Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем
Изучается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести, имеющий вертикальную наружную ось подвеса и снабженный электродвигателем. Для случая асинхронного электродвигателя на множестве стационарных движений гироскопа выделены устойчивые стационарные движен...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123719 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 80-89. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860139149244235776 |
|---|---|
| author | Коносевич, Б.И. |
| author_facet | Коносевич, Б.И. |
| citation_txt | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 80-89. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Изучается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести, имеющий вертикальную наружную ось подвеса и снабженный электродвигателем. Для случая асинхронного электродвигателя на множестве стационарных движений гироскопа выделены устойчивые стационарные движения, а именно те, для которых выполняется достаточное условие устойчивости, следующее из анализа линеаризованных уравнений движения. Это условие появляется также при исследовании гироскопа в кардановом подвесе с синхронным электродвигателем как одно из двух условий устойчивости его стационарных движений.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:48:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
��������� �
���
����������������������� ��"!�# �%$�&(' )*'"!��*+(���,
�� � ����-/.102�3� �
46587,9;:�<�= :�>�?@9;:�<�= :�A
B© C;D�D :�=�EGFIHJFLKNM@O2MQP�R�S@T2U
HWVXVZYN[3\^]`_XaGbcHN[d]GV8bW]`_ebW]`fg]ihjVZYk]`_eHmlnhjV8oe]`pcqcHc_`]GV8oZH
V8orajscHW]`bcaGtZbcuwvx\J_eHmyz[1bcHcp{f|HNte]GV8KN]`}ca~_xKcaGt�\JajbW]`_`]`�
}W]/\J_8[�VZ[8��V8bcajEXyz[1bcbW]`fg]��ZYc[1Kco�te]1\J_eHNf�a�o�[�Yc[/�
�L�����%���������������������������|�*�����;�����������Z��� �%���¡����¢������£��������¤%������¥(¦§�%�6������� �%���*¨§�����8�����������������§�|����¤%�©���*¤%¥j�¡�*ª
¨|�¡������¢��%����«2¬|��¦/�����������*�£¤%�����«m�%������¨§����«m����r��� �%���¡���|�/���%��® ¨|������¥(¦�¯�¤%��������� �%�����°������¤%�¡�²±*³�¤��/�°¤%���%�£�
�����*�*´*�������������§¯�¤���������� �%������������¤��/�%������� ¨|�¡�������|���£��µ��*���%������¥²´��%���*¨|������¦1���������������%�r��¥²�%��¤%����¥m��������¦����*ª
��¥(�����£��µ������%������¥(�3�%���*¨r�����*��¢����%���������8����¢���¤��¶���������*¥²´`��¥(����¤%�*���������X�%�����£�����������������°¤%����������������¦����*ª
����������¢��°¤%���%��«2¬|���§�*�����%�£¤%���¡�3¤%�����¡������������������¥²´����%������������¦��%���*¨r�����*��±�·Q���1���°¤%�������g��� ����¤����������8� ���*¨r�
���*���%���°¤%���%���������������������������%�6�r�������;�����������8�*� �%���¡���©�©�����*´*��������¥¸�e¯�¤%��������� �%�����°������¤%�¡�e�*���3� �%���|���2�%����´
���°¤%������¦���������¦��������������������§��� ��µ������%������¥²´��%���*¨r������¦�±
_8S@R�¹LR�O2T2R@F@º©»;¼�¼�½6»%¾�¿�À�Á�»;Â�¾�¼ ö¾�Ã�ÄeÂ�Å@ƧǶÈ�À�¿�É�¼�Ê É�˶Á�Ê »;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½^Ë�É�Ì@Á�Â�¼�Â;?�Î�¼�¾%»;Í�É�Á%Å@Â�Í Ï
Í�ƧÇXÍ�»1Í�Â�Ë�É*Ì@Á�À�ĶÍ�É;½^É;¼�Í�É�Á�»;Í�À�À²=�Ð1É%Å@É*ÄeÂ�Í�À�§¼�À�¼�¾�Â�½�ÆÑÁ1Ê�»%ÄXÌ@ƧÇX½�É�½�Â�Í�¾�Á�¿�Â�½�Â�Í�À
t
É�Ë�¿�Â�Ï
Ì@Â�Å�Ã�Ò3¾�Î È¡Å@Æ
α, β, ϕ
?�È¡Ì@Â
α Ó Î È�É%ÅGË�É�Á�É�¿�É;¾%»1Í�»;¿�Î�ĶÍ�É�ÇX¿�»;½�Ê�ÀXË�É�Ì@Á�Â�¼�»1É;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É�É�¼�Í�É%ÏÁ�»%Í�À�Ã(?
β Ó Î È�É%ÅjË�É�Á�É�¿�É;¾;»�Á�Í�Î�¾�¿�Â�Í�Í�Â�Çj¿�»;½�Ê�À¶É;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É8Í�»;¿�Î�ĶÍ�É�Dz? ϕ Ó Î È�É%Å"Ë�É�Á�É�¿�É;¾%»¿�É;¾�É;¿�»ZÉ;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É8Á�Í�Î�¾�¿�Â�Í�Í�Â�Çj¿�»%½6Ê�À²=�Õ�¿�Â�Í�À�Â3Í�»�É�¼£Ã Ö`Ë�É�Ì@Á�Â�¼�»�Í�Â�Î ×�À�¾�ƧÁ�»;Â�¾�¼£Ã²=�Ð1¿�Â�Ì�Ï
Ë�É%ÅQ»%È�»;Â�¾�¼ ò?�×�¾�É�Å@À�Ø�ÉZÍ�»;¿�Î�ĶÍ�»%öÉ�¼�ÔZË�É�Ì@Á�Â�¼�»ZÁ�Â�¿�¾�À�Ê�»�Å@Ô�Í�»�?�Å@À�Ø�ÉZÈ�À�¿�É�¼�Ê�É�˶Ã�Á%Å�Ã�Â�¾�¼£Ã`Î ¿�»;Á%Ï
Í�É�Á;Â�Ù8Â�Í�Í�Ƨ½§=6Õ©É�È¡ÌQ»cÎ ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�ÃÚÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�ÃÚÈ�À�¿�É�¼�Ê É�Ë�»WÁWÊ�»;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½ÛË�É�Ì@Á�Â�¼�ÂGÌ@É�Ë�Î�¼�Ê »;Ò3¾
¼�Â�½6Â�Ç�¼�¾�Á�ɶ¿�Â�Ù8Â�Í�À�Ç
α̇ = Ω, β = β0, ϕ = ωt + γ0, (1)
¼�É;É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î Ò�Ü8À ÖÚ¿�»%Ý�Í�Ƨ½ÞÝ�Í�»�×�Â�Í�À�Ã�½
β0
=Lß@Ì@Â�¼�ÔcË�É�¼�¾�É�Ã�Í�Í�»%Ã
Ω
¼£Ã�Ý*»;Í�»N¼
β0
À
ω
?¸Ë�¿�À�×�Â�½
Ω 6= 0
Ì�Å�ÃNË�¿�Â�à�Â�¼�¼�À�ÀmÀ
Ω = 0
Ì�Å�ÃN¿�»;Á�Í�É�½�Â�¿�Í�É�È�É`Á�¿�»%Ü8Â�Í�À�ò=
áâÀ Ì@Â�»�Å@Ô�Í�É�½ã¼�Å�Î ×�»;Â;?�Ê�É�È¡ÌQ»`¾�¿�Â�Í�À�ÂeÍ�»¶É�¼�Àm¿�É;¾�É�¿�»`¾;»;Ê�ÄeÂZÉ;¾�¼�Î�¾�¼�¾�Á;Î�Â�¾%?�Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�Ô
Ì@Á�À�ÄeÂ�Í�À�Ã^ä�<�årÀ�Ý�Î ×�»�ÅQ»;¼�ÔG7e=@æc»;È�Í�Î�¼�É�½Þçè<�éê?@á�= á�=@ºLÎ ½LÃ�Í�à�Â�Á�Ƨ½�ç C é(ÀjÌ@¿�Î È�À�½�ÀÚäë¼�½§=ìç :%éíå�=î�»ZË�¿�»;Ê�¾�À�Ê Â1Ø�Ƨ¼�¾�¿�É�Á�¿�»%Üe»;Ò3ÜeÀ�Ç�¼£Ã"¿�É;¾�É�¿"È�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë�»eÀ�¼�Ë�Æg¾�Æ�Á�»;Â�¾XÝ�Í�»�×�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É�Â1¾�É�¿ Ï
½�É;Ý�Ã�Ü8Â�Â3Á�É;Ý�Ì@Â�Ç�¼�¾�Á�À�Â�Ì@À�¼�¼�À�Ë�»%¾�À�Á�Í�ÆgÖ¶¼�À Ÿ= Ð1É�ï�¾�É�½LÎXÁ�Í�Î�¾�¿�Â�Í�Í�Ã�öÊ�»;¿�ÌQ»;Í�É�Á�»¶ð�¿�»;½�Ê »�ð�À`¿�É%Ï
¾�É�¿ñÉ�Ø�Ƨ×�Í�ÉWÉ�Ø�¿�»%Ý�Î Ò3¾JÁ�½�Â�¼�¾�Â"ï�Å@Â�Ê�¾�¿�É*Ì@Á�À�È�»%¾�Â�Å@Ô�?6Ê�É;¾�É�¿�ƧÇòË�É�Ì�Ì@Â�¿�ĶÀ�Á�»;Â�¾JÁ�¿�»%Ü8Â�Í�À�Â"¿�É%Ï
¾�É�¿�» =©áÛ¼�Å�Î ×�»;Âcó�ô�õ�ö ÷;øQù*ö�ö@ù�ú�ù8ï�Å@Â�Ê�¾�¿�É*Ì@Á�À�È�»%¾�Â�Å�Ãñ»�Å@È�Â�Ø�¿�»;À�×�Â�¼�Ê »%Ãû¼�Î ½�½6»N½�É�½�Â�Í�¾%»jÌ@À�¼�¼�À Ï
Ë�»%¾�À�Á;Í�ÆrÖk¼�À ÅJÉ;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�ÉNÉ�¼�Àm¿�É;¾�É�¿�»GÀWÁ�¿�»%Üe»;Ò3Ü8Â�È�É"½�É�½�Â�Í�¾%»¶Ì@Á�À�È�»%¾�Â�Å�ÃkÁ`Å@À�Í�Â�Ç�Í�É�½
Ë�¿�À�Ø%Å@À�ÄeÂ�Í�À�ÀûË�¿�À�Í�À�½6»;Â�¾�¼£ÃÚ¿�»;Á�Í�É;Ç
L = −λ(ϕ̇ − ω)
?2»NÁc¼�Å�Î ×�»;ÂWô�õ�ö ÷;øQù*ö�ö@ù*ú�ùZÌ@Á�À�È�»%¾�Â�Å�Ã
L = −λ1(ϕ − ωt − γ0) − λ2(ϕ̇ − ω)
?�È¡Ì@Â
λ, λ1, λ2 > 0
?
ω 6= 0
À
γ0 Ó Ë�É�¼�¾�É*Ã�Í�Í�ƧÂjäë¼�½§=(ç ü;éíå�=5�Å�ÃkÈ�À�¿�É�¼�Ê É�Ë�»NÁ"Ê�»;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½ýË�É�Ì@Á�Â�¼�Â`¼`»;¼�À�Í Ö�¿�É�Í�Í�Ƨ½�ï�Å@Â�Ê�¾�¿�É�Ì@Á�À�È�»%¾�Â�Å@Â�½ÞÎ�¼�¾�É�Ç�×�À Ï
Á�É;¼�¾�Ô`¿�»;Á�Í�É�½�Â�¿�Í�ÆrÖNÁ�¿�»%Ü8Â�Í�À�ÇNË�ÉXË�Â�¿�Á�É�½LÎjË�¿�À�Ø%Å@À�ÄXÂ�Í�À�ÒþÀ�Ý�Î ×�»�ÅQ»;¼�Ô`ÁNç 9�éê?�»eÁNç A%é(¼�Ë�É�½�É%Ï
Ü8Ô�Òã½�Â�¾�É�ÌQ»�ÿ1Î Í�Ê�à�À�Ç���Ã�Ë�Î Í�É�Á�»�Ë�É%Å�Î ×�Â�Í�É1Ì@É�¼�¾;»%¾�É�×�Í�É�Â�Î�¼�Å@É�Á�À�Â�Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�À¶¿�»;Á�Í�É�½�Â�¿ Ï
Í�ÆrÖ"Á�¿�»%Ü8Â�Í�À�Dz=
�/¾�É;Ø�ÆÛÎ ×�Â�¼�¾�ÔNÁ%Å@À�Ã�Í�À�Âe¿�»%Ý�Í�É�È�É"¿�É�ÌQ»GË�É�È�¿�Â�Ù8Í�É�¼�¾�Â�ÇJÀ�Ý�È�É;¾�É�Á%Å@Â�Í�À�ÃJÀk¼�Ø;É�¿�Ê�À²?²Ákç � ?²>%é
¿�»;¼�¼�½6»%¾�¿�À�Á�»�ÅQ»;¼�ÔòÉ�Ø�É�Ø%Ü8Â�Í�Í�»%Ãã½�Â�Ö�»;Í�À�×�Â�¼�Ê »%Ãâ½�É�Ì@Â�Å@ÔÚÈ�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë�»ÚÁÚÊ »;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½ Ë�É�Ì@Á�Â�¼�Â;?
Ê�É�È¡ÌQ»mÌ@À�Í�»;½�À�×�Â�¼�Ê�À�¼�À�½�½�Â�¾�¿�À�×�Í�Æ§Ç ¿�É;¾�É�¿ñÝ*»;Ê Å@Ò�×�Â�ÍòÁkÊ�»;¿�ÌQ»;Í�É�ÁkË�É�Ì@Á�Â�¼;?�É�Ø�¿�»%Ý�É�Á�»;Í�Í�ƧÇ
Ì@Á;Î ½LÃk¾�Â�ÅQ»;½�ÀûË�¿�É�À�Ý�Á�É%Å@Ô�Í�É�Ç^ÿ�É�¿�½�Æ1=2ádç >%é6Í�»"É�¼�Í�É�Á�Â`½�Â�¾�É�ÌQ»Nÿ1Î Í�Ê�à�À�Ç���Ã�Ë�Î Í�É�Á�»"Ë�É�Ê�»�Ï
Ý*»%Í�É�?¸×�¾�É"Ì�Å�Ãû»;¼�À�Í Ö�¿�É�Í�Í�ÆrÖ^È�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë�É�ÁcØ�É%Å@Ô;Ù8À�Í�¼�¾�Á�»cÊ�É�Í�¼�¾�¿�Î Ê�à�À�ÇâäëÁ"¾�É�½Þ×�À�¼�Å@Â`ÀkÌ�Å�Ã
È�À�¿�É;¼�Ê É�Ë�»3É�Ø�Ƨ×�Í�É�Ç8Ê�É�Í�¼�¾�¿�Î Ê�à�À�À@å¸Í�Â�É�Ø*Ö�É�Ì@À�½�É�ÂrÀ�Ì@É�¼�¾%»%¾�É�×�Í�É�ÂrÎ�¼�Å@É�Á;À�ÂrÎ�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�À8Ì@Á�À Ï
> D
�����
���
����������������
�����������������
������ �!�"��#���$&%'� � ����#��
ÄXÂ�Í�À�Ã^ä�<�åg¼�É�¼�¾�É�À�¾GÁe¾�É�½§?@×�¾�ɶË�¿�À�Á�Â�Ì@Â�Í�Í�»�ÃmË�É;¾�Â�Í�à�À�»�Å@Ô�Í�»%Ãcï�Í�Â�¿�È�À�Ãc¼�À�¼�¾�Â�½�Æ�À�½�Â�Â�¾GÁX¼�É%Ï
É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î Ò3ÜeÂ�ÇJ¼�¾;»;à�À�É�Í�»;¿�Í�É�ÇW¾�É�×�Ê�Âe½6À�Í�À�½LÎ ½âË�É
β
=)(6Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?(Í�»;À�Ø�É%Å@Â�Â8Ë�¿�É�¼�¾�Ƨ½
À¶É�Ø;Ü8À�½JÌ@É�¼�¾%»%¾�É�×�Í�Ƨ½ûÎ�¼�Å@É�Á�À�Â�½^Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�À`Ì@Á�À�ÄXÂ�Í�À�Ãmä�<�å©Ã�Á%Å�Ã�Â�¾�¼ ÃGË�É%Å@É*ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�É�¼�¾�Ô
Á�¼�¾%»;à�À�É�Í�»;¿�Í�É�Çe¾�É�×�Ê Â§Á;¾�É�¿�É�ÇXË�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�É�ÇXË�É
β
É;¾�Ë�¿�À�Á;Â�Ì@Â�Í�Í�É�Ç`Ë�É;¾�Â�Í�à�À�»�Å@Ô�Í�É�Ç`ï�Í�Â�¿�È�À�À²=
*1½�Â�Í�Í�É�ï�¾�É�Î�¼�Å@É�Á�À�§Ë�É�Ã�Á%Å�Ã�Â�¾�¼ ÃXË�¿�ÀXÀ�¼�¼�Å@Â�Ì@É�Á�»;Í�À�ÀXÎ�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�ÀXÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�ÃNä�<�å2Í�»1É�¼�Í�É�Á�Â
Å@À�Í�Â�»;¿�À�Ý�É�Á�»;Í�Í�ÆrÖcÎ ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�ÇNÌ@Á�À�ÄXÂ�Í�À�ò?Q»X¿�»;Á�Â�Í�¼�¾�Á�ÉGÍ�Î*Å@ÒwË�Â�¿�Á�É�ÇcË�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�É�Çm¼�Å�Î�ĶÀ�¾
Î�¼�Å@É�Á�À�Â�½�¼�Î�Ü8Â�¼�¾�Á�É�Á�»;Í�À�ÃN¾%»;Ê�É�È�ÉXÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�ò=
áiç +%é3Á^¿�»;½�Ê »�ÖòÉ�Ø�É�Ø;Ü8Â�Í�Í�É�Ç ½�Â�Ö�»;Í�À�×�Â�¼�Ê�É�Çѽ�É�Ì@Â�Å@À À�Ý�Î ×�»;Â�¾�¼£Ã È�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë Á^Ê »;¿�ÌQ»%Í�É%Ï
Á�É�½òË�É�Ì@Á�Â�¼�Â;?@¼�Í�»;Ø*ÄeÂ�Í�Í�ƧÇN¼�À�Í Ö�¿�É�Í�Í�Ƨ½ ï�Å@Â�Ê�¾�¿�É*Ì@Á�À�È�»%¾�Â�Å@Â�½§=Qî�»eÉ�¼�Í�É�Á�»;Í�À�À"À�¼�¼�Å@Â�Ì@É�Á�»;Í�À�Ã
Î ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�ǶË�Â�¿�Á�É�È�É�Ë�¿�À�Ø%Å@À�ÄXÂ�Í�À�ÃeÎ�¼�¾%»;Í�É�Á%Å@Â�Í�É�?�×�¾�É1Ì�Å�ÃeÎ�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�ÀXÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�ÃXÁ�À ÌQ»`ä�<�å
Ì@É�¼�¾;»%¾�É�×�Í�É8Á�ƧË�É%Å@Í�Â�Í�À�öÉ;¾�½�Â�×�Â�Í�Í�É�È�É8Á�ÆgÙ8Â3Î�¼�Å@É�Á�À�ÃGË�É�Å@É�ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�É�¼�¾�ÀGÁ;¾�É�¿�É�ǶË�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì�Ï
Í�É�Ç^Ë�É
β
É;¾cË�¿�À�Á�Â�Ì@Â�Í�Í�É�ÇÚË�É;¾�Â�Í�à�À�»�Å@Ô�Í�É�ÇÚï�Í�Â�¿�È�À�ÀãäëÉ�¼�Í�É�Á�Í�É�È�ÉNÎ�¼�Å@É�Á�À�ÃJÎ�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�À@å�À
Â�Ü8Â�É�Ì@Í�É�È�Émä Ì@É�Ë�É%Å@Í�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É�È�É�ågÎ�¼�Å@É�Á�À�ò=
î�»;¼�¾�É�Ã�Üe»%Ã"¼�¾;»%¾�Ô;ÃNË�É�¼�Á;Ã�Ü8Â�Í�»`»;Í�»�Å@À�Ý�Î"É�¼�Í�É�Á�Í�É�È�ÉXÎ�¼�Å@É�Á�À�Ã"Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�Àc¼�¾%»;à�À�É�Í�»;¿ Ï
Í�ÆrÖjÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�ÇjÌ�Å�ÃNÉ�Ø�Ƨ×�Í�É�ÇN½�É�Ì@Â�Å@ÀNÈ�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë�»`ÁXÊ »;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½òË�É*Ì@Á�Â�¼�Â;=
Ð1¿�À�Á�Â�Ì@Â�Í�Í�»%Ã"Ë�É;¾�Â�Í�à�À�»�Å@Ô�Í�»%Ã"ï�Í�Â�¿�È�À�ÃjÌ�Å�ÃjÈ�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë�»e¼3Ì@Á�À�È�»%¾�Â�Å@Â�½�À"À Ì@Â�»*Å@Ô�Í�É�È�ÉXÈ�À Ï
¿�É�¼�Ê É�Ë�»8Á�Ƨ¿�»%Ä`»;Ò�¾�¼£Ã"¿�»%Ý�Í�Ƨ½�À"ÿ�É�¿�½LÎ*ÅQ»;½�À²?�¾%»;Ê"Ê�»%Ê"ÁeË�Â�¿�Á�É�½ò¼�Å�Î ×�»;Â�À�½�Â�Â�¾�¼ ÃNÉ*Ì@Í�»8à�À�Ê Ï
Å@À�×�Â�¼�Ê�»%ÃGÊ É�É�¿�Ì@À�Í�»%¾%»"äíÎ È�É%Å
α
å�? »ZÁ�ÉZÁ;¾�É�¿�É�½ Ó Ì@Á�ÂeäíÎ È¡Å@Æ α, ϕ
å�=�Ð1É�ï�¾�É�½LÎ`Î�¼�Å@É�Á�À�Â/Ë�É%Å@É*ĶÀ Ï
¾�Â�Å@Ô�Í�É�¼�¾�À^Á;¾�É�¿�É�Ç^Ë�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�É�ÇJË�É
β
É;¾NË�¿�À�Á�Â�Ì@Â�Í�Í�É�ÇûË�É;¾�Â�Í�à�À�»�Å@Ô;Í�É�Çûï�Í�Â�¿�È�À�À²?¸¿�»;¼�¼�½6»%¾%Ï
¿�À�Á�»;Â�½�É�Â�Í�À�ÄXÂ;?�É;¾�Å@À�×�»;Â�¾�¼£ÃcÉ;¾¶»;Í�»�Å@É�È�À�×�Í�É�È�ÉXÎ�¼�Å@É�Á�À�ÃNÁNç :%éê=
, F²HcP -QM�¹LO�.XRGP�M@M0/�O2M01JR�O2T32�F�Ð/Î�¼�¾�Ô
C Ó É�¼�Â�Á�É�Ç`½�É�½�Â�Í�¾ZÀ�Í�Â�¿�à�À�ÀXÌ@À�Í�»;½�À�×�Â�¼�Ê�À¶¼�À�½©Ï½�Â�¾�¿�À�×�Í�É�È�É"¿�É;¾�É�¿�»�=54�¼�Å@ÀWË�É%Å@Ô;Ý�É�Á�»%¾�¼ ÃWÉ�Ø�É�Ø;Ü8Â�Í�Í�É;ÇW½�Â�Ö�»;Í�À�×�Â�¼�Ê�É�Çk½�É�Ì@Â�Å@Ô�Ò,È�À�¿�É;¼�Ê É�Ë�»¶Á
Ê�»;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½ÑË�É�Ì@Á�Â�¼�Â"ç ��éê?@¾�ÉjË�¿�ÀWÁ�Â�¿�¾�À�Ê »�Å@Ô�Í�É�ÇkÍ�»;¿�Î�ĶÍ�É�ÇWÉ�¼�ÀmË�É*Ì@Á�Â�¼�»¶Á�Â�Å@À�×�À�Í�Æ
G,N,QÁ`Á�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�À
T =
1
2
(Gα̇2 + Hβ̇2 + Cϕ̇2 + 2Nα̇β̇ + 2Qα̇ϕ̇ + 2Rβ̇ϕ̇)
Ê�À�Í�Â�¾�À�×�Â�¼�Ê É�Çãï�Í�Â�¿�È�À�Àã¼�À�¼�¾�Â�½�ÆxÀÑÂ�ÂWË�É%¾�Â�Í�à�À�»�Å@Ô�Í�»%Ããï�Í�Â�¿�È�À�Ã
U
Ã�Á%Å�Ã�Ò3¾�¼£ÃÑÿ1Î Í�Ê�à�À�Ã�½�À
Î È ÅQ»
β
À`½�Â�Ö�»;Í�À�×�Â�¼�Ê�À Ö¶Ë�»;¿�»;½�Â�¾�¿�É�Á�¼�À�¼�¾�Â�½�Æ1? »
H,R
Ý*»;Á�À�¼ Ã�¾�¾�É%Å@Ô�Ê�É�É;¾�½�Â�Ö »;Í�À�×�Â�¼�Ê�À Ö`Ë�»�Ï
¿�»;½�Â�¾�¿�É�Á�=&(rÉ�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î Ò3ÜeÀ�Â�Á�Ƨ¿�»%ÄXÂ�Í�À�Ãe¼�Å@Â�Ì�Î Ò3¾�À�ݧÿ�É�¿�½LÎ*ÅmäêA�å°Ï�ä�<�9;帼�¾%»%¾�Ô�Àcç ��éê=6(6Å�Î ×�»;Dz?
Ê É�È¡ÌQ»¶¼�À�¼�¾�Â�½6»j¼�¾;»�¾�À�×�Â�¼�Ê�ÀkÎ ¿�»;Á�Í�É�Á�Â�Ù8Â�Í�»GÉ;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É"É�¼�Â�ÇWË�É�Ì@Á�Â�¼�»�?�ÿ�É�¿�½6»�Å@Ô�Í�ɶÁ�Ê Å@Ò�Ï
×�»;Â�¾�¼£Ã�ÁJ¼�Å�Î ×�»;Ç�Á�Â�¿�¾�À�Ê »�Å@Ô�Í�É�Ç Í�»;¿�Î�ĶÍ�É�ÇòÉ�¼�ÀòË�É�Ì@Á�Â�¼�»JË�¿�À
U(β) ≡ const
=7( Ë�É�½�É;Ü8Ô�Ò
Á�Á�Â�Ì@Â�Í�Í�ÆrÖcÉ�Ø�É;Ý�Í�»*×�Â�Í�À�Ç"Î�¼�Å@É�Á�À�Â�¼�Î�Ü8Â�¼�¾�Á�É�Á�»;Í�À�Ã"Ì@Á�À�ÄeÂ�Í�À�Ã^ä�<�årÁ�Ƨ¿�»%Ä`»;Â�¾�¼ ÃN¿�»;Á�Â�Í�¼�¾�Á�É�½
−Ω
[Ω
2
G′(β0) + ωQ′(β0)
]
+ U ′(β0) = 0, (2)
»eÉ�¼�Í�É�Á�Í�É�Â1Î�¼�Å@É�Á�À�Â1Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�Àcï�¾�É�È�ÉeÌ@Á�À�ÄXÂ�Í�À�Ã"Á�Ƨ¿�»%ÄX»;Â�¾�¼ ÃNÍ�Â�¿�»;Á�Â�Í�¼�¾�Á�É�½Ûäë¼�½§=(ç >�?8+%éíå
Ω2
[
G
′′2(β0) − 1
2
G(β0)G
′′(β0)
]
+ ωΩ
[
2G′(β0)Q
′(β0) − G(β0)Q
′′(β0)
]
+
+ω2Q
′2(β0) + G(β0)U
′′(β0) > 0.
(3)
ß@Ì@Â�¼�Ô`ÀjÌQ»�Å@Â�Â1ÙZ¾�¿�À ÖcÉ;Ý�Í�»*×�»;Â�¾XÌ@À�ÿ�ÿ�Â�¿�Â�Í�à�À�¿�É�Á�»;Í�À�Â�Ë�É
β
=
Ð1¿�É�»;Í�»�Å@À�Ý�À�¿�Î�Â�½û¼�É�É;¾�Í�É;Ù8Â�Í�À�Ãkä C å�?@ä�:�å2Ì�Å�Ãcù 9�:<; ö@ù =?>�ù @"ACB@õ8È�À�¿�É�¼�Ê É�Ë�»�Á�Ê »;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½
Ë�É*Ì@Á�Â�¼�Â;=�árƧ¿�»%ÄeÂ�Í�À�Ã
G,H,N,Q,R, U
Ì�Å�Ãcï�¾�É�Çm½�É*Ì@Â�Å@Àc½�É*ĶÍ�É`Ë�É%Å�Î ×�À�¾�ÔjÀ�ÝZÿ�É�¿�½LÎ*Åòä�A�å Ï
ä�<�9�å6¼�¾%»%¾�Ô�ÀJç ��é�À Å@À¶ÄXÂ3Á�É�¼�Ë�É%Å@Ô;Ý�É�Á�»%¾�Ô�¼ ÃjÈ�É;¾�É�Á�Ƨ½�Àjÿ�É�¿�½LÎ*ÅQ»;½�Àkäë¼�½§=I?�Í�»;Ë�¿�À�½�Â�¿²?²ç :�? ¼;=�>�:%éíå�=
áã¿�Â�Ý�Î*Å@Ô*¾%»%¾�ÂZØ;Î�Ì@Â�½�À�½�Â�¾�Ô
G(β) = C2 + B1 + C + (C1 + A − B1 − C) cos2 β, H = A1 + A,
N(β) = 0, Q(β) = C sin β, R = 0, U(β) = mgs sin β.
(4)
> <
D�E �FE G7�������H�I���&%
ß@Ì@Â�¼�Ô
C,A Ó É�¼�Â�Á�É�ÇkÀJï�Ê�Á�»%¾�É�¿�À�»�Å@Ô�Í�ƧÇJ½�É�½�Â�Í�¾�Æ,À�Í�Â�¿�à�À�À^¿�É;¾�É�¿�»jÉ;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�ÅQÔ�Í�ÉNà�Â�Í�¾�¿�»Ë�É�Ì@Á�Â�¼�»�?
A1, B1, C1 Ó ½�É�½�Â�Í�¾�ÆãÀ�Í�Â�¿�à�À�ÀjÁ�Í�Î�¾�¿�Â�Í�Í�Â�Ç"¿�»;½�Ê�ÀGÉ%¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�ÉeÁ�Í�Î�¾�¿�Â�Í�Í�Â�Ç"É�¼�ÀË�É�Ì@Á�Â�¼�»�?;Í�É�¿�½6»�Å@ÀeÊeË Å@É�¼�Ê�É�¼�¾�ÀXÁ�Í�Î�¾�¿�Â�Í�Í�Â�Ç`¿�»;½�Ê�ÀeÁ/Â�§à�Â�Í�¾�¿�§ÀeÉ;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É�É�¼�Àe¿�É;¾�É�¿�»�?
C2 Ó ½�É�½�Â�Í�¾8À�Í�Â�¿�à�À�ÀGÍ�»;¿�Î�ĶÍ�É�Ç`¿�»;½�Ê�À¶É;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É8Í�»;¿�Î�ĶÍ�É�ǶÉ�¼�À`Ë�É*Ì@Á�Â�¼�»�=�58»�Å@Â�Â;? m Ó½6»;¼�¼�»`¿�É;¾�É�¿�»�?
g Ó Î�¼�Ê�É�¿�Â�Í�À�ÂZ¼�Á�É�Ø�É�Ì@Í�É�È�É`Ë�»�Ì@Â�Í�À�ò? s ≥ 0 Ó ¼�½�Â�Ü8Â�Í�À�ÂZà�Â�Í�¾�¿�»`½6»;¼�¼�¿�É;¾�É�¿�»À�Ý1à�Â�Í�¾�¿�»eË�É�Ì@Á�Â�¼�»eÁ%Ì@É%Å@Ô8É�¼�Àj¿�É;¾�É�¿�»�=�4/È�É%Å
β
É;¾�¼�×�À�¾�Æ�Á�»;Â�¾�¼£Ã"¾%»;Ê�À�½òÉ�Ø�¿�»%Ý�É�½§? ×�¾�É
β = 0
Á
Ë�É%Å@É*ÄeÂ�Í�À�À²?�Ê�É�È¡ÌQ»XÉ�¼�Ô`¿�É%¾�É�¿�»XÉ�¿�¾�É�È�É�Í�»�Å@Ô�Í�»XÍ�»;¿�Î�ĶÍ�É�ÇNÉ�¼�ÀNË�É�Ì@Á�Â�¼�»�=
Ð1É�Ì@¼�¾%»;Á�À�½ Á�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�Ã,äëü�å¶Áñ¼�É�É;¾�Í�É;Ù8Â�Í�À�à ä C å�?�ä�:�å�=§Ð1É%ÅQ»;È�»%à Ì�Å�ÃâÊ�¿�»%¾�Ê�É�¼�¾�À I0 =
= C2 +B1 +C
?
I = C1 +A−B1 −C
ÀG¿�»;¼�¼�½6»%¾�¿�À�Á�»%Ã`ÌQ»�Å@Â�Â�Í�Â�¾�¿�À�Á�À�»�Å@Ô�Í�ƧÇj¼�Å�Î ×�»;Dz? Ê É�È¡ÌQ»
I 6= 0
?�Á�Á�Â�Ì@Â�½�¼�Å@Â�Ì�Î Ò3Ü8À�ÂZØ�Â�Ý�¿�»%Ý�½�Â�¿�Í�ƧÂZÁ�Â�Å@À�×�À�Í�Æ
y = 2ΩI/ωC, ε = 4mgsI/ω2C2, λ = I0/I. (5)
Õ2É�È ÌQ»8Î�¼�Å@É�Á�À�ÂGä C år¼�Î�Ü8Â�¼�¾�Á�É;Á�»;Í�À�Ãc¼�¾;»;à�À�É�Í�»%¿�Í�ÆrÖ"Ì@Á�À�ÄXÂ�Í�À�Çûä�<�ågË�¿�À�Í�À�½6»;Â�¾¶Á�À Ì
cos β0(y
2 sin β0 − 2y + ε) = 0, (6)
»eÉ�¼�Í�É�Á�Í�É�Â/Î�¼�Å@É�Á�À�Â1Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á;É�¼�¾�Àc¾%»;Ê�À ÖjÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�Çûä�:�årË�¿�Â�É�Ø�¿�»%Ý�Î�Â�¾�¼ ÃmÊ"Í�Â�¿�»;Á�Â�Í�¼�¾�Á;Î
y2[−2 cos4 β0 + (3 + 2λ) cos2 β0 − λ]+
+2y(λ − 3 cos2 β0) + 4 cos2 β0 − ε(λ + cos2 β0) sin β > 0.
(7)
árÂ�Å@À�×�À�Í�»
y
Ö�»;¿�»;Ê�¾�Â�¿�À�Ý�Î�Â�¾8Î È¡Å@É�Á;Î Òý¼�Ê�É�¿�É�¼�¾�ÔZË�¿�Â�à�Â�¼�À�À
Ω
?�Ë�»;¿�»;½�Â�¾�¿�Æ
ε
À
λ
Ö�»;¿�»;Ê�¾�Â�Ï
¿�À�Ý�Î Ò�¾X¼�½�Â�Ü8Â�Í�À�Â/à�Â�Í�¾�¿�»8½6»;¼�¼3¿�É;¾�É�¿�»
s
À¶¿�»;¼�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å@Â�Í�À�Â/½6»;¼�¼�ÁZ¼�À�¼�¾�Â�½�Â;=J*/ÝXäê9�åL¼�Å@Â�Ì�Î�Â�¾%?
×�¾�ÉûË�¿�À
s > 0
Ý�Í�»;Ê
ε
¿�»;Á�Â�Í�Ý�Í�»;Ê�Î
I
=7K�¾%»;ÊÑÊ »;Ê
I0 > 0
?6¾�ÉûË�¿�À
ε > 0
Ø;Î*Ì@Â�¾
λ > 0
=
Ð1¿�£Ì@¼�¾;»;Á�À�Á
λ
Á8Á�À Ì@Â
λ = −1 + (C2 + C1 + A)/I
?�Ý*»;Ê Å@Ò�×�»;Â�½§?�×�¾�ÉeË�¿�À
ε < 0
Ø;Î*Ì@Â�¾
λ < −1
=
áã¼�Å�Î ×�»%Â
ε = 0
?�¾�É`Â�¼�¾�Ô¶Ë�¿�À
s = 0
?�Á�Â�Å@À�×�À�Í�»
I
½�É�ÄeÂ�¾`À�½�Â�¾�ÔXÅ@Ò�Ø�É�Ç"Ý�Í�»;ʲ?�ÀNË�É�ï�¾�É�½LÎjÌ�Å�Ã
λ
Á`ï�¾�É�½Ñ¼�Å�Î ×�»;Â1Ì@É�Ë�Î�¼�¾�À�½�Æ�Ê�»;Ê"Ý�Í�»�×�Â�Í�À�Ã
λ > 0
?�¾%»;ÊcÀNÝ�Í�»*×�Â�Í�À�Ã
λ < −1
=L*/¾%»;ʲ?@É�Ø%ÅQ»;¼�¾�Ô
Ì@É�Ë�Î�¼�¾�À�½�ÆrÖNÝ�Í�»*×�Â�Í�À�ÇcË�»;¿�»;½�Â�¾�¿�É�Á
ε
?
λ
É�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å@Â�Í�»`Í�Â�¿�»;Á�Â�Í�¼�¾�Á�»;½�À
λ > 0 (ε ≥ 0), λ < −1 (ε ≤ 0). (8)
M Fe��O2M�NJR P�/�S@M,P�/&OJP2T2M@O�OJQ2O�.R-d¹LS@T3NJR�O2T�S|F/Ð1¿�ÀÑÿ�À�Ê ¼�À�¿�É;Á�»;Í�Í�É�½
ε
Î�¼�Å@É�Á�À�Â�ä�A�å
É�Ë�¿�£Ì@Â�Å�Ã�Â�¾T>1ö@ù�UVA�ô�WYX;ùeô�Weó[Z�õ@ù*ö�ó�ø@ö8:2÷\@"X%õJUVA�ö�õ8=XÈ�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë�»eÁeÊ »;¿�ÌQ»;Í�É�Á�É�½ñË�É�Ì@Á�Â�¼�Â;=@î�»
Ë Å@É�¼�Ê É�¼�¾�À
β0, y
É�Í�ÉXÀ�Ý�É�Ø�¿�»%ÄX»;Â�¾�¼ ÃNÁ�Â�¿�¾�À�Ê »�Å@Ô�Í�Ƨ½�ÀcË�¿�Ã�½�Ƨ½�À
β0 = ±π/2 (mod 2π)
ÀjÌ@Á;Î�Ï
½LÃ"Ê�¿�À�Á�Ƨ½�À
y1(β0, ε) =
1 +
√
1 − ε sin β0
sin β0
, y2(β0, ε) =
1 −
√
1 − ε sin β0
sin β0
. (9)
Õ©»;Ê8Ê »;Ê8ÿ1Î Í�Ê�à�À�À
yj(β0, ε), j = 1, 2
?�Ý*»;Á�À�¼ Ã�¾1É;¾
β0
¾�É�Å@Ô�Ê É/×�Â�¿�Â�Ý
sin β0
?�¾�É1À ÖZÈ�¿�»;ÿ�À�Ê�À²?;Ê »;Ê
ÀkÈ�¿�»;ÿ�À�ÊJ¼�À�Í�Î�¼�»�?²Ý�Â�¿�Ê�»�Å@Ô�Í�É"¼�À�½�½�Â�¾�¿�À�×�Í�Æ,É;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�ÉcË�¿�Ã�½�ÆrÖ
β0 = ±π/2 (mod 2π)
=
æNÍ�É*ÄeÂ�¼�¾�Á�Éû¼�¾%»;à�À�É�Í�»;¿�Í�ÆrÖòÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�Ç À�É�¼�Í�É�Á�Í�É�Â"Î�¼�Å@É�Á�À�ÂNÎ�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�Àþä
��åeÀ�½�Â�Ò3¾
2π
Ï
Ë�Â�¿�À�É�Ì@À�×�Â�¼�Ê�Î Ò~¼�¾�¿�Î Ê�¾;Î�¿�ÎÑÉ;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�É
β0
=gÐ1É�ï�¾�É�½LÎ�À ÖòÌ@É;¼�¾;»%¾�É�×�Í�ÉÚÀ�¼�¼�Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�ÔûÌ�Å�Ã
Ý�Í�»*×�Â�Í�À�Ç
β0
?�Ë�¿�À�Í�»�Ì�Å@Â�Ä`»%Ü8À Ö8Ê »;Ê É;½�Î�ÏêÅ@À�Ø;É/É;¾�¿�Â�Ý�Ê�Î�Ì�Å@À�Í�Æ
2π
=;áJÊ�»*×�Â�¼�¾�Á�Âr¾;»;Ê�É�È�É/É;¾�¿�Â�Ý�Ê�»
Ë�¿�À
ε > 0
Á�ƧØ�Â�¿�Â�½
[−3π/2; π/2]
?�»8Ë�¿�À
ε ≤ 0
Á�É;Ý�Ô�½�Â�½
[−π/2; 3π/2]
=J��»;¼�¾�ÔXï�¾�É�È�ÉXÉ;¾�¿�Â�Ý�Ê »�?
È¡Ì@Â
1 − ε sin β0 ≥ 0
?�É�Ø�É;Ý�Í�»*×�À�½�×�Â�¿�Â�Ý
[a(ε); b(ε)]
=
Ð1É�Å@Ô;Ý�Î�Ã�¼�Ôe¼�¾;»;Í ÌQ»;¿�¾�Í�Ƨ½�Àc½�Â�¾�É�ÌQ»;½�ÀN½6»%¾�Â�½6»%¾�À�×�Â�¼�Ê É�È�ɶ»;Í�»�Å@À�Ý*»�?�Í�Â�¾�¿�Î*Ì@Í�É`Ë�É�¼�¾�¿�É�À�¾�Ô
È�¿�»%ÿ�À�Ê�À^Ý*»;Á�À�¼�À�½�É�¼�¾�Â�ÇÚÿ1Î Í�Ê�à�À�Ç
yj(β0, ε), j = 1, 2
?¸É;¾
β0
Ë�¿�À^¿�»%Ý�Í�ÆrÖ
ε
=2Ð1¿�ÀJï�¾�É�½ýÌ�Å�Ã
> C
�����
���
����������������
�����������������
������ �!�"��#���$&%'� � ����#��
É�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å@Â�Í�À�ÃXË�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�ÆrÖZÎ Ê�»%Ý*»;Í�Í�ÆrÖ8ÿ1Î Í�Ê�à�À�ÇeË�É
β0
À ÖZÎ�Ì@É�Ø�Í�É/Ë�¿�Â�Ì@¼�¾;»;Á�À�¾�Ô�¼�Å@Â�Ì�Î Ò3Ü8À�½
É�Ø�¿�»%Ý�É�½F]
yj(β0, ε) = ε/(1∓
√
1 − ε sin β0)
?�Á�Â�¿�Ö�Í�À�Ç"Ý�Í�»;Ê"¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î�Â�¾
j = 1
?�»8Í�À�ĶÍ�À�Ç Ó
j = 2
=�áý¿�Â�Ý�Î*Å@Ô*¾;»%¾�Â8Î�¼�¾%»;Í�»;Á%Å@À�Á�»;Â�½§?�×�¾�ÉjË�¿�À
ε ≥ 0
½�Í�É*ÄeÂ�¼�¾�Á�Éj¼�¾%»;à�À�É�Í�»;¿�Í�ÆrÖcÌ@Á�À�ÄeÂ�Í�À�Ç
À�½�Â�Â�¾GÍ�»eË Å@É�¼�Ê�É�¼�¾�À
β0, y
Á�À ̸?�À�Ý�É�Ø�¿�»%ÄeÂ�Í�Í�ƧÇNÍ�»X¿�À�¼;=(<�=
^0�6��E&_�E `a���Hbc�d��#�� �F��#H��e������[�df[��gihj
���� bc�I����$lk�f[�
ε ≥ 0
E
*/Ýcäm+�å�¼�Å@Â�Ì�Î�Â�¾%?(×�¾�ÉN»;Í�»�Å@À�Ý8Ý*»;Á�À�¼�À�½�É�¼�¾�Â�Ç
yj(β0, ε), j = 1, 2
?�É;¾
β0
Ë�¿�À
ε < 0
Ë�¿�À�Á�É%Ï
Ì@À�¾�¼£ÃÚÊû¼�Å�Î ×�»;Ò
ε > 0
¼GË�É�½�É;Ü8Ô�ÒdÝ*»;½�Â�Í�Æ
yj = −ȳj (j = 1, 2)
?
β0 = −β̄0
?
ε = −ε̄
?2È¡Ì@Â
ȳj, β̄0
¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î Ò�¾e¼�Å�Î ×�»;Ò
ε̄ > 0
=�ÕL»;Ê�À�½^É�Ø�¿�»%Ý�É�½§?�Ë�¿�À
ε < 0
Ë�É�¿�¾�¿�Â�¾e½�Í�É*ÄXÂ�¼�¾�Á�»�¼�¾%»;à�À Ï
É�Í�»;¿�Í�ÆrÖ`Ì@Á�À�ÄeÂ�Í�À�ÇGÍ�»�Ë Å@É�¼�Ê�É�¼�¾�À
β0, y
Ë�É%Å�Î ×�»;Â�¾�¼ ÃjÀ�Ý/Ë�É�¿�¾�¿�Â�¾%»e»;Í�»�Å@É�È�À�×�Í�É�È�É8½�Í�É*ÄXÂ�¼�¾�Á�»
¼�¾%»;Ê�À�½ ÄeÂ�Ë�É`½�É*Ì�Î�Å@ÒþË�É%Å@É�ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�Ƨ½
ε
Ë�¿�ÀcË�É�½�É;Ü8À"Ì@Á;Î�Ö"Ý�Â�¿�Ê »�Å@Ô�Í�ÆrÖmÉ;¾�¿�»%ÄeÂ�Í�À�ÇcÉ;¾%Ï
Í�É�¼�À�¾�Â�Å@Ô�Í�ÉXÉ�¼�Â�ÇGÊ�É�É�¿�Ì@À�Í�»%¾NäëÀ Å@ÀGÉ*Ì@Í�À�½Úà�Â�Í�¾�¿�»�Å@Ô�Í�Ƨ½ñÉ;¾�¿�»%ÄXÂ�Í�À�Â�½ÚÉ;¾�Í�É�¼�À�¾�Â�ÅQÔ�Í�ÉeÍ�»*×�»�ÅQ»
Ê É�É�¿�Ì@À�Í�»%¾�å�=@î�»XË Å@É�¼�Ê�É�¼�¾�À
β0, y
¾�É�×�Ê�À
X1 = (−π/2,−1 −
√
1 + ε), X2 = (−π/2,−1 +
√
1 + ε) (ε ≥ −1);
X3 = (π/2, 1 −
√
1 − ε), X4 = (π/2, 1 +
√
1 − ε) (ε ≤ 1),
(10)
È Ì@Â�Ë�Â�¿�Â�¼�Â�Ê�»;Ò3¾�¼£ÃcË�¿�Ã�½�ƧÂ
β0 = ±π/2
ÀNÊ�¿�À�Á�ƧÂ
yj(β0, ε), j = 1, 2
?�¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î Ò3¾G¾�É�×�Ê »;½
Ø�À�ÿ1Î ¿�Ê�»;à�À�À8Á3ÿ�»%Ý�É�Á�É�½cË�¿�É�¼�¾�¿�»;Í�¼�¾�Á�ÂrÎ ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�Ç�Ì@Á�À�ÄeÂ�Í�À�ÃZÈ�À�¿�É�¼�Ê�É�Ë�»�=;î�»3¿�À�¼;=�<|Ý�Í�»*×�Ê É�½
∗ É;¾�½�Â�×�Â�Í�Æ 2π
Ï�»;Í�»�Å@É�È�À"ï�¾�À Ö"¾�É�×�Â�ʲ=
n Fr]`P�O2M@S@O2M@R\o�P[p©M@S@T2R\o�P�/�M0S2U2T2S@MQP�/�T O�Orq�Q52)sa.R-
β0 = ±π/2
F�t/Ø�É;Ý�Í�»*×�À�½�×�Â�¿�Â�Ý
S(y, β0, ε, λ)
Å@Â�Á;Î Ò ×�»;¼�¾�Ô1É�¼�Í�É�Á�Í�É�È�É�Î�¼�Å@É�Á�À�Ã8Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�Àcä
��å�=;î�»�Á�Â�¿�¾�À�Ê »�Å@Ô�Í�ÆrÖeË�¿�Ã�½�ÆrÖ
β0 = ±π/2
ï�¾%»`ÿ1Î Í�Ê�à�À�ÃcË�¿�À�Í�À�½6»;Â�¾GÁ�À Ì
S±(y, ε, λ) = −λ(y2 ∓ 2y ± ε)
=Qß@Ì@Â�¼�Ô¶Á�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�Â
ÁW¼�Ê�É�Ø�Ê�»�ÖûÉ�Ø�¿�»%Üe»;Â�¾�¼ ÃñÁWÍ�Î�Å@ÔkË�¿�ÀûÝ�Í�»*×�Â�Í�À�à Ö
y
?©¿�»;Á�Í�ÆrÖÚÉ;¿�Ì@À�Í�»%¾%»;½Û¾�É�×�Â�ÊñØ�À�ÿ1Î ¿�Ê »;à�À�À
Xk, k = 1, 4
?g¼�Î�Ü8Â�¼�¾�Á;Î Ò�Ü8À ÖýË�¿�ÀÑÌQ»;Í�Í�É�½
ε
=r4/×�À�¾�ƧÁ�»%Ãýï�¾�É�?�Ë�¿�À Ö�É�Ì@À�½ Êã¼�Å@Â�Ì�Î Ò3Ü8À�½
Ý*»;Ê Å@Ò�×�Â�Í�À�Ã�½§=§á ¼�Å�Î ×�»;Â
ε ≥ 0
äëÊ É;È ÌQ»
λ > 0)
Î�¼�Å@É�Á�À�Âñä
��åXÁ�ƧË�É%Å@Í�Ã�Â�¾�¼ ÃãÍ�»ûÉ;¾�Ê�¿�Æg¾�ÆrÖ
>;:
D�E �FE G7�������H�I���&%
Á�Â�¿�¾�À�Ê�»�Å@Ô�Í�ÆrÖGÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�ÅQ»�Ö�?�Å@Â�Ä`»%Ü8À Ö`½�Â�ÄXÌ�Î`¼�Î�Ü8Â�¼�¾�Á;Î�Ò3Ü8À�½�ÀG¾�É�×�Ê »;½�À
Xk
= áò¼�Å�Î ×�»;Â
ε ≤
≤ 0
äëÊ É�È¡ÌQ»
λ < −1
årÎ�¼�Å@É�Á�À�ÂGä
��ågÁ�ƧË�É%Å@Í�Ã�Â�¾�¼ ÃmÍ�»8Å�Î ×�»�Ö�?�Å@Â�ÄX»%Ü8À ÖNÍ�»XË�¿�Ã�½�ÆrÖ
β0 = ±π/2Á�Í�Â/Ý*»;½�Ê�Í�Î�¾�ÆgÖNÉ;¾�¿�Â�Ý�Ê É�Á`¼�Ê É;Í�à�»;½�ÀNÁX¾�É�×�Ê »�Ö
Xk
=
u FZ]`P�O2M@S@O2M@Rvo�P[p©M@S@T2Rvo�P�/�M0S2U2T2S@MQP�/�T O�OVw�Q2T2S0.R-
y = y
1,2(β0
, ε)
q�Q2T
ε ≥ 0
F
Ð1¿�Â�ÄXÌ@Â1×�Â�½òÀ�Ý�Î ×�»%¾�ÔXÎ�¼�Å@É�Á�À�¶ä
��å6Í�»eÊ�¿�À�Á�Æ|Ö
y = yj(β0, ε), j = 1, 2
?�À�¼�Ê Å@Ò�×�À�½ñÅ@À�Í�Â�Ç�Í�ƧÇ
Ë�É
y
× Å@Â�Í^ÁGÅ@Â�Á�É�ÇJ×�»;¼�¾�À^Í�Â�¿�»;Á�Â�Í�¼�¾�Á�»ûä
��å�?(Ë�É%Å@Ô;Ý�Î;Ã�¼�Ô"Î ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�Â�½
y2 sin β0 − 2y + ε = 0
?
Ê�É;¾�É�¿�É�ÂkÉ;Ë�¿�Â�Ì@Â�Å�Ã�Â�¾�Î Ê »%Ý*»;Í�Í�ƧÂkÊ�¿�À�Á�ƧÂ;=�Õ©É�È¡ÌQ»JÅ@Â�Á�»%Ãã×�»;¼�¾�ÔÞä
��åXÝ*»;Ë�À�¼�ƧÁ�»;Â�¾�¼£ÃýÍ�»ûï�¾�À Ö
Ê�¿�À�Á�Æ|ÖNÁ`Á�À Ì@Â
Sj(β0, ε, λ) = cos2 β0
[
(λ + cos2 β0)y
2
j (β0, ε) + 4(1 − ε sin β0)
]
, j = 1, 2. (11)
º©»;¼�¼�½�É;¾�¿�À�½Ñ¼�Å�Î ×�»;Ç
ε > 0
=@ÕL»;ÊNÊ »;Ê
λ > 0
Ë�¿�À
ε > 0
¼�É�È¡ÅQ»;¼�Í�Ékä�>�å�?�¾�É
λ + cos2 β0 > 0Ì�Å�ÃZÁ�¼�Â�Ö
β0
=�58»�Å@Â�Â;?
1−ε sin β0 ≥ 0
Ì�Å�ÃZÁ�¼�Â�Ö�Ý�Í�»*×�Â�Í�À�Ç
β0
À�ÝgÉ;¾�¿�Â�Ý�Ê »
[a(ε); b(ε)]
?�Í�»3Ê�É;¾�É�¿�É�½
É�Ë�¿�£Ì@Â�Å@Â�Í�Æ Ê�¿�À�Á�ƧÂWäm+�å�=¸71¿�É�½�Âe¾�É�È�É�?
yj(β0, ε) 6= 0
Í�»"ï�¾�É�½�É;¾�¿�Â�Ý�Ê�ÂWäë¼�½§=¸¿�À�¼;=6<�å�=(ÕL»;Ê�À�½
É�Ø;¿�»%Ý�É�½§?©Á�Ƨ¿�»%ÄXÂ�Í�À�Â;?2Ý*»;Ê Å@Ò�×�Â�Í�Í�É�Â"Áòä�<�<�å�ÁWÊ�Á�»�Ì@¿�»�¾�Í�ƧÂ"¼�Ê É�Ø;Ê�À²?L¼�¾�¿�É�È�ÉJË�É%Å@É*ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�É
Í�»WÉ;¾�¿�Â�Ý�Ê�Â
[a(ε); b(ε)]
?�Àò¼�Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô;Í�É�?
Sj(β0, ε, λ) > 0
Ì�Å�ÃòÁ�¼�Â�Ö
β0
À�ÝNï�¾�É�È�ÉJÉ;¾�¿�Â�Ý�Ê�»�?
À�¼�Ê Å@Ò3×�»%ÃWÝ�Í�»�×�Â�Í�À�ò?²È¡Ì@Â
cos β0 = 0
=)x|¾�É"É;Ý�Í�»*×�»;Â�¾�?(×�¾�ÉjÁj¼�Å�Î ×�»;Â
ε > 0
É�¼�Í�É�Á�Í�É�Â8Î�¼�Å@É�Á�À�Â
Î�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�À�ä
��å�Á�ƧË�É%Å@Í�Â�Í�ÉjÁ�ɶÁ�¼�Â�Öc¾�É�×�Ê »�ÖmÊ�¿�À�Á�ÆrÖ
y = yj(β0, ε), j = 1, 2
?QÝ*»¶À�¼�Ê Å@Ò�×�Â�Ï
Í�À�Â�½�Ø�À�ÿ1Î ¿�Ê »;à�À�É�Í�Í�ÆrÖ"¾�É�×�Â�Ê
Xk, k = 1, 4
=
Ð1É�Å@É�ĶÀ�Á
ε = 0
Ámä�<�<�å�?�¼�¿�»%Ý�Î"Á�À Ì@À�½§?@×�¾�É`Ë�É%Å�Î ×�Â�Í�Í�ƧÇWÁ;ÆgÙ8ÂZ¿�Â�Ý�Î�Å@Ô�¾%»%¾jÉ�¼�¾%»;Â�¾�¼ ÃmÁ�Â�¿ Ï
Í�Ƨ½�À"Á`¼�Å�Î ×�»;Â;?@Ê�É�È¡ÌQ»
ε = 0
À
λ > 0
=
º©»;¼�¼�½�É;¾�¿�À�½W¼�Å�Î ×�»;Dz?%Ê É;È ÌQ»
ε = 0
À
λ < −1
=[(rÉ�È¡ÅQ»;¼�Í�ÉXä�<�<�å�?*Í�»8ð�Ê�¿�À�Á�É�Ǹð
y = y2(β0, 0) ≡
≡ 0
À�½�Â�Â�½
S2(β0, λ, 0) = 4 cos2 β0
=)(6Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?²Î�¼�Å@É�Á�À�ÂNä
��å�¼�Í�É�Á�»GÁ�ƧË�É%Å@Í�Â�Í�É"Á�ÉGÁ�¼�Â�Ö
Â�Â8¾�É�×�Ê »�ÖkÝ*»jÀ�¼�Ê Å@Ò�×�Â�Í�À�Â�½ÞØ�À�ÿ1Î ¿�Ê »;à�À�É�Í�Í�ÆrÖk¾�É�×�Â�ʲ=¸î�»jÊ�¿�À�Á�É�Ç
y = y1(β0, 0) = 2/ sin β0Á�Æg¿�»%ÄXÂ�Í�À�ÂJä�<�<�å�Ë�¿�À�Í�À�½6»;Â�¾JÁ�À Ì
S1(β0, λ, 0) = 4(λ + 1) cos2 β0/ sin2 β0
=<t�¾�¼�ÒgÌQ»W¼�Å@Â�Ì�Î�Â�¾�?
×�¾�ÉXË�¿�À
λ < −1
Ø;Î�Ì@Â�¾
S1(β0, λ, 0) ≤ 0
=�ÕL»;Ê�À�½ñÉ�Ø�¿�»%Ý�É�½§?�Ë�¿�À
ε = 0, λ < −1
Î�¼�Å@É�Á�À�Â`ä
��å|Í�»
Ê�¿�À�Á�É;Ç
y = y1(β0, 0)
Í�Â�Á�ƧË�É%Å@Í�Ã�Â�¾�¼ ò=
y F�]`P�O2M@S@O2M@R�o�P[p©M@S@T2R�o�P�/�M0S2U2T2S@MQP�/�TýO�Ozw�Q2T2S0.R-
y = y
1,2(β0
, ε)
q�Q2T
ε < 0
FLá
¿�Â�Ý�Î*Å@Ô*¾;»%¾�Â8Ë�É�Ì@¼�¾;»;Í�É�Á�Ê�ÀcÁ�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�ÇÚäm+�ågÁmä�<�<�å|Å@Â�Á�»%Ãc×�»%¼�¾�Ôkä
��årÝ*»;Ë�À�¼�ƧÁ�»;Â�¾�¼ ÃWÍ�»XÊ�¿�À�Á�ÆrÖ
y = yj(β0, ε), j = 1, 2
?�ÁXÁ�À Ì@Â
Sj(β0, ε, λ) =
cos2 β0
[1 ∓ ξ(β0, ε)]2
[
fj(ξ(β0, ε)) + (1 + λ)ε2
]
, j = 1, 2, (12)
È¡Ì@Â
ξ(β0, ε) =
√
1 − ε sin β0, fj(ξ) = (ξ ∓ 1)3(3ξ ± 1), (13)Á�Â�¿�Ö�Í�À�ÇXÝ�Í�»;ÊX¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î�Â�¾
j = 1
?�»1Í�À�ĶÍ�À�Ç Ó j = 2
=;Õ©É�È ÌQ»/Ë�¿�ÀXÿ�À�Ê�¼�À�¿�É�Á�»;Í�Í�ÆrÖ
ε, λ
È�¿�»�Ï
Í�À�à�Æ�À�Í�¾�Â�¿�Á�»�Å@É�Á`Ì�Å�Ã
β0
?@Í�»`Ê É;¾�É�¿�ÆrÖcË�É%Å@É�ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�ɶÁ�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�ÂZÁ¶Ê�Á�»�Ì@¿�»%¾�Í�ÆrÖm¼�Ê�É�Ø�Ê�»�Ö
Ácä�< C å�?�É�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å�Ã�Ò3¾�¼ ÃcÎ ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�Ã�½�À
fj(ξ(β0, ε)) = −(1 + λ)ε2, j = 1, 2. (14)
ám¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á�À�ÀZ¼3ä�>�åQÀ Ö1Ë�¿�»;Á�ƧÂ6×�»;¼�¾�À�Ã�Á%Å�Ã�Ò3¾�¼ Ã�Ë�É%Å@É*ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�Ƨ½�À�Ë�É�¼�¾�É�Ã�Í�Í�Ƨ½�À�Á§¿�»;¼�½6»%¾%Ï
¿�À�Á�»%Â�½�É�½Ú¼�Å�Î ×�»;Â
ε < 0
={�/¾�É�Ø�Æ Î�¼�¾%»;Í�É�Á�À�¾�Ôe×�À�¼�Å@É8ÀG¿�»;¼�Ë�É%Å@É*ÄeÂ�Í�À�Â�¿�Â�Ù8Â�Í�À�Ç"ï�¾�À Ö¶Î ¿�»;Á�Í�Â�Ï
Í�À�Dz?�Ì@É�¼�¾%»%¾�É�×�Í�ɶË�¿�É�»;Í�»�Å@À�Ý�À�¿�É�Á�»%¾�ÔXÝ*»;Á�À�¼�À�½�É�¼�¾�ÀcÀ ÖjÅ@Â�Á;ÆrÖN×�»;¼�¾�Â�ÇcÉ;¾
β0
=
Ð1¿�£Ì@Á�»;¿�À�¾�Â�Å@Ô�Í�Éc¿�»;¼�¼�½�É;¾�¿�À�½ÞË�¿�À
ε < 0
Í�»jÉ;¾�¿�Â�Ý�Ê Â
[a(ε); b(ε)] ⊆ [−π/2; 3π/2]
É�Ë�¿�Â�Ï
Ì@Â�Å@Â�Í�Í�Î ÒwÁcä�<*:�årÿ1Î Í�Ê�à�À�Ò
ξ(β0, ε)
=0|(¿�»%Í�À�à�»;½�ÀjÌQ»;Í�Í�É�È�É`É;¾�¿�Â�Ý�Ê »XÃ�Á%Å�Ã�Ò3¾�¼£Ã
a(ε) =
{
−π/2, ε ∈ [−1; 0),
arcsin 1/ε, ε ≤ −1,
b(ε) = π − a(ε),
>;ü
�����
���
����������������
�����������������
������ �!�"��#���$&%'� � ����#��
Ë�¿�À�×�Â�½
a(ε) ∈ [−π/2; 0)
?
b(ε) ∈ (π/2; π]
=�Ð1¿�Àñÿ�À�Ê�¼�À�¿�É�Á�»;Í�Í�É�½
ε < 0
ÿ1Î Í�Ê�à�À�Ã
ξ(β0, ε)½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�ÉXÁ�É;Ý�¿�»;¼�¾%»;Â�¾`Í�»8É;¾�¿�Â�Ý�Ê�Â
[a(ε); π/2]
É;¾
ξmin(ε)
Ì@É
ξmax(ε)
?�»8Í�»8É;¾�¿�Â�Ý�Ê�Â
[π/2; b(ε)]É�Í�»X½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�ÉXÎ Ø�ÆgÁ�»;Â�¾¶É;¾
ξmax(ε)
Ì@É
ξmin(ε)
=84�Â�ï�Ê ¼�¾�¿�Â�½6»�Å@Ô�Í�ƧÂ�Ý�Í�»*×�Â�Í�À�Ãc¿�»;Á�Í�Æ
ξmax(ε) = ξ(π/2, ε) =
√
1 − ε, ε < 0; ξmin(ε) = ξ(a(ε), ε) =
{ √
1 + ε, ε ∈ [−1; 0);
0, ε ≤ −1.
á�¾�É�×�Ê »�Ö
β0 = 0, π
?�Ë�¿�À�Í�»�Ì�Å@Â�ÄX»%Ü8À Ö�?�¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á�Â�Í�Í�É�?�À�Í�¾�Â�¿�Á�»�Å�ÎG½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É�È�ÉeÁ�É;Ý�¿�»;¼�¾%»�Ï
Í�À�ÃNÀNÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�Å�Î"½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É�È�ÉXÎ Ø�ƧÁ�»;Í�À�ò?�À�½�Â�Â�½
ξ(β0, ε) = 1
=
y F , F3h�P[p©M@S@T2RV}�~0�"O�Ovw�Q2T2S@M0S
y = y
1
(β
0
, ε)
q�Q2T
ε < 0
F6Ð1É�¼�Ê É%Å@Ô�Ê�Î
f1(ξ) = (ξ−
−1)3(3ξ + 1)
?6¾�É
f1(ξ(β0, ε)) > 0
Ì�Å�Ã�Ý�Í�»*×�Â�Í�À�Ç
β0
?|È¡Ì@Â
ξ(β0, ε) > 1
?�¾�ÉûÂ�¼�¾�Ô^Ì�Å�Ã
β0 ∈
(0; π)
=@Ð1¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�»%Ã
f1(ξ(β0, ε))
Ë�É
β0
¿�»;Á�Í�»
f ′
1(ξ(β0, ε)) = −6ε cos β0[ξ(β0, ε) − 1]2
=�ÕL»;Ê�À�½
É�Ø�¿�»%Ý�É�½§?;Ë�¿�À
ε < 0
ÿ1Î Í�Ê�à�À�Ã
f1(ξ(β0, ε))
½�É�Í�É;¾�É;Í�Í�É�Á�É;Ý�¿�»;¼�¾;»;Â�¾�Í�»
[a(ε); π/2]
Àe½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É
Î Ø�ƧÁ�»;Â�¾¶Í�»
[π/2; b(ε)]
=@Ð1¿�À
β0 = π/2
É�Í�»eÀ�½�Â�Â�¾¶Ë�É%Å@É*ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�ƧÇc½6»;Ê ¼�À�½�Î ½
f1 max(ε) = f1(ξmax(ε)) = (
√
1 − ε − 1)3(3
√
1 − ε + 1), (15)
»�¼�Á�É�Â�È�É8½�À�Í�À�½LÎ ½6»�Í�»�É;¾�¿�Â�Ý�Ê Â
[a(ε); b(ε)]
É�Í�»/Ì@É�¼�¾�À�È�»;Â�¾eÍ�»�Ê�É�Í�à�»�Ö¶ï�¾�É�È�É8É;¾�¿�Â�Ý�Ê »�=8(6Å@Â�Ì@É%Ï
Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?�È�¿�»%ÿ�À�Ê"Ý*»;Á;À�¼�À�½�É�¼�¾�À
f1(ξ(β0, ε))
É;¾
β0
Ë�¿�À
ε < 0
À�½�Â�Â�¾`Á�À ̸?�À�Ý�É�Ø�¿�»�ÄXÂ�Í�Í�ƧÇ"Í�»
¿�À�¼;= C = ºL»;¼�¼�½�É;¾�¿�À�½^¾�Â�Ë�Â�¿�Ô�Î ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�Â8ä�<�ü�å©Ë�¿�À
j = 1
=64�È�É
^0�6��E"��E[�������6�
�"�L����#��
f1(ξ(β0, ε))
��#
β0k�f[�
ε < 0
E
¿�Â�Ù8Â�Í�À�Ã�½�ÀcÃ�Á%Å�Ã�Ò3¾�¼£Ãm»;Ø�¼�à�À�¼�¼�Æ
β0
¾�É�×�Â�ÊmË�Â�¿�Â�¼�Â�×�Â�Í�À�Ã
È�É�¿�À�Ý�É�Í�¾;»�Å@Ô�Í�É;Ç�Ë�¿�Ã�½�É�Ç
y = −(1 + λ)ε2 ÀÞÈ�¿�»;ÿ�À�Ê�»
f1(ξ(β0, ε))
= áò¼�É�É;¾�Á;Â�¾�¼�¾�Á�À�Àj¼8ä�>�å�?�ÁZ¼�Å�Î ×�»;Â
ε < 0
Ë�»;¿�»�Ï
½�Â�¾�¿
λ
½�É*ÄeÂ�¾NË�¿�À�Í�À�½6»%¾�ÔmÁ�¼�ÂeÝ�Í�»*×�Â�Í�À�Ã
λ < −1
=2Ð1¿�À
Î ½�Â�Í�Ô;Ù8Â�Í�À�À
λ
É;¾ −1
Ì@É −∞ Î Ë�É�½LÃ�Í�Î�¾;»%ÃGË�¿�Ã�½6»%öË�É�Ì�Ï
Í�À�½6»;Â�¾�¼£Ã ÁJÁ�Â�¿�Ö�Í�Â�Ç Ë�É%Å�Î Ë Å@É�¼�Ê�É�¼�¾�ÀÑÍ�»k¿�À�¼;= C É;¾^É�¼�À»;Ø�¼�à�À�¼�¼1Ì@É ∞ =
t/Ø�É;Ý�Í�»�×�À�½ñ×�Â�¿�Â�Ý
λ(1)(ε)
Ý�Í�»*×�Â�Í�À�Â
λ
?�Ë�¿�ÀjÊ�É;¾�É�¿�É�½
Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 Ê »;¼�»;Â�¾�¼£ÃÑÍ�»J¿�À�¼;= C È�¿�»;ÿ�À�Ê�»
f1(ξ(β0, ε))
Áe¾�É�×�Ê Â�½6»;Ê ¼�À�½LÎ ½6»�=L(rÉ�È¡ÅQ»;¼�Í�ÉWä�<�9�å�?�À�½�Â�Â�½
λ(1)(ε) = −1 − f1 max(ε)/ε
2 =
= −4(1 − ε)/(
√
1 − ε + 1)2, ε < 0.
(16)
Õ©É�È ÌQ»§Ì�Å�ÃZÝ�Í�»�×�Â�Í�À�Ç
ε < 0
?
λ ∈ (λ(1)(ε);−1)
ï�¾%»�Ë�¿�Ã�½6»%Ã
Ë�Â�¿�Â�¼�Â�Ê�»;Â�¾^È�¿�»;ÿ�À�Ê
f1(ξ(β0, ε))
ÁcÌ@Á;Î�ÖÚ¾�É�×�Ê »�ÖñË�¿�É�½�Â�Ï
Ä`Î�¾�Ê�»
(0; π)
]
β
(1)
1 (ε, λ) ∈ (0; π/2), β
(1)
2 (ε, λ) ∈ (π/2; π)
(β
(1)
2 (ε, λ) = π − β
(1)
1 (ε, λ)).
î�»GÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�Å@Â
(β
(1)
1 (ε, λ); β
(1)
2 (ε, λ))
À�½�Â�Â�½
f1(ξ(β0, ε)) > −(1 + λ)ε2 ?�ÀkË�É�ï�¾�É�½LÎ�?²¼�É�È¡ÅQ»;¼�Í�Éä�< C å�?@Á�ɶÁ�¼�Â�ÖN¾�É�×�Ê »�Öcï�¾�É�È�ÉGÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�ÅQ»¶Ý*»`À�¼�Ê Å@Ò�×�Â�Í�À�Â�½ãÂ�È�ÉG¼�Â�¿�Â�Ì@À�Í�Æ β0 = π/2
Ë�É%Å�Î ×�»;Â�½
S1(β0, ε, λ) > 0
=
*/¾;»;ʲ?LÂ�¼�Å@ÀòË�¿�À
ε < 0
Ë�»;¿�»;½�Â�¾�¿
λ
Ë�¿�À�Í�»*Ì�Å@Â�ĶÀ�¾^À�Í�¾�Â�¿�Á�»�Å�Î
(λ(1)(ε);−1)
?©¾�Ék¼�Î�Ü8Â�Ï
¼�¾�Á;Î�Â�¾WÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�Å
(β
(1)
1 (ε, λ); β
(1)
2 (ε, λ))
Ý�Í�»�×�Â�Í�À�Ç
β0
?¸Á�ÉNÁ�¼�Â�ÖJ¾�É�×�Ê »�Ö^Ê�É;¾�É�¿�É�È�ÉñäíÝ*»NÀ�¼�Ê Å@Ò§Ï
×�Â�Í�À�Â�½ Â�È�É^¼�Â�¿�Â�Ì@À�Í�Æ
β0 = π/2)
Á�ƧË�É%Å@Í�Ã�Â�¾�¼£Ã É�¼�Í�É�Á�Í�É�ÂjÎ�¼�Å@É�Á;À�ÂNÎ�¼�¾�É�Ç�×�À�Á�É�¼�¾�ÀÛä
��åZÌ�Å�Ã
>�9
D�E �FE G7�������H�I���&%
Ê�¿�À�Á�É;Ç
y = y1(β0, ε)
=QáѾ�É�×�Ê�»�ÖNï�¾�É�ÇmÊ�¿�À�Á�É�Dz?�¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á;Î Ò3ÜeÀ ÖcÝ�Í�»*×�Â�Í�À�Ã�½
β0
Á�Í�Â1ÌQ»;Í�Í�É%Ï
È�ÉjÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�ÅQ»�?²Î�¼�Å@É�Á�À�ÂNä
��å�Í�ÂeÁ�ƧË�É%Å@Í�Ã�Â�¾�¼ ò=�t/Í�ÉjÍ�ÂXÁ�ƧË�É%Å@Í�Ã�Â�¾�¼ Ãk¾;»;Ê�ÄeÂeÍ�»jÁ�¼�Â�ÇJÊ�¿�À�Á�É�Ç
y = y1(β0, ε)
?�Ê�É�È ÌQ»
ε < 0
À
λ < λ(1)(ε)
=
y F M F|h�P[p©M@S@T2R�}�~0�`O�O�w�Q2T2S@M0S
y = y
2
(β
0
, ε)
q�Q2T
ε < 0
F�*/Ýcä�<*:�å�Ë�¿�À
j = 2
À�½�Â�Â�½
f2(ξ) = (ξ + 1)3(3ξ − 1)
=3(6Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?(Ë�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�»%Ãkÿ1Î Í�Ê�à�À�À
f2(ξ(β0, ε))
Ë�É
β0
¿�»%Á�Í�»
f ′
2(ξ(β0, ε)) = −6ε cos β0[ξ(β0, ε) + 1]2
= ÕL»;Ê�À�½ûÉ�Ø�¿�»%Ý�É�½§? Ë�¿�À
ε < 0
ÿ1Î Í�Ê�à�À�Ã
f2(ξ(β0, ε))
½�É%Ï
Í�É;¾�É;Í�Í�ÉXÁ�É;Ý�¿�»;¼�¾%»;Â�¾XÍ�»
[a(ε); π/2]
Àj½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É8Î Ø�ƧÁ�»;Â�¾XÍ�»
[π/2; b(ε)]
=8(rÁ�É�Â�È�Ée½6»;Ê�¼�À�½LÎ ½6»
Í�»eÉ;¾�¿�Â�Ý�Ê�Â
[a(ε); b(ε)]
É�Í�»ZÌ@É�¼�¾�À�È�»;Â�¾GÁXÂ�È�É`¼�Â�¿�Â�Ì@À�Í�Â
β0 = π/2
]
f2 max(ε) = f2(ξmax(ε)) = (
√
1 − ε + 1)3(3
√
1 − ε − 1), ε < 0,
»e¼�Á�É�Â�È�É`½�À�Í�À�½LÎ ½6» Ó Í�»XÂ�È�É`Ê�É�Í�à�»�Ö5]
f2 min(ε) = f2(ξmin(ε)) =
{
(
√
1 + ε + 1)3(3
√
1 + ε − 1), ε ∈ [−1; 0),
−1, ε ≤ −1.
*/ÝWï�¾�À Ö ÿ�É�¿�½LÎ*Åã¼�Å@Â�Ì�Î�Â�¾%?g×�¾�ÉÚË�¿�À
ε < 0
Á�¼�Â�È¡ÌQ»
^0�6��E"� E[�������6�
�"�L����#��
f2(ξ(β0, ε))
��#
β0k�f[�
ε < 0
E
f2 max(ε) > 0
?@»
f2 min(ε) > 0
¾�É%Å@Ô�Ê�ɶÊ�É�È¡ÌQ»
ε ∈ [−1; 0)
À
3
√
1 + ε − 1 > 0
?²¾�ÉcÂ�¼�¾�ÔmË�¿�À
ε ∈ (−8/9; 0)
=¸Ð1¿�À
ε ≤
−8/9
Ø;Î*Ì@Â�¾
f2 max(ε) ≤ 0
=2áþË�É�¼�Å@Â�Ì@Í�Â�½Û¼�Å�Î ×�»;ÂGÍ�»NÉ;¾%Ï
¿�Â�Ý�Ê Â
[a(ε); b(ε)]
¼�Î�Ü8Â�¼�¾�Á;Î�Ò3¾eÌ@Á�Â3¾�É�×�Ê�À
a(2)(ε), b(2)(ε)
?
È Ì@Â
f2(ξ(β0, ε)) = 0
=!t/Í�ÀâÉ�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å�Ã�Ò3¾�¼£ÃâÎ ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�Â�½
ξ(β0, ε) =
√
1 − ε sin β0 = 1/3
?�É;¾�Ê�Î*ÌQ»
a(2)(ε) = arcsin 8/9ε ∈ (−π/2; 0),
b(2)(ε) = π − a(2)(ε) ∈ (π; 3π/2), ε ≤ −8/9.
(17)
|(¿�»;ÿ�À�ÊGÿ1Î Í�Ê�à�À�À
f2(ξ(β0, ε))
ÁZÝ*»;Á�À�¼�À�½�É�¼�¾�À"É;¾
β0
Ë�¿�À
ÿ�À�Ê ¼�À�¿�É�Á�»;Í�Í�ÆrÖ
ε < 0
À�Ý�É�Ø�¿�»%ÄeÂ�Í"Í�»X¿�À�¼;=@:�=
t/Ø�É;Ý�Í�»�×�À�½ ×�Â�¿�Â�Ý
λ
(2)
1 (ε), λ
(2)
2 (ε)
Ý�Í�»*×�Â�Í�À�Ã
λ
?|Ë�¿�À
Ê É;¾�É�¿�ÆrÖ^Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 Ë�¿�É*Ö�É�Ì@À�¾WÍ�»jÎ ¿�É�Á�Í�½|»%Ê ¼�À�½LÎ ½6»jÀkË�É%Å@É*ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�É�È�ÉN½�À�Í�À�½LÎ ½6»jï�¾�É�ÇJÿ1Î Í�Ê Ï
à�À�Ài]
λ
(2)
1 (ε) = −1 − f2 max(ε)/ε
2 =
−4(1 − ε)/(
√
1 − ε − 1)2, ε < 0,
λ
(2)
2 (ε) = −1 − f2 min(ε)/ε
2 =
−4(1 + ε)/(
√
1 + ε − 1)2, ε ∈ (−8/9; 0).
(18)
Ð1¿�À
ε ∈ (−8/9; 0)
À
λ ∈ (λ
(2)
2 (ε);−1)
Á;¼£ÃcË�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 ¿�»;¼�Ë�É%Å@É*ÄXÂ�Í�»`Í�À�ÄeÂÈ�¿�»%ÿ�À�Ê�»1ÿ1Î Í�Ê�à�À�À
y = f2(ξ(β0, ε))
=;Õ©É�È ÌQ»/Á1ÿ�É�¿�½LÎ*Å@ÂZä�< C å�?;Á;Ý�Ã�¾�É�ÇXË�¿�À j = 2
?;Á�Ƨ¿�»%ÄXÂ�Í�À�§Á
Ê�Á�»*Ì@¿�»%¾�Í�ÆrÖ8¼�Ê�É�Ø�Ê�»�Ö�Ë�É%Å@É*ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�É/Ë�¿�ÀZÁ�¼�Â�Ö
β0 ∈ [−π/2; 3π/2]
?�ÀZ¼�Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?�Î�¼�Å@É�Á�À�Â
ä
��å�Á�ƧË�É%Å@Í�Â�Í�É"Á�ÉjÁ�¼�Â�Öm¾�É;×�Ê�»�ÖWÊ�¿�À�Á�É�Ç
y = y2(β0, ε)
Ý*»GÀ�¼�Ê Å@Ò�×�Â�Í�À�Â�½â¾�É�×�Ê�ÀkØ�À�ÿ1Î ¿�Ê »;à�À�À
Ë�¿�À
β0 = π/2
=
Ð1¿�À
ε ∈ (−8/9; 0)
?
λ ∈ (λ
(2)
1 (ε), λ
(2)
2 (ε))
?|»k¾%»;Ê�ÄeÂNË�¿�À
ε ≤ −8/9
?
λ ∈ (λ
(2)
1 (ε);−1)Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 Ë�Â�¿�Â�¼�Â�Ê »;Â�¾ÚÈ�¿�»%ÿ�À�Ê�ÿ1Î Í�Ê�à�À�À y = f2(ξ(β0, ε))
ÁWÌ@Á;Î�ÖÚ¾�É�×�Ê�»�Öò¼
»;Ø;¼�à�À�¼�¼�»;½�À
β
(2)
1 (ε, λ) ∈ (−π/2; π/2), β
(2)
2 (ε, λ) = π − β
(2)
1 (ε, λ) ∈ (π/2; 3π/2).
>�A
�����
���
����������������
�����������������
������ �!�"��#���$&%'� � ����#��
Ð1É�ï�¾�É�½LÎ"Á�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�Â�Á`Ê�Á�»�Ì@¿�»%¾�Í�ÆrÖN¼�Ê�É�Ø�Ê »�ÖNÁXÿ�É�¿�½LÎ�Å@ÂGä�< C å�?�¿�»;¼�¼�½6»%¾�¿�Á�»;Â�½�É�ÇcË�¿�À j = 2
?
Ë�É%Å@É�ĶÀ�¾�Â�Å@Ô�Í�ɶÍ�»XÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�Å@Â
(β
(2)
1 (ε, λ); β
(2)
2 (ε, λ))
¼�à�Â�Í�¾�¿�É�½ÑÁ
β0 = π/2
=L(6Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?
Î�¼�Å@É�Á�À�Âeä
��å©Ì�Å�öÊ�¿�À�Á�É�Ç
y = y2(β0, ε)
Á�ƧË�É%Å@Í�Â�Í�ÉZÝ�Ì@Â�¼�Ô8Á�ÉZÁ�¼�Â�Ö`¾�É�×�Ê »�Ö¶ï�¾�É�È�ÉeÀ�Í�¾�Â�¿�Á�»�ÅQ»ZÝ*»
À�¼�Ê Å@Ò�×�Â�Í�À�Â�½�¾�É�×�Ê�À
β0 = π/2
ÀNÍ�Â�Á�ƧË�É%Å@Í�Â�Í�É`Á�Í�Â/ÌQ»;Í�Í�É�È�É`À�Í�¾�Â�¿�Á�»�ÅQ»�=
Ð1¿�À
ε < 0
À^Á�¼�Â�Ö
λ ≤ λ
(2)
1 (ε)
Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 ¿�»%¼�Ë�É%Å@É�ÄeÂ�Í�»NÁ�ÆgÙ8ÂGÈ�¿�»;ÿ�À�Ê�»ÿ1Î Í�Ê�à�À�À
y = f2(ξ(β0, ε))
À Å@ÀkÊ�»;¼�»;Â�¾�¼£ÃJÂ�È�É"Ë�¿�À
β0 = π/2
=)(6Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?²Î�¼�Å@É�Á�À�ÂNä
��å3Á
ï�¾�É�½ ¼�Å�Î ×�»;Â�Í�Â�Á�ƧË�É%Å@Í�Â�Í�É`Í�»eÁ�¼�Â�ÇcÊ�¿�À�Á�É�Ç
y = y2(β0, ε)
=
� F�f�Q�O�O2T2U2O�.XR�q©M@S@R&QL-(O2M�P�/�T,F<�/¾�É�Ø�ÆwË�¿�Â�Ì@¼�¾%»;Á�À�¾�ÔcË�É%Å�Î ×�Â�Í�Í�ƧÂ`¿�Â�Ý�Î*Å@Ô*¾;»%¾�Æ Á"Ø�É%Ï
Å@Â�¶Í�»;È¡Å�à Ì@Í�É�Çûÿ�É�¿�½�Â;?¸Ë�É�¼�¾�¿�É�À�½�ÁcË�¿�É�¼�¾�¿�»;Í�¼�¾�Á�ÂGË�Â�¿�Â�½�Â�Í�Í�ÆrÖ
β0, ε, λ
Ë�É�Á�Â�¿�Ö�Í�É�¼�¾�À
β0 =
β
(j)
k (ε, λ)
?
j, k = 1, 2
?�É�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å�Ã�Â�½�ƧÂ�Î ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�Ã�½�ÀÚä�<�ü�å�=
� F , F�f�Q�O�O2T2U2O�.XRzq2M@S@R&Q5-(O2MQP�/�T޹�p�2Vw�Q2T2S@M0S
y = y
1
(β
0
, ε)
F ß�Í�»*×�Â�Í�À�Ã
β
(1)
k (ε, λ)
?
k = 1, 2
?%Ã�Á%Å�Ã�Ò3¾�¼£ÃXË�¿�À8ÌQ»;Í�Í�ÆrÖ
ε < 0
?
λ ∈ [λ(1)(ε);−1)
»;Ø�¼�à�À�¼�¼�»;½�À8Å@Â�Á�É�ÇXÀXË�¿�»;Á�É�Ç8¾�É�×�Â�Ê
Ë�Â�¿�Â�¼�Â�×�Â�Í�À�ÃûË�¿�Ã�½�É�Ç
y = −(1 + λ)ε2 ¼`È�¿�»;ÿ�À�Ê�É�½ y = f1(ξ(β0, ε))
Ê »;ÊJÿ1Î Í�Ê�à�À�À
β0
=¸7�»;Ê
Á�À Ì@Í�É8À�Ý/¿�À�¼;= C ? Ë�¿�À¶Î Á�Â�Å@À�×�Â�Í�À�À λ
É;¾
λ(1)(ε)
Ì@É −1
Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 É�Ë�Î�¼�Ê�»;Â�¾�¼£Ã"É%¾
Î ¿�É�Á�Í�Ã
f1 max(ε) > 0
Ì@É
0
? ÀGË�¿�ÀGï�¾�É�½ñÿ1Î Í�Ê�à�À�Ã
β
(1)
1 (ε, λ)
½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�ÉZÎ Ø�ƧÁ�»;Â�¾eÉ;¾
π/2
Ì@É
0
?
»Xÿ1Î Í�Ê�à�À�Ã
β
(1)
2 (ε, λ)
½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É`Á�É;Ý�¿�»;¼�¾%»;Â�¾GÉ;¾
π/2
Ì@É
π
=
^0�6��E"��E[�������6�
�"�L����#��
β
(1)
1 (ε, λ) � ^0�6��E���E ��f6���3�����)� ����e����
λ(1)(ε)
E
β
(1)
2 (ε, λ)
��#
λ.
æNÉ�Í�É;¾�É�Í�Í�ƧÇÚÖ�»;¿�»;Ê�¾�Â�¿òÀ�Ý�½�Â�Í�Â�Í�À�Ãòï�¾�À Öñÿ1Î Í�Ê�à�À�Çñ½�É*ĶÍ�ÉcÎ�¼�¾%»;Í�É�Á�À�¾�Ôk¾%»;Ê�ÄeÂ"»%Í�»�Å@À Ï
¾�À�×�Â�¼�Ê�À²?§É�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å@À�Á
∂β
(1)
k (ε, λ)/∂λ
?
k = 1, 2
?gÊ »;ÊÑË�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�ƧÂkÍ�Â�Ã�Á�Í�ÆrÖÑÿ1Î Í�Ê�à�À�ÇâÀ�Ý
Î ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�ÃÚä�<�ü�årË�¿�À
j = 1
]
∂β(ε, λ)/∂λ = ε/6 cos β(ε, λ)[ξ(β(ε, λ)) − 1]2.
ß@Ì@Â�¼�ÔJË�É�Ì
β(ε, λ)
Ë�É�Í�À�½6»;Â�¾�¼ Ã�É�Ì@Í�»WÀ�Ý"ÿ1Î Í�Ê�à�À�Ç
β
(1)
k (ε, λ)
?
k = 1, 2
=LÕL»;ÊÚÊ »;Ê
β
(1)
1 (ε, λ)
?
β
(1)
2 (ε, λ)
Ë�¿�À�Í�»�Ì�Å@Â�ÄX»%¾�?;¼�É�É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á�Â�Í�Í�É�?;À�Í�¾�Â�¿�Á�»�ÅQ»;½
(0; π/2)
À
(π/2; π)
?%È¡Ì@Â
ξ(β(ε, λ)) > 1
?
¾�É
∂β
(1)
k (ε, λ)/∂λ
À�½�Â�Â�¾kË�¿�À
ε < 0
Ý�Í�»;ʲ?©Ë�¿�É;¾�À�Á�É�Ë�É%Å@É*ĶÍ�ƧÇûÝ�Í�»;Ê�Î
cos β
(1)
k (ε, λ)
?¸¾�ÉmÂ�¼�¾�Ô
∂β
(1)
1 (ε, λ)/∂λ < 0
?
∂β
(1)
2 (ε, λ)/∂λ > 0
=658»�Å@Â�Â;?rË�¿�À
λ → λ(1)(ε)
À�½�Â�Â�½
cos β
(1)
k (ε, λ) →
cos π/2 = 0
?3Àý¼�Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?
∂β
(1)
k (ε, λ)/∂λ → ∞ ?
k = 1, 2
=�Ð1¿�À
λ → −1
À�½�Â�Â�½
β
(1)
1 (ε, λ) → 0
?
β
(1)
2 (ε, λ) → π
?*Ë�É�ï�¾�É�½LÎ
ξ(β
(1)
k (ε, λ)) → 1
?*À�¼�Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�£Å@Ô�Í�É�?
∂β
(1)
k (ε, λ)/∂λ →
∞ =�Õ©Â�Ë�Â�¿�Ô¶Í�Â�¾�¿�Î*Ì@Í�ÉGË�É�¼�¾�¿�É�À�¾�ÔGÈ�¿�»;ÿ�À�Ê�ÀNÝ*»;Á�À�¼�À�½�É�¼�¾�Àmÿ1Î Í�Ê�à�À�Ç
β
(1)
k (ε, λ)
?
k = 1, 2
?@É;¾
λË�¿�ÀNÿ�À�Ê ¼�À�¿�É�Á�»;Í�Í�É�½
ε < 0
äë¿�À�¼;=�ü�å�=
t/Ø%ÅQ»;¼�¾�Ô�Ò É�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å@Â�Í�À�Ãòï�¾�À ÖÚÿ1Î Í�Ê�à�À�ÇÚÃ�Á%Å�Ã�Â�¾�¼ ÃÚË�¿�É�½�Â�Ä`Î�¾�É�Ê
[λ(1)(ε);−1)
=©Ð1É�¼�¾�¿�É%Ï
À�½dÈ�¿�»;ÿ�À�Ê Ý*»;Á�À�¼�À�½�É�¼�¾�À
λ(1)(ε)
É;¾
ε < 0
=F*/ÝWÁ�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�Ãwä�<*A�åXÍ�»�Ö�É*Ì@À�½
dλ(1)(ε)/dε =
>��
D�E �FE G7�������H�I���&%
4/(
√
1 − ε+1)3 =�ÕL»;Ê�À�½JÉ�Ø�¿�»%Ý�É�½§? dλ(1)(ε)/dε > 0
Í�»�Ë�É%Å�Î�É�¼�À
(−∞; 0)
?�Ë�¿�À
ε → −∞ À�½�Â�Â�½
λ(1)(ε) → −4
?@»`Ë�¿�À
ε → 0
À�½�Â�Â�½
λ(1)(ε) → −1
=5(6Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?�È�¿�»;ÿ�À�ÊNÿ1Î Í�Ê�à�À�À
λ(1)(ε)À�½�Â�Â�¾¶Á�À ̸?�À�Ý�É�Ø�¿�»%ÄXÂ�Í�Í�ƧÇNÍ�»e¿�À�¼;=�9 =
^0�6��E6��E ��f6���3�����l�d�����6�
�"�L����#��I$
β
(2)
1 (ε, λ), β
(2)
2 (ε, λ)
��#
λ
E
|(¿�»%ÿ�À�Ê�ÀòÍ�»k¿�À�¼;=�ükË�¿�Â�Ì@¼�¾%»;Á%Å�Ã�Ò3¾û¼�Â�×�Â�Í�À�Ã�Ë�É�Á�Â�¿�Ö�Í�É�¼�¾�Â�Ç
β0 = β
(1)
k (ε, λ)
?
k = 1, 2
?
Ë Å@É�¼�Ê É�¼�¾*Ã�½�À
ε = const < 0
=�Ð1É%Å@Ô;Ý�Î�Ã�¼�Ô1¿�À�¼;=�ü�?�9 ?�Å@Â�È�Ê�É�Ë�É�¼�¾�¿�É�À�¾�Ô�Àe¼�»;½�Àeï�¾�À`Ë�É;Á�Â�¿�Ö�Í�É�¼�¾�À
äë¿�À�¼;=0+�?²ó*å�=
^0�6��EJ��E���f������ ���
a(2)(ε), b(2)(ε)
E ^0�6��E[� E ��f6���3�����
λ
(2)
1 (ε), λ
(2)
2 (ε)
E
� F M Fgf�Q�O�O2T2U2O�.XR�q2M@SQR&QL-(O2MQP�/�T�p�2�w�Q2T2S@M0S
y = y
2
(β
0
, ε)
F©º©»;¼�¼�½�É;¾�¿�À�½Þ¼�Í�»�×�»�ÅQ»
¼�Å�Î ×�»%Dz?LÊ�É�È ÌQ»
ε ∈ (−8/9; 0)
=©Õ©É�È¡ÌQ»NË�¿�ÀûÎ Á�Â�Å@À�×�Â�Í�À�À
λ
É;¾
λ
(2)
1 (ε)
Ì@É
λ
(2)
2 (ε)
Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y =
−(1 + λ)ε2 Í�»J¿�À�¼;=|:kÉ�Ë�Î�¼�Ê�»;Â�¾�¼ à É;¾JÎ ¿�É�Á�Í�à f2 max(ε) > 0
Ì@É
f2 min(ε) > 0
?�À�Ë�¿�À�ï�¾�É�½
β
(2)
1 (ε, λ)
½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É/Î Ø�ƧÁ�»;Â�¾�É;¾
π/2
Ì@É −π/2
?�»
β
(2)
2 (ε, λ)
½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É�Á�É;Ý�¿�»;¼�¾%»;Â�¾�É;¾
π/2
Ì@É
3π/2
=QÐ1¿�ÀNÌQ»�Å@Ô�Í�Â�Ç�Ù8Â�½ÑÎ Á�Â�Å@À�×�Â�Í�À�À
λ
É;¾
λ
(2)
2 (ε)
Ì@É −1
Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 Ë�¿�É�Ö�É*Ì@À�¾Í�À�ÄeÂWÈ�¿�»;ÿ�À�Ê�»
y = f2(ξ(β0, ε))
?gÀâË�É�ï�¾�É�½LÎãË�¿�Àâÿ�À�Ê ¼�À�¿�É;Á�»;Í�Í�É�½
ε ∈ (−8/9; 0)
ÀãÁ�¼�Â�Ö
λ ∈ [λ
(2)
2 (ε);−1)
À�½�Â�Â�½
β
(2)
1 (ε, λ) = −π/2
?
β
(2)
2 (ε, λ) = 3π/2
=L*/Ý�Î ¿�»;Á�Í�Â�Í�À�Ãñä�<�ü�ågË�¿�À
j = 2Í�»�Ö�É�Ì@À�½
∂β(ε, λ)/∂λ = ε/6 cos β(ε, λ)[ξ(β(ε, λ)) + 1]2. (19)
ß@Ì@Â�¼�ÔâË�É*Ì
β(ε, λ)
¼�Å@Â�Ì�Î�Â�¾�Ë�É�Í�À�½6»%¾�ÔâÉ�Ì@Í�Î�À�Ýòÿ1Î Í�Ê�à�À�Ç
β
(2)
k (ε, λ)
?
k = 1, 2
=1ÕL»;ÊÛÊ »;Ê
β
(2)
1 (ε, λ)
À
β
(2)
2 (ε, λ)
Ë�¿�À�Í�»�Ì�Å@Â�Ä`»%¾8¼�É;É;¾�Á�Â�¾�¼�¾�Á�Â�Í�Í�É8À�Í�¾�Â�¿�Á�»�ÅQ»;½
(−π/2; π/2)
À
(π/2; 3π/2)
?
»
ε < 0
?�¾�É
∂β
(2)
1 (ε, λ)/∂λ < 0
?
∂β
(2)
2 (ε, λ)/∂λ > 0
=74�¼�Å@À
λ → λ
(2)
1 (ε)
À Å@À
λ → λ
(2)
2 (ε)Ë�¿�À
ε ∈ (−8/9; 0)
?©¾�É
cos β
(2)
k (ε, λ) → 0
?LÀò¼�Å@Â�Ì@É�Á�»%¾�Â�Å@Ô�Í�É�?
∂β
(2)
k (ε, λ)/∂λ → ∞ =LÕ©Â�Ë�Â�¿�Ô
Í�Â�¾�¿�Î�Ì@Í�ÉjË�É�¼�¾�¿�É;À�¾�ÔGÈ�¿�»;ÿ�À�Ê�ÀNÝ*»;Á�À�¼�À�½�É�¼�¾�À
β
(2)
k (ε, λ)
?
k = 1, 2
?@É;¾
λ
Ë�¿�Àcÿ�À�Ê�¼�À�¿�É�Á�»;Í�Í�É�½
ε ∈ (−8/9; 0)
äë¼�½§=�¿�À�¼;=@A�?��*å�=
>�>
�����
���
����������������
�����������������
������ �!�"��#���$&%'� � ����#��
ºL»;¼�¼�½�É;¾�¿�À�½ñ¾�Â�Ë�Â�¿�Ô`¼�Å�Î ×�»;Ç
ε ≤ −8/9
=�á ï�¾�É�½ñ¼�Å�Î ×�»;Â�Ë�¿�ÀGÎ Á�Â�Å@À�×�Â�Í�À�À
λ
É;¾
λ
(2)
1 (ε)
Ì@É
−1
Ë�¿�Ã�½6»%Ã
y = −(1 + λ)ε2 Í�»G¿�À�¼;=(:GÉ�Ë�Î�¼�Ê »;Â�¾�¼ ÃJÉ;¾ f2 max(ε) > 0
Ì@É
0
?Q¾;»;Êk×�¾�É
β
(2)
1 (ε, λ)½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É`Î Ø�ƧÁ�»;Â�¾¶É;¾
π/2
Ì@É
a(2)(ε)
?@»
β
(2)
2 (ε, λ)
½�É�Í�É;¾�É�Í�Í�É`Á�É;Ý�¿�»;¼�¾%»;Â�¾GÉ;¾
π/2
Ì@É
b(2)(ε)äëÿ1Î Í�Ê�à�À�À
a(2)(ε)
?
b(2)(ε)
É�Ë�¿�Â�Ì@Â�Å@Â�Í�Æ Áûä�<���å¡å�=²ÕL»;ÊkÊ�»;Ê
cos a(2)(ε) 6= 0
?
cos b(2)(ε) 6= 0
Ë�¿�À
ε < −8/9
?;¾�É�À�ÝZä�< +�婼�Å@Â�Ì�Î�Â�¾�? ×�¾�É�Á�É;¾�Å@À�×�À�Â3É;¾�Ë�¿�Â�Ì@ÆrÌ�Î�Ü8À�À�Ö`¼�Å�Î ×�»;Â�Á�Ý�Ì@Â�¼�Ô�Ë�¿�É�À�Ý�Á�É�Ì@Í�ƧÂ
∂β
(2)
k (ε, λ)/∂λ
Ê�É�Í�Â�×�Í�ÆÛË�¿�À
λ → −1
äë¼�½§=Q¿�À�¼;=²A�?�9�å�=�Ð1É%Å@Ô;Ý�Î;Ã�¼�ÔjÁ�Ƨ¿�»%ÄeÂ�Í�À�Ã�½�Àñä�<���å�Àñä�<*>�å
ÿ1Î Í�Ê�à�À�Ç
a(2)(ε)
?
b(2)(ε)
À
λ
(2)
1 (ε)
?
λ
(2)
2 (ε)
?�Ë�É�¼�¾�¿�É�À�½ Í�»e¿�À�¼;=L� ?@>eÀ Ö"È�¿�»;ÿ�À�Ê�À²=
^0�6��E���E �7��� �mf h ������#������I�
β0 = β
(1)
k
(ε, λ) ��� � β0 = β
(2)
k
(ε, λ) � k = 1, 2
E
|(¿�»;ÿ�À�Ê�ÀâÍ�»ñ¿�À�¼;=�AÚÀ�Ý�É�Ø�¿�»%ÄX»;Ò3¾ò¼�Â�×�Â�Í�À�ÃýË�É�Á�Â�¿�Ö�Í�É�¼�¾�Â�Ç
β0 = β
(2)
k (ε, λ)
?
k = 1, 2
?
Ë Å@É�¼�Ê É�¼�¾*Ã�½�À
ε = const < 0
=�x|¾�ÉmË�É;Ý�Á�É%Å�Ã�Â�¾W¼`Ë�É�½�É;Ü8Ô�Ò ¿�À�¼;=�� ?2>NË�É�¼�¾�¿�É�À�¾�ÔmÎ Ê »%Ý*»;Í�Í�ƧÂ
Ë�É�Á�Â�¿�Ö�Í�É�¼�¾�ÀÚäë¼�½§=�¿�À�¼;=0+�?)9�å�?�Ê�É;¾�É�¿�ƧÂ�Á�½�Â�¼�¾�Â�¼�¿�Â�Ý�Î*Å@Ô*¾%»%¾;»;½�Àm˲=�:XË�¿�Â�Ì@¼�¾%»;Á%Å�Ã�Ò3¾G¿�Â�Ù8Â�Í�À�Â
Ý*»�ÌQ»�×�ÀNÉXÁ�ÆrÌ@Â�Å@Â�Í�À�ÀNÎ�¼�¾�É�Ç�×�À�Á;ÆgÖc¼�¾%»;à�À�É�Í�»;¿�Í�ÆrÖ"Ì@Á�À�ÄeÂ�Í�À�Çc»;¼�À�Í Ö�¿�É�Í�Í�É�È�É`È�À�¿�É�¼�Ê É�Ë�»�=
±F¡¢�'£I¤"¥�¦j§j¨8©2®1��������¦����*���������8�%���*¨r�����*�e���*¨r��¤%���������%�������������������������������������%�����������;�����������N�*� �%���¡���
ª�ª7« �����*¤ ±��������¡���������*�g�1����´��������*��±�¬ d�®'¯ ±�¬±°[°�¢*��¥(��±[²*±�¬±³2± �´�µ ª �´�¯ ±
²*±j¶5¥�·�¸[¤"¹[º�»�¼�¨�¼�¨�©2®L��������¦��������������|�%���*¨r�����*�r���������������%�2�©�*�����;�����������/��� �%���¡��� ª�ª)½ ����¨r��±�¬�°[°�¢£��¥(��± µ ±
¬±³2± µ�´�¾ ª µ�´�¯ ±
µ ±F¿<¥�¤"¹¢À7¨ ¿7¨"Á������%�������L�g����������«W�������������������%±�¬cÂe± Ã"Ä��¡���*��¢ d�´ ²*±�¬!² �Å ��±
¾ ±�§�Æ[Ç�·<È�»FÉa¨ ¡�¨ Ê<Ë��IÌ�Æ���·<È�»ÎÍ0¨ Ï�¨�³6���%�����*�*�e���������������%�8�X�*�����;�����������J��� �%���¡����±8¬?Âe± Ã5Ä�� ������¢ d�´�¯ ±8¬
²'Ð ¯ ��±
® ±�Ë��IÌ�Æ���·<È�»?Í0¨ Ï�¨iÑã�����������"�����£�������������������8���������������%�8�/¯�¤%�������������¡�����%�û���������¡�%���²¢@����� ��������¤%�����������8�
�*�����;�����������e��� �%���¡��� ª�ª �L���%±�Ò�Ä�³)³)³LÓ�±"Â1�°´��������*�r�/���'Ô|����������������������± ¬ d�Å�µ ±�¬cÕ Å ±�¬±³2± ¾�® ª ®�¾ ±
Å ±�§3Ì�º�·�ºH¤"Ö�¥�Æ[Èc¼�¨L¼�¨0©2®1��������¦��������������8�%���*¨|�����*�e���������������%�����������;�����������"��� �%���¡���g�����X�%�£¤%�����*�`����ª
�������£�g����������������¤%����g���������������%� ª�ª �L���%±�Ò�Ä�³)³)³LÓ�±"Â1�°´��������*��±�¬ d�Å�® ±�¬cÕ µ ±�¬±³2± �®'Å ª d®' ±
´ ±�§7È�¤"È�¦�º�»�Ç"×FØ�¨ Ùj¨"³Q������������|��´�� �;�����������������%�6�|��®���®�¬|��������¦g�¡�£�;� ���2�|�����������������2�|�*�����%�����������8�*� �%���¡���
ª�ª Â1��´��������*�r���������%�����g����¤;��± ¬ d�´ ²*±�¬cÁ�¥(��± ¾ ±�¬±³2± ¯ ² ª ²�±
¯ ±�§7È�¤"È�¦�º�»�Ç"×�Ø�¨ Ùj¨8©2®1��������¦��������������e��� ��µ������%������¥²´��%���*¨r������¦X�������*´*�������������/���������������%�/�/�*�����;�����������
��� �%���¡��� ª�ª7½ ���X¨r��± ¬ d�´�´ ±�¬cÁ�¥(��± ±�¬±³2± Å� ª ´ ²�±
±�§7È�¤"È�¦�º�»�Ç"×�Ú�¨ Ø�¨{ÛQ�°¤%�������e��������¦��������������8��������¦��������������e���£��µ������%������¥²´Z����¨§�%�����/�%���*¨r�����*�X�����*´*�����*ª
�������g���������������%�r�g�*�����;�����������e��� �%���¡��� ª�ª ³��²±��%����� ±%��®�����������±
���[ÜÝ#<k�f[���� �E��0��#��C�0��#������a�a�L�mh ���������aÞ<ß�Þvà{��f6������g ��á �����Ie��
â�ã'ä"ã"å'æ"ç�è�é�éiêmè ëJêÝì ã'ä�í�î"å�âLêðï"è
« ��¤%���������jÐ ± Ð ± Ð µ
>[+
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123719 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:48:43Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коносевич, Б.И. 2017-09-09T05:50:03Z 2017-09-09T05:50:03Z 2003 Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 80-89. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123719 531.38, 531.36 Изучается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести, имеющий вертикальную наружную ось подвеса и снабженный электродвигателем. Для случая асинхронного электродвигателя на множестве стационарных движений гироскопа выделены устойчивые стационарные движения, а именно те, для которых выполняется достаточное условие устойчивости, следующее из анализа линеаризованных уравнений движения. Это условие появляется также при исследовании гироскопа в кардановом подвесе с синхронным электродвигателем как одно из двух условий устойчивости его стационарных движений. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем Коносевич, Б.И. |
| title | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем |
| title_full | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем |
| title_fullStr | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем |
| title_full_unstemmed | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем |
| title_short | Исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем |
| title_sort | исследование основного условия устойчивости стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе, снабженного электродвигателем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123719 |
| work_keys_str_mv | AT konosevičbi issledovanieosnovnogousloviâustoičivostistacionarnyhdviženiigiroskopavkardanovompodvesesnabžennogoélektrodvigatelem |