Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе
Изучается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем синхронного типа. Если наружная ось подвеса вертикальна, то уравнения движения рассматриваемой системы допускают семейство стационарных решений, описывающих регулярные п...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123720 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 90-96. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860137884162457600 |
|---|---|
| author | Коносевич, Ю.Б. |
| author_facet | Коносевич, Ю.Б. |
| citation_txt | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 90-96. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Изучается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем синхронного типа. Если наружная ось подвеса вертикальна, то уравнения движения рассматриваемой системы допускают семейство стационарных решений, описывающих регулярные прецессии ротора вокруг наружной оси подвеса или равномерные вращения ротора вокруг неподвижной оси. На основе анализа уравнений первого приближения найдены достаточные условия устойчивости таких движений.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:48:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
��������� �
���
����������������������� ��"!�# �%$�&(' )*'"!��*+(���,
�� � ����-/.102�3� �
46587,9;:�<�= :�>�?@9;:�<�= :�A
B© C;D�D :�=�EGFIHJFLKNM@O2MQP�R�S@T2U
VJWYX[Z]\_^a`bVcW8d_Z]egfg^g\]ZJW8dY^
W8dihcjg^kZ]lghJmYlgnpoqmsrutv^gwpZ]\yxz\_^at{r1lg^a`
W8^gl"ocm_Z]lglkZ]|}Z~|�^Nm_ZJW8KNZ]�Nhb\�KghJmLxzhclkZ]\]Z]w��kZ1xz\8rsWYr
�L�����%���������������������������_�������;�����������k�����%������������������������ %������¡(¢��%�8���������%���*£¤�����z�����������������]�_���� %�1���* %¡
���*£i�������s�s�¥�%��¦�£i������¡(¢1§� %�����������%�����¥������ %���c�����*¨*�������������¤���*�%��©�ªQ�¥ %�u�%������£¤�%���1����«¬�����%�������}�����������*�� %«�
�%��� ���u���%�����������*�8�%���*£������*�®�%��������������������������¢_���%��������¡¯�%������������°2�s��������¢%�������s������±������%������¡²¨8����³�������¢��
��������¡(����°2´��*¨Y�������� �������¡(�¬������±����������®�*���������1�����������¤�%������£¤����¢_�����_�����%�������/�* %�_�%����������������¡(�¬���%��´���
�����c���������%�8�����������/���������%���*£¤����¢J������©Qµ¶�Y�����������1���%�� %�����Y���%������������¢J�������������8������¦� %�*£������*�c�%��¢*�%����¡
�%���¥������������¡(�L���¥ %�����*�·��������¢��������������/�������*¨3�%���*£i������¢�©
4¶¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�¿g¸�¹;À;Á�½�º�Â�À;Ã�Â�ÄiÅ[Æ@¾�½�Ç_È�Â�½�»z¹*É�Ç_È�Ê@º�Ë�ºgË�½�Ã�º�¸�Ì�º�Í�ÀN¾NÌ À;Ã�ÆQÀ;Â�º�¾�º�ÎÏÍ�º�Æ@¾�È�¸�È
Ð;Ñ�ÒgÓ*Ô®Õ�Ö�Ô]Õ�Ô]×%Ò�Ò"Ô·ÑQØ�Ù�Ò Ú Â�Àsº�¸�É Å�Í�º*Æ@¾�È�¸�Às½JÃ�º;¹�º�Ã�ÀY½�Û�Ü ¼�À�ÊQÀ;¸�¿8¾8Ã�À;Ý�º;¹%À�ÅaÞß<�à :%áQ½®Æ@ò=�5uÊ�É
¸�Ê�Ü ¼�À�É(?;Ì�º�Ë�ÆQÀ/Ã�º;¹�º�Ã_Í�Ã�½�¾�º�Æ@½�¹�¸�É®¾�º/¾�Ã�À%â8È�Â�½�È/ã Õ�Ò�Ù ä;ÑQÓ*Ù�Ù�å2æèç Ê@È�Ì�¹�Ã�º�Æ@¾�½�Ë�À%¹�È�Ê@È�Τ?�¾/Ã�À;Ý�º%¹�ÈÞ é;á²Ã�À;¸�¸�Î6À%¹�Ã�½�¾�À�ÊQÀ;¸�¿®Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�¿]Ã�À;¾�Â�º�ζÈ�Ã�Â�ÄiÅ"¾�Ã�À%â8È�Â�½�»NÍ�º®Í�È�Ã�¾�º�ÎLÜJÍ�Ã�½�Ý%Ê@½�Ç®È�Â�½�êY?�¾
Þ 9�ái¸JÍ�º�ζº;â8¿�êë¾;¹�º�Ã�º�Ë�ºkζÈ�¹�º*ÆQÀgìuÉ�Í�Ü Â�º�¾�ÀaÍ�º%Ê�Ü ¼�È�Â�ºaÆ@º�¸�¹;À%¹�º�¼�Â�º;ÈcÜ�¸�Ê@º�¾�½�ÈJÜ�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�½
¸�¹%À;Á�½�º�Â�À;Ã�Â�ÄiÅ"Æ@¾;½�Ç®È�Â�½�»gÀ%¸�½� Å�Ã�º�Â�Â�º�Ë�º�Ë�½�Ã�º�¸�Ì�º�Í�À�?QÀ_¾NÞ A%á�íîÂ�È�º�Ý*Å�º�Æ@½�ζº�Èu½cÆ@º�¸�¹%À%¹�º�¼�Â�º�È
Ü�¸�Ê@º�¾�½�È;=;ïð¸�Ê�Ü ¼�À;È;?;Ì�º�Ë�ÆQÀ·Ã�º;¹�º�Ã8Í�Ã�½�¾�º�Æ@½�¹�¸�É_¾�º·¾�Ã�À%â8È�Â�½�È ç Ê@È�Ì�¹�Ã�º�Æ@¾�½�Ë�À%¹�È�ÊQÈ�Î Õ�Ò�Ù ä;ÑQÓ*Ù�Ù@Ó�ñ�Ó
¹�½�Í�À�?�¾8¸�¹;À%¹�¿�È]Þ é;á²½�Û�Ü ¼�À�Ê@º;¸�¿_Å�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì�º�ÈuÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�È/Æ�Ê�ÉcÃ�È�Ç�½�ζº�¾_Ã�À;¾�Â�º�ζÈ�Ã�Â�º�Ë�º
¾�Ã�À�â8È�Â�½�É®Ã�º;¹�º�Ã�À�?�º�Æ@Â�À;Ì º/Ü�¸�Ê@º�¾�½�É_Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�½]¹%À;Ì�½ Å®Ã�È�Ç]½�Î6º;¾1¾ ç ¹�º�»®¸�¹%À%¹�¿�È;?�À·¹;À;Ì�Ç_È}¾
ζº�Â�º�Ë�Ã�À;òu½�½¯Þ ó�á(Â�ÈsÍ�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Ä1=�ô1È�Ê@¿�êõÆQÀ;Â�Â�º�»NÃ�À;Ý�º;¹�ÄöÉ�¾�Ê�É�È�¹�¸�ÉgÍ�º%Ê�Ü ¼�È�Â�½�ÈuÆ@º�¸�¹;À�¹�º�¼�Â�Ä}Å
Ü�¸�Ê@º�¾�½�»�Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�½÷¸�¹%À;Á�½�º�Â�À;Ã�Â�ÄiÅøÆ@¾�½�Ç®È�Â�½�»ù¸�½� Å�Ã�º�Â�Â�º�Ë�º¯Ë�½�Ã�º�¸�Ì�º�Í�Àð¾ðÌ À;Ã�ÆQÀ;Â�º�¾�º;Î
Í�º�Æ@¾�È�¸�Èu¸uÍ�º�ζº;â8¿�êúÍ�È�Ã�¾�º�Ë�º]ζÈ�¹�º�ÆQÀ_ìuÉ�Í�Ü Â�º�¾�À�=
û F�VuP;üLM@S@TþýðP;ÿ��zR P���S@M@S���O2TþýðP������2T2M@O ��
2O �
��
2R�� T �1M@S��LS@T��zR�O2Tþý¯P�T2O���
2M@O2O2M��
� M � T
2MQP��²M�� �²F��²À�ÆQÀ�¼�À·º/Ë�½�Ã�º�¸�Ì�º�Í�Ȥ¾/Ì�À;Ã�ÆQÀ;Â�º�¾�º�ÎkÍ�º�Æ@¾�È�¸�ȤÃ�À;¸�¸�Î6À%¹�Ã�½�¾�À;È�¹�¸�É®¾/¸�Ê@È�Æ�Ü ê3â_È�»º�Ý;º�Ý;â8È�Â�Â�º�»øÍ�º�¸�¹;À;Â�º�¾�Ì�È;?¶Ý�È�Ã�Ü�â8È�»�¸�¾�º�ÈcÂ�À*¼�À�Ê@º[º%¹zÃ�À;Ý�º;¹�Ä Þ >%á =��/Û�Ü ¼�À;È�¹�¸�É�ζÈ�Å�À;Â�½�¼�È�¸�Ì�À%É
¸�½�¸�¹�È�Î6Àk¹�Ã�È�Åè¹�¾�È�Ã�Æ@ÄiÅè¹�È�Ê
S1, S2, S3
?LÍ�º�¸�Ê@È�Æ@º�¾�À%¹�È�Ê@¿�Â�ºz¸�º�È�Æ@½�Â�È�Â�Â�ÄiÅøÁ�½ Ê@½� Æ@Ã�½�¼�È�¸�Ì�½�ζ½
� À;Ã�Â�½�Ã�À%Î6½²=�� È�Ê@º S1
½�ζÈ�È�¹Jº�Æ@Â�Ü"¸�¹�È�Í�È�Â�¿J¸�¾�º�Ý�º*Æ@ÄϺ;¹�Â�º�¸�½�¹�È�ÊQ¿�Â�ºJº�¸�Â�º�¾�À;Â�½�Écíë¾�Ã�À%â8È�Â�½�È
¾�º;Ì�Ã�Ü Ë]òu½�Ì�¸�½�Ã�º�¾�À;Â�Â�º�»z¾Nº�¸�Â�º�¾�À;Â�½�½[º�¸�½
l1
í ½zÂ�È�¸�È�¹aÂ�À"¸�È�Ý�È®º�¸�¿
l2
¾�Ã�À%â8È�Â�½�É[¹�È�ÊQÀ
S2
?
¹�Ã�È�¹�¿�Èu¹�È�Ê@º
S3 � Ã�º;¹�º�Ã� }ζº*Ç_È�¹®¹�º%Ê@¿�Ì º]¾�Ã�À%â_À%¹�¿;¸�ÉN¾�º�Ì�Ã�Ü Ësº�¸�½ l3
?�Â�È�Í�º�Æ@¾�½�Ç�Â�º�»N¾
S2
=�!1Ã�½
ç ¹�º;Îøº�¸�¿ l2
Â�È�Ì º%Ê�Ê@½�Â�È�À;Ã�Â�À_º�¸�É�Î
l1, l3
=�ï�º;¹*Ê@½�¼�½�È1º;¹_º;Ý�Ĥ¼�Â�º_Í�Ã�½�Â�É�¹�º�»"ζº�Æ@È�Ê@½cË�½�Ã�º�¸�Ì�º�Í�À
¾]Ì À;Ã�ÆQÀ;Â�º�¾�º�ÎùÍ�º�Æ@¾�È�¸�È;?�Ü Í�º�ÎLÉ�Â�Ü�¹�ĬÈYº�¸�½²?@¾�º�º�Ý;â8ÈsË�º�¾�º�Ã�ɲ?�Â�ÈYÍ�È�Ã�È�¸�È�Ì�À;ê3¹�¸�Éa¾�º�Æ@Â�º�»N¹�º�¼�Ì�È
� Á�È�Â�¹�Ã�ÈsÍ�º�Æ@¾�È�¸�À� i½NÂ�È/É�¾%Ê�É�ê3¹�¸�ÉNË�ÊQÀ%¾�Â�Ĥζ½gº�¸�É�ζ½"½�Â�È�Ã�Á�½�½"Æ�Ê�É"¸�º�Æ@È�Ã�Ç]À%â8½ Å"½ Åc¹�È�Êþ=#"�¹�ºÆQÀ;È�¹1¾�º;Û�ζº�Ç�Â�º�¸�¹�¿·½�Û�Ü ¼�½�¹�¿u¾%Ê@½�É�Â�½�È � ½�Ã�º�Ì º�Ë�º/Ì ÊQÀ;¸�¸�À/Ì�º�Â�¸�¹�Ã�Ü Ì�¹�½�¾�Â�ÄiÅ®Â�È�¸�º�¾�È�à � È�Â�¸�¹�¾1Â�ÀÆ@¾�½�Ç_È�Â�½�È8Ë�½�Ã�º�¸�Ì º�Í�Àc¾JÌ�À;Ã�ÆQÀ;Â�º�¾�º�Î Í�º�Æ@¾�È�¸�È;=�$LÀ;¸�¸�Î�À�¹�Ã�½�¾�À;È�¹�¸�ÉaÆ@¾�½�Ç®È�Â�½�ÈY¹;À;Ì�º�»[¸�½�¸�¹�È�ζÄ
¾®º�Æ@Â�º�Ã�º�Æ@Â�º�Î�Í�º%Ê@Èu¸�½ Ê@Äö¹�É�Ç_È�¸�¹�½gÍ�Ã�½NÂ�È�Í�º�Æ@¾�½�Ç�Â�º�Î�º�¸�Â�º�¾�À;Â�½�½²=
!1º�Ê@º�Ç_È�Â�½�È1¸�½�¸�¹�È�ζÄõ¾®Ì�À�Ç®Æ@Ĥ»Nζº�ζÈ�Â�¹]¾�Ã�È�ζÈ�Â�½
t
º�Í�Ã�È�Æ@È�Ê�É�ê3¹]Ü Ë�Ê@Ä
α, β, ϕ
=��@Æ@È�¸�¿
αí Ü Ë�º%ÊgÍ�º�¾�º�Ã�º;¹%À8¹�È�ÊQÀ
S1
º;¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�º]Â�È�Í�º�Æ@¾�½�Ç�Â�º�Ë�º_º�¸�Â�º�¾�À;Â�½�ɲ?
β
í Ü Ë�º%ÊgÍ�º�¾�º�Ã�º;¹;À
S2º;¹�Â�º;¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�º
S1
½
ϕ
íyÜ Ë�º%ÊaÍ�º�¾�º�Ã�º;¹%À
S3
º;¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�º
S2
=
%/¹�º;Ý�Ä÷º�Ý�È�¸�Í�È�¼�½�¹�¿8¸�Ü�â8È�¸�¹�¾�º�¾�À;Â�½�È/¸�È�ζÈ�»�¸�¹�¾�ÀY¸�¹;À;Á�½�º�Â�À;Ã�Â�ÄiÅJÃ�È�Ç�½�ζº�¾1Æ@¾�½�Ç_È�Â�½�É � Ã�È'&Ë�Ü�Ê�É�Ã�Â�ÄiÅ]Í�Ã�È�Á�È�¸�¸�½�»�½ Ê@½®Ã�À;¾�Â�º�ζÈ�Ã�Â�ÄiÅ®¾�Ã�À%â8È�Â�½�»]Ã�º;¹�º�Ã�À� �?�Í�Ã�È�Æ@Í�º%ÊQÀ;Ë�À;È�¹�¸�É(?�¼�¹�ºsÃ�º%¹�º�Ã
S3Æ@½�Â�À;ζ½�¼�È�¸�Ì�½8¸�½�ζζÈ�¹�Ã�½�¼�È�Â8º;¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�º
l3
?�¹�º3È�¸�¹�¿
A3
22
= A3
33
= A, A3
11
= C, A3
ij =
( D
)�*,+�-/.1032546*879-/:�;'0<.3-=*>7?0@*87>A9B<0�-/CDA?EDC<FHGIE�J,KI06L#-/.NM�.103KIJOC<032P*,0<C3G=E�-/C<C�-/Q9-�Q80RE�-=*,S6-/TDA
= 0 (i 6= j), c = 0
¾8º�Ý�º;Û�Â�À�¼�È�Â�½�É ÅJ¸�¹%À%¹�¿�½ðÞ ( á ? ½c¾�ĤÍ�º%Ê@Â�È�Â�º®º�Æ@Â�º8½�Û1Ü�¸�Ê@º�¾�½�»HU�À� �Â�À;Ã�Ü�Ç�Â�À%É
º�¸�¿
l1
¾�È�Ã�¹�½�Ì À�Ê@¿�Â�À�?²¹�ºNÈ�¸�¹�¿
θ1 = 0
?²Ý� ·¸�½�¸�¹�È�Î6ÀN¸�¹%À%¹�½�¼�È�¸�Ì�½zÜ Ã�À;¾�Â�º�¾�È � È�Â�À"º;¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�ºº�¸�È�»gÍ�º�Æ@¾�È�¸�À
l1, l2
=�� º�Ë�ÆQÀ_Ì�º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹�Ä G,N,Q
¾®¾�ĤÃ�À%Ç_È�Â�½�½NÌ�½�Â�È�¹�½�¼�È�¸�Ì�º�» ç Â�È�Ã�Ë�½�½
T =
1
2
(Gα̇2 + Hβ̇2 + Cϕ̇2 + 2Nα̇β̇ + 2Qα̇ϕ̇ + 2Rβ̇ϕ̇)
Û*À;¾�½�¸�É�¹8¹�º%Ê@¿�Ì�º_º;¹8Ü Ë�ÊQÀ
β
?�Í�º;¹�È�Â�Á�½�À�Ê@¿�Â�À�É ç Â�È�Ã�Ë�½�É U
Í�Ã�½JÜ�¸�Ê@º�¾�½�½"À� ¶Û*À;¾�½�¸�½�¹®º;¹
β
?�ÀYÍ�Ã�½
Ü�¸�Ê@º�¾�½�½zÝ�
U ≡ const
=þïiĤÃ�À%Ç_È�Â�½�Ézò1Ü Â�Ì�Á�½�»
G(β), N(β)
?
Q(β), U(β)
¼�È�Ã�È�Û
β
½zζÈ�Å�À;Â�½V&
¼�È�¸�Ì�½�ÈcÍ�À;Ã�À;ζÈ�¹�Ã�Äy¸�½�¸�¹�È�ζÄu?¶ÀN¹%À;Ì�Ç®È�¾�ĤÃ�À%Ç_È�Â�½�É
H,R
¼�È�Ã�È�ÛcζÈ�Å�À;Â�½�¼�È�¸�Ì�½�ÈcÍ�À;Ã�À;ζÈ�¹�Ã�Ä
¸�Ê@È�Æ�Ü ê3¹J½�Ûsòuº�Ã�ÎLÜ*Ê � A� à � <�9� �¸�¹;À%¹�¿;½ Þ ( á =!1º�¸�Ì º%Ê@¿�Ì�Ü[Ì�½�Â�È�¹�½�¼�È�¸�Ì À%É ç Â�È�Ã�Ë�½�É T
í~Í�º%Ê@º*Ç�½�¹�È�Ê@¿�Â�ºgº�Í�Ã�È�Æ@È�Ê@È�Â�Â�À%ɯÌ�¾�À�Æ@Ã�À%¹�½�¼�Â�À%É
òuº�Ã�Î6À3¸�Ì�º�Ã�º�¸�¹�È�»
α̇, β̇, ϕ̇
?*¹�º/¾·¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾�½�½_¸�Ì�Ã�½�¹�È�Ã�½�È�Î�Wi½ Ê@¿�¾�È�¸�¹�Ã�À/Ì�º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹�Ä ç ¹�º�»
òuº�Ã�ζÄÏÍ�Ã�½N¾�¸�È�Å"Û�Â�À*¼�È�Â�½�É Å
β
Ü*Æ@º�¾%Ê@È�¹�¾;º�Ã�É�ê3¹�Â�È�Ã�À;¾�È�Â�¸�¹�¾�À;Î
J(β) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
G(β) N(β) Q(β)
N(β) H R
Q(β) R C
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
> 0,
J1(β) = G(β)H − N 2(β) > 0,
J2(β) = G(β)C − Q2(β) > 0,
G(β) > 0.
(1)
$LÀ;¸�¸�ζº;¹�Ã�½�Îö¸�Ê�Ü ¼�À;»²?�Ì�º�Ë�ÆQÀ�Ã�º;¹�º�ÃkÍ�Ã�½�¾�º�Æ@½�¹�¸�Ék¾�ºJ¾�Ã�À%â8È�Â�½�È ç Ê@È�Ì�¹�Ã�º*Æ@¾�½�Ë�À%¹�È�Ê@È�Îö¸�½�ÂV&Å�Ã�º�Â�Â�º�Ë�ºc¹�½�Í�À�=(ï ç ¹�º;Îϸ�Ê�Ü ¼�À;È_¾c¸�¹%À%¹�º�Ã�È®½�ζÈ�È�¹�¸�É ç Ê@È�Ì�¹�Ã�º�Î6À;Ë�Â�½�¹�Â�º�È®Í�º%Ê@È;?²Ì�º;¹�º�Ã�º�È_Ã�À;¾6&Â�º�ζÈ�Ã�Â�ºN¾�Ã�À%â_À;È�¹�¸�ÉzÍ�ºcÛ*À;Ì º;Â�Ü
ωt
?(ÀJ¸�Ü Î¶Î6À"¾�Ã�À%â_À;ê3â8È�Ë�ºNζº�ζÈ�Â�¹%ÀJÆ@¾�½�Ë�À%¹�È�Ê�Éð½[ζº�ζÈ�Â�¹%À
¸�½ Êa¹�Ã�È�Â�½�Égº;¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�º�º�¸�½NÃ�º;¹�º�Ã�À®¾8Ê@½�Â�È�»�Â�º�ÎùÍ�Ã�½�Ý%Ê@½�Ç_È�Â�½�½N¾�ĤÃ�À%Ç®À;È�¹�¸�ÉNòuº�Ã�ÎLÜ�Ê@º�»
L = L(ϕ − ωt, ϕ̇) = −λ1(ϕ − ωt − γ0) − λ2(ϕ̇ − ω). (2)
�@Æ@È�¸�¿
γ0
íqÛ�Â�À*¼�È�Â�½�ÈJÜ Ë�ÊQÀ
γ = ϕ − ωt
?2Í�Ã�½èÌ�º;¹�º�Ã�º�Îú¾�Ã�À%â_À;ê3â8½�»èζº�ζÈ�Â�¹k¸�½� Å�Ã�º�Â�Â�º�Ë�º
Æ@¾�½�Ë�À%¹�È�Ê�É]Ü Ã�À;¾�Â�º�¾;È � ½�¾�À;È�¹8ζº�ζÈ�Â�¹s¸�½ Êc¸�º;Í�Ã�º;¹�½�¾%Ê@È�Â�½�É � Í�Ã�½®Ü Ë�Ê@º�¾�º�»]¸�Ì�º�Ã�º�¸�¹�½�¾�Ã�À%â8È�Â�½�ÉÃ�º;¹�º�Ã�À�? Ã�À;¾�Â�º�»]Ü Ë�Ê@º�¾�º�»�¸�Ì�º�Ã�º�¸�¹�½c¾�Ã�À%â8È�Â�½�ÉJÍ�º�Ê�É�¸�¹;À%¹�º�Ã�À� �=X!1º%Ê@º*Ç�½�¹�È�Ê@¿�Â�ĤȷÍ�º�¸�¹�º*É�Â�Â�ĤÈ
λ1, λ2, ω
½cÜ Ë�º%Ê
γ0
É�¾%Ê�É�ê3¹�¸�ÉcÅ�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�Ì�À;ζ½g¸�½� Å�Ã�º�Â�Â�º�Ë�º_Æ@¾�½�Ë�À%¹�È�Ê�ɲ=��¬Ã�È�Â�½�ÈuÂ�À_º�¸�É Å
Í�º*Æ@¾�È�¸�À
l1, l2
Í�Ã�È�Æ@Í�º%ÊQÀ;Ë�À;È�¹�¸�Égº;¹�¸�Ü�¹�¸�¹�¾;Ü ê3â_½�Τ=
� º�Ë�ÆQÀYÆ@½�òuòuÈ�Ã�È�Â�Á�½�À�Ê@¿�Â�ĤÈsÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É"Æ@¾�½�Ç_È�Â�½�É"¸�½� Å�Ã�º�Â�Â�º�Ë�º�Ë�½�Ã�º�¸�Ì�º�Í�À]¾®Ì À;Ã�ÆQÀ%Â�º6&
¾�º�ÎøÍ�º*Æ@¾�È�¸�È;?�Û*À;Í�½�¸�À;Â�Â�ĤÈY¾®òuº�Ã�ζÈ/Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�»NìYÀ;Ë�Ã�À;Â�Ç®À�?�½�ζÈ�ê3¹�¸�Ê@È�Æ�Ü ê3â8½�»g¾�½ Æ
d
dt
[G(β)α̇ + N(β)β̇ + Q(β)ϕ̇] = 0,
d
dt
[N(β)α̇ + Hβ̇ + Rϕ̇] − α̇[
G′(β)α̇
2
+ N ′(β)β̇ + Q′(β)ϕ̇] = −U ′(β),
d
dt
[Q(β)α̇ + Rβ̇ + Cϕ̇] = L(ϕ − ωt, ϕ̇).
(3)
Y ¹�Ã�½ Å�º�Î�Û�Æ@È�¸�¿�º�Ý�º;Û�Â�À*¼�È�Â�º_Æ@½�òuòuÈ�Ã�È�Â�Á�½�Ã�º�¾�À%Â�½�ÈYÍ�º
β
=
ìsÈ�Ë�Ì º]¾�½ Æ@È�¹�¿�?�¼�¹�º]¸�½�¸�¹�È�Î�À � :� 6Æ@º�Í�Ü�¸�Ì À;È�¹JÃ�È � È�Â�½�ÈY¾�½ ÆQÀ
α̇ = Ω, β = β0, ϕ = ωt + γ0, (4)
È�¸�Ê@½gÍ�º�¸�¹�º*É�Â�Â�ĤÈ
Ω, β0
¸�¾;É�Û*À;Â�Äϸ�º�º;¹�Â�º � È�Â�½�È�Î
−Ω
[Ω
2
G′(β0) + ωQ′(β0)
]
+ U ′(β0) = 0. (5)
( <
Z\[ ]^[<_ -/C�-=*>JO.10�;
!1Ã�½
Ω 6= 0 ç ¹�º�ÎLÜsÃ�È � È�Â�½�ê÷¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾;Ü�È�¹uÃ�È�Ë�Ü*Ê�É�Ã�Â�À%É_Í�Ã�È�Á�È�¸�¸�½�É_Ã�º;¹�º�Ã�ÀXU%Ã�º;¹�º�à S3
¾�Ã�À%â_À<&
È�¹�¸�Ég¾�º�Ì�Ã�Ü Ës¸�¾�º�È�»Nº�¸�½g¸�½�ζζÈ�¹�Ã�½�½
l3
¸uÍ�º�¸�¹�º*É�Â�Â�º�»gÜ Ë�Ê@º�¾�º�»N¸�Ì º�Ã�º�¸�¹�¿�ê
ω
?�½gÍ�Ã�½ ç ¹�º�Îùº�¸�¿
l3
? ¸�º�Å�Ã�À;Â�É�É Â�È�½�Û�ζÈ�Â�Â�º�ÈcÍ�º%Ê@º*Ç_È�Â�½�ÈJº;¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�º[Â�À;Ã�Ü�Ç�Â�º�» º�¸�½
l1
?2¾�Ã�À%â_À;È�¹�¸�É ¾�º�Ì�Ã�Ü Ë
Â�È�È1¸1Í�º�¸�¹�º*É�Â�Â�º�»"Ü Ë�Ê@º�¾�º�»N¸�Ì�º�Ã�º�¸�¹�¿�ê
Ω
=�!1Ã�½
Ω = 0
Ã�È � È�Â�½�È � é� �º�Í�½�¸�Ĥ¾�À;È�¹]Ã�À;¾�Â�º�ζÈ�Ã�Â�º�Ⱦ�Ã�À�â8È�Â�½�ÈsÃ�º;¹�º�Ã�À®¾�º�Ì�Ã�Ü ËuÂ�È�Í�º*Æ@¾�½�Ç�Â�º�»"º�¸�½
l3
=
`YÜ Â�Ì�Á�½�½
G,Q,U
É�¾%Ê�É�ê3¹�¸�É
2π
&¥Í�È�Ã�½�º*Æ@½�¼�È�¸�Ì�½�ζ½ùÍ�º
β
=N!1º ç ¹�º�ÎLÜøÍ�Ã�½�Ì À%Ç®Æ@º�Îpòu½�ÌV&
¸�½�Ã�º;¾�À;Â�Â�º�Î÷Û�Â�À*¼�È�Â�½�½
Ω
Ê@È�¾�À�Ék¼�À;¸�¹�¿cÃ�À;¾�È�Â�¸�¹�¾�À � 9� ¬Í�Ã�È�Æ@¸�¹%À;¾%Ê�É�È�¹�¸�Éz¾J¾�½ Æ@ÈYÍ�Ã�º�½�Û�¾�º�Æ@Â�º�»Í�º
β
º;¹
2π
&¥Í�È�Ã�½�º�Æ@½�¼�È�¸�Ì�º�» ò1Ü Â�Ì�Á�½�½²=a!1º�¸�Ì�º%Ê@¿�Ì�Üø¹%À;Ì À%Éùò1Ü Â�Ì�Á�½�É÷½�ζÈ�È�¹è¾ðÍ�Ã�º�ζÈ�Ç]Ü�¹�Ì�È
[0; 2π)
Í�ºsÌ�Ã�À;»�Â�È�»JζÈ�Ã�ȤÆ@¾�Ȥ¹�º�¼�Ì�½®Ê@º�Ì À�Ê@¿�Â�º�Ë�º ç Ì ¸�¹�Ã�È�ÎLÜ Î6À�?�¹�ºYÍ�Ã�½�Ì À%Ç®Æ@º�Î Ω
Ü�¸�Ê@º�¾�½�È � 9� ¾�Ä}Í�º%Ê@Â�É�È�¹�¸�ÉgÍ�º®Ì�Ã�À;»�Â�È�»gζÈ�Ã�Èu¾_Æ@¾;Ü�Åc¹�º�¼�Ì À�Å
β0
Í�Ã�º�ζÈ�Ç]Ü�¹�Ì À
[0; 2π)
=
�/ÛuÍ�È�Ã�¾�º�Ë�º®Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É � :� }¸�Ê@È�Æ�Ü�È�¹�?Q¼�¹�º
G(β)α̇ + N(β)β̇ + Q(β)ϕ̇ = p (p = const). (6)
Wiº;º;¹�Â�º � È�Â�½�È � A� (í ç ¹�ºu½�Â�¹�È�Ë�Ã�À�Êþ?�¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾;Ü ê3â_½�»]Á�½�Ì Ê@½�¼�È�¸�Ì º�»®Ì º�º�Ã�Æ@½�Â�À%¹�È α
=�!1º%Ê@¿;Û�Ü�&
É�¸�¿_¹�È�Τ?�¼�¹�º
G(β) > 0
Í�Ã�½cÊ@ê·Ý�º�Î
β
?�Í�È�Ã�È�» Æ@È�Îù¾8ÊQÀ;Ë�Ã�À;Â�Ç_È�¾�º�»"¸�½�¸�¹�È�ζÈsÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�» � :� iº;¹Í�È�Ã�È�Î6È�Â�Â�Ä}Å
α̇, β̇, ϕ̇, β, ϕ
ÌNÍ�È�Ã�È�ζÈ�Â�Â�ĬÎ
p, β̇, γ̇, β, γ
?�Ë�Æ@È
γ = ϕ − ωt
=�5uÊ�É ç ¹�º�Ë�º�¾�º®¾;¹�º�Ã�º�Î
½[¹�Ã�È�¹�¿�È�Î�Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É Å � :� /¸�Ê@È�Æ�Ü�È�¹aÛ*À;ζÈ�Â�½�¹�¿ α̇
¾�ĤÃ�À%Ç®È�Â�½�È�Τ?2Ì�º;¹�º�Ã�º�È]¸�Ê@È�Æ�Ü�È�¹k½�Û � A� �=þïÃ�È�Û�Ü*Ê@¿*¹;À%¹�ÈYÍ�º%Ê�Ü ¼�½�ÎøÆ�Ê�É"Â�º�¾�ÄiÅ"Í�È�Ã�È�ζÈ�Â�Â�Ä}ÅgÍ�Ã�È�º�Ý�Ã�À%Û�º�¾�À;Â�Â�Ü ê ¸�½�¸�¹�È�ÎLÜ"Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�»
d
dt
(p − ωQ)N + β̇(GH − N 2) + γ̇(GR − QN)
G
+
∂
∂β
[
(p − ωQ − β̇N − γ̇Q)2
2G
+ U
]
= 0,
d
dt
(p − ωQ)Q + β̇(GR − QN) + γ̇(GC − Q2)
G
= L,
dp
dt
= 0. (7)
!1Ã�½ùÆQÀ;Â�Â�º�Îyòu½�Ì�¸�½�Ã�º�¾�À;Â�Â�º�Î Û�Â�À*¼�È�Â�½�½
p
Æ@¾�À¯Í�È�Ã�¾�ÄiÅ÷Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É � ó� �º�Ý�Ã�À%Û�Ü ê3¹øÍ�Ã�½�¾�È'&Æ@È�Â�Â�Ü êp¸�½�¸�¹�È�ÎLÜ�?�¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾;Ü�ê3âYÜ�ê ç ¹�º�ÎLÜ p
=bWi½�¸�¹�È�Î6À � ó� }¸�Ü�â8È�¸�¹�¾�È�Â�Â�ºJÍ�Ã�º;â8ÈY½�¸�Å�º�Æ@Â�º�»²?Í�º ç ¹�º�ÎLÜ_ÆQÀ*Ê@¿�Â�È�» � È�È·½�¸�¸�Ê@È�Æ@º�¾�À;Â�½�È3Í�Ã�º�¾�È�Æ@È�Τ?�Í�º%Ê@¿;Û�Ü;É�¸�¿Y¸�½�¸�¹�È�ζº�» � ó� �=��LÀ;Ì®Ì À;Ì G(β) > 0
?
¹�º®¸�Æ@È�ÊQÀ;Â�Â�º�ÈsÍ�Ã�È�º�Ý�Ã�À%Û�º�¾�À;Â�½�ÈuÍ�È�Ã�È�ζÈ�Â�Â�ÄiÅN¾;Û*À;½�ζÂ�º]º�Æ@Â�º;Û�Â�À*¼�Â�º]½"Â�È�Í�Ã�È�Ã�Ĥ¾�Â�º�¾®º�Ý�È1¸�¹�º6&
Ã�º�Â�Ä/=�W6Ê@È�Æ@º�¾�À%¹�È�Ê@¿�Â�º�?�Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�¿·Ê@ê·Ý�º�Ë�º3Ã�È � È�Â�½�É_½�¸�Å�º*Æ@Â�º�»sÊQÀ;Ë�Ã�À%Â�Ç®È�¾�º�»s¸�½�¸�¹�È�릀 � :�
ç Ì�¾;½�¾�À�Ê@È�Â�¹�Â�À®Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�½a¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾;Ü ê3â_È�Ë�º�Ã�È � È�Â�½�ÉaÍ�Ã�È�º�Ý�Ã�À%Û�º�¾�À;Â�Â�º�»N¸�½�¸�¹�È�릀 � ó� �=�/Û�Ü ¼�À;È�ζº�ÎLÜ"Ã�È � È�Â�½�ê � é� i½�¸�Å�º*Æ@Â�º�»N¸�½�¸�¹�È�ζÄ�¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾;Ü�È�¹JÃ�È � È�Â�½�È
p = p0, β = β0, γ = γ0 (8)
¸�½�¸�¹�È�릀 � óD �=�"�¹�º]Ã�È � È�Â�½�ÈY¸�Ü�â8È�¸�¹�¾;Ü�È�¹�?QÈ�¸�Ê@½N¾�ĤÍ�º%Ê@Â�È�Â�º]Ü�¸�Ê@º�¾�½�È
−
p0 − ωQ(β0)
G(β0)
[
G′(β0)
2G(β0)
(p0 − ωQ(β0)) + ωQ′
0
(β0)
]
+ U ′(β0) = 0. (9)
!1º;¸�¹�º�É�Â�Â�ĤÈ
Ω, p0
¾®Ã�È � È�Â�½�É Å � é� �? � >� i¸�¾;É�Û*À;Â�ÄϾ�Ä}¹�È�Ì À;ê3â_½�Îù½�Û � A� i¸�º�º;¹�Â�º � È�Â�½�È�Î
p0 − ωQ(β0) = ΩG(β0). (10)
c Fs\d�®SQM��e�#��
��� ��R�
2T P���T2U2R P��²M � M ÿ�
��S@O2R�O2Tþý¶F¤5uÊ�É�½�¸�¸�Ê@È�Æ@º�¾�À;Â�½�É�Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�½Ã�È � È�Â�½�É � >� _¸�½�¸�¹�È�릀 � ó� _¾�º�¸�Í�º%Ê@¿;Û�Ü�È�ζ¸�É÷Í�È�Ã�¾�ĤΠζÈ�¹�º�Æ@º�Î,ìuÉ�Í�Ü Â�º�¾�ÀXULÊ@½�Â�È�À;Ã�½�Û�Ü�È�Î ¸�½V&¸�¹�È�릆 � ó� 1¾gº�Ì�Ã�È�¸�¹�Â�º�¸�¹�½èÃ�À;¸�¸�Î6À%¹�Ã�½�¾�À;È�ζº�Ë�ºkÃ�È � È�Â�½�É � >� 1½ð½�Û�Ü ¼�½�ÎõÅ À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì�º�È
( C
)�*,+�-/.1032546*879-/:�;'0<.3-=*>7?0@*87>A9B<0�-/CDA?EDC<FHGIE�J,KI06L#-/.NM�.103KIJOC<032P*,0<C3G=E�-/C<C�-/Q9-�Q80RE�-=*,S6-/TDA
Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�È®Í�º%Ê�Ü ¼�È�Â�Â�º�»[Ê@½�Â�È�»�Â�º�»[¸�½�¸�¹�È�Î6Äp¸®Í�º;¸�¹�º�É�Â�Â�Ĥζ½zÌ�º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹;À;ζ½²=�%/¹�º�Ý�ÄúÛ*À<&
Í�½�¸�À%¹�¿®Ê@½�Â�È�À;Ã�½�Û�º�¾�À;Â�Â�Ü ê ¸�½�¸�¹�È�ÎLÜ�?Q¸�Ê@È�Æ�Ü�È�¹J¾�¾�È�¸�¹�½g¾�º;Û�ÎLÜ�â8È�Â�½�É
p1, β1, γ1
Í�º®òuº�Ã�ÎLÜ*ÊQÀ;Î
p = p0 + p1, β = β0 + β1, γ = γ0 + γ1, (11)
Í�º*Æ@¸�¹%À;¾�½�¹�¿a¾�ĤÃ�À%Ç_È�Â�½�É � <�<< /¾cÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É � ó� /½[Ü*Æ@È�Ã�Ç]À%¹�¿cÊ@½�Â�È�»�Â�ĤÈJ¼ Ê@È�Â�Ä,Ã�À%Û�Ê@º*Ç®È�Â�½�»Ü Ì�À%Û*À;Â�Â�ÄiÅ"Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�»gÍ�º®¸�¹�È�Í�È�Â�É�Î
p1, β1, γ1
=�!1Ã�½ ç ¹�º�ÎùÂ�È�º�Ý�Å�º*Æ@½�ζº®Ü ¼�È�¸�¹�¿]Ü�¸�Ê@º�¾�½�È � >� �=!1Ã�º*Æ@È�ÊQÀ;¾�Ü Ì À%Û*À;Â�Â�ĤÈYÆ@È�»�¸�¹�¾�½�ɲ?²Í�º%Ê�Ü ¼�½�ÎùÆ�Ê�Ék¾�º;Û�ζÜ�â8È�Â�½�»
p1, β1, γ1
¸�Ê@È�Æ�Ü ê3âYÜ�êpÊ@½V&
Â�È�»�Â�Ü ê ¸�½�¸�¹�È�ζÜ"¸uÍ�º�¸�¹�º�É�Â�Â�Ĥζ½gÌ�º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹%À;ζ½
ṗ1 = 0,
β̈1(GH − N 2) + γ̈1(GR − NQ) + γ̇1(Qµ − GQ′Ω) + β1(µ
2 + ρG) − p1Gµ = 0,
β̈1(GR − NQ) + γ̈1(GC − Q2) + β̇1(GQ′Ω − Qµ) + γ̇1Gλ2 + γ1Gλ1 = 0.
(12)
�@Æ@È�¸�¿�½"ÆQÀ�Ê@È�È1Æ�Ê�Ég¸�º�Ì�Ã�À%â8È�Â�½�ÉgÛ*À;Í�½�¸�½gº�Í�Ü�â8È�ÂkÀ;Ã�Ë�Ü Î¶È�Â�¹
β0
Ü"ò1Ü Â�Ì�Á�½�»
G,N,Q
?�Û*À;¾�½�¸�ÉV&
â8½ ÅNº;¹
β
?�½N¾�¾�È�Æ@È�Â�Äõ¸�Ê@È�Æ�Ü ê¬â_½�ÈYº�Ý�º;Û�Â�À*¼�È�Â�½�É
µ = G′Ω + Q′ω, ρ = −Ω(
Ω
2
G′′ + ωQ′′) + U ′′. (13)
f1À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì º�ÈuÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�Ès¸�½�¸�¹�È�릀 � < C i½�ζÈ�È�¹�¾�½ Æ
sP4(s, p0) = 0, (14)
Ë�Æ@È
P4
à�¸�Ê@È�Æ�Ü ê3â8½�»gÍ�º%Ê@½�Â�º�Î�¼�È�¹�¾�È�Ã�¹�º�»a¸�¹�È�Í�È�Â�½
P4 = Js4 + λ2J1s
3 + [−ρQ2 − 2µΩQQ′ + Ω2Q
′
2G+
+C(µ2 + Gρ) + λ1J1]s
2 + (µ2 + Gρ)λ2s + (µ2 + Gρ)λ1.
(15)
�LÀ;Ì�½�Îzº�Ý�Ã�À%Û�º�Τ?;Æ�Ê�É]½�Û�Ü ¼�À;È�ζº�Ë�ºsÃ�È � È�Â�½�É � ó� þÅ�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì º�È¬Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�È3¾�¸�È�Ë�ÆQÀu½�ζÈ'&È�¹øÂ�Ü�Ê@È�¾�º�»öÌ�º�Ã�È�Â�¿
s = 0
=�58À�Ê@¿;Â�È�» � È�È[½�¸�¸�Ê@È�Æ@º�¾�À;Â�½�ÈaÅ�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì º�Ë�ºèÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�ɸ�¾�º*Æ@½�¹�¸�ÉgÌ"½�¸�¸�Ê@È�Æ@º�¾�À;Â�½�êúÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É
P4(s, p0) = 0
?�¹�º]È�¸�¹�¿®Å�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì�º�Ë�º�Ü Ã�À;¾�Â�È'&
Â�½�ÉNÍ�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�º�»g¸�½�¸�¹�È�ζÄu=
g Fi^gP�P;ü R��LM@S���O2T2Rh�#��
��� ��R�
2T P���T2U2R P��²M � Mèÿ�
��S@O2R�O2Tþý¶F^$LÀ;¸�¸�ζº;¹�Ã�½�Î ¹�È�Í�È�Ã�¿cÜ Ã�À;¾6&Â�È�Â�½�È
P4(s, p0) = 0
=@ïi¾�È�Æ@È�Î�º�Ý�º;Û�Â�À*¼�È�Â�½�È
M = Ω2GQ
′
2 − 2µΩQQ′ + Cµ2. (16)
� º�Ë�ÆQÀ_Ì�º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹�Í�Ã�½ s2
Û*À;Í�½�¸�Ĥ¾�À;È�¹�¸�Ég¾®¾�½ Æ@È
ρJ2 + M + λ1J1
=
!1º�Ì�À%Ç_È�Τ?*¼�¹�º
M ≥ 0
=6$LÀ;¸�¸�ζº;¹�Ã�½�Îk¾�ĤÃ�À%Ç®È�Â�½�È � <*A� �Æ�Ê�É M
Ì À;ÌYÌ�¾�À�Æ@Ã�À%¹�½�¼�Â�Ü êùòuº�Ã�ÎLÜ
º;¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�ºaÍ�È�Ã�È�ζÈ�Â�Â�ÄiÅ
ΩQ′
0
, µ
=ji/Í�Ã�È�Æ@È�Ê@½�¹�È�Ê@¿ ç ¹�º�»¯òuº�Ã�릀 J2
½ðÈ�Ë�ºgË�ÊQÀ;¾�Â�Ä}»¯Î¶½�Â�º�Ã
Í�È�Ã�¾�º�Ë�ºgÍ�º�Ã�É Æ@Ì À
G
Í�º%Ê@º*Ç�½�¹�È�Ê@¿�Â�Ä,¸�º�Ë�ÊQÀ;¸�Â�º � >� �= W6Ê@È�Æ@º�¾�À�¹�È�Ê@¿�Â�º�?2Í�ºNÌ�Ã�½�¹�È�Ã�½�êkWi½ Ê@¿�¾�È'&
¸�¹�Ã�À�?@òuº�Ã�Î6À
M
º�Í�Ã�È�Æ@È�Ê@È�Â�Â�ºJÍ�º%Ê@º*Ç�½�¹�È�Ê@¿�Â�À�=�!1º ç ¹�º�ÎLÜcÍ�Ã�½cÊ@ê·Ý�ÄiÅ ΩQ′
0
, µ
½�ζÈ�È�Î
M ≥ 0
=
�LÀ;Ì�½�Î º�Ý�Ã�À%Û�º�Τ?QÅ�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì�º�騆 Ã�À;¾�Â�È�Â�½�È®Í�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�º�»z¸�½�¸�¹�È�ζÄ
P4(s, p0) = 0ζº�Ç�Â�º8Û*À;Í�½�¸�À%¹�¿�¾®¾�½ Æ@È
s4J + s3λ2J1 + s2(λ1J1 + ρJ2 + M) + sλ2(µ
2 + ρG) + λ1(µ
2 + ρG) = 0. (17)
( :
Z\[ ]^[<_ -/C�-=*>JO.10�;
�@Æ@È�¸�¿
λ1, λ2 > 0
Í�ºYÍ�º�¸�¹%À;Â�º�¾�Ì�È3Û*À�ÆQÀ�¼�½²?
J, J1, J2, G > 0
¸�º�Ë�ÊQÀ;¸�Â�º � << �? M ≥ 0
?�Ì�À;Ì�Í�º�Ì À%Û*À;Â�º
¾�Ä � È;=ï÷¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾�½�½g¸uÌ�Ã�½�¹�È�Ã�½�È�Îl$ À*Ü�¸�À<&>m²Ü Ã�¾�½�Á�À�?�Æ�Ê�É"Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�ÉN¼�È�¹�¾�È�Ã�¹�º�»g¸�¹�È�Í�È�Â�½
a0x
4 + a1x
3 + a2x
2 + a3x + a4 = 0
Â�È�º;Ý*Å�º�Æ@½�ζº�Èc½zÆ@º�¸�¹;À%¹�º�¼�Â�º�ÈJÜ�¸�Ê@º�¾�½�Ècº;¹�Ã�½�Á�À%¹�È�Ê@¿�Â�º�¸�¹�½ Æ@È�»�¸�¹�¾�½�¹�È�Ê@¿�Â�ÄiÅè¼�À;¸�¹�È�»è¾�¸�È�Å È�Ë�º
Ì�º�Ã�Â�È�»N¸�º�¸�¹�º�½�¹J¾®¸�Ê@È�Æ�Ü ê3â8È�Τ=Qïi¾�º�Æ�É�¹�¸�ÉN¼�½�¸�ÊQÀ
T0, T1, T2, T3, T4
Í�º]òuº�Ã�ÎLÜ�ÊQÀ;Î
T0 = a0 > 0, T1 = a1, T2 =
∣
∣
∣
∣
a1 a0
a3 a2
∣
∣
∣
∣
, T3 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a0 0
a3 a2 a1
0 a4 a3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
T4 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a0 0 0
a3 a2 a1 a0
0 a4 a3 a2
0 0 0 a4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= a4T3.
ïi¸�È�Ì�º�Ã�Â�½YÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�ÉY½�ζÈ�ê3¹1º;¹�Ã�½�Á�À�¹�È�ÊQ¿�Â�ĤÈ�Æ@È�»�¸�¹�¾�½�¹�È�Ê@¿�Â�ĬÈ}¼�À;¸�¹�½Y¹�º�Ë�ÆQÀ·½u¹�º%Ê@¿�Ì º3¹�º�Ë�ÆQÀ�?
Ì�º�Ë�ÆQÀ®¾�¸�È
Tj > 0, j = 0, 1, 2, 3, 4
=�5uÊ�ÉcÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É � <�ó� i½�ζÈ�È�Î
T0 = J, T1 = λ2J1, T2 =
∣
∣
∣
∣
λ2J1 J
λ2(µ
2 + ρG) λ1J1 + ρJ2 + M
∣
∣
∣
∣
,
(18)
T3 = a3T2 − a4a
2
1
= λ2(µ
2 + ρG)T2 − λ1(µ
2 + ρG)λ2
2
J2
1
, T4 = λ1(µ
2 + ρG)T3.
4¶¸�Ê@º�¾�½�È
T0 = J > 0
¾�ĤÍ�º%Ê@Â�É�È�¹�¸�Éa¾�¸�È�Ë�ÆQÀ]¸�º�Ë�ÊQÀ;¸�Â�º � << �=�46¸�Ê@º�¾�½�È T1 = λ2J1 > 0
¹%À;Ì�Ç®È
¾�¸�È�Ë�ÆQÀJ¾�ĤÍ�º%Ê@Â�É�È�¹�¸�ɲ?�¹%À;ÌkÌ�À;Ì
λ2 > 0
Í�ºJº�Í�Ã�È�Æ@È�Ê@È�Â�½�ê ζº�ζÈ�Â�¹%À
L
?�J1 > 0
¸�º�Ë�ÊQÀ;¸�Â�º � << �=n¶¸�Ê@½gÜ�¸�Ê@º�¾�½�È
T3 > 0
¾�ĤÍ�º%Ê@Â�É�È�¹�¸�ɲ?Q¹�º�?QÍ�º�¸�Ì�º%Ê@¿�Ì�Ü
λ1 > 0
?@Ý;Ü*Æ@È�¹
T4 > 0
¹�º%Ê@¿�Ì�ºJ¾�¸�Ê�Ü ¼�À;È;?
Ì�º�Ë�ÆQÀ
µ2 + ρG > 0
=oi/¸�¹%À�Ê@½�¸�¿ðÜ�¸�Ê@º�¾�½�É
T2, T3 > 0
=¶46¸�Ê@º;¾�½�È
T3 > 0
Î6º*Ç�Â�ºkÛ*À;Í�½�¸�À%¹�¿¯¾
¾�½ Æ@È
λ2(µ
2 + ρG)T2 > λ1(µ
2 + ρG)λ2
2
J2
1
?(º;¹�Ì�Ü�ÆQÀNÍ�Ã�½
λ2 > 0
½
µ2 + ρG > 0
Ý;Ü*Æ@È�ÎϽ�ζÈ�¹�¿
T2 > λ1λ2J
2
1
=�W6Ê@È�Æ@º�¾�À%¹�È�Ê@¿�Â�º�?þÈ�¸�Ê@½z¾�ĤÍ�º%Ê@Â�È�Â�º"Ü�¸�Ê@º�¾�½�È
T3 > 0
?²¹�º"¾�ĤÍ�º%Ê@Â�È�Â�ºN½[Ü�¸�Ê@º�¾�½�È
T2 > 0
=
� À;Ì�½�Îúº�Ý�Ã�À%Û�º�Τ?Lº�¸�¹%À�Ê@º�¸�¿[Ã�À;¸�¸�ζº;¹�Ã�È�¹�¿[Ü�¸�Ê@º�¾�½�È
T3 > 0
=pW,Ü ¼�È�¹�º�Îp¾�ĤÃ�À%Ç_È�Â�½�É � <*>� Æ�Ê�É
T2
½NÂ�È�Ã�À;¾�È�Â�¸�¹�¾�À
λ2 > 0 ç ¹�º®Ü�¸�Ê@º�¾�½�ÈsÍ�Ã�½�Â�½�Î6À;È�¹�¾�½ Æ
ρ(J1J2 − JG) + J1M − Jµ2 > 0. (19)
�@Æ@È�¸�¿
J1J2 = G2HC −GHQ2 −N2GC + N 2Q2,
½"Í�º ç ¹�º�ÎLÜ ρ(J1J2 − JG) = ρ(NQ−GR)2
=
58À*Ê@È�Ès¾®¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾�½�½a¸ � <*A�
J1M − Jµ2 = H(ΩGQ′ − µQ)2 + 2N 2µΩQQ′ − N2Ω2GQ
′
2 + µ2GR2 − 2µ2NQR.
ï÷Ã�È�Û�Ü*Ê@¿*¹%À%¹�ÈYÂ�È�Ã�À;¾�È�Â�¸�¹�¾�º � < ( iÍ�Ã�½�Â�½�Î6À;È�¹�¾�½ Æ
(ρG + µ2)(NQ − GR)2 + J(µQ − ΩGQ′)2
G
> 0.
!1º;¸�Ì º%Ê@¿�Ì�Ü Û�Æ@È�¸�¿
µ2 + ρG > 0, J > 0
?L¹�ºzÜ�¸�Ê@º�¾�½�È � < ( 'U T3 > 0
¾�ĤÍ�º%Ê@Â�É�È�¹�¸�É�¹�º%Ê@¿�Ì ºz¾
¸�Ê�Ü ¼�À%È;?@Ì º�Ë�ÆQÀ
NQ − GR
?
µQ − ΩGQ′
Â�ÈuÃ�À;¾�Â�ÄϺ�Æ@Â�º�¾�Ã�È�ζÈ�Â�Â�º]Â�Ü*Ê@êY=
( é
)�*,+�-/.1032546*879-/:�;'0<.3-=*>7?0@*87>A9B<0�-/CDA?EDC<FHGIE�J,KI06L#-/.NM�.103KIJOC<032P*,0<C3G=E�-/C<C�-/Q9-�Q80RE�-=*,S6-/TDA
�/¹;À;̲?�Æ�Ê�ÉsÃ�È � È�Â�½�É � >� ²¸�½�¸�¹�È�릀 � ó� QÅ�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì º�È�Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�Èi¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾;Ü ê3â_È�»Ê@½�Â�È�À;Ã�½�Û�º�¾�À;Â�Â�º�»a¸�½�¸�¹�È�ζÄú½�ζÈ�È�¹J¾�½ Æ
s P4(s, p0) = 0
?�Ë�Æ@È
P4(s, p0) = 0
à]Å À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È'&
¸�Ì º�È¤Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�È3¸�º�º;¹�¾�È�¹�¸�¹�¾;Ü ê·â8È�»�Í�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�º�»�¸�½�¸�¹�È�ζÄ1=�f1À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì�º�È3Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�È
Ê@½�Â�È�À;Ã�½�Û�º�¾�À;Â�Â�º�»N¸�½�¸�¹�È�ζÄõ¾�¸�È�Ë�ÆQÀ®½�ζÈ�È�¹]º�Æ@½�ÂNÂ�Ü�Ê@È�¾�º�»NÌ�º�Ã�È�Â�¿�=�i/¸�¹%À�Ê@¿�Â�ĤÈs¼�È�¹�ĤÃ�ÈsÌ�º�Ã�Â�É
ç ¹�º�Ë�º8Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�ÉJ½�ζÈ�ê3¹_º;¹�Ã�½�Á�À%¹�È�ÊQ¿�Â�ĤȷÆ@È�»�¸�¹�¾�½�¹�È�Ê@¿�Â�ĤÈ1¼�À;¸�¹�½cÍ�Ã�½J¾�ĤÍ�º%Ê@Â�È�Â�½�½c¸�Ê@È�Æ�Ü êq&
â8½ ÅcÆ@¾;Ü�Å"Ü�¸�Ê@º�¾�½�»
ρG + µ2 > 0, (20)
|GR − NQ| + |µQ − ΩGQ′| 6= 0. (21)
r F�x[M��b�Xs�����R�üjtQP���S@MYÿ�P���M�u2U2T2S@MQP���T"T�s�ÿ(U ��R��1M � Mv
2R�wzR�O2Tþý¶F�n¶¸�Ê@½s¾�ĤÍ�º%Ê@Â�È�Â�ÄðÂ�È�Ã�À<&
¾�È�Â�¸�¹�¾�À � C;D �? � C << �?�¹�º¬Æ�Ê�ÉYÃ�À;¸�¸�Î6À%¹�Ã�½�¾�À;È�ζº�Ë�º/Ã�È � È�Â�½�É � >� ²¸�½�¸�¹�È�릀 � ó� ²½�ζÈ�È�ÎaÌ�Ã�½�¹�½�¼�È�¸�Ì�½�»¸�Ê�Ü ¼�À;»Yº�Æ@Â�º�Ë�º¬Â�Ü*Ê@È�¾�º�Ë�º3Ì�º�Ã�Â�ɲ?*Í�Ã�½�¼�È�ÎgÃ�È � È�Â�½�È � >� �Í�Ã�½�Â�À�Æ�Ê@È�Ç�½�¹·¸�È�ζÈ�»�¸�¹�¾;ÜuÃ�È � È�Â�½�»²?*Û*À<&¾�½�¸�É�â8½ Å�º;¹YÍ�À;Ã�À;ζÈ�¹�Ã�À
p
=�� º�Ë�ÆQÀ�?�¾�º�¸�Í�º�Ê@¿;Û�º�¾�À;¾ � ½�¸�¿s¹�È�º�Ã�È�ζº�»²?�Í�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�º�»J¾JÞß< D ?�¸;=Q<�<*:�á ?Û*À;Ì Ê@ê·¼�À;È�Τ?@¼�¹�º]Ã�È � È�Â�½�È � >� �Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º � Â�È�À;¸�½�ζÍ�¹�º;¹�½�¼�È�¸�Ì�½� �=5Yº�¸�¹;À%¹�º�¼�Â�º/Í�Ã�º�¸�¹�º�È6Æ@º�Ì�À%Û*À%¹�È�Ê@¿�¸�¹�¾�º/Ü�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�½®Ã�À;¸�¸�Î6À%¹�Ã�½�¾�À;È�ζº�Ë�º/Ã�È � È�Â�½�ÉYÊ@È�Ë�Ì�ºÍ�º%Ê�Ü ¼�½�¹�¿u½8Â�È�Í�º�¸�Ã�È�Æ@¸�¹�¾�È�Â�Â�º1¸�Ê@È�Æ�Ü ê3â_½�Î[º�Ý�Ã�À%Û�º�Τ=�46¸�Ê@º�¾�½�È � >� þ¸�Ü�â8È�¸�¹�¾�º�¾�À;Â�½�É8ÜY¸�½�¸�¹�È�ζÄ
� ó� }Ã�È � È�Â�½�É � >� ç Ì�¾�½�¾�À�Ê@È�Â�¹�Â�º�¸�º�º;¹�Â�º � È�Â�½�ê f ′(p0, β0) = 0
?�Ë�Æ@È
f(p, β) =
[p − ωQ(β)]2
2G(β)
+ U(β). (22)
ïiĤ¼�½�¸�Ê@½�¾
f ′′(p, β)
?%Ü�¸�¹%À;Â�À;¾%Ê@½�¾�À;È�Τ?�¼�¹�ºsº�¸�Â�º�¾�Â�º�È}Ü�¸�Ê@º�¾�½�È � C;D ç Ì�¾�½�¾�À�Ê@È�Â�¹�Â�ºYÂ�È�Ã�À;¾�È�Â�¸�¹�¾;Ü
f ′′(p0, β0) > 0
=oW6Ê@È�Æ@º�¾�À%¹�È�Ê@¿�Â�º�?�¾ðº�Ì�Ã�È�¸�¹�Â�º�¸�¹�½�¹�º�¼�Ì�½
(p0, β0)
¸�º�º;¹�Â�º � È�Â�½�È f ′(p, β) = 0º�Í�Ã�È�Æ@È�Ê�É�È�¹]Í�º8¹�È�º�Ã�È�ζÈ1º8Â�È�É�¾�Â�º�»cò1Ü Â�Ì�Á�½�½"¸�¹%À;Á�½�º�Â�À;Ã�Â�º�È/Û�Â�À*¼�È�Â�½�È
β∗
Ì À;ÌcÂ�È�Í�Ã�È�Ã�Ĥ¾�Â�Ü ê
ò1Ü Â�Ì�Á�½�ê º;¹
p
U
β∗ = β∗(p) (β0 = β∗(p0))
=
$LÀ;¸�¸�ζº;¹�Ã�½�Îa¹�È�Í�È�Ã�¿·Í�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�Ü êù¸�½�¸�¹�È�ÎLÜ�?�¹�º·È�¸�¹�¿·Í�È�Ã�¾�º�È�½s¾;¹�º�Ã�º�È6Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É � ó� �?*Ë�Æ@È
p
¸�¼�½�¹;À;È�¹�¸�ÉYÍ�À;Ã�À;ζÈ�¹�Ã�º�Τ=6n¶¸�Ê@½YÍ�º%Ê@º�Ç�½�¹�¿¬¾3Â�½ Å
β = β∗(p)+β1
?
γ = γ0+γ1
½1Ê@½�Â�È�À;Ã�½�Û�º�¾�À%¹�¿
ç ¹�½®Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É®Í�º β̇1, γ̇1, β1, γ1
?%¹�º/Å�À;Ã�À;Ì�¹�È�Ã�½�¸�¹�½�¼�È�¸�Ì º�È¤Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�Ȥ¹%À;Ì�º�»8Ê@½�Â�È�À;Ã�½�Û�º�¾�À;Â�Â�º�»
¸�½�¸�¹�È�Î6ÄõÝ;Ü�Æ@È�¹�½�ζÈ�¹�¿]¾�½ Æ
P4(s, p) = 0
=�71º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹�ÄõÍ�º%Ê@½�Â�º�Î6À P4(s, p)
Í�Ã�½cÛ�Â�À*¼�È�Â�½�É Å
p
?iÝ%Ê@½�Û�Ì�½ Å÷Ì
p0
?�Ý;Ü*Æ�Ü�¹èÝ%Ê@½�Û�Ì�½÷Ì÷Ì�º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹%À;Îy½�Û�Ü ¼�È�Â�Â�º�Ë�ºøÍ�º%Ê@½�Â�º�Î6À P4(s, p0)
=a!1º6&
ç ¹�º�ÎLÜgÍ�Ã�½g¹%À;Ì�½ Å p
¾�¸�½ Ê�ÜgÂ�È�Í�Ã�È�Ã�Ĥ¾�Â�º�¸�¹�½[Ì�º ç òuòu½�Á�½�È�Â�¹�º�¾JÜ Ã�À;¾�Â�È�Â�½�Éaº�¸�¹%À;Â�Ü�¹�¸�Ék¾�ĤÍ�º%Ê�&Â�È�Â�Â�Ĥζ½[Ü�¸�Ê@º�¾�½�É � C;D �? � C << �?�º�Ý�È�¸�Í�È�¼�½�¾�À;ê3â8½�È]º;¹�Ã�½�Á�À%¹�È�Ê@¿�Â�º�¸�¹�¿cÆ@È�»�¸�¹�¾�½�¹�È�Ê@¿�Â�Ä}Åz¼�À%¸�¹�È�»¾�¸�È�Åè¼�È�¹�ĤÃ�È�ÅøÌ�º�Ã�Â�È�» Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�É
P4(s, p) = 0
=�!1ºa¹�È�º�Ã�È�Î6ÈcìuÉ�Í�Ü Â�º�¾�À � ¸�Τ=}Þß< D áx �? º;¹�¸�ê}ÆQÀ¸�Ê@È�Æ�Ü�È�¹aÀ;¸�½�ζÍ�¹�º;¹�½�¼�È�¸�Ì À%ÉzÜ�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�¿NÃ�È � È�Â�½�É β = β∗(p)
?
γ = γ0
Í�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�º�»ð¸�½�¸�¹�È'&
ζÄ1=N�1Â�À*¼�È"Ë�º�¾�º�Ã�ɲ?LÍ�Ã�½ Æ@º�¸�¹;À%¹�º�¼�Â�ºðÎ6À�Ê@ÄiÅèÂ�À*¼�À�Ê@¿�Â�ÄiÅèÛ�Â�À*¼�È�Â�½�É Å
p1, β̇1, γ̇1, β1, γ1
Ý;Ü*Æ@È�¹
β̇1, γ̇1, β1, γ1 → 0 (t → ∞)
=
� È�Í�È�Ã�¿g¸�¹;À;Â�º�¾�½�¹�¸�ɯÉ�¸�Â�ĤÎÏÅ�À;Ã�À;Ì�¹�È�ÃzÆ@¾�½�Ç®È�Â�½�ÉðÍ�º%Ê@Â�º�»ð¸�½�¸�¹�È�릀 � ó� 1¾�Ý%Ê@½�Û�½ð½�Û�Ü ¼�À;È'&ζº�Ë�ºYÃ�È � È�Â�½�É � >� �=�!1Ã�½�Î6À�Ê@º�Îð¾�º;Û�ÎLÜ�â8È�Â�½�½ p1 = p−p0
¾�ζÈ�¸�¹�º8¸�¹%À;Á�½�º�Â�À;Ã�Â�º�Ë�º8Í�º%Ê@º*Ç_È�Â�½�É
β0
¾�º;Û�Â�½�Ì À;È�¹NÝ%Ê@½�Û�Ì�º�È®Ì[Â�È�ÎLÜkÍ�º%Ê@º*Ç®È�Â�½�È
β∗ = β∗(p)
?²Ì[Ì º;¹�º;Ã�º�ÎLÜk¸�¹�Ã�È�ζ½�¹�¸�É[Ü Ë�º%Ê
β
Í�Ã�½
t → ∞
?�È�¸�Ê@½�¹�º%Ê@¿�Ì ºð¾�º;Û�ÎLÜ�â8È�Â�½�É÷¸�Ì�º�Ã�º�¸�¹�È�»
β̇, ϕ̇
½�Ü Ë�Ê@º�¾
β, ϕ
Æ@º�¸�¹;À%¹�º�¼�Â�º Î6À�Ê@Ä1=N!1Ã�½
ç ¹�º�Î γ1 → 0 (t → ∞)
?2¹�ºaÈ�¸�¹�¿[¾a¾�º;Û�ÎLÜ�â8È�Â�Â�º�Î�Æ@¾�½�Ç_È�Â�½�½¯Ü Ë�º�Ê
ϕ
¸�¹�Ã�È�ζ½�¹�¸�ÉèÌ Â�È�¾�º;Û1&
ÎLÜ�â8È�Â�Â�º�ÎLÜùÃ�È�Ç�½�ÎLÜø¾�Ã�À%â8È�Â�½�É
ϕ = ωt + γ0
=N�LÀ;Ì�½�Î º�Ý;Ã�À%Û�º�Τ?�Í�Ã�½�Ü�¸�Ê@º�¾�½�É Å � C;D �? � C << Â�È�¾�º;Û�ÎLÜ�â8È�Â�Â�º�È8Æ@¾;½�Ç®È�Â�½�È � >� ¬¾cÃ�À;¸�¸�Î6À%¹�Ã�½�¾�À;È�ζº�ÎöÌ�Ã�½�¹�½�¼�È�¸�Ì º�Îö¸�Ê�Ü ¼�À;È®º�Æ@Â�º�Ë�ºcÂ�Ü�Ê@È�¾�º�Ë�ºÌ º�Ã�Â�ÉcÜ�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�Í�º
p, β
½NÀ;¸�½�ζÍ�¹�º;¹�½�¼�È�¸�Ì�½gÜ�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�Í�º
β̇, ϕ̇, ϕ
=
!1Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�À%É®¸�½�¸�¹�È�Î6Àu½�ζÈ�È�¹s¸�¹�Ã�Ü Ì�¹�Ü Ã�Ü_Ü Ã�À;¾�Â�È�Â�½�»_ìYÀ;Ë�Ã�À;Â�Ç®À�?%Û*À;Í�½�¸�À;Â�Â�ÄiÅ8Æ�Ê�É_Â�È�Ì�º6&
¹�º�Ã�º�» ζÈ�Å�À;Â�½�¼�È�¸�Ì�º�»ö¸�½�¸�¹�È�릀 ¸a½�Û�ζÈ�Â�È�Â�Â�º�» Ì�½�Â�È�¹�½�¼�È�¸�Ì�º�»ö½÷Í�º;¹�È�Â�Á�½�À�Ê@¿�Â�º�» ç Â�È�Ã�Ë�½�È�»²=
y1È�¹�Ã�Ü*Æ@Â�ºèÛ*À;ζÈ�¹�½�¹�¿�?¤¼�¹�º Í�º;¹�È�Â�Á�½�À�Ê@¿�Â�À%É ç Â�È�Ã�Ë�½�ÉöÍ�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�º�» ¸�½�¸�¹�È�ζÄ~Í�Ã�½�ÆQÀ;Â�Â�º�Î
p
( 9
Z\[ ]^[<_ -/C�-=*>JO.10�;
¾�Ä}Ã�À%Ç]À;È�¹�¸�Éøò1º�Ã�ÎLÜ*Ê@º�» � C�C �=pW6Ê@È�Æ@º�¾�À%¹�È�Ê@¿�Â�º�? Æ�Ê�Éè½�Û�Ü ¼�À;È�ζº�Ë�ºzÃ�È � È�Â�½�É � >� sÜ�¸�Ê@º�¾�½�È"È�Ë�º¸�Ü�â8È�¸�¹�¾�º�¾�À;Â�½�É
f ′(p0, β0) = 0
º;Û�Â�À*¼�À;È�¹�?6¼�¹�ºzÍ�Ã�½øòu½�Ì ¸�½�Ã�º�¾�À;Â�Â�º�Î
p0
¹�º�¼�Ì À
β0
É�¾%Ê�É�È�¹�¸�É
¸�¹%À;Á�½�º�Â�À;Ã�Â�º�»"¹�º�¼�Ì�º�»NÍ�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�º�»gÍ�º;¹�È�Â�Á�½�À�Ê@¿�Â�º�» ç Â�È�Ã�Ë�½�½ f(p0, β) = 0
?�¹�º®È�¸�¹�¿]¹�º�¼�Ì�º�»²?
Í�º�Æ@º;Û�Ã�½�¹�È�Ê@¿�Â�º�»gÂ�À ç Ì�¸�¹�Ã�È�ÎLÜ�Τ=bi/¸�Â�º�¾�Â�º�È1Ü�¸�Ê@º�¾�½�ÈuÜ�¸�¹�º�»�¼�½�¾�º�¸�¹�½HU f ′′(p0, β0) > 0
Í�Ã�½ ç ¹�º�Î
º;Û�Â�À�¼�À;È�¹�?(¼�¹�º"Í�Ã�½�¾�È�Æ@È�Â�Â�À%ÉzÍ�º;¹�È�Â�Á�½�À�Ê@¿�Â�À%É ç Â�È�Ã�Ë�½�Éð½�ζÈ�È�¹N¾J¹�º�¼�Ì È β0
¸�¹�Ã�º�Ë�½�»zζ½�Â�½�ÎLÜ Î
Í�º
β
?�Ì�º;¹�º�Ã�Ĥ»gº�Í�Ã�È�Æ@È�Ê�É�È�¹�¸�Ég¼ Ê@È�Â�º�Îù¾%¹�º�Ã�º�Ë�º]Í�º�Ã�É Æ@Ì À®º%¹�Â�º�¸�½�¹�È�Ê@¿�Â�º
β − β0
=
z ©I{}|'~O�6�=�p�a�V�2¦¬��������¢��������������1�%���*£i�����*�s���*£i�� %�����·���%���������������������·���������������%�¤�3�*�����;�����������������%��������1�N� �����* ©%�������������������}�1����¨�����������©3� z?�=�'� ©=���D���*��¡(��©6�*©R���2© z9�9� z9�/� ©
�*©a�b�/� �D�6�D�8��� � � �=�2¦þ��������¢��������������¶�%���*£������*�������*���������%�(�2�������;�����������·�����%������� �1�H� ���/£���©?���D������¡(��© � ©
���2© �R�/� �R�/� ©
� ©I���1�6���N� �N� �H�����O D¡6�6¢1¡6£q¤N� �N�<�2¦����%�����8�* ;�������þ�%����£i������¢¬�����%������������������¡²¨¤���%�������®�þ���%����¢¬����±����* %�*
����������¢·���������%����������¢ �1�N� ���]£���©3� z?�1¥1¥ ©=�5¦D§��*��¡(��© � ©R���2© ¥<z9� ¥ � � ©
� ©o¤p|O¨= �|8���9�©��� ªp��«ù�����������]�������������������������u���������������%�u�¤§� %�������������������%�[�*���������%���²� �������������� %�����������1�
�*�����;�����������_�����%������� �1� �L���%©3¬2µ�����#®�©6¯1��¨��������*�i�1����³�����������������������©R� z?�1¥1� ©=�q° ¥ ©R���2© �R� �9� ©
� ©o��¨��±�p�>�6²o�/ D�q� � � �#�2¦1��������¢��������������Y�%���*£i�����*�_���������������%�·�u�*�����;�����������N�����%�������¤�����®���� %�������]����
���������}���������������� %«����}�����·���������%� �1� �L���%©3¬2µ�����#®�©6¯1��¨������*�*��©R� z?�1¥=� ©=�q° � ©R���2© z/�'¥ z/�9� ©
¥ ©o�N�/�6�9�8�8�9¡6³�´ � µa�V�2¦¤��������¢��������������u������±������%������¡²¨·�%���*£�������¢s�������*¨*�������������¤���������������%�}�¬�*�����;�����������
�����%������� �1� ¯1��¨����������i���������%�����}���� ;��©3� z?�R�1� ©1�5¶�¡(��© � ©R���2© ¥<z � �*©
� ©o�^ D¡R���9�o·¸� {@� �j¤p|O¨= �|8���9�v��� ªp��¹6���%�������*�s���������������%�s�Y�*�����;�����������a�����%��������©V�©¯_© º�µ¶�����*��� z?�R�9� ©V�
�'» � ��©
� ©o¤p|O¨= �|8���9��¼a� � �R�Q��������������¢6�����������%���%������������¡(¢i������������� �1� ¯1��¨��������*�2���������%����� ���� ;��©?� z?�R� �*©>��¶�¡(��© � ©
���2© �9� � �*©
� ©o�N�/�6�9�8�8�9¡6³o´ � µa�3�Q������������«¶��¨����;� �����i���������%� �¶��¦���¦�´���������¢������;�����²�¶�����������������²�¶�*�����;�����������u�����%��������1�N� ���®£i��©3� z?�R� �*©=�q¶�¡(��© � ©R���2© � �� � ��©
z »�©I{}|8 D¢1¡6��µa� ½�� � �������*�/��������¢��������������3�%���*£������*��©3�q¯_© º%µ¶�����*��� z?�1¥1¥ ©=� �'� ����©
¾^CD¿x7^TRED0<S<+ [ L�AR79JÀL�AR780<S<0¸0¸L#J,GRA9C<0<S<0¸Á� Ál)XSRE�A90<C<F^Ã=Ä5-/C�JOB<S
Å<Æ'Ç6Æ<È'É6Ê'Ë/ÌRÌHÍÎË3Ï�ͱÐRÆ'Ç<Ñ1Ò6È9ÅbÍÔÓ6Ë
� �� %��������� � »�© »=�*© » �
( A
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123720 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:48:01Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коносевич, Ю.Б. 2017-09-09T05:51:19Z 2017-09-09T05:51:19Z 2003 Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 90-96. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123720 531.38, 531.36 Изучается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем синхронного типа. Если наружная ось подвеса вертикальна, то уравнения движения рассматриваемой системы допускают семейство стационарных решений, описывающих регулярные прецессии ротора вокруг наружной оси подвеса или равномерные вращения ротора вокруг неподвижной оси. На основе анализа уравнений первого приближения найдены достаточные условия устойчивости таких движений. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе Article published earlier |
| spellingShingle | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе Коносевич, Ю.Б. |
| title | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_full | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_fullStr | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_full_unstemmed | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_short | Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_sort | условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123720 |
| work_keys_str_mv | AT konosevičûb usloviâustoičivostistacionarnyhrežimovdviženiâsinhronnogogiroskopavkardanovompodvese |