Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками
Обобщены известные условия устойчивости положения равновесия физического маятника c жидкостью [1- 5] на случай произвольной цилиндрической полости, содержащей многослойную идеальную жидкость с упругими пластинками или мембранами на свободной и внутренних поверхностях. Показано, что наличие упругих п...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2002 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2002
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123708 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками / Ю.Н. Кононов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 203-207. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860007055959523328 |
|---|---|
| author | Кононов, Ю.Н. |
| author_facet | Кононов, Ю.Н. |
| citation_txt | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками / Ю.Н. Кононов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 203-207. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Обобщены известные условия устойчивости положения равновесия физического маятника c жидкостью [1- 5] на случай произвольной цилиндрической полости, содержащей многослойную идеальную жидкость с упругими пластинками или мембранами на свободной и внутренних поверхностях. Показано, что наличие упругих пластинок (мембран) приводит к улучшению устойчивости, то есть к стабилизации неустойчивого положения равновесия физического маятника.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:39:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32
УДК 531.36:531.38:533.6.013.42
c©2002. Ю.Н. Кононов
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА,
СОДЕРЖАЩЕГО МНОГОСЛОЙНУЮ ЖИДКОСТЬ,
РАЗДЕЛЕННУЮ УПРУГИМИ ПЛАСТИНКАМИ
Обобщены известные условия устойчивости положения равновесия физического маятника c жидкостью [1-
5] на случай произвольной цилиндрической полости, содержащей многослойную идеальную жидкость с
упругими пластинками или мембранами на свободной и внутренних поверхностях. Показано, что наличие
упругих пластинок (мембран) приводит к улучшению устойчивости, то есть к стабилизации неустойчивого
положения равновесия физического маятника.
1. Постановка задачи. Рассмотрим малые плоские колебания физического маятника,
имеющего цилиндрическую полость произвольного поперечного сечения S, частично за-
полненную m идеальными несмешивающимися жидкостями c плотностями ρi до глубин
hi (i = 1, 2, ...,m). На свободной поверхности верхней жидкости (i = 1) и на поверхно-
стях раздела (внутренних поверхностях) многослойной жидкости могут находиться упру-
гие мембраны или пластинки с растягивающими усилиями Ti в срединной поверхности.
Мембраны и пластинки жестко закреплены по краю. Пластинки считаются изотропными
и обладают изгибной жесткостью Di. В дальнейшем при Di = 0 под пластинкой будем
подразумевать мембрану.
Движение жидкости и пластинок будем рассматривать в подвижной системе координат
Oxyz, жестко связанной с твердым телом и расположенной так, что плоскость Oxy совпа-
дает со свободной поверхностью верхней жидкости в состоянии покоя. Ось Oz параллельна
образующей цилиндрической поверхности, проходит через центр тяжести поперечного се-
чения S и через точку подвеса физического маятника – точку O1. Введем неподвижную
систему координат O1XY Z с центром в O1, направив ось O1Z противоположно вектору
ускорения силы тяжести g. В положении равновесия системы координат Oxyz и O1XY Z
параллельны. Движения жидкостей будем считать потенциальными.
2. Метод решения. Исследование устойчивости положения равновесия рассматривае-
мой механической системы будем проводить на основании теоремы Лагранжа об устойчи-
вости равновесия упругого тела с полостью, содержащей жидкость [6]. Следует отметить,
что аналогичная теорема Лагранжа для твердого тела с жидкостью была другим путем
впервые доказана в линейной постановке Н.Н.Моисеевым [7], понимавшим под устой-
чивостью ограниченность главных колебаний. Для нахождения минимума потенциальной
энергии, если исключить из рассмотрения некоторые особые случаи, можно ограничить-
ся рассмотрением величин второго порядка малости и воспользоваться методами теории
малых колебаний. В этой теории смещение свободной поверхности представляется в ви-
де ряда по системе собственных функций соответствующей краевой задачи [2, 8]. Таким
методом была решена задача о минимуме потенциальной энергии тяжелого маятника с по-
лостью, наполненной тяжелой жидкостью [1]. Далее будем следовать именно этому подходу
и рассматривать устойчивость с энергетической нормой.
Потенциальная энергия физического маятника, содержащего многослойную жидкость
203
Ю.Н. Кононов
с упругими пластинками, имеет вид
Π = Π1 + Π2 + Π3.
Здесь
Π1 =
1
2
gm0l0θ
2, Π2 = g
m∑
i=1
ρi
∫
τi
Zdτ,
Π3 =
m∑
i=1
ρ0ig
∫
τ0i
Zdτ +
1
2
∫
S
[
Ti
((
∂Wi
∂x
)2
+
(
∂Wi
∂y
)2
)
+ Di42
x,yWi
]
ds
+ Π∗3,
Π∗3 = −
m∑
i=1
Di(1− νi)Π3i, Π3i =
∫
S
[
∂2Wi
∂x2
∂2Wi
∂y2
−
(
∂2Wi
∂x∂y
)2
]
ds,
Π1, Π2 и Π3 – потенциальная энергия соответственно твердого тела, жидкости [2] и упругих
массовых пластинок [9]; θ – угол отклонения физического маятника от положения равно-
весия; l0 – расстояние от центра масс твердого тела до точки O1; m0 – масса твердого тела;
τi и τ0i – области, занятые i-ой жидкостью и i-ой пластинкой; 4x,y – оператор Лапласа;
Wi, ρ0i и νi – соответственно прогиб, плотность и коэффициент Пуассона i-ой пластинки;
Z = (z − l̃0) cos θ + y sin θ, l̃0 = O1O.
Проведем необходимые вычисления. При вычислении потенциальной энергии жидко-
сти Π2 интегрирование должно быть выполнено по всему объему, занятому жидкостью,
так как замена области, занятой жидкостью в данный момент, той областью, которую она
занимает в положении равновесия, приводит к ошибкам не третьего, а второго порядка
малости [2]. Получим
Π2 = g
m∑
i=1
ρi
∫
τi0
Z dτ +
∫
τi1
Z dτ
=
1
2
gθ2
m∑
i=1
mi(l0i +
hi
2
)+
+ g
m∑
i=1
4ρi
∫
S
Wi(Wi + θy)ds + const + O(θ3),
∫
τ0i
Zdτ =
∫
S
ds
Wi−Hi+δ0i/2∫
Wi−Hi−δ0i/2
Zdz = −m0il0i cos θ,
Π3 =
1
2
m∑
i=1
gθ2m0il0i +
∫
S
(Ti + Di4x,yWi)4x,yWi ds
+ Π∗3 + const + O(θ3),
(1)
Π3i =
1
2
∮
γ
[(
∂Wi
∂y
∂2Wi
∂x∂y
− ∂Wi
∂x
∂2Wi
∂2y
)
cos(x, ν) +
(
∂Wi
∂x
∂2Wi
∂x∂y
− ∂Wi
∂y
∂2Wi
∂2x
)
cos(y, ν)
]
dγ,
где τi0 – область, занятая i-ой жидкостью в положении равновесия, то есть в предпо-
ложении, что свободная и внутренние поверхности заменены твердыми крышками; τi1 –
область i-ой жидкости, заключенная между внутренними поверхностями z = Wi+1−Hi+1 и
204
Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость
z = Wi − Hi (Wm+1 = 0); l0i = l̃0 + Hi, Hi =
i−1∑
k=1
hk (H1 = 0);4ρi = ρi − ρi−1 (ρ0 = 0);
mi = ρihimesS и m0i = ρ0iδ0imesS – масса i -ой жидкости и i -ой пластинки; γ – контур
области S; ν – орт внешней нормали к контуру γ.
При выводе формул (1) были использованы условия несжимаемости жидкости
(
∫
S
Wids = 0), условия выбора начала системы координат в центре тяжести области S
(
∫
S
yds = 0), краевые условия жесткого закрепления пластинок
Wi|γ = 0,
∂Wi
∂ν
∣∣∣∣
γ
= 0, (2)
а также следующие соотношения:∫
S
[(
∂Wi
∂x
)2
+
(
∂Wi
∂y
)2
]
ds =
∮
γ
Wi
∂Wi
∂ν
dγ −
∫
S
Wi4x,yWids,
∫
S
(
∂2Wi
∂x∂y
)2
ds = Π3i +
∫
S
∂2Wi
∂x2
· ∂2Wi
∂y2
ds,
которые следуют из формул интегрирования по частям кратных интегралов.
Таким образом, потенциальная энергия рассматриваемой механической системы может
быть записана в виде
Π =
1
2
k2θ2 +
1
2
m∑
i=1
∫
S
[g4ρiWi(Wi + 2θy)− (TiWi −Di4x,yWi)∆x,y] ds + Π∗3. (3)
Здесь
k2 = g[m0l0 +
m∑
i=1
(mi(l0i +
hi
2
) + m0il0i)].
В дальнейшем будем рассматривать такие области S, для которых Π∗3 = 0. Если предполо-
жить, что границы плоской области S образованы координатными линиями некоторой изо-
термической системы координат, то можно показать, что из условий закрепления пластинок
(2) следует требуемое равенство. Для прямоугольных и круговых областей доказательство
этого утверждения можно найти в работе [9].
Прогибы пластинок Wi представим в виде обобщенного ряда Фурье по собственным
функциям Ψ(x, y) колебаний идеальной жидкости в цилиндрической полости:
Wi =
∞∑
n=1
ζni(t)Ψn(x, y). (4)
Известно, что собственные функции Ψn и соответствующие им собственные числа kn
находятся из краевой задачи
4x,yΨn + k2
nΨn = 0 (x, y) ∈ S,
∂Ψn
∂ν
|γ = 0. (5)
Краевая задача (5) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода с
симметричным ядром, откуда вытекает существование счетного множества значений kn
205
Ю.Н. Кононов
и соответствующих им функций Ψn, являющихся нетривиальными решениями краевой
задачи. Функции Ψn образуют полную в пространстве L2(S) ортонормированную систему
функций на области S [8].
Подставив разложение (4) в формулу (3), с учетом (5) получим
Π =
1
2
k2θ2 +
1
2
m∑
i=1
∞∑
n=1
ζni(ζnifni + 2θ4ρiαn), (6)
где fin = g4ρi + k2
n(Ti + k2
nDi), αn =
∫
S
yΨn ds.
Как и в работах [1,2] в случае однородной жидкости, в выражении (6) сделаем замену
переменных ζni = ζ̃ni + pniθ. При pin = −g4ρiαn/fin потенциальная энергия (6) в новых
переменных имеет вид
Π =
1
2
k̃θ2 +
1
2
m∑
i=1
∞∑
n=1
ζ̃2
nifin. (7)
Здесь
k̃ = k2 − g2
m∑
i=1
4ρ2
i
∞∑
n=1
α2
ni/fin.
Для устойчивости положения равновесия необходимо и достаточно, чтобы в этом положе-
нии потенциальная энергия имела изолированный минимум, то есть была положительно
определенной [1,2,6].
Квадратичная форма (7) будет положительно определенной при
k̃ > 0, fin > 0. (8)
Второе неравенство в (8) определяет условие устойчивости положения равновесия мно-
гослойной идеальной жидкости, разделенной упругими пластинками в неподвижном ци-
линдрическом сосуде. При естественной стратификации (ρ1 ≤ ρ2 ≤ . . . ≤ ρm) это условие
выполнено. Следует также отметить, что всегда f1n > 0, поэтому условие устойчивости
положения равновесия в неподвижном сосуде не зависит от величин натяжения и изгибной
жесткости верхней пластинки.
При отсутствии пластинок (Ti = 0, Di = 0, m0i = 0) и естественной стратификации
(ρ1 ≤ ρ2 ≤ . . . ≤ ρm) условие устойчивости (8) упрощается:
k2 > gρmJS, (9)
где
JS =
∫
S
y2ds =
∞∑
n=1
α2
n, (10)
JS – момент инерции поперечного сечения цилиндрической полости [8]. Соотношение (9)
было ранее получено в работе [3] для случая m = 2.
Для однородной жидкости (ρ1 = ρ2 = . . . = ρm) неравенство (9) хорошо известно
специалистам по теории корабля, перевозящего жидкие грузы [2]. Заметим, что условие
устойчивости (9) можно улучшить. Под этим подразумеваем мероприятия, направленные
на уменьшение правой части неравенства (9) при неизменной его левой части. Одной из
206
Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость
таких возможностей является размещение безмассовой (m01 = 0) упругой мембраны [4]
или пластинки на свободной поверхности однородной жидкости. Действительно, в этом
случае условие (8) имеет вид
k2 > gρ1d, d =
∞∑
n=1
α2
n
1 + k2
n(T1 + k2
nD1)/gρ1
.
C учетом равенства (10) получаем, что d ≤ JS . Значит, увеличением натяжения T1 или
изгибной жесткости D1 пластинки можно стабилизировать неустойчивое положение рав-
новесия физического маятника, содержащего однородную жидкость.
Утверждение об улучшении условия устойчивости можно обобщить на случай много-
слойной жидкости и показать, что наличие безмассовых (m0i = 0) упругих мембран или
пластин на свободной и внутренних поверхностях при естественной стратификации жидко-
сти (ρ1 ≤ ρ2 ≤ . . . ≤ ρm) приводит к улучшению устойчивости. Для этого нужно показать,
что g2
m∑
i=1
4ρ2
i
∞∑
n=1
α2
ni/fin ≤ gρmJS или g
∞∑
n=1
α2
ndmn ≤ ρmJS , где dmn =
m∑
i=1
4ρ2
i
4ρi+k2
n(Ti+k2
nDi)/g
.
Так как 4ρi ≥ 0, то 4ρ2
i /[4ρi + k2
n(Ti + k2
nDi)/g] ≤ 4ρi,
m∑
i=1
4ρi = ρm, dmn ≤ ρm.
C учетом последнего неравенства и равенства (10) получаем требуемое обобщение.
3. Заключение.
1. Полученные условия (8) обобщают известные условия устойчивости положения
равновесия физического маятника, содержащего однородную [1,2] и двухслойную [3,4]
жидкости на случай многослойной стратифицированной жидкости, разделенной упругими
пластинками или мембранами.
2. Показана возможность стабилизации неустойчивого положения равновесия физи-
ческого маятника упругими пластинками (мембранами), расположенными на свободной и
внутренних поверхностях многослойной жидкости.
1. Моисеев Н.Н. О двух маятниках, наполненных жидкостью // Прикл. математика и механика. – 1952 –XVI,
вып. 6. – С. 671-678.
2. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость.–М.:Наука, 1965.–440 с.
3. Кононов Ю.Н. Задача о физическом маятнике, содержащем стратифицированую жидкость // Механика
твердого тела. – 1999. – Вып. 28. – С. 145–153.
4. Кононов Ю.Н. О колебании физического маятника, содержащего двухслойную жидкость, разделенную
упругой мембраной // Там же. – 2001. – Вып. 31. – С. 105–110.
5. Кононов Ю.Н. Колебания и устойчивость движения твердого тела, содержащего многослойную жид-
кость, разделенную упругими инерционными мембранами // Изв. высших учебных заведений Северо-
Кавказского региона. Математическое моделирование . Естественные науки. Спецвыпуск. – 2001.
– С. 99–101.
6. Румянцев В.В. О движении и устойчивости упругого тела с полостью, содержащей жидкость // Прикл.
математика и механика. – 1969 –XXXIII, вып. 6. – С. 946-958.
7. Моисеев Н.Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы // Математический сборник.
- 1953. - 32(74), N 1. – С. 61-96.
8. Микишев Г.Н., Рабинович Б.В. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью.
– М.: Машиностроение, 1966. – 532 с.
9. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. – 439 с.
Донецкий национальный ун-т
techmech@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 30.10.2002
207
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123708 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:39:37Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кононов, Ю.Н. 2017-09-08T17:25:53Z 2017-09-08T17:25:53Z 2002 Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками / Ю.Н. Кононов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 203-207. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123708 531.36:531.38:533.6.013.42 Обобщены известные условия устойчивости положения равновесия физического маятника c жидкостью [1- 5] на случай произвольной цилиндрической полости, содержащей многослойную идеальную жидкость с упругими пластинками или мембранами на свободной и внутренних поверхностях. Показано, что наличие упругих пластинок (мембран) приводит к улучшению устойчивости, то есть к стабилизации неустойчивого положения равновесия физического маятника. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками Кононов, Ю.Н. |
| title | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками |
| title_full | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками |
| title_fullStr | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками |
| title_short | Об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками |
| title_sort | об устойчивости равновесия физического маятника, содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пластинками |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123708 |
| work_keys_str_mv | AT kononovûn obustoičivostiravnovesiâfizičeskogomaâtnikasoderžaŝegomnogosloinuûžidkostʹrazdelennuûuprugimiplastinkami |