Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью
В работе рассматриваются трехмерные линейные системы управления. Найдены условия их управляемости, стабилизируемости, наблюдаемости и детектабельности в терминах коэффициентов системы. Проанализирована стабилизируемость системы по выходу. Указаны условия, при которых невозможна стабилизация по выход...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123704 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 172-178. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123704 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Неспирный, В.Н. 2017-09-08T17:20:33Z 2017-09-08T17:20:33Z 2002 Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 172-178. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123704 62-50 В работе рассматриваются трехмерные линейные системы управления. Найдены условия их управляемости, стабилизируемости, наблюдаемости и детектабельности в терминах коэффициентов системы. Проанализирована стабилизируемость системы по выходу. Указаны условия, при которых невозможна стабилизация по выходу даже при помощи автомата, и приведены примеры систем, не стабилизируемых обычным управлением по выходу, но стабилизируемых с помощью автомата. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью |
| spellingShingle |
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью Неспирный, В.Н. |
| title_short |
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью |
| title_full |
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью |
| title_fullStr |
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью |
| title_full_unstemmed |
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью |
| title_sort |
стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью |
| author |
Неспирный, В.Н. |
| author_facet |
Неспирный, В.Н. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
В работе рассматриваются трехмерные линейные системы управления. Найдены условия их управляемости, стабилизируемости, наблюдаемости и детектабельности в терминах коэффициентов системы. Проанализирована стабилизируемость системы по выходу. Указаны условия, при которых невозможна стабилизация по выходу даже при помощи автомата, и приведены примеры систем, не стабилизируемых обычным управлением по выходу, но стабилизируемых с помощью автомата.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123704 |
| citation_txt |
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем при помощи управления с гибридной обратной связью / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 172-178. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nespirnyivn stabilizaciâtrehmernyhlineinyhdinamičeskihsistempripomoŝiupravleniâsgibridnoiobratnoisvâzʹû |
| first_indexed |
2025-11-27T03:09:33Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:09:33Z |
| _version_ |
1850796223006507008 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 62-50
c©2002. В.Н. Неспирный
СТАБИЛИЗАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПРИ ПОМОЩИ УПРАВЛЕНИЯ С ГИБРИДНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
В работе рассматриваются трехмерные линейные системы управления. Найдены условия их управляемости,
стабилизируемости, наблюдаемости и детектабельности в терминах коэффициентов системы. Проанализи-
рована стабилизируемость системы по выходу. Указаны условия, при которых невозможна стабилизация по
выходу даже при помощи автомата, и приведены примеры систем, не стабилизируемых обычным управлением
по выходу, но стабилизируемых с помощью автомата.
1. Постановка задачи. Рассмотрим следующую систему управления{
ẋ = Ax + Bu,
y = Cx,
(1)
где x ∈ Rn – физическое состояние системы; y ∈ Rm – выход; u ∈ Rl – управление; A, B,
C – заданные действительные матрицы размерами n× n, n× l, m× n соответственно.
Задача состоит в том, чтобы синтезировать управление, асимптотически стабилизиру-
ющее систему (1) (далее, когда речь будет идти об устойчивости, будет подразумеваться
именно асимптотическая устойчивость). Однако при построении управления не известна
полная информация о состоянии системы, и допустимо использовать лишь выход систе-
мы y.
В работе [1] был приведен пример двумерной линейной системы, которая, несмотря на
управляемость и наблюдаемость, не может быть стабилизирована управлением с обратной
связью по выходу (то есть в виде u = f(y), даже если функция f является нелинейной
или разрывной). Тем не менее, было построено стабилизирующее управление при помощи
автомата в цепи обратной связи.
В работе [2] дана полная классификация плоских линейных систем по возможности
стабилизации их по выходу. Будем использовать определения, принятые в [2]:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пара (A, B) управляема, если rank [B AB . . . An−1B] = n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пара (A, C) наблюдаема, если rank [CT AT CT . . . (AT )n−1CT ] = n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пара (A, B) стабилизируема, если существует матрица F размерности
l × n такая, что A + BF – устойчивая матрица (то есть имеющая собственные значения
лишь с отрицательной вещественной частью).
Отметим, что стабилизируемость пары (A, B) еще не означает стабилизируемость по
выходу системы (1). В действительности, это лишь означает, что управление u = Fx делает
систему устойчивой, а нам требуется управление, зависящее лишь от y.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пара (A, C) детектабельна, если существует матрица K размерности
n×m такая, что A + KC – устойчивая матрица.
Отметим, что из управляемости пары (A, B) следует ее стабилизируемость, а из на-
блюдаемости (A, C) – детектабельность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Автоматом называется шестерка ∆ = (Q, I,M, T, i, q0), где
• Q – множество всех возможных состояний автомата, card Q ≤ N0;
172
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем
• I – множество, содержащее входной алфавит, card I ≤ N0;
• M : Q × I → Q – карта переходов, указывающая новое состояние в зависимости от
текущего состояния q и входа i в момент перехода;
• T : Q → (0,∞) – отображение, которое устанавливает период времени между момен-
тами перехода, то есть T (q) – время, которое автомат находится в состоянии q перед
переходом в следующее состояние;
• i : Rm → I – функция, обеспечивающая элемент i(y) алфавита I для любого выхода
y системы (1);
• q0 – состояние автомата в начальный момент времени τ0 (без ограничения общности
можно считать, что τ0 = 0).
Любой автомат ∆ определяет оператор F∆. Для каждого y ∈ C([0,∞)) он задается
следующим образом:
(F∆y)(t) = q(τk) при t ∈ [τk, τk+1),
τk+1 = τk + T (q(τk)), q(τk+1) = M(q(τk), i(y(τk+1)),
q(τ0) = q0, τ0 = 0.
Таким образом, (F∆y)(t) есть состояние автомата ∆ в момент времени t.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Управление u(·), определяемое соотношением
u(t) = Φ(y(t), F∆y(t)), (2)
называется общим управлением с гибридной обратной связью, где Φ : Rm × Q → Rl –
некоторая функция.
Следовательно, любое управление u однозначно определяется автоматом ∆ и функ-
цией Φ.
Будем рассматривать подкласс общего управления с гибридной обратной связью, ко-
торый обозначается LHk, k ∈ N:
LHk = {(∆, Φ)|Φ(y, q) линейно зависит от y, card Q ≤ k, card I ≤ k}.
Это класс линейных элементарных управлений с гибридной обратной связью с максимум
k состояниями, то есть u = Φ(y, q) = G(q)y, где G : Q → Mlm(R), Mlm(R) – множество
матриц размерности l ×m с вещественными элементами.
2. Предварительные результаты. Укажем вначале условия управляемости и стабили-
зируемости пары (A, B), а также наблюдаемости и детектабельности пары (A, C).
В дальнейшем будем рассматривать трехмерные системы вида (1) с одномерным вы-
ходом и одномерным управлением (n = 3, m = 1, l = 1). Тогда матрицы A, B, C имеют
соответственно размерности 3× 3, 3× 1, 1× 3 (B = (b1, b2, b3)
T , C = (c1, c2, c3)). На таких
тройках (A, B, C) определим группу преобразований GT , которая порождается следующи-
ми тремя преобразованиями:
T1(∆) : (A, B, C) → (∆A∆−1, ∆B, C∆−1), ∆ ∈ GL3(R);
T2(m1, m2, m3) : (A, B, C) → (m1A, m2B, m3C), m1 > 0, m2 6= 0, m3 6= 0;
T3(α) : (A, B, C) → (A + αBC, B, C), α ∈ R.
173
В.Н. Неспирный
Здесь GL3(R) – мультипликативная группа всех обратимых 3× 3-матриц с вещественными
элементами.
ЛЕММА 1. Свойства управляемости (стабилизируемости) пары (A, B) и наблюдаемости
(детектабельности) пары (A, C) инвариантны относительно преобразований группы GT .
Доказательство может быть проведено непосредственно по определениям 1–4 для каж-
дого из преобразований T1, T2, T3, образующих группу GT .
Применяя преобразование T1, можно привести матрицу A к одной из следующих нор-
мальных жордановых форм (опуская тривиальный случай, когда матрица A – устойчивая).
Случай A1. A =
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
, где λ ≥ 0.
Пара (A, B) никогда не стабилизируема, (A, C) никогда не детектабельна.
Случай A2. A =
λ 1 0
0 λ 0
0 0 λ
, где λ ≥ 0.
Пара (A, B) никогда не стабилизируема, (A, C) никогда не детектабельна.
Случай A3. A =
λ 1 0
0 λ 1
0 0 λ
, где λ ≥ 0.
Пара (A, B) управляема (стабилизируема) тогда и только тогда, когда b3 6= 0.
Пара (A, C) наблюдаема (детектабельна) тогда и только тогда, когда c1 6= 0.
Случай A4. A =
λ1 0 0
0 λ1 0
0 0 λ2
, где λ1 > λ2, λ1 ≥ 0.
Пара (A, B) никогда не стабилизируема, (A, C) никогда не детектабельна.
Случай A5. A =
λ1 1 0
0 λ1 0
0 0 λ2
, где λ1 > λ2, λ1 ≥ 0.
Пара (A, B) управляема тогда и только тогда, когда b2 6= 0, b3 6= 0. Пара (A, B) стаби-
лизируема, но не управляема тогда и только тогда, когда b2 6= 0, b3 = 0, λ2 < 0.
Пара (A, C) наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, c3 6= 0. Пара (A, C) детек-
табельна, но не наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, c3 = 0, λ2 < 0.
Случай A6. A =
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ2
, где λ1 > λ2, λ1 ≥ 0.
Пара (A, B) никогда не стабилизируема. Пара (A, B) стабилизируема, но не управляема
тогда и только тогда, когда b1 6= 0, λ2 < 0.
Пара (A, C) никогда не детектабельна. Пара (A, C) детектабельна, но не наблюдаема
тогда и только тогда, когда c1 6= 0, λ2 < 0.
174
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем
Случай A7. A =
λ1 0 0
0 λ2 1
0 0 λ2
, где λ1 > λ2, λ1 ≥ 0.
Пара (A, B) управляема тогда и только тогда, когда b1 6= 0, b2 6= 0. Пара (A, B) стаби-
лизируема, но не управляема тогда и только тогда, когда b1 6= 0, b3 = 0, λ2 < 0.
Пара (A, C) наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, c2 6= 0. Пара (A, C) детек-
табельна, но не наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, c2 = 0, λ2 < 0.
Случай A8. A =
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
, где λ1 > λ2 > λ3, λ1 ≥ 0.
Пара (A, B) управляема тогда и только тогда, когда b1 6= 0, b2 6= 0, b3 6= 0. Пара (A, B)
стабилизируема, но не управляема тогда и только тогда, когда b1 6= 0, b2 = 0, λ2 < 0 или
b1 6= 0, b2 6= 0, b3 = 0, λ3 < 0.
Пара (A, C) наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, c2 6= 0, c3 6= 0. Пара (A, C)
детектабельна, но не наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, c2 = 0, λ2 < 0 или
c1 6= 0, c2 6= 0, c3 = 0, λ3 < 0.
Случай A9. A =
λ1 µ 0
−µ λ1 0
0 0 λ2
, где λ1 ≥ λ2, λ1 ≥ 0, µ > 0.
Пара (A, B) управляема тогда и только тогда, когда |b1| + |b2| 6= 0, b3 6= 0. Пара (A, B)
стабилизируема, но не управляема тогда и только тогда, когда |b1|+ |b2| 6= 0, b3 = 0, λ2 < 0.
Пара (A, C) наблюдаема тогда и только тогда, когда |c1|+ |c2| 6= 0, c3 6= 0. Пара (A, C)
детектабельна, но не наблюдаема тогда и только тогда, когда |c1|+ |c2| 6= 0, c3 = 0, λ2 < 0.
Случай A10. A =
λ1 0 0
0 λ2 µ
0 −µ λ2
, где λ1 > λ2, λ1 ≥ 0, µ > 0.
Пара (A, B) управляема тогда и только тогда, когда b1 6= 0, |b2| + |b3| 6= 0. Пара (A, B)
стабилизируема, но не управляема тогда и только тогда, когда b1 6= 0, b2 = b3 = 0, λ2 < 0.
Пара (A, C) наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, |c2|+ |c3| 6= 0. Пара (A, C)
детектабельна, но не наблюдаема тогда и только тогда, когда c1 6= 0, c2 = c3 = 0, λ2 < 0.
3. Стабилизируемость при помощи автомата в цепи обратной связи. Как было
показано в [3], система вида (1) может быть стабилизирована по выходу при помощи
автомата в цепи обратной связи, если пара (A, B) – управляема, а пара (A, C) – наблюдаема.
Однако, у такого автомата может быть бесконечное число состояний, и функция Φ не
зависит явно от y.
ЛЕММА 2. Пусть тройка (A1, B1, C1) = T (A, B, C) для некоторого преобразования
T ∈ GT . Тогда система (1) допускает линейную элементарную стабилизацию с гибрид-
ной обратной связью (LHk) тогда и только тогда, когда такую же стабилизацию (с тем же
самым числом состояний k) допускает и система{
ẋ1 = A1x1 + B1u1,
y1 = C1x1,
175
В.Н. Неспирный
Доказательство следует из того, что преобразованиям, порождающим группу GT , со-
ответствуют замены переменных
T1 : x1 = ∆x;
T2 : t1 = m−1
1 t, u1 = m1m
−1
2 u, y1 = m3y;
T3 : u1 = u− αy.
Это дает возможность записать управление u1, зная управление u для системы (1).
Следующая теорема дает условия нестабилизируемости системы (1) даже при помощи
автомата.
ТЕОРЕМА 1. Предположим, что матрица A – неустойчива, B, C – ненулевые векторы
и пара (A, B) не является стабилизируемой или пара (A, C) не является детектабельной.
Тогда система (1) не может быть стабилизирована линейным управлением с гибридной
обратной связью (u ∈ LHk).
Доказательство. Для каждого из случаев A1–A10 проведем доказательство отдельно.
Случай A1. Заметим, что преобразование T1 не изменяет форму матрицы A. Поэтому,
выбрав соответствующим образом матрицу преобразования ∆, можно сделать вектор B
равным (0, 0, 1)T . Подставив управление u = α(q)y в систему (1), получим
ẋ1 = λx1, ẋ2 = λx2, ẋ3 = α(q)c1x1 + α(q)c2x2 + (λ + α(q)c3)x3. (1)
Отсюда видно, что координаты x1 и x2 с течением времени возрастают по модулю вне
зависимости от состояния присоединенного автомата. Поэтому система (1) не может быть
стабилизирована.
Случай A2. Преобразованием T1 можно добиться того, что матрица A не изменится, а
компонента b2 вектора B станет равной 0. Это значит, что мы придем к системе, одним из
уравнений которой будет ẋ2 = λx2, откуда следует невозможность стабилизации.
Случай A3. По условию теоремы (A, B) – не стабилизируема или (A, C) – не детекта-
бельна. Это значит, что хотя бы одно из чисел b3 и c1 равно нулю. Первое обозначает, что
система содержит уравнение ẋ3 = λx3, а второе – что при любом управлении из LHk функ-
ция x(t) = eλt(1, 0, 0)T является решением системы. В обоих случаях, имеем отсутствие
стабилизируемости.
Аналогичным образом рассматриваются и остальные случаи. �
ТЕОРЕМА 2. Пусть A =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
, B =
0
0
1
, C =
(
γ1 γ2 1
)
, где
γ1, γ2 < 0, γ1 + γ2 > −1. (3)
Тогда система (1) не допускает линейного управления с гибридной обратной связью, ста-
билизирующего нулевое решение.
Доказательство. Пара (A, B) не является управляемой, но является стабилизируемой,
а пара (A, C) – не наблюдаема, но детектабельна. Поэтому при исследовании стабилизации
такой системы нельзя воспользоваться ни теоремой 1, ни результатами работы [3].
Подставив управление класса LHk в систему (1), получаем
ẋ1 = x2 + x3,
ẋ2 = x1 + x3,
ẋ3 = x1 + x2 + α(q)(γ1x1 + γ2x2 + x3).
(4)
176
Стабилизация трехмерных линейных динамических систем
Возьмем достаточно малое ε > 0 и определим область
Γε = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 ≥ ε, x2 ≥ ε, γ1x1 + γ2x2 + x3 ≥ 0}.
Покажем, что эта область независимо от α(q) является инвариантным множеством
относительно потока системы (4). Для этого достаточно показать, что векторы скорости
этой системы на границе области Γε направлены внутрь области.
Действительно, на границе x1 = ε имеем ẋ1 = x2 + x3 ≥ (1 − γ1 − γ2)ε > 0, поэтому
траектория системы (3) не может выйти из области Γε через эту границу.
На границе x2 = ε – ẋ2 = x1 + x3 ≥ (1− γ1 − γ2)ε > 0. Здесь также векторы скорости
направлены внутрь области.
Наконец, рассмотрим границу γ1x1 + γ2x2 + x3 = 0. На ней
ẋ1 = −γ1x1 + (1− γ2)x2, ẋ2 = (1− γ1)x1 − γ2x2, ẋ3 = x1 + x2.
Нормальный вектор, направленный внутрь области Γε, равен (γ1, γ2, 1)T . Проекция вектора
скорости на это направление
(γ2
1 + γ2
2 + 1)−1/2(1 + γ1 + γ2)((1− γ1)x1 + (1− γ2)x2)
положительна в силу (3).
Таким образом, мы показали, что траектория системы (4), имеющая начальную точку
в области Γε, лежит полностью внутри этой области. Поскольку Γε отделена от начала
координат, то нулевое решение не является асимптотически устойчивым. �
Данная теорема может быть распространена и на n-мерный случай.
ТЕОРЕМА 3. Пусть
A =
1 1 · · · 1
1 1 · · · 1
· · · · · · · · · · · ·
1 1 · · · 1
− E, B =
0
...
0
1
, C =
(
γ1 . . . γn−1 1
)
,
где E - единичная матрица порядка n; γ1, . . . , γn−1 < 0, γ1 + . . .+ γn−1 > −1. Тогда система
(1) не допускает управления класса LHk, стабилизирующего нулевое решение.
4. Примеры.
ПРИМЕР 1. Перенесем пример Арцтейна [1] в трехмерное пространство.
A =
0 1 0
−1 0 0
0 0 −1
, B =
0
1
0
, C =
(
1 0 0
)
.
Стабилизация может быть осуществлена при помощи следующего автомата: множе-
ство состояний Q = {q0, qd}, входной алфавит I = {� + �, � − �}, карта переходов M :
M(q0, � + �) = qd, M(q0, � − �) = M(qd, � + �) = M(qd, � − �) = q0, время между моментами
перехода T (q0) = δ, T (qd) = 1.5π(1 + k)−1/2, i(y) = � + � при y ≥ 0, i(y) = �− � при y < 0,
начальное состояние – q0.
Управление (2) можно определить следующим образом: Φ(y, q0) = 0, Φ(y, qd) = −ky.
Здесь δ – достаточное маленькое число, k – произвольное положительное число.
177
В.Н. Неспирный
ПРИМЕР 2.
A =
1 0 1
0 −1 0
1 0 1
, B =
0
0
1
, C =
(
1 0 0
)
.
Для стабилизации такой системы может быть построен следующий автомат. Множе-
ство состояний Q = {q0, qd}, входной алфавит I = {� + �, � − �}, карта переходов M :
M(q0, � + �) = qd, M(q0, � − �) = M(qd, � + �) = M(qd, � − �) = q0, время между моментами
перехода T (q0) = δ, T (qd) = 1.5π(−1 + k)−1/2, i(y) = � + � при y ≥ 0, i(y) = �− � при y < 0,
начальное состояние – q0.
Управление: Φ(y, q0) = −2y, Φ(y, qd) = −ky. Здесь δ – снова достаточное маленькое
число, k – число, удовлетворяющее неравенству π
2
(
1 + 3(−1 + k)−1/2
)
− ln
√
−1 + k < 0.
ПРИМЕР 3.
A =
2 0 0
1 0 −1
0 0 −1
, B =
1
1
0
, C =
(
1 −1 1
)
.
Данный случай сводится при помощи преобразования из GT к случаю, уже рассмот-
ренному в примере 2. Поэтому соответствующий автомат можно получить из автомата
для примера 2 при помощи обратного преобразования. Но поскольку это преобразование
касается лишь фазового пространства, то автомат и управление останутся прежними.
ПРИМЕР 4.
A =
0 2 −2
−1 2 −3
0 0 −1
, B =
1
0
0
, C =
(
1 −1 1
)
.
Здесь необходим автомат с тремя состояниями. Он может быть описан следующим
образом. Множество состояний Q = {q0, q−, qd}, входной алфавит I = {� + �, � − �}, кар-
та переходов M : M(q−, � + �) = q0, M(q−, � − �) = M(qd, � + �) = M(qd, � − �) = q−,
M(q0, � + �) = M(q0, �− �) = qd, время между моментами перехода T (q0) = π
2
, T (q−) = δ,
T (qd) = (k2/4− 1)−1/2 ln
(
k/2 +
√
k2/4− 1
)
, i(y) = � + � при y ≥ 0, i(y) = �− � при y < 0,
начальное состояние – q0.
Управление: Φ(y, q0) = Φ(y, q−) = 0, Φ(y, qd) = −ky. Здесь δ, как всегда, доста-
точное маленькое число, k – число, удовлетворяющее неравенству (2 − k)(k2 − 4)−1/2×
× ln
(
k/2 +
√
k2/4− 1
)
< −1.5π.
1. Artstein Z. Example of stabilization with hybrid feedback // Hybrid System III. Verification and Control. Lecture
Notes in Comput. Sci. – 1996. – 1066. – P. 173 - 185.
2. Litsyn E., Nepomnyashchikh Yu. V. and Ponosov A. Classification of linear dynamical systems in the plane in
admitting a stabilizing hybrid feedback control // Journal of Dynamical and Control Systems. – 2000. – 6, No.4.
– P. 477 - 501.
3. Litsyn E., Nepomnyashchikh Yu. V. and Ponosov A. Stabilization of linear differential systems via hybrid feedback
control // SIAM Journal on Control and Optimization. – 2000. – 38, No.5. – P. 1468 - 1480.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
techmech@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 19.10.2002
178
|