).
Известно [1, с. 57], что в этом случае систему (1) можно привести к виду:
ẏi =
n∑
k=1
pikyk + Yi(y1, . . . , yn) (i = 1, . . . , n), (2)
линейное приближение которой будет
ẏi =
n∑
k=1
pikyk (i = 1, . . . , n). (3)
Пусть корни характеристического уравнения системы (3) удовлетворяют условиям
λ1 = iα, λ2 = −iα, Reλj < 0 (j = 3, . . . , n), (4)
где α 6= 0 – действительное число. Следовательно, имеем пару чисто мнимых корней ±iα
и (n− 2) корня с отрицательными вещественными частями.
Известно [1, с. 74], что в этом случае только с помощью линейного приближения (3)
невозможно решить задачу устойчивости системы (2), то есть имеет место критический
случай.
Известно также, что при условии (4) с помощью неособого преобразования систему
(3) можно привести к виду [1, с. 118]
ẋ1 = −αx2,
ẋ2 = αx1,
ẋi = ai1x1 + . . . + ainxn (i = 3, . . . , n),
(5)
а систему (2) – к виду
ẋ1 = −αx2 + X1(x1, . . . , xn),
ẋ2 = αx1 + X2(x1, . . . , xn),
ẋi = ai1x1 + . . . + ainxn + Xi(x1, . . . , xn) (i = 3, . . . , n),
(6)
117
С.Р. Амбарцумян
где вектор-функция X(x1, . . . , xn) содержит члены не ниже второй степени переменных
x1, . . . , xn.
Следуя Ляпунову [1, с. 153], будем предполагать, что для уравнений (6) выполняется
следующее условие: все постоянные ai1 и ai2 (i = 3, . . . , n) равны нулю. Тогда уравнения
(6) примут вид:
ẋ1 = −αx2 + X1(x1, . . . , xn),
ẋ2 = αx1 + X2(x1, . . . , xn),
ẋi = ai3x3 + . . . + ainxn + Xi(x1, . . . , xn) (i = 3, . . . , n).
(7)
В работах [2], [3] приведены необходимые и достаточные условия, при которых систе-
мы линейных дифференциальных уравнений неустойчивы по действующей силе.
Здесь получим достаточные условия, накладываемые на функции Xi(x1, . . . , xn)
(i = 1, . . . , n), при которых тривиальное решение системы (7) будет асимптотически устой-
чивым по действующей силе [2].
Рассмотрим систему (7) в общем случае. Пусть для системы (7) существует определенно-
положительная функция
V (x1, . . . , xn) = V1(x1, x2) +
1
2
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxixj, (8)
которая удовлетворяет следующим условиям:
1) lim
||x||n→∞
V (x1, . . . , xn) =∞, (9)
2) x1
∂V1
∂x2
− x2
∂V1
∂x1
= 0, (10)
3) U =
∂V1
∂x1
X1(x1, . . . , xn) +
∂V1
∂x2
X2(x1, . . . , xn) +
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(xi, . . . , xn) (11)
является знакопостоянной отрицательной функцией при ||x||n = (
∑n
i=1 x2
i )
1
2 < ∞, при-
чем U = 0 – многообразие точек, не содержащее целых полутраекторий системы (7) при
T ≤ t <∞. Так как система
ẋi = ai3x3 + . . . + ainxn (i = 3, . . . , n) (12)
асимптотически устойчива, то при любой определенно-отрицательной квадратической фор-
ме W (x3, . . . , xn) коэффициенты bij можно определить из условия
d
dt
(
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxixj
)∣∣∣∣∣
(12)
= W (x3, . . . , xn) (13)
единственным образом.
Тогда производная по времени функции V (x1, . . . , xn) в силу системы (7) равна
V̇ |(7) = −αx2
∂V1
∂x1
+
∂V1
∂x1
X1(x1, . . . , xn) + αx1
∂V1
∂x2
+
∂V1
∂x2
X2(x1, . . . , xn) +
+
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(x1, . . . , xn) + W (x3, . . . , xn) = U(x1, . . . , xn) + W (x3, . . . , xn).
118
Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней
При условиях (9) – (11) она является знакопостоянной отрицательной функцией при
||x||n <∞, откуда следует, что для системы (7) выполняются все условия теоремы Барбашина-
Красовского об асимптотической устойчивости в целом [1, с. 463]. Тогда тривиальное реше-
ние системы (7) асимптотически устойчиво в целом. Следовательно, тривиальное решение
системы (7) асимптотически устойчиво и по действующей силе [3].
Таким образом, справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если для системы (7) существует определенно-положительная функция
V (x1, . . . , xn) в виде (8) такая, что имеют место условия (9) – (11), то тривиальное решение
системы (7) асимптотически устойчиво по действующей силе.
Теперь снова рассмотрим систему (7). Пусть функции X1(x1, . . . , xn) и X2(x1, . . . , xn)
имеют следующий вид
X1(x1, . . . , xn) = X
(0)
1 (x1) + X ′
1(x1, . . . , xn) = X1(x1, 0, . . . , 0) + X ′
1(x1, . . . , xn) =
= g0x
m
1 + g1x
m+1
1 + . . . + X ′
1(x1, . . . , xn),
X2(x1, . . . , xn) = X
(0)
2 (x2) + X ′
2(x1, . . . , xn) = X2(0, x2, 0, . . . , 0) + X ′
2(x1, . . . , xn) =
= ϕ0x
k
2 + ϕ1x
k+1
2 + . . . + X ′
2(x1, . . . , xn),
где g0, g1, ϕ0, ϕ1 – постоянные. В этом случае система (7) примет следующий вид:
ẋ1 = −αx2 + g0x
m
1 + g1x
m+1
1 + . . . + X ′
1(x1, . . . , xn),
ẋ2 = αx1 + ϕ0x
k
2 + ϕ1x
k+1
2 + . . . + X ′
2(x1, . . . , xn),
ẋi = αi3x3 + . . . + ainxn + Xi(x1, . . . , xn) (i = 3, . . . , n).
(14)
Докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА 2. Если система (7) имеет вид (14) и разложения функций X
(0)
1 по x1 и X
(0)
2 по
x2 содержат только нечетные степени соответствующих переменных с неположительными
коэффициентами, хотя бы один из которых в каждом разложении отличен от нуля, а
x1X
′
1(x1, . . . , xn) + x2X
′
2(x1, . . . , xn) +
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(x1, . . . , xn) (15)
– знакопостоянная отрицательная функция при ||x||n <∞, то тривиальное решение систе-
мы (7) асимптотически устойчиво по действующей силе.
Доказательство. Пусть система (7) имеет следующий вид:
ẋ1 = −αx2 + g0x
m
1 + g2x
m+2
1 + . . . + X ′
1(x1, . . . , xn),
ẋ2 = αx1 + ϕ0x
k
2 + ϕ2x
k+2
2 + . . . + X ′
2(x1, . . . , xn),
ẋi = αi3x3 + . . . + ainxn + Xi(x1, . . . , xn),
(16)
где g2i ≤ 0, ϕ2i ≤ 0 (i = 0, 1, 2, . . .), а m = 2l + 1, k = 2p + 1, причем существуют
gm 6= 0, ϕp 6= 0.
Рассмотрим определенно-положительную функцию
V (x1, . . . , xn) =
1
2
(x2
1 + x2
2) +
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxixj, (17)
119
С.Р. Амбарцумян
где коэффициенты bij определяются из условия (13). В этом случае
V̇ |(16) = x1ẋ1 + x2ẋ2 +
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(x1, . . . , xn) + W (x3, . . . , xn) =
= −αx1x2 + g0x
m+1
1 + g2x
m+3
1 + . . . + x1X
′
1(x1, . . . , xn) + αx1x2 + ϕ0x
k+1
2 +
+ ϕ2x
k+3
2 + . . . + x2X
′
2(x1, . . . , xn) +
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(x1, . . . , xn) +
+ W (x3, . . . , xn) =
∞∑
i=0
g2ix
m+2i+1
1 +
∞∑
i=0
ϕ2ix
k+2i+1
2 + x1X
′
1(x1, . . . , xn) +
+ x2X
′
2(x1, . . . , xn) +
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(x1, . . . , xn) + W (x3, . . . , xn) =
=
∞∑
i=0
g2ix
2l+1+2i+1
1 +
∞∑
i=0
ϕ2ix
2p+1+2i+1
2 + x1X
′
1(x1, . . . , xn) + x2X
′
2(x1, . . . , xn) +
+
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(x1, . . . , xn) + W (x3, . . . , xn) =
∞∑
r=l+1
g2(r−l−1)x
2r
1 +
+
∞∑
d=p+1
ϕ2(d−p−1)x
2d
2 + x1X
′
1(x1, . . . , xn) + x2X
′
2(x1, . . . , xn) +
+
n∑
i=3
n∑
j=3
bijxjXi(x1, . . . , xn) + W (x3, . . . , xn),
где r = i + l + 1, d = i + p + 1.
Так как g2i ≤ 0, ϕ2i ≤ 0, (i = 0, 1, 2, . . .), а также существуют gm 6= 0, ϕp 6= 0 и
выполняется условие (15), то функция V̇ |(16) будет определенно-отрицательной при ||x||n <
∞. Очевидно, что для функции (17) выполняется также условие
lim
||x||n→∞
V (x1, . . . , xn) =∞,
то есть в данном случае для уравнений (16) удовлетворяются все условия теоремы Барбаши-
на-Красовского об асимптотической устойчивости в целом [4]. Следовательно, тривиаль-
ное решение уравнения (16) асимптотически устойчиво в целом. В этом случае оно будет
асимптотически устойчивым и по действующей силе [3]. �
1. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.:Наука,1966. – 530 с.
2. Габриелян М.С., Шагинян С.Г. О неустойчивости систем дифференциальных уравнений при интегрально-
малых возмущениях // Уч. записки ЕГУ. – 1989. – N 1. – С. 27–32.
3. Шагинян С.Г. Об одной задаче теории устойчивости // Уч. записки ЕГУ. – 1986. – N 2. – С. 39–45.
4. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устой-
чивости в целом // Прикл. математика и механика. – 1954. – 18, вып. 3. – С. 345–350.
Армянская Сельскохоз. Академия, Ереван
samvel_ham@yahoo.com
Получено 15.11.2002
120
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123697 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:58:38Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Амбарцумян, С.Р. 2017-09-08T17:03:44Z 2017-09-08T17:03:44Z 2002 Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней / С.Р. Амбарцумян // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 117-120. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123697 531.36 Рассматривается задача устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения системы имеет пару чисто мнимых корней. Получены достаточные условия, накладываемые на нелинейные члены, при которых тривиальное решение будет асимптотически устойчивым по действующей силе. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней Амбарцумян, С.Р. |
| title | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней |
| title_full | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней |
| title_fullStr | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней |
| title_full_unstemmed | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней |
| title_short | Об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней |
| title_sort | об одной задаче устойчивости в критическом случае при паре чисто мнимых корней |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123697 |
| work_keys_str_mv | AT ambarcumânsr obodnoizadačeustoičivostivkritičeskomslučaepriparečistomnimyhkornei |