Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела
В задаче Эйлера о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки изучаются трехмерные алгебраические поверхности интегральных уровней и их топологические бифуркации. В предположении, что центр масс тела лежит в главной плоскости инерции, исследовано трехпараметрическое семейство бифуркацио...
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| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123712 |
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| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 20-32. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860265294923038720 |
|---|---|
| author | Гашененко, И.Н. |
| author_facet | Гашененко, И.Н. |
| citation_txt | Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 20-32. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | В задаче Эйлера о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки изучаются трехмерные алгебраические поверхности интегральных уровней и их топологические бифуркации. В предположении, что центр масс тела лежит в главной плоскости инерции, исследовано трехпараметрическое семейство бифуркационных диаграмм и составлен полный список неособых интегральных многообразий. Обсуждаются вопросы устойчивости равномерных вращений тела вокруг вертикали.
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| first_indexed | 2025-12-07T19:00:01Z |
| format | Article |
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ω
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1
2
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F
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Σ
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R
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F
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Q3
h,g = F−1(h, g)
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Q3
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3(ω) × R
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Q3
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(h, g)
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Σ ⊂ R
2(h, g)
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h
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Ug(ν)
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R
3(ω) × R
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Uh,g = {Ug(ν) ≤ h} ⊂ S2
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π(Q3
h,g)
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Q3
h,g
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(ν1, ν2, ν3) ∈ S2
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Í�Ï
¶J°�Ô�·\´�·�Á�º ² Ì ²�Â�¶J° ν ∈ ∂Uh,g
Í�Ï�¶J°�Ô;·"½�¼�Â�´ Ì ²�Â�¶J° ν 6∈ Uh,g
Í�=+*6¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�ÏP´�·�½�·%¶J·�¸�°�Á�²�Â�º�°
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Uh,g
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Q3
h,g
½�»�²�¾JÂ�´;¹;¯%¶�µ�²�´xÂ�·�Ô�·�À
S1
Ũ»�¹;Â�Â�¶J·�²�³�°�²S³�¹�¾�Â�ÄV²�»�·�ÀPÏH´�·�½�·%Å
¶J·�¸�°�Á�²�Â�º�°x÷�º�¯�°�¯�¹�¶J²�³�´�³�·�²g»�¹;Â�Â�¶J·�²�³�°�ß ²�¾J°�³�°�Á�³�Ã�Ñxº ¹;Â�¹%´�²�¶JÇ�³�Ã�ÑD¯�²�º�´�·�»�·�¯�=.,XÂ�¶J°
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Uh,g × S1
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h,g
¸�·�ÈX²�·�ÈX·�»�ÄV³�·
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h,g
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N3
k Ì ½�»�° k ≥ 1
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ÈX²�Ñ ¹;³�°�Á�²�Â�º�° Ñ�Â�°�Â�´�²�ÈcÂ"Â�°�ÈXÈX²�´�»�°�²�ÀØÔ�Ã�¶�¹f½�»�²�¾�¶J·�±_²�³�¹?*�=@*�ÈX²�À ¶J·�È�ô @ ö�=XÜùÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯�°�°ÂS÷�´�·�Àؽ�»�·�¸�»�¹;ÈXÈX·�À Ì ²�²S»�¹%Î�¯�²�»�³�¼�´�·�²^°�Î�¶J·*±p²�³�°�²S°�ÈX²�²�´�Â�µØ¯�ô :%ö Í_°�Î�¼ Á�²�³�°�²^ÄU¹%Î�·�¯�Ã�ÑÒ´�»�¹�Ų�º�´�·�»�°�Àf°�Â}Ñ�·*¾J³�·�À^Â�°�Â�´�²�ÈXÃ Ì <�ÍZÂ�¯�·�¾J°�´�Â�µPÏ�¯�·%Ũ½�²�»�¯�Ã�Ñ�ÏJºQ·�½�°�Â�¹;³�°�ßaÔ�°�Ä/¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ"¾J°�¹�Ÿ�»�¹;ÈXÈ
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Ñ ¹;³�°�º�°rôõ<�Ï�C%Å�D%ö�=1ÜvÎ*¹�¾�¹*Á�²�É�À ¶J²�»�¹ä·Ø¾J¯�°�±_²�³�°�°d´*µ�±_²�¶J·�¸�·â´�¯�²�»�¾J·�¸�·ä´�²�¶�¹ä¯�·�º�»�¼ ¸Ò³�²�½�·%Å
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´�²�¶�¹w»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�²�¯�»�¹%à8²�³�°�µ¿µ�¯%¶�µ�ß3´�Â�µ\·;´�³�·�Â�°�´�²�¶�Ç�³�Ã�ÈX°{»�¹;¯�³�·�¯�²�Â�°�µ�ÈX°P=�Ë1²�»�²�Ñ�·*¾J°�ÈÛº\° Ñ
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`(a�b Í�Ï�´�·�¸}¾�¹¿·�³�¹p³�²�°�Î�ÈX²�³�³�¹\°Q¯g½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²;Õ�´�²�¶J·\»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�·¯�»�¹�à_¹;²�´�Â�µØ¯�·�º�»�¼ ¸S³�²�½�·�¾J¯�°�±¿³�·�À�·;Â�°PÏ6¯%¾J·%¶JÇxº�·;´�·�»�·�À�³�¹;½�»�¹;¯%¶J²�³�¯�²�º�´�·�»
ω
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(Aω × ω) · r = 0, Ì C�Í
º�·;´�·�»�·�²w½�·�º ¹%Î�Ã�¯�¹;²�´�Ï�Á�´�·¿´�»�°^½�·�Â�´�·*µ�³�³�Ã�Ñ^¯g´�²�¶J²w¯�²�º�´�·�»�¹
Aω,ω, r
¶J²�±g¹%´¿¯¿·�¾J³�·�ÀQ½ ¶J·�Â�Å
º�·�Â�´�°P=×4/»�¹;¯�³�²�³�°�² Ì C�ÍV·�½�»�²�¾J²�¶�µ�²�´dc�ñ*çfe3!hgaè_ì=e�&%é�Ï2³�²�°�Î�ÈX²�³�³�·uÂ�¯;µ�Î*¹;³�³�Ã�ÀÒ¿´�²�¶J·�È�=XÉj´�·;´
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ν
Â�·*Ñ�»�¹;³�µ�²�´SÂ�¯�·�²p³�¹;½�»�¹;¯%¶J²�³�°�²p¯{´�²�¶J²;Ïø¹{³�²_´�·%¶JÇ�º�·S¯{½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²;=
*6¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï;·�Â�Ç�ßÒ»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�·�¸�·�¯�»�¹%à8²�³�°�µU´�²�¶�¹�¯3½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²�ÈX·�±_²�´�Â�¶�¼�±¿°�´�Ç3´�·%¶JÇ%Å
º�·p¯�²�»�´�°�º�¹�¶JÇ
ω = ±|ω|ν. Ì 9�Í4/»�¹%¯�³�²�³�°�²
(A2 − A3)ν2ν3r1 + (A3 − A1)ν3ν1r2 + (A1 − A2)ν1ν2r3 = 0 Ì D�Í
·�½�»�²�¾J²�¶�µ�²�´8³�¹1²�¾J°�³�°�Á�³�·�À¿Â�ÄV²�»�²3Ë/¼�¹;Â�Â�·�³�¹/¶J°�³�°�ß ½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µ¿º ·�³�¼�Â�¹V·�Â�²�Àg»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Ñ
¯�»�¹�à8²�³�°�ÀuÂ8÷�´�·�ÀuÂ�ÄV²�»�·;ÀP=øÚ/Â�µ�ÈX°f»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Ñf¯�»�¹%à8²�³�°�ÀfÈX·�¸�¼�´"Ô�ÃZ´�Ç¿¶J°^<8Ç{´�²8°�Î_·�Ô�»�¹�Å
Î�¼ ß©à8° ÑDº�·�³�¼�Â�¹jiå´%¹�¼*¾J²;ÏP¾�¶�µfº ·;´�·�»�Ã�Ñu¯�²�º�´�·�»�³�·�²8¼ »�¹;¯�³�²�³�°�²
(Aν × ν)|ω|2 + r × ν = 0,½�·%¶�¼ Á�²�³�³�·�²¿½�·�¾JÂ�´%¹;³�·�¯�º�·�À Ì 9�Í�¯"½�²�»�¯�·�²_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�Í�ÏP½�·;Î�¯�·%¶�µ�²�´S·�½�»�²�¾J²�¶J°�´�ÇQ³�²�·;´�»�°�Æ�¹�Å´�²�¶JÇ;³�¼ ß�¯�²�¶J°�Á�°�³�¼
|ω|2
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Ë/¼�Â�´�ÇfÆ�²�³�´�»ÛÈ6¹;Â�¿´�¯�²�»�¾J·�¸�·^´�²�¶�¹^»�¹;Â�½�·%¶J·*±_²�³Þ¯^¸}¶�¹;¯�³�·�ÀÞ½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�°Ò°�³�²�»�Æ�°�°PÏ2´�·�¸}¾�¹
Ô�²�Îw·�¸�»�¹;³�°�Á�²�³�°�µQ·�Ô;à8³�·�Â�´�°QÈX·*±¿³�·p½�·%¶J·*±¿°�´�Ç
|r| = 1, r1 > 0, r2 > 0, r3 = 0, A1 > A2. Ì I;Í
Ë1»�°g÷�´�·�ÈÛÂ�¶J²�¾�¼�²�´�Ï�Á�´�·wº ·�³�¼�Â Ì C�ÍH¯�Ã�»�·�±p¾�¹;²�´�Â�µ¿¯U½�¹;»�¼p½�²�»�²�Â�²�º�¹;ß3à8° Ñ�Â�µ\½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�²�ÀP=f*�ÄV²�Å»�°�Á�²�Â�º�¹%µwº�»�°�¯�¹%µ Ì D�ÍP¯�¾�¹;³�³�·�È^Â�¶�¼ Á�¹;²�Â�·�Â�´�·�°�´/°�Îj¾J¯;¼�ÑU·�»�´�·�¸�·�³�¹�¶JÇ�³�Ã�Ñw·�º�»�¼�±¿³�·�Â�´�²�À8Ô�·%¶JÇ%Å<8·�¸�·gº�»�¼ ¸�¹�Õ
ν3 = 0, (A2 − A3)ν2r1 + (A3 − A1)ν1r2 = 0. Ì >�Í
71·;È6½�·;³�²�³�´�Ãn½�·�Â�´�·*µ�³�³�Ã�Ñâ¯�²�º�´�·�»�·�¯
ω,ν
Ï�Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3à8°�Ñä»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Èù¯�»�¹%à8²�³�°�µ�È�Ï
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τ, σ
Õ
ν3 = ω3 = 0, ν1 = −(1 + τ 2)−
1
2 , ν2 = τ(1 + τ 2)−
1
2 , ω1 = µν1, ω2 = µν2,
µ =
∣
∣
∣
∣
∣
(r1τ + r2)(1 + τ 2)
1
2
(A1 − A2)τ
∣
∣
∣
∣
∣
1
2
, τ ∈ R;
Ì J�Í
@�@
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�������
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ν1 =
r1σ
2
A3 − A1
, ν2 =
r2σ
2
A3 − A2
, ν3 = ±(1 − σ0σ
4)
1
2 , ωi = σ−1νi,
σ0 =
r2
1
(A1 − A3)2
+
r2
2
(A2 − A3)2
, σ ∈ R.
Ì < A Í
Ü�²�¶J°�Á�°�³�¹
µ2 = |ω|2
½�»�°�³�°�È6¹;²�´g³�²�·;´�»�°�Æ�¹%´�²�¶JÇ�³�Ã�²VÎ�³�¹�Á�²�³�°�µ(Ï�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï�Î�³�¹;º"Ä1¼ ³�º Å
Æ�°�°
(1 + τ 2)
1
2
¾J·%¶�±_²�³QÂ�·�¯�½�¹�¾�¹%´�Ç\Â�·gÎ�³�¹;º ·;Èâ¯�Ã�»�¹%±_²�³�°�µ
τ/(r1τ + r2)
=�Ü Â�¶�¼ Á�¹%µ Ñ^·�Â�²�¯�·�À
Â�°�ÈXÈX²�´�»�°�°^÷�¶�¶J°�½�Â�·�° ¾�¹g°�³�²�»�Æ�°�°
(A1 = A3
° ¶J°
A2 = A3)
Â�²�ÈX²�À�Â�´�¯�· Ì < A Í�³�²VÂ�¼�à8²�Â�´�¯;¼�²�´%=m CZh8®�nj\+U2NPI(o2®2OJM2M2OJLkT1M2O3pDL�q
Y�¬JOøC2Ë1·�¾JÂ�´%¹;¯�°�È º�·�ÈX½�·�³�²�³�´�Ãa½�·�Â�´�·�µ�³�³�Ã�Ñu¯�²�º�´�·�»�·�¯
ω,ν
Ï%Î*¹�¾�¹;³�³�Ã�²©½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�°�ÈX°gÎ*¹;¯�°�Â�°�ÈX·�Â�´*µ�ÈX° Ì J�Í�Ï Ì < A Í�Ï;¯V°�³�´�²�¸�»�¹�¶Jà H,G
=�ÜÛ»�²�Î�¼*¶JÇ%Å
´;¹%´�²^³�¹;À ¾J²�Èù½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�°�²^¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µâÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�¸�·ÛÈX³�·*±p²�Â�´�¯�¹
Σ ⊂ R
2(h, g)
=
Ú/Ô�»�¹%Î�·�ÈcÈX³�·�±_²�Â�´�¯�¹xº�»�°�´�°�Á�²�Â�º�° Ñâ´�·�Á�²�º Ì J�Íp°�³�´�²�¸�»�¹�¶JÇ�³�·�¸�·Ò·;´�·�Ô�»�¹%±_²�³�°�µ F
µ�¯%¶�µ�²�´�Â�µ
Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�¹%µSº�»�°�¯�¹%µ
B1,
·�½�°�Â�Ã�¯�¹;²�È6¹%µ"¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ�ÈX°
h =
A2r1τ
3 + (3A2 − 2A1)r2τ
2 + (3A1 − 2A2)r1τ + A1r2
2(A1 − A2)τ(τ 2 + 1)
1
2
,
g =
(A1 + A2τ
2)|r1τ + r2|
1
2
|τ |
1
2 (A1 − A2)
1
2 (τ 2 + 1)
3
4
,
Ì <�<�Í
¸�¾J²
τ ∈ (−∞,−r2r
−1
1
] ∪ [−r2r
−1
1
, 0) ∪ (0,∞)
=×ÙS³�·*±p²�Â�´�¯;¼Dº�»�°�´�°�Á�²�Â�º�°�Ñx´�·�Á�²�º Ì < A Í/Â�·�·;´%ů�²�´�Â�´�¯;¼�²�´{Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�¹%µSº�»�°�¯�¹%µ
B2
Õ
h =
1
2
A3
σ2
+
3
2
σ2σ∗,
g =
A3
σ
+ σ3σ∗, 0 < |σ| < σ0
−
1
4 ,
Ì < @ Í
¸�¾J²
σ∗ = r2
1
(A1 − A3)
−1 + r2
2
(A2 − A3)
−1.4/»�¹;¯�³�²�³�°�µ�ÈX° Ì <�<�Í�Ï Ì < @ Í_Î*¹�¾�¹;³�·x´�»�²�Ñ�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�·�²fÂ�²�ÈX²�À�Â�´�¯�·ÛÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�ѾJ°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�³�¹"½ ¶J·�Â�º ·�Â�´�°
R
2(h, g)
=2Üåº ¹*Á�²�Â�´�¯�²\³�²�Î*¹;¯�°�Â�°�ÈXÃ�ÑÞ½�¹%»�¹;ÈX²�´�»�·�¯�Ï(Ñ�¹;»�¹;º�´�²�»�°�Î�¼ ß©Å
à8° ÑS»�¹;Â�½�»�²�¾J²�¶J²�³�°�²UÈ6¹;Â�ÂV¯p´�¯�²�»�¾J·�È�´�²�¶J²;Ï�¯�Ã�Ô�²�»�²�È�¯�²�¶J°�Á�°�³�Ã
α = A2/A1, β = A3/A1, r∗ = r2/r1.
H�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�¹%µ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈj¹
Σ
Â�·�Â�´�·�°�´\°�Îw¸}¶�¹�¾Jº�° Ñ"¾�¼ ¸�Ï�º�·;´�·�»�Ã�²UÈX·�¸�¼�´\½�²�»�²�Â�²�º ¹%´�Ç�Â�µ^°
º�¹;Â�¹%´�Ç�Â�µ{¾J»�¼ ¸1¾J»�¼ ¸�¹g¯p³�²�º�·;´�·�»�Ã�ÑS´�·�Á�º ¹�Ñ�= A Î�¼ Á�°�È�·�Â�·�Ô�Ã�²1´�·�Á�º�°"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXà Σ.ã ³�¹�Á�²�³�°�ßå½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�¹
τ0 = r∗(1 − β)/(β − α)
Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�²�´{´�·�Á�º ¹gº�»�°�¯�·�À
B1
ÏJ¯gº ·%Å
´�·�»�·�ÀS³�¹*Á�°�³�¹;²�´�Â�µ{¾J·�½�¼�Â�´�°�È6¹%µQ¯�²�´�¯�ÇpÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�ÀSº�»�°�¯�·�À
B2
=JÉj´;¼\´�·�Á�º�¼"¯�²�´�¯%¶J²�³�°�µ
Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�·�À"¾J°�¹;¸�»�¹%È6ÈXÃ
Σ ⊂ R
2(h, g)
·�Ô�·%Î�³�¹�Á�°�È�Á�²�»�²�Î
P0
=5*j¼�à8²�Â�´�¯%¼�ß3´\´�»�°Q¯�¹;»�° Å
¹;³�´;¹\¯�·;Î�ÈX·*±¿³�Ã�Ñ^»�¹;Â�½�·%¶J·�±_²�³�°�Àfº�»�°�¯�·�À
B2
½�·\·;´�³�·=<8²�³�°�ßùº
B1
=5,XÂ�¶J°
τ0 ∈ (−∞,−r∗]
Ï
´�·
P0
½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´D¯�²�´�¯�°Ðº�»�°�¯�·�À
B1
ÏH½�»�·�Ñ�·�¾�µ�à8²�À�Á�²�»�²�ÎS´�·�Á�º�¼
(h, g) = (|r|, 0) r ²�Â�¶J°
τ0 ∈ [−r∗, 0)
Ï ´�·
P0
½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´p¯�²�´�¯�°PÏ�½�»�·�Ñ�·�¾�µ�à8²�À"Á�²�»�²�Î/´�·�Á�º�¼
(h, g) = (−|r|, 0) r ²�Â�¶J°
τ0 ∈ (0,∞)
Ï�´�·
P0
½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´U´�·�Àg¯�²�´�¯�°¿º�»�°�¯�·�À
B1
Ï�º ·;´�·�»�¹%µg³�²©½�²�»�²�Â�²�º ¹;²�´_·�Â�Ç
Oh
³�¹
½ ¶J·�Â�º ·�Â�´�°
R
2(h, g).
Ö×¹;Â�½�·%¶J·*±p²�³�°�²3´�·�Á�º�°
P0
³�¹w·�¾J³�·�À\°�Î/´�»�²�Ñ{¯�²�´�¯�²�À{º�»�°�¯�·�À
B1
½�·�¶J³�·%Å
Â�´�Ç�ßa·�½�»�²�¾J²�¶J²�³�·\Î�³�¹*Á�²�³�°�µ�ÈX°^½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯
α, β,
°�Î�ÈX²�³�²�³�°�²�Èä·�¾J³�·�¸�·p¶J°^<8Ç¿½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�¹
r∗´�·�Á�º�¼
P0
³�²�¶JÇ;Î�µÞ½�²�»�²�ÈX²�Â�´�°�´�Çf³�¹{¾J»�¼ ¸�¼ ß ¯�²�´�¯�Ç�=×Üå»�²�Î�¼*¶JÇ*´%¹%´�²\³�²�Â�¶J·�±¿³�Ã�Ñx¯�Ã�Á�°�Â�¶J²�³�°�À
³�¹�Ñ�·�¾J°�È�ÏXÁ�´�·u½�»�°Ð¯�ÃZ½�·%¶J³�²�³�°�°Ð¼�Â�¶J·�¯�°�À
β > 1 > α
Î�³�¹*Á�²�³�°�²
τ0
¯�Â�²�¸}¾�¹u½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´
°�³�´�²�»�¯�¹�¶�¼
(−r∗, 0)
=5sV¹g»�°�Â;=�<�Ï×ìÞ½�·�º�¹%Î*¹;³�¹_¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹�Ï�Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß�à_¹%µf÷�´�·�ÈH¼^Â�¶�¼ Á�¹;ßw=
@ :
úNM ONM%P ��Q�ý�û�ý§û�R
Ë1»�°"¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�°Q¼�Â�¶J·�¯�°�À
1 > β > α
Î�³�¹*Á�²�³�°�²
τ0
½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´¿°�³�´�²�»�¯�¹�¶�¼
(0,∞)
=�5V¶�µ
÷�´�·;¸�·Q¯�¹;»�°�¹;³�´%¹"Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�¹%µf¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹"°�Î�·�Ô�»�¹�±p²�³�¹{³�¹{»�°�Â;=�<�ÏXò�=øË1»�°D¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�°
¼�Â�¶J·�¯�°�À
1 > α > β
Î�³�¹*Á�²�³�°�²
τ0
¯�Â�²�¸}¾�¹Q½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´u°�³�´�²�»�¯�¹�¶�¼
(−∞,−r∗),
Â�·�·;´�¯�²�´%Å
Â�´�¯%¼ ß3àp¹%µ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹_°�Î�·�Ô�»�¹%±p²�³�¹_³�¹_»�°�Â;=�<�Ï�"%=
0
2
4
2 4 0
2
4
2 4 0
2
4
2 4t�u α = 0.255, β = 1.25, r∗ = 0.05 v u α = 0.25, β = 0.8, r∗ = 0.1 w u α = 0.6, β = 0.5, r∗ = 0.1
xG��yKM3z�M�{5��|+}�ÿ=R���~��
�û�û��×ý��
�=��þ¨ÿ����f�(�Qû=�-���
�y�R �y�ü��
R
2(h, g)
M
Ü�²�¶J°�Á�°�³�¹
A3
³�²�¯%Ñ�·�¾J°�´V¯�¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�<�Í�Ï%½�·�÷�´�·�ÈH¼8³�¹;Èf³�¼�±¿³�·1°�Î�¼ Á�°�´�Ç1Î*¹;¯�°�Â�µ�à8²�²�·;´
r∗, α
¾J¯;¼�Ñ�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º ·�²{Â�²�ÈX²�À�Â�´�¯�·u½ ¶J·�Â�º�° ÑÒ¹*¶J¸�²�Ô�»�¹;°�Á�²�Â�º�° ÑÒº�»�°�¯�Ã�Ñ�=6Ú/Â�·�Ô�Ã�²¿´�·�Á�º�°
º�»�°�¯�·;À
B1
³�¹;À ¾J²�Èä°�Îw¼�Â�¶J·�¯�°�À
dh/dτ = dg/dτ = 0
=5s1²�½�·�Â�»�²�¾JÂ�´�¯�²�³�³�Ã�ÈØ¾J°�ÄVÄV²�»�²�³�Æ�°�»�·%Å
¯�¹%³�°�²�È�½�·%¶�¼ Á�°�ÈØÂ�¶J²�¾�¼ ß3à8°�²w¯�Ã�»�¹%±_²�³�°�µPÕ
g
dg
dτ
= (τ 2 + 1)−1(A1 + A2τ
2)
dh
dτ
,
dh
dτ
=
A1r1ϕ1(τ)
2(A1 − A2)τ 2(τ 2 + 1)
3
2
,
ϕ1(τ) = ατ 5 + (4α − 3)τ 3 + (3α − 4)r∗τ
2 − r∗.
Ì <*:�Í
Ó×¹;º�°�Èd·�Ô�»�¹%Î�·�È�Ï2·�Â�·�Ô�Ã�È�´�·�Á�º ¹;ÈdÔ�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�·�ÀÛº�»�°�¯�·�À
B1
Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3´DÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ
½�¹;»�¹%È6²�´�»�¹
τ
Ï�µ�¯%¶�µ�ß3à8°�²�Â�µ"¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶�Ç�³�Ã�ÈX°^»�²�<8²�³�°�µ�ÈX°S¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ
ϕ1(τ) = 0
Ï�° ¶J°
ατ 5 + (4α − 3)τ 3 + (3α − 4)r∗τ
2 − r∗ = 0. Ì <%C�Í
�1°�Â�¶J·8·�Â�·;Ô�Ã�Ñg´�·�Á�²�º\º�»�°�¯�·�À
B1
Î*¹;¯�°�Â�°�´8·;´wÁ�°�Â�¶�¹V¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�Ã�Ñ\º ·�»�³�²�À¿÷�´�·�¸�·w¼ »�¹;¯�³�²�Å
³�°�µP=2ÙS·*±¿³�·"½�·�º ¹%Î*¹%´�Ç�Ï(Á�´�·S¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <%C�Í�Â8¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�éÈX°xº ·�÷�ÄVÄV°�Æ�°�²�³�´%¹;ÈX°Þ°�ÈX²�²�´³�²�Ô�·%¶J²�²�´�»�²�Ñ¿¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�Ã�Ñ"º�·�»�³�²�ÀP=�Ü�Ã�Á�°�Â�¶J°�ÈÐÁ�°�Â�¶J·_½�²�»�²�ÈX²�³{Î�³�¹;º ·;¯8¼gº ·�÷�ÄVÄ1°�Æ�°�²�³ Å
´�·�¯{½�·%¶J°�³�·�È6¹
ϕ1(τ)
°f½�»�°�ÈX²�³�°�È�Ï(³�¹;½�»�°�ÈX²�»PÏP´�²�·�»�²�ÈH¼^5w²�º ¹;»�´%¹�Õ�� æG!¨í�ñ�lJñ}í�ñ%$ æ�èpé�íJî�ç�ï��
c�ñ}ëJç�é���lJñ}íJæ�çJñ�ð1ì:!�&%é��G!�è�"%æ�èpé¨íJî�ç�ï2ð1æ�c�ñ����.�Xæf��æJé�ç�è_ì*ð1æ�ë�ì
"%çJñÛæ�íJæ�ç�ìd� é�è_çJñ�é�� æG!¨í�ñ
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α ∈ (0, 1)¼ »�¹;¯;³�²�³�°�² Ì <%C�Í�°�ÈX²�²�´¿´�·%¶JÇ�º�·¿·�¾J°�³S½�·%¶J·�±¿°�´�²�¶JÇ�³�Ã�ÀQº�·�»�²�³�Ç�=�58¹�¶J²�²V»�¹;Â�Â�ÈX·;´�»�°�Èâ½�·%¶J°�³�·�È
ϕ1(−τ)
°^Â8½�·�ÈX·;à8Ç�ßa´�·�À^±_²U´�²�·�»�²�ÈXÃa·�Æ�²�³�°�ÈäÁ�°�Â�¶J·{·;´�»�°�Æ�¹%´�²�¶JÇ�³�ÃZÑfº ·�»�³�²�ÀP=PË1·%¶�¼ Á�°�È�Ï
Á�´�·¿½�»�°
α ∈ (0, 3/4)
¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <%C�ÍZ°�ÈX²�²�´\³�²UÔ�·%¶J²�²1¾J¯;¼�ÑS·;´�»�°�Æ�¹%´�²�¶JÇ�³�Ã�Ñ^º ·�»�³�²�ÀPÏ�¹p½�»�°
α ∈ [3/4, 1)
·;´�»�°�Æ�¹%´�²�¶�Ç�³�Ã�ÑQº�·�»�³�²�ÀQ³�²VÂ�¼�à8²�Â�´�¯;¼�²�´%= ã ¹;½�°^<8²�È
ϕ1(τ)
¯g¯�° ¾J²
ϕ1(τ) = (ατ 2 + 1)(τ 3 − r∗) + 4(α − 1)(τ + r∗)τ
2,
·;´�º�¼�¾�¹�Â�»�¹%Î�¼UÂ�¶J²�¾�¼�²�´%Ï;Á�´�·©¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�Ã�²�º�·�»�³�°U¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <%C�ÍP»�¹;Â�½�·%¶J·�±_²�³�ÃÞ¯�³�²j·;´�»�²�Î�ź ¹
[−r∗, r
1
3
∗ ],
´%¹;º\º ¹;ºg¾�¶�µ¿¯�Â�²�Ñ
τ ∈ [−r∗, r
1
3
∗ ]
¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�·8³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�·
ϕ1(τ) < 0.
ã ¹;ÈX²�´�°�È�Ï
@ C
úHû�ü�ý§þ¨ÿ�������û��×ý���û
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���������ý� ��
�����©ý§û����wü����©ý��
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Á�´�·\ÂU½�·�ÈX·;à8Ç�ßå³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�¹
τ < r
1
3
∗
Ü�= Ü�= ÖH¼ ÈHµ�³�Æ�²�¯¿Î*¹;½�°�Â�¹�¶u·�¾J³�·¿°�ÎV¾J·�Â�´%¹%´�·�Á�³�Ã�Ñ^¼�Â�¶J·%Å
¯�°�À"¼�Â�´�·�À�Á�°�¯�·�Â�´�°^»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�ÃjÑS¯�»�¹%à8²�³�°�À Ì Â�È�=�³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�· Ì�@ = @ C�Í�¯p»�¹;Ô�·;´�²gôõ<%C;ö Í�=sV¹;À ¾J²�ÈÞÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ\½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯
(α, r∗)
Ï�½�»�°\º�·;´�·�»�Ã�Ñ\º�»�°�¯�¹%µ
B1
°�ÈX²�²�´_·�¾J³�¼_¶J°�Ô�·U´�»�°
·�Â�·�Ô�Ã�²1´�·�Á�º�°P=�Ë1»�°�»�¹;¯�³�°�¯�¹%µ"³�¼*¶Jßá¾J°�Â�º�»�°�ÈX°�³�¹;³�´¿¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ Ì <�C�Í
α(4 − 3α)5r4
∗
− 2c1r
2
∗
+ (4α − 3)5 = 0, Ì <�9;Í
¸�¾J²
c1 = 128(α6 + 1) − 1350(α4 + 1)α + 4134(α2 + 1)α2 − 5825α3
Ïj½�·%¶�¼ Á�°�Èù¼ »�¹;¯�³�²�³�°�²
»�¹%Î�¾J²�¶�µ�ß3à8²�À�º�»�°�¯�·�ÀÛ³�¹^½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�°Ð½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯
(α, r∗)
=�,XÂ�¶J°ÛÎ*¹;ÄV°�º�Â�°�»�·�¯�¹%´�ÇfÎ�³�¹*Á�²�³�°�²
α ∈ (0, 3/4)
Ï�´�·"°�Î_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ Ì <�9�Í3ÈX·*±¿³�·{³�¹;À�´�°D²�¾J°�³�Â�´�¯�²�³�³�·�²g½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ�³�·�²_»�²�<8²�³�°�²
r∗ = ρ1(α)
=�5V¶�µ\¯�Â�²�Ñg¾J·�Â�´%¹%´�·�Á�³�·pÈ6¹�¶JÃ�Ñ\Î�³�¹*Á�²�³�°�À"½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�¹
r∗ < ρ1(α)
¼ »�¹;¯;³�²�³�°�² Ì <%C�Í�Ï»�¹%Î�»�²�<8²�³�³�·�²"·;´�³�·�Â�°�´�²�¶�Ç�³�·
τ
ÏH°�ÈX²�²�´u´�»�°Ð»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÑÛ¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶�Ç�³�Ã�Ñк�·�»�³�µ
τ1 > 0 >
τ2 > τ3
Ï;º ·;´�·�»�Ã�²�Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3´U´�·�Á�º ¹;ÈD¯�·;Î�¯�»�¹%´%¹
P1, P2, P3
Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·;³�³�·�Àpº�»�°�¯�·�À
B1
=
,XÂ�¶J°¿Â�¼�à8²�Â�´�¯;¼ ß3´8·;´�»�°�Æ�¹%´�²�¶JÇ�³�é²3º ·�»�³�°_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ Ì <%C�Í�Ï%´�·U·�³�°g½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±p¹%´U°�³�´�²�»�¯�¹�¶�¼
(−∞,−r∗)
=HÓ×·�Á�º�°Ò¯�·;Î�¯�»�¹%´%¹u³�²"½�»�°�³�¹*¾�¶J²�±g¹%´D¯�²�´�¯�°Ðº�»�°�¯�·�À
B1
ÏHº�·;´�·�»�¹%µÐÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�²�´
τ ∈ [−r∗, 0)
=
Óײ�½�²�»�Ç�³�¹;À ¾J²�È^¼�Â�¶J·�¯�°�²;Ï%½�»�°w¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�°8º�·;´�·�»�·�¸�·�º�»�°�¯�¹%µ
B2
°�ÈX²�²�´/´�·�Á�º�¼U¯�·;Î�¯�»�¹%´;¹�=
Ü ·�Â�·�Ô�Ã�Ñä´�·�Á�º ¹�Ñ º�»�°�¯�·�À
B2
¾J·%¶�±¿³�Ãn¯�Ã�½�·%¶J³�µ�´�Ç�Â�µ »�¹;¯�²�³�Â�´�¯�¹
dh/dσ = dg/dσ = 0
=
5w°�ÄVÄV²�»�²�³�Æ�°�»�·�¯�¹;³�°�²�È Ì < @ Í�³�¹�Ñ�·*¾J°�È
dg
dσ
= 3σ2σ∗ −
A3
σ2
,
dh
dσ
= 3σσ∗ −
A3
σ3
. Ì <�D�Í
*6¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï�º�·�·�»�¾J°�³�¹%´�Ã�°�Â�º�·�ÈX·�À^·�Â�·�Ô�·�ÀS´�·�Á�º�° Ì ·�Ô�·;Î�³�¹*Á�°�ÈØ²�²wÁ�²�»�²�Î P4
Í�ÈX·�±¿³�·g½�·%Å
¶�¼ Á�°�´�Ç_½�·�¾JÂ�´%¹;³�·�¯�º�·�À
σ = A
1/4
3
(3σ∗)
−1/4
¯w½�¹;»�¹%È6²�´�»�°�Á�²�Â�º�°�²�¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ Ì < @ Í�= Ë1»�°g¯�Ã�½�·%¶�ų�²�³�°�°S¼�Â�¶J·�¯�°�µ
3σ∗ > A3σ0 Ì <�I�Í·�Â�·�Ô�¹%µU´�·�Á�º ¹
P4
½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±¿°�´�¾J·�½�¼�Â�´�°�ÈX·�À_¯�²�´�¯�°8Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�À_º�»�°�¯;·�À
B2
= ã ¹;ÈX²�´�°�È�Ï
Á�´�·g³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�· Ì <�I�Íj½�·;Î�¯�·%¶�µ�²�´g¯�Ã�¾J²�¶J°�´�Ç¿¯_½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²U½�¹%»�¹;ÈX²�´�»�·�¯g·�Ô%¶�¹;Â�´�°{¼�Â�´�·�À�Á�° ů�Ã�Ñ\»�¹;¯�³�·�ÈX²�»�³�Ã�Ñ{¯�»�¹%à8²�³�°�À\´�¯�²�»�¾J·�¸�·8´�²�¶�¹{ô J%ö�=�Ë1·�¾JÂ�´%¹;¯�°�ÈÒ¯�Ã�»�¹%±_²�³�°�µ
σ0, σ∗
¯8³�²�»�¹;¯�²�³ Å
Â�´�¯�· Ì <�I�Íj°SÂV½�·�ÈX·;à8Ç�ßd·�Ô�·;Î�³�¹*Á�²�³�°�µ
ρ2 =
|α − β|
(1 − β)
(3 − 4β)
1
2
(4β − 3α)
1
2
Ì <*>�Í
Â�ÄV·�»�ÈH¼*¶J°�»�¼�²�È�Â�¶J²�¾�¼ ß3à8²�²1¼�´�¯�²�»�±p¾J²�³�°�²�Õ�²�Â�¶J°
β ≥ 3/4
Ï�´�·8¼�Â�¶J·�¯�°�² Ì <�I�Í6³�²/¯�Ã�½�·%¶J³�µ�²�´�Â�µ r²�Â�¶J°
3α < 4β < 3
ÏJ´�· Ì <�I�Í�¯�Ã�½�·%¶J³�µ�²�´�Â�µf´�·%¶JÇ�º�·g¾�¶�µQ¾J·�Â�´;¹%´�·�Á�³�·{È6¹�¶JÃ�Ñ^½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ�³�Ã�ÑÎ�³�¹�Á�²�³�°�À
r∗ < ρ2(α, β) r ²�Â�¶J° 3α ≥ 4β
Ï�´�·p¼�Â�¶J·�¯�°�² Ì <�I�Í�¯�Ã�½�·�¶J³�µ�²�´�Â�µ"¾�¶�µS¯�Â�²�Ñ r∗ > 0
=
A Î�¼ Á�°�Èݯ�·;Î�ÈX·�±¿³�·�²u»�¹;Â�½�·%¶J·*±_²�³�°�²D´�·�Á�º�°á¯�²�´�¯%¶J²�³�°�µ
P0
½�·�·;´�³�·=<8²�³�°�ßmº ´�·�Á�º ¹;È
P1, P2, P3
Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�ÀQº�»�°�¯;·�À
B1
=JË1·�¾JÂ�´;¹;¯�°�ÈÐÎ�³�¹*Á�²�³�°�²
τ0
¯_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <%C�Í�Õ
α(β − 1)5r4
∗
+ (β − 1)2(β − α)2(3α2 + αβ − 8α + β + 3)r2
∗
+ (β − α)5 = 0. Ì <�J�Í
,XÂ�¶J°
1 > β > α
Ï�´�·_¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�J�Íj°�ÈX²�²�´p´�·%¶JÇ�º�·p·�¾J°�³¿¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�éÀS½�·%¶J·�±g°�´�²�¶JÇ�³�Ã�Àº ·�»�²�³�Ç
ρ3
=G,XÂ�¶J°
3/4 > α > β
Ï�´�·g½�»�°S¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�°�°"¾J·�½�·%¶J³�°�´�²�¶JÇ�³�·�¸�·g¼�Â�¶J·�¯�°�µ
9α2 + β2 + 6αβ − 30α + 6β + 9 ≥ 0 Ì�@;A Í
@ 9
úNM ONM%P ��Q�ý�û�ý§û�R
¼ »�¹;¯;³�²�³�°�² Ì <�J�Í×°�ÈX²�²�´U¾J¯�¹�¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�ÃZÑ¿½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ�³�Ã�Ñ¿º�·�»�³�µ ρ3, ρ
′
3
=3,XÂ�¶J°
β = α
Ï�´�·
¯�Â�²Vº�·�»�³�° Ì <�J�Í�»�¹;¯�³�à ³�¼*¶Jßw=JÜâ·�Â�´;¹�¶JÇ�³�Ã�ÑSÂ�¶�¼ Á�¹�µ�Ñ{¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì <�J�Í�Ï�»�¹%Î�»�²�<8²�³�³�·�²w·;´�³�·�Â�° Å´�²�¶JÇ;³�·
r∗
Ï�³�²V°�ÈX²�²�´p¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�Ã�ÑQº ·�»�³�²�ÀP=
�/´�·;Ô�Ãù³�¹;À�´�°Þ´�·�Á�º�°ÛÂ�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µÛº�»�°�¯�·�À
B1
Â�·�Â�´%¹;¯�°�Èd°�Î{½�»�¹;¯�Ã�ÑxÁ�¹;Â�´�²�À Ì <�<�ÍÄ1¼ ³�º�Æ�°�°PÏ Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3à8°�²
h2, h/g2,
°\½�»�°�»�¹%¯�³�µ�²�ÈÞÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ{÷�´�° Ñ\Ä1¼ ³�º�Æ�°�À{¯1¾J¯;¼�Ñ¿»�¹%Î�Å
¶J°�Á�³�Ã�Ñf´�·�Á�º ¹�Ñ
τ, τ
′ =PÜ�»�²�Î�¼*¶JÇ*´%¹%´�²g½�·%¶�¼ Á�°�È Â�°�Â�´�²�ÈH¼u°�Î8¾J¯;¼�Ñu½�·%¶J°�³�·�ÈX°�¹�¶JÇ�³�Ã�Ñf¼ »�¹;¯�³�²�ų�°�ÀÒ·;´D³�²�°�Î�¯�²�Â�´�³�Ã�Ñ
τ, τ
′ =6Ë1·�Â�¶J²{°�Â�º ¶Jß�Á�²�³�°�µ
τ
′ ½�·%¶�¼ Á�°�Èa·*¾J³�·f¼ »�¹;¯�³�²�³�°�²
ϕ2(τ) = 0
Ï
¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶�Ç�³�Ã�²U»�²�<8²�³�°�µSº�·;´�·�»�·�¸�·p·�½�»�²�¾J²�¶�µ�ß3´g¯�Â�²/´�·�Á�º�°SÂ�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µQÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�° Å
·�³�³�·;À¿º�»�°�¯�·;À
B1
=�Ë1·%¶J°�³�·�È
ϕ2(τ)
°�ÈX²�²�´wº�»�¹%´�³�Ã�²�º�·�»�³�°g´�·%¶JÇ�º�·V´�·�¸�¾�¹�Ï�º�·�¸}¾�¹V½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�Ã
α, r∗,
¼�¾J·�¯%¶J²�´�¯�·�»�µ�ß3à8°�²V¼�Â�¶J·�¯�°�µ�È Ì I�Í�Ï�Â�¯;µ�Î*¹;³�à Â�·�·;´�³�·=<8²�³�°�²�È Ì <�9�Í6¶J°�Ô�·pÂ�·�·;´�³�·=<8²�³�°�²�È
α(4 − 3α)5r8
∗
+ 2αc2r
6
∗
− 3c3r
4
∗
+ 2αc̃2r
2
∗
+ α2(4α − 3)5 = 0, Ì�@ <�Í
¸}¾J²V½�·%¶J°�³�·�ÈX°�¹�¶JÇ�³�Ã�²Uº�·�÷�ÄVÄV°�Æ�°�²�³�´�Ã�°�ÈX²�ß3´¿¯�° ¾
c2 = 17α6 − 228α5 + 5832α4 − 12240α3 + 8757α2 − 2664α + 528, c̃2 = α6c2(α
−1),
c3 = 9(α8 + 1) − 76(α6 + 1)α + 720(α4 + 1)α2 − 7536(α2 + 1)α3 + 13764α4.
*^¼ Á�²�´�·�ÈQ³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯
0 < α < 1
¼ »�¹;¯�³�²�³�°�² Ì�@ <�Í�°�ÈX²�²�´�·�¾J°�³/¾J²�À�Â�´�¯�°�´�²�¶JÇ�³�éÀw½�·%¶J·*±¿°�´�²�¶JÇ%ų�Ã�À¿º�·�»�²�³�Ç
ρ4
=�58¹�¶JÇ�³�²�À^<8°�À{¹%³�¹�¶J°�Î/½�·%¶J°�³�·�ÈX°�¹�¶JÇ�³�·�¸�·w¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ
ϕ2(τ) = 0
½�»�°�¯�·*¾J°�´8º
Â�¶J²�¾�¼ ß3à_°�ÈØ¼�´�¯;²�»�±p¾J²�³�°�µ�È�ÕJ²�Â�¶J°
α ∈ [3/4, 1),
´�·gº�»�°�¯�¹%µ
B1
³�²V°�ÈX²�²�´¿Â�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�À r²�Â�¶J°
α ∈ (0, 3/4)
°f¯�Ã�½�·%¶J³�²�³�Ãå¼�Â�¶J·�¯�°�µ
ρ4 < r∗ < ρ1,
´�·"º�»�°�¯�¹%µ
B1
°�ÈX²�²�´S·�¾J³�¼Q´�·�Á�º�¼
Â�¹%È6·;½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µ r ²�Â�¶J° α ∈ (0, 3/4)
°PÏHº�»�·�ÈX²{´�·�¸�·�Ï
r∗ < ρ4,
´�·Dº�»�°�¯�¹%µ
B1
°�ÈX²�²�´D´�»�°
´�·�Á�º�°SÂ�¹;ÈX·�½�²�»�²�Â�²�Á�²�³�°�µP=
� C1�j[×Ifq�q�®�nS®2NPI(o2®.X��J®�nj\+U2NPI(o2®2OJM2M�V���H®2I(]=U2I(T�T_C�,XÂ�¶J°ÛÆ�²�³�´�»ÛÈ6¹;Â�Âg´�²�¶�¹^½�»�° Å
³�¹�¾�¶J²�±¿°�´V¸}¶�¹;¯�³�·�À8·�Â�°_°�³�²�»�Æ�°�°PÏ;´�·1°�ÎZ»�²�Î�¼*¶JÇ*´;¹%´�·�¯�*�= H�= 7V¹%´�·�º"ô I�ö�Â�¶J²�¾�¼�²�´�Ï�Á�´�·/¯/÷�´�·�ÈDÂ�¶�¼�Å
Á�¹;²ZÂ�¼�à8²�Â�´�¯;¼ ß3´wÂ�²�ÈXÇ1´�°�½�·�¯VÔ;°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ8¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈu·�Ô;à8²�¸�·V½�·%¶J·*±p²�³�°�µP=�5w°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃ
Ñ�¹;»�¹;º�´�²�»�°�Î�¼�ß3´�Â�µpÎ�³�¹*Á�²�³�°�µ�È6°p½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯
α, β
°PÏ�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Ï�³�¹/½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�°
R
2(α, β)Â�¼�à8²�Â�´�¯;¼�ß3´8¾J¯;¼ ÈX²�»�³�Ã�²/·�Ô%¶�¹;Â�´�°PÏ�Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�ß3à8°�²/»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈÛ´�°�½�¹;ÈÞ¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=3�Uß�Ô�¹%µ
³�²�¯;Ã�»�·�±p¾J²�³�³�¹%µ{¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ6¹_È6·*±_²�´gÔ�ÃZ´�Çg·;´�³�²�Â�²�³�¹gºS·�¾J³�·�ÈH¼{°�ÎU÷�´�° ÑSÂ�²�ÈX°S´�°�½�·�¯�=
Ó2²�½�²�»�Ç8½�¼�Â�´�Ç_Æ�²�³�´�»{È6¹;Â�Â3´�²�¶�¹8³�¹�Ñ�·*¾J°�´�Â�µ{¯w¸�¶�¹;¯�³�·�À\½ ¶J·�Â�º�·�Â�´�°{°�³�²�»�Æ�°�°P=�Ë1»�°\¯�Ã�½�·%¶�Å
³�²�³�°�°"¼�Â�¶J·�¯�°�À Ì I�Í�·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç
D = {α, β : α < 1, α > β − 1, α > 1 − β}
Â�·;Â�´�·�°�´V°�Îj¾J·�½�¼�Â�´�°�ÈXÃZÑwÎ�³�¹�Á�²�³�°�À_½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯
α, β.
ÜD·�Ô%¶�¹;Â�´�°
D
¸}¶�¹;¯�³�Ã�²ZÈX·�ÈX²�³�´�ÃÒ°�³�²�» Å
Æ�°�°S¼�¾J·�¯%¶J²�´�¯�·�»�µ�ß3´{³�²�»�¹;¯�²�³�Â�´�¯�¹;ÈØ´�»�²�¼ ¸�·%¶JÇ�³�°�º ¹�=�,XÂ�¶J°Q¯�²�¶J°�Á�°�³�¹
r2
µ�¯%¶�µ�²�´�Â�µQÈ6¹�¶J·�ÀPÏ�´�·
¯�ÃZ»�·�±p¾J²�³�°�²/¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�½�»�·�°�Â}Ñ�·�¾J°�´¿³�¹pÈX³�·*±_²�Â�´�¯�²
R1 = {β = 1, α ∈ (0, 1)} ∪ {α = 3/4, β ∈ (1/4, 7/4)} ∪ {β = 3/4, α ∈ (1/4, 1)}∪
∪{α = β ∈ (1/2, 1)} ∪ {α =
(9 − 8β)
(5 − 4β)2
, β ∈ (β0, 3/4)} ∪ {β =
(9 − 8α)
(5 − 4α)2
, α ∈ (α0, 3/4)},
¸}¾J²
α0 = β0 ≈ 0.4647
=�ÙS³�·*±_²�Â�´�¯�·
R1
¾J²�¶J°�´Ò·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç
D
³�¹f¾J²�Â�µ�´�ÇÛ½�·�¾J·�Ô%¶�¹;Â�´�²�À Ì Â�È�=»�°�Â;= @ Ï6ò�Í1Âg»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈX°Þ´�°�½�¹;ÈX°ÞÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�ÑD¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈá·�Ô;à8²�¸�·^½�·%¶J·*±_²�³�°�µP=�,XÂ�¶J°¯�²�¶J°�Á�°�³�¹
r1
µ�¯%¶�µ�²�´�Â�µQÈ6¹�¶J·�ÀPÏ�´�·g½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�Ã
α, β,
½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±p¹%à8°�²UÈX³�·�±_²�Â�´�¯;¼
R2 = {α = β ∈ (1/2, 1)} ∪ {β = 1, α ∈ (0, 1)} ∪ {3α = 4β, β ∈ (3/7, 3/4)},
@ D
úHû�ü�ý§þ¨ÿ�������û��×ý���û
�þ� � ���ÿ���
�������
���������ý� ��
�����©ý§û����wü����©ý��
�þ� �ü��*ý ÿ��� �þ� �ü�ý�� �
Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼ ß3´"¯�Ã�»�·*±p¾J²�³�°�ßaÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=PÙS³�·*±_²�Â�´�¯�·
R2
»�¹%Î�Ô�°�¯�¹;²�´
D³�¹pÁ�²�´�Ã�»�²w½�·�¾J·�Ô%¶�¹;Â�´�° Ì Â�È�=�»�°�Â;= @ Ï."�Í�ÂV»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈX°S´�°�½�¹;ÈX°"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=*6¶�¼ Á�¹;À
r1r2r3 6= 0,
º ·�¸}¾�¹\Æ�²�³�´�»uÈ6¹;Â�Âw´�²�¶�¹{³�¹�Ñ�·*¾J°�´�Â�µu¯�Ô%¶J°�Î�°f¸}¶�¹;¯�³�·�Àf·�Â�°^°�³�²�»�Æ�°�°PÏ
»�¹;Â�Â�ÈX·;´�»�²�³Ò¯Ûôõ< @ ö�= A Â�Â�¶J²�¾J·�¯�¹;³�·fÔ�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�·�²\ÈX³�·�±_²�Â�´�¯�·�Ï2¯�º ¶Jß�Á�¹;ß3à8²�²¿¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃÁ�²�´�Ã�»�²�ÑS¯�° ¾J·�¯�=�Ë1»�°"÷�´�·�ÈÒ¾J·�½�¼�à8²�³�¹g³�²�´�·�Á�³�·�Â�´�Ç¿¯p·�½�°�Â�¹;³�°�°S¯�·;Î�ÈX·*±¿³�Ã�Ñ\´�°�½�·�¯gÈX³�·�¸�·�·�Ô%Å
»�¹%Î�°�À
Q3
h,g,Uh,g
Êp° Ñ\·�º ¹%Î*¹�¶J·�Â�Ç_ÈX²�³�Ç=<8²;Ï�Á�²�ÈЯ8½�»�²�¾J²�¶JÇ�³�·�ÈÐÂ�¶�¼ Á�¹;²;Ï�»�¹;Â�Â�ÈX·;´�»�²�³�³�·;È�¯{ô I�ö�=
sV¹;½�»�°�ÈX²�»PÏ�³�¹/»�°�Â;= @ Ï��w¯1»�¹;Ô�·;´�²Vôõ< @ ö�·;´�ÈX²�Á�²�³�¹1´�»�²�¼ ¸�·%¶JÇ�³�¹%µg·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç�Ï�·�¸�»�¹;³�°�Á�²�³�³�¹%µp¯�²�´�¯;µ ÅÈX°����%�� �¡�����¢� �¡��¤£�¥� %ÏPº�·;´�·�»�·�Àf¾J·%¶�±¿³�ÃåÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯�·�¯�¹%´�ÇQ³�²�¾J·�Â�´%¹;ß3à_°�²p´�°�½�Ã,ÈX³�·�¸�·�·�Ô�»�¹%Î�°�À
Q3
h,g = S3 ∪ (S1 × S2), Uh,g = D2 ∪ (D1 × S1).Ë1»�°pÄV°�º�Â�°�»�·�¯�¹;³�³�Ã�Ñ_Î�³�¹�Á�²�³�°�µ Ñp½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·�¯
α, β
½�·%¶�¼ Á�°�ÈD·�¾J³�·�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�°�Á�²�Â�º�·�²3Â�²�Å
ÈX²�À�Â�´�¯�·"Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ^¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ©Ï�Î*¹;¯�°�Â�µ�à8° Ñf·;´
r∗ ∈ (0,∞)
=+* °�Î�ÈX²�³�²�³�°�²�È
r∗
¾J°�¹�Å
¸�»�¹;ÈXÈXÃÒÔ;¼�¾�¼�´V³�²�½�»�²�»�Ã�¯�³�·�¾J²�ÄV·�»�ÈX°�»�·�¯�¹%´�Ç�Â�µw¾J·3´�²�Ñ_½�·;»PÏ%½�·�º�¹
r∗
³�²6¾J·�Â�´�°�¸�³�²�´V³�²�º ·;´�·�»�·�Å
¸�·_º�»�°�´�°�Á�²�Â�º ·�¸�·_Î�³�¹*Á�²�³�°�µ
ρi
=�Ë1»�°\÷�´�·�ÈЯ�Â�²/º ¹*Á�²�Â�´�¯�²�³�³�·p»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�²/¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃ1Ï�·;´�¯�²�Á�¹�Å
ß3à8°�²�¯�Ã�Ô�»�¹;³�³�Ã�ÈDÎ�³�¹�Á�²�³�°�µ�È
α, β,
·�Ô�»�¹%Î�¼ ß3´8º�·�³�²�Á�³�¼ ß ½�·�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Â�´�Ç�=�ÙS³�·*±_²�Â�´�¯�·
R1 ∪ R2
¾J²�¶J°�´S·�Ô%¶�¹;Â�´�Ç
D
³�¹{½�·�¾J·�Ô%¶�¹;Â�´�°
1 − 12 Ì Â�È�=P»�°�Â;= @ ÏHì*Í3Â_»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�ÈX°D´�°�½�¹;ÈX°½�·�Â�¶J²�¾J·�¯�¹%´�²�¶JÇ�³�·�Â�´�²�À^Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�Ñ{¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=
t�u R1 ∪ R2 ⊂ D v u R1 ⊂ D, r∗ → 0 w u R2 ⊂ D, r∗ → ∞
xG��yKM ¦�M�§.�K�=�%y�ü��
D
�� K��} y�ü�� �(��¨©
�û=����ý§û���ª©�=�}ÿ�����ý}ü¨ÿ3 K�
α, β
M
Ë1»�°U½�²�»�²�Â�´�»�·�À�º ¹�ÑwÈX³�·*±p²�Â�´�¯�¹
Σ
³�¹©º�»�°�¯�Ã�Ñ
B1, B2
½�·*µ�¯%¶�µ�ß3´�Â�µw³�·;¯�Ã�²j·�Â�·�Ô�Ã�²X´�·�Á�º�°P=
Ür÷�´�·�ÈcÂ�¶�¼ Á�¹;²Q½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�Ã
α, β, r∗
½�»�°�³�¹�¾�¶J²�±p¹%´Þ³�²�º ·;´�·�»�·�ÀоJ¯;¼ ÈX²�»�³�·�Àؽ�·�¯�²�»�Ñ�³�·�Â�´�°â¯
½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²
R
3(α, β, r∗)
=6Ë1»�°�È6¹�¶J·�Èa¯�·;Î�ÈH¼�à8²�³�°�°Ø´%¹;º�°�²Q·�Â�·�Ô�Ã�²"´�·�Á�º�°Ø°�Â�Á�²�Î*¹;ß3´Þ° ¶J°
ÈX²�³�µ�ß3´¿Â�¯�·�À"´�°�½PÏ�¹_¯�ÈX²�Â�´�²UÂ1´�²�È�¯�° ¾S¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃ
Σ
º ¹*Á�²�Â�´�¯�²�³�³�·¿°�Î�ÈX²�³�µ�²�´�Â�µP=
Ü�Ã�»�·�±p¾J²�³�°�²"Ô�°�Ä1¼ »�º�¹;Æ�°�·�³�³�ÃjÑÒ¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈa½�»�·�°�Â}Ñ�·�¾J°�´�Ïj³�¹;½�»�°�ÈX²�»PÏX¯D·�Â�²�Â�°�ÈXÈX²�´�»�°�Á�Å
³�Ã�ÑQÂ�¶�¼ Á�¹%µ Ñ
α = β
°
β = 1,
º�·�¸�¾�¹gº�»�°�¯�¹%µ
B2
°�Â�Á�²�Î*¹;²�´%ÏP¹_´�·�Á�º ¹¿¯�²�´�¯%¶J²�³�°�µ
P0
¼�Ñ�·�¾J°�´
³�¹VÔ�²�Â�º ·�³�²�Á�³�·�Â�´�Ç�=^*j¼�à8²�Â�´�¯;¼ ß3´8°_¾J»�¼ ¸�°�²©Â�¶�¼ Á�¹;°¿¯�Ã�»�·*±p¾J²�³�°�µ8¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=�*�ÄV·�»�ÈH¼*¶J°�»�¼�²�È
·�Â�³�·�¯�³�Ã�²�½�»�°�Î�³�¹;º�°PÏ »�¹%Î�¾J²�¶�µ�ß3à8°�²/Ô�°�Ä1¼ »�º ¹;Æ�°�·�³�³�Ã�²©¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈXÃ1Ï�°g¼ º ¹%±_²�ÈÞÂ�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�Å
ß3à8°�²�½�·;¯�²�»�Ñ�³�·�Â�´�°8¯©½�»�·�Â�´�»�¹;³�Â�´�¯�²�½�¹;»�¹;ÈX²�´�»�·;¯
R
3(α, β, r∗)
¯3¯�° ¾J²6Ä1¼ ³�º�Æ�°�°
r∗ = ρi(α, β)
Õ
<�=
r∗ = ρ1
Ê¿½�·�µ�¯%¶J²�³�°�²V½�¹;»�à ·�Â�·�Ô�Ã�Ñ{´�·�Á�²�º
P2, P3
³�¹pº�»�°�¯�·�À
B1 r
@ = r∗ = ρ2
Ê¿½�·�µ�¯%¶J²�³�°�²V·�Â�·�Ô�·�À{´�·�Á�º�°
P4
³�¹_º�»�°�¯�·�À
B2 r
:�=
r∗ = ρ3, r∗ = ρ
′
3
Ê
P0
Â�·;¯�½�¹�¾�¹;²�´¿ÂV·�¾J³�·�ÀS°�ÎU·�Â�·�Ô�Ã�Ñ{´�·�Á�²�º
P1, P2, P3
º�»�°�¯�·�À
B1 r
C�=
r∗ = ρ4
Ê¿·�Â�·�Ô�¹%µ{´�·�Á�º�¹
P2
½�·�½�¹�¾�¹;²�´g³�¹8¾J»�¼ ¸�¼ ßå¯�²�´�¯�Çgº�»�°�¯�·�À
B1 r
9 =
r∗ = ρ5, r∗ = ρ
′
5
Ê¿º�»�°�¯�¹%µ
B1
½�²�»�²�Â�²�º ¹;²�´\º�»�°�¯;¼ ß
B2
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r∗ = ρ6, r∗ = ρ
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6
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B1 r
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r∗ = ρ8, r∗ = ρ
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8
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8
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f1 = α(4 − 3α)5r4
∗
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2
∗
+ (4α − 3)5,
f2 = (1 − β)2(4β − 3α)r2
∗
+ (α − β)2(4β − 3),
f3 = α(β − 1)5r4
∗
+ (β − 1)2(β − α)2(3α2 + αβ − 8α + β + 3)r2
∗
+ (β − α)5,
f4 = α(4 − 3α)5r8
∗
+ 2αc2r
6
∗
− 3c3r
4
∗
+ 2αc̃2r
2
∗
+ α2(4α − 3)5,
f5 = (1 − β)3c2
4
r4
∗
+ (1 − β)(β − α)c5r
2
∗
+ (α − β)3c̃2
4
,
f6 = α2(1 − β)12c2
7
r12
∗
+ 2α(1 − β)10(α − β)2c8r
10
∗
+ α(1 − β)8(α − β)4c9r
8
∗
+
+4(1 − β)6(α − β)6c10r
6
∗
+ (1 − β)4(α − β)8c̃9r
4
∗
+ 2(1 − β)2(α − β)10c̃8r
2
∗
+ (α − β)12c̃2
7
,
f7 = α2β(β − 1)4c3
12
r8
∗
+ 4α2(α − β)(β − 1)3c13r
6
∗
+ α(α − β)2(β − 1)2c14r
4
∗
+
+4α(α − β)3(β − 1)c̃13r
2
∗
+ β(α − β)4c̃3
12
,
f8 = α3(β − 1)5c2
12
c3
16
r10
∗
+ α2(β − 1)3c17r
8
∗
+ 2α(α − β)(β − 1)2c18r
6
∗
+
+2(α − β)2(β − 1)c̃18r
4
∗
+ (α − β)3c̃17r
2
∗
+ (α − β)5c̃2
12
c̃3
16
,¸}¾J²
c4 = 8α2β + α2 − 16αβ2 − 8αβ + 16β2, c̃4 = α3c4(α
−1, βα−1),
c5 = c6(α, β) + α7c6(α
−1, βα−1), c6 = 512(1 − α)β5 + 512(α − 1)β4−
−32(13α + 2)(α − 1)β3 + 48α(α − 1)β2 − α2(11α − 12)β − α3,
c7 = 16β2 + 8α(α − 5)β + α2(25 − 9α), c̃7 = α3c7(α
−1, βα−1),
c8 = 768β4α + 128(5α3 − 25α2 − 5α + 1)β3 + 16α(6α4 − 107α3+
+258α2 + 161α − 30)β2 − 8α2(18α4 − 165α3 + 185α2 + 421α − 75)β+
+α3(54α4 − 261α3 − 210α2 + 1435α − 250), c̃8 = α7c8(α
−1, βα−1),
c9 = 3840β4α + 1280(2α3 − 10α2 − 5α + 1)β3+
+32(6α5 − 147α4 + 294α3 + 644α2 − 57α − 20)β2−
−16α(9α5 − 120α4 − 114α3 + 1143α2 + 151α − 109)β+
+α2(144α4 − 2337α3 + 4290α2 + 2815α − 1072), c̃9 = α7c9(α
−1, βα−1),
c10 = c11(α, β) + α8c11(α
−1, βα−1), c11 = 640β4α2 + 640α(1 − 5α)β3+
+8(483α3 + 84α2 − 89α + 2)β2 + 4α(283α + 25 − 948α2)β + 1065α4 − 291α3 − 134α2,
c12 = α2β + 8α2 − 8αβ − 16α + 16β, c̃12 = α3c12(α
−1, βα−1),
c13 = 9(4α2 − 5α + 4)(α− 4)3β4 − 2(α− 4)(32α5 − 55α4 + 575α3 − 1076α2 + 784α + 64)β3+
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+96α(2α5 − 6α4 − 41α3 + 91α2 − 48α − 16)β2 − 96α2(2α4 − 21α3 + 29α2 − 16)β+
+64α3(α − 2)3, c14 = c15(α, β) + α10c15(α
−1, βα−1),
c15 = (15779α3 − 20280α2 + 6816α − 128)β4 + 4(α + 1)(1403α3 − 1332α2 − 864α + 64)β3−
−192α(84α3 − 61α2 − 54α +4)β2 +128α2(α +1)(76α2 − 89α +6)β − 256α3(12α2 − 14α +1).71·�÷�ÄVÄV°�Æ�°�²�³�´�Ã�¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ
f8 = 0
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³�Ã�²Uº�·�÷�ÄVÄV°�Æ�°�²�³�´�Ã
c1, c2, c̃2, c3
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ρ1 ρ2 ρ3 ρ
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3
ρ4 ρ5 ρ
′
5
ρ6 ρ
′
6
ρ7 ρ8 ρ
′
8
ρ
′′
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− + − − − − − − − − − − −°
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+ − − − + − − − − − − − −³
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+ + + + + < ρ2 ± + + < ρ1,2 + ± ±¬�¬
+ + + − + − − − − − < ρ6 − −¬K
+ + + − + − − ± ± − < ρ6 + −
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¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ
fi = 0
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α, β, r∗
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r∗ = ρi
¼ »�¹;¯�³�²�³�°�µ
fi = 0
Â�¼�à8²�Â�´�¯;¼�²�´Ø´�·%¶JÇ�º�·Ð¯Ð³�²�º ·%´�·�»�·�ÀáÁ�¹;Â�´�° ·;´�ÈX²�Á�²�³�³�·�Àá·�Ô%¶�¹�Å
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1 > α > β
Â�·�·;´�¯�²�´�Â�´�¯;¼�ß3´g¾J¯�¹�¾JÆ�¹%´�Ç%¾J²�¯;µ�´�Ç¿º ¹*Á�²�Â�´�¯�²�³�³�·¿»�¹%Î�¶J°�Á�³�Ã�Ñ"¾J°�¹;¸�»�¹;ÈXÈ�=
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| spelling | Гашененко, И.Н. 2017-09-09T05:39:53Z 2017-09-09T05:39:53Z 2003 Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 20-32. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123712 531.38 В задаче Эйлера о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки изучаются трехмерные алгебраические поверхности интегральных уровней и их топологические бифуркации. В предположении, что центр масс тела лежит в главной плоскости инерции, исследовано трехпараметрическое семейство бифуркационных диаграмм и составлен полный список неособых интегральных многообразий. Обсуждаются вопросы устойчивости равномерных вращений тела вокруг вертикали. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела Article published earlier |
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