Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для двух семейств частных периодических решений, полученных В.А. Стекловым и С.А. Чаплыгиным. Изучена структура фазового пространства в окрестности этих решений. В пространстве параметров определены области динамич...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123713 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина / Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860190288388030464 |
|---|---|
| author | Кучер, Е.Ю. |
| author_facet | Кучер, Е.Ю. |
| citation_txt | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина / Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для двух семейств частных периодических решений, полученных В.А. Стекловым и С.А. Чаплыгиным. Изучена структура фазового пространства в окрестности этих решений. В пространстве параметров определены области динамической неустойчивости движения. Для типичных значений параметров приведены результаты компьютерного моделирования.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:06:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
��������� ��
�������
���
�������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)�
�-
�� � �!�/.10324�5� �
687:9<;>=�?�@ =�A
B© C>D�D =�@
E:FHGIFKJML)NPO�Q
R#SUTVSMJXWYE1TYZ\[:W]Z_^_EY[:J_Z_Ea`\bcJXS#d8SeWYE1fgZ
`_E1T]Z\b3hiZX^_EY[:J_Z_RjTYE1klE3mXZXno[:WYE3J_fpbcqrSsZo^XSM`_fgtau8ZXmXS
v�w)x�y&z|{&}�~�w������+��������}�{&y]�K������~������5{&y�~�}�����y���������~�~����]z�y&z���}��
w����&����~�}�~�y��]�������
���8}�~�~��������&��y+��}�~�y+�]��{���&������z�}��
}��&z����4x&��z���~�w��P��}���y����&y�x�}�z���y+�K��}��8}�~�y���������{&��x�}�~�~�w��KvK� ¡�£¢¤��}��+{&����w¥�¦y�¢4� ¡�¨§����+{&w)��y�~�w¥����©K����ªx�}�~&�8z��������������&�¡«��������������K������z����&��~&z��������¡������}�z���~���z���y5¬���y+���}��8}�~�y�����vc������z����&��~&z�����}¥�&���&���
}��������¡������}�ª�&}�{&}�~�wg��®�{>��z���y��&y�~&���
y�x�}�z������1~�}���z�������x�y�����z���y¦�&��y+�8}�~�y+���+¯�{��1��y���y�x�~�w��1��~&��x�}�~�y��1�&�������
}������������y���}�ª�&}�~�wX��}�����{&°��±����w_�����
��°�²4��}���~�������
���&}�{&y���������~�y+���
q:³�O�´KO�µP¶4O�F�·K¸>¹�¹�º¡¸&»�¼
½
¾�¸>¿�º�À5¿Á¾U¤¸>Ã
Ã
Ä�Å�¼!¸>Æ�Ä>»�¿ÈÇ!¸>¹�»�Ã
À¿Á¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê�Ä>»�Ã
Ä�¹±Ê�»�¹�Ê�Ë�¹�Ì!Í�Î
Ç!¸>Ï]Ð¤Ë Ä�Ñ�¤¸ÁÒ
¿�Ã�»�¼\º¡¸>¹�¹Y»�¿�̤¸UÃ!¸�Ó�Ä�Â�½�»�¹±Ê\Ã!¸cÄ+Â�Ã
Ä�ÅX½�ÔrÑ�̤¸>¾�Ã
À�ÓgÄ�¹�¿�Åg½
Ã
¿�¼
Ò
½
½�@�ÕPÄ�Ñ�¤¸ÈÍ ¼!¸>¾&Î
Ã
¿�Ã
½�Ê\Ö�Å Ì�¿�¼!¸�Î�×1Í�¸>¹�¹�Ä�Ã!¸c½
º�¿�Ï�»c¾�½ Â
A1ω̇1 = (A2 − A3)ω2ω3, A2ω̇2 = (A3 − A1)ω3ω1 − ν3, A3ω̇3 = (A1 − A2)ω1ω2 + ν2, Ø ?�Ù
ν̇1 = ω3ν2 − ω2ν3, ν̇2 = ω1ν3 − ω3ν1, ν̇3 = ω2ν1 − ω1ν2, بC ÙÑ�Â�¿
ωi
Î¤Ë Ä�º�Ú
Ä�Ã
¿�Ã�»�À�Í Ñ�Ì�Ä�¾�Ä�ÅY¹�Ë�Ä�¼
Ä�¹�»�½]»�¿�̤¸�Ð
νi
Î�Ë�Ä�º�Ú
Ä�Ã
¿�Ã�»�ÀÛ¿�Â�½
Ã
½
Ç
Ã
Ä�Ñ�Ħ¾�¿�Ë�»�Ä�¼!¸�Ã!¸>Ú
¼!¸>¾&Î
Ì�¿�Ã
½�ÊY¹�½ Ì�À�»+Ê�Ür¿�¹�»�½�Ð
Ai
ΤÑ�̤¸>¾>Ã
À¿8º�Ä�º�¿�Ã�»�À�½
Ã
¿�¼
Ò
½
½e»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Ä5»�¿�̤¸�Ð�Â�½
ÝeÝe¿�¼
¿�Ã
Ò
½
¼
Ä�¾�¸>Ã
½
¿
Ú
Äc¾�¼
¿�º�¿�Ã
½_Ä�Æ�Ä>Ô�Ã!¸�Ç
¿�Ã
Är»�Ä�Ç
Ë Ä>Å�@!61¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê Ø ?�Ù�РبC Ù¡Â�Ä�Ú�Í�¹�Ë ¸>Ï�»ÁÚ
¿�¼
¾�À¿Y½
Ã�»�¿�Ñ�¼!¸�Ì�À
1
2
(A1ω
2
1
+ A2ω
2
2
+ A3ω
2
3
) − ν1 = h,
A1ω1ν1 + A2ω2ν2 + A3ω3ν3 = g, ν2
1
+ ν2
2
+ ν2
3
= 1.
Ø =�Ù
×3Ä�¹�Ì�¿�Â�Ã
½
¿ C ; D Ì�¿�»pÔ+¸�¤¸+Ç!¸pÄgÂ�¾�½�Ür¿�Ã
½
½Û»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Äp»�¿�̤¸p¾�Ä�Ë
¼�Í Ñ#Ã
¿�Ú
Ä+Â�¾�½�ÜÁÃ
Ä�ÅÛ»�Ä�Ç
Ë
½Ú
¼
½
¾&Ì�¿�Ë�¸�̤¸Y¾�Ã
½
º¡¸>Ã
½
¿�º�Ã
Ä�Ñ�½ Óc¾�À�¤¸>Ï�Þ:½ Ó�¹±ÊUº¡¸&»�¿�º¡¸&»�½
Ë�Ä�¾:½cº�¿�Ó ¸&Ã
½
Ë Ä�¾
Ð�Ú
ÀV»&¸>¾>É:½ Ó�¹�ÊUÚ
¼
Ä&Î
½
Ã�»�¿�Ñ�¼!½
¼
Ä�¾�¸&»�ßÈÂ�½
Ã!¸>º�½
Ç
¿�¹�Ë
½
¿YÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê\Ö�Å Ì�¿�¼!¸�Ð!Ã
ÄÈ»�Ä&Ì�ß�Ë�ÄÈ»�¼
½_½
Ã�»�¿�Ñ�¼!½
¼�Í�¿�º�À�ÓX¹�Ì!Í Ç!¸&Ê
Ø Í Ë�¸&Ô+¸>Ã
Ã
À¿:Ö�Å Ì�¿�¼
Ä�ºÐ!à]¸>Ñ�¼!¸>Ã�Ür¿�º�½X93Ä�¾�¸�Ì�¿�¾�¹�Ë Ä�Å�Ù�½_Ã
¿�¹�Ë Ä&Ì�ß�Ë�Äc¹�¿�º�¿�Å
¹�»�¾ÁÇ!¸>¹�»�Ã
À�ÓX¼
¿�É:¿�ÎÃ
½
ÅrÆ�À�Ì�½:Ã!¸>Å Â�¿�Ã
ÀÛÔ+¸¦¾�¹�¿�á�»�Ä1¾�¼
¿�ºKÊ�@&â¦Ã!¸�Ì�½�»�½
Ç
¿�¹�Ë Ä�¿Ä�Ú
½
¹�¸&Ã
½
¿VÇ!¸>¹�»�Ã
À�Ór¼
¿�É:¿�Ã
½
Å�Ð�¸5»&¸>Ë�ÜÈ¿
¼
¿�Ô�Í+Ì�ß+»>¸&»�ÀãË ¸�Ç
¿�¹�»�¾�¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�Ä]½�Ô�Í Ç
¿�Ã
½�ÊÈÂ�¾�½�ÜÈ¿�Ã
½
År»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Äe»�¿�̤¸Yº�¿�»�Ä�Â�Ä�º�Ñ�Ä�Â�Ä�Ñ�¼!¸>ÝeÄ�¾e½�Ô�Ì�Ä&Î
ÜÈ¿�Ã
Àä¾cº�Ä�Ã
Ä�Ñ�¼!¸>Ýe½�Ê ÓiåH?�Ð C�æ @çèÃ!¸>¹�»�Ä+Ê�Þ:¿�ÅU¼!¸>Æ�Ä>»�¿5Ú
¼
Ä+Â�Ä&Ì!Ür¿�Ã
ÄYÃ!¸+Ç!¸&»�Ä�¿�¾Áå =�Î�; æ ½
¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>Ã
½
¿¦Ú
Ä�¾�¿�Â�¿�Ã
½�ÊÁ¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à ÎÃ
À�ÓÈ»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼
½!ÅU¾eÄ�Ë
¼
¿�¹�»�Ã
Ä�¹�»�½U½�Ô�¾�¿�¹�»�Ã
À�ÓUÇ!¸>¹�»�Ã
À�ÓÁ¼
¿�É:¿�Ã
½
ÅUË Ì¤¸>¹�¹�½
Ç
¿�¹�Ë�Ä�ÅÁÔ+¸�¤¸+Ç
½�Ð�º�¿�»�Ä&Î
Â�Ä�ºä¹�¿�Ç
¿�Ã
½
Å�×1Í�¸>Ã
Ë ¸>¼
¿r½
¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>Ã
Àé»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½i¾�Æ&Ì�½�Ô�½pÚ
¿�¼
½
Ä�Â�½
Ç
¿�¹�Ë
½ Ói¼
¿�É:¿�Ã
½
Å�ê8»�¿�Ë Î
Ì�Ä�¾�¸:½_ëe¸>Ú Ì�ÀÑ�½
Ã!¸�Ð!¾�ÀÇ
½
¹�Ì�¿�Ã
ÀìÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½!Ç
¿�¹�Ë!½
¿eÚ
Ä�Ë�¸�Ô+¸&»�¿�Ì�½#Í ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½
Å_¾r¾�¸>¼
½!¸>Ò
½�Ê Ó
Â
Ì!Êãá�»�½ Ó�Â�¾>Í�Óí¹�¿�º�¿�Å
¹�»�¾îÇ!¸>¹�»�Ã
À�Óã¼
¿�É:¿�Ã
½
Åä½íÚ
¼
Ä�¾�¿�Â�¿�Ã
Àï¸>Ã!¸�Ì�½�»�½
Ç
¿�¹�Ë
½
¿p½
¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>Ã
½�Ê
Ú
¼
Ä�¹�»�¿�Å�Ér½ ÓXÚ
¼
¿�Â�¿�Ì�ß�Ã
À�ÓX¹�Ì!Í Ç!¸>¿�¾
@
ð FÁ`_ñ�ò�ó�ô�ó
õ
O�öP¶÷f_ø)ù¥L)µ4ñ�³�ó�F]ê8Ä�¹�»>¸>¾�½
ºúÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½
¿i¾è¾�¸>¼
½!¸>Ò
½�Ê ÓíÂ
Ì!Ê
2π
Î|Ú
¿�¼
½
Ä�Â�½ Î
Ç
¿�¹�Ë Ä�Ñ�Äc¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê
ω = ω
∗(t), ν = ν
∗(t)¹�½
¹�»�¿�º¡À Ø ?�Ù�РبC Ù�Ð4Ú
Ä&̤¸>Ñ�¸&ÊÛ¾g¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�º�Â�¾�½�ÜÈ¿�Ã
½
½ ωi = ω∗
i + δωi, νi = ν∗
i + δνi,
Ñ�Â�¿
i = 1, 2, 3
@!7:¸�Ì�¿�¿]Ä�Æ�Ä>Ô�Ã!¸�Ç
½
º
x = (δω, δν)T
@�û�¸>Ú
½�É:¿�º�Ì�½
Ã
¿�¸>¼
½�Ô�Ä�¾�¸>Ã
Ã�Í ÏaÄ>»�Ã
Ä�¹�½�»�¿�Ì�ß�Ã
Ä
x¹�½
¹�»�¿�º�ÍMÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½
ÅX¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�ÄÈÂ�¾�½�Ür¿�Ã
½�Ê�ü
ẋ = A(t)x, Øþý Ù
=>=
ÿ�� ������� ��
�
Ñ�Â�¿¡Ë�Ä�á�ÝeÝe½
Ò
½
¿�Ã�»�À�º8¸�»�¼
½
Ò
À A(t)
Ê
¾&Ì!Ê
Ï�»�¹�ÊYÚ
¿�¼
½
Ä&Â�½
Ç
¿�¹�Ë
½
º�½]Ý3Í Ã
Ë
Ò
½�Ê
º�½Y½�Ð+¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß&Î
Ã
Ä
Ð�Â
Ì!ÊȾ�¹�¿�Ó
t
¾�ÀÚ
Ä&Ì�Ã�Ê
¿�»�¹�Êc¼!¸>¾�¿�Ã
¹�»�¾�Ä A(t) = A(t+2π). � ¸&»�¼
½
Ò!¸ X(t)
Ý3Í Ã Â¤¸>º�¿�Ã�»&¸�Ì�ß�Ã
Ä�Å
¹�½
¹�»�¿�º�À ¼
¿�É:¿�Ã
½
ÅXÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê Øþý Ù�Í�Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê
¿�»U¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:½
ºã¹�Ä�Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½�Ê
ºü
X(0) = E, X(t + 2π) = X(t)X(2π), detX(t) = 1, Ø ;�Ù
Ñ�Â�¿
E � ¿�Â�½
Ã
½
Ç
Ã!¸&Ê캡¸&»�¼
½
Ò!¸�É:¿�¹�»�Ä�Ñ�ÄèÚ
Ä�¼�Ê Â�Ë�¸�@ � ¸&»�¼
½
Ò!¸ X(2π)
Ã!¸&Ô�À¾�¸>¿�»�¹�Ê亡¸&»�¼
½
Ò
¿�Å
º�Ä�Ã
Ä�Â�¼
Ä�º�½
½�Ф¸c¿�¿]¹�Ä�Æ�¹�»�¾�¿�Ã
Ã
À¿:Ô�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�Ê � ºKÍ+Ì�ß+»�½
Ú Ì�½
Ë�¸&»�Ä�¼!¸>º�½gÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê Øþý Ù�@ � Í+Ì�ß>»�½ ÎÚ Ì�½
Ë ¸&»�Ä�¼
À Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê
Ï�»ÈÓ ¸>¼!¸&Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½
Ç
¿�¹�Ë�Ä�ºKÍ#Í ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½
Ï
det [X(2π) − ρE] = 0. Ø
� Ù
×1Í�¹�»�ß
ρ1, ..., ρ6 � ºKÍ+Ì�ß+»�½
Ú Ì�½
Ë�¸&»�Ä�¼
ÀéÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê\¾U¾�¸>¼
½!¸>Ò
½�Ê Ó Øþý Ù�Ð�»�Ä�Ñ�¤¸cÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½
Ç
¿�ι�Ë
½
¿eÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½Xá�»�Ä�Ñ�ÄcÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê_¾�ÀÇ
½
¹�Ì!Ê
Ï�»�¹±ÊXÚ
ÄcÝeÄ>¼
º�Í�̤¸>ºü
λi =
1
2π
ln ρi, i = 1, ..., 6. Ø�� Ù
û�¸>º�¿�»�½
ºÐ�Ç�»�Ä�¾i¼!¸>¹�¹�º¡¸&»�¼
½
¾�¸>¿�º�Ä�ÅíÚ
Ä�¹�»&¸>Ã
Ä�¾�Ë�¿_¹�½
¹�»�¿�º¡¸�Ú
¿�¼
¾�Ä�Ñ�ÄiÚ
¼
½
Æ&Ì�½�ÜÈ¿�Ã
½�ÊîÊ
¾&Ì!Ê
¿�»�¹�Ê
Ú
¼!¸>¾>½ Ì�ß�Ã
Ä�Åi½�Ð)Ë
¼
Ä�º�¿r»�Ä�Ñ�Ä
Ð)Í ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½
¿ Øþý Ù¦½
º�¿�¿�»XÃ
¿Èº�¿�Ã
¿�¿cÇ
¿�»�À¼
¿�Ó�Ã�Í�Ì�¿�¾�À�ÓpÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½ ι�»�½
Ç
¿�¹�Ë
½ ÓíÚ
Ä�Ë�¸&Ô+¸&»�¿�Ì�¿�Åã½�ÔXÉ:¿�¹�»�½/å �&æ @8·P¸&Ô�Ì�½
Ç
Ã
À¿gº�¿�»�Ä�Â�À Í Ú
¼
Ä>Þ:¿�Ã
½�Êã¹�½
¹�»�¿�º�À Øþý Ù:¼!¸>¹�ι�º�Ä>»�¼
¿�Ã
À�¾È¼!¸>Æ�Ä>»>¸�Óiå =�Ð ý Ð �&æ @� F¤[Yö4L)N4ó���qUF SgF�[]õ
O�ò¥öPñ�³�ó�F ç�?+A�����ѱ@&Ú
Ä+Ê
¾�½ ̤¸>¹�ß1Ã
¿�Æ�Ä&Ì�ß>Ér¸&Ê]Ô+¸>º�¿�»�Ë ¸eç¦@ â]@ ê8»�¿�Ë�Ì�Ä�¾�¸�Ð
¾UË�Ä>»�Ä�¼
Ä�Å\Ä�Ã\Ú
¼
¿�Â
Ì�Ä+ÜÁ½ ÌiÃ
Ä�¾�Ä�¿]¼
¿�É:¿�Ã
½
¿>@��1Æ>Ô�Ä�¼\¼!¸&Æ�Ä>»�Ð�¹�¾>Ê�Ô+¸>Ã
Ã
À�Ó\¹:Ú
¿�¼
¿�Ä>»�Ë
¼
ÀV»�½
¿�ºä¼
¿�Î
É:¿�Ã
½�Êcê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�Ð>½
º�¿�¿�»�¹±Êr¾rå C Ð ��æ @>×1Í�¹�»�ß3º�Ä�º�¿�Ã�»�Àè½
Ã
¿�¼
Ò
½
½rÚ
Ä+Â�Ç
½
Ã
¿�Ã
Àî¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þr¿�ºKÍ:Í�¹�Ì�Ä&ξ�½
ÏYü
(2A2 − A1)(2A3 − A1) < 0
@�ç�¾�¿�Â�¿�º�Æ�¿�Ô�¼!¸&Ô�º�¿�¼
Ã
À¿]Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
À
α = A2/A1, β = A3/A1.
·4¿�É:¿�Ã
½
¿rê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸ÈÄ�Ú
¼
¿�Â�¿�Ì�¿�Ã
ÄÁ¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þr½
º�½g¸�Ì�Ñ�¿�Æ�¼!¸>½
Ç
¿�¹�Ë
½
º�½g¹�Ä�Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½�Ê
º�½
ω2
2
= a0 + a1ω
2
1
, ω2
3
= b0 + b1ω
2
1
,
ν1 = ζ0 + ζ1ω
2
1
, ν2 = η0ω1ω2, ν3 = ξ0ω1ω3.
Ø A�Ù
×3Ä>¹�»�Ä�Ê
Ã
Ã
À¿�Ë�Ä�á�ÝeÝe½
Ò
½
¿�Ã�»�À
a0, a1, b0, b1, ζ0, ζ1, η0, ξ0
Ô+¸>¾�½
¹�Ê�»íÄ>»îÂ�¾>Í�Ó Æ�¿�Ô�¼!¸&Ô�º�¿�¼
Ã
À�Ó
Ú!¸>¼!¸&º¡¿�»�¼
Ä�¾
α, β
ü
a0 =
(1 − 2β) ε
(α − β)(1 − α)(1 − β)
, a1 =
(β − 1)
(2α − 1)(α − β)
, ε = ±1,
b0 =
(2α − 1) ε
(α − β)(1 − α)(1 − β)
, b1 =
α − 1
(1 − 2β)(α − β)
, ζ0 = ε,
ζ1 =
(1 − α)(1 − β)
(1 − 2α)(1 − 2β)
, η0 = ζ1(2α − 1), ξ0 = ζ1(2β − 1).
×3¼
½ã¾�ÀÚ
Ä&Ì�Ã
¿�Ã
½
½äÃ
¿�¼!¸&¾�¿�Ã
¹�»�¾
β + 1 > α > 1 > 2β
Ú
Ä&Ì�Ä+ÜÁ½
º
ε = −1,
¸�Ú
¼
½ã¾�ÀÚ
Ä&Ì
Î
Ã
¿�Ã
½
½
1/2 > β > 1 − α > 0
Ú�Í�¹�»�ß
ε = 1
@¦ê¡Ì�¿�Â!Í�¿�»íÔ+¸>º�¿�»�½�»�ß
Ð�Ç�»�Ä�Ú
¼
¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸>Ã
½
¿
(α, β, ω2, ω3, ν2, ν3) → ( β, α, ω3, ω2, ν3, ν2)
Ã
¿g½�Ô�º�¿�Ã�Ê
¿�»è½
Ã
¾�¸>¼
½!¸>Ã�»�Ã
À¿\¹�Ä�Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½�Ê
= ý
����� ��� ��
�! "#�# $��
#"��� �
�%�&'���)(#���)
�*� +%!
�! �&-,� $��
�"��� /.0�$
-12
-3� �4657�)
���*�&'8��9 ;:7��%�*�<>=# �3!�
Ø A�Ù�Ð�Ó�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½�Ô�Í Ï�Þr½
¿]¼
¿�É:¿�Ã
½
¿>@�×3¼
½XÝe½
Ë�¹�½
¼
Ä�¾�¸>Ã
Ã
À�Ó#Ô�Ã!¸�Ç
¿�Ã
½�Ê Ó_Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
Ä�¾ α, β
¹�Ä�Ä>»&Î
Ã
Ä>É:¿�Ã
½�Ê Ø A�Ù:Ä�Ú
¼
¿�Â�¿�Ì!Ê
Ï�»�Â�¾�¿#»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½�Ð�¹�½
º�º�¿�»�¼
½
Ç
Ã
À5¿XÄ>»�Ã
Ä�¹�½�»�¿�Ì�ß�Ã
Ä�Ñ�̤¸>¾�Ã
Ä�Å�Ú Ì�Ä�¹�ÎË Ä�¹�»�½#½
Ã
¿�¼
Ò
½
½�@¤ê�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾�½
¿Yº�¿�ÜÈÂ!ÍÁ¹�½
º�º¡¿�»�¼
½!Ç
Ã
Àº�½_»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½�Ê
º�½_Ô+¸�¤¸&Ã
ÄÈË�Ä�Ä�¼�Â�½
Ã!¸&»&Î
Ã
ÀºîÚ
¼
¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸>Ã
½
¿�º
(ω3, ν3) → (−ω3,−ν3)
@@?3¿�Ú
Ä�Â�¾�½�ÜÁÃ!¸&Êc»�Ä�Ç
Ë�¸]á�»�Ä�Ñ�ÄrÚ
¼
¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸>Ã
½�Ê
ω3 = ν3 = 0
Ã
¿UÚ
¼
½
Ã!¸�Â
Ì�¿�ÜÁ½�»\»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½è¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê�ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�ÐP»>¸>ËÛË ¸>ËÛ¹�Ì�¿�Â�¹�»�¾�½
¿�º Ø A�ÙÊ
¾&Ì!Ê
¿�»�¹±Ê_¹�Ä�Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½
¿
ω2
1
+ (2α − 1)ω2
2
+ (2β − 1)ω2
3
= 0
@
çì¹�Ì!Í Ç!¸>¿:ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:Â�½
Ã!¸>º�½
Ç
¿�¹�Ë
½
¿YÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê Ø ?�ÙVÚ
¼
½
ºKÍ�»Á¾�½ Â
ω̇1 = (α − β)ω2ω3, ω̇2 =
β − 1
2α − 1
ω3ω1, ω̇3 =
α − 1
1 − 2β
ω1ω2.
û�¸>¾�½
¹�½
º�Ä�¹�»�ß
ω1, ω2, ω3
Ä>»g¾�¼
¿�º�¿�Ã
½�¾�À¼!¸&Üȸ>¿�»�¹±Ê�á�Ì
Ì�½
Ú�»�½
Ç
¿�¹�Ë
½
º�½ÛÝ3Í Ã
Ë
Ò
½�Ê
º�½BA3Ë�Ä�Æ�½i¾
Ä+Â�Ã
Ä�Å\½�Ô]Â�¾>Í�Ó\ÝeÄ�¼
ºÐ¤Ë�¸&ÜȤ¸&Êg½�ÔrË�Ä>»�Ä�¼
À�Óp¹�Ä>Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�¿�»XÄ�Â�Ã
Ä�Å\½�ÔrÚ
Ä�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã
Ä�¹�»�¿�Å
Í Ë�¸&Ô+¸>Ã
Ã
À�Ó_¼!¸>Ã
¿�¿eÃ
¿�¼!¸>¾�¿�Ã
¹�»�¾Áº�¿�ÜÈÂ!Í
α
½
β
@�7eÌ!Ê#Ú
¿�¼
¾�Ä�Ñ�Äc¾�¸>¼
½!¸>Ã�»>¸r½
º�¿�¿�º
ω1 = p0
BDC
κt, ω2 = q0 E C κt, ω3 = r0 F C κt, Ø ��Ù
p2
0
=
(1 − 2β)(2α − 1)
(1 − β)2(α − 1)
, q2
0
=
1 − 2β
(1 − β)(α − 1)(α − β)
,
r2
0
=
2α − 1
(1 − β)2(α − 1)
, κ
2 =
α − β
(1 − β)(α − 1)
, k2 =
α − 1
α − β
.
Ø ? D Ù
ç8»�Ä�¼
Ä�ÅX¾�¸>¼
½!¸>Ã�»rÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½�Ô�Í�Ï�»ÁÔ+¸>¾�½
¹�½
º�Ä�¹�»�½
ω1 = p0 E C κt, ω2 = q0
BDC
κt, ω3 = r0 F C κt, Ø ?�?�Ù
p2
0
=
(1 − 2β)(2α − 1)
(1 − β)2(1 − α)
, q2
0
=
1 − 2β
(1 − β)(1 − α)(α − β)
,
r2
0
=
2α − 1
(1 − β)(α − β)(1 − α)
, κ
2 =
1
1 − α
, k2 =
1 − α
1 − β
.
Ø ? C Ù
Ö¡Ì
Ì�½
Ú�»�½!Ç
¿�¹�Ë!½
¿]Ý3Í Ã
Ë
Ò
½
½GA3Ë Ä�Æ�½#½_½ Ó#º�Ä�Â!Í+Ì�ß
k
¹�¾>Ê�Ô�À¾�¸>Ï�»Á½�Ô�¾�¿�¹�»�Ã
À¿]¹�Ä�Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½�Ê
BDC 2τ + E C 2τ = 1, 1 − k2 E C 2τ = F C 2τ.
ç¦@ â]@ ê8»�¿�Ë�Ì�Ä�¾ÈÄ�Ñ�¼!¸>Ã
½
Ç
½ Ì�¹�Ê_¸>Ã!¸�Ì�½�Ô�Ä�ºîÚ
¿�¼
¾�Ä�Ñ�Är¾�¸>¼
½!¸>Ã�»&¸r¹�¾>Ä�¿�Ñ�Äȼ
¿�É:¿�Ã
½�Ê�@!ç8»�Ä�¼
Ä�ÅM¾�¸>¼
½!¸>Ã�»
Æ�À�ÌgÄ>»�º�¿�Ç
¿�Ãg×r@ â]@ 91Í�Ô�ß�º�½
Ã
Àºí½_Ú
Ä�Â�¼
Ä�Æ�Ã
ÄÈÚ
¼
Ä�¸>Ã!¸�Ì�½�Ô�½
¼
Ä�¾�¸>Ã_¾È¼!¸>Æ�Ä>»�¿cå A æ @IH3Ã�»�¿�Ñ�¼!¸�Ì�ß�Ã
À¿Ë Ä�Ã
¹�»&¸>Ã�»�À�½
º�¿�Ï�»Á¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:½
Åg¾�½ Â
g = 0, h =
2α + 2β − 2αβ − 1
2(α − 1)(β − 1)
ε. Ø ?+=�Ù
H1Ô�Í Ç
½
º Ú
Ä�¾�¿�Â�¿�Ã
½
¿è»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
Å<¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�ÄäÂ�¾�½�Ür¿�Ã
½�Êé¾äÄ�Ë
¼
¿�¹�»�Ã
Ä�¹�»�½<¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê
ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�@
·P¿�Ô�Í�Ì�ß�»&¸&»�À-½
¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>Ã
½�ÊpÄ�¼
Æ�½�»>¸�Ì�ß�Ã
Ä>Å\Í�¹�»�Ä>Å
Ç
½
¾�Ä�¹�»�½i¼
¿�É:¿�Ã
½
Å�ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸#Ú
¼
¿�Â�¹�»&¸>¾&Î
Ì�¿�Ã
ÀèÃ!¸¦¼
½
¹>@�?�ÐKJ Ø Ä�¹�ß Oα
Ã!¸>Ú
¼!¸>¾&Ì�¿�Ã!¸1Ñ�Ä�¼
½�Ô�Ä�Ã�»&¸�Ì�ß�Ã
Ä�Ù�@$L:½�Ô�½
Ç
¿�¹�Ë
½:Â�Ä�Ú�Í�¹�»�½
º�À¿Ô�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�Ê
Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
Ä�¾
α, β
Ú
¼
½
Ã!¸�Â
Ì�¿�Üȸ&»X»�¼
¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�Ã
½
Ë
Í�¹c¾�¿�¼�É:½
Ã!¸>º�½
P1(1/2, 1/2), P2(3/2, 1/2),
P3(1, 0)
@�×1Í�¹�»�ß
ε = 1
½�Ð>¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã
Ä
Ð
α < 1
@�?e¸¦¼
½
¹>@
?Vá�»�Ä�ºKÍ:Ã
¿�¼!¸>¾�¿�Ã
¹�»�¾>Í:Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä>¼�Ê Î
Ï�»È¾�Ã�Í�»�¼
¿�Ã
Ã
½
¿3»�Ä�Ç
Ë
½U»�¼
¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß>Ã
½!Ë ¸
P1 P3 P4
@�7eÌ!ÊUá�»�½ ÓUÔ�Ã!¸�Ç
¿�Ã
½
Å#Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
Ä�¾]Â�¾�½�Ür¿�Ã
½�Ê�Ð
=�;
ÿ�� ������� ��
�
Ë ¸>ËîÚ
¼!¸>¾�½ Ì�Ä
ÐKÄ�¼
Æ�½�»>¸�Ì�ß�Ã
Ä\Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾>À5¿>@M��Â�Ã!¸>Ë Ä
ÐPÔ�Â�¿�¹�ßi¹�Í�Þ:¿�¹�»�¾>Í�¿�»�Í�Ô�Ë ¸&ÊèÄ�Æ&̤¸>¹�»�ßgÂ�½
Ã!¸�Î
º�½
Ç
¿�¹�Ë�Ä�Å�Ã
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½!¾>Ä�¹�»�½�Â�¾�½�Ür¿�Ã
½�Ê�Ð¥¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í Ï�Þȸ&Ê�Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
½
Ç
¿�¹�Ë Ä�ºKÍ�¼
¿�Ô�Ä>Ã!¸>Ã
¹�Í�¹
¹�Ä>Æ�¹�»�¾�¿�Ã
Ã
Ä�Å�Ç!¸>¹�»�Ä>»�Ä�Å
5/2
@�93¼
Ä�º�¿M»�Ä�Ñ�Ä
Ð4Â�¾�½�ÜÈ¿�Ã
½�ÊÛ»�¿�̤¸pº�Ä�Ñ�Í�»iÆ�ÀV»�ßiÃ
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½!¾>À5º�½�½
Ã!¸pË
¼
½
¾�À�Ó�¼
¿�Ô�Ä�Ã!¸>Ã
¹�Ä�¾
Ð8Ë�Ä>»�Ä�¼
À¿gÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸>Ã
À Â�Ä�Ç
¿�»�¾�¿�¼�»�Ä�Ñ�Ä�Ú
Ä�¼�Ê�Â�Ë ¸i¾�Ë Ì�ϦÇ
½�»�¿�Ì�ß�Ã
Ä
@�ç�¹�¿
Ä>»�º�¿�Ç
¿�Ã
Ã
À5¿YÌ�½
Ã
½
½X¼
¿�Ô�Ä�Ã!¸>Ã
¹�Ä�¾Á¾cÃ
¿�Ô+¸&É]»�¼!½ Ó�Ä>¾�¸>Ã
Ã
Ä�Å\Ç!¸>¹�»�½_»�¼
¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�Ã
½!Ë ¸
P1 P3 P4
Ã!¸+Ç
½ Î
Ã!¸>Ï5»�¹±ÊU¾]Ä�Ë
¼
¿�¹�»�Ã
Ä�¹�»�½U»�Ä�Ç
Ë
½
P1
½cÔ+¸>Ë�¸>Ã
Ç
½
¾�¸&Ï�»�¹±ÊU¾]Ä�Ë
¼
¿�¹�»�Ã
Ä�¹�»�½U»�Ä�Ç
Ë
½
P3
@ ·4¿�Ô�Ä�Ã!¸>Ã
¹�Ã!¸&Ê
Ë
¼
½
¾�¸�Ê)Ð�¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í Ï¦Þr¸&ÊíÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½
Ïï¹�Ä�Æ�¹�»�¾�¿�Ã
Ã
Ä�ÅãÇ!¸&¹�»�Ä>»�À
9/4
СÚ
¿�¼
¿�¹�¿�Ë�¸>¿�»ÛÑ�¼!¸>Ã
½
Ç
Ã
ÀÅ
Ä>»�¼
¿�Ô�Ä�Ë
P1 P3
¾rÂ�¾>Í�ÓM»�Ä�Ç
Ë ¸�Ó
P5
½
P6
@
0
0.5
0.5 1.5
5/2
P
1 P
2
P
4
P
5
P
3
P
6
8/37/39/4
11/4
0
2.5
3
0.5
Im l1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.5
Re l1
N-O P�O Q-O
RI "'��ST�#����� ��� ��
�! "#�# $��
�"��� �
K%�&'���)(�����
-*� ��$
-12
-3� /U+57��
-��*�&'8���V N-W &TX'*!��"#�# Y3�
��Z"#��&'4$�) �8/&D"[�� Y 9���! �8T<�
7&D"�3�&'8�\3�<].^�$
_('&'3!��3!��"[&'8+3!�+%�*�&D"��Z&D"#�#
R
2(α, β) ` P�W (���8T "� Za7&D"#�#b Im λ1
&D�c%Z��� �)a7
��_� �
β
,�*/U
α = const < 1 `Q-W (���8T "� Za7&D"#�#b Reλ1
&D�d%!��� �)a7
��_� �
β
,�*/U
α = const > 1
�
H1Ô�Í Ç
½
ºèÔ+¸>¾�½
¹�½
º�Ä�¹�»�ßc¾�¿�Ì�½
Ç
½
Ã
λ1,2
Ä>»cÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
Ä�¾
@!9e¸&ÜÈÂ�ÀÅ#½�Ôe½
Ã�»�¿�¼
¾�¸�Ì�Ä�¾
(1/2, 1)
Ð
(1, 3/2)
½�Ô�º�¿�Ã
¿�Ã
½�Ê\Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸
α
¼!¸&Ô�Â�¿�Ì�½
ºãÃ!¸rÂ�¿�¹±Ê�»�ßU¼!¸>¾�Ã
À�Ó_Ç!¸>¹�»�¿�Å\½XÃ!¸È¹�¿�Ç
¿�Ã
½�Ê Ó�Ð�¹�Ä&Î
Ä>»�¾>¿�»�¹�»�¾>Í Ï¦Þ:½ Ó
α = const,
¾�ÀÇ
½
¹�Ì�½
º/Ú
Ä�Ë�¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½ÛË�¸&ËÛÝ3Í Ã
Ë
Ò
½
½Û¹�¾�Ä�Æ�Ä�Â�Ã
Ä�Ñ�ÄgÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸
β ∈ (|1 − α|, 1/2) @¥û�¸>¾�½
¹�½
º�Ä�¹�»�ßÁÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½!Ç
¿�¹�Ë!½ ÓpÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�¿�ÅiÄ>»#¾>¿�Ì�½
Ç
½
Ã
À 1/2 − βÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸>Ã!¸:Ã!¸r¼
½
¹>@)?�Ðfe�g h&@K?e¸:¼
½
¹>@�?�Ð]e\¼
¿�Ô�Ä�Ã!¸&Ã
¹�À Ø Â�ÄrÇ
¿�»�¾�¿�¼�»�Ä�Ñ�ÄcÚ
Ä�¼�Ê Â�Ë ¸r¾�Ë Ì�ϦÇ
½�»�¿�Ì�ß�Ã
Ä�ÙÄ>»�º�¿�Ç
¿�Ã
À�Ñ�Ä�¼
½�Ô�Ä�Ã�»>¸�Ì�ß>Ã
À5º�½_Ì�½
Ã
½�Ê
º�½�Ð!Ë
¼!¸>Å
Ã�Ê�Ê Ø ¹�Ú
¼!¸>¾�¸�ÙVË
¼
½
¾�¸&Ê#¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�¿�»U¹�¿�Ç
¿�Ã
½
Ï
α ≈ 1 − ε
@Y?e¸p¼
½
¹>@5?�Ð0hì»&¸>Ë�Ür¿_½�Ô�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�Ã
ÄiÄ�Â�½
Ã
Ã!¸�Â�Ò!¸&»�ß�Ë
¼
½
¾�À�Ó�Ð8Ã
ÄiÄ�Ã
½èÃ!¸>Ë Ì¤¸�Â�À¾�¸�Î
Ï�»�¹�Ê�Â�¼�Í ÑUÃ!¸#Â�¼�Í Ñ�¸�Ð4»&¸>ËÛË ¸>Ë�Ú
¼
½�Ýe½
Ë ¹�½
¼
Ä�¾�¸>Ã
Ã
À�Ó�Ô�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�Ê Ó
β
Ý3Í Ã
Ë
Ò
½�Ê
λ1(α)
º¡¸�Ì�Ä
Ä>»�Ì�½
Ç!¸>¿�»�¹�ÊíÄ>»iË�Ä�Ã
¹�»&¸>Ã�»�ÀúÂ
Ì!Êè¾�¹�¿�Ó
α ∈ (1 + ε, 3/2 − ε)
@¡çaÄ�Ë
¼
¿�¹�»�Ã
Ä�¹�»�½�Ä>»�¼
¿�Ô�Ë�¸
P3P4Ø Ú
¼
½ α → 1
Ù�Ë�Ä�Ã
¹�»&¸>Ã�»>¸
h
Ã
¿�Ä�Ñ�¼!¸>Ã
½
Ç
¿�Ã
Ã
Äc¾�Ä>Ô�¼!¸>¹�»&¸>¿�»�Ð�Ç�»�Äcº�Ä+ÜÁÃ
Är½
Ã�»�¿�¼
Ú
¼
¿�»�½!¼
Ä�¾�¸&»�ßÁË ¸>Ë
Ú
¼
½
Æ&Ì�½�Ür¿�Ã
½
¿:Ò
¿�Ã�»�¼!¸Mº¡¸>¹�¹]»�¿�̤¸MË\Ã
¿�Ú
Ä�Â�¾�½�ÜÁÃ
Ä�ÅX»�Ä�Ç
Ë ¿>@)ç á�»�Ä�ºä¹�Ì!Í Ç!¸&¿r¼
¿�É:¿�Ã
½
¿Áê8»�¿�Ë Ì�Ä&Î
¾�¸iÆ&Í+Â�¿�»Û¹�»�¼
¿�º�½�»�ß�¹�ÊãËíÇ!¸>¹�»�Ã
Ä�ºKÍ�¼
¿�É:¿�Ã
½
Ï Ö8Å Ì�¿�¼!¸�@û�Â�¿�¹�ß�Ã
¿�Ä�Æ�Ó�Ä+Â�½
º�Ä�Ú
¼
Ä�¾�¿�¹�»�½ãÆ�Ä&Ì�¿�¿
»�Ä�Ç
Ã
ÀV¿]½
¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>Ã
½�Ê_Ú
Ä�Ë�¸&Ô+¸�»�¿�Ì�¿�Å
λ1,2
@
û�¸>º�¿�»�½
ºÐ�Ç�»�Ä3Ó ¸&¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½!Ç
¿�¹�Ë
½
¿¦Ú
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½ÁÄ�Ú
¼
¿�Â�¿�Ì!Ê
Ï�»�¹±ÊÁ½�Ô5Í ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Ê Ø�� ÙPÃ
¿�Ä�Â
ÎÃ
Ä>Ô�Ã!¸�Ç
Ã
Ä
Ð
¹¦»�Ä�Ç
Ã
Ä�¹�»�ß�Ï Â�Är¹�̤¸>Ñ�¸&¿�º�À�Ó
im
Ð
Ñ�Â�¿
m � Ò
¿�Ì�Ä�¿3Ç
½
¹�Ì�Ä
Ð i =
√
−1
@�?3¿�Ú
¼
¿�¼
À¾�Ã!¸&Ê
Ô+¸&¾�½
¹�½
º�Ä�¹�»�ß
λ1,2
Ä>»:Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
Ä�¾rÚ
Ä&Ô�¾�Ä&Ì�½ ̤¸YÍ�¹�»�¼!¸>Ã
½�»�ßrá�»>ÍÁÃ
¿�Ä+Â�Ã
Ä>Ô�Ã!¸+Ç
Ã
Ä�¹�»�ß
@
ç�Ä&Î|Ú
¿�¼
¾�À�Ó�Ð
Æ�À8Ì�½�Ú
¼
Ä�¸>Ã!¸�Ì�½�Ô�½
¼
Ä�¾�¸>Ã
ÀaÚ
¼
¿�Â�¿�Ì�ß�Ã
ÀV¿U¹�Ì!Í Ç!¸>½�Ð4Ë�Ä�Ñ�¤¸_¼
¿�É:¿�Ã
½
¿Mê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸X¾�À¼
Ä+ÜȤ¸>¿�»�¹�Ê�¾
¼
¿�É:¿�Ã
½
¿�Ð�Ä�Ú
½
¹�À¾�¸>Ï�Þ:¿�¿5Â�¾�½�Ür¿�Ã
½
¿5Ýe½�Ô�½
Ç
¿�¹�Ë Ä�Ñ�Ä]º¡¸&Ê�»�Ã
½
Ë ¸�@ ç�Ä&Î|¾>»�Ä�¼
À�Ó�Ð�Æ�À�Ì�½c½�Ô�Í Ç
¿�Ã
À�Ó�¸�Î
¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½!Ç
¿�¹�Ë!½
¿YÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½_Ú
¼
Ä�¹�»�¿�Å�Ér½ Ó_º¡¸&Ê�»�Ã
½
Ë�Ä�¾�À�ÓUÂ�¾�½�Ür¿�Ã
½
Å�Ð!Ë�Ä>»�Ä�¼
À¿eÃ
¿�Ú
¼
¿�¼
À¾&Î
Ã
Ä�½�Ô�º�¿�Ã�Ê
Ï�»�¹�ÊíÂ�Ä�»�¿�ÓãÚ
Ä�¼�Ð8Ú
Ä�Ë ¸pÂ�¾�½�ÜÈ¿�Ã
½
¿XÃ
¿g¾�À¼
Ä+ÜȤ¸>¿�»�¹�Êã¾�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�Ä�¿\Ú
Ä&Ì�Ä�Ür¿�Ã
½
¿
¼!¸>¾>Ã
Ä�¾�¿�¹�½�Ê�@�ÕK¸>Ë
½
º�Ä�Æ>¼!¸&Ô�Ä�º�Æ�À�Ì�½c¾�ÀÇ
½
¹�Ì�¿�Ã
ÀíÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�ÊÁ¹�̤¸>Ñ�¸>¿�º�À�Ó
im
Ð�Ã
¿�Ä�Â�Ã
Ä>Ô�Ã!¸+Ç
Ã
Ä�¹�»�ß
Æ�À8̤¸rÍ�¹�»�¼!¸>Ã
¿�Ã!¸�@
= �
����� ��� ��
�! "#�# $��
#"��� �
�%�&'���)(#���)
�*� +%!
�! �&-,� $��
�"��� /.0�$
-12
-3� �4657�)
���*�&'8��9 ;:7��%�*�<>=# �3!�
·P¿�Ô�Í�Ì�ß�»&¸&»�À Ç
½
¹�Ì�¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�Äcº�Ä�Â�¿�Ì�½
¼
Ä�¾�¸>Ã
½�Ê#»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
ÅX¼
¿�É:¿�Ã
½�Êgê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸ÈÚ
¼
¿�Â�¹�»>¸>¾&Ì�¿�Î
Ã
À Ã!¸g¼
½
¹>@ C @d�1Æ>Þr¸&ÊÛº�¿�»�Ä�Â�½
Ë ¸\½
¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>Ã
½�Êî½ÛÄ�Æ�Ä�¹�Ã
Ä�¾�¸>Ã
½
¿U¾�ÀÆ�Ä>¼!¸gÝY¸&Ô�Ä�¾�À�Ó�¹�¿�Ç
¿�Ã
½
ÅÄ�Æ�¹�Í�ÜȤ¸�̤¸>¹�ßp¾p¼!¸>Æ�Ä>»�¿iå � æ @YLr¸&Ô�Ä�¾�Ä�¿M¹�¿�Ç
¿�Ã
½
¿>С½�Ô�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�Ã
Ã
Ä�¿#Ã!¸\¼
½
¹>@ C Ðji>ÐK¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�¿�»Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�Ä�ºKÍ�Ú
¿�¼
½
Ä�Â�½
Ç
¿�¹�Ë Ä>º�Í�¼
¿�É:¿�Ã
½
Ï]@¡ê8»�¼
¿�Ì�Ë Ä�ÅîÄ>»�º�¿�Ç
¿�Ã!¸X»�Ä�Ç
Ë�¸�ÐP¾XË Ä>»�Ä�¼
Ä�Å�Ô+¸>º�Ë
Ã�Í�Î
»>¸&ÊX»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
ÊpÚ
¿�¼
¿�¹�¿�Ë ¸>¿�»#Ô+¸�¤¸>Ã
Ã�Í Ï<Ú
Ä�¾�¿�¼�Ó�Ã
Ä�¹�»�ß
@lk�¹�Ì�½\¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
½
¿]Â�Ä�¹�»&¸&»�Ä�Ç
Ã
Ä#º¡¸�Ì�Ä
Ð
»�Ä#Ú
Ä�Ç�»�½\¾�¹�¿]»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½!½p¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�ÄUÂ�¾�½�ÜÈ¿�Ã
½�ÊgÚ
¼
½
Ã!¸�Â
Ì�¿�Üc¸&»M½
Ã
¾�¸>¼
½!¸>Ã�»�Ã
Àºä»�Ä>¼!¸>ºÐ
¹�»�Ê
Ñ�½
¾�¸>Ï�Þ:½
º�¹�ÊiËgÔ+¸>º�Ë
Ã�Í�»�Ä�ÅiË
¼
½
¾�Ä�Å Ø »�Ä�¼
Àé¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�Ï�»_Ë Ä�Ã
Ò
¿�Ã�»�¼
½
Ç
¿�¹�Ë!½
º Ä�Ë
¼�Í�ÜÁÃ
Ä&ι�»�Ê
ºèÃ!¸:¼
½
¹>@ C Ðfi+Ù�@�Ö¡»�½_Ë�Ä�Ã
Ò
¿�Ã�»�¼
½
Ç
¿�¹�Ë
½
¿YÄ�Ë
¼�Í�ÜÁÃ
Ä�¹�»�½#½
¹�Ç
¿�Ô+¸>Ï�»cÃ!¸:¼
½
¹>@ C Ðfe�ü »�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½�ʼ
¿�É:¿�Ã
½�Ê ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�Ê
¾&Ì!Ê
¿�»�¹�ÊãÄ�¼
Æ�½�»>¸�Ì�ß>Ã
ÄÛÃ
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�Àº Ú
¼
¿�Â�¿�Ì�ß�Ã
Àº Ò
½
Ë Ì�Ä�ºÐ8»>¸>ËãË ¸>Ë
Ô�Â�¿�¹�ß]Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
À
α, β
¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í Ï�»rÚ
Ä&Ì!Í Ò
¿�Ì�Ä�ºKÍȼ
¿�Ô�Ä�Ã!¸>Ã
¹�Í Ø λ1,2 = ±i5/2
Ù�@mLr¸&Ô�Ä�¾>Ä�¿�¹�¿�Î
Ç
¿�Ã
½
¿3Ã!¸:¼
½
¹&@ C Ð7e�Ë ¸+Ç
¿�¹�»�¾�¿�Ã
Ã!ÄÈÃ
¿1Ä>»�Ì�½
Ç!¸>¿�»�¹±Ê#Ä>»rÝY¸&Ô�Ä�¾�Ä�Ñ�Ä:¹�¿�Ç
¿�Ã
½�Ê�Ð
Ú
Ä&Ì!Í Ç
¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�Ä:Â
Ì!ÊM¼
¿�ÎÉ:¿�Ã
½�Ê;n Ä�¼�Ê
Ç
¿�¾�¸Èå ; æ ¾e¹�Ì!Í Ç!¸>¿ γ ≈ 0.4163135, λ1,2 = ±i5/2
@�çîÄ�Ë
¼
¿�¹�»�Ã
Ä�¹�»�½UÃ
¿�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Å
»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼
½!½pÚ
¼
Ä�½
¹�Ó�Ä�Â�½�»_Æ�½
Ý3Í ¼
Ë ¸>Ò
½�Ê\Ä�Â�Ã
Ä�Ñ�ÄM½
Ã
¾�¸>¼
½!¸>Ã�»�Ã
Ä�Ñ�ÄM»�Ä�¼!¸U¾cÂ�¾�¸c»�Ä�¼!¸U¹]Í+Â�¾�Ä�¿�Ã
½ Î
¿�ºèÚ
¿�¼
½
Ä�Â�Ä�¾rÄ�Æ�¼!¸&Þ:¿�Ã
½�Ê#¾&Â�Ä&Ì�ß:½ ÓMÄ�¹�¿�¾�À�ÓMÄ�Ë
¼�Í�ÜÁÃ
Ä�¹�»�¿�Åiå ; æ @!ê�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼
½
¹�Ã!¸&Ê#Ú
Ä�¾�¿�¼�Ó�Ã
Ä�¹�»�ß
й�Ä�¹�»�Ä�Ê�Þr¸&Ê#½�Ô]¸>¹�½
º�Ú�»�Ä>»�½
Ç
¿�¹�Ë
½ Ó#»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½!ÅX¾>Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�ÄÈÂ�¾�½�Ür¿�Ã
½�Ê�Ð
ÝeÄ�¼
º�½
¼�Í�¿�»ÁÇ
¿�»�À�Î
¼
¿+o¨Ì�¿�Ú
¿�¹�»�Ë ¸�peÃ!¸:¼
½
¹>@ C Ðfe�@�ë3¿�»�À¼
¿eÃ
¿�Ú
Ä�Â�¾�½�ÜÁÃ
À¿3»�Ä�Ç
Ë
½_Ä>»�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�Ã
½�ÊMÚ
Ä�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>Ã
½�Ê Ø ¹�º@¼
½
¹>@ C Ðle'qYÚ
¼
½
Ã!¸�Â
Ì�¿�Üȸ&»ÁÂ�¾>Í ºãÄ�¼
Æ�½�»&¸�Ì�ß�Ã
ÄÁÍ�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�ÀºìÔ+¸>º�Ë
Ã�Í�»�Àºã»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½�Ê
ºä¹]Ú
¿�¼
½ ÎÄ+¤¸>º�½#Ú
Ä�Ç�»�½X¾:Â�¾�¸r¼!¸&Ô+¸ÈÚ
¼
¿�¾�ÀVÉr¸>Ï�Þ:½
º�½gÚ
¿�¼
½
Ä�Âg¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê\ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�@
N-O α = 0.7, β = 0.404 P�O α = 0.78, β = 0.331 Q-O α = 1.02, β = 0.499 r O α = 1.1, β = 0.4
RI "'�Zs��$tf���$
�"#�#3�&D"#�#b9�$
-12
-3� /Uu57��
-��*�&'8����
ÕP¿�Ú
¿�¼
ßUÚ
Ä&Ì�Ä+ÜÁ½
º
ε = −1
½�Ð�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã
Ä
Ð
α > 1.
?e¸c¼
½
¹>@4?�Ðli�á�»�Ä�ºKÍXÃ
¿�¼!¸>¾�¿�Ã
¹�»�¾>Í
Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê
¿�»MÔ+¸&É]»�¼
½ Ó�Ä�¾�¸>Ã
Ã!¸&Ê\Ä�Æ&̤¸>¹�»�ßÁ»�¼
¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�Ã
½
Ë�¸
P2 P3 P4
@¤ç á�»�Ä�ºã¹�Ì!Í Ç!¸>¿:¼
¿�É:¿�Ã
½
¿
¸>Ã!¸�Ì�½�»�½
Ç
¿�¹�Ë!½�Ä�Ú
½
¹�À¾�¸>Ï�»X¹�Ä�Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½�Ê Ø A�Ù�Ð Ø ?�?�Ù�@]H1Ôc¸>Ã!¸�Ì�½�Ô+¸ÁÓ ¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½
Ç
¿�¹�Ë
½ ÓiÚ
Ä�Ë�¸�ÎÔ+¸&»�¿�Ì�¿�Å#¹�Ì�¿�Â!Í�¿�»&Ð�Ç�»�Ä:¼
¿�É:¿�Ã
½
¿eê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:¾]á�»�Ä�ÅUÄ�Æ&̤¸>¹�»�½ÁÊ
¾&Ì!Ê
¿�»�¹±ÊUÄ�¼
Æ�½�»&¸�Ì�ß�Ã
Ä:Ã
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½�Î
¾�ÀºÛÚ
¼
½cÌ�ϦÆ�À�ÓÁÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�Ê ÓUÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
Ä�¾
α, β.
Ö8»&¸]Ä�¹�Ä�Æ�¿�Ã
Ã
Ä�¹�»�ßr¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê_ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:Ã
½
Ë�¿�º
¼!¸>Ã
¿�¿�Ã
¿�Æ�À�̤¸eÄ>»�º�¿�Ç
¿�Ã!¸�@�·4¿�Ô�Í+Ì�ß+»&¸&»�ÀãÇ
½
¹�Ì�¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�Ä:º�Ä�Â�¿�Ì�½
¼
Ä�¾�¸>Ã
½�ÊÈÂ
Ì!ÊÈÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½
ÅUÚ!¸>¼!¸&º¡¿�»&Î
¼
Ä�¾
α, β
½�Ô1»�¼
¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�Ã
½
Ë�¸
P2 P3 P4
Ú
¼
¿�Â�¹�»>¸>¾&Ì�¿�Ã
À Ã!¸]¼
½
¹>@ C Ðfh/g v±@
û�¸>º�Ë
Ã�Í�»&¸&ÊU»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½�ÊÃ
¿�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã!Ä�Ñ�Ä#Â�¾�½�Ür¿�Ã
½�ÊiÚ
¿�¼
¿�¹�¿�Ë ¸>¿�»\ÝY¸&Ô�Ä�¾�Ä�¿r¹�¿�Ç
¿�Ã
½
¿Á¾M»�Ä�Ç
Ë�¿>Ð¥Ä>»�º�¿�Ç
¿�Ã
Ã
Ä�Å�¹�»�¼
¿�Ì�Ë�Ä�Å�@
⦹�½
º�Ú�»�Ä>»�½
Ç
¿�¹�Ë
½�Ã
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�À¿È»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�Ä#Â�¾�½�Ür¿�Ã
½�Êpº�Ä+ÜÁÃ
ÄM¼!¸&Ô�Â�¿�Ì�½�»�ß
Ã!¸�Â�¾�¸¦¹�¿�º�¿�Å
¹�»�¾�¸�ü�Ë:Ú
¿�¼
¾�Ä�ºKÍ]¹�¿�º�¿�Å
¹�»�¾>ÍrÄ>»�Ã
¿�¹�¿�ºi»�¼!¸&¿�Ë�»�Ä�¼
½
½�Ð&Â
Ì!Ê:Ë Ä>»�Ä�¼
À�Ó:¼
¿�É:¿�Ã
½
¿¦ê8»�¿�Ë Î
Ì�Ä�¾�¸ÈÊ
¾&Ì!Ê
¿�»�¹�Ê
α− ½
ω− Ú
¼
¿�Â�¿�Ì�ß�Ã
ÀºìÒ
½
Ë Ì�Ä�º Ø Ä�Ã
½XÝeÄ�¼
º�½
¼�Í Ï�»M¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼
½
¹�Ã�Í�Ï<Ë
¼
½
¾>Í Ï]м!¸>¹�Ú
Ä&Ì�Ä�Ür¿�Ã
Ã�Í Ï-¾�ÀVÉ:¿:Ã
¿�Ú
Ä�Â�¾�½�ÜÁÃ
Ä�ÅX»�Ä�Ç
Ë
½\Ã!¸c¼
½
¹>@ C Ð�v�Ù)w¤Ë�ÄU¾>»�Ä�¼
Ä�ºKÍ_¹�¿�º�¿�Å
¹�»�¾>ÍgÄ>»�Ã
¿�¹�¿�º»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼
½!½�ÐKË Ä>»�Ä>¼
À¿MÃ
¿UÚ
¼
½
Ã!¸�Â
Ì�¿�Üȸ&»p¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼
½
¹�Ã
Ä�ÅîÚ
Ä�¾�¿�¼�Ó�Ã
Ä�¹�»�½�Ð�¸_Ô+¸>Ú
Ä&Ì�Ã�Ê
Ï�»pÃ
¿�Ë�Ä&Î
»�Ä�¼�Í Ï Ä�Æ&̤¸>¹�»�ß_ÝY¸&Ô�Ä�¾�Ä�Ñ�Ä#Ú
¼
Ä�¹�»�¼!¸>Ã
¹�»�¾�¸ Ø Ä�Ã
½pÔ+¸>Ú
Ä&Ì�Ã�Ê
Ï�»XÄ�Æ&̤¸>¹�»�ß
Ð)¼!¸>¹�Ú
Ä&Ì�Ä+Ür¿�Ã
Ã�Í Ï Ã
½�Ür¿Ã
¿�Ú
Ä+Â�¾�½�ÜÁÃ
Ä�Åg»�Ä�Ç
Ë
½pÃ!¸U¼
½
¹>@ C Ð�v�Ù�@ � Ä�ÜÁÃ
ÄU¹�Ë ¸&Ô+¸&»�ß
Ð)Ç�»�ÄM¾M¹�Ì!Í Ç!¸>¿Áê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸M¼!¸>¹�Þ:¿�Ú Ì!Ê
¿�»>ι±Ê�»�Ä&Ì�ß�Ë�Ä\Ä�Â�Ã!¸g½�ÔM¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼
½
¹�Ã
ÀVÓîÚ
Ä�¾�¿�¼�Ó�Ã
Ä�¹�»�¿�Å)@¡Ö8»�Äp¼!¸>¹�Þ:¿�Ú Ì�¿�Ã
½
¿#Ã
¿�Ô�Ã!¸�Ç
½�»�¿�Ì�ß�Ã
ÄpÚ
¼
½
β → 1/2
Ð
»&¸>Ë_Ë�¸>Ë#¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
À¿Y»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½gÃ!¸�Ó�Ä+Â!Ê�»�¹�ÊX¾rÍ�Ô�Ë�Ä�Å_Þ:¿�Ì�½Xº�¿�ÜrÂ!ÍM½
Ã
¾�¸>¼
½!¸>Ã�»&Î
Ã
Àº�½�»�Ä�¼!¸>º�½ Ø ¹�º@4¼
½
¹>@ C Ð9h�Ù�@P×3¼
½�Í º�¿�Ã
ß&É:¿�Ã
½!½�Ô�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�ÊÛÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸ β
¼�Ê Â�Ä�º ¹ÁÃ
¿�¾�Ä>Ô�Î
= �
ÿ�� ������� ��
�
ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�ÅÈ»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
¿�ÅÁÝeÄ�¼
º�½
¼�Í�¿�»�¹±ÊcÄ�Æ&̤¸>¹�»�ßeÃ
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½!¾�Ä�¹�»�½�Ð�Ô+¸>Ú
Ä&Ì�Ã
¿�Ã
Ã!¸&Ê:Ó ¸&Ä>»�½
Ç
¿�¹�Ë!½ Î
º�½M»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼
½
Ê
º�½�@�û�¸>º�¿�»�½
ºÐ�Ç�»�Äcá�»>¸ÈÄ�Æ&̤¸>¹�»�ßcÃ
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�Ä�¹�»�½g¹�Ä�¿�Â�½
Ã�Ê
¿�»ÁÄ�Æ�¿3»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½
¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê�ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�Ð�¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾�½
¿rº�¿�ÜÈÂ!Í_Ë Ä>»�Ä�¼
Àº�½gÔ+¸�¤¸>Ã
ÄUË�Ä�Ä�¼�Â�½
Ã!¸&»�Ã
ÀºäÚ
¼
¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸�Î
Ã
½
¿�º
(ω3, ν3) → (−ω3,−ν3)
@dk�¹�Ì�½îÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�ÊîÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
Ä�¾
α, β
¾�ÀÆ�¼!¸&»�ßi¾g»�¼
¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�Ã
½
Ë ¿
P2 P3 P4
½#Ô+¸>Ýe½
Ë ¹�½
¼
Ä�¾�¸&»�ß
Ð�»�ÄÁÄ�Æ�¿e¹�½
º�º�¿�»�¼
½
Ç!Ã
À¿]»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½\½
º�¿�Ï�»ÁÄ+Â�½
Ã!¸>Ë�Ä�¾�À¿3Ó�¸>¼!¸>Ë Î
»�¿�¼
½
¹�»�½
Ç!¿�¹�Ë
½!¿ÈÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½p½�Ð�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã
Ä
Ð�Ê
¾&Ì!Ê
Ï�»�¹�ÊpÃ
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½!¾�Àº�½�@l?3¿:½
¹�Ë Ì�ϦÇ
¿�Ã
Ä�Ð
Ç�»�ÄX¾_Ä�Æ&̤¸>¹�»�½�Ã
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�Ä�¹�»�½ÛÃ!¸>Å Â!Í�»�¹�Ê�»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
½)Ð4Ã
¿�Ä�Ñ�¼!¸>Ã
½
Ç
¿�Ã
Ã
ÄgÚ
¼
½
Æ&Ì�½�Üc¸>Ï�Þ:½
¿�¹�Ê
Ë#Ä�Æ�¿�½
º�Ã
¿�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Àºí»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½�Ê
º@
x F[Yö4L)N4ó��-[ÁF SgF ^_ó
ù¥ö�yuz>¶4µ4ó�F�ça?/� D>ý ѱ@¥ê¦@ âY@ ëe¸>Ú Ì�ÀÑ�½
Ã�¹�Ä�Ä�Æ>Þ:½ ÌiÄMÃ
Ä�¾�Ä�ºìÇ!¸>¹�»�Ã
Ä�º¼
¿�É:¿�Ã
½
½MÔ+¸�¤¸+Ç
½�Ð ËUË�Ä>»�Ä�¼
Ä�ºKÍÁÄ�ÃÁÚ
¼
½�É:¿�Ì¥Ð�Ä�Æ�Ä�Æ>Þr¸&ÊÁÚ
Ä�Â
Ó�Ä+Â_ç¦@ â]@ ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:½È7Á@ ?r@ n Ä�¼�Ê
Ç
¿�¾�¸
ËÁÚ
Ä�¹�»�¼
Ä�¿�Ã
½
Ï »�Ä�Ç
Ã
Ä�Ñ�Ä:¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê�@
×1Í�¹�»�ß:º�Ä�º�¿�Ã�»�Àì½
Ã
¿�¼
Ò
½
½MÚ
Ä+Â�Ç
½
Ã
¿�Ã
Àì¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:¿�ºKÍÁÍ�¹�Ì�Ä&Î
¾�½
ÏYü
9(2A2 − A1)(2A3 − A1) = 4A2A3
@!ç�¾�¿�Â�¿�ºíÆ�¿�Ô�¼!¸&Ô�º�¿�¼
Ã
ÀÅXÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼
γ
»&¸>Ë�Ð!Ç�»�Ä
A2 = γA1, A3 =
9(2γ − 1)
2(16γ − 9)
A1, γ ∈
(
3
2
,
17 +
√
73
16
)
.
7eÌ!ÊiÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½
Å
γ < 3/2
Ã!¸>¼�Í�Ér¸>Ï�»�¹±Ê�Í�¹�Ì�Ä�¾�½�Ê�¾�¿�Þ:¿�¹�»�¾�¿�Ã
Ã!Ä�¹�»�½î¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê�ÐP½
Ã
¾�¸>¼
½!¸>Ã�»�Ã
À¿
¹�Ä>Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½�Êäëe¸>Ú Ì�ÀÑ�½
Ã!¸�Ã
¿XÄ�Ú
½
¹�À¾�¸>Ï�»îÝe½�Ô�½
Ç
¿�¹�Ë
½ã¾�Ä>Ô�º�Ä�ÜÁÃ
Ä�¿MÂ�¾�½�Ür¿�Ã
½
¿>@¡7eÌ!Ê�Ô�Ã!¸+Ç
¿�Î
Ã
½
Å
γ ≥ (17 +
√
73)/16
º�Ä�º�¿�Ã�»�À ½
Ã
¿�¼
Ò
½
½M»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Är»�¿�̤¸ÈÃ
¿¦Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê
Ï�»cÃ
¿�¼!¸>¾�¿�Ã
¹�»�¾>Í
»�¼
¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�Ã
½
Ë ¸�@ ·P¿�É:¿�Ã
½
¿�Ä�Ú
½
¹�À¾�¸>¿�»�¹±ÊÁ¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:½
º�½M¸�Ì�Ñ�¿�Æ�¼!¸>½
Ç
¿�¹�Ë
½
º�½Á½
Ã
¾�¸>¼
½!¸>Ã�»�Ã
Àº�½U¹�Ä&Î
Ä>»�Ã
Ä&É:¿�Ã
½�Ê
º¡½�ü
ω2
2
= a0ω
2
3
1
+ a1ω
2
1
, ω2
3
= b0ω
2
3
1
+ b1ω
2
1
,
ν1 = ζ0ω
2
3
1
+ ζ1ω
2
1
, ν2 = (η0 + η1ω
−
4
3
1
)ω1ω2, ν3 = (ξ0 + ξ1ω
−
4
3
1
)ω1ω3.
Ø ? ý Ù
93Ä>á�ÝeÝe½
Ò
½
¿�Ã�»�À<¹�Ä�Ä>»�Ã
Ä>É:¿�Ã
½
Å Ø ? ý Ù�¾�À¼!¸&Üȸ>Ï�»�¹�Êp¹rÚ
Ä�º�Ä>Þ:ß�ÏaÝeÄ�¼
ºKÍ+Ì¥Ð�¹�Ä�Â�¿�¼�Üȸ&Þ:½ ÓpÄ�Â�½
ÃÚ!¸>¼!¸&º¡¿�»�¼
γ
ü
a0 =
2(5γ − 3)κ
(8γ − 3)(4γ − 3)(2γ − 1)
, a1 =
(9 − 14γ)
(8γ − 3)(4γ − 3)(2γ − 1)
,
b0 =
κ(2γ − 3)(16γ − 9)2
6γ(8γ − 3)(4γ − 3)
, b1 =
(1 − γ)(16γ − 9)2
γ(8γ − 3)(4γ − 3)
,
ζ0 =
κ(12γ2 − 22γ + 9)
8γ(2γ − 1)
, ζ1 =
(14γ − 9)(1 − γ)
4γ(2γ − 1)
,
η0 =
(14γ − 9)(1 − γ)
4γ
, η1 =
κ(2γ − 3)(2γ − 1)
8γ
, ξ0 =
(14γ − 9)(1 − γ)
2(16γ − 9)(2γ − 1)
,
ξ1 =
κγ(3 − 5γ)
3(16γ − 9)(2γ − 1)
, κ
3 =
864γ2(2γ − 1)2
(5γ − 3)(2γ − 3)(4γ − 3)2
.
×3Ä>¹�»�Ä�Ê
Ã
Ã
À¿]½
Ã�»�¿�Ñ�¼!¸�Ì�Ä�¾Uá�Ã
¿�¼
Ñ�½
½\½XÚ Ì�Ä>Þr¸�Â�¿�Åg¼!¸>¾�Ã
À Ã�Í+Ì�Ïé½�Ð�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã
Ä
Ð�Ã
¿eÔ+¸>¾�½
¹�Ê�»
Ä>»
γ
@�×3¿�¼
¿�º�¿�Ã
Ã!¸&Ê
z = ω
2
3
1
¹�¾>Ê�Ô+¸>Ã!¸e¹�ÄY¾�¼
¿�º�¿�Ã
¿�º�Ñ�½
Ú
¿�¼
á±Ì
̤½
Ú�»�½
Ç
¿�¹�Ë�Ä�ÅUË
¾�¸�Â�¼!¸&»>Í ¼
Ä�Å�@�êîÚ
Ä&Î
º�Ä>Þ:ß�Ï�Ñ�Ä�Â�Ä�Ñ�¼!¸>ÝeÄ�¾rÍ Ñ�Ì�Ä�¾�Ä�Å#¹�Ë Ä�¼
Ä�¹�»�½X×r@ ç¦@ {3¸>¼ ̤¸>º�Ä�¾_åH? æ Ú
Ä&Ì�Ã
Ä�¹�»�ß�Ïé½
¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸�Ìg¾�Ä>Ô�º�Ä�ÜÈÎÃ
À¿VÂ�¾�½�Ür¿�Ã
½�Êr»�¿�̤¸e¾e¹�Ì!Í Ç!¸>¿¦ëe¸>Ú Ì�ÀÑ�½
Ã!¸�@�×3Ä�Â�¾�½�ÜÁÃ
ÀÅÈÑ�Ä�Â�Ä�Ñ�¼!¸>Ý Í Ñ�Ì�Ä�¾�Ä�Åc¹�Ë Ä�¼
Ä�¹�»�½Á½
º�¿�¿�»
»�Ä�Ç
Ë�Íi¹�¸>º�Ä�Ú
¿�¼
¿�¹�¿�Ç
¿�Ã!½�Ê
(ω1 = ω2 = ω3 = 0)
½�Ã!¸>Ú
Ä�º�½
Ã!¸>¿�»Go|¾�Ä>¹�ß�º�¿�¼
Ë�Í p±@P×3¼
½
γ = 3/2
=�A
����� ��� ��
�! "#�# $��
#"��� �
�%�&'���)(#���)
�*� +%!
�! �&-,� $��
�"��� /.0�$
-12
-3� �4657�)
���*�&'8��9 ;:7��%�*�<>=# �3!�
¼
¿�É:¿�Ã
½
¿_¾�À¼
Ä+ÜȤ¸>¿�»�¹�Ê�ÐP»�¿�Ì�Ä\Â�¾�½�Ür¿�»�¹�ÊîË ¸>ËîÝe½�Ô�½
Ç
¿�¹�Ë
½
Å躡¸&Ê�»�Ã
½
Ëî½Û»�¼
½îÝY¸&Ô�Ä�¾�À¿MÚ
¿�¼
¿±Î
º�¿�Ã
Ã
À¿M¹�Ä�Ó�¼!¸>Ã�Ê
Ï�»\¹�¾�Ä�½�Ã!¸�Ç!¸�Ì�ß�Ã
À¿cÔ�Ã!¸�Ç
¿�Ã
½�Ê Ø ω1 = ω3 = ν2 = 0
Ù�@Pç-á�»�Ä�º/Ú
¼
¿�Â�¿�Ì�ß�Ã
Ä�º
¹�Ì!Í Ç!¸>¿MÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½
Ç!¿�¹�Ë
½!¿_Ú
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½èÍ ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½�Êè¾p¾�¸>¼
½!¸>Ò
½�Ê Ó Øþý Ù]º�Ä+ÜÁÃ
Ä\¾�ÀÇ
½
¹�Ì�½�»�߸>Ã!¸�Ì�½�»�½
Ç
¿�¹�Ë!½�ü�¾�¹�¿3É:¿�¹�»�ßUÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�¿�Å Ø�� Ù�Ä�Ë�¸&Ô�À¾�¸>Ï�»�¹±Ê_¼!¸>¾�Ã
Àº�½XÃ�Í�Ì�Ï]@7eÌ!ÊȾ�¹�¿�ÓrÂ�Ä�Ú�Í�¹�»�½
º�À�ÓcÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½
ÅÁÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸
γ
¾�ÀÇ
½
¹�Ì�¿�Ã
ÀèÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½!Ç
¿�¹�Ë!½
¿�Ú
Ä�Ë�¸�Î
Ô+¸&»�¿�Ì�½iÌ�½
Ã
¿�¸>¼
½�Ô�Ä�¾�¸>Ã
Ã
Ä�Å�¹�½
¹�»�¿�º�À<Í ¼!¸>¾�Ã
¿�Ã
½
Å�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�Ä#Â�¾�½�Ür¿�Ã
½�Ê�@4×3Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½�¼
¿�Î
É:¿�Ã
½�Êäëe¸>Ú Ì�ÀÑ�½
Ã!¸�Ú
¼
½
Ã
½
º¡¸>Ï�»�»�Ä&Ì�ß�Ë ÄiÂ�¿�Å
¹�»�¾�½�»�¿�Ì�ß�Ã
À5¿gÔ�Ã!¸�Ç
¿�Ã
½�Ê�@j?e¸>Ú
¼
½
º�¿�¼�Ð�Ú
Ä&Ì�Ä+ÜÁ½ Î
»�¿�Ì�ß�Ã
À¿îÚ
Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½/Ã
¿�Ú
¼
¿�¼
À¾>Ã
Äì½�º�Ä�Ã
Ä>»�Ä�Ã
Ã
Äí¾�Ä>Ô�¼!¸>¹�»&¸>Ï�»ìÄ>»íÔ�Ã!¸+Ç
¿�Ã
½�Ê
λ1 = 0
Ú
¼
½
γ = 1.5
Â�Ä¸>Ë ¹�½
º¡¸�Ì�ß�Ã
Ä�Ñ�ÄÛÔ�Ã!¸�Ç
¿�Ã
½�Ê
λ1 = 0.242073
Ú
¼
½
γ ≈ 1.59650
@�û�¸>¾�½
¹�½
º�Ä�¹�»�ß
Ó ¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼
½
¹�»�½
Ç
¿�¹�Ë
½ Ó�Ú
Ä�Ë�¸&Ô�¸&»�¿�Ì�¿�Å
λ1
Ä>»�Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸
γ
Ú
Ä�Ë ¸&Ô+¸>Ã!¸pÃ!¸p¼
½
¹>@¡=�Ð2i>@9��Â�Ã
Äi½�Ô
¾�Ä>Ô�º�Ä�ÜÁÃ
À�ÓcÝY¸&Ô�Ä�¾�À�ÓÁ¹�¿�Ç
¿�Ã
½
ÅM½�Ô�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�Ã
Ä]Ã!¸]¼
½
¹>@�=�ÐIe�@@k�¹�Ì�½ÁÔ�Ã!¸�Ç
¿�Ã
½
¿
γ
º¡¸�Ì�Ä]Ä>»+Ì�½
Ç!¸>¿�»>Î
0.1
0
0.2
0.3
1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6
g
Re l1
N-O P�O
RI "'��|/��5@*/� �D��46:7��%�*�<>=# �3!��V N-W (���8T "� Za7&D"#�#b Re λ1
&D��%Z��� �)a7
��_� �
γ ` P�W�} �)('&'8/&)
l"[
'��
-3� �
I,�*/U γ = 1.555
�
¹±ÊÁÄ>»
3/2
Ð�»�Ä]Ç!¸>¹�»�ßr¸>¹�½
º�Ú�»�Ä>»�½
Ç
¿�¹�Ë
½MÃ
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç
½
¾�À�ÓU»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼
½
ÅM¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�Ã
Ã
Ä�Ñ�Ä]Â�¾�½�Ür¿�Ã
½�Ê
ÝeÄ�¼
º�½
¼�Í�¿�»g¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼
½
¹�Ã�Í�Ï Ú
Ä�¾�¿�¼�Ó�Ã
Ä�¹�»�ß
Ð4Ã
ÄX¹c¼
Ä�¹�»�Ä�º
γ
á�»&¸XÚ
Ä�¾�¿�¼�Ó�Ã
Ä�¹�»�ßg¼!¸&Ô�¼�Í�Ér¸>¿�»�¹�Ê�@
·P¿�Ô�Í�Ì�ß�»&¸&»�À Ë�Ä�º�Ú
ß�Ï�»�¿�¼
Ã
Ä�Ñ�Äcº�Ä+Â�¿�Ì�½
¼
Ä�¾�¸>Ã
½�Ê_Ú
Ä�Â!»�¾�¿�¼�ÜȤ¸>Ï�»c¾�À¾�Ä�ÂXÄr»�Ä�ºÐ
Ç�»�ÄrÂ�½
Ã!¸&º¡½
Ç
¿±Î
¹�Ë�¸&Ê#¹�½
¹�»�¿�º¡¸ Ø ?�Ù8Ê
¾&Ì!Ê
¿�»�¹�ÊMÌ�Ä�Ë�¸�Ì�ß�Ã
ÄÈÃ
¿�Í�¹�»�Ä�Å
Ç!½
¾�Ä�ÅX¾ÈÄ�Ë
¼
¿�¹�»�Ã
Ä�¹�»�½g¼
¿�É:¿�Ã
½�Ê\ëe¸>Ú Ì�ÀÑ�½
Ã!¸�@⦾>»�Ä�¼_Æ&̤¸>Ñ�Ä+¤¸>¼
½�»~Hr@ ?r@ n�¸&É:¿�Ã
¿�Ã
Ë�ÄcÔ+¸ÈÚ
Ä�¹�»>¸>Ã
Ä�¾�Ë�ÍMÔ+¸+¤¸�Ç
½_½#¾�Ã
½
º¡¸>Ã
½
¿YË#¼!¸>Æ�Ä>»�¿>@
� �M� N-�D��N#�d��Qd�j� ��� ��}�����y�y¦���8�&y�~&���
y���}K����}����&��������}�{>�����2�K������z�y�®�y��&z��$��©K����ª ���M�K������z�y�®�y+������~+ª ����� ���T�D� ��c�T� � z���+�j� ���T� � � ��� �@�9�D�
�/�!�M��Q)N9�9� ��� �>���j�[�!N��Z��Q)NY�9� �Y�/� {>��z�z�y�x�}�z���y�}¥���±�>��x�y�&y�~&���
y���y�����}����&�����8��}�{>���D�!������y+ª��y�}�y3z�������}��
}�~�~���}Kz���z�������~�y�}���� � y�}��Z�������������&�+�
�+���/� ���� �¡ �D�c� �T� z��¢ �¤£ ¥ N�¦;��� §j�l¨ ®r��z�������x�y�����z|��yU��}�����{�����~�w��U����}#��}�z�z�y��ª©���y���{&y�«T«¬K��y��+{ ���!����}��!����y����Èy#�
}�����~�y��+���I��)®T®T®��D�c¯Z° �+��w)��� � �/�¦¢4� ¡)±D¡ ª ¡D�T �± �2² N-�!³D�#�#Q+�Y� �j�7¨ ®e��z�������x�y�����z���yÈ��}�����{�����~����È���+}#��}�z�z�y�yc~�}�z|y&�!�
}�����y�x�~������]��y�����z������&�u´ z|{&��x&���µ©���y���ª{&y!¶�«T«�¯¡���+{ �/�� ��V�/�c�)®T®D�+�D�c·!¸�¹���º ¢ �/�¦¢4� ¢T¢T¡ ª ¢�± ���� �j� N��j�[�!�[�Z³T�M»j� §j� �7�9�T¼��½�¾>� ¿À� Á ���&������}���y&z���y�x�}�z���y�}V�����+��������}�{&ye��}���y����&y�x�}�z���y��Y��}��8}�~�y��Y���&����~�}�~�y�� �+{&}��&�±ª½¬K����z�z���~&��«)«dÃ3}�����~�y��+������}����&�����V��}�{>���/�c�)®T®D�+�D�5v�w)��� ¢ �+���¦¢4� � ®±ª �)� �� � �lN-� ¥ N#���#Q0¿À� �j� � � ���T� � � ��� ¬K}�����w)�]�
}������r�K������~������5�1y&z�z|{&}��&������~�y�y]��z�y&�
��������y�x�}�z���y+�Y�&��y+��}�~�y��:��&y�~&���
y���}�����}����&�����V��}�{>��«T«9Ä ���È��}��/� ���T� �+�D�5v�w)���Z� ± ���¦¢4�!� � ª ±Z� � � �9�D�
�/�!�M��Q)Nc�9� ��� � ² �#Å)N#���#Q)Æ[³DN#� � � ���@¨ ®5���&~����U�+{>��z�z|}8��}��8}�~�y��Y���±�>��x�ye�5�&��y+�8}�~�y�yY��}�{>���>y&�
}�²4�8}����~�}������&��y+�~���²g����x����Z«T«9Ãe����}��!����y�x�}�z����±�3«Ky���y��+����� ���T�T¡ ��v�w)��� � ���1¢4� ��¢T� ª �'� ®��¡ �M� N-�D��N#�d��Q)Nl¾>� »j� � ² �#Å)N#���#Q)Æ[³DN#� � � ��� ©�z�z|{&}��&������~�y�}¤��}��8}�~�y+�VvP� ¡� ¢¤��}��+{&�����4���&����~�}�~�y��¡�&��y+��}�~�y+����}�{>���y&�
}�²4�8}����V~�}������&��y+�~���²g����x����Z«T«9Ä ���c�8}��/�¦¢4� ���)± ªÇ�)®T�+�� �j� N��j�[�!�[�Z³T��»j� §j� �$�9�T¼��½�c¾>� ¿À� ¥~&�±{&y��4y�����¬�~�}�����}���y�x�}�z���y+�������}����+~���z���}�����{��5����x�~�w��V��}��8}�~�y��5���±�>��x�y���&��y+��}�~�y�y1����}����&�����V��}�{>��«T«9Ã3}�����~�y��+������}����������V��}�{>���/�c�)®T® � �D�5v�w)��� ¢�� �D�¦¢4� ��¡ ª ¢ ®��
Èc&'3�
-É��� �4+ �3!\½��ÊË� \ ,K�!�_� ��3 "�%�&#�m�#�ÌDÍ�Î'Ï!Ð)Ñ�ÒTÓDÑ�Ô!Õ@Ö½Ó/×�ØZÐTÔZÙ�Ì7ÖÚÍ�Û ¬K��{&��x�}�~�� �T� � ® � � ® ¢
=!�
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123713 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:06:10Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кучер, Е.Ю. 2017-09-09T05:41:24Z 2017-09-09T05:41:24Z 2003 Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина / Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123713 531.38 Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для двух семейств частных периодических решений, полученных В.А. Стекловым и С.А. Чаплыгиным. Изучена структура фазового пространства в окрестности этих решений. В пространстве параметров определены области динамической неустойчивости движения. Для типичных значений параметров приведены результаты компьютерного моделирования. Автор благодарит И.Н.Гашененко за постановку задачи и внимание к работе. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина Article published earlier |
| spellingShingle | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина Кучер, Е.Ю. |
| title | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина |
| title_full | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина |
| title_fullStr | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина |
| title_full_unstemmed | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина |
| title_short | Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина |
| title_sort | характеристические показатели периодических решений стеклова и чаплыгина |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123713 |
| work_keys_str_mv | AT kučereû harakterističeskiepokazateliperiodičeskihrešeniisteklovaičaplygina |