Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела

В задаче Эйлера о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки изучаются трехмерные алгебраические поверхности интегральных уровней и их топологические бифуркации. В предположении, что центр масс тела лежит в главной плоскости инерции, исследовано трехпараметрическое семейство бифуркацио...

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Veröffentlicht in:Механика твердого тела
Datum:2003
1. Verfasser: Гашененко, И.Н.
Format: Artikel
Sprache:Russisch
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2003
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123712
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Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 20-32. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
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author Гашененко, И.Н.
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citation_txt Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 20-32. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Механика твердого тела
description В задаче Эйлера о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки изучаются трехмерные алгебраические поверхности интегральных уровней и их топологические бифуркации. В предположении, что центр масс тела лежит в главной плоскости инерции, исследовано трехпараметрическое семейство бифуркационных диаграмм и составлен полный список неособых интегральных многообразий. Обсуждаются вопросы устойчивости равномерных вращений тела вокруг вертикали.
first_indexed 2025-12-07T19:00:01Z
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A ¾J²�°B*jÈ6²�À Å ¶�¹D³�¹ <U¶J°�¼�Â�½�²�<8³�·�²^½�»�°�ÈX²�³�²�³�°�²^¯�·DÈ6³�·;¸�° Ñ�º ¶�¹;Â�Â�°�Á�²�Â�º�°�ÑØ°�Â�·�¯�»�²�ÈX²�³�³�Ã�Ñ�Î*¹�¾�¹*Á�¹�ÑÐÈX²�Å Ñ ¹;³�°�º�°rôõ<�Ï�C%Å�D%ö�=1ÜvÎ*¹�¾�¹*Á�²�É�À ¶J²�»�¹ä·Ø¾J¯�°�±_²�³�°�°d´*µ�±_²�¶J·�¸�·â´�¯�²�»�¾J·�¸�·ä´�²�¶�¹ä¯�·�º�»�¼ ¸Ò³�²�½�·%Å ¾J¯�°�±¿³�·�À{´�·�Á�º�°"°�³�´�²�¸�»�¹�¶JÇ�³�é²VÈX³�·�¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�µ"°"° Ñ\´�·�½�·%¶J·�¸�°�Á�²�Â�º�°�²UÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�°S°�Î�¼ Á�¹�¶J° E = F1º ·�Ô"ô :%ö�ÏG*�= H�= 7V¹%´�·�ºxô I�öP°#F_= Ü�= ÓH¹%´%¹;»�°�³�·�¯Sô C�Ï�>�ÏKJ%ö�=JÉj´�°S¯�¹%±¿³�Ã�²1»�²�Î�¼*¶JÇ*´;¹%´�ÃáÔ�Ã�¶J°S·;´�ÈX²�Å Á�²�³�Ãd¯¿ÈX·�³�·�¸�»�¹;ÄV°�µ ÑÞôõ< A Ï�<�<�ö�= ã ¹%´�²�Èâ°�Â�Â�¶J²�¾J·�¯�¹;³�°�µfÔ�Ã�¶J°^½�»�·�¾J·%¶�±_²�³�Ã�¯¿»�¹;Ô�·;´;¹*ÑÞôõ< @ Ï�<*:%ö�=Ú3¾J³�¹;º ·�Ï�·�Ô;à_¹%µ{½�»�·�Ô%¶J²�È6¹_º ¶�¹;Â�Â�°�ÄV°�º ¹;Æ�°�°Q¯�·;Î�ÈX·*±¿³�Ã�Ñ{°�³�´�²�¸�»�¹�¶JÇ�³�Ã�ÑSÈ6³�·;¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�ÀS·�º ¹�Å Î*¹�¶�¹;Â�ÇgÔ�·%¶J²�²VÂ�¶J·*±¿³�·�ÀPÏ�Á�²�È�÷�´�·g½�»�²�¾J½�·%¶�¹;¸�¹�¶J·�Â�Ç¿»�¹;³�²�²;= Ü�÷�´�·�À{»�¹%Ô�·;´�²/½�»�²�¾�¶J·*±_²�³\ÈX²�´�·*¾øÏ ½�·;Î�¯�·%¶�µ�ß3à8°�À{½�·%¶J³�·�Â�´�Ç�ß ·�½�°�Â�¹%´�Ç8Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�°\°�³ Å ´�²�¸�»�¹�¶JÇ�³�Ã�ÑQÈX³�·�¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�À"¯pÂ�¶�¼ Á�¹;²;Ï�º�·�¸}¾�¹pÆ�²�³�´�»QÈ6¹;Â�Â/´�²�¶�¹p½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´¿¸}¶�¹;¯�³�·�À"½ ¶J·�Â�Å º ·�Â�´�°�°�³�²�»�Æ�°�°P=1Ë1»�·�¹;³�¹�¶J°�Î�°�»�·�¯�¹;³�·�´�»�²�Ñ�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º ·�²ÛÂ�²�ÈX²�À�Â�´�¯�·äÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ ¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈf°w°�Î�¼ Á�²�³�·/½�µ�´�°�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�·�²ZÂ�²�ÈX²�À�Â�´�¯�·1°�³�´�²�¸�»�¹�¶JÇ�³�Ã�Ñ_ÈX³�·�¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�ÀP=%ÜD»�²�Å Î�¼*¶JÇ*´;¹%´�²w°�Â�Â�¶J²�¾J·�¯�¹;³�°�µQ½�·%¶�¼ Á�²�³�·LC�D8´�°�½�·�¯g³�²�¯�Ã�»�·*±p¾J²�³�³�Ã�ÑQÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ °u·�Ô�³�¹;»�¼�±_²�³�·{¸}¶�¹�¾Jº�·�²_°�³�´�²�¸�»J¹*¶JÇ�³�·�²gÈX³�·�¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�² Q3 h,g = N3 3 , ³�²8°�ÈX²�ß3à8²�²g¹;³�¹�¶J·�¸�¹\³�° ¯g·�¾J³�·�Èа�ÎUÂ�¶�¼ Á�¹;²�¯�ÏJ°�Î�¼ Á�²�³�³�Ã�ÑQ»�¹;³�²�²¿ô :�Ï�C�Ï�I�ö�= @ < úNM ONM%P ��Q�ý�û�ý§û�R *j´�»�¼ º�´;¼�»�¹g·�Â�·�Ô�Ã�Ñ"°�³�´�²�¸�»�¹�¶JÇ�³�Ã�ÑQÈX³�·�¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�À"½�·;Î�¯�·%¶�µ�²�´\¹;³�¹�¶J°�Î�°�»�·�¯�¹�´�Çp¼�Â�´�·�À�Á�° Å ¯�·;Â�´�ÇDÂ�´%¹;Æ�°�·�³�¹;»�³�Ã�Ñ�¯�»�¹�à8²�³�°�ÀP=jÜc»�¹;Ô�·;´�²Dô >%ö�¾J·�º ¹%Î*¹;³�·�ÏHÁ�´�·Dº�»�°�´�°�Á�²�Â�º�°�²"´�·�Á�º�°Ð½�»�°�¯�²�Å ¾J²�³�³�·;¸�·S½�·;´�²�³�Æ�°�¹�¶�¹ Ug(ν) ³�¹�Ñ�·�¾�µ�´�Â�µD¯�·{¯;Î*¹;°�ÈX³�·"·�¾J³�·;Î�³�¹*Á�³�·�È Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯�°�°xÂ_·;´�³�·�Â�° Å ´�²�¶JÇ;³�Ã�ÈX°p»�¹;¯�³�·�¯�²�Â�°�µ�ÈX°w°�Â�Ñ�·�¾J³�·�À_ÈX²�Ñ�¹;³�°�Á�²�Â�º�·�À_Â�°�Â�´�²�ÈXÃV=�ÜDÎ*¹*¾�¹�Á�¹�ÑV¾J°�³�¹;ÈX°�º�°w´�¯�²�»�¾J·�¸�· ´�²�¶�¹w»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�²�¯�»�¹%à8²�³�°�µ¿µ�¯%¶�µ�ß3´�Â�µ\·;´�³�·�Â�°�´�²�¶�Ç�³�Ã�ÈX°{»�¹;¯�³�·�¯�²�Â�°�µ�ÈX°P=�Ë1²�»�²�Ñ�·*¾J°�ÈÛº\° Ñ º�»�¹%´�º�·�ÈH¼"·�½�°�Â�¹;³�°�ßw= S C/W/I�¬JM2OGT1L3U2M�VpLâ¬GU2I(WDL�M2®.XZY�L�[×I ¬JOJN�U.\+]ЬJL3U�Y�®2NPI^[×®jCN,XÂ�¶J°Ò¼ ¸�¶J·�¯�¹%µÒÂ�º�·�»�·�Â�´�Ç ³�²�°�Î�È6²�³�³�¹\¯g´�²�¶J² Ì ω = ?�_ `(a�b Í�Ï�´�·�¸}¾�¹¿·�³�¹p³�²�°�Î�ÈX²�³�³�¹\°Q¯g½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²;Õ�´�²�¶J·\»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�·¯�»�¹�à_¹;²�´�Â�µØ¯�·�º�»�¼ ¸S³�²�½�·�¾J¯�°�±¿³�·�À�·;Â�°PÏ6¯%¾J·%¶JÇxº�·;´�·�»�·�À�³�¹;½�»�¹;¯%¶J²�³�¯�²�º�´�·�» ω = A ÎQ½�²�»�¯�·�¸�·¼ »�¹;¯;³�²�³�°�µ Ì <�Í�Â�¶J²�¾�¼�²�´{½�»�·�Â�´�·�²U»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�· (Aω × ω) · r = 0, Ì C�Í º�·;´�·�»�·�²w½�·�º ¹%Î�Ã�¯�¹;²�´�Ï�Á�´�·¿´�»�°^½�·�Â�´�·*µ�³�³�Ã�Ñ^¯g´�²�¶J²w¯�²�º�´�·�»�¹ Aω,ω, r ¶J²�±g¹%´¿¯¿·�¾J³�·�ÀQ½ ¶J·�Â�Å º�·�Â�´�°P=×4/»�¹;¯�³�²�³�°�² Ì C�ÍV·�½�»�²�¾J²�¶�µ�²�´dc�ñ*çfe3!hgaè_ì=e�&%é�Ï2³�²�°�Î�ÈX²�³�³�·uÂ�¯;µ�Î*¹;³�³�Ã�ÀÒ¿´�²�¶J·�È�=XÉj´�·;´ º�·�³�¼�Âg¯;´�·�»�·�¸�·Q½�·�»�µ ¾Jº�¹{Î*¹�¾�¹;³x¯S½�·�¾J¯�°�±¿³�·�È Ô�¹%Î�°�Â�²g°Dµ�¯%¶�µ�²�´�Â�µx¸�²�·�ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�°�È�ÈX²�Â�´�·�È ·�Â�²�Àf»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Ñf¯�»�¹%à8²�³�°�ÀP=+*á½�·�ÈX·;à8Ç�ßa½�²�»�¯�Ã�Ñf°�³�´�²�¸�»�¹�¶J·�¯ Ì�@ Í©ÈX·*±¿³�·¿½�·�º�¹%Î*¹%´�Ç�Ï�Á�´�·²�¾J°�³�°�Á�³�ÃZÀÞ¯�²�º�´�·�» ν Â�·*Ñ�»�¹;³�µ�²�´SÂ�¯�·�²p³�¹;½�»�¹;¯%¶J²�³�°�²p¯{´�²�¶J²;Ïø¹{³�²_´�·%¶JÇ�º�·S¯{½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²;= *6¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï;·�Â�Ç�ßÒ»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�·�¸�·�¯�»�¹%à8²�³�°�µU´�²�¶�¹�¯3½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²�ÈX·�±_²�´�Â�¶�¼�±¿°�´�Ç3´�·%¶JÇ%Å º�·p¯�²�»�´�°�º�¹�¶JÇ ω = ±|ω|ν. Ì 9�Í4/»�¹%¯�³�²�³�°�² (A2 − A3)ν2ν3r1 + (A3 − A1)ν3ν1r2 + (A1 − A2)ν1ν2r3 = 0 Ì D�Í ·�½�»�²�¾J²�¶�µ�²�´8³�¹1²�¾J°�³�°�Á�³�·�À¿Â�ÄV²�»�²3Ë/¼�¹;Â�Â�·�³�¹/¶J°�³�°�ß ½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µ¿º ·�³�¼�Â�¹V·�Â�²�Àg»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Ñ ¯�»�¹�à8²�³�°�ÀuÂ8÷�´�·�ÀuÂ�ÄV²�»�·;ÀP=øÚ/Â�µ�ÈX°f»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Ñf¯�»�¹%à8²�³�°�ÀfÈX·�¸�¼�´"Ô�ÃZ´�Ç¿¶J°^<8Ç{´�²8°�Î_·�Ô�»�¹�Å Î�¼ ß©à8° ÑDº�·�³�¼�Â�¹jiå´%¹�¼*¾J²;ÏP¾�¶�µfº ·;´�·�»�Ã�Ñu¯�²�º�´�·�»�³�·�²8¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² (Aν × ν)|ω|2 + r × ν = 0,½�·%¶�¼ Á�²�³�³�·�²¿½�·�¾JÂ�´%¹;³�·�¯�º�·�À Ì 9�Í�¯"½�²�»�¯�·�²_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�Í�ÏP½�·;Î�¯�·%¶�µ�²�´S·�½�»�²�¾J²�¶J°�´�ÇQ³�²�·;´�»�°�Æ�¹�Å´�²�¶JÇ;³�¼ ß�¯�²�¶J°�Á�°�³�¼ |ω|2 =XÜ�Â�²¿´;¹;º�°�²{·�Ô�»�¹%Î�¼ ß3à8°�²{º ·�³�¼�Â�¹ Ì C�Í�Ï×¹Q´%¹;º�±p²\Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3à_°�²°�ÈÒ´�·�Á�º�°QÂ�ÄV²�»�°�Á�²�Â�º�·�À^º�»�°�¯�·�À Ì D�Í�Ú8= iå´;¹�¼*¾J²U³�¹%Î�Ã�¯�¹�¶k&%ñ�lfe3!�è_æ ð1ï2ð1æQôõ<%C;ö�= Ë/¼�Â�´�ÇfÆ�²�³�´�»ÛÈ6¹;Â�¿´�¯�²�»�¾J·�¸�·^´�²�¶�¹^»�¹;Â�½�·%¶J·*±_²�³Þ¯^¸}¶�¹;¯�³�·�ÀÞ½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�°Ò°�³�²�»�Æ�°�°PÏ2´�·�¸}¾�¹ Ô�²�Îw·�¸�»�¹;³�°�Á�²�³�°�µQ·�Ô;à8³�·�Â�´�°QÈX·*±¿³�·p½�·%¶J·*±¿°�´�Ç |r| = 1, r1 > 0, r2 > 0, r3 = 0, A1 > A2. Ì I;Í Ë1»�°g÷�´�·�ÈÛÂ�¶J²�¾�¼�²�´�Ï�Á�´�·wº ·�³�¼�Â Ì C�ÍH¯�Ã�»�·�±p¾�¹;²�´�Â�µ¿¯U½�¹;»�¼p½�²�»�²�Â�²�º�¹;ß3à8° Ñ�Â�µ\½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�²�ÀP=f*�ÄV²�Å»�°�Á�²�Â�º�¹%µwº�»�°�¯�¹%µ Ì D�ÍP¯�¾�¹;³�³�·�È^Â�¶�¼ Á�¹;²�Â�·�Â�´�·�°�´/°�Îj¾J¯;¼�ÑU·�»�´�·�¸�·�³�¹�¶JÇ�³�Ã�Ñw·�º�»�¼�±¿³�·�Â�´�²�À8Ô�·%¶JÇ%Å<8·�¸�·gº�»�¼ ¸�¹�Õ ν3 = 0, (A2 − A3)ν2r1 + (A3 − A1)ν1r2 = 0. Ì >�Í 71·;È6½�·;³�²�³�´�Ãn½�·�Â�´�·*µ�³�³�Ã�Ñâ¯�²�º�´�·�»�·�¯ ω,ν Ï�Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3à8°�Ñä»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Èù¯�»�¹%à8²�³�°�µ�È�Ï Î*¹%½�°^<8²�ÈØ¯g¯�° ¾J²/¾J¯;¼�Ñ"Â�²�ÈX²�À�Â�´�¯�ÏJÎ*¹;¯�°�Â�µ�à8° ÑS·;´g½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯ τ, σ Õ ν3 = ω3 = 0, ν1 = −(1 + τ 2)− 1 2 , ν2 = τ(1 + τ 2)− 1 2 , ω1 = µν1, ω2 = µν2, µ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (r1τ + r2)(1 + τ 2) 1 2 (A1 − A2)τ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 , τ ∈ R; Ì J�Í @�@ úHû�ü�ý§þ¨ÿ�������û��×ý���û �þ� � ���ÿ��� ������� ���������ý� �� �����©ý§û����wü����©ý�� �þ� �ü��*ý ÿ��� �þ� �ü�ý�� � ν1 = r1σ 2 A3 − A1 , ν2 = r2σ 2 A3 − A2 , ν3 = ±(1 − σ0σ 4) 1 2 , ωi = σ−1νi, σ0 = r2 1 (A1 − A3)2 + r2 2 (A2 − A3)2 , σ ∈ R. Ì < A Í Ü�²�¶J°�Á�°�³�¹ µ2 = |ω|2 ½�»�°�³�°�È6¹;²�´g³�²�·;´�»�°�Æ�¹%´�²�¶JÇ�³�Ã�²VÎ�³�¹�Á�²�³�°�µ(Ï�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï�Î�³�¹;º"Ä1¼ ³�º Å Æ�°�° (1 + τ 2) 1 2 ¾J·%¶�±_²�³QÂ�·�¯�½�¹�¾�¹%´�Ç\Â�·gÎ�³�¹;º ·;Èâ¯�Ã�»�¹%±_²�³�°�µ τ/(r1τ + r2) =�Ü Â�¶�¼ Á�¹%µ Ñ^·�Â�²�¯�·�À Â�°�ÈXÈX²�´�»�°�°^÷�¶�¶J°�½�Â�·�° ¾�¹g°�³�²�»�Æ�°�° (A1 = A3 ° ¶J° A2 = A3) Â�²�ÈX²�À�Â�´�¯�· Ì < A Í�³�²VÂ�¼�à8²�Â�´�¯;¼�²�´%=m CZh8®�nj\+U2NPI(o2®2OJM2M2OJLkT1M2O3pDL�q Y�¬JOøC2Ë1·�¾JÂ�´%¹;¯�°�È º�·�ÈX½�·�³�²�³�´�Ãa½�·�Â�´�·�µ�³�³�Ã�Ñu¯�²�º�´�·�»�·�¯ ω,ν Ï%Î*¹�¾�¹;³�³�Ã�²©½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�°�ÈX°gÎ*¹;¯�°�Â�°�ÈX·�Â�´*µ�ÈX° Ì J�Í�Ï Ì < A Í�Ï;¯V°�³�´�²�¸�»�¹�¶Jà H,G =�ÜÛ»�²�Î�¼*¶JÇ%Å ´;¹%´�²^³�¹;À ¾J²�Èù½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�°�²^¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µâÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�¸�·ÛÈX³�·*±p²�Â�´�¯�¹ Σ ⊂ R 2(h, g) = Ú/Ô�»�¹%Î�·�ÈcÈX³�·�±_²�Â�´�¯�¹xº�»�°�´�°�Á�²�Â�º�° Ñâ´�·�Á�²�º Ì J�Íp°�³�´�²�¸�»�¹�¶JÇ�³�·�¸�·Ò·;´�·�Ô�»�¹%±_²�³�°�µ F µ�¯%¶�µ�²�´�Â�µ Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�¹%µSº�»�°�¯�¹%µ B1, ·�½�°�Â�Ã�¯�¹;²�È6¹%µ"¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ�ÈX° h = A2r1τ 3 + (3A2 − 2A1)r2τ 2 + (3A1 − 2A2)r1τ + A1r2 2(A1 − A2)τ(τ 2 + 1) 1 2 , g = (A1 + A2τ 2)|r1τ + r2| 1 2 |τ | 1 2 (A1 − A2) 1 2 (τ 2 + 1) 3 4 , Ì <�<�Í ¸�¾J² τ ∈ (−∞,−r2r −1 1 ] ∪ [−r2r −1 1 , 0) ∪ (0,∞) =×ÙS³�·*±p²�Â�´�¯;¼Dº�»�°�´�°�Á�²�Â�º�°�Ñx´�·�Á�²�º Ì < A Í/Â�·�·;´%ů�²�´�Â�´�¯;¼�²�´{Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�¹%µSº�»�°�¯�¹%µ B2 Õ h = 1 2 A3 σ2 + 3 2 σ2σ∗, g = A3 σ + σ3σ∗, 0 < |σ| < σ0 − 1 4 , Ì < @ Í ¸�¾J² σ∗ = r2 1 (A1 − A3) −1 + r2 2 (A2 − A3) −1.4/»�¹;¯�³�²�³�°�µ�ÈX° Ì <�<�Í�Ï Ì < @ Í_Î*¹�¾�¹;³�·x´�»�²�Ñ�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�·�²fÂ�²�ÈX²�À�Â�´�¯�·ÛÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�ѾJ°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�³�¹"½ ¶J·�Â�º ·�Â�´�° R 2(h, g) =2Üåº ¹*Á�²�Â�´�¯�²\³�²�Î*¹;¯�°�Â�°�ÈXÃ�ÑÞ½�¹%»�¹;ÈX²�´�»�·�¯�Ï(Ñ�¹;»�¹;º�´�²�»�°�Î�¼ ߩŠà8° ÑS»�¹;Â�½�»�²�¾J²�¶J²�³�°�²UÈ6¹;Â�ÂV¯p´�¯�²�»�¾J·�È�´�²�¶J²;Ï�¯�Ã�Ô�²�»�²�È�¯�²�¶J°�Á�°�³�à α = A2/A1, β = A3/A1, r∗ = r2/r1. H�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�¹%µ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈj¹ Σ Â�·�Â�´�·�°�´\°�Îw¸}¶�¹�¾Jº�° Ñ"¾�¼ ¸�Ï�º�·;´�·�»�Ã�²UÈX·�¸�¼�´\½�²�»�²�Â�²�º ¹%´�Ç�Â�µ^° º�¹;Â�¹%´�Ç�Â�µ{¾J»�¼ ¸1¾J»�¼ ¸�¹g¯p³�²�º�·;´�·�»�Ã�ÑS´�·�Á�º ¹�Ñ�= A Î�¼ Á�°�È�·�Â�·�Ô�Ã�²1´�·�Á�º�°"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXà Σ.ã ³�¹�Á�²�³�°�ßå½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�¹ τ0 = r∗(1 − β)/(β − α) Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�²�´{´�·�Á�º ¹gº�»�°�¯�·�À B1 ÏJ¯gº ·%Å ´�·�»�·�ÀS³�¹*Á�°�³�¹;²�´�Â�µ{¾J·�½�¼�Â�´�°�È6¹%µQ¯�²�´�¯�ÇpÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�ÀSº�»�°�¯�·�À B2 =JÉj´;¼\´�·�Á�º�¼"¯�²�´�¯%¶J²�³�°�µ Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�·�À"¾J°�¹;¸�»�¹%È6ÈXÃ Σ ⊂ R 2(h, g) ·�Ô�·%Î�³�¹�Á�°�È�Á�²�»�²�Î P0 =5*j¼�à8²�Â�´�¯%¼�ß3´\´�»�°Q¯�¹;»�° Å ¹;³�´;¹\¯�·;Î�ÈX·*±¿³�Ã�Ñ^»�¹;Â�½�·%¶J·�±_²�³�°�Àfº�»�°�¯�·�À B2 ½�·\·;´�³�·=<8²�³�°�ßùº B1 =5,XÂ�¶J° τ0 ∈ (−∞,−r∗] Ï ´�· P0 ½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´D¯�²�´�¯�°Ðº�»�°�¯�·�À B1 ÏH½�»�·�Ñ�·�¾�µ�à8²�À�Á�²�»�²�ÎS´�·�Á�º�¼ (h, g) = (|r|, 0) r ²�Â�¶J° τ0 ∈ [−r∗, 0) Ï ´�· P0 ½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´p¯�²�´�¯�°PÏ�½�»�·�Ñ�·�¾�µ�à8²�À"Á�²�»�²�Î/´�·�Á�º�¼ (h, g) = (−|r|, 0) r ²�Â�¶J° τ0 ∈ (0,∞) Ï�´�· P0 ½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´U´�·�Àg¯�²�´�¯�°¿º�»�°�¯�·�À B1 Ï�º ·;´�·�»�¹%µg³�²©½�²�»�²�Â�²�º ¹;²�´_·�Â�Ç Oh ³�¹ ½ ¶J·�Â�º ·�Â�´�° R 2(h, g). Ö×¹;Â�½�·%¶J·*±p²�³�°�²3´�·�Á�º�° P0 ³�¹w·�¾J³�·�À\°�Î/´�»�²�Ñ{¯�²�´�¯�²�À{º�»�°�¯�·�À B1 ½�·�¶J³�·%Å Â�´�Ç�ßa·�½�»�²�¾J²�¶J²�³�·\Î�³�¹*Á�²�³�°�µ�ÈX°^½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯ α, β, °�Î�ÈX²�³�²�³�°�²�Èä·�¾J³�·�¸�·p¶J°^<8Ç¿½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�¹ r∗´�·�Á�º�¼ P0 ³�²�¶JÇ;Î�µÞ½�²�»�²�ÈX²�Â�´�°�´�Çf³�¹{¾J»�¼ ¸�¼ ß ¯�²�´�¯�Ç�=×Üå»�²�Î�¼*¶JÇ*´%¹%´�²\³�²�Â�¶J·�±¿³�Ã�Ñx¯�Ã�Á�°�Â�¶J²�³�°�À ³�¹�Ñ�·�¾J°�È�ÏXÁ�´�·u½�»�°Ð¯�ÃZ½�·%¶J³�²�³�°�°Ð¼�Â�¶J·�¯�°�À β > 1 > α Î�³�¹*Á�²�³�°�² τ0 ¯�Â�²�¸}¾�¹u½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´ °�³�´�²�»�¯�¹�¶�¼ (−r∗, 0) =5sV¹g»�°�Â;=�<�Ï×ìÞ½�·�º�¹%Î*¹;³�¹_¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹�Ï�Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß�à_¹%µf÷�´�·�ÈH¼^Â�¶�¼ Á�¹;ßw= @ : úNM ONM%P ��Q�ý�û�ý§û�R Ë1»�°"¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�°Q¼�Â�¶J·�¯�°�À 1 > β > α Î�³�¹*Á�²�³�°�² τ0 ½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´¿°�³�´�²�»�¯�¹�¶�¼ (0,∞) =�5V¶�µ ÷�´�·;¸�·Q¯�¹;»�°�¹;³�´%¹"Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�¹%µf¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹"°�Î�·�Ô�»�¹�±p²�³�¹{³�¹{»�°�Â;=�<�ÏXò�=øË1»�°D¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�° ¼�Â�¶J·�¯�°�À 1 > α > β Î�³�¹*Á�²�³�°�² τ0 ¯�Â�²�¸}¾�¹Q½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´u°�³�´�²�»�¯�¹�¶�¼ (−∞,−r∗), Â�·�·;´�¯�²�´%Å Â�´�¯%¼ ß3àp¹%µ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹_°�Î�·�Ô�»�¹%±p²�³�¹_³�¹_»�°�Â;=�<�Ï�"%= 0 2 4 2 4 0 2 4 2 4 0 2 4 2 4t�u α = 0.255, β = 1.25, r∗ = 0.05 v u α = 0.25, β = 0.8, r∗ = 0.1 w u α = 0.6, β = 0.5, r∗ = 0.1 xG��yKM3z�M�{5��|+}�ÿ=R���~�� �û�û��×ý�� �=��þ¨ÿ����f�(�Qû=�-��� �y�R �y�ü�� R 2(h, g) M Ü�²�¶J°�Á�°�³�¹ A3 ³�²�¯%Ñ�·�¾J°�´V¯�¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�<�Í�Ï%½�·�÷�´�·�ÈH¼8³�¹;Èf³�¼�±¿³�·1°�Î�¼ Á�°�´�Ç1Î*¹;¯�°�Â�µ�à8²�²�·;´ r∗, α ¾J¯;¼�Ñ�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º ·�²{Â�²�ÈX²�À�Â�´�¯�·u½ ¶J·�Â�º�° ÑÒ¹*¶J¸�²�Ô�»�¹;°�Á�²�Â�º�° ÑÒº�»�°�¯�Ã�Ñ�=6Ú/Â�·�Ô�Ã�²¿´�·�Á�º�° º�»�°�¯�·;À B1 ³�¹;À ¾J²�Èä°�Îw¼�Â�¶J·�¯�°�À dh/dτ = dg/dτ = 0 =5s1²�½�·�Â�»�²�¾JÂ�´�¯�²�³�³�Ã�ÈØ¾J°�ÄVÄV²�»�²�³�Æ�°�»�·%Å ¯�¹%³�°�²�È�½�·%¶�¼ Á�°�ÈØÂ�¶J²�¾�¼ ß3à8°�²w¯�Ã�»�¹%±_²�³�°�µPÕ g dg dτ = (τ 2 + 1)−1(A1 + A2τ 2) dh dτ , dh dτ = A1r1ϕ1(τ) 2(A1 − A2)τ 2(τ 2 + 1) 3 2 , ϕ1(τ) = ατ 5 + (4α − 3)τ 3 + (3α − 4)r∗τ 2 − r∗. Ì <*:�Í Ó×¹;º�°�Èd·�Ô�»�¹%Î�·�È�Ï2·�Â�·�Ô�Ã�È�´�·�Á�º ¹;ÈdÔ�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�·�ÀÛº�»�°�¯�·�À B1 Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3´DÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ ½�¹;»�¹%È6²�´�»�¹ τ Ï�µ�¯%¶�µ�ß3à8°�²�Â�µ"¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶�Ç�³�Ã�ÈX°^»�²�<8²�³�°�µ�ÈX°S¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ ϕ1(τ) = 0 Ï�° ¶J° ατ 5 + (4α − 3)τ 3 + (3α − 4)r∗τ 2 − r∗ = 0. 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Ì <�D�Í *6¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï�º�·�·�»�¾J°�³�¹%´�Ã�°�Â�º�·�ÈX·�À^·�Â�·�Ô�·�ÀS´�·�Á�º�° Ì ·�Ô�·;Î�³�¹*Á�°�ÈØ²�²wÁ�²�»�²�Î P4 Í�ÈX·�±¿³�·g½�·%Å ¶�¼ Á�°�´�Ç_½�·�¾JÂ�´%¹;³�·�¯�º�·�À σ = A 1/4 3 (3σ∗) −1/4 ¯w½�¹;»�¹%È6²�´�»�°�Á�²�Â�º�°�²�¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ Ì < @ Í�= Ë1»�°g¯�Ã�½�·%¶�ų�²�³�°�°S¼�Â�¶J·�¯�°�µ 3σ∗ > A3σ0 Ì <�I�Í·�Â�·�Ô�¹%µU´�·�Á�º ¹ P4 ½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´�¾J·�½�¼�Â�´�°�ÈX·�À_¯�²�´�¯�°8Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�À_º�»�°�¯;·�À B2 = ã ¹;ÈX²�´�°�È�Ï Á�´�·g³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�· Ì <�I�Íj½�·;Î�¯�·%¶�µ�²�´g¯�Ã�¾J²�¶J°�´�Ç¿¯_½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²U½�¹%»�¹;ÈX²�´�»�·�¯g·�Ô%¶�¹;Â�´�°{¼�Â�´�·�À�Á�° ů�Ã�Ñ\»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Ñ{¯�»�¹%à8²�³�°�À\´�¯�²�»�¾J·�¸�·8´�²�¶�¹{ô J%ö�=�Ë1·�¾JÂ�´%¹;¯�°�ÈÒ¯�Ã�»�¹%±_²�³�°�µ σ0, σ∗ ¯8³�²�»�¹;¯�²�³ Å Â�´�¯�· Ì <�I�Íj°SÂV½�·�ÈX·;à8Ç�ßd·�Ô�·;Î�³�¹*Á�²�³�°�µ ρ2 = |α − β| (1 − β) (3 − 4β) 1 2 (4β − 3α) 1 2 Ì <*>�Í Â�ÄV·�»�ÈH¼*¶J°�»�¼�²�È�Â�¶J²�¾�¼ ß3à8²�²1¼�´�¯�²�»�±p¾J²�³�°�²�Õ�²�Â�¶J° β ≥ 3/4 Ï�´�·8¼�Â�¶J·�¯�°�² Ì <�I�Í6³�²/¯�Ã�½�·%¶J³�µ�²�´�Â�µ r²�Â�¶J° 3α < 4β < 3 ÏJ´�· Ì <�I�Í�¯�Ã�½�·%¶J³�µ�²�´�Â�µf´�·%¶JÇ�º�·g¾�¶�µQ¾J·�Â�´;¹%´�·�Á�³�·{È6¹�¶JÃ�Ñ^½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ�³�Ã�ÑÎ�³�¹�Á�²�³�°�À r∗ < ρ2(α, β) r ²�Â�¶J° 3α ≥ 4β Ï�´�·p¼�Â�¶J·�¯�°�² Ì <�I�Í�¯�Ã�½�·�¶J³�µ�²�´�Â�µ"¾�¶�µS¯�Â�²�Ñ r∗ > 0 = A Î�¼ Á�°�Èݯ�·;Î�ÈX·�±¿³�·�²u»�¹;Â�½�·%¶J·*±_²�³�°�²D´�·�Á�º�°á¯�²�´�¯%¶J²�³�°�µ P0 ½�·�·;´�³�·=<8²�³�°�ßmº ´�·�Á�º ¹;È P1, P2, P3 Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�ÀQº�»�°�¯;·�À B1 =JË1·�¾JÂ�´;¹;¯�°�ÈÐÎ�³�¹*Á�²�³�°�² τ0 ¯_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <%C�Í�Õ α(β − 1)5r4 ∗ + (β − 1)2(β − α)2(3α2 + αβ − 8α + β + 3)r2 ∗ + (β − α)5 = 0. Ì <�J�Í ,XÂ�¶J° 1 > β > α Ï�´�·_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�J�Íj°�ÈX²�²�´p´�·%¶JÇ�º�·p·�¾J°�³¿¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�éÀS½�·%¶J·�±g°�´�²�¶JÇ�³�Ã�Àº ·�»�²�³�Ç ρ3 =G,XÂ�¶J° 3/4 > α > β Ï�´�·g½�»�°S¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�°"¾J·�½�·%¶J³�°�´�²�¶JÇ�³�·�¸�·g¼�Â�¶J·�¯�°�µ 9α2 + β2 + 6αβ − 30α + 6β + 9 ≥ 0 Ì�@;A Í @ 9 úNM ONM%P ��Q�ý�û�ý§û�R ¼ »�¹;¯;³�²�³�°�² Ì <�J�Í×°�ÈX²�²�´U¾J¯�¹�¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�ÃZÑ¿½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ�³�Ã�Ñ¿º�·�»�³�µ ρ3, ρ ′ 3 =3,XÂ�¶J° β = α Ï�´�· ¯�Â�²Vº�·�»�³�° Ì <�J�Í�»�¹;¯�³�à ³�¼*¶Jßw=JÜâ·�Â�´;¹�¶JÇ�³�Ã�ÑSÂ�¶�¼ Á�¹�µ�Ñ{¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�J�Í�Ï�»�¹%Î�»�²�<8²�³�³�·�²w·;´�³�·�Â�° Å´�²�¶JÇ;³�· r∗ Ï�³�²V°�ÈX²�²�´p¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�Ã�ÑQº ·�»�³�²�ÀP= �/´�·;Ô�Ãù³�¹;À�´�°Þ´�·�Á�º�°ÛÂ�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µÛº�»�°�¯�·�À B1 Â�·�Â�´%¹;¯�°�Èd°�Î{½�»�¹;¯�Ã�ÑxÁ�¹;Â�´�²�À Ì <�<�ÍÄ1¼ ³�º�Æ�°�°PÏ Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3à8°�² h2, h/g2, °\½�»�°�»�¹%¯�³�µ�²�ÈÞÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ{÷�´�° Ñ\Ä1¼ ³�º�Æ�°�À{¯1¾J¯;¼�Ñ¿»�¹%Î�Å ¶J°�Á�³�Ã�Ñf´�·�Á�º ¹�Ñ τ, τ ′ =PÜ�»�²�Î�¼*¶JÇ*´%¹%´�²g½�·%¶�¼ Á�°�È Â�°�Â�´�²�ÈH¼u°�Î8¾J¯;¼�Ñu½�·%¶J°�³�·�ÈX°�¹�¶JÇ�³�Ã�Ñf¼ »�¹;¯�³�²�ų�°�ÀÒ·;´D³�²�°�Î�¯�²�Â�´�³�Ã�Ñ τ, τ ′ =6Ë1·�Â�¶J²{°�Â�º ¶Jß�Á�²�³�°�µ τ ′ ½�·%¶�¼ Á�°�Èa·*¾J³�·f¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² ϕ2(τ) = 0 Ï ¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶�Ç�³�Ã�²U»�²�<8²�³�°�µSº�·;´�·�»�·�¸�·p·�½�»�²�¾J²�¶�µ�ß3´g¯�Â�²/´�·�Á�º�°SÂ�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µQÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�° Å ·�³�³�·;À¿º�»�°�¯�·;À B1 =�Ë1·%¶J°�³�·�È ϕ2(τ) °�ÈX²�²�´wº�»�¹%´�³�Ã�²�º�·�»�³�°g´�·%¶JÇ�º�·V´�·�¸�¾�¹�Ï�º�·�¸}¾�¹V½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�à α, r∗, ¼�¾J·�¯%¶J²�´�¯�·�»�µ�ß3à8°�²V¼�Â�¶J·�¯�°�µ�È Ì I�Í�Ï�Â�¯;µ�Î*¹;³�à Â�·�·;´�³�·=<8²�³�°�²�È Ì <�9�Í6¶J°�Ô�·pÂ�·�·;´�³�·=<8²�³�°�²�È α(4 − 3α)5r8 ∗ + 2αc2r 6 ∗ − 3c3r 4 ∗ + 2αc̃2r 2 ∗ + α2(4α − 3)5 = 0, Ì�@ <�Í ¸}¾J²V½�·%¶J°�³�·�ÈX°�¹�¶JÇ�³�Ã�²Uº�·�÷�ÄVÄV°�Æ�°�²�³�´�Ã�°�ÈX²�ß3´¿¯�° ¾ c2 = 17α6 − 228α5 + 5832α4 − 12240α3 + 8757α2 − 2664α + 528, c̃2 = α6c2(α −1), c3 = 9(α8 + 1) − 76(α6 + 1)α + 720(α4 + 1)α2 − 7536(α2 + 1)α3 + 13764α4. *^¼ Á�²�´�·�ÈQ³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯ 0 < α < 1 ¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì�@ <�Í�°�ÈX²�²�´�·�¾J°�³/¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�éÀw½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ%ų�Ã�À¿º�·�»�²�³�Ç ρ4 =�58¹�¶JÇ�³�²�À^<8°�À{¹%³�¹�¶J°�Î/½�·%¶J°�³�·�ÈX°�¹�¶JÇ�³�·�¸�·w¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ ϕ2(τ) = 0 ½�»�°�¯�·*¾J°�´8º Â�¶J²�¾�¼ ß3à_°�ÈØ¼�´�¯;²�»�±p¾J²�³�°�µ�È�ÕJ²�Â�¶J° α ∈ [3/4, 1), ´�·gº�»�°�¯�¹%µ B1 ³�²V°�ÈX²�²�´¿Â�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�À r²�Â�¶J° α ∈ (0, 3/4) °f¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�Ãå¼�Â�¶J·�¯�°�µ ρ4 < r∗ < ρ1, ´�·"º�»�°�¯�¹%µ B1 °�ÈX²�²�´S·�¾J³�¼Q´�·�Á�º�¼ Â�¹%È6·;½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µ r ²�Â�¶J° α ∈ (0, 3/4) °PÏHº�»�·�ÈX²{´�·�¸�·�Ï r∗ < ρ4, ´�·Dº�»�°�¯�¹%µ B1 °�ÈX²�²�´D´�»�° ´�·�Á�º�°SÂ�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µP= � C1�j[×Ifq�q�®�nS®2NPI(o2®.X��J®�nj\+U2NPI(o2®2OJM2M�V���­H®2I(]=U2I(T�T_C�,XÂ�¶J°ÛÆ�²�³�´�»ÛÈ6¹;Â�Âg´�²�¶�¹^½�»�° Å ³�¹�¾�¶J²�±¿°�´V¸}¶�¹;¯�³�·�À8·�Â�°_°�³�²�»�Æ�°�°PÏ;´�·1°�ÎZ»�²�Î�¼*¶JÇ*´;¹%´�·�¯�*�= H�= 7V¹%´�·�º"ô I�ö�Â�¶J²�¾�¼�²�´�Ï�Á�´�·/¯/÷�´�·�ÈDÂ�¶�¼�Å Á�¹;²ZÂ�¼�à8²�Â�´�¯;¼ ß3´wÂ�²�ÈXÇ1´�°�½�·�¯VÔ;°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ8¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈu·�Ô;à8²�¸�·V½�·%¶J·*±p²�³�°�µP=�5w°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXà Ñ�¹;»�¹;º�´�²�»�°�Î�¼�ß3´�Â�µpÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ�È6°p½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯ α, β °PÏ�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï�³�¹/½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�° R 2(α, β)Â�¼�à8²�Â�´�¯;¼�ß3´8¾J¯;¼ ÈX²�»�³�Ã�²/·�Ô%¶�¹;Â�´�°PÏ�Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�ß3à8°�²/»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈÛ´�°�½�¹;ÈÞ¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=3�Uß�Ô�¹%µ ³�²�¯;Ã�»�·�±p¾J²�³�³�¹%µ{¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹_È6·*±_²�´gÔ�ÃZ´�Çg·;´�³�²�Â�²�³�¹gºS·�¾J³�·�ÈH¼{°�ÎU÷�´�° ÑSÂ�²�ÈX°S´�°�½�·�¯�= Ó2²�½�²�»�Ç8½�¼�Â�´�Ç_Æ�²�³�´�»{È6¹;Â�Â3´�²�¶�¹8³�¹�Ñ�·*¾J°�´�Â�µ{¯w¸�¶�¹;¯�³�·�À\½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�°{°�³�²�»�Æ�°�°P=�Ë1»�°\¯�Ã�½�·%¶�Å ³�²�³�°�°"¼�Â�¶J·�¯�°�À Ì I�Í�·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç D = {α, β : α < 1, α > β − 1, α > 1 − β} Â�·;Â�´�·�°�´V°�Îj¾J·�½�¼�Â�´�°�ÈXÃZÑwÎ�³�¹�Á�²�³�°�À_½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯ α, β. ÜD·�Ô%¶�¹;Â�´�° D ¸}¶�¹;¯�³�Ã�²ZÈX·�ÈX²�³�´�ÃÒ°�³�²�» Å Æ�°�°S¼�¾J·�¯%¶J²�´�¯�·�»�µ�ß3´{³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�¹;ÈØ´�»�²�¼ ¸�·%¶JÇ�³�°�º ¹�=�,XÂ�¶J°Q¯�²�¶J°�Á�°�³�¹ r2 µ�¯%¶�µ�²�´�Â�µQÈ6¹�¶J·�ÀPÏ�´�· ¯�ÃZ»�·�±p¾J²�³�°�²/¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�½�»�·�°�Â}Ñ�·�¾J°�´¿³�¹pÈX³�·*±_²�Â�´�¯�² R1 = {β = 1, α ∈ (0, 1)} ∪ {α = 3/4, β ∈ (1/4, 7/4)} ∪ {β = 3/4, α ∈ (1/4, 1)}∪ ∪{α = β ∈ (1/2, 1)} ∪ {α = (9 − 8β) (5 − 4β)2 , β ∈ (β0, 3/4)} ∪ {β = (9 − 8α) (5 − 4α)2 , α ∈ (α0, 3/4)}, ¸}¾J² α0 = β0 ≈ 0.4647 =�ÙS³�·*±_²�Â�´�¯�· R1 ¾J²�¶J°�´Ò·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç D ³�¹f¾J²�Â�µ�´�ÇÛ½�·�¾J·�Ô%¶�¹;Â�´�²�À Ì Â�È�=»�°�Â;= @ Ï6ò�Í1Âg»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈX°Þ´�°�½�¹;ÈX°ÞÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�ÑD¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈá·�Ô;à8²�¸�·^½�·%¶J·*±_²�³�°�µP=�,XÂ�¶J°¯�²�¶J°�Á�°�³�¹ r1 µ�¯%¶�µ�²�´�Â�µQÈ6¹�¶J·�ÀPÏ�´�·g½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�à α, β, ½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±p¹%à8°�²UÈX³�·�±_²�Â�´�¯;¼ R2 = {α = β ∈ (1/2, 1)} ∪ {β = 1, α ∈ (0, 1)} ∪ {3α = 4β, β ∈ (3/7, 3/4)}, @ D úHû�ü�ý§þ¨ÿ�������û��×ý���û �þ� � ���ÿ��� ������� ���������ý� �� �����©ý§û����wü����©ý�� �þ� �ü��*ý ÿ��� �þ� �ü�ý�� � Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3´"¯�Ã�»�·*±p¾J²�³�°�ßaÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=PÙS³�·*±_²�Â�´�¯�· R2 »�¹%Î�Ô�°�¯�¹;²�´ D³�¹pÁ�²�´�Ã�»�²w½�·�¾J·�Ô%¶�¹;Â�´�° Ì Â�È�=�»�°�Â;= @ Ï."�Í�ÂV»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈX°S´�°�½�¹;ÈX°"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=*6¶�¼ Á�¹;À r1r2r3 6= 0, º ·�¸}¾�¹\Æ�²�³�´�»uÈ6¹;Â�Âw´�²�¶�¹{³�¹�Ñ�·*¾J°�´�Â�µu¯�Ô%¶J°�Î�°f¸}¶�¹;¯�³�·�Àf·�Â�°^°�³�²�»�Æ�°�°PÏ »�¹;Â�Â�ÈX·;´�»�²�³Ò¯Ûôõ< @ ö�= A Â�Â�¶J²�¾J·�¯�¹;³�·fÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�²\ÈX³�·�±_²�Â�´�¯�·�Ï2¯�º ¶Jß�Á�¹;ß3à8²�²¿¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃÁ�²�´�Ã�»�²�ÑS¯�° ¾J·�¯�=�Ë1»�°"÷�´�·�ÈÒ¾J·�½�¼�à8²�³�¹g³�²�´�·�Á�³�·�Â�´�Ç¿¯p·�½�°�Â�¹;³�°�°S¯�·;Î�ÈX·*±¿³�Ã�Ñ\´�°�½�·�¯gÈX³�·�¸�·�·�Ô%Å »�¹%Î�°�À Q3 h,g,Uh,g Êp° Ñ\·�º ¹%Î*¹�¶J·�Â�Ç_ÈX²�³�Ç=<8²;Ï�Á�²�ÈЯ8½�»�²�¾J²�¶JÇ�³�·�ÈÐÂ�¶�¼ Á�¹;²;Ï�»�¹;Â�Â�ÈX·;´�»�²�³�³�·;È�¯{ô I�ö�= sV¹;½�»�°�ÈX²�»PÏ�³�¹/»�°�Â;= @ Ï��w¯1»�¹;Ô�·;´�²Vôõ< @ ö�·;´�ÈX²�Á�²�³�¹1´�»�²�¼ ¸�·%¶JÇ�³�¹%µg·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç�Ï�·�¸�»�¹;³�°�Á�²�³�³�¹%µp¯�²�´�¯;µ ÅÈX°����%�� �¡�����¢� �¡��¤£�¥� %ÏPº�·;´�·�»�·�Àf¾J·%¶�±¿³�ÃåÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯�·�¯�¹%´�ÇQ³�²�¾J·�Â�´%¹;ß3à_°�²p´�°�½�Ã,ÈX³�·�¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�À Q3 h,g = S3 ∪ (S1 × S2), Uh,g = D2 ∪ (D1 × S1).Ë1»�°pÄV°�º�Â�°�»�·�¯�¹;³�³�Ã�Ñ_Î�³�¹�Á�²�³�°�µ Ñp½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯ α, β ½�·%¶�¼ Á�°�ÈD·�¾J³�·�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�·�²3Â�²�Å ÈX²�À�Â�´�¯�·"Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ^¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ©Ï�Î*¹;¯�°�Â�µ�à8° Ñf·;´ r∗ ∈ (0,∞) =+* °�Î�ÈX²�³�²�³�°�²�È r∗ ¾J°�¹�Å ¸�»�¹;ÈXÈXÃÒÔ;¼�¾�¼�´V³�²�½�»�²�»�Ã�¯�³�·�¾J²�ÄV·�»�ÈX°�»�·�¯�¹%´�Ç�Â�µw¾J·3´�²�Ñ_½�·;»PÏ%½�·�º�¹ r∗ ³�²6¾J·�Â�´�°�¸�³�²�´V³�²�º ·;´�·�»�·�Å ¸�·_º�»�°�´�°�Á�²�Â�º ·�¸�·_Î�³�¹*Á�²�³�°�µ ρi =�Ë1»�°\÷�´�·�ÈЯ�Â�²/º ¹*Á�²�Â�´�¯�²�³�³�·p»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�²/¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃ1Ï�·;´�¯�²�Á�¹�Å ß3à8°�²�¯�Ã�Ô�»�¹;³�³�Ã�ÈDÎ�³�¹�Á�²�³�°�µ�È α, β, ·�Ô�»�¹%Î�¼ ß3´8º�·�³�²�Á�³�¼ ß ½�·�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Â�´�Ç�=�ÙS³�·*±_²�Â�´�¯�· R1 ∪ R2 ¾J²�¶J°�´S·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç D ³�¹{½�·�¾J·�Ô%¶�¹;Â�´�° 1 − 12 Ì Â�È�=P»�°�Â;= @ ÏHì*Í3Â_»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈX°D´�°�½�¹;ÈX°½�·�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Â�´�²�À^Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ{¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�= t�u R1 ∪ R2 ⊂ D v u R1 ⊂ D, r∗ → 0 w u R2 ⊂ D, r∗ → ∞ xG��yKM ¦�M�§.�K�=�%y�ü�� D �� K��} y�ü�� �(��¨© �û=����ý§û���ª©�=�}ÿ�����ý}ü¨ÿ3 K� α, β M Ë1»�°U½�²�»�²�Â�´�»�·�À�º ¹�ÑwÈX³�·*±p²�Â�´�¯�¹ Σ ³�¹©º�»�°�¯�Ã�Ñ B1, B2 ½�·*µ�¯%¶�µ�ß3´�Â�µw³�·;¯�Ã�²j·�Â�·�Ô�Ã�²X´�·�Á�º�°P= Ür÷�´�·�ÈcÂ�¶�¼ Á�¹;²Q½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�à α, β, r∗ ½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±p¹%´Þ³�²�º ·;´�·�»�·�ÀоJ¯;¼ ÈX²�»�³�·�Àؽ�·�¯�²�»�Ñ�³�·�Â�´�°â¯ ½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�² R 3(α, β, r∗) =6Ë1»�°�È6¹�¶J·�Èa¯�·;Î�ÈH¼�à8²�³�°�°Ø´%¹;º�°�²Q·�Â�·�Ô�Ã�²"´�·�Á�º�°Ø°�Â�Á�²�Î*¹;ß3´Þ° ¶J° ÈX²�³�µ�ß3´¿Â�¯�·�À"´�°�½PÏ�¹_¯�ÈX²�Â�´�²UÂ1´�²�È�¯�° ¾S¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃ Σ º ¹*Á�²�Â�´�¯�²�³�³�·¿°�Î�ÈX²�³�µ�²�´�Â�µP= Ü�Ã�»�·�±p¾J²�³�°�²"Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�ÃjÑÒ¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈa½�»�·�°�Â}Ñ�·�¾J°�´�Ïj³�¹;½�»�°�ÈX²�»PÏX¯D·�Â�²�Â�°�ÈXÈX²�´�»�°�Á�Å ³�Ã�ÑQÂ�¶�¼ Á�¹%µ Ñ α = β ° β = 1, º�·�¸�¾�¹gº�»�°�¯�¹%µ B2 °�Â�Á�²�Î*¹;²�´%ÏP¹_´�·�Á�º ¹¿¯�²�´�¯%¶J²�³�°�µ P0 ¼�Ñ�·�¾J°�´ ³�¹VÔ�²�Â�º ·�³�²�Á�³�·�Â�´�Ç�=^*j¼�à8²�Â�´�¯;¼ ß3´8°_¾J»�¼ ¸�°�²©Â�¶�¼ Á�¹;°¿¯�Ã�»�·*±p¾J²�³�°�µ8¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=�*�ÄV·�»�ÈH¼*¶J°�»�¼�²�È ·�Â�³�·�¯�³�Ã�²�½�»�°�Î�³�¹;º�°PÏ »�¹%Î�¾J²�¶�µ�ß3à8°�²/Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�²©¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃ1Ï�°g¼ º ¹%±_²�ÈÞÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�Å ß3à8°�²�½�·;¯�²�»�Ñ�³�·�Â�´�°8¯©½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·;¯ R 3(α, β, r∗) ¯3¯�° ¾J²6Ä1¼ ³�º�Æ�°�° r∗ = ρi(α, β) Õ <�= r∗ = ρ1 Ê¿½�·�µ�¯%¶J²�³�°�²V½�¹;»�à ·�Â�·�Ô�Ã�Ñ{´�·�Á�²�º P2, P3 ³�¹pº�»�°�¯�·�À B1 r @ = r∗ = ρ2 Ê¿½�·�µ�¯%¶J²�³�°�²V·�Â�·�Ô�·�À{´�·�Á�º�° P4 ³�¹_º�»�°�¯�·�À B2 r :�= r∗ = ρ3, r∗ = ρ ′ 3 Ê P0 Â�·;¯�½�¹�¾�¹;²�´¿ÂV·�¾J³�·�ÀS°�ÎU·�Â�·�Ô�Ã�Ñ{´�·�Á�²�º P1, P2, P3 º�»�°�¯�·�À B1 r C�= r∗ = ρ4 Ê¿·�Â�·�Ô�¹%µ{´�·�Á�º�¹ P2 ½�·�½�¹�¾�¹;²�´g³�¹8¾J»�¼ ¸�¼ ßå¯�²�´�¯�Çgº�»�°�¯�·�À B1 r 9 = r∗ = ρ5, r∗ = ρ ′ 5 Ê¿º�»�°�¯�¹%µ B1 ½�²�»�²�Â�²�º ¹;²�´\º�»�°�¯;¼ ß B2 ¯p·�Â�·�Ô�·�À{´�·�Á�º ² P4 r D�= r∗ = ρ6, r∗ = ρ ′ 6 Ê P0 Â�·;¯�½�¹�¾�¹;²�´¿ÂV·�¾J³�·�ÀS°�ÎV´�·�Á�²�ºSÂ�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µQº�»�°�¯�·�À B1 r @ I úNM ONM%P ��Q�ý�û�ý§û�R I = r∗ = ρ7 Ê\º�»�°�¯�¹%µ B2 ½�»�·�Ñ�·�¾J°�´¿Á�²�»�²�ÎU´�·�Á�º�¼"Â�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µ^º�»�°�¯�·�À B1 r >�= r∗ = ρ8, r∗ = ρ ′ 8 , r∗ = ρ ′′ 8 Ê"º�»�°�¯�¹%µ B2 ½�²�»�²�Â�²�º�¹;²�´"º�»�°�¯;¼ ß B1 ¯¿·�¾J³�·�À^°�Î_·�Â�·�Ô�Ã�Ñ ´�·�Á�²�º P1, P2, P3 = ã ¹;Ä1°�º Â�°�»�¼�²�ÈaÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ (α, β) ∈ D ÏH´�·�¸}¾�¹D¯�° ¾ØÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�ÀÒ¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXà Ô;¼�¾J²�´ ·�½�»�²�¾J²�¶�µ�´�Ç�Â�µ\Î�³�¹�Á�²�³�°�²�ÈÒ½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�¹ r∗ =�Ü�Ã�»�·*±p¾J²�³�°�ß ¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈÛÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3´g»�²�<8²�³�°�µ ½�·%¶J°�³�·;È6°�¹*¶JÇ�³�Ã�ÑQ¼ »�¹;¯;³�²�³�°�À f1 = 0, f2 = 0, ..., f8 = 0 Ï�¹g½�·%¶J°�³�·�ÈXà fi °�ÈX²�ß3´{Â�¶J²�¾�¼ ß3à8°�À ¯�° ¾øÕ f1 = α(4 − 3α)5r4 ∗ − 2c1r 2 ∗ + (4α − 3)5, f2 = (1 − β)2(4β − 3α)r2 ∗ + (α − β)2(4β − 3), f3 = α(β − 1)5r4 ∗ + (β − 1)2(β − α)2(3α2 + αβ − 8α + β + 3)r2 ∗ + (β − α)5, f4 = α(4 − 3α)5r8 ∗ + 2αc2r 6 ∗ − 3c3r 4 ∗ + 2αc̃2r 2 ∗ + α2(4α − 3)5, f5 = (1 − β)3c2 4 r4 ∗ + (1 − β)(β − α)c5r 2 ∗ + (α − β)3c̃2 4 , f6 = α2(1 − β)12c2 7 r12 ∗ + 2α(1 − β)10(α − β)2c8r 10 ∗ + α(1 − β)8(α − β)4c9r 8 ∗ + +4(1 − β)6(α − β)6c10r 6 ∗ + (1 − β)4(α − β)8c̃9r 4 ∗ + 2(1 − β)2(α − β)10c̃8r 2 ∗ + (α − β)12c̃2 7 , f7 = α2β(β − 1)4c3 12 r8 ∗ + 4α2(α − β)(β − 1)3c13r 6 ∗ + α(α − β)2(β − 1)2c14r 4 ∗ + +4α(α − β)3(β − 1)c̃13r 2 ∗ + β(α − β)4c̃3 12 , f8 = α3(β − 1)5c2 12 c3 16 r10 ∗ + α2(β − 1)3c17r 8 ∗ + 2α(α − β)(β − 1)2c18r 6 ∗ + +2(α − β)2(β − 1)c̃18r 4 ∗ + (α − β)3c̃17r 2 ∗ + (α − β)5c̃2 12 c̃3 16 ,¸}¾J² c4 = 8α2β + α2 − 16αβ2 − 8αβ + 16β2, c̃4 = α3c4(α −1, βα−1), c5 = c6(α, β) + α7c6(α −1, βα−1), c6 = 512(1 − α)β5 + 512(α − 1)β4− −32(13α + 2)(α − 1)β3 + 48α(α − 1)β2 − α2(11α − 12)β − α3, c7 = 16β2 + 8α(α − 5)β + α2(25 − 9α), c̃7 = α3c7(α −1, βα−1), c8 = 768β4α + 128(5α3 − 25α2 − 5α + 1)β3 + 16α(6α4 − 107α3+ +258α2 + 161α − 30)β2 − 8α2(18α4 − 165α3 + 185α2 + 421α − 75)β+ +α3(54α4 − 261α3 − 210α2 + 1435α − 250), c̃8 = α7c8(α −1, βα−1), c9 = 3840β4α + 1280(2α3 − 10α2 − 5α + 1)β3+ +32(6α5 − 147α4 + 294α3 + 644α2 − 57α − 20)β2− −16α(9α5 − 120α4 − 114α3 + 1143α2 + 151α − 109)β+ +α2(144α4 − 2337α3 + 4290α2 + 2815α − 1072), c̃9 = α7c9(α −1, βα−1), c10 = c11(α, β) + α8c11(α −1, βα−1), c11 = 640β4α2 + 640α(1 − 5α)β3+ +8(483α3 + 84α2 − 89α + 2)β2 + 4α(283α + 25 − 948α2)β + 1065α4 − 291α3 − 134α2, c12 = α2β + 8α2 − 8αβ − 16α + 16β, c̃12 = α3c12(α −1, βα−1), c13 = 9(4α2 − 5α + 4)(α− 4)3β4 − 2(α− 4)(32α5 − 55α4 + 575α3 − 1076α2 + 784α + 64)β3+ @ > úHû�ü�ý§þ¨ÿ�������û��×ý���û �þ� � ���ÿ��� ������� ���������ý� �� �����©ý§û����wü����©ý�� �þ� �ü��*ý ÿ��� �þ� �ü�ý�� � +96α(2α5 − 6α4 − 41α3 + 91α2 − 48α − 16)β2 − 96α2(2α4 − 21α3 + 29α2 − 16)β+ +64α3(α − 2)3, c14 = c15(α, β) + α10c15(α −1, βα−1), c15 = (15779α3 − 20280α2 + 6816α − 128)β4 + 4(α + 1)(1403α3 − 1332α2 − 864α + 64)β3− −192α(84α3 − 61α2 − 54α +4)β2 +128α2(α +1)(76α2 − 89α +6)β − 256α3(12α2 − 14α +1).71·�÷�ÄVÄV°�Æ�°�²�³�´�Ã�¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ f8 = 0 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¼*¾J·�¯%¶J²�´�¯�·�»�µ�ß3´"¼ »�¹;¯�³�²�³�°�ß fi = 0.ã ³�¹;º ·�Ⱥ¶ − ¹w¯{´%¹;Ô%¶ø=X<_·;´�ÈX²�Á�²�³�Ã,·�Ô%¶�¹;Â�´�°PÏ(¯{º�·;´�·�»�Ã�Ñu¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ fi = 0 ³�²_°�ÈX²�ß3´Q½�·%¶J·%Å ±¿°�´�²�¶JÇ�³�Ã�ÑÞ»�²�<8²�³�°�ÀP= ã ³�¹;º»¶ ± ¹p·;Î�³�¹*Á�¹;²�´�Ï2Á�´�·"¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶�Ç�³�·�²¿½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ�³�·�²¿»�²�<8²�³�°�² r∗ = ρi ¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ fi = 0 Â�¼�à8²�Â�´�¯;¼�²�´Ø´�·%¶JÇ�º�·Ð¯Ð³�²�º ·%´�·�»�·�ÀáÁ�¹;Â�´�° ·;´�ÈX²�Á�²�³�³�·�Àá·�Ô%¶�¹�Å Â�´�°P=�5w·�½�·%¶J³�°�´�²�¶JÇ�³�·�²/¼�Â�¶J·�¯�°�²;Ï�º�·;´�·�»�·�²�¾J·%¶�±¿³�·8Ô�ÃZ´�Çp³�¹�¶J·*±p²�³�·8³�¹U¾J·�½�¼�Â�´�°�ÈXÃ�²V»�²�<8²�³�°�µ ¼ »�¹;¯�³�²�³�°�À fi = 0, Î*¹;½�°�Â�¹;³�·"¯"¯�° ¾J²�¶ < ρk ¹�=�s/¼ ÈX²�»�¹;Æ�°�µu·�Ô%¶�¹;Â�´�²�ÀD¯\´;¹;Ô%¶J°�Æ�²_Â�·�¯�½�¹�¾�¹;²�´S ³�¼ ÈX²�»�¹;Æ�°�²�À^·�Ô%¶�¹;Â�´�²�ÀS³�¹p»�°�Â;= @ Ï�¢;=ÓH¹;º�°�Èx·�Ô�»�¹%Î�·�Èxº ¶�¹;Â�Â�°�Ä1°�º�¹;Æ�°�µ¿¯�·;Î�ÈX·*±¿³�Ã�Ñ8¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ Σ Â�¯�²�¾J²�³�¹wºg³�¹�Ñ�·*±p¾J²�³�°�ß ·�Ô%Å 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Ì�@ :�Í Ë1»�°p¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�°g³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯ Ì�@�@ Í�Ï Ì�@ :�Í×»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�²©¯�»�¹%à8²�³�°�µ Ì J�Í�Ï Ì < A Í2µ�¯%¶�µ�ß3´�Â�µp¼�Â�´�·�À ÅÁ�°�¯�ÃZÈ6°u½�·"·;´�³�·=<8²�³�°�ß ºu½�»�²�ÈX²�³�³�Ã�È ω1, ω2, ω3, ν1, ν2, ν3 ôõ<%C;ö�=+*d½�·�ÈX·;à8Ç�ß,¼�Â�¶J·�¯�°�À Ì�@�@ Í�Ï Ì�@ :�Í8Ü�= Ü�= ÖH¼ ÈHµ�³�Æ�²�¯Þ¯�Ã�¾J²�¶J° ¶â³�¹uº�·�³�¼�Â�²Äiå´%¹*¼�¾J²^·�Ô�¶�¹;Â�´�°Ð¼�Â�´�·�À�Á�°�¯�·�Â�´�°P=N*6¶J²�¾�¼ ß3à8°�²^°�Î ¼�Â�¶J·�¯�°�À Ì�@�@ Í�Ï Ì�@ :�Í�¸�»�¹;³�°�Æ�Ãa·�Ô%¶�¹;Â�´�²�ÀD¼�Â�´�·�À�Á�°�¯�·�Â�´�°ÞÈX·*±¿³�·\¼�´�·�Á�³�°�´�Ç"ÊQ·�³�°^¾J·%¶�±¿³�ÃaÂ�·%Å·;´�¯;²�´�Â�´�¯�·�¯�¹%´�ÇQÔ�²�Â�º ·;³�²�Á�³�·S¼*¾�¹�¶J²�³�³�Ã�È ´�·�Á�º�¹;È�ÏP´�·�Á�º ¹;Èá¯�²�´�¯%¶J²�³�°�µx° ¶J°D¯�·;Î�¯�»�¹%´%¹"º�»�°�¯�Ã�Ñ ³�¹xÔ�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�Ã�ÑØ¾J°�¹%¸�»�¹;ÈXÈ6¹�Ñ�= ã ¹;ÈX²�´�°�È�ÏZÁ�´�·Ò³�¹;À ¾J²�³�³�Ã�²u¯Þ»�¹;Ô�·;´�²Òôõ<%C;ö3¼�Â�´�·�À�Á�°�¯�Ã�² ¯�»�¹�à8²�³�°�µQÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3´¿´�·%¶JÇ�º�·p´�·�Á�º�¹;È�ÈX°�³�°�ÈH¼ È6¹p½�»�°�¯�²�¾J²�³�³�·�¸�·¿½�·;´�²�³�Æ�°�¹�¶�¹�= ¬�¥ÅÕ+Ö�× Ø�Ù Ú Ö w�Û8Ü Ý�Ü Þ5ß Ö�à8á�Ú â�Ö Û8Üäã=Ü�å �����������������}�� (�(�¨|����*�%¢����������� p���%�����}�� X¥�æ��������������*��¦����������%�����*��¦��*�;|��¨����%£H���*|�¤��*��¥%ç å ���������3è�é�~;���������������1���*� ��¦3¬ ´�´�´ ¥�ç�«J¥ ­*¥%ç ¯�¯ ³ ��¥ ­*¥�ê3à8á�ë%×hê Ü «��������%�����*�/�/������|������*|%ì�ì�éJ�������*�1��|����}�P¥��%|�����¥%ç�¬ ´ ²�­*¥�çîí=ï�¦*�� (��¥ ­*¥�çîð2¥ ²�²�ç=¬�­�¬�¥ ®�¥�ñ�ò�ó�ô�õ�ö Ü�÷ùø�ú�û�ü�ý@û�ø�þ+ÿNû�ø�ý ���������+ý ø©ÿ ��þ�ý ��ø ���fûÅü�ý ��ý��� ������îû� �����þ�û�������� ����ý ø�þ ì�ì�� ��ú ¥�� ����ÿ ¥�� û�þ�� ¥�� ��ü���� ��þ �!����� ¥�ç�¬ ´ ²%¬�¥�ç#"�$�¦ Î ¬�µ�¥%ç%��¥3¬ ¯ ´ ²�ç=¬ ° ­%¬�¥ ¯ ¥ ã t'&Åt)( Ù Ú Ö w+*-Ü Ý�Ü!, ������������  �*�;|����������}�����*�"�����������%|��%���gz}|�~;|����"�¿���%|�«j�������S�������*~%�����g�����;|g�������������������~%���*�������Z��������� ì�ì×y��}������¥.-1������¥����*� ��|�¥%ð�����¥/-V|����}��|������*|X�©������|�������|�¥�ç�¬ ´ ² ¯ ¥Kç Î ± ¥�çÅð2¥ ´�´ ç=¬�µ ° ¥ ° ¥1032�4�57698�ô':8ö Ü ö Ü�;���ÿ ��ø�<���ý ø%ú�û�ü�ý@û�ø�þ)�=����ü5þ�����ÿNû�ý øîý ø�þ��>��ü�û� �� �@?�û��A���=����þ�����ü�ý ��ý��B C������ÿ ��þ�ý ��ø���D/� û�þ�ý ��ø�� ì�ì �E��ú�û�ø�?7����ý ø1F.��ú ¥�� û�þ�� ¥�ç�¬ ´�´ ¬�¥�ç�$�¥%ç%��¥ ± ²�ç=¬ ¯ ± ¥ ± ¥%G ó�HGô'I�JKH Ü LÅÜ Þ GM57N�57I LÅÜ O8Ü Þ P ò'Q.RTS ÜCUV���-ý ø�þ��>��ü�û���ÿNû�ø�ý ���������!���fþ����-þ���ü��>�� ������ ��ü��� �� ��ÿ ì�ìW� ��ÿ ��ý ü)�!��� þ����9� � F ¥�ç�¬ ´�´�³ ¥�ç#"�X í�¦ Î ± ­ ³ ¥�ç ´ ¬ � ¥²�¥WY t'& ÖKâ�ê Ü Õ Ü[Z �%£H������|�¤��������� (�����*�����}������|©�V�����������%|��%¢��� (��������������¡��%|�z��*�/�3z}|�~;|}���j��~%���*���������V�}�*������%�����Z��������~%�����Z�����;|%ì�ì8éJ�������*�1��|����}�P¥��%|}����¥�ç�¬ ´ ²�­*¥�çîí=ï�¦*�� (��¥ ­*¥�çîð2¥�¬K­ ± ç=¬�®�­*¥ ³ ¥ ã t'&Åt)( Ù Ú Ö w%*-Ü Ý�Ü]\ �%���¨�%��~%����|������D£X|�z��������1���������%�������1�������%|������� P�1�����%£H�������%|�¤����V�j���%��������������� ì�ìy��}������¥�-1������¥*�*��� ��|�¥=ð�����¥�-V|����}��|������*|Z�/������|������*|�¥%ç�¬ ´ ²�®�¥�ç Î ° ¥%ç©ð2¥=²�µ�ç�²�²�¥ ´ ¥ ã t'&Åt)( Ù Ú Ö w%*-Ü Ý�Ü æ������������������}���*|��V���������*�U���%�������������w�V���������%���������}�������U|��%|��%��z6�����������%|��%���3�©~%���%|���������X��������~%���������¨�;|�¥�^6�%��¥�¥ ¥ ¥*�*|��*~ ¥%£H��z�¥ � ��|���¥*�%|�����¥%çB-_¥ è�-�æ3é(¦3¬ ´ ² ° ¥�ç�¬ ¯ ¬H��¥ ¬�µ�¥ Û ( Ú Ö�×�_/` Ý�Ü aÅÜ -V|����}��|��������}�������6��������~% Q�*�;|������������������/������|���������¥�çB-_¥ è ÍX|}���*|�¦ ¬ ´ ² ¯ ¥�ç ¯ ®�­j��¥¬�¬�¥Åö�õ7I�ò�4�ò'6 O8Ü Þ G ò'I)2>J�57Qcb Ü d+Üe;�����ø���û�þ�ý ��ø��f��� � ��?)� û�ø�ý�?>� ¦3­ ø��1g=� ¥ ç#h ��ø�����ø ¦ ��þ)? ¥ è[i ��ø�jäû�ÿÅý ø ì�k ��ÿÅÿÅý ø��/� ¦¬ ´ ² ³ ¥�ç ³ µ ± � ¥¬K­*¥WY�l'm'_�à�Ù Ú tKn Ü oÅÜ ª ¡��%£H�*�*�*|�¤������������Þ�������j�}�������w�gz}|�~;|}���U�p~%���*���������S�}�*�����%�����g��������~%�����g�����;|g���������~%���*������������������� ì�ì å z��%¥�p�Íkð+ð+ð=q�¥�-1����|������*|���������~%�����Z�����;|�¥�ç�¬ ´�³ ­*¥�ç Î ¬�¥%çîð2¥ ®�ç=¬�µ�¥ ¬�®�¥ r t's á�Ú=á�Ú â�Ö aÅÜ tÅÜ Þ Y�l�u�á ( v Ü wkÜ pø�%|��%��z���z���x������������������}�¨���*�j�����������*�����������X~������������� P�6���>yj�������jz}|�~;|������~%���*���������/��������~%�����������;|%ì�ì�-1����|�������|���������~%�����Z�����%|�¥�ç1­�µ�µ�¬�¥�ç©y� (��¥ ®�¬�¥%çîð2¥�¬ ³ ç%®�µ�¥ ¬ ¯ ¥ n lKà z=Ú�{=á w�Ý�Ü Ý�Ü éJ��������������������¢������%��|����������� P�/���%|�«j���������}�*�����%��������������~%�����������;|%ì�ì , �����*� ¥%��|����}��|�������*|Z�1������|������*|�¥%ç�¬ ´�°�± ¥�çB|�|V¦��� (��¥3¬�¥%çîð2¥ ° ¬�ç ±�± ¥ úHû�} ü���ÿ=��R���M��G��ü�ý �G��ü���R�������ý�¨%��û���R���O�~�O��^R�ÿ�����û��@�/�1 �û�ý�~�R ���������'�����.���/���'�'�.�V�A�����������������'�=����� , ���%���������î¬�¥ µ ´ ¥ µ�® : @
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institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0321-1975
language Russian
last_indexed 2025-12-07T19:00:01Z
publishDate 2003
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
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spelling Гашененко, И.Н.
2017-09-09T05:39:53Z
2017-09-09T05:39:53Z
2003
Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 20-32. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
0321-1975
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123712
531.38
В задаче Эйлера о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки изучаются трехмерные алгебраические поверхности интегральных уровней и их топологические бифуркации. В предположении, что центр масс тела лежит в главной плоскости инерции, исследовано трехпараметрическое семейство бифуркационных диаграмм и составлен полный список неособых интегральных многообразий. Обсуждаются вопросы устойчивости равномерных вращений тела вокруг вертикали.
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Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Механика твердого тела
Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела
Article
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Гашененко, И.Н.
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