Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости
Получено решение задачи стабилизации за конечное время систем c динамической обратной связью с использованием функции управляемости. Выполнен компьютерный анализ трехмерных модельных систем....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123705 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости / Н.В. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 179-184. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859943863132618752 |
|---|---|
| author | Кравченко, Н.В. |
| author_facet | Кравченко, Н.В. |
| citation_txt | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости / Н.В. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 179-184. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Получено решение задачи стабилизации за конечное время систем c динамической обратной связью с использованием функции управляемости. Выполнен компьютерный анализ трехмерных модельных систем.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:12:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 62-50,531.38
c©2002. Н.В. Кравченко
СТАБИЛИЗАЦИЯ ЗА КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ СИСТЕМ C ДИНАМИЧЕСКОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ МЕТОДОМ ФУНКЦИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ
Получено решение задачи стабилизации за конечное время систем c динамической обратной связью с ис-
пользованием функции управляемости. Выполнен компьютерный анализ трехмерных модельных систем.
1. Постановка задачи. Рассматриваются системы управления, описываемые обыкно-
венными дифференциальными уравнениями
ẋ = f(x, u), (1)
где x ∈ D ⊆ Rn – фазовый вектор, u ∈ U ⊂ Rm – вектор управления. Множество U
предполагается ограниченным, содержащим точку нуль в качестве внутренней. Кроме того,
предполагается f(0, 0) = 0, что обеспечивает существование нулевого решения системы
(1).
Задача стабилизации за конечное время системы (1) с динамической обратной связью
состоит в построении динамической системы
u̇ = g(x, u), (2)
где g(0, 0) = 0, такой, что все траектории системы (1), (2), начинающиеся в окрестности
начала координат, попадают в начало координат за конечное время. При этом начальное
значение u0 может зависеть от начальных значений фазового вектора u0 = u0(x0). По-
ставленную задачу будем решать, используя метод функции управляемости[1] для решения
задачи локального синтеза непрерывного управления.
Задача локального синтеза непрерывного управления системы (1) состоит в нахожде-
нии управления u = u(x) ∈ U непрерывного при x 6= 0 и такого, что траектория системы
ẋ = f(x, u(x)), начинающаяся в точке x0 из окрестности нуля оканчивается в точке x1 = 0
за конечный момент времени T (x0).
2. Решение задачи локального синтеза непрерывного управления методом функ-
ции управляемости. В работе [1] решение задачи локального синтеза непрерывного управ-
ления системы (1) получено в виде u = u(x, θ). Функция θ(x), названная функцией управ-
ляемости, удовлетворяет следующей теореме.
ТЕОРЕМА. Пусть для управляемого процесса, описываемого уравнением ẋ = f(x, u), где
x ∈ En, u ∈ U ⊂ Em, f ∈ En и вектор-функция f в каждой области {(x, u) : 0 < ρ ≤
≤‖ x ‖≤ ρ1, u ∈ U} удовлетворяет условию Липшица
‖f(x′′, u′′)− f(x′, u′)‖ ≤ L1(ρ, ρ1)(‖x′′ − x′‖+ ‖u′′ − u′‖)
существует функция θ(x), удовлетворяющая условиям:
1) θ(x) ≥ 0 и θ(x) = 0 только при x = 0;
2) θ(x) непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема всюду за исключением,
быть может, точки x = 0;
179
Н.В. Кравченко
3) существует функция u(x) при x ∈ Q, где Q = {x : θ(x) ≤ C, C > 0} (C таково, что
множество Q ограничено), удовлетворяющая неравенству
n∑
i=1
∂θ(x)
∂xi
fi(x, u) ≤ −βθ1− 1
α (x)
при некоторых α > 0, β > 0, причем u(x) при 0 < ρ ≤ ‖x‖ < ρ1 и x ∈ Q удовлетворяет
условию Липшица, то есть ‖u(x′′)− u(x′)‖ ≤ L2(ρ, ρ1)‖x′′ − x′‖.
Тогда траектория системы ẋ = f(x, u(x)), начинающаяся в произвольной точке x0 ∈ Q
при t = 0, оканчивается в точке x = 0 в некоторый конечный момент времени T ≤ α
β
θ
1
α (x0).
Метод решения задачи локального синтеза для линейной управляемой системы с од-
номерным управлением [1] можно представить в виде следующего алгоритма.
1. Система приводится к каноническому виду
żi = zi+1, i = 1, n− 1,
żn = v, |v| ≤ d.
(3)
2. Управление v ищется в виде полинома v =
∑n
i=1 aizi , где коэффициенты ai подби-
раются из условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3).
3. Строится положительно определенная квадратичная форма
V =
1
2
n∑
i,j=1
fijzizj = =
1
2
(Fz, z)
такая, что V̇ = −
∑n
i=1 z2
i , где V̇ – производная по времени в силу системы (3) с управлением
v =
∑n
i=1 aizi. Известно [2], что такая форма существует и единственна.
4. Параметр α выбирается, исходя из условий:
1) α > −ν∗ , где ν∗ – минимальный корень уравнения
det||fij(2n + 1− i− j − ν)||i,j=1,n = 0; (4)
2) квадратичная форма (Fαz, z) положительно определенная, где
Fα = ||fij(1 +
2n + 1− i− j
α
)||i,j=1,n. (5)
5. Находится a0 такое, что выполняется условие√
2a0(F−1a, a) ≤ d. (6)
Выбрав соответствующим образом a = (a1, a2, ..., an), F, α, a0 получаем, что управле-
ние
v(z, θ) =
n∑
i=1
aiziθ
−n− 1 + i
α , (7)
где θ – положительный корень уравнения
θ =
1
2a0
(F1(θ)z, z), (8)
180
Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью
при F1(θ) = ||fijθ
(−2n−1+i+j)/α||i,j=1,n удовлетворяет теореме и
Ò(õ0) ≤
αλ
2
θ
1
α
(x0). (9)
Здесь λ – максимальный корень характеристического уравнения для матрицы Fα. Известно
[1], что положительное решение уравнения (8) существует и единственно.
3. Построение динамической обратной связи. Рассмотрим функцию Φ(θ, z) =
= 2a0θ − (F1(θ)z, z), a0 > 0. Найдем производную Φ(θ, z) по θ при z 6= 0. Получаем
∂Φ
∂θ
= 2a0θ +
1
θ
((
2n + 1− i− j
α
)F1(θ)z, z). Из (8) 2a0 =
1
θ
(F1(θ)z, z), следовательно
∂Φ
∂θ
=
1
θ
((1 +
2n + 1− i− j
α
)F1(θ)z, z). Введем обозначение yi = θ
−n− 1 + i
α zi, тогда
∂Φ
∂θ
= ((1+
2n + 1− i− j
α
)Fy, y) = (Fαy, y). Так как α подбирается так, что (Fαz, z) поло-
жительно определенная квадратичная форма, то
∂Φ
∂θ
> 0 . Поскольку обе части уравнения
(8) непрерывно дифференцируемы по θ и z, и так как
∂Φ
∂θ
6= 0 при z 6= 0, то по теореме
о неявной функции θ(z) непрерывно дифференцируема в окрестности любой точки z 6= 0.
Доопределим функцию θ(z) значением θ(0) = 0. Функция θ(z) становится непрерывной
при любом z [1]. Продифференцировав (8) в силу системы (3), с учетом (7), получаем
выражение для θ̇(z).
θ̇ =
( n−1∑
i,j=1
fij θ
−2n+i+j
α (zi+1zj + zj+1zi) + 2
n∑
i=1
fin θ
−n+i
α (zi+1zn + zi
n∑
j=1
ajzj θ
−n−1+j
α )
)
×
×
(
(1 +
2n + 1− i− j
α
)F1(θ)z, z
)−1
.
(10)
Уравнение (10) представляет собой динамическую обратную связь для системы (3). Обо-
значим правую часть уравнения (10) через g(z, θ). Рассмотрим расширенную систему
żi = zi+1 (i = 1, n− 1), żn = v(z, θ), θ̇ = g(z, θ) (11)
с начальными условиями z = z0, θ = θ 0, где θ 0 – положительное решение уравнения (8)
при z = z0.
Управление v(z, θ) и θ(z) удовлетворяют теореме из п.1, следовательно решение си-
стемы (11) будет переводить точку из окрестности начала координат в начало координат за
конечное время. Так как f(0, 0) = 0 и g(0, 0) = 0, то получаем решение задачи стабилизации
за конечное время для системы (3) с помощью динамической обратной связи.
ЗАМЕЧАНИЕ. Полученный результат может быть обобщен на случай нелинейных систем,
которые могут быть точно линеаризованы [3].
4. Примеры. Пример 1. Рассмотрим систему
ẋ1 = x2, ẋ2 = x3, ẋ3 = u, |u| ≤ 1. (12)
Построим для данной системы стабилизирующую динамическую обратную связь. Поло-
жим a1 = −1, a2 = −3, a3 = −3, тогда нулевое решение системы (12) с управлением
181
Н.В. Кравченко
u =
∑n
i=1 aixi будет асимптотически устойчиво. Для данной системы
F =
37/8 31/8 1
31/8 13/2 13/8
1 13/8 7/8
.
Наименьшим корнем уравнения (4) для системы (12) будет ν∗ = 0.133. Если положить
α = 1, (α > −ν∗), то получим
F1 =
111/4 155/8 4
155/8 26 39/8
4 39/8 7/8
.
Тогда из (9) получаем оценку для времени, за которое система из окрестности нуля
попадает в нуль, T (x0) ≤ 0.623 θ(x0). Построим обратную матрицу к матрице F
F−1 =
1
451
195 −113 −13
−113 195 −233
−13 −233 963
.
Найдем a0 удовлетворяющее (6) при d = 1. Получаем a0 ≤ 0, 079. Положим a0 = 0, 05
и из (10) определим динамическую обратную связь θ̇ для системы (12).
Расширенная система (11) с динамической обратной связью θ̇ для системы (12) имеет
вид
ẋ1 = x2, ẋ2 = x3, ẋ3 = −x3
θ3
− 3x2
θ2
− 3x1
θ
,
θ̇ =
−40(θ3x2
1 + θx2
2 + θ−1x2
3)
12θ5 − 70θ3x2
1 − 195θ2x1x2 − 20(13x2
2 + 4x1x3)θ − 105x2x3
.
(13)
С начальными условиями
x(t0) = x0, θ(t0) = θ 0, (14)
где θ 0 – положительный корень уравнения
0.8θ6 − 7θ4x0
3
2 − 26θ3x0
2x
0
3 − 4(13x0
2
2
+ 4x0
1x
0
3)θ
2 − 62θx0
1x
0
2 − 37x0
1
2
= 0.
a) x0 = (1, 1, 1) б) x0 = (−1, 1, 1) в) x0 = (1, 1,−1)
Рис. 1. Траектории системы (12).
182
Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью
Решение данной задачи проходит через точку (0,0,0) за время T (x0) ≤ 0, 623 θ 0. Для
примера выберем в пространстве три точки (1,1,1), (1,-1,1) и (1,1,-1).Им соответствуют
следующие значения θ 0: 4.567, 2.399, 4.246. Используя метод Рунге-Кутта, решаем задачу
Коши (13), (14). Траектории системы(13) изображены на рис. 1.
Пример 2. Будем рассматривать систему
ẋ1 = u1, ẋ2 = x3, ẋ3 = u2; |ui| ≤ 1. (15)
Построим для нее стабилизирующую обратную связь. Данная система является линейной,
управляемой с двумерным управлением. Система распадается на две независимые системы
ẋ1 = u1, |u1| ≤ 1; (16)
ẋ2 = x3, ẋ3 = u2; |u2| ≤ 1. (17)
Для системы (16) параметр a = −1, f11 = 1, уравнение (4) имеет корень ν∗ = 1,
матрица F имеет вид (1+1/α)f11 , поэтому положим α = 1. Пологаем a0 = 1/2. Уравнение
(8) примет вид θ2 = x2
1 . Функция θ(x) = |x1|, а управление u1 = − x1/|x1| = –sign(x1).
Систему (17) приводим к системе с динамической обратной связью
ẋ2 = x3, ẋ3 = −x2
θ2
− 2x3
θ
,
θ̇ =
θ2x2
3 + x2
2
−4
9
θ4 + θ2x2
3 + θx2x3
.
(18)
Тогда расширенная система с динамической обратной связью для системы (15) имеет
вид
ẋ1 = −sign(x1), ẋ2 = x3, ẋ3 = −x2
θ2
− 2x3
θ
,
θ̇ =
θ2x2
3 + x2
2
−4
9
θ4 + θ2x2
3 + θx2x3
.
(19)
С начальными условиями
x(t0) = x0, θ(t0) = θ 0, (20)
где θ 0 – положительный корень уравнения
2
9
θ4 − x0
3
2
θ2 − 2x0
2x
0
3θ − 3x0
2
2
= 0. (21)
Для примера выберем в пространстве три начальные точки: (1,1,1), (-1,1,1) и (1,-1,1).
Построим для этих начальных точек траектории движения. Задаем начальные значения
для вектора x и подставляем в уравнение (21). Затем, решив это уравнение, выбираем
положительный корень в качестве начального значения для θ. Для выбранных начальных
точек получены следующие значения θ 0: 3, 3, 1.88, соответственно. Используя метод Рунге-
Кутта решаем задачу Коши (19), (20). Траектории системы (19) изображены на рис. 2.
183
Н.В. Кравченко
a) x0 = (1, 1, 1) б) x0 = (−1, 1, 1) в) x0 = (1, 1,−1)
Рис. 2. Траектории системы (18).
1. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче
управляемости // Мат.сб. – 1979. –109(151), N4(8). – С. 582–606.
2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения.–М.:Гостехиздат,1950. – 476с.
3. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems// Bull. Acad. Polonaise Sci., Ser. Sci. Math., –
1980. – 28, – P. 517 – 522.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
kravchenko@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 01.10.02
184
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123705 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:12:40Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кравченко, Н.В. 2017-09-08T17:21:51Z 2017-09-08T17:21:51Z 2002 Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости / Н.В. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 179-184. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123705 62-50,531.38 Получено решение задачи стабилизации за конечное время систем c динамической обратной связью с использованием функции управляемости. Выполнен компьютерный анализ трехмерных модельных систем. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости Article published earlier |
| spellingShingle | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости Кравченко, Н.В. |
| title | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости |
| title_full | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости |
| title_fullStr | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости |
| title_full_unstemmed | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости |
| title_short | Стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости |
| title_sort | стабилизация за конечное время систем с динамической обратной связью методом функции управляемости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123705 |
| work_keys_str_mv | AT kravčenkonv stabilizaciâzakonečnoevremâsistemsdinamičeskoiobratnoisvâzʹûmetodomfunkciiupravlâemosti |