Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем
Рассмотрена система n тел, образующих полузамкнутую цепь [1], связанных упругими шарнирами с четырьмя степенями свободы. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и сдвиговые деформации моделируемого упругого объекта. Определены жесткости изгиба и сдвига, при которых данная конечномерная разн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123706 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем / И.А. Болграбская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 185-193. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859656018122768384 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. |
| author_facet | Болграбская, И.А. |
| citation_txt | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем / И.А. Болграбская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 185-193. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена система n тел, образующих полузамкнутую цепь [1], связанных упругими шарнирами с четырьмя степенями свободы. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и сдвиговые деформации моделируемого упругого объекта. Определены жесткости изгиба и сдвига, при которых данная конечномерная разностная задача аппроксимирует непрерывную задачу о малых колебаниях балки Тимошенко с двумя опорами на концах. Доказана сходимость решений разностной задачи к решению непрерывной при условии соответствующего выбора параметров жесткостей. Для системы, состоящей из двух тел, найдены резонансные скорости первого и второго типов [2]. Установлено, что учет сдвиговых деформаций позволяет определить более широкий спектр резонансных скоростей.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:39:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.38
c©2002. И.А. Болграбская
УЧЕТ СДВИГОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рассмотрена система n тел, образующих полузамкнутую цепь [1], связанных упругими шарнирами с че-
тырьмя степенями свободы. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и сдвиговые деформации
моделируемого упругого объекта. Определены жесткости изгиба и сдвига, при которых данная конечно-
мерная разностная задача аппроксимирует непрерывную задачу о малых колебаниях балки Тимошенко с
двумя опорами на концах. Доказана сходимость решений разностной задачи к решению непрерывной при
условии соответствующего выбора параметров жесткостей. Для системы, состоящей из двух тел, найдены
резонансные скорости первого и второго типов [2]. Установлено, что учет сдвиговых деформаций позволяет
определить более широкий спектр резонансных скоростей.
Введение. Изучение колебаний вращающихся валов получило широкое развитие в
связи с их использованием в качестве элементов конструкций современного машинострое-
ния. Вращающиеся валы являются составной частью механических объектов, в частности,
это валы турбомашин, трансмиссионные валы самолетов, вертолетов и т.п. При рассчете
рабочих режимов объектов одним из важнейших показателей являются критические чис-
ла оборотов вала, в окрестности значений которых любая несимметрия вала приводит к
неустойчивости работы механизмов. Знание этих критических скоростей вращения позво-
ляет так спроектировать конструкцию, чтобы отсутствовал резонанс изгибных колебаний
вала на всем диапазоне значений его оборотов.
В работах [2,3] предложен конструктивный алгоритм определения критических скоро-
стей вращения упругих валов на основе его дискретной модели – системы твердых тел,
связанных упругими шарнирами (ССТТ). Сравнительная простота конечномерной моде-
ли ССТТ позволила для системы, состоящей из двух и трех тел, выписать критические
скорости в явном виде. Результаты исследований [2-4] дают возможность утверждать, что
найденные скорости с достаточной степенью точности определяют значения низших резо-
нансных скоростей и могут быть использованы в инженерных рассчетах. В работах [2,3,5,6]
были найдены критические скорости для систем с различным способом закрепления (сво-
бодные ССТТ, несвободные ССТТ и ССТТ полузамкнутого типа) и показано, что движение
несимметричных объектов в окрестности значений этих скоростей неустойчиво. В [2] выде-
лены две группы критических скоростей, которые были названы резонансными скоростями
первого и второго типов. При этом оказалось, что резонансные скорости существуют лишь
при определенном соотношении между экваториальными и осевыми моментами инерции
тел. Так, в случае сплюснутых тел, которые мы получаем при увеличении числа тел в
ССТТ, моделирующей упругий объект, эти скорости не могут быть найдены. Однако та-
кая же проблема существует и при изучении непрерывных стержневых систем, что, как
отмечено в [7], является следствием неучета сдвиговых деформаций упругого объекта. В
этой связи в работе [8] был введен в рассмотрение упругий обобщенный универсальный
шарнир, который учитывает не только вращательные, но и поступательные относитель-
ные движения связанных тел. Для системы двух одинаковых тел, связанных обобщенным
упругим универсальным шарниром, движущейся по инерции, в [8] изучено ее равномер-
ное вращение вокруг оси коллинеарной вектору скорости центра масс ССТТ. Оказалось,
185
И.А. Болграбская
что учет дополнительных степеней свободы обобщенного упругого шарнира, моделирую-
щих сдвиговые деформации упругого объекта, позволил расширить спектр резонансных
скоростей вращения.
Полученные результаты подтверждают необходимость введения сдвига в упругие со-
членения и установления соответствия между упругими параметрами дискретной (ССТТ)
и непрерывной (стержневой) моделей, позволяющего судить об их адекватности. В настоя-
щей работе эта задача решена для системы полузамкнутого типа [1]. Определены жесткости
изгиба и сдвига, при которых конечномерная разностная система аппроксимирует непре-
рывную. Доказано, что при n → ∞ решение конечномерной задачи сходится к решению
непрерывной. Следует отметить, что эти результаты легко могут быть распространены на
свободные и несвободные ССТТ [2].
В заключительной части настоящей работы рассмотрена система двух тел, связанных
обобщенным упругим шарниром, для которой определены резонансные скорости первого
и второго типов.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему n гироскопов Лагранжа Sk
(k = 1, n) типа дерева [9], связанных обобщенными упругими универсальными шарнирами.
Полагаем, что точка O1 оси симметрии тела S1 неподвижна, а точка On+1 оси симметрии
тела Sn лежит на неподвижной оси O1Z. Согласно определению данному в [1], эта ССТТ
относится к классу систем полузамкнутого типа. Введем в рассмотрение систему коорди-
нат O1XY Z (орты i, j,k), которая вращается вокруг неподвижной оси O1Z с постоянной
скоростью ω. Эту систему в дальнейшем будем называть осевой. Кроме того, введем n
связанных систем координат CkXkYkZk (орты ek
x, e
k
y, e
k
z), в которых оси CkZk коллинеарны
осям симметрии тел Sk, а Ck− центр масс тела Sk. Положение k-той связанной систе-
мы координат по отношению к осевой определим углами ψk, θk (рис.1), а k-той связанной
системы по отношению к (k − 1)-ой с помощью углов αk, βk (рис.1).
Рис. 1. Связанные и осевая системы координат.
Определим шарнир позволяющий учитывать изгибные и сдвиговые деформации сле-
дующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем шарнир с четырьмя степенями свободы, допускающий два ор-
тогональных поворота тела Sk относительно тела Sk−1 вокруг осей OkXk−1, OkYk и сдвиг
тела Sk относительно Sk−1 в плоскости OkXk−1Yk (рис.2), обобщенным универсальным
186
Учет сдвиговых деформаций при моделировании стержневых систем
шарниром. В упругих обобщенных универсальных шарнирах при поворотах и сдвигах воз-
никают соответственно упругие моменты и силы, которые при малых угловых и сдвиговых
перемещениях определяются силовой функцией
U = −1
2
n∑
k=2
[æ2(α2
k + β2
k) + ν2(d2
kx + d2
ky)] + ... , (1)
где æ2 и ν2 соответственно коэффициенты жесткости изгиба и сдвига; dkx, dky – смещение
вдоль осей OkXk−1, OkYk; многоточием обозначены члены более высокого порядка малости
по сравнению с величинами малых углов и смещений.
Полагая далее сдвиги и повороты малыми, считаем
Рис. 2. Обобщенный универсальный
шарнир.
малыми величины ψk, θk, αk, βk. В этом случае, как и в
[2,3], углы αk, βk поворота тела Sk относительно тела
Sk−1 связаны с углами вращения тела Sk относительно
осевой системы координат соотношениями
αk = ψk − ψk−1, βk = θk − θk−1 (k = 2, n). (2)
Вектор dk сдвиговых деформаций в осевой системе ко-
ординат представим в виде
dk = dkxi + dkyj (k = 2, n). (3)
Допустим, что расстояния между шарнирами OkOk+1
(k = 2, n− 1) одинаковы и равны h, а центр масс те-
ла Sk равноудален от шарниров Ok и Ok+1. Тогда при
условии OkCk = c имеем h = 2c. Кроме того будем
считать O1O2 = OnOn+1 = c и O1C1 = OnCn = c/2.
Обозначим координаты центра масс тела Sk в осе-
вой системе координат через xk, yk, zk, тогда
OCk = xki + ykj + zkk. (4)
При малых ψk, θk с учетом (3) имеем
x1 = cψ1/2, y1 = cθ1/2; (5)
xk = xk−1 + dkx + c(ψk + ψk−1), yk = yk−1 + dky + c(θk + θk−1) (k = 2, n− 1); (6)
xn = xn−1 + dnx + c(ψn/2 + ψn−1), yn = yn−1 + dny + c(θn/2 + θn−1);
z1 = c/2, zk = 2kc (k = 2, n); zn = (4n− 1)c/2.
Из условия On+1 ∈ O1Z следует, что O1On+1 · i = 0; O1On+1 · j = 0 или
c(ψ1 + ψn) + 2c
n−1∑
k=2
ψk +
n∑
k=2
dkx = 0, c(θ1 + θn) + 2c
n−1∑
k=2
θk +
n∑
k=2
dky. (7)
187
И.А. Болграбская
Исключая из (7) dkx, dky с помощью соотношений (5), (6), получаем
xn = −cψn/2, yn = −cθn/2. (8)
Из (1) с учетом (4)-(6) следует, что потенциальная энергия изучаемой ССТТ такова
Π =
1
2
æ2
n∑
k=2
[(ψk − ψk−1)
2 + (θk − θk−1)
2] +
1
2
ν2{[x2 − c(ψ1 + ψ2)]
2 + [y2 − c(θ1 + θ2)]
2
+[xn−1 + c(ψn + ψn−1)]
2 + [yn−1 + c(θn + θn−1)]
2 +
n−1∑
k=3
[〈xk − xk−1 − c(ψk + ψk−1)〉2+
+〈yk − yk−1 − c(θk + θk−1〉2]}+ . . . . (9)
Кинетическая энергия системы имеет вид
T =
1
2
n∑
k=1
{Ak(p
2
k + q2
k) +Bkr
2
k +mkv
2
kc}, (10)
где Ak, Bk− соответственно центральный экваториальный и осевой моменты инерции тела
Sk; pk, qk, rk− компоненты абсолютной угловой скорости тела Sk в связанной с ним системе
координат; vkc− скорость центра масс тела Sk.
Из (4) следует
v2
kc = (ẋk − ωyk)
2 + (ẏk + ωxk)
2. (11)
Поскольку абсолютная угловая скорость тела Sk равна ωk = ωk + ψ̇kj + θ̇ek
x, то при
малых деформациях (при этом считаем малыми ψk, θk, ψ̇k, θ̇k)
pk = −ωψk + θ̇k, qk = ωθk + ψ̇k, rk = ω(1− ψ2
k/2− θ2
k/2)− θkψ̇k. (12)
Допустим, что тела Sk (k = 2, n− 1) одинаковы, тогда полагаем Ak = A, Bk = B,
mk = m. Кроме того, считаем, что A1 +mc2/4 = An +mc2/4 = A/2; B1 = Bn = B/2. При
таких предположениях после подстановки (11),(12) в (10) получим
T =
1
4
{A[(θ̇1 − ωψ1)
2 + (ψ̇1 + ωθ1)
2 + (θ̇n − ωψn)2 + (ψ̇n + ωθn)2]+
+B[−ω2(ψ2
1 + θ2
1 + ψ2
n + θ2
n)− 2ω(θ1ψ̇1 + θnψ̇n)]}+
1
2
n−1∑
k=2
{A[(θ̇k − ωψk)
2+ (13)
+(ψ̇k + ωθk)
2] +B[−ω2(ψ2
k + θ2
k)− 2ωθkψ̇k] +m[(ẋk − ωyk)
2 + (ẏk + ωxk)
2]}+ . . . .
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отметим,что выражения для кинетической и потенциальной энергии в
случае n одинаковых твердых тел совпадают с (9), (13) в случае, если точки опоры распо-
ложены в центрах масс тел S1 и Sn. При этом точка O1 совпадает с точкой C1, а On+1 с
точкой Cn и y1 = yn = x1 = xn = 0.
2. Уравнения движения. Как установлено в [10], уравнения движения ССТТ полуза-
мкнутого типа допускают решение, соответствующее равномерному вращению ССТТ как
188
Учет сдвиговых деформаций при моделировании стержневых систем
одного целого вокруг неподвижной оси. Это движение соответствует положению равно-
весия ССТТ в осевой вращающейся системе координат. Во введенных выше обобщенных
координатах соответствующее решение запишется так
ψk = θk = ψ̇k = θ̇k = 0 (k = 1, n); xk = yk = ẋk = ẏk = 0 (k = 2, n). (14)
Подставим (9), (13) в лагранжиан системы L = T −Π и запишем уравнения движения
в форме уравнений Лагранжа второго рода, линеаризовав их в окрестности решения (14).
Имеем
Aü1 − iBωu̇1 − 2æ2(u2 − u1)− 2cν2[v2 − c(u2 + u1)] = 0;
Aü2 − iBωu̇2 − æ2(u3 − 2u2 + u1)− cν2[v3 − c(u1 + 2u2 + u3)] = 0;
Aük − iBωu̇k − æ2(uk+1 − 2uk + uk−1)− cν2[vk+1 − vk−1 − c(uk−1 + 2uk + uk+1)] = 0
k = 3, n− 2; (15)
Aün−1 − iBωu̇n−1 − æ2(un − 2un−1 + un−2)− cν2[vn−1 − c(un−2 + 2un−1 + un)] = 0;
Aün − iBωu̇n + 2æ2(un − un−1+) + 2cν2[vn−1 + c(un + un−1)] = 0;
mv̈2 − ν2[v3 − 2v2 + c(u1 − u3)] = 0;
mv̈k − ν2[vk+1 − 2vk + vk−1 + c(uk−1 − uk+1] = 0 k = 3, n− 2; (16)
mv̈n−1 − ν2[vn−2 − 2vn−1 + c(un−2 − un)] = 0.
Здесь uk = eiωt(ψk + iθk); vk = eiωt(xk + iyk). Для переменных uk, vk уравнения получаются
сопряжением соответственно уравнений (15), (16).
Из системы (16) находим
u3 − u1 = av̈2 − c1(v3 − 2v2),
uk+1 − uk−1 = av̈k − c1(vk+1 − 2vk + vk−1), (17)
un − un−2 = −av̈n − c1(2vn−1 − vn−2),
где c1 = 1/c, a = mc1/ν
2.
Используя уравнения (17), исключаем из системы (15) переменные uk (k = 1, n).
Полученные уравнения могут быть приведены к виду
Aa
....
v k −Biωa
...
v k − (Ac1 + ac2ν2 + aæ2)(v̈k+1 − 2v̈k + v̈k−1) + 4aν2c2v̈k+
+Biωc1(v̇k+1 − 2v̇k + v̇k−1) + æ2c1(vk+2 − 4vk+1 + 6vk − 4vk−1 + vk−2) (18)
k = 2, n− 1,
v1 = vn = 0, (vn+1 − 2vn + vn−1)/h = 0, (v0 − 2v1 + v2)/2 = 0. (19)
3. Уравнения движения при n→∞. Посмотрим какую непрерывную систему описывает
изучаемая ССТТ при условии, что число тел в системе неограниченно растет. Представим
систему (18) следующим образом:
K1
....
v k − iωK2
...
v k −K3(v̈k+1 − 2v̈k + v̈k−1)/h
2 + v̈k + iωK4(v̇k+1−
189
И.А. Болграбская
−2v̇k + v̇k−1)/h
2 +K5(vk+2 − 4vk+1 + 6vk − 4vk−1 + vk−2)/h
4 = 0 (20)
k = 2, n− 1.
Здесь коэффициенты Ki(i = 1, 5) равны
K1 =
A
ν2h2
, K2 =
B
ν2h2
, K3 =
A
ρSh
− h2
4
+
æ2h
ν2
,
K4 =
B
ρSh
, K5 =
æ2h
ρS
. (21)
В [11] доказано, что
lim
h→0
A/h = ρJ ; lim
h→0
B/h = 2ρJ ; lim
h→0
æ2h = EJ, (22)
где ρ − плотность материала, S− площадь поперечного сечения, J− момент инерции
плоского сечения, E− модуль Юнга материала.
Найдем предельное значение коэффициента сдвига ν2. Для этого рассмотрим вы-
ражение для упругой силы сдвиговых деформаций в дискретном и непрерывном слу-
чаях. Согласно (1) компоненты ux
k, u
y
k упругой силы в k-том упругом шарнире равны
ux
k = −ν2dkx; uy
k = −ν2dky. Тогда, учитывая (6), имеем
ux
k = −ν2h
(
xk − xk−1
h
− ψk + ψk−1
2
)
, uy
k = −ν2h
(
yk − yk−1
h
− θk + θk−1
2
)
. (23)
В случае стержневой модели поперечные силы в плоскостях OX и OY соответственно
равны
Qx = kGS
(
∂x
∂z
− ψ
)
, Qy = kGS
(
∂y
∂z
− θ
)
, (24)
где k − коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения и характеризующий де-
формацию материала; G − модуль сдвига. При уменьшении длины оси h тела Sk упругие
силы (23), действующие в шарнирах, стремятся к силам (24), действующим в плоском
сечении, то есть ux
k → Qx, u
y
k → Qy. Как и в [8,10], номер k-го шарнира при переходе
от ССТТ к непрерывному стержню можно трактовать как координату по оси OZ, тогда
xk = x(zk), yk = y(zk), а zk − zk−1 = h (k = 2, n). Кроме того,
lim
h→0
xk − xk−1
h
=
∂x
∂z
; lim
h→0
yk − yk−1
h
=
∂y
∂z
.
Отсюда заключаем, что выражения сил, определенных соотношениями (23), (24), сов-
падают в пределе при h→ 0, если
lim
h→0
ν2h = kGS. (25)
Поскольку имеем
lim
h→0
xk+1 − 2xk + xk−1
h2
=
∂2x
∂z2
; lim
h→0
xk+2 − 4xk+1 + 6xk − 4xk−1 + xk+2
h4
=
∂4x
∂z4
,
190
Учет сдвиговых деформаций при моделировании стержневых систем
(аналогичные соотношения получаются заменой x на y), то с учетом (22), (25) можно
утверждать, что согласно определению [12] разностная задача (19), (20) аппроксимирует
дифференциальную задачу
ρJ
kJS
∂4v
∂t4
− 2iω
ρJ
kJS
∂3v
∂t3
+
∂2v
∂t2
+ 2iω
J
S
∂3v
∂z2∂t
− J
S
(
1 +
E
kG
)
∂4v
∂z2∂t2
+
EJ
ρS
∂4v
∂z4
= 0 (26)
с граничными условиями
v
∣∣∣∣ z=0
z=`
=
∂2v
∂z2
∣∣∣∣
z=0
z=`
= 0, (27)
где ` = nh− длина стержня.
Система (26), (27) описывает малые колебания упругого вращающегося вала с двумя
опорами на концах.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как показывают результаты исследований [2,10], изучение задач с други-
ми граничными условиями никаких принципиальных отличий не имеет и выбор жесткостей
упругих сочленений, согласно (22), (25), гарантирует, что изучаемая разностная задача ап-
проксимирует дифференциальную с соответствующими граничными условиями.
4. Исследование решений уравнений дискретной ССТТ при n → ∞. Как установ-
лено в [11], дифференциальная граничная задача (26), (27) имеет общее решение
v =
∑
j
Dje
iλjt sin jz (28)
(здесь полагалось, что длина стержня ` = π, чего всегда можно добиться соответствующей
заменой переменных). В (28) λj− корень уравнения
ρJ
kGS
λ4
j − 2ω
ρJ
kGS
λ3
j − λ2
j
[
1 +
Jj2
S
(
1 +
E
kG
)]
+ 2ω
Jj2
S
λj +
EJj4
ρS
= 0, (29)
а постоянные Dj определяются из начальных условий.
Решение дискретной системы разыскивалось в виде
vk =
n−1∑
j=1
Dje
iµjt sin kjh. (30)
Подставив (30) в (20), получим следующее уравнение для определения µj:
K1µ
4
j −K2ωµ
3
j − [1 + σK3]µ
2
j +K4σωµj +K5σ
2 = 0, (31)
где σ =
4
h2
sin2 jh
2
, а Ki (i = 1, 5) определены в (21).
Пусть число тел в ССТТ неограниченно растет, при этом h → 0. Устремим h → 0
в уравнении (31). Тогда, учитывая соотношения (22), (25) и lim
h→0
σ = j2, получаем, что
коэффициенты уравнения (31) в пределе совпадают с коэффициентами уравнения (26),
откуда заключаем
lim
h→0
µj = λj. (32)
191
И.А. Болграбская
Составляя норму разности решений уравнений (26) и (20), описывающих соответствен-
но движение непрерывной и дискретной систем, и учитывая (32), получим∥∥∥∥∥
n−1∑
j=1
Dje
i(λj−µj)t sin kjh+
∞∑
j=n
Dje
iλjt sin kjh
∥∥∥∥∥ → 0 при h → 0,
откуда по определению [12] следует, что решение конечномерной задачи сходится к реше-
нию непрерывной.
Таким образом, решение уравнений дискретной модели может использоваться для ана-
лиза поведения упругих объектов при условии, что параметры упругих шарниров выбраны
согласно (22), (25).
5. Резонансные скорости в случае n = 2. Пусть ССТТ состоит из двух одинаковых
тел. Тогда считаем O1C1 = O2C2 = O1O2/2 = O2O3/2 = c. В этом случае, учитывая, что
O3 ∈ O1Z, имеем d2x = h(ψ1 + ψ2); d2y = h(θ1 + θ2) и уравнения (15) принимают вид
Aü1 −Biωu̇1 − æ2(u2 − u1) + h2ν2(u2 + u1),
(33)
Aü2 −Biωu̇2 + æ2(u2 − u1) + h2ν2(u2 + u1).
Составляя сумму и разность уравнений (33) и вводя новые переменные u1 + u2 =
= w1, u1 − u2 = w2, получим
Aẅ1 −Biωẇ1 + 2h2ν2w1 = 0, Aẅ2 −Biωẇ2 + 2æ2w2 = 0. (34)
Разыскивая решение уравнений (34) в виде w1 = W1e
iλt, w2 = W2e
iµt, получаем
−Aλ2 +Bωλ+ 2h2ν2 = 0, −Aµ2 +Bωµ+ 2æ2 = 0. (35)
Согласно [2], находим резонансные скорости первого типа из условия λ = ω, µ = ω.
Имеем
ω2
1 =
2æ2
A−B
; ω2
2 =
2h2ν2
A−B
.
Таким образом, кроме известной [5] резонансной скорости (34), определена еще одна,
зависящая от жесткости сдвига.
Вторые резонансные скорости находятся из условия
λ+ µ = 2ω. (36)
Тогда, записывая соотношения Виетта для корней уравнений (35) и требуя выполне-
ния (36), получаем уравнение для определения резонансных скоростей второго типа. Это
уравнение имеет следующий вид
4ω4(2− b)2(1− b)− 2ω2(2− b)2(c2 + c1)
2 + (c1 − c2)
2 = 0. (37)
Здесь b = B/A, c1 = 2hν2/A, c2 = 2æ2/A.
В случае сплюснутых тел b > 1 и у уравнения (37) существует один положительный
корень ω2
3 > 0. В случае же вытянутых тел b < 1 и, поскольку дискриминант уравнения
(37) d = 16c1c2(1 − b) + b2(c1 + c2)
2 > 0, оно имеет два действительных положительных
корня ω2
41, ω
2
42.
192
Учет сдвиговых деформаций при моделировании стержневых систем
Таким образом, в отличие от результатов полученных в [5], учет сдвиговых деформаций
позволил найти новые резонансные скорости, причем эти скорости существуют как для вы-
тянутых, так и для сплюснутых тел. Аналогичный результат был получен в [8] при изучении
движения свободной ССТТ, состоящей из двух тел. Полученные результаты подтверждают,
что при исследовании устойчивости равномерных вращения упругих стержневых объектов
необходимо введение в модельных задачах обобщенных упругих шарниров.
1. Болграбская И.А., Савченко А.Я. Системы твердых тел, образующих полузамкнутую цепь// Механика
твердого тела.–1994.– Вып. 26(I).– С. 33 – 39
2. Савченко А.Я., Болграбская И.А., Кононыхин Г.А. Устойчивость движения систем связанных твердых тел.
– Киев: Наук. думка, 1991.– 168 c.
3. Болграбская И.А., Нестеров О.Ю. Определение резонансных частот в упругих стержневых системах //
Механика твердого тела. – 1993. – Вып. 25.– С. 90 – 94.
4. Bolgrabskaya I.A. Resonance velocities with half-closed chain// Проблемы нелинейного анализа в инженер-
ных системах. Международный сборник. – Казань, 2001 – 7, вып. 1(13). – С. 22–28.
5. Шепеленко О. Об устойчивости равномерных вращений системы гироскопов Лагранжа в случае резо-
нансов второго рода // Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 28.– С. 99– 104.
6. Диминтберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. – М: Изд-во АН СССР, 1959. – 248 с.
7. Болграбская И.А. Влияние сдвиговых деформаций в системе двух гироскопов Лагранжа на резонансные
частоты// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1987. – №2. – С. 33–36.
8. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. – М.: Мир, 1980. – 292 с.
9. Болграбська И.О. Дослiдження динамiчных властивостей систем зв’язаних твердих тiл i ı̈х застосування
до вивчення властивостей стержневих конструкцiй. – Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. – Донецк,
1999. – 33 с.
10. Болграбская И.А. Уравнения движения систем связанных твердых тел и малые колебания упругих стерж-
ней// Динамика систем связанных твердых тел и тел с полостями, содержащими жидкость. – Донецк,
1990. – С. 19-27 (Препр. АН Украины, Ин-т прикл. математики и механики, N 90.03).
11. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1972. – 400 с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 10.08.02
193
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123706 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:39:24Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. 2017-09-08T17:23:15Z 2017-09-08T17:23:15Z 2002 Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем / И.А. Болграбская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 185-193. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123706 531.38 Рассмотрена система n тел, образующих полузамкнутую цепь [1], связанных упругими шарнирами с четырьмя степенями свободы. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и сдвиговые деформации моделируемого упругого объекта. Определены жесткости изгиба и сдвига, при которых данная конечномерная разностная задача аппроксимирует непрерывную задачу о малых колебаниях балки Тимошенко с двумя опорами на концах. Доказана сходимость решений разностной задачи к решению непрерывной при условии соответствующего выбора параметров жесткостей. Для системы, состоящей из двух тел, найдены резонансные скорости первого и второго типов [2]. Установлено, что учет сдвиговых деформаций позволяет определить более широкий спектр резонансных скоростей. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем Article published earlier |
| spellingShingle | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем Болграбская, И.А. |
| title | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем |
| title_full | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем |
| title_fullStr | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем |
| title_full_unstemmed | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем |
| title_short | Учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем |
| title_sort | учет сдвиговых деформаций при моделировании малых колебаний упругих стержневых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123706 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia učetsdvigovyhdeformaciiprimodelirovaniimalyhkolebaniiuprugihsteržnevyhsistem |