Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина

Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для двух семейств частных периодических решений, полученных В.А. Стекловым и С.А. Чаплыгиным. Изучена структура фазового пространства в окрестности этих решений. В пространстве параметров определены области динамич...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Механика твердого тела
Дата:2003
Автор: Кучер, Е.Ю.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2003
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123713
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина / Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860190288388030464
author Кучер, Е.Ю.
author_facet Кучер, Е.Ю.
citation_txt Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина / Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Механика твердого тела
description Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для двух семейств частных периодических решений, полученных В.А. Стекловым и С.А. Чаплыгиным. Изучена структура фазового пространства в окрестности этих решений. В пространстве параметров определены области динамической неустойчивости движения. Для типичных значений параметров приведены результаты компьютерного моделирования.
first_indexed 2025-12-07T18:06:10Z
format Article
fulltext ��������� �� ������� ��� �������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)� �- �� � �!�/.10324�5� � 687:9<;>=�?�@ =�A B© C>D�D =�@ E:FHGIFKJML)NPO�Q R#SUTVSMJXWYE1TYZ\[:W]Z_^_EY[:J_Z_Ea`\bcJXS#d8SeWYE1fgZ `_E1T]Z\b3hiZX^_EY[:J_Z_RjTYE1klE3mXZXno[:WYE3J_fpbcqrSsZo^XSM`_fgtau8ZXmXS v�w)x�y&z|{&}�~�w������+��������}�{&y]�K������~������5{&y�~�}�����y���������~�~����]z�y&z���}�� w����&����~�}�~�y��]������� ���8}�~�~��������&��y+��}�~�y+�]��{���&������z�}�� }��&z����4x&��z���~�w��P��}���y����&y�x�}�z���y+�K��}��8}�~�y���������{&��x�}�~�~�w��KvK�  ¡�£¢¤��}��+{&����w¥�¦y�¢4�  ¡�¨§����+{&w)��y�~�w¥����©K����ªx�}�~&�8z��������������&�¡«��������������K������z����&��~&z��������¡������}�z���~���z���y5¬���y+�­��}��8}�~�y�����vc������z����&��~&z�����}¥�&���&��� }��������¡������}�ª�&}�{&}�~�wg��®�{>��z���y��&y�~&��� y�x�}�z������1~�}���z�������x�y�����z���y¦�&��y+�8}�~�y+���+¯�{��1��y���y�x�~�w��1��~&��x�}�~�y��1�&������� }��������­����y���}�ª�&}�~�wX��}�����{&°��±����w_����� ��°�²4��}���~������­� ���&}�{&y���������~�y+��� q:³�O�´KO�µP¶4O�F�·K¸>¹�¹�º¡¸&»�¼ ½ ¾�¸>¿�º�À5¿Á¾U¤¸>à à Ä�Å�¼!¸>Æ�Ä>»�¿ÈÇ!¸>¹�»�à À­¿Á¼ ¿�É:¿�à ½�Ê�Ä>»�à Ä�¹±Ê�»�¹�Ê�Ë�¹�Ì!Í�Î Ç!¸>Ï]Ð¤Ë Ä�Ñ�¤¸ÁÒ ¿�Ã�»�¼\º¡¸>¹�¹Y»�¿�̤¸UÃ!¸�Ó�Ä�Â�½�»�¹±Ê\Ã!¸cÄ+Â�à Ä�ÅX½�ÔrÑ�̤¸>¾�à À�ÓgÄ�¹�¿�Åg½ à ¿�¼ Ò ½ ½�@�ÕPÄ�Ñ�¤¸ÈÍ ¼!¸>¾&Î Ã ¿�à ½�Ê\Ö�Å Ì�¿�¼!¸�Î�×1Í�¸>¹�¹�Ä�Ã!¸c½ º�¿�Ï�»c¾�½  A1ω̇1 = (A2 − A3)ω2ω3, A2ω̇2 = (A3 − A1)ω3ω1 − ν3, A3ω̇3 = (A1 − A2)ω1ω2 + ν2, Ø ?�Ù ν̇1 = ω3ν2 − ω2ν3, ν̇2 = ω1ν3 − ω3ν1, ν̇3 = ω2ν1 − ω1ν2, بC ÙÑ�Â�¿ ωi Î¤Ë Ä�º�Ú Ä�à ¿�Ã�»�À�Í Ñ�Ì�Ä�¾�Ä�ÅY¹�Ë�Ä�¼ Ä�¹�»�½]»�¿�̤¸�Ð νi Î�Ë�Ä�º�Ú Ä�à ¿�Ã�»�ÀÛ¿�Â�½ à ½ Ç Ã Ä�Ñ�Ħ¾�¿�Ë�»�Ä�¼!¸�Ã!¸>Ú ¼!¸>¾&Î Ì�¿�à ½�ÊY¹�½ Ì�À�»+Ê�Ür¿�¹�»�½�Ð Ai ΤÑ�̤¸>¾>à À­¿8º�Ä�º�¿�Ã�»�À�½ à ¿�¼ Ò ½ ½e»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Ä5»�¿�̤¸�Ð�Â�½ ÝeÝe¿�¼ ¿�Ã Ò ½ ¼ Ä�¾�¸>à ½ ¿ Ú Äc¾�¼ ¿�º�¿�à ½_Ä�Æ�Ä>Ô�Ã!¸�Ç ¿�à Är»�Ä�Ç Ë Ä>Å�@!61¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê Ø ?�Ù�РبC Ù¡Â�Ä�Ú�Í�¹�Ë ¸>Ï�»ÁÚ ¿�¼ ¾�À­¿Y½ Ã�»�¿�Ñ�¼!¸�Ì�À 1 2 (A1ω 2 1 + A2ω 2 2 + A3ω 2 3 ) − ν1 = h, A1ω1ν1 + A2ω2ν2 + A3ω3ν3 = g, ν2 1 + ν2 2 + ν2 3 = 1. Ø =�Ù ×3Ä�¹�Ì�¿�Â�à ½ ¿ C ; D Ì�¿�»pÔ+¸�¤¸+Ç!¸pÄgÂ�¾�½�Ür¿�à ½ ½Û»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Äp»�¿�̤¸p¾�Ä�Ë ¼�Í Ñ#à ¿�Ú Ä+Â�¾�½�ÜÁà Ä�ÅÛ»�Ä�Ç Ë ½Ú ¼ ½ ¾&Ì�¿�Ë�¸�̤¸Y¾�à ½ º¡¸>à ½ ¿�º�à Ä�Ñ�½ Óc¾�À�¤¸>Ï�Þ:½ Ó�¹±ÊUº¡¸&»�¿�º¡¸&»�½ Ë�Ä�¾:½cº�¿�Ó ¸&à ½ Ë Ä�¾ Ð�Ú ÀV»&¸>¾>É:½ Ó�¹�ÊUÚ ¼ Ä&Î ½ Ã�»�¿�Ñ�¼!½ ¼ Ä�¾�¸&»�ßÈÂ�½ Ã!¸>º�½ Ç ¿�¹�Ë ½ ¿YÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê\Ö�Å Ì�¿�¼!¸�Ð!à ÄÈ»�Ä&Ì�ß�Ë�ÄÈ»�¼ ½_½ Ã�»�¿�Ñ�¼!½ ¼�Í�¿�º�À�ÓX¹�Ì!Í Ç!¸&Ê Ø Í Ë�¸&Ô+¸>à à À­¿:Ö�Å Ì�¿�¼ Ä�º­Ð!à]¸>Ñ�¼!¸>Ã�Ür¿�º�½X93Ä�¾�¸�Ì�¿�¾�¹�Ë Ä�Å�Ù�½_à ¿�¹�Ë Ä&Ì�ß�Ë�Äc¹�¿�º�¿�Å ¹�»�¾ÁÇ!¸>¹�»�à À�ÓX¼ ¿�É:¿�Îà ½ ÅrÆ�À�Ì�½:Ã!¸>Å Â�¿�à ÀÛÔ+¸¦¾�¹�¿�á�»�Ä1¾�¼ ¿�ºKÊ�@&â¦Ã!¸�Ì�½�»�½ Ç ¿�¹�Ë Ä�¿­Ä�Ú ½ ¹�¸&à ½ ¿VÇ!¸>¹�»�à À�Ór¼ ¿�É:¿�à ½ Å�Ð�¸5»&¸>Ë�ÜÈ¿ ¼ ¿�Ô�Í+Ì�ß+»>¸&»�ÀãË ¸�Ç ¿�¹�»�¾�¿�à à Ä�Ñ�Ä]½�Ô�Í Ç ¿�à ½�ÊÈÂ�¾�½�ÜÈ¿�à ½ År»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Äe»�¿�̤¸Yº�¿�»�Ä�Â�Ä�º�Ñ�Ä�Â�Ä�Ñ�¼!¸>ÝeÄ�¾e½�Ô�Ì�Ä&Î ÜÈ¿�à Àä¾cº�Ä�à Ä�Ñ�¼!¸>Ýe½�Ê ÓiåH?�Ð C�æ @çèÃ!¸>¹�»�Ä+Ê�Þ:¿�ÅU¼!¸>Æ�Ä>»�¿5Ú ¼ Ä+Â�Ä&Ì!Ür¿�à ÄYÃ!¸+Ç!¸&»�Ä�¿�¾Áå =�Î�; æ ½ ¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>à ½ ¿¦Ú Ä�¾�¿�Â�¿�à ½�ÊÁ¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à Îà À�ÓÈ»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼ ½!ÅU¾eÄ�Ë ¼ ¿�¹�»�à Ä�¹�»�½U½�Ô�¾�¿�¹�»�à À�ÓUÇ!¸>¹�»�à À�ÓÁ¼ ¿�É:¿�à ½ ÅUË Ì¤¸>¹�¹�½ Ç ¿�¹�Ë�Ä�ÅÁÔ+¸�¤¸+Ç ½�Ð�º�¿�»�Ä&Î Â�Ä�ºä¹�¿�Ç ¿�à ½ Å�×1Í�¸>Ã Ë ¸>¼ ¿r½ ¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>à Àé»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½i¾�Æ&Ì�½�Ô�½pÚ ¿�¼ ½ Ä�Â�½ Ç ¿�¹�Ë ½ Ói¼ ¿�É:¿�à ½ Å�ê8»�¿�Ë Î Ì�Ä�¾�¸:½_ëe¸>Ú Ì�À­Ñ�½ Ã!¸�Ð!¾�À­Ç ½ ¹�Ì�¿�à ÀìÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½!Ç ¿�¹�Ë!½ ¿eÚ Ä�Ë�¸�Ô+¸&»�¿�Ì�½#Í ¼!¸>¾�à ¿�à ½ Å_¾r¾�¸>¼ ½!¸>Ò ½�Ê Ó Â Ì!Êãá�»�½ Ó�Â�¾>Í�Óí¹�¿�º�¿�Å ¹�»�¾îÇ!¸>¹�»�à À�Óã¼ ¿�É:¿�à ½ Åä½íÚ ¼ Ä�¾�¿�Â�¿�à Àï¸>Ã!¸�Ì�½�»�½ Ç ¿�¹�Ë ½ ¿p½ ¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>à ½�Ê Ú ¼ Ä�¹�»�¿�Å�Ér½ ÓXÚ ¼ ¿�Â�¿�Ì�ß�à À�ÓX¹�Ì!Í Ç!¸>¿�¾ @ ð FÁ`_ñ�ò�ó�ô�ó õ O�öP¶÷f_ø)ù¥L)µ4ñ�³�ó�F]ê8Ä�¹�»>¸>¾�½ ºúÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½ ¿i¾è¾�¸>¼ ½!¸>Ò ½�Ê Óí Ì!Ê 2π Î|Ú ¿�¼ ½ Ä�Â�½ Î Ç ¿�¹�Ë Ä�Ñ�Äc¼ ¿�É:¿�à ½�Ê ω = ω ∗(t), ν = ν ∗(t)¹�½ ¹�»�¿�º¡À Ø ?�Ù�РبC Ù�Ð4Ú Ä&̤¸>Ñ�¸&ÊÛ¾g¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�º�Â�¾�½�ÜÈ¿�à ½ ½ ωi = ω∗ i + δωi, νi = ν∗ i + δνi, Ñ�Â�¿ i = 1, 2, 3 @!7:¸�Ì�¿�¿]Ä�Æ�Ä>Ô�Ã!¸�Ç ½ º x = (δω, δν)T @�û�¸>Ú ½�É:¿�º�Ì�½ à ¿�¸>¼ ½�Ô�Ä�¾�¸>à Ã�Í ÏaÄ>»�à Ä�¹�½�»�¿�Ì�ß�Ã Ä x¹�½ ¹�»�¿�º�ÍMÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½ ÅX¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Ñ�ÄÈÂ�¾�½�Ür¿�à ½�Ê�ü ẋ = A(t)x, Øþý Ù =>= ÿ�� ������� �� � Ñ�Â�¿¡Ë�Ä�á�ÝeÝe½ Ò ½ ¿�Ã�»�À�º8¸�»�¼ ½ Ò À A(t) Ê ¾&Ì!Ê Ï�»�¹�ÊYÚ ¿�¼ ½ Ä&Â�½ Ç ¿�¹�Ë ½ º�½]Ý3Í Ã Ë Ò ½�Ê º�½Y½�Ð+¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß&Î Ã Ä Ð� Ì!ÊȾ�¹�¿�Ó t ¾�À­Ú Ä&Ì�Ã�Ê ¿�»�¹�Êc¼!¸>¾�¿�à ¹�»�¾�Ä A(t) = A(t+2π). � ¸&»�¼ ½ Ò!¸ X(t) Ý3Í Ã Â¤¸>º�¿�Ã�»&¸�Ì�ß�à Ä�Å ¹�½ ¹�»�¿�º�À ¼ ¿�É:¿�à ½ ÅXÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê Øþý Ù�Í�Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê ¿�»U¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:½ ºã¹�Ä�Ä>»�à Ä>É:¿�à ½�Ê º­ü X(0) = E, X(t + 2π) = X(t)X(2π), detX(t) = 1, Ø ;�Ù Ñ�Â�¿ E � ¿�Â�½ à ½ Ç Ã!¸&Ê캡¸&»�¼ ½ Ò!¸�É:¿�¹�»�Ä�Ñ�ÄèÚ Ä�¼�Ê Â�Ë�¸�@ � ¸&»�¼ ½ Ò!¸ X(2π) Ã!¸&Ô�À­¾�¸>¿�»�¹�Ê亡¸&»�¼ ½ Ò ¿�Å º�Ä�à Ä�Â�¼ Ä�º�½ ½�Ф¸c¿�¿]¹�Ä�Æ�¹�»�¾�¿�à à À­¿:Ô�Ã!¸+Ç ¿�à ½�Ê � ºKÍ+Ì�ß+»�½ Ú Ì�½ Ë�¸&»�Ä�¼!¸>º�½gÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê Øþý Ù�@ � Í+Ì�ß>»�½ ÎÚ Ì�½ Ë ¸&»�Ä�¼ À Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê Ï�»ÈÓ ¸>¼!¸&Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½ Ç ¿�¹�Ë�Ä�ºKÍ#Í ¼!¸>¾�à ¿�à ½ Ï det [X(2π) − ρE] = 0. Ø � Ù ×1Í�¹�»�ß ρ1, ..., ρ6 � ºKÍ+Ì�ß+»�½ Ú Ì�½ Ë�¸&»�Ä�¼ ÀéÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê\¾U¾�¸>¼ ½!¸>Ò ½�Ê Ó Øþý Ù�Ð�»�Ä�Ñ�¤¸cÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½ Ç ¿�ι�Ë ½ ¿eÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½Xá�»�Ä�Ñ�ÄcÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê_¾�À­Ç ½ ¹�Ì!Ê Ï�»�¹±ÊXÚ ÄcÝeÄ>¼ º�Í�̤¸>º­ü λi = 1 2π ln ρi, i = 1, ..., 6. Ø�� Ù û�¸>º�¿�»�½ º­Ð�Ç�»�Ä�¾i¼!¸>¹�¹�º¡¸&»�¼ ½ ¾�¸>¿�º�Ä�ÅíÚ Ä�¹�»&¸>à Ä�¾�Ë�¿_¹�½ ¹�»�¿�º¡¸�Ú ¿�¼ ¾�Ä�Ñ�ÄiÚ ¼ ½ Æ&Ì�½�ÜÈ¿�à ½�ÊîÊ ¾&Ì!Ê ¿�»�¹�Ê Ú ¼!¸>¾>½ Ì�ß�à Ä�Åi½�Ð)Ë ¼ Ä�º�¿r»�Ä�Ñ�Ä Ð)Í ¼!¸>¾�à ¿�à ½ ¿ Øþý Ù¦½ º�¿�¿�»Xà ¿Èº�¿�à ¿�¿cÇ ¿�»�À­¼ ¿�Ó�Ã�Í�Ì�¿�¾�À�ÓpÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ι�»�½ Ç ¿�¹�Ë ½ ÓíÚ Ä�Ë�¸&Ô+¸&»�¿�Ì�¿�Åã½�ÔXÉ:¿�¹�»�½/å �&æ @8·P¸&Ô�Ì�½ Ç Ã À­¿gº�¿�»�Ä�Â�À Í Ú ¼ Ä>Þ:¿�à ½�Êã¹�½ ¹�»�¿�º�À Øþý Ù:¼!¸>¹�ι�º�Ä>»�¼ ¿�à À�¾È¼!¸>Æ�Ä>»>¸�Óiå =�Ð ý Ð �&æ @� F¤[Yö4L)N4ó���qUF SgF�[]õ O�ò¥öPñ�³�ó�F ç�?+A�����ѱ@&Ú Ä+Ê ¾�½ ̤¸>¹�ß1à ¿�Æ�Ä&Ì�ß>Ér¸&Ê]Ô+¸>º�¿�»�Ë ¸eç¦@ â]@ ê8»�¿�Ë�Ì�Ä�¾�¸�Ð ¾UË�Ä>»�Ä�¼ Ä�Å\Ä�Ã\Ú ¼ ¿� Ì�Ä+ÜÁ½ Ìià Ä�¾�Ä�¿]¼ ¿�É:¿�à ½ ¿>@��1Æ>Ô�Ä�¼\¼!¸&Æ�Ä>»�Ð�¹�¾>Ê�Ô+¸>à à À�Ó\¹:Ú ¿�¼ ¿�Ä>»�Ë ¼ ÀV»�½ ¿�ºä¼ ¿�Î É:¿�à ½�Êcê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�Ð>½ º�¿�¿�»�¹±Êr¾rå C Ð ��æ @>×1Í�¹�»�ß3º�Ä�º�¿�Ã�»�Àè½ Ã ¿�¼ Ò ½ ½rÚ Ä+Â�Ç ½ à ¿�à Àî¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þr¿�ºKÍ:Í�¹�Ì�Ä&ξ�½ ÏYü (2A2 − A1)(2A3 − A1) < 0 @�ç�¾�¿�Â�¿�º�Æ�¿�Ô�¼!¸&Ô�º�¿�¼ à À­¿]Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ À α = A2/A1, β = A3/A1. ·4¿�É:¿�à ½ ¿rê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸ÈÄ�Ú ¼ ¿�Â�¿�Ì�¿�à ÄÁ¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þr½ º�½g¸�Ì�Ñ�¿�Æ�¼!¸>½ Ç ¿�¹�Ë ½ º�½g¹�Ä�Ä>»�à Ä>É:¿�à ½�Ê º�½ ω2 2 = a0 + a1ω 2 1 , ω2 3 = b0 + b1ω 2 1 , ν1 = ζ0 + ζ1ω 2 1 , ν2 = η0ω1ω2, ν3 = ξ0ω1ω3. Ø A�Ù ×3Ä>¹�»�Ä�Ê Ã Ã À­¿�Ë�Ä�á�ÝeÝe½ Ò ½ ¿�Ã�»�À a0, a1, b0, b1, ζ0, ζ1, η0, ξ0 Ô+¸>¾�½ ¹�Ê�»íÄ>»îÂ�¾>Í�Ó Æ�¿�Ô�¼!¸&Ô�º�¿�¼ à À�Ó Ú!¸>¼!¸&º¡¿�»�¼ Ä�¾ α, β ü a0 = (1 − 2β) ε (α − β)(1 − α)(1 − β) , a1 = (β − 1) (2α − 1)(α − β) , ε = ±1, b0 = (2α − 1) ε (α − β)(1 − α)(1 − β) , b1 = α − 1 (1 − 2β)(α − β) , ζ0 = ε, ζ1 = (1 − α)(1 − β) (1 − 2α)(1 − 2β) , η0 = ζ1(2α − 1), ξ0 = ζ1(2β − 1). ×3¼ ½ã¾�À­Ú Ä&Ì�à ¿�à ½ ½äà ¿�¼!¸&¾�¿�à ¹�»�¾ β + 1 > α > 1 > 2β Ú Ä&Ì�Ä+ÜÁ½ º ε = −1, ¸�Ú ¼ ½ã¾�À­Ú Ä&Ì Î Ã ¿�à ½ ½ 1/2 > β > 1 − α > 0 Ú�Í�¹�»�ß ε = 1 @¦ê¡Ì�¿�Â!Í�¿�»íÔ+¸>º�¿�»�½�»�ß Ð�Ç�»�Ä�Ú ¼ ¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸>à ½ ¿ (α, β, ω2, ω3, ν2, ν3) → ( β, α, ω3, ω2, ν3, ν2) à ¿g½�Ô�º�¿�Ã�Ê ¿�»è½ à ¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»�à À­¿\¹�Ä�Ä>»�à Ä>É:¿�à ½�Ê = ý ����� ��� �� �! "#�# $�� #"��� � �%�&'���)(#���) �*� +%! �! �&-,� $�� �"��� /.0�$ -12 -3� �4657�) ���*�&'8��9 ;:7��%�*�<>=# �3!� Ø A�Ù�Ð�Ó�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½�Ô�Í Ï�Þr½ ¿]¼ ¿�É:¿�à ½ ¿>@�×3¼ ½XÝe½ Ë�¹�½ ¼ Ä�¾�¸>à à À�Ó#Ô�Ã!¸�Ç ¿�à ½�Ê Ó_Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ Ä�¾ α, β ¹�Ä�Ä>»&Î Ã Ä>É:¿�à ½�Ê Ø A�Ù:Ä�Ú ¼ ¿�Â�¿�Ì!Ê Ï�»�Â�¾�¿#»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½�Ð�¹�½ º�º�¿�»�¼ ½ Ç Ã À5¿XÄ>»�à Ä�¹�½�»�¿�Ì�ß�à Ä�Ñ�̤¸>¾�à Ä�Å�Ú Ì�Ä�¹�ÎË Ä�¹�»�½#½ à ¿�¼ Ò ½ ½�@¤ê�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾�½ ¿Yº�¿�ÜÈÂ!ÍÁ¹�½ º�º¡¿�»�¼ ½!Ç Ã À­º�½_»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½�Ê º�½_Ô+¸�¤¸&à ÄÈË�Ä�Ä�¼�Â�½ Ã!¸&»&Î Ã À­ºîÚ ¼ ¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸>à ½ ¿�º (ω3, ν3) → (−ω3,−ν3) @@?3¿�Ú Ä�Â�¾�½�ÜÁÃ!¸&Êc»�Ä�Ç Ë�¸]á�»�Ä�Ñ�ÄrÚ ¼ ¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸>à ½�Ê ω3 = ν3 = 0 à ¿UÚ ¼ ½ Ã!¸� Ì�¿�ÜÁ½�»\»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½è¼ ¿�É:¿�à ½�Ê�ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�ÐP»>¸>ËÛË ¸>ËÛ¹�Ì�¿�Â�¹�»�¾�½ ¿�º Ø A�ÙÊ ¾&Ì!Ê ¿�»�¹±Ê_¹�Ä�Ä>»�à Ä>É:¿�à ½ ¿ ω2 1 + (2α − 1)ω2 2 + (2β − 1)ω2 3 = 0 @ çì¹�Ì!Í Ç!¸>¿:ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:Â�½ Ã!¸>º�½ Ç ¿�¹�Ë ½ ¿YÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê Ø ?�ÙVÚ ¼ ½ ºKÍ�»Á¾�½  ω̇1 = (α − β)ω2ω3, ω̇2 = β − 1 2α − 1 ω3ω1, ω̇3 = α − 1 1 − 2β ω1ω2. û�¸>¾�½ ¹�½ º�Ä�¹�»�ß ω1, ω2, ω3 Ä>»g¾�¼ ¿�º�¿�à ½�¾�À­¼!¸&Üȸ>¿�»�¹±Ê�á�Ì Ì�½ Ú�»�½ Ç ¿�¹�Ë ½ º�½ÛÝ3Í Ã Ë Ò ½�Ê º�½BA3Ë�Ä�Æ�½i¾ Ä+Â�à Ä�Å\½�Ô]Â�¾>Í�Ó\ÝeÄ�¼ º­Ð¤Ë�¸&ÜȤ¸&Êg½�ÔrË�Ä>»�Ä�¼ À�Óp¹�Ä>Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�¿�»XÄ�Â�à Ä�Å\½�ÔrÚ Ä�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�à Ä�¹�»�¿�Å Í Ë�¸&Ô+¸>à à À�Ó_¼!¸>à ¿�¿eà ¿�¼!¸>¾�¿�à ¹�»�¾Áº�¿�ÜÈÂ!Í α ½ β @�7eÌ!Ê#Ú ¿�¼ ¾�Ä�Ñ�Äc¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»>¸r½ º�¿�¿�º ω1 = p0 BDC κt, ω2 = q0 E C κt, ω3 = r0 F C κt, Ø ��Ù p2 0 = (1 − 2β)(2α − 1) (1 − β)2(α − 1) , q2 0 = 1 − 2β (1 − β)(α − 1)(α − β) , r2 0 = 2α − 1 (1 − β)2(α − 1) , κ 2 = α − β (1 − β)(α − 1) , k2 = α − 1 α − β . Ø ? D Ù ç8»�Ä�¼ Ä�ÅX¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»rÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½�Ô�Í�Ï�»ÁÔ+¸>¾�½ ¹�½ º�Ä�¹�»�½ ω1 = p0 E C κt, ω2 = q0 BDC κt, ω3 = r0 F C κt, Ø ?�?�Ù p2 0 = (1 − 2β)(2α − 1) (1 − β)2(1 − α) , q2 0 = 1 − 2β (1 − β)(1 − α)(α − β) , r2 0 = 2α − 1 (1 − β)(α − β)(1 − α) , κ 2 = 1 1 − α , k2 = 1 − α 1 − β . Ø ? C Ù Ö¡Ì Ì�½ Ú�»�½!Ç ¿�¹�Ë!½ ¿]Ý3Í Ã Ë Ò ½ ½GA3Ë Ä�Æ�½#½_½ Ó#º�Ä�Â!Í+Ì�ß k ¹�¾>Ê�Ô�À­¾�¸>Ï�»Á½�Ô�¾�¿�¹�»�à À­¿]¹�Ä�Ä>»�à Ä>É:¿�à ½�Ê BDC 2τ + E C 2τ = 1, 1 − k2 E C 2τ = F C 2τ. ç¦@ â]@ ê8»�¿�Ë�Ì�Ä�¾ÈÄ�Ñ�¼!¸>à ½ Ç ½ Ì�¹�Ê_¸>Ã!¸�Ì�½�Ô�Ä�ºîÚ ¿�¼ ¾�Ä�Ñ�Är¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»&¸r¹�¾>Ä�¿�Ñ�Äȼ ¿�É:¿�à ½�Ê�@!ç8»�Ä�¼ Ä�ÅM¾�¸>¼ ½!¸>Ã�» Æ�À�ÌgÄ>»�º�¿�Ç ¿�Ãg×r@ â]@ 91Í�Ô�ß�º�½ à À­ºí½_Ú Ä�Â�¼ Ä�Æ�à ÄÈÚ ¼ Ä�¸>Ã!¸�Ì�½�Ô�½ ¼ Ä�¾�¸>Ã_¾È¼!¸>Æ�Ä>»�¿cå A æ @IH3Ã�»�¿�Ñ�¼!¸�Ì�ß�à À­¿Ë Ä�à ¹�»&¸>Ã�»�À�½ º�¿�Ï�»Á¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:½ Åg¾�½  g = 0, h = 2α + 2β − 2αβ − 1 2(α − 1)(β − 1) ε. Ø ?+=�Ù H1Ô�Í Ç ½ º Ú Ä�¾�¿�Â�¿�à ½ ¿è»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ Å<¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Ñ�ÄäÂ�¾�½�Ür¿�à ½�Êé¾äÄ�Ë ¼ ¿�¹�»�à Ä�¹�»�½<¼ ¿�É:¿�à ½�Ê ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�@ ·P¿�Ô�Í�Ì�ß�»&¸&»�À-½ ¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>à ½�ÊpÄ�¼ Æ�½�»>¸�Ì�ß�à Ä>Å\Í�¹�»�Ä>Å Ç ½ ¾�Ä�¹�»�½i¼ ¿�É:¿�à ½ Å�ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸#Ú ¼ ¿�Â�¹�»&¸>¾&Î Ì�¿�à ÀèÃ!¸¦¼ ½ ¹>@�?�ÐKJ Ø Ä�¹�ß Oα Ã!¸>Ú ¼!¸>¾&Ì�¿�Ã!¸1Ñ�Ä�¼ ½�Ô�Ä�Ã�»&¸�Ì�ß�à Ä�Ù�@$L:½�Ô�½ Ç ¿�¹�Ë ½:Â�Ä�Ú�Í�¹�»�½ º�À­¿­Ô�Ã!¸+Ç ¿�à ½�Ê Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ Ä�¾ α, β Ú ¼ ½ Ã!¸� Ì�¿�Üȸ&»X»�¼ ¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�à ½ Ë Í�¹c¾�¿�¼�É:½ Ã!¸>º�½ P1(1/2, 1/2), P2(3/2, 1/2), P3(1, 0) @�×1Í�¹�»�ß ε = 1 ½�Ð>¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã Ä Ð α < 1 @�?e¸¦¼ ½ ¹>@ ?Vá�»�Ä�ºKÍ:à ¿�¼!¸>¾�¿�à ¹�»�¾>Í:Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä>¼�Ê Î Ï�»È¾�Ã�Í�»�¼ ¿�à à ½ ¿3»�Ä�Ç Ë ½U»�¼ ¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß>à ½!Ë ¸ P1 P3 P4 @�7eÌ!ÊUá�»�½ ÓUÔ�Ã!¸�Ç ¿�à ½ Å#Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ Ä�¾]Â�¾�½�Ür¿�à ½�Ê�Ð =�; ÿ�� ������� �� � Ë ¸>ËîÚ ¼!¸>¾�½ Ì�Ä ÐKÄ�¼ Æ�½�»>¸�Ì�ß�à Ä\Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾>À5¿>@M��Â�Ã!¸>Ë Ä ÐPÔ�Â�¿�¹�ßi¹�Í�Þ:¿�¹�»�¾>Í�¿�»�Í�Ô�Ë ¸&ÊèÄ�Æ&̤¸>¹�»�ßgÂ�½ Ã!¸�Î º�½ Ç ¿�¹�Ë�Ä�Å�à ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½!¾>Ä�¹�»�½�Â�¾�½�Ür¿�à ½�Ê�Ð¥¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í Ï�Þȸ&Ê�Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ ½ Ç ¿�¹�Ë Ä�ºKÍ�¼ ¿�Ô�Ä>Ã!¸>à ¹�Í�¹ ¹�Ä>Æ�¹�»�¾�¿�à à Ä�Å�Ç!¸>¹�»�Ä>»�Ä�Å 5/2 @�93¼ Ä�º�¿M»�Ä�Ñ�Ä Ð4Â�¾�½�ÜÈ¿�à ½�ÊÛ»�¿�̤¸pº�Ä�Ñ�Í�»iÆ�ÀV»�ßià ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½!¾>À5º�½�½ Ã!¸pË ¼ ½ ¾�À�Ó�¼ ¿�Ô�Ä�Ã!¸>à ¹�Ä�¾ Ð8Ë�Ä>»�Ä�¼ À­¿gÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸>à À Â�Ä�Ç ¿�»�¾�¿�¼�»�Ä�Ñ�Ä�Ú Ä�¼�Ê�Â�Ë ¸i¾�Ë Ì�Ï¦Ç ½�»�¿�Ì�ß�Ã Ä @�ç�¹�¿ Ä>»�º�¿�Ç ¿�à à À5¿YÌ�½ à ½ ½X¼ ¿�Ô�Ä�Ã!¸>à ¹�Ä�¾Á¾cà ¿�Ô+¸&É]»�¼!½ Ó�Ä>¾�¸>à à Ä�Å\Ç!¸>¹�»�½_»�¼ ¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�à ½!Ë ¸ P1 P3 P4 Ã!¸+Ç ½ Î Ã!¸>Ï5»�¹±ÊU¾]Ä�Ë ¼ ¿�¹�»�à Ä�¹�»�½U»�Ä�Ç Ë ½ P1 ½cÔ+¸>Ë�¸>Ã Ç ½ ¾�¸&Ï�»�¹±ÊU¾]Ä�Ë ¼ ¿�¹�»�à Ä�¹�»�½U»�Ä�Ç Ë ½ P3 @ ·4¿�Ô�Ä�Ã!¸>à ¹�Ã!¸&Ê Ë ¼ ½ ¾�¸�Ê)Ð�¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í Ï¦Þr¸&ÊíÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½ Ïï¹�Ä�Æ�¹�»�¾�¿�à à Ä�ÅãÇ!¸&¹�»�Ä>»�À 9/4 Ð¡Ú ¿�¼ ¿�¹�¿�Ë�¸>¿�»ÛÑ�¼!¸>à ½ Ç Ã À­Å Ä>»�¼ ¿�Ô�Ä�Ë P1 P3 ¾rÂ�¾>Í�ÓM»�Ä�Ç Ë ¸�Ó P5 ½ P6 @ 0 0.5 0.5 1.5 5/2 P 1 P 2 P 4 P 5 P 3 P 6 8/37/39/4 11/4 0 2.5 3 0.5 Im l1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 Re l1 N-O P�O Q-O RI "'��ST�#����� ��� �� �! "#�# $�� �"��� � K%�&'���)(����� -*� ��$ -12 -3� /U+57�� -��*�&'8���V N-W &TX'*!��"#�# Y3� ��Z"#��&'4$�) �8/&D"[�� Y 9���! �8T<� 7&D"�3�&'8�\3�<].^�$ _('&'3!��3!��"[&'8+3!�+%�*�&D"��Z&D"#�# R 2(α, β) ` P�W (���8T "� Za7&D"#�#b Im λ1 &D�c%Z��� �)a7 ��_� � β ,�*/U α = const < 1 `Q-W (���8T "� Za7&D"#�#b Reλ1 &D�d%!��� �)a7 ��_� � β ,�*/U α = const > 1 � H1Ô�Í Ç ½ ºèÔ+¸>¾�½ ¹�½ º�Ä�¹�»�ßc¾�¿�Ì�½ Ç ½ à λ1,2 Ä>»cÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ Ä�¾ @!9e¸&ÜÈÂ�À­Å#½�Ôe½ Ã�»�¿�¼ ¾�¸�Ì�Ä�¾ (1/2, 1) Ð (1, 3/2) ½�Ô�º�¿�à ¿�à ½�Ê\Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸ α ¼!¸&Ô�Â�¿�Ì�½ ºãÃ!¸rÂ�¿�¹±Ê�»�ßU¼!¸>¾�à À�Ó_Ç!¸>¹�»�¿�Å\½XÃ!¸È¹�¿�Ç ¿�à ½�Ê Ó�Ð�¹�Ä&Î Ä>»�¾>¿�»�¹�»�¾>Í Ï¦Þ:½ Ó α = const, ¾�À­Ç ½ ¹�Ì�½ º/Ú Ä�Ë�¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½ÛË�¸&ËÛÝ3Í Ã Ë Ò ½ ½Û¹�¾�Ä�Æ�Ä�Â�à Ä�Ñ�ÄgÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸ β ∈ (|1 − α|, 1/2) @¥û�¸>¾�½ ¹�½ º�Ä�¹�»�ßÁÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½!Ç ¿�¹�Ë!½ ÓpÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�¿�ÅiÄ>»#¾>¿�Ì�½ Ç ½ à À 1/2 − βÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸>Ã!¸:Ã!¸r¼ ½ ¹>@)?�Ðfe�g h&@K?e¸:¼ ½ ¹>@�?�Ð]e\¼ ¿�Ô�Ä�Ã!¸&à ¹�À Ø Â�ÄrÇ ¿�»�¾�¿�¼�»�Ä�Ñ�ÄcÚ Ä�¼�Ê Â�Ë ¸r¾�Ë Ì�Ï¦Ç ½�»�¿�Ì�ß�à Ä�ÙÄ>»�º�¿�Ç ¿�à À�Ñ�Ä�¼ ½�Ô�Ä�Ã�»>¸�Ì�ß>à À5º�½_Ì�½ à ½�Ê º�½�Ð!Ë ¼!¸>Å Ã�Ê�Ê Ø ¹�Ú ¼!¸>¾�¸�ÙVË ¼ ½ ¾�¸&Ê#¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�¿�»U¹�¿�Ç ¿�à ½ Ï α ≈ 1 − ε @Y?e¸p¼ ½ ¹>@5?�Ð0hì»&¸>Ë�Ür¿_½�Ô�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�à ÄiÄ�Â�½ à Ã!¸�Â�Ò!¸&»�ß�Ë ¼ ½ ¾�À�Ó�Ð8à ÄiÄ�à ½èÃ!¸>Ë Ì¤¸�Â�À­¾�¸�Î Ï�»�¹�Ê�Â�¼�Í ÑUÃ!¸#Â�¼�Í Ñ�¸�Ð4»&¸>ËÛË ¸>Ë�Ú ¼ ½�Ýe½ Ë ¹�½ ¼ Ä�¾�¸>à à À�Ó�Ô�Ã!¸+Ç ¿�à ½�Ê Ó β Ý3Í Ã Ë Ò ½�Ê λ1(α) º¡¸�Ì�Ä Ä>»�Ì�½ Ç!¸>¿�»�¹�ÊíÄ>»iË�Ä�à ¹�»&¸>Ã�»�Àú Ì!Êè¾�¹�¿�Ó α ∈ (1 + ε, 3/2 − ε) @¡çaÄ�Ë ¼ ¿�¹�»�à Ä�¹�»�½�Ä>»�¼ ¿�Ô�Ë�¸ P3P4Ø Ú ¼ ½ α → 1 Ù�Ë�Ä�à ¹�»&¸>Ã�»>¸ h à ¿�Ä�Ñ�¼!¸>à ½ Ç ¿�à à Äc¾�Ä>Ô�¼!¸>¹�»&¸>¿�»�Ð�Ç�»�Äcº�Ä+ÜÁà Är½ Ã�»�¿�¼ Ú ¼ ¿�»�½!¼ Ä�¾�¸&»�ßÁË ¸>Ë Ú ¼ ½ Æ&Ì�½�Ür¿�à ½ ¿:Ò ¿�Ã�»�¼!¸Mº¡¸>¹�¹]»�¿�̤¸MË\à ¿�Ú Ä�Â�¾�½�ÜÁà Ä�ÅX»�Ä�Ç Ë ¿>@)ç á�»�Ä�ºä¹�Ì!Í Ç!¸&¿r¼ ¿�É:¿�à ½ ¿Áê8»�¿�Ë Ì�Ä&Î ¾�¸iÆ&Í+Â�¿�»Û¹�»�¼ ¿�º�½�»�ß�¹�ÊãËíÇ!¸>¹�»�à Ä�ºKÍ�¼ ¿�É:¿�à ½ Ï Ö8Å Ì�¿�¼!¸�@­û�Â�¿�¹�ß�à ¿�Ä�Æ�Ó�Ä+Â�½ º�Ä�Ú ¼ Ä�¾�¿�¹�»�½ãÆ�Ä&Ì�¿�¿ »�Ä�Ç Ã ÀV¿]½ ¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>à ½�Ê_Ú Ä�Ë�¸&Ô+¸�»�¿�Ì�¿�Å λ1,2 @ û�¸>º�¿�»�½ º­Ð�Ç�»�Ä3Ó ¸&¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½!Ç ¿�¹�Ë ½ ¿¦Ú Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½ÁÄ�Ú ¼ ¿�Â�¿�Ì!Ê Ï�»�¹±ÊÁ½�Ô5Í ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Ê Ø�� ÙPà ¿�Ä� Îà Ä>Ô�Ã!¸�Ç Ã Ä Ð ¹¦»�Ä�Ç Ã Ä�¹�»�ß�Ï Â�Är¹�̤¸>Ñ�¸&¿�º�À�Ó im Ð Ñ�Â�¿ m � Ò ¿�Ì�Ä�¿3Ç ½ ¹�Ì�Ä Ð i = √ −1 @�?3¿�Ú ¼ ¿�¼ À­¾�Ã!¸&Ê Ô+¸&¾�½ ¹�½ º�Ä�¹�»�ß λ1,2 Ä>»:Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ Ä�¾rÚ Ä&Ô�¾�Ä&Ì�½ ̤¸YÍ�¹�»�¼!¸>à ½�»�ßrá�»>ÍÁà ¿�Ä+Â�à Ä>Ô�Ã!¸+Ç Ã Ä�¹�»�ß @ ç�Ä&Î|Ú ¿�¼ ¾�À�Ó�Ð Æ�À8Ì�½�Ú ¼ Ä�¸>Ã!¸�Ì�½�Ô�½ ¼ Ä�¾�¸>à ÀaÚ ¼ ¿�Â�¿�Ì�ß�à ÀV¿U¹�Ì!Í Ç!¸>½�Ð4Ë�Ä�Ñ�¤¸_¼ ¿�É:¿�à ½ ¿Mê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸X¾�À­¼ Ä+ÜȤ¸>¿�»�¹�Ê�¾ ¼ ¿�É:¿�à ½ ¿�Ð�Ä�Ú ½ ¹�À­¾�¸>Ï�Þ:¿�¿5Â�¾�½�Ür¿�à ½ ¿5Ýe½�Ô�½ Ç ¿�¹�Ë Ä�Ñ�Ä]º¡¸&Ê�»�à ½ Ë ¸�@ ç�Ä&Î|¾>»�Ä�¼ À�Ó�Ð�Æ�À�Ì�½c½�Ô�Í Ç ¿�à À�Ó�¸�Î ¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½!Ç ¿�¹�Ë!½ ¿YÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½_Ú ¼ Ä�¹�»�¿�Å�Ér½ Ó_º¡¸&Ê�»�à ½ Ë�Ä�¾�À�ÓUÂ�¾�½�Ür¿�à ½ Å�Ð!Ë�Ä>»�Ä�¼ À­¿eà ¿�Ú ¼ ¿�¼ À­¾&Î Ã Ä�½�Ô�º�¿�Ã�Ê Ï�»�¹�ÊíÂ�Ä�»�¿�ÓãÚ Ä�¼�Ð8Ú Ä�Ë ¸pÂ�¾�½�ÜÈ¿�à ½ ¿Xà ¿g¾�À­¼ Ä+ÜȤ¸>¿�»�¹�Êã¾�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�Ä�¿\Ú Ä&Ì�Ä�Ür¿�à ½ ¿ ¼!¸>¾>à Ä�¾�¿�¹�½�Ê�@�ÕK¸>Ë ½ º�Ä�Æ>¼!¸&Ô�Ä�º�Æ�À�Ì�½c¾�À­Ç ½ ¹�Ì�¿�à ÀíÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½�ÊÁ¹�̤¸>Ñ�¸>¿�º�À�Ó im Ð�à ¿�Ä�Â�à Ä>Ô�Ã!¸+Ç Ã Ä�¹�»�ß Æ�À8̤¸rÍ�¹�»�¼!¸>à ¿�Ã!¸�@ = � ����� ��� �� �! "#�# $�� #"��� � �%�&'���)(#���) �*� +%! �! �&-,� $�� �"��� /.0�$ -12 -3� �4657�) ���*�&'8��9 ;:7��%�*�<>=# �3!� ·P¿�Ô�Í�Ì�ß�»&¸&»�À Ç ½ ¹�Ì�¿�à à Ä�Ñ�Äcº�Ä�Â�¿�Ì�½ ¼ Ä�¾�¸>à ½�Ê#»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ÅX¼ ¿�É:¿�à ½�Êgê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸ÈÚ ¼ ¿�Â�¹�»>¸>¾&Ì�¿�Î Ã À Ã!¸g¼ ½ ¹>@ C @d�1Æ>Þr¸&ÊÛº�¿�»�Ä�Â�½ Ë ¸\½ ¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>à ½�Êî½ÛÄ�Æ�Ä�¹�à Ä�¾�¸>à ½ ¿U¾�À­Æ�Ä>¼!¸gÝY¸&Ô�Ä�¾�À�Ó�¹�¿�Ç ¿�à ½ ÅÄ�Æ�¹�Í�ÜȤ¸�̤¸>¹�ßp¾p¼!¸>Æ�Ä>»�¿iå � æ @YLr¸&Ô�Ä�¾�Ä�¿M¹�¿�Ç ¿�à ½ ¿>С½�Ô�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�à à Ä�¿#Ã!¸\¼ ½ ¹>@ C Ðji>ÐK¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�¿�»Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�Ä�ºKÍ�Ú ¿�¼ ½ Ä�Â�½ Ç ¿�¹�Ë Ä>º�Í�¼ ¿�É:¿�à ½ Ï]@¡ê8»�¼ ¿�Ì�Ë Ä�ÅîÄ>»�º�¿�Ç ¿�Ã!¸X»�Ä�Ç Ë�¸�ÐP¾XË Ä>»�Ä�¼ Ä�Å�Ô+¸>º�Ë Ã�Í�Î »>¸&ÊX»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ÊpÚ ¿�¼ ¿�¹�¿�Ë ¸>¿�»#Ô+¸�¤¸>à Ã�Í Ï<Ú Ä�¾�¿�¼�Ó�à Ä�¹�»�ß @lk�¹�Ì�½\¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à ½ ¿]Â�Ä�¹�»&¸&»�Ä�Ç Ã Ä#º¡¸�Ì�Ä Ð »�Ä#Ú Ä�Ç�»�½\¾�¹�¿]»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½!½p¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Ñ�ÄUÂ�¾�½�ÜÈ¿�à ½�ÊgÚ ¼ ½ Ã!¸� Ì�¿�Üc¸&»M½ à ¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»�à À­ºä»�Ä>¼!¸>º­Ð ¹�»�Ê Ñ�½ ¾�¸>Ï�Þ:½ º�¹�ÊiËgÔ+¸>º�Ë Ã�Í�»�Ä�ÅiË ¼ ½ ¾�Ä�Å Ø »�Ä�¼ Àé¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í�Ï�»_Ë Ä�Ã Ò ¿�Ã�»�¼ ½ Ç ¿�¹�Ë!½ º Ä�Ë ¼�Í�ÜÁà Ä&ι�»�Ê ºèÃ!¸:¼ ½ ¹>@ C Ðfi+Ù�@�Ö¡»�½_Ë�Ä�Ã Ò ¿�Ã�»�¼ ½ Ç ¿�¹�Ë ½ ¿YÄ�Ë ¼�Í�ÜÁà Ä�¹�»�½#½ ¹�Ç ¿�Ô+¸>Ï�»cÃ!¸:¼ ½ ¹>@ C Ðfe�ü »�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½�ʼ ¿�É:¿�à ½�Ê ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�Ê ¾&Ì!Ê ¿�»�¹�ÊãÄ�¼ Æ�½�»>¸�Ì�ß>à ÄÛà ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�À­º Ú ¼ ¿�Â�¿�Ì�ß�à À­º Ò ½ Ë Ì�Ä�º­Ð8»>¸>ËãË ¸>Ë Ô�Â�¿�¹�ß]Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ À α, β ¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾>Í Ï�»rÚ Ä&Ì!Í Ò ¿�Ì�Ä�ºKÍȼ ¿�Ô�Ä�Ã!¸>à ¹�Í Ø λ1,2 = ±i5/2 Ù�@mLr¸&Ô�Ä�¾>Ä�¿�¹�¿�Î Ç ¿�à ½ ¿3Ã!¸:¼ ½ ¹&@ C Ð7e�Ë ¸+Ç ¿�¹�»�¾�¿�à Ã!ÄÈà ¿1Ä>»�Ì�½ Ç!¸>¿�»�¹±Ê#Ä>»rÝY¸&Ô�Ä�¾�Ä�Ñ�Ä:¹�¿�Ç ¿�à ½�Ê�Ð Ú Ä&Ì!Í Ç ¿�à à Ä�Ñ�Ä: Ì!ÊM¼ ¿�ÎÉ:¿�à ½�Ê;n Ä�¼�Ê Ç ¿�¾�¸Èå ; æ ¾e¹�Ì!Í Ç!¸>¿ γ ≈ 0.4163135, λ1,2 = ±i5/2 @�çîÄ�Ë ¼ ¿�¹�»�à Ä�¹�»�½Uà ¿�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Å »�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼ ½!½pÚ ¼ Ä�½ ¹�Ó�Ä�Â�½�»_Æ�½ Ý3Í ¼ Ë ¸>Ò ½�Ê\Ä�Â�à Ä�Ñ�ÄM½ à ¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»�à Ä�Ñ�ÄM»�Ä�¼!¸U¾cÂ�¾�¸c»�Ä�¼!¸U¹]Í+Â�¾�Ä�¿�à ½ Î ¿�ºèÚ ¿�¼ ½ Ä�Â�Ä�¾rÄ�Æ�¼!¸&Þ:¿�à ½�Ê#¾&Â�Ä&Ì�ß:½ ÓMÄ�¹�¿�¾�À�ÓMÄ�Ë ¼�Í�ÜÁà Ä�¹�»�¿�Åiå ; æ @!ê�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼ ½ ¹�Ã!¸&Ê#Ú Ä�¾�¿�¼�Ó�à Ä�¹�»�ß Ð¹�Ä�¹�»�Ä�Ê�Þr¸&Ê#½�Ô]¸>¹�½ º�Ú�»�Ä>»�½ Ç ¿�¹�Ë ½ Ó#»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½!ÅX¾>Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Ñ�ÄÈÂ�¾�½�Ür¿�à ½�Ê�Ð ÝeÄ�¼ º�½ ¼�Í�¿�»ÁÇ ¿�»�À�Î ¼ ¿+o¨Ì�¿�Ú ¿�¹�»�Ë ¸�peÃ!¸:¼ ½ ¹>@ C Ðfe�@�ë3¿�»�À­¼ ¿eà ¿�Ú Ä�Â�¾�½�ÜÁà À­¿3»�Ä�Ç Ë ½_Ä>»�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�à ½�ÊMÚ Ä�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸>à ½�Ê Ø ¹�º­@¼ ½ ¹>@ C Ðle'qYÚ ¼ ½ Ã!¸� Ì�¿�Üȸ&»ÁÂ�¾>Í ºãÄ�¼ Æ�½�»&¸�Ì�ß�à ÄÁÍ�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�À­ºìÔ+¸>º�Ë Ã�Í�»�À­ºã»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½�Ê ºä¹]Ú ¿�¼ ½ ÎÄ+¤¸>º�½#Ú Ä�Ç�»�½X¾:Â�¾�¸r¼!¸&Ô+¸ÈÚ ¼ ¿�¾�ÀVÉr¸>Ï�Þ:½ º�½gÚ ¿�¼ ½ Ä�Âg¼ ¿�É:¿�à ½�Ê\ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�@ N-O α = 0.7, β = 0.404 P�O α = 0.78, β = 0.331 Q-O α = 1.02, β = 0.499 r O α = 1.1, β = 0.4 RI "'�Zs��$tf���$ �"#�#3�&D"#�#b9�$ -12 -3� /Uu57�� -��*�&'8���� ÕP¿�Ú ¿�¼ ßUÚ Ä&Ì�Ä+ÜÁ½ º ε = −1 ½�Ð�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã Ä Ð α > 1. ?e¸c¼ ½ ¹>@4?�Ðli�á�»�Ä�ºKÍXà ¿�¼!¸>¾�¿�à ¹�»�¾>Í Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê ¿�»MÔ+¸&É]»�¼ ½ Ó�Ä�¾�¸>à Ã!¸&Ê\Ä�Æ&̤¸>¹�»�ßÁ»�¼ ¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�à ½ Ë�¸ P2 P3 P4 @¤ç á�»�Ä�ºã¹�Ì!Í Ç!¸>¿:¼ ¿�É:¿�à ½ ¿ ¸>Ã!¸�Ì�½�»�½ Ç ¿�¹�Ë!½�Ä�Ú ½ ¹�À­¾�¸>Ï�»X¹�Ä�Ä>»�à Ä>É:¿�à ½�Ê Ø A�Ù�Ð Ø ?�?�Ù�@]H1Ôc¸>Ã!¸�Ì�½�Ô+¸ÁÓ ¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½ Ç ¿�¹�Ë ½ ÓiÚ Ä�Ë�¸�ÎÔ+¸&»�¿�Ì�¿�Å#¹�Ì�¿�Â!Í�¿�»&Ð�Ç�»�Ä:¼ ¿�É:¿�à ½ ¿eê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:¾]á�»�Ä�ÅUÄ�Æ&̤¸>¹�»�½ÁÊ ¾&Ì!Ê ¿�»�¹±ÊUÄ�¼ Æ�½�»&¸�Ì�ß�à Ä:à ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½�Î ¾�À­ºÛÚ ¼ ½cÌ�ϦÆ�À�ÓÁÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½�Ê ÓUÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ Ä�¾ α, β. Ö8»&¸]Ä�¹�Ä�Æ�¿�à à Ä�¹�»�ßr¼ ¿�É:¿�à ½�Ê_ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:à ½ Ë�¿�º ¼!¸>à ¿�¿�à ¿�Æ�À�̤¸eÄ>»�º�¿�Ç ¿�Ã!¸�@�·4¿�Ô�Í+Ì�ß+»&¸&»�ÀãÇ ½ ¹�Ì�¿�à à Ä�Ñ�Ä:º�Ä�Â�¿�Ì�½ ¼ Ä�¾�¸>à ½�ÊÈ Ì!ÊÈÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½ ÅUÚ!¸>¼!¸&º¡¿�»&Î ¼ Ä�¾ α, β ½�Ô1»�¼ ¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�à ½ Ë�¸ P2 P3 P4 Ú ¼ ¿�Â�¹�»>¸>¾&Ì�¿�à À Ã!¸]¼ ½ ¹>@ C Ðfh/g v±@ û�¸>º�Ë Ã�Í�»&¸&ÊU»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½�Êà ¿�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à Ã!Ä�Ñ�Ä#Â�¾�½�Ür¿�à ½�ÊiÚ ¿�¼ ¿�¹�¿�Ë ¸>¿�»\ÝY¸&Ô�Ä�¾�Ä�¿r¹�¿�Ç ¿�à ½ ¿Á¾M»�Ä�Ç Ë�¿>Ð¥Ä>»�º�¿�Ç ¿�à à Ä�Å�¹�»�¼ ¿�Ì�Ë�Ä�Å�@ ⦹�½ º�Ú�»�Ä>»�½ Ç ¿�¹�Ë ½�à ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�À­¿È»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Ñ�Ä#Â�¾�½�Ür¿�à ½�Êpº�Ä+ÜÁà ÄM¼!¸&Ô�Â�¿�Ì�½�»�ß Ã!¸�Â�¾�¸¦¹�¿�º�¿�Å ¹�»�¾�¸�ü�Ë:Ú ¿�¼ ¾�Ä�ºKÍ]¹�¿�º�¿�Å ¹�»�¾>ÍrÄ>»�à ¿�¹�¿�ºi»�¼!¸&¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½�Ð& Ì!Ê:Ë Ä>»�Ä�¼ À�Ó:¼ ¿�É:¿�à ½ ¿¦ê8»�¿�Ë Î Ì�Ä�¾�¸ÈÊ ¾&Ì!Ê ¿�»�¹�Ê α− ½ ω− Ú ¼ ¿�Â�¿�Ì�ß�à À­ºìÒ ½ Ë Ì�Ä�º Ø Ä�à ½XÝeÄ�¼ º�½ ¼�Í Ï�»M¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼ ½ ¹�Ã�Í�Ï<Ë ¼ ½ ¾>Í Ï]м!¸>¹�Ú Ä&Ì�Ä�Ür¿�à Ã�Í Ï-¾�ÀVÉ:¿:à ¿�Ú Ä�Â�¾�½�ÜÁà Ä�ÅX»�Ä�Ç Ë ½\Ã!¸c¼ ½ ¹>@ C Ð�v�Ù)w¤Ë�ÄU¾>»�Ä�¼ Ä�ºKÍ_¹�¿�º�¿�Å ¹�»�¾>ÍgÄ>»�à ¿�¹�¿�º»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼ ½!½�ÐKË Ä>»�Ä>¼ À­¿Mà ¿UÚ ¼ ½ Ã!¸� Ì�¿�Üȸ&»p¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼ ½ ¹�à Ä�ÅîÚ Ä�¾�¿�¼�Ó�à Ä�¹�»�½�Ð�¸_Ô+¸>Ú Ä&Ì�Ã�Ê Ï�»pà ¿�Ë�Ä&Î »�Ä�¼�Í Ï Ä�Æ&̤¸>¹�»�ß_ÝY¸&Ô�Ä�¾�Ä�Ñ�Ä#Ú ¼ Ä�¹�»�¼!¸>à ¹�»�¾�¸ Ø Ä�à ½pÔ+¸>Ú Ä&Ì�Ã�Ê Ï�»XÄ�Æ&̤¸>¹�»�ß Ð)¼!¸>¹�Ú Ä&Ì�Ä+Ür¿�à Ã�Í Ï Ã ½�Ür¿Ã ¿�Ú Ä+Â�¾�½�ÜÁà Ä�Åg»�Ä�Ç Ë ½pÃ!¸U¼ ½ ¹>@ C Ð�v�Ù�@ � Ä�ÜÁà ÄU¹�Ë ¸&Ô+¸&»�ß Ð)Ç�»�ÄM¾M¹�Ì!Í Ç!¸>¿Áê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸M¼!¸>¹�Þ:¿�Ú Ì!Ê ¿�»>ι±Ê�»�Ä&Ì�ß�Ë�Ä\Ä�Â�Ã!¸g½�ÔM¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼ ½ ¹�à ÀVÓîÚ Ä�¾�¿�¼�Ó�à Ä�¹�»�¿�Å)@¡Ö8»�Äp¼!¸>¹�Þ:¿�Ú Ì�¿�à ½ ¿#à ¿�Ô�Ã!¸�Ç ½�»�¿�Ì�ß�à ÄpÚ ¼ ½ β → 1/2 Ð »&¸>Ë_Ë�¸>Ë#¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à À­¿Y»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½gÃ!¸�Ó�Ä+Â!Ê�»�¹�ÊX¾rÍ�Ô�Ë�Ä�Å_Þ:¿�Ì�½Xº�¿�ÜrÂ!ÍM½ à ¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»&Î Ã À­º�½�»�Ä�¼!¸>º�½ Ø ¹�º­@4¼ ½ ¹>@ C Ð9h�Ù�@P×3¼ ½�Í º�¿�à ß&É:¿�à ½!½�Ô�Ã!¸+Ç ¿�à ½�ÊÛÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸ β ¼�Ê Â�Ä�º ¹Áà ¿�¾�Ä>Ô�Î = � ÿ�� ������� �� � ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�ÅÈ»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ¿�ÅÁÝeÄ�¼ º�½ ¼�Í�¿�»�¹±ÊcÄ�Æ&̤¸>¹�»�ßeà ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½!¾�Ä�¹�»�½�Ð�Ô+¸>Ú Ä&Ì�à ¿�à Ã!¸&Ê:Ó ¸&Ä>»�½ Ç ¿�¹�Ë!½ Î º�½M»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä>¼ ½ Ê º�½�@�û�¸>º�¿�»�½ º­Ð�Ç�»�Äcá�»>¸ÈÄ�Æ&̤¸>¹�»�ßcà ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�Ä�¹�»�½g¹�Ä�¿�Â�½ Ã�Ê ¿�»ÁÄ�Æ�¿3»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½ ¼ ¿�É:¿�à ½�Ê�ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸�Ð�¹�Ä�Ä>»�¾�¿�»�¹�»�¾�½ ¿rº�¿�ÜÈÂ!Í_Ë Ä>»�Ä�¼ À­º�½gÔ+¸�¤¸>à ÄUË�Ä�Ä�¼�Â�½ Ã!¸&»�à À­ºäÚ ¼ ¿�Ä�Æ�¼!¸&Ô�Ä�¾�¸�Î Ã ½ ¿�º (ω3, ν3) → (−ω3,−ν3) @dk�¹�Ì�½îÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½�ÊîÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ Ä�¾ α, β ¾�À­Æ�¼!¸&»�ßi¾g»�¼ ¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�à ½ Ë ¿ P2 P3 P4 ½#Ô+¸>Ýe½ Ë ¹�½ ¼ Ä�¾�¸&»�ß Ð�»�ÄÁÄ�Æ�¿e¹�½ º�º�¿�»�¼ ½ Ç!à À­¿]»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½\½ º�¿�Ï�»ÁÄ+Â�½ Ã!¸>Ë�Ä�¾�À­¿3Ó�¸>¼!¸>Ë Î »�¿�¼ ½ ¹�»�½ Ç!¿�¹�Ë ½!¿ÈÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½p½�Ð�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã Ä Ð�Ê ¾&Ì!Ê Ï�»�¹�Êpà ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½!¾�À­º�½�@l?3¿:½ ¹�Ë Ì�Ï¦Ç ¿�à Ä�Ð Ç�»�ÄX¾_Ä�Æ&̤¸>¹�»�½�à ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�Ä�¹�»�½ÛÃ!¸>Å Â!Í�»�¹�Ê�»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ½)Ð4à ¿�Ä�Ñ�¼!¸>à ½ Ç ¿�à à ÄgÚ ¼ ½ Æ&Ì�½�Üc¸>Ï�Þ:½ ¿�¹�Ê Ë#Ä�Æ�¿�½ º�à ¿�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à À­ºí»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½�Ê º­@ x F­[Yö4L)N4ó��-[ÁF SgF ^_ó ù¥ö�yuz>¶4µ4ó�F�ça?/� D>ý ѱ@¥ê¦@ âY@ ëe¸>Ú Ì�À­Ñ�½ Ã�¹�Ä�Ä�Æ>Þ:½ ÌiÄMà Ä�¾�Ä�ºìÇ!¸>¹�»�à Ä�º¼ ¿�É:¿�à ½ ½MÔ+¸�¤¸+Ç ½�Ð ËUË�Ä>»�Ä�¼ Ä�ºKÍÁÄ�ÃÁÚ ¼ ½�É:¿�Ì¥Ð�Ä�Æ�Ä�Æ>Þr¸&ÊÁÚ Ä� Ó�Ä+Â_ç¦@ â]@ ê8»�¿�Ë Ì�Ä�¾�¸:½È7Á@ ?r@ n Ä�¼�Ê Ç ¿�¾�¸ ËÁÚ Ä�¹�»�¼ Ä�¿�à ½ Ï »�Ä�Ç Ã Ä�Ñ�Ä:¼ ¿�É:¿�à ½�Ê�@ ×1Í�¹�»�ß:º�Ä�º�¿�Ã�»�Àì½ Ã ¿�¼ Ò ½ ½MÚ Ä+Â�Ç ½ à ¿�à Àì¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:¿�ºKÍÁÍ�¹�Ì�Ä&Î ¾�½ ÏYü 9(2A2 − A1)(2A3 − A1) = 4A2A3 @!ç�¾�¿�Â�¿�ºíÆ�¿�Ô�¼!¸&Ô�º�¿�¼ à À­ÅXÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼ γ »&¸>Ë�Ð!Ç�»�Ä A2 = γA1, A3 = 9(2γ − 1) 2(16γ − 9) A1, γ ∈ ( 3 2 , 17 + √ 73 16 ) . 7eÌ!ÊiÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½ Å γ < 3/2 Ã!¸>¼�Í�Ér¸>Ï�»�¹±Ê�Í�¹�Ì�Ä�¾�½�Ê�¾�¿�Þ:¿�¹�»�¾�¿�à Ã!Ä�¹�»�½î¼ ¿�É:¿�à ½�Ê�ÐP½ à ¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»�à À­¿ ¹�Ä>Ä>»�à Ä>É:¿�à ½�Êäëe¸>Ú Ì�À­Ñ�½ Ã!¸�à ¿XÄ�Ú ½ ¹�À­¾�¸>Ï�»îÝe½�Ô�½ Ç ¿�¹�Ë ½ã¾�Ä>Ô�º�Ä�ÜÁà Ä�¿MÂ�¾�½�Ür¿�à ½ ¿>@¡7eÌ!Ê�Ô�Ã!¸+Ç ¿�Î Ã ½ Å γ ≥ (17 + √ 73)/16 º�Ä�º�¿�Ã�»�À ½ à ¿�¼ Ò ½ ½M»�¾�¿�¼�Â�Ä�Ñ�Är»�¿�̤¸Èà ¿¦Í+Â�Ä�¾&Ì�¿�»�¾�Ä�¼�Ê Ï�»cà ¿�¼!¸>¾�¿�à ¹�»�¾>Í »�¼ ¿�Í Ñ�Ä&Ì�ß�à ½ Ë ¸�@ ·P¿�É:¿�à ½ ¿�Ä�Ú ½ ¹�À­¾�¸>¿�»�¹±ÊÁ¹�Ì�¿�Â!Í Ï�Þ:½ º�½M¸�Ì�Ñ�¿�Æ�¼!¸>½ Ç ¿�¹�Ë ½ º�½Á½ à ¾�¸>¼ ½!¸>Ã�»�à À­º�½U¹�Ä&Î Ä>»�à Ä&É:¿�à ½�Ê º¡½�ü ω2 2 = a0ω 2 3 1 + a1ω 2 1 , ω2 3 = b0ω 2 3 1 + b1ω 2 1 , ν1 = ζ0ω 2 3 1 + ζ1ω 2 1 , ν2 = (η0 + η1ω − 4 3 1 )ω1ω2, ν3 = (ξ0 + ξ1ω − 4 3 1 )ω1ω3. Ø ? ý Ù 93Ä>á�ÝeÝe½ Ò ½ ¿�Ã�»�À<¹�Ä�Ä>»�à Ä>É:¿�à ½ Å Ø ? ý Ù�¾�À­¼!¸&Üȸ>Ï�»�¹�Êp¹rÚ Ä�º�Ä>Þ:ß�ÏaÝeÄ�¼ ºKÍ+Ì¥Ð�¹�Ä�Â�¿�¼�Üȸ&Þ:½ ÓpÄ�Â�½ ÃÚ!¸>¼!¸&º¡¿�»�¼ γ ü a0 = 2(5γ − 3)κ (8γ − 3)(4γ − 3)(2γ − 1) , a1 = (9 − 14γ) (8γ − 3)(4γ − 3)(2γ − 1) , b0 = κ(2γ − 3)(16γ − 9)2 6γ(8γ − 3)(4γ − 3) , b1 = (1 − γ)(16γ − 9)2 γ(8γ − 3)(4γ − 3) , ζ0 = κ(12γ2 − 22γ + 9) 8γ(2γ − 1) , ζ1 = (14γ − 9)(1 − γ) 4γ(2γ − 1) , η0 = (14γ − 9)(1 − γ) 4γ , η1 = κ(2γ − 3)(2γ − 1) 8γ , ξ0 = (14γ − 9)(1 − γ) 2(16γ − 9)(2γ − 1) , ξ1 = κγ(3 − 5γ) 3(16γ − 9)(2γ − 1) , κ 3 = 864γ2(2γ − 1)2 (5γ − 3)(2γ − 3)(4γ − 3)2 . ×3Ä>¹�»�Ä�Ê Ã Ã À­¿]½ Ã�»�¿�Ñ�¼!¸�Ì�Ä�¾Uá�à ¿�¼ Ñ�½ ½\½XÚ Ì�Ä>Þr¸�Â�¿�Åg¼!¸>¾�à À Ã�Í+Ì�Ïé½�Ð�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸&»�¿�Ì�ß�Ã Ä Ð�à ¿eÔ+¸>¾�½ ¹�Ê�» Ä>» γ @�×3¿�¼ ¿�º�¿�à Ã!¸&Ê z = ω 2 3 1 ¹�¾>Ê�Ô+¸>Ã!¸e¹�ÄY¾�¼ ¿�º�¿�à ¿�º�Ñ�½ Ú ¿�¼ á±Ì ̤½ Ú�»�½ Ç ¿�¹�Ë�Ä�ÅUË ¾�¸�Â�¼!¸&»>Í ¼ Ä�Å�@�êîÚ Ä&Î º�Ä>Þ:ß�Ï�Ñ�Ä�Â�Ä�Ñ�¼!¸>ÝeÄ�¾rÍ Ñ�Ì�Ä�¾�Ä�Å#¹�Ë Ä�¼ Ä�¹�»�½X×r@ ç¦@ {3¸>¼ ̤¸>º�Ä�¾_åH? æ Ú Ä&Ì�à Ä�¹�»�ß�Ïé½ ¹�¹�Ì�¿�Â�Ä�¾�¸�Ìg¾�Ä>Ô�º�Ä�ÜÈÎà À­¿VÂ�¾�½�Ür¿�à ½�Êr»�¿�̤¸e¾e¹�Ì!Í Ç!¸>¿¦ëe¸>Ú Ì�À­Ñ�½ Ã!¸�@�×3Ä�Â�¾�½�ÜÁà À­ÅÈÑ�Ä�Â�Ä�Ñ�¼!¸>Ý Í Ñ�Ì�Ä�¾�Ä�Åc¹�Ë Ä�¼ Ä�¹�»�½Á½ º�¿�¿�» »�Ä�Ç Ë�Íi¹�¸>º�Ä�Ú ¿�¼ ¿�¹�¿�Ç ¿�Ã!½�Ê (ω1 = ω2 = ω3 = 0) ½�Ã!¸>Ú Ä�º�½ Ã!¸>¿�»Go|¾�Ä>¹�ß�º�¿�¼ Ë�Í p±@P×3¼ ½ γ = 3/2 =�A ����� ��� �� �! "#�# $�� #"��� � �%�&'���)(#���) �*� +%! �! �&-,� $�� �"��� /.0�$ -12 -3� �4657�) ���*�&'8��9 ;:7��%�*�<>=# �3!� ¼ ¿�É:¿�à ½ ¿_¾�À­¼ Ä+ÜȤ¸>¿�»�¹�Ê�ÐP»�¿�Ì�Ä\Â�¾�½�Ür¿�»�¹�ÊîË ¸>ËîÝe½�Ô�½ Ç ¿�¹�Ë ½ Å躡¸&Ê�»�à ½ Ëî½Û»�¼ ½îÝY¸&Ô�Ä�¾�À­¿MÚ ¿�¼ ¿±Î º�¿�à à À­¿M¹�Ä�Ó�¼!¸>Ã�Ê Ï�»\¹�¾�Ä�½�Ã!¸�Ç!¸�Ì�ß�à À­¿cÔ�Ã!¸�Ç ¿�à ½�Ê Ø ω1 = ω3 = ν2 = 0 Ù�@Pç-á�»�Ä�º/Ú ¼ ¿�Â�¿�Ì�ß�à Ä�º ¹�Ì!Í Ç!¸>¿MÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½ Ç!¿�¹�Ë ½!¿_Ú Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½èÍ ¼!¸>¾�à ¿�à ½�Êè¾p¾�¸>¼ ½!¸>Ò ½�Ê Ó Øþý Ù]º�Ä+ÜÁà Ä\¾�À­Ç ½ ¹�Ì�½�»�߸>Ã!¸�Ì�½�»�½ Ç ¿�¹�Ë!½�ü�¾�¹�¿3É:¿�¹�»�ßUÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�¿�Å Ø�� Ù�Ä�Ë�¸&Ô�À­¾�¸>Ï�»�¹±Ê_¼!¸>¾�à À­º�½XÃ�Í�Ì�Ï]@7eÌ!ÊȾ�¹�¿�ÓrÂ�Ä�Ú�Í�¹�»�½ º�À�ÓcÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½ ÅÁÚ!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸ γ ¾�À­Ç ½ ¹�Ì�¿�à ÀèÓ�¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½!Ç ¿�¹�Ë!½ ¿�Ú Ä�Ë�¸�Î Ô+¸&»�¿�Ì�½iÌ�½ à ¿�¸>¼ ½�Ô�Ä�¾�¸>à à Ä�Å�¹�½ ¹�»�¿�º�À<Í ¼!¸>¾�à ¿�à ½ Å�¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Ñ�Ä#Â�¾�½�Ür¿�à ½�Ê�@4×3Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½�¼ ¿�Î É:¿�à ½�Êäëe¸>Ú Ì�À­Ñ�½ Ã!¸�Ú ¼ ½ à ½ º¡¸>Ï�»�»�Ä&Ì�ß�Ë ÄiÂ�¿�Å ¹�»�¾�½�»�¿�Ì�ß�à À5¿gÔ�Ã!¸�Ç ¿�à ½�Ê�@j?e¸>Ú ¼ ½ º�¿�¼�Ð�Ú Ä&Ì�Ä+ÜÁ½ Î »�¿�Ì�ß�à À­¿îÚ Ä�Ë ¸&Ô+¸&»�¿�Ì�½/à ¿�Ú ¼ ¿�¼ À­¾>à Äì½�º�Ä�à Ä>»�Ä�à à Äí¾�Ä>Ô�¼!¸>¹�»&¸>Ï�»ìÄ>»íÔ�Ã!¸+Ç ¿�à ½�Ê λ1 = 0 Ú ¼ ½ γ = 1.5 Â�Ä¸>Ë ¹�½ º¡¸�Ì�ß�à Ä�Ñ�ÄÛÔ�Ã!¸�Ç ¿�à ½�Ê λ1 = 0.242073 Ú ¼ ½ γ ≈ 1.59650 @�û�¸>¾�½ ¹�½ º�Ä�¹�»�ß Ó ¸>¼!¸>Ë�»�¿�¼ ½ ¹�»�½ Ç ¿�¹�Ë ½ Ó�Ú Ä�Ë�¸&Ô�¸&»�¿�Ì�¿�Å λ1 Ä>»�Ú!¸>¼!¸>º�¿�»�¼!¸ γ Ú Ä�Ë ¸&Ô+¸>Ã!¸pÃ!¸p¼ ½ ¹>@¡=�Ð2i>@9��Â�à Äi½�Ô ¾�Ä>Ô�º�Ä�ÜÁà À�ÓcÝY¸&Ô�Ä�¾�À�ÓÁ¹�¿�Ç ¿�à ½ ÅM½�Ô�Ä�Æ�¼!¸&Ür¿�à Ä]Ã!¸]¼ ½ ¹>@�=�ÐIe�@@k�¹�Ì�½ÁÔ�Ã!¸�Ç ¿�à ½ ¿ γ º¡¸�Ì�Ä]Ä>»+Ì�½ Ç!¸>¿�»>Î 0.1 0 0.2 0.3 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 g Re l1 N-O P�O RI "'��|/��5@*/� �D��46:7��%�*�<>=# �3!��V N-W (���8T "� Za7&D"#�#b Re λ1 &D��%Z��� �)a7 ��_� � γ ` P�W�} �)('&'8/&) l"[ '�� -3� � I,�*/U γ = 1.555 � ¹±ÊÁÄ>» 3/2 Ð�»�Ä]Ç!¸>¹�»�ßr¸>¹�½ º�Ú�»�Ä>»�½ Ç ¿�¹�Ë ½Mà ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç ½ ¾�À�ÓU»�¼!¸>¿�Ë�»�Ä�¼ ½ ÅM¾�Ä>Ô�ºKÍ�Þ:¿�à à Ä�Ñ�Ä]Â�¾�½�Ür¿�à ½�Ê ÝeÄ�¼ º�½ ¼�Í�¿�»g¹�¿�Ú!¸>¼!¸&»�¼ ½ ¹�Ã�Í�Ï Ú Ä�¾�¿�¼�Ó�à Ä�¹�»�ß Ð4à ÄX¹c¼ Ä�¹�»�Ä�º γ á�»&¸XÚ Ä�¾�¿�¼�Ó�à Ä�¹�»�ßg¼!¸&Ô�¼�Í�Ér¸>¿�»�¹�Ê�@ ·P¿�Ô�Í�Ì�ß�»&¸&»�À Ë�Ä�º�Ú ß�Ï�»�¿�¼ à Ä�Ñ�Äcº�Ä+Â�¿�Ì�½ ¼ Ä�¾�¸>à ½�Ê_Ú Ä�Â!»�¾�¿�¼�ÜȤ¸>Ï�»c¾�À­¾�Ä�ÂXÄr»�Ä�º­Ð Ç�»�ÄrÂ�½ Ã!¸&º¡½ Ç ¿±Î ¹�Ë�¸&Ê#¹�½ ¹�»�¿�º¡¸ Ø ?�Ù8Ê ¾&Ì!Ê ¿�»�¹�ÊMÌ�Ä�Ë�¸�Ì�ß�à ÄÈà ¿�Í�¹�»�Ä�Å Ç!½ ¾�Ä�ÅX¾ÈÄ�Ë ¼ ¿�¹�»�à Ä�¹�»�½g¼ ¿�É:¿�à ½�Ê\ëe¸>Ú Ì�À­Ñ�½ Ã!¸�@⦾>»�Ä�¼_Æ&̤¸>Ñ�Ä+¤¸>¼ ½�»~Hr@ ?r@ n�¸&É:¿�à ¿�à Ë�ÄcÔ+¸ÈÚ Ä�¹�»>¸>à Ä�¾�Ë�ÍMÔ+¸+¤¸�Ç ½_½#¾�à ½ º¡¸>à ½ ¿YË#¼!¸>Æ�Ä>»�¿>@ � �M� N-�D��N#�d��Qd�j� ��� ��}�����y�y¦���8�&y�~&��� y���}K����}����&��������}�{>�����2�K������z�y�®�y��&z��$��©K����ª ���M�K������z�y�®�y+������~+ª ����� ���T�D� ��c�T� � z���+�j� ���T� � � ��� �@�9�D� �/�!�M��Q)N9�9� ��� �>���j�[�!N��Z��Q)NY�9� �Y�/� {>��z�z�y�x�}�z���y�}¥���±�>��x�y­�&y�~&��� y���y�����}����&�����8��}�{>���D�!������y+ª��y�}�y3z�������}�� }�~�~���}Kz���z�������~�y�}���� � y�}��Z�������������&�+� �+���/� ���� �¡ �D�c� �T� z��¢ �¤£ ¥ N�¦;��� §j�l¨ ®r��z�������x�y�����z|��yU��}�����{�����~�w��U����}#��}�z�z�y��ª©���y���{&y�«T«­¬K��y��+{ ���!����}��!����y����Èy#� }�����~�y��+���I��)®T®T®��D�c¯Z° �+��w)��� � �/�¦¢4� ¡)±D¡ ª ¡D�T  �± �2² N-�!³D�#�#Q+�Y� �j�7¨ ®e��z�������x�y�����z���yÈ��}�����{�����~����È���+}#��}�z�z�y�yc~�}�z|y&�!� }�����y�x�~������]��y�����z������&�u´ z|{&��x&���µ©���y���ª{&y!¶�«T«�¯¡���+{ �/�� ��V�/�c�)®T®D�+�D�c·!¸�¹���º ¢ �/�¦¢4� ¢T¢T¡ ª ¢�± ���� �j� N��j�[�!�[�Z³T�M»j� §j� �7�9�T¼��½�­¾>� ¿À� Á ���&������}���y&z���y�x�}�z���y�}V�����+��������}�{&ye��}���y����&y�x�}�z���y��Y��}��8}�~�y��Y���&����~�}�~�y�� �+{&}��&�±ª½¬K����z�z���~&��«)«dÃ3}�����~�y��+������}����&�����V��}�{>���/�c�)®T®D�+�D�5v�w)��� ¢ �+���¦¢4� � ®±ª �)� �� � �lN-� ¥ N#���#Q0¿À� �j� � � ���T� � � ��� ¬K}�����w)�]� }������r�K������~������5�1y&z�z|{&}��&������~�y�y]��z�y&� ��������y�x�}�z���y+�Y�&��y+��}�~�y��:��&y�~&��� y���}�����}����&�����V��}�{>��«T«9Ä ���È��}��/� ���T� �+�D�5v�w)���Z� ± ���¦¢4�!� � ª ±Z� �  � �9�D� �/�!�M��Q)Nc�9� ��� � ² �#Å)N#���#Q)Æ[³DN#� � � ���@¨ ®5���&~����U�+{>��z�z|}8��}��8}�~�y��Y���±�>��x�ye�5�&��y+�8}�~�y�yY��}�{>���>y&� }�²4�8}����~�}������&��y+�­~���²g����x����Z«T«9Ãe����}��!����y�x�}�z����±�3«Ky���y��+����� ���T�T¡ ��v�w)��� � ���1¢4� ��¢T� ª �'� ®��¡ �M� N-�D��N#�d��Q)Nl¾>� »j� � ² �#Å)N#���#Q)Æ[³DN#� � � ��� ©�z�z|{&}��&������~�y�}¤��}��8}�~�y+�VvP�  ¡� ¢¤��}��+{&�����4���&����~�}�~�y��¡�&��y+��}�~�y+����}�{>���y&� }�²4�8}����V~�}������&��y+�­~���²g����x����Z«T«9Ä ���c�8}��/�¦¢4� ���)± ªÇ�)®T�+�� �j� N��j�[�!�[�Z³T��»j� §j� �$�9�T¼��½�c¾>� ¿À�  ¥~&�±{&y��4y�����¬�~�}�����}���y�x�}�z���y+�­������}����+~���z���}�����{��5����x�~�w��V��}��8}�~�y��5���±�>��x�y���&��y+��}�~�y�y1����}����&�����V��}�{>��«T«9Ã3}�����~�y��+������}����������V��}�{>���/�c�)®T® � �D�5v�w)��� ¢�� �D�¦¢4� ��¡ ª ¢ ®�� Èc&'3� -É��� �4+ �3!\½��ÊË� \ ,K�!�_� ��3 "�%�&#�m�#�ÌDÍ�Î'Ï!Ð)Ñ�ÒTÓDÑ�Ô!Õ@Ö½Ó/×�ØZÐTÔZÙ�Ì7ÖÚÍ�Û ¬K��{&��x�}�~�� �T� � ® � � ® ¢ =!�
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123713
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0321-1975
language Russian
last_indexed 2025-12-07T18:06:10Z
publishDate 2003
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
record_format dspace
spelling Кучер, Е.Ю.
2017-09-09T05:41:24Z
2017-09-09T05:41:24Z
2003
Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина / Е.Ю. Кучер // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 33-39. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
0321-1975
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123713
531.38
Вычислены показатели Ляпунова линеаризованной системы уравнений возмущенного движения для двух семейств частных периодических решений, полученных В.А. Стекловым и С.А. Чаплыгиным. Изучена структура фазового пространства в окрестности этих решений. В пространстве параметров определены области динамической неустойчивости движения. Для типичных значений параметров приведены результаты компьютерного моделирования.
Автор благодарит И.Н.Гашененко за постановку задачи и внимание к работе.
ru
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Механика твердого тела
Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
Article
published earlier
spellingShingle Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
Кучер, Е.Ю.
title Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
title_full Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
title_fullStr Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
title_full_unstemmed Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
title_short Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина
title_sort характеристические показатели периодических решений стеклова и чаплыгина
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123713
work_keys_str_mv AT kučereû harakterističeskiepokazateliperiodičeskihrešeniisteklovaičaplygina