Управление динамикой систем Чаплыгина
Исследуется задача моделирования динамики неголономных систем Чаплыгина с программными связями. Строится алгоритм определения управляющих сил – реакций связей, соответствующих устойчивым программным связям. Приводится метод решения обратной задачи качественной теории дифференциальных уравнений и при...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123700 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Управление динамикой систем Чаплыгина / Р.Г. Мухарлямов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 134-143. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859639817044754432 |
|---|---|
| author | Мухарлямов, Р.Г. |
| author_facet | Мухарлямов, Р.Г. |
| citation_txt | Управление динамикой систем Чаплыгина / Р.Г. Мухарлямов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 134-143. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследуется задача моделирования динамики неголономных систем Чаплыгина с программными связями. Строится алгоритм определения управляющих сил – реакций связей, соответствующих устойчивым программным связям. Приводится метод решения обратной задачи качественной теории дифференциальных уравнений и применение его для составления уравнений неголономных программных связей. Предлагается решение задачи управления движением двухколесной тележки из произвольной точки плоскости в начало координат с обходом препятствия.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:21:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 517.93, 518:512.3
c©2002. Р.Г. Мухарлямов
УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ СИСТЕМ ЧАПЛЫГИНА
Исследуется задача моделирования динамики неголономных систем Чаплыгина с программными связями.
Строится алгоритм определения управляющих сил – реакций связей, соответствующих устойчивым про-
граммным связям. Приводится метод решения обратной задачи качественной теории дифференциальных
уравнений и применение его для составления уравнений неголономных программных связей. Предлагается
решение задачи управления движением двухколесной тележки из произвольной точки плоскости в начало
координат с обходом препятствия.
Введение. Моделирование механических систем, на которые наложены голономные
и неголономные связи, приводит к построению уравнений динамики с неопределенны-
ми множителями [1]. Выражения множителей Лагранжа обычно определяются из условия
равенства нулю производных от уравнений связей. Подстановка их в уравнения динамики
приводит к системе дифференциальных уравнений, численное решение которой оказывает-
ся неустойчивым по отношению к уравнениям связей. Замена уравнений связей уравнени-
ями программных связей с соответствующими уравнениями возмущений связей позволяет
построить разностные схемы решения уравнений движения, не связанные с накоплением
погрешностей численного интегрирования. В работе предлагается метод построения урав-
нений неголономных связей, отражающих требуемые свойства движения системы, и метод
составления уравнений динамики неголономных систем с программными связями. При-
водится решение задачи управления движением двухколесной тележки из произвольной
точки плоскости в начало координат с обходом препятствия.
1. Уравнения динамики систем Чаплыгина с программными связями. Рассмот-
рим механическую систему, положение которой определяется обобщенными координатами
q1, . . . , qn и на которую наложены неголономные связи, заданные однородными линейными
относительно обобщенных скоростей q̇1, . . . , q̇n уравнениями
A(q)q̇ = 0, (1)
A = (aij), aij = aij(q1, . . . , qp), i = 1, . . . , n− p.
Представим систему уравнений (1) в виде суммы
A(1)q̇(1) + A(2)q̇(2) = 0 (2)
A(1) = (aij), j = 1, . . . , p, q̇(1) = (q̇1, . . . , q̇p),
A(2) = (aij), j = p + 1, . . . , n, q̇(1) = (q̇p+1, . . . , q̇n),
Полагая, что det A(2) 6= 0 и обобщенные q̇1, . . . , q̇p скорости являются произвольными,
определим решение системы (2) относительно q̇p+1, . . . , q̇n:
q̇(2) = B(q)q̇(1). (3)
Работа выполнена при финансовой поддержке НТП Минобразования РФ, код 205.02.01.038 и НТП "Уни-
верситеты России", код 04.01.041.
134
Управление динамикой систем Чаплыгина
Далее, будем считать, что коэффициенты bhk(q) в правой части равенства (3) зави-
сят только от соответствующих координат q1, . . . , qp. Тогда уравнения связей (1) можно
представить в виде
q̇h =
p∑
k=1
bhk(q1, . . . , qp)q̇k, h = p + 1, . . . , n. (4)
Голономные связи, наложенные на механическую систему, будем считать склероном-
ными. Тогда кинетическая энергия системы определяется квадратичной формой относи-
тельно обобщенных скоростей
2T =
n∑
i,j=1
aij q̇iq̇j. (5)
Если наряду с коэффициентами bhk уравнений неголономных связей (4) коэффициен-
ты aij квадратичной формы (5) также зависят только от обобщенных координат q1, . . . , qp,
то механическая система является системой Чаплыгина [2]. Уравнения динамики систе-
мы Чаплыгина составляют замкнутую систему p уравнений относительно независимых
координат q1, . . . , qp:
d
dt
∂T ∗
∂q̇k
− ∂T ∗
∂qk
+
n∑
h=p+1
∂T
∂q̇h
(
p∑
l=1
(
∂bhl
∂qk
− ∂bhk
∂ql
)
q̇l
)
= Qk + Rk, (6)
k = 1, . . . , p.
Следуя С.А. Чаплыгину, под T ∗ будем понимать выражение кинетической энергии, по-
лученное заменой обобщенных скоростей q̇h в выражении (5) правыми частями уравнений
связей (4):
2T ∗ =
p∑
i,j=1
a∗ij q̇iq̇j, (7)
a∗ij = aij + 2
n∑
h=p+1
aihbhk +
n∑
h,l=p+1
ahlbhiblj.
Ввиду того, что кинетическая энергия T является положительной функцией, матрица
A∗ квадратичной формы T ∗ также является положительно определенной и ее определитель
отличен от нуля.
Функции Qk в правых частях уравнений (6) определяют обобщенные активные силы.
Функции Rk в зависимости от природы связей соответствуют либо реакциям связей, огра-
ничивающих перемещения точек системы, либо управляющим силам, призванным обеспе-
чить выполнение уравнений дополнительно заданных связей (сервосвязей). Будем считать,
что силы Qk и Rk также зависят только от координат q1, . . . , qp.
2. Определение реакций программных связей. Пусть на обобщенные координаты
q1, . . . , qp и скорости q̇1, . . . , q̇p механической системы наложены дополнительные связи,
определяемые уравнениями
ωµ(q1, . . . , qp) = aµ, µ = 1, . . . ,m, (8)
ων(q1, . . . , qp, q̇1, . . . , q̇p) = aν , ν = m + 1, . . . , r < p,
135
Р.Г. Мухарлямов
правые части которых удовлетворяют уравнениям возмущений связей
äµ = aµ(ȧ, a′, a, q, q̇), µ = 1, . . . ,m
ȧν = aν(ȧ, a′, a, q, q̇), ν = m + 1, . . . , r, (9)
a = (a1, . . . , am), a′ = (am+1, . . . , ar).
Системы уравнений (8) и (9) представляют собой уравнения программных связей (8) и
уравнения возмущений связей (9). Правые части уравнений системы (9) составляются так,
чтобы тривиальное решение aρ = 0, ρ = 1, . . . , r, было асимптотически устойчиво. В [4]
показано, что, полагая
αρ =
m∑
µ=1
pρµαµ +
m∑
µ=1
pρ,m+µα̇µ +
r−m∑
k=1
pρ,2m+kα̇k, ρ = 1, . . . , r,
можно определить ограничения, накладываемые на коэффициенты pργ , γ = 1, . . . ,m + r,
обеспечивающие выполнение необходимой точности |αγ| ≤ ε соблюдения уравнений связей
при численном решении уравнений динамики системы в обобщенных координатах.
Рассмотрим задачу определения сил Rk, обеспечивающих выполнение уравнений про-
граммных связей (8) и уравнений возмущений связей (9). Представим уравнения (6) в виде,
разрешенном относительно старших производных
q̈i +
p∑
j,k=1
ajk
i q̇j q̇k =
p∑
j=1
aij(Qj + Rj). (10)
Через ajk
i обозначены элементы матрицы (A∗)−1. Функции ajk
i аналогичны символам Кри-
стоффеля второго рода в уравнениях Лагранжа.
Если программные связи (8) полагать идеальными, то силы Rk определяются через
множители Лагранжа λ1, . . . , λr, составляющие вектор λ:
R = F T λ, R = R(R1, . . . , Rp), (11)
F = (fij), fµj =
∂ωµ
∂qj
, µ = 1, . . . ,m
fνj =
∂ων
∂q̇j
, ν = m + 1, . . . , r, j = 1, . . . , p.
Вектор неопределенных множителей Лагранжа λ = (λ1, . . . , λr) определяется исключе-
нием вектора q̈ из системы уравнений (10), записанной в векторном виде с учетом равенства
(11):
q̈ + q̇T Gq̇ = (A∗)−1(Q + F T λ), (12)
G = (ajk
i ), i, j, k = 1, . . . , p
и векторных уравнений
ωq q̈ + q̇T ωqT q q̇ = a(α̇, α′, α, q, q̇),
ω′
q̇ q̈ + ω′
q q̇ = a(α̇, α′, α, q, q̇),
(13)
136
Управление динамикой систем Чаплыгина
полученных дифференцированием выражений (8),
ωq = (fµj), ω′
q̇ = (fνj),
ωqT q = (ωjk
i ), ωjk
i =
∂2ωi
∂qj∂qk
,
ω′
q = (ων
j ), ων
j =
∂ων
∂qj
.
Перепишем уравнения (13) в виде
F q̈ + w = b, (14)
F =
(
ωq
ω′
q̇
)
, w =
(
q̇T ωqT q q̇
ω′
q q̇
)
, b =
(
a
a′
)
.
Подстановка выражения q̈ из (12) в (14) приводит к уравнению для определения вектора λ:
Sλ = b + F (q̇T Gq̇)− F (A∗)−1Q− w, S = F (A∗)−1F T .
Предполагая, что det S 6= 0, находим:
λ = S−1(b + F (q̇T Gq̇ − (A∗)−1Q)− w).
Отметим один частный случай, когда Q ≡ 0 и функции ων линейны относительно
обобщенных скоростей:
ων =
p∑
j=1
ωνj(q1, . . . , qp)q̇j, ν = m + 1, . . . , r. (15)
Тогда элементы матрицы F зависят только от координат q1, . . . , qp. Полагая b ≡ 0 и учиты-
вая, что ω′
q q̇ = (γm+1, . . . , γr), γν =
p∑
i,j=1
∂ωνj
∂qi
q̇iq̇j, λ = S−1(F (q̇T Gq̇) − w), w =
(
q̇T fqT q q̇
q̇T Rq q̇
)
,
получаем выражение
λ = S−1(F (q̇T Gq̇)− (q̇T Γq̇)), (16)
Γ = (γ1,ij, . . . , γr,ij), γµ,ij =
∂2ωµj
∂qi∂qj
, µ = 1, . . . ,m,
γν,ij =
∂2ων
∂qi∂q̇j
, ν = m + 1, . . . , r.
Так как силы Rk имеют структуру u = F T λ, то оказывается справедливым следующее
утверждение.
ТЕОРЕМА 1. Если уравнения неголономных программных связей (15) линейны отно-
сительно обобщенных скоростей и внешние силы отсутствуют: Q ≡ 0, то управление
программным движением неголономной системы осуществляется обобщенной силой, пред-
ставляющей квадратичную форму относительно обобщенных скоростей с коэффициентами,
зависящими от координат.
3. Построение уравнений неголономных связей. Для программирования движений
управляемых механических систем может быть эффективно использован метод построения
137
Р.Г. Мухарлямов
динамических систем с заданными свойствами траекторий. Рассмотрим следующую задачу.
Пусть требуется определить аналитические выражения управляющих воздействий, прило-
женных к механической системе для перемещения изображающей точки в пространстве
состояний q1, . . . , qn из произвольной точки M0 в начало координат с обходом препятствий
Pi, i = 1, . . . , l.
Для программирования соответствующего движения зададим s функций
fi(x) = 0, i = 1, . . . , s, x = (x1, . . . , xN), (17)
обладающих непрерывными частными производными по всем переменным x1, . . . , xN ,
определяющим состояние механической системы относительно базовой системы коор-
динат. Функции (17) определяют в некоторой области G ∈ RN поверхности Ψi, i =
= 1, . . . , q, ограничивающие области Gi, в которых содержатся препятствия Pi и точки
Ai, i = q + 1, . . . , s. Будем предполагать, что
N∑
k=1
(
∂fi
∂xk
)2
= 0, если fi(x) = 0 есть уравнение
поверхности, и
N∑
k=1
(
∂fi
∂xk
)2
6= 0, когда равенство fi(x) = 0 выполняется в отдельной точке
Ai . Тогда можно построить множество систем дифференциальных уравнений
ẋ = ν(x), (18)
для которых поверхности Ψi и точки Ai будут соответственно интегральными поверхно-
стями и особыми точками.
Будем считать, что дифференциальное уравнение (18) имеет единственное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям x(t0) = x0 . Тогда траектория изобража-
ющей точки, соответствующей его решению x = x(t), x(t0) = x0, fi(x
0) 6= 0, не может
пересечь ни одну поверхность Ψi. Если начало координат является точкой притяжения
системы (18), то изображающая точка придет к ней, минуя все препятствия Pi, i = 1, . . . , l.
Выразим значения координат x1, . . . , xN системы через обобщенные координаты qj ,
j = 1, . . . , n: xk = xk(q1, . . . , qn), k = 1, . . . , N . Определив производные ẋk =
n∑
j=1
∂xk
∂qj
q̇j
через qj и q̇j , систему дифференциальных уравнений (18) можно представить как уравнения
линейных неголономных связей
B(q)q̇ + b(q) = 0,
B = (bkj), b = (bk), bkj =
∂xk
∂qj
, bk = −νk(x(q)),
наложенных на механическую систему.
Проиллюстрируем решение задачи построения системы (18) на двумерной плоскости
[3]. Пусть
f(x, y) = f0f1 . . . fpfp+1 . . . fqfq+1 . . . frfr+1 . . . fsfs+1,
где
f0 ≡ 1, fi = (u2
i + ν2
i − r2
i ), i = 1, . . . , q,
ri = 0, i = 1, . . . , p, ri 6= 0, i = p + 1, . . . , q,
ui = ai1x + bi1y + ci1, νi = ai2x + bi2y + ci2,
∆i = ai1bi2 − ai2bi1 6= 0, i = 1, . . . , q,
138
Управление динамикой систем Чаплыгина
fj = ajx + bjy + cj, j = q + 1, . . . , r,
fk = fk(x, y), k = r + 1, . . . , s, fs+1 ≡ 1.
Уравнения fi(x, y) = 0 при i = 1, . . . , p равносильны уравнениям пары прямых ai1x +
+bi1y + ci1 = 0, ai2x + bi2y + ci2 = 0, определяющих в пересечении точку Ai; при
i = p+1, . . . , q получаем эллипсы Ei и при i = q +1, . . . , r – прямые Li. Будем считать, что
каждая прямая Lj пересекается по крайней мере с одной прямой Lm и не проходит через
точки Ai, что Ei также не проходят через точки Ai. Равенства fk(x, y) = 0, k = r + 1, . . . , s,
определяют кривые Ψk, которые не имеют общих точек с кривыми Ei и не проходят через
точки Ai. Через точку Ajm пересечения прямых Lj и Lm не проходят другие прямые.
Множество систем дифференциальных уравнений, имеющих особые точки типа фокус
или центр в точках Ai, предельные циклы Ei, особые точки типа узел или седло в точках
Ajm и сепаратрисы Ψk, разделяющие области, заполненные траекториями разных типов,
записывается в виде:
ẋ = k(x, y)
r∑
l=1
1
fl(x, y)
(
αl
∂fl
∂y
+ β1
∂fl
∂y
)
− ν(x, y)
s∑
l=1
1
fl(x, y)
∂fl
∂y
,
ẏ = k(x, y)
r∑
l=1
1
fl(x, y)
(
γ1
∂fl
∂x
+ δl
∂fl
∂y
)
+ ν(x, y)
s∑
l=1
1
fl(x, y)
∂fl
∂x
,
(19)
k(x, y) = Φ(x, y)f(x, y), ν(x, y) = M(x, y)f(x, y), Φ(x, y) = F (x, y)fp+1 . . . , fq,
где F = F (x, y), M = M(x, y) – произвольные непрерывные функции, отличные от нуля
в рассматриваемой области G изменения переменных x, y. Коэффициенты αl, βl, γl, δl
назначаются так, чтобы точки Ai, Ajm и кривые Ei были соответственно особыми точками
заданного типа и устойчивыми или неустойчивыми предельными циклами. Так, если
αj = αm = δj = δm = 0, γj = −βj, γm = −βm,
а βj , βm определяются из равенств
(Mmj − βmΦmj)∆mjfmj = λmj, (Mjm − βjΦjm)∆jmfjm = λjm, (20)
где ∆mj = ambj − ajbm, Mmj , Φmj , fmj – соответственно значения функций M = M(x, y),
Φ(x, y) = F (x, y)fp+1 . . . fq и произведения f1 . . . fj−1fj+1 . . . fm−1fm+1 . . . fs в точке Ajm,
то в точке Ajm будем иметь устойчивый (при λjm < 0, λmj < 0 ) или неустойчивый (при
λjm > 0, λmj > 0 ) узел или седло (при λjmλmj < 0 ).
Для j = 1, . . . , p величины αj, βj +γj, δj определяются как решение системы линейных
уравнений
a2
j1αj + aj1bj1(βj + γj) + b2
j1δj =
λj
kj
,
2aj1aj2αj + (aj1bj2 + aj2bj1)(βj + γj) + 2bj1bj2δj = 0, (21)
a2
j2αj + aj2bj2(βj + γj) + b2
j2δj =
λj
kj
,
где kj = Φ(xj, yj)f1(xj, yj) . . . fj−1(xj, yj)fj+1(xj, yj) . . . fs(xj, yj) и λj – произвольные вели-
чины. Заметим, что определитель системы (21) равен ∆3
j 6= 0 и решение ее единственно. В
139
Р.Г. Мухарлямов
зависимости от знака λj система (19) имеет в точке Aj неустойчивый фокус (λj > 0), центр
(λj = 0) или устойчивый фокус (λj < 0). Если j = p + 1, . . . , q и величины αj , βj + γj , δj
определены как решение системы (21), а величина λj выбрана так, что
λjpj(x, y) + qj(x, y) ≤ −ηj < 0 (≥ ηj > 0),
pj(x, y) = r2
jF (x, y)f1 . . . fpf
2
p+1 . . . f 2
j−1f
2
j+1 . . . f 2
q fq+1 . . . fs,
qj(x, y) = M(x, y)
s∑
l=1
(
∂fl
∂x
∂fj
∂y
− ∂fl
∂y
∂fj
∂x
)
f1 . . . fl−1fl+1 . . . fj−1fj+1 . . . fs+1,
то предельный цикл Ej будет асимптотически устойчивым (λj < 0), устойчивым (λj = 0)
или неустойчивым (λj > 0).
4. Управление движением двухколесной тележки. Рассмотрим задачу управления
движением двухколесной тележки по шероховатой плоскости. Положение тележки на плос-
кости определяется координатами q1 = x, q2 = y, q3 = θ, q4 = ϕ1, q5 = ϕ2, где x и y –
декартовы координаты точки M пересечения оси симметрии тележки с осью, на которые
посажены колеса, θ – угол между осью симметрии и осью Ox на плоскости, ϕ1 и ϕ2 – углы
поворотов соответственно правого и левого колес. Условие качения без проскальзывания
приводит к уравнениям трех неголономных связей [5]:
ẋ cos θ + ẏ sin θ + bθ̇ + aϕ̇1 = 0, (22)
ẋ cos θ + ẏ sin θ − bθ̇ + aϕ2 = 0, (23)
ẋ sin θ − ẏ cos θ = 0, (24)
где a – радиус колес, b – длина полуоси.
Кинетическая энергия тележки определяется выражением [4]:
2T = m(ẋ2 + ẏ2) + 2m0lθ̇(ẏ cos θ − ẋ sin θ) + Jθ̇2 + C(ϕ̇2
1 + ϕ̇2
2), (25)
где m = m0 + 2m1 – масса всей системы, m0 – масса кузова, m1 – масса каждого колеса, l
– расстояние от точки M(x, y) до центра масс тележки, J = m0k
2
0 + 2m1b
2 + 2A – момент
инерции системы относительно вертикальной оси, проходящей через точку M(x, y), k0
– радиус инерции кузова относительно той же вертикали, À – момент инерции колеса
относительно диаметра, Ñ – осевой момент инерции колеса.
Будем считать, что управление тележкой осуществляется моментами M1 и M2, прило-
женными к колесам, и действующими так, чтобы точка M совершала переход из произволь-
ной точки плоскости в начало координат с обходом препятствия, ограниченного кривой
(x− 2)2 + 4y2 − 1 = 0. (26)
Требуемые движения тележки будут осуществляться, если координаты x, y и скорости
ẋ, ẏ точки M удовлетворяют системе дифференциальных уравнений [5]
ẋ = −1
3
x((x− 2)2 + 4y2 − 1)− 4xy2,
ẏ = −2
3
y((x− 2)2 + 4y2 − 1) + xy(x− 2).
(27)
140
Управление динамикой систем Чаплыгина
Фазовый портрет системы (27).
Начало координат является особой точкой системы (27) типа устойчивый узел, кривая
(26) соответствует ее сепаратрисе. Фазовый портрет системы (27) приведен на рисунке.
Будем считать, что управляющие моменты Ì1 и Ì2 зависят от координат x, y, θ. Тогда
целесообразно за независимые обобщенные координаты принять q1 = x, q2 = y, q3 = θ.
Уравнения (22), (23) неголономных связей используем для исключения ϕ̇1, ϕ̇2:
ϕ̇1 = b41ẋ + b42ẏ + b43θ̇,
ϕ̇2 = b51ẋ + b52ẏ + b53θ̇;
(28)
b41 = b51 = −cos θ
a
, b42 = b52 = −sin θ
a
, b43 = −b53 = − b
a
.
Приведенная кинетическая энергия системы определяется выражением:
2T ∗ =
3∑
i=1
a∗ij q̇iq̇j, a∗ij = a∗ji, i, j = 1, 2, 3; (29)
a∗11 = m + 2d cos2 θ, d =
C
a2
, a∗12 = d sin 2θ, a∗13 = −m0l sin θ,
a∗22 = m + 2d sin2 θ, a∗23 = −m0l cos θ, a∗33 = J + 2db2.
Полагая, что внешние силы отсутствуют: Fx = Fy = Fθ = 0, составим уравнения
Чаплыгина (6):
d
dt
∂T ∗
∂q̇i
− ∂T ∗
∂qi
+
5∑
h=4
∂T ∗
∂q̇
3∑
j=1
(
∂bhj
∂qi
− ∂bhi
∂qj
)
q̇j = Qi + Ri, i = 1, 2, 3. (30)
141
Р.Г. Мухарлямов
Силы Qi соответствуют управляющим моментам M1 и M2:
Q1 = b41M1 + b51M2, Q2 = b42M1 + b52M2, Q3 = b43M1 + b53M2,
Ri – реакции связи (24). Для определения выражений Ì1, Ì2, Ri введем уравнения про-
граммных связей (8) с учетом равенств (24), (27):
f1 ≡ X sin θ − Y cos θ = α0, f2 ≡ ẋ−X = α2, f3 ≡ ẏ − Y = α3; (31)
X = −1
3
x((x− 2)2 + 4y2 − 1)− 4xy2, Y = −2
3
y((x− 2)2 + 4y2 − 1) + xy(x− 2).
Уравнения возмущений связей (9) можно представить в виде
˜̇α = P̃ α̃, α̃ = (α0, α1, α2, α3), P̃ = (pkl); (32)
pk1 = δk1, k, l = 0, 1, 2, 3.
Полагая связи (31) идеальными, получим выражения для Ri:
R1 = f11λ, R2 = f12λ, R3 = f13λ,
f11 ≡
∂f1
∂x
= −1
3
(
(3x2 − 8x + 3 + 16y2) sin θ +
2
3
(x + 1)y cos θ
)
,
f12 ≡
∂f1
∂x
= −32
3
xy sin θ − 1
3
(x2 + 2x− 6− 24y2) cos θ,
f13 ≡
∂f1
∂z
= X cos θ + Y sin θ.
Представим систему (30) в развернутом виде:
3∑
j=1
a∗ij q̈j + ai =
3∑
j=1
dijuj; (33)
ai =
3∑
j,k=1
(γi,jk + βi,jk)q̇j q̇k,
γi,jk =
1
2
(
∂a∗ji
∂qk
+
∂a∗ki
∂qj
−
∂a∗jk
∂qi
)
, βi,jk = C
5∑
h=4
bhk
(
∂bhj
∂qi
− ∂bhi
∂qj
)
,
u1 = −M1 + M2
a
, u2 =
b
a
(M2 −M1), u3 = −λ
3
.
После проведения необходимых выкладок будем иметь следующие значения функций
ai и коэффициентов dij:
a1 = 2dẏθ̇ cos2 θ − ẋθ̇ sin 2θ −m0lθ̇
2 cos θ,
a2 = −dẏθ̇ sin 2θ − 2dẋθ̇ sin2 θ −m0lθ̇
2 sin θ, a3 = 0,
d11 = cos θ, d12 = 0, d13 = −3f11,
142
Управление динамикой систем Чаплыгина
d21 = − sin θ, d22 = 0, d23 = −3f12,
d31 = 0, d32 = 1, d33 = X cos θ − Y sin θ.
Запишем систему (33) в матричном виде:
A∗q̈ + a = Du; (34)
A∗ = (a∗ij), D = (dij), q = (q1, q2, q3), u = (u1, u2, u3).
Остается определить вектор управляющих функций u. Для этого следует продиффе-
ренцировать дважды функцию f1 и по одному разу функции f2, f3 с учетом равенств (32).
В результате получается следующее матричное равенство:
F q̈ + w = P f̃ ; (35)
F = (fij), w = (w1, w2, w3), P = (pis), f̃ = (f1, ḟ1.f2, f3), i, j = 1, 2, 3, s = 0, 1, 2, 3,
f21 = 1, f22 = 0, f23 = 0, f31 = 0, f32 = 1, f33 = 0,
w1 =
1
2
3∑
i,j=1
w1,ij q̇iq̇j, w1,11 = −4
3
((3x + 4) sin θ + y cos θ),
w1,12 = −4
3
((x + 1) cos θ + 16y sin θ),
w1,13 =
4
3
(x + 1)y sin θ − 2
3
(6x2 − 8x + 3 + 16y2)cosθ,
w1,22 = −64
3
x sin θ + 32y cos θ, w1,23 =
2
3
(x2 + 2x− 6− 24y2) sin θ − 64
3
xy cos θ,
w1,33 =
2
3
(x2 − 4x + 3 + 16y2)x sin θ +
2
3
(x2 + 2x− 6y − 8y2)y cos θ,
w2 =
1
3
(3x2 − 8x + 3 + 16y2)ẋ +
32
3
xyẏ, w3 = −2
3
(x + 1)yẋ− 1
3
(x2 + 2x− 6− 24y2)ẏ.
Из (34), (35) следует выражение для вектора управления
u =
(
F (A∗)−1D
)−1
(
P f̃ + F (A∗)−1a− w
)
.
1. Мухарлямов Р.Г. Об уравнениях кинематики и динамики несвободных механических систем // Механика
твердого тела. – 2000. – Вып.30. – С. 68–79.
2. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
– 112 с.
3. Мухарлямов Р.Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений // Дифференц.
уравнения. – 1967. – 3, № 10. – C. 1673-1681.
4. Мухарлямов Р.Г. Уравнения движения механических систем. – М.: Изд-во РУДН, 2001. – 99 с .
5. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. – М.: Наука, 1967. – 519 с.
Российский ун-т дружбы народов, Москва
rmuharliamov@sci.pfu.edu.ru
Получено 27.11.2002
143
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123700 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:21:04Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мухарлямов, Р.Г. 2017-09-08T17:09:30Z 2017-09-08T17:09:30Z 2002 Управление динамикой систем Чаплыгина / Р.Г. Мухарлямов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 134-143. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123700 517.93, 518:512.3 Исследуется задача моделирования динамики неголономных систем Чаплыгина с программными связями. Строится алгоритм определения управляющих сил – реакций связей, соответствующих устойчивым программным связям. Приводится метод решения обратной задачи качественной теории дифференциальных уравнений и применение его для составления уравнений неголономных программных связей. Предлагается решение задачи управления движением двухколесной тележки из произвольной точки плоскости в начало координат с обходом препятствия. Работа выполнена при финансовой поддержке НТП Минобразования РФ, код 205.02.01.038 и НТП Университеты России, код 04.01.041. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Управление динамикой систем Чаплыгина Article published earlier |
| spellingShingle | Управление динамикой систем Чаплыгина Мухарлямов, Р.Г. |
| title | Управление динамикой систем Чаплыгина |
| title_full | Управление динамикой систем Чаплыгина |
| title_fullStr | Управление динамикой систем Чаплыгина |
| title_full_unstemmed | Управление динамикой систем Чаплыгина |
| title_short | Управление динамикой систем Чаплыгина |
| title_sort | управление динамикой систем чаплыгина |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123700 |
| work_keys_str_mv | AT muharlâmovrg upravleniedinamikoisistemčaplygina |