Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исклю...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123721 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1237212025-02-09T15:42:12Z Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси Позднякович, А.Е. Савченко, А.Я. Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исключая случай вертикального расположения оси колебаний маятника и случай, когда ось колебаний осциллятора параллельна оси колебаний маятника. 2003 Article Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721 531.38 ru Механика твердого тела application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исключая случай вертикального расположения оси колебаний маятника и случай, когда ось колебаний осциллятора параллельна оси колебаний маятника. |
| format |
Article |
| author |
Позднякович, А.Е. Савченко, А.Я. |
| spellingShingle |
Позднякович, А.Е. Савченко, А.Я. Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси Механика твердого тела |
| author_facet |
Позднякович, А.Е. Савченко, А.Я. |
| author_sort |
Позднякович, А.Е. |
| title |
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси |
| title_short |
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси |
| title_full |
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси |
| title_fullStr |
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси |
| title_full_unstemmed |
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси |
| title_sort |
пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721 |
| citation_txt |
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT pozdnâkovičae passivnaâstabilizaciâmalyhkolebanijfizičeskogomaâtnikaotnositelʹnonaklonnojosi AT savčenkoaâ passivnaâstabilizaciâmalyhkolebanijfizičeskogomaâtnikaotnositelʹnonaklonnojosi |
| first_indexed |
2025-11-27T12:53:11Z |
| last_indexed |
2025-11-27T12:53:11Z |
| _version_ |
1849948104603729920 |
| fulltext |
��������� ��
�������
���
�������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)�
�-
�� � �!�/.10324�5� �
687:9<;>=�?�@ =�A
B© C>D�D =�@!EGFIH:FKJML!N�OQPSRST�L�U�V4W8XYEGF[Z\FY]_^
U�W4`�P4TaLJbEc]d]:ebfhgbE#Zi]:jkEmlheMnGeGo8EmpbeGZrq/EcnGs<truMvdnbH3lhEmgbebwx\eGo8ebyMHz]:uMv|{kv}q/EmZMj_gbebubE~v|j_g�vc]:ebjzH1nG�hg�v�gbEmuMn\v|gbg�v|w�vc]:e
�!�������
���������&�������>���&�k�5�&���������������3���������+�&�����������h� ������
¡Q������������¢£��¤��5�!��¥�������¢+�5�Y���¦�
��§8¨�©G�&������������¤��5�¦�«ª���+����¥������&�k�K�������������a¬&Q���&®£������¯#®¦�«�&�����+¥°�����&�
����������������¢£���±®¦���������������¦�����°�����&��²³�����+¥°�&���������������+¥°�!��¥���ª����¢+���£�¦��¨8¢£����������¤��³���¦����������¥����8�4����������¢+���&¨�©M����¢£��������¯)�°���¦������¥�����¯)�°®£¤���� ¬+Q��¢£���������&�������k���������+�&���������+¥�������&�µ´¦���&�������&��¢+�&©4�&��¥h�«�&®£�&���z����������¢+���&¨�����¤��°�&���������&��²³�����+¥_�¦���z¢£���&���¦�������_�!��¥�������¢£�1�:�«�&®£�&������¢¦��¤¶�>��¦��¨k¢£���&���¦�������°�¦�����+����¥������&�³�&���&�����&���&¨��&�³�¦���±¢¦���&���¦�������1�!��¥�������¢+��¬
· F³JML¹¸�º�^
P4L�U�Ta^»N�^ OQ^�W4V8FkJM¼4V4U�`�OQ`�P4V4`\½)¼4^
U�P4`�P4V4¾¿OQU�VSÀÁ`�P4VSRÂT¿Ta^
P4L�P4V4W4` ¸�TaL
Ã
Ä ½»U�V)OK½�F¹ÅKÆ>ǦǦÈÊÉ>Ë�Ì
Í
ÈÏÎÐÍ�ѦÍ
Ò
ӦǦÔ
Í
ÕmÈYÆ&Ö�Ë�×
Í
Ô S,
ǦÉ�Ø�Ó¦Ì�ÙhÆ>Ú°Û:Í
ÕmÔ�É&Ü�Ó¦Ý�Æ>×
Í�ÖÞÉ>Ë�×
É�ǦÍ�Ë�Ó�Ü�ß�×
ÉÉ�ǦÍaà�×!Æ>á
Ì!Æ>Ø&Ü!Ö
Ú°Û:Í
Õ#Ø�Ó¦Ô�Ë�É�Ì#Ô�É>Ë�É�Ì
É�Õ
ea
É�Ý�Ì!Æ&Ѧâ�Ó�ËdÇ1Ø�Ó¦Ì�Ë�Í
Ô�Æ�Ü�ß�Úäãå×!Æ>á
Ì!Æ>Ø&Ü�Ó¦×
Í
Ó¦ÈÏØ�Ó¦Ô�Ë�É�Ì!ÆÇ¦Í Ü�æçË+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�Í�é�â ê¦É&Ü
90◦ − θ0
@�ë1â�Ç�Ë�ß
C ìcí Ó¦×�Ë�ÌGÈYÆ>ǦÇ3Ë�Ó�Ü¹Æ S,
É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò
Í
È�Ó¦ê¦É�ã í Ó¦×�Ë�Ì!Æ�éÉ�Ì�Ë�É�ê¦É�×!Æ�Ü�ß�×�â Úîá
Ì
É�Ó¦Ô í Í
Ú�×!ưÉ�Ǧ߱Ø�Ì!Æ&Û:Ó¦×
Í�Ö:Ò
Ó¦Ì
Ó�Ñ O. ï Ø>Ö�èdÓ¦ÈGÇYË�É�Ò
Ô�É�Õ O
×
Ó¦á
É£ð�Ø�Í�èÞ×�â Úá
Ì�Ö
ÈÊÉ>â ê¦É&Ü�ß�×�â ÚäǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈQâ»Ô�É�É�Ì�ð�Í
×!Æ&Ë
Oxyz,
Ë�Ì
Ó�Ë�ß>Ö»É�ǦßMÔ É>Ë�É�Ì
É�ÕÁǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËbÇ|É�Ǧß�ÚñØ�Ì!Æ�òÛ:Ó¦×
Í�Ö
ez = ea,
Ø>Ë�É�Ì!Æ&ÖGÉ�ǦßcÌ!Æ>Ǧá
É&Ü�É+èhÓ¦×!ÆÞê¦É�Ì
Í�Ñ£É�×�Ë&Æ�Ü�ß�×
É
à�á
Ó¦Ì
Ø�Æ&Ö�É�Ç�ß ì Ë&Æ>Ô
Í
ÈóÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È�àÒ�Ë�É
ex = ey × ea
ãåǦÈ�@!Ì
Í
Ç�â ×
É�Ô�é�@ ô Æ>á
Ì!Æ>Ø�Í
È�á
ÉÞØ�Ó¦Ô�Ë�É�Ì�â
OC
É�Ǧß
Ox1ǦØ>Ö�Ñ+Æ>×
×
É�ÕÐÇÊÈYÆ&Ö�Ë�×
Í
Ô É�ÈMǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæõÔ É�É�Ì òð�Í
×!Æ&Ë�à!Ë�Ì
Ó�Ë�ß>ÖbÉ�Ǧß|ö�Ë�É�ÕbǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ
Oz1ǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËcÇ
Oz. ÷ á Ü�É�Ç¦Ô É>Ç�Ë�Í Ox1z,Ø&ð�É&Ü�ßÐá
Ì�Ö
ÈÊÉ�Õaà�á
Ì
É£ø�É+ð!Ö�Û:Ó¦Õ|Ò
Ó¦Ì
Ó�ѰË�É�Ò òÔ�â
P0
É�ǦÍ
Ox1
á
É£ðùâ ê�Ü�É�È
ψ0,
ǦÉ&òØ�Ó¦Ì�ÙhÆ>Ó�Ë|Ô�É&Ü�Ó¦Ý�Æ&Ë�Ó�Ü�ß�×
É�Ó±ð�Ø�Í�èhÓ¦×
Í
Ó3ÈYÆ�òË�Ó¦Ì
Í!Æ�Ü�ß�×!Æ&Ö¿Ë�É�Ò
Ô Æ
P.
ô Æúö�Ë>âûË�É�Ò
Ô�âð�Ó¦Õ
Ç�Ë�Ø>â Ú°Ë&à�×!Æ&Ì�Ö ð!â�ÇGÇ¦Í Ü�É�ÕîË+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�ÍaàÜ�Í
×
Ó¦Õ
×!Æ&ÖÐâ á
Ì�â ê�Æ&ÖzÇ¦Í Ü¹Æ5ÍÐÇ¦Í Ü¹Æ5Ø>Ö�Ñ£Ô�É�ê¦ÉË�Ì
Ó¦×
Í�Öa@�ü1Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò
Í
È
|OC| = l, |OP0| =
l0,
ÈYÆ>ǦÇ�æ-ÈYÆ&Ö�Ë�×
Í
Ô�ÆmÍ�Ë�É�Ò
Ô
Í
P
á
Ì
Í òÈÊÓ¦ÈõǦÉ�É&Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø�Ó¦×!×
É_Ñ+Æ
M
Í
m,
ÆÐÔ�É&òö¦ÎÐÎÐÍ í Í
Ó¦×�Ë�æýâ á
Ì�â ê¦É�Õ/Íûð�Í
ǦǦÍ
á!Æ&Ë�Í
Ø&ò×
É�ÕÞÇ¦Í Ü ì Ñ+Æ κ̃
Í
k̃. ÷ æ�Ý�Ó¦Ì
Ó¦ÈùØzÔ�Æ+Ò
Ó�òÇ�Ë�Ø�ÓdÉ�Ý�É�Ý>Û:Ó¦×
×
æ³ø�Ô É�É�Ì�ð�Í
×!Æ&Ëmâ ê¦É&Ü
ϕÈÊÓ�èdð!â�É�Ç�Ö
ÈÊÍ
Ox
Í
Ox1
àkÆÁË&Æ>Ô�èdÓÌ!Æ>ǦÇ�Ë�É+Ö
×
Í
Ó
ũ
É>ËGË�É�Ò
Ô
Í
P
ð�ÉGË�É�Ò òÔ
Í
P0. þ Æ>á
Í
Ǧæ�Ø�Æ&ÖúÌ!Æ�ð�Í�â�Ç�ò«Ø�Ó¦Ô�Ë�É�Ì�Ë�É�Ò
Ô
Í P
ØÁǦØ>Ö�Ñ+Æ>×
×
É�Õ�ÇmË�Ó�Ü�É�ÈÿǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊÓbÔ É�É�Ì�ð�Í
×!Æ&Ë
rP = l1ex1
+ ũeP
Í|â Ò
Í�Ë�æ5Ø�Æ&Öaà Ò�Ë�É
ω = ϕ̇ez,
×!Æ�ø�É+ð�Í
È
vP = ˙̃ueP + ϕ̇ez × (l1ex1
+ ũeP ) =
= ˙̃ueP + ϕ̇(l1 + u cosψ0)ey1
. � É�ê�ð¹ÆÐð
Ü!ÖmÔ
Í
×
Ó�Ë�Í
Ò!Ó¦Ç¦Ô É�Õ#ö¦×
Ó¦Ì
ê¦Í
Í#Ì!Æ>ǦǦÈYÆ&Ë�Ì
Í
Ø�Æ>Ó¦ÈÊÉ�Õ#ǦÍ
Ç�Ë�Ó£ÈÊæá
É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈîØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦×
Í
Ó
T =
1
2
{Jϕ̇2 +m[ ˙̃u2 + ϕ̇2(l1 + ũ cosψ0)
2]},
ê�ð�Ó
J ì ÈYÉ>ÈYÓ�×�ËÞÍ
×
Ó¦Ì í Í
ÍMË�Ó�ܹÆ|É>Ë�×
É�ǦÍ�Ë�Ó�Ü�ß�×
ÉÞÉ�ǦÍMØ�Ì!Æ&Û:Ó¦×
Í�Öa@
���
��� ���
��
�������������������
��� ����� �
�
�"!#���
�
ë3É&Ë�Ó¦× í Í!Æ�Ü�ß�×!Æ&Öbö¦×
Ó¦Ì
ê¦Í�ÖbǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæçÑ+Æ�ð¹Æ>Ó�Ë�Ç�ÖbÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°Û:Í
ÈÂÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È
Π = −g(MrC · ν +mrP · ν) +
1
2
κ̃(ũ− ũ0)
2.
þ ð�Ó¦Ç�ß g ì â�ǦÔ�É�Ì
Ó¦×
Í
Ó_Ç¦Í Ü�æ¿Ë+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�Íaà¹ÆdÓ�ð�Í
×
Í
Ò
×
æ�ÕbØ�Ó¦Ô�Ë�É�ÌbØ�Ó¦Ì�Ë�Í
Ô Æ�Ü�Í ν
Í
ÈÊÓ¦Ó�ËÞØ�Í ð
ν = cos θ0 cosϕ ex1
− cosθ0 sinϕ ey1
− sin θ0 ez.
þ Æ>á
Í�Ù:Ó�Èûâ Ì!Æ>Ø�×
Ó¦×
Í�Ö�ð�Ø�Í�èhÓ¦×
Í�ÖGð¹Æ>×
×
É�Õ\ÈÊÓ�ø Æ>×
Í
Ò
ӦǦÔ�É�ջǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ<Ø#ÎÐÉ�Ì
ÈÊÓ%$_Æ>ê¦Ì!Æ>×�èdÆcØ>Ë�É&òÌ
É�ê�É|Ì
É£ð¹Æ
d
dt
∂L
∂q̇j
−
∂L
∂qj
= Qj(q̇s, qs) (j, s = 1; 2),
ê�ð�Ó
L = T −Π =
1
2
{Jϕ̇2 +m[ ˙̃u2 + ϕ̇2(l1 + ũ cosψ0)
2]}+ g{[Ml+m(l1 + ũ cosψ0)] cos θ0 cosϕ +
+ mu sinψ0 sin θ0} −
1
2
κ̃(ũ− ũ0)
2.
ë3É�Ü!â Ò
Í
È
{J +m(l1 + ũ cosψ0)
2]}ϕ̈+ 2m cosψ0(l1 + ũ cosψ0)ϕ̇ ˙̃u +
+ g[Ml +m(l1 + ũ cosψ0)] cos θ0 sinϕ = 0, (1)
m¨̃u−m cosψ0(l1 + ũ cosψ0)ϕ̇
2 −mg(cosψ0 cos θ0 cosϕ+ sinψ0 sin θ0) + κ̃(ũ− ũ0) = −k̃ ˙̃u.61Ì!Æ&Ø�×
Ó¦×
Í�Öùã�?�éYð�É�á�â�Ç¦Ô Æ>Ú°ËcÌ
Ó�Ù:Ó¦×
Í
Ó
ϕ(0) = 0, ũ(0) = ũ0 +
mg
κ̃
cos(θ0 − ψ0), ϕ̇(0) = 0, ˙̃u(0) = 0, (2)
Ô�É>Ë�É�Ì
É�ÈQâ#ǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â�Ó�Ëmá
É&Ü�É�èhÓ¦×
Í
ÓÐÌ!Æ>Ø�×
É�Ø�ӦǦÍ�ÖbÍ�Ѧâ Ò!Æ>Ó¦ÈÊÉ�ÕbÈÊÓ�ø�Æ>×
Í
Ò
Ó¦Ç¦Ô É�ÕGǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ3@ ÷ Ø�Ó�òð�Ó¦È�Ý�Ó�Ñ£Ì!Æ&ѦÈYÓ�Ì
×
æ5Ózá
Ó¦Ì
Ó¦ÈÊÓ¦×
×
æ5ÓzÍMá!Æ>Ì!Æ>ÈÊÓ�Ë�Ì
æçá
É|ÎÐÉ�Ì
ÈQâ£Ü¹Æ>È
u =
ũ
l
, τ =
√
Mgl
J
t, µ =
ml2
J
, d =
l1
l
, σ =
J
Ml2
, κ =
J
Mgl
κ̃
m
, k =
√
J
Mgl
k̃
m
. (3)
ë3Ó�Ì
Ó�ø�É£ð!ÖbÔ#Ø�É>Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦×
Í�Ö
È
ϕ = x, u = y + α, ϕ̇(0) = ẋ, u̇ = ẏ, (α =
ũ0
l
+
mg
lκ̃
cos(θ0 − ψ0))
Í»É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò!Æ&ÖÁÙ_Ë�Ì
Í ø�É�Èçð�Í
ÎÐÎÐÓ¦Ì
Ó¦× í Í
Ì
É�Ø�Æ>×
Í
Ócá
É τ,
á
É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦Èçâ Ì!Æ>Ø�×
Ó¦×
Í�ÖùØ�É&Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦×
×
É�ê¦Éð�Ø�Í�èhÓ¦×
Í�Öcð
Ü!ÖMǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæäã�?�é
{1 + µ[d+ (y + α) cosψ0]
2} x′′ + 2µ[d+ (y + α) cosψ0] cosψ0 x
′ y′+
+{1 + µσ[d+ (y + α) cosψ0]} cos θ0 sin x = 0,
y′′ + k y′ + κy − [d+ (y + α) cosψ0] cosψ0x
′2 + σ cosψ0 cos θ0(1 − cos x) = 0.
� A
&�"'('������)���*'(+(�-,���.��
�/�
0����213�
.�4657�
��.�!(,8�
����9*:;�
�<���"!/'��
��=
�&13���>+(�������?�-+(���-'��>+
!#.�@����&�)�
��.���������9*�-'��
61Ò
Í�Ë�æ�Ø�Æ&Öbá
Ì
Ó�ð�Ç�Ë&Æ>Ø&Ü�Ó¦×!Í
Ó
{1+µ[d+(y+α) cosψ0]
2}−1 =
1
δ
[1−2
µ
δ
(d+α cosψ0) cosψ0 y+· · · ], δ = 1+µ(d+α cosψ0)
2,
á
É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈîÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°Û_â�Ú Ç¦Í
Ç�Ë�Ó¦ÈQâ#â Ì!Æ>Ø�×
Ó¦×
Í
Õ
x′′ + λ2x = a1x
′y′ + a2xy +X(3)(x′, x, y′, y) + · · · ,
(4)
y′′ + ky′ + κy = b1x
′2 + b2x
2 + cos2ψ0 x
′2y + · · · .
þ ð�ӦǦß
λ2 =
1
δ
[1 + µσ(d+ α cosψ0)] cos θ0 (λ2 > 0), a1 = −2
µ
δ
(d+ α cosψ0) cosψ0,
b1 = (d+ α cosψ0) cosψ0, (5)
a2 = −
µ
δ2
cosψ0 cos θ0{δσ − 2(d+ α cosψ0)[1 + µσ(d+ α cosψ0)]}, b2 = −
σ
2
cosψ0 cos θ0,Î3â ×
Ô í Í�Ö X(3) ǦÉ+ð�Ó¦Ì�èÞÍ�ËÁÇ�ܹÆ>ê�Æ>Ó¦ÈÊæ�Ó#Ë�É&Ü�ß�Ô�É\×
Ó¦Ò
Ó�Ë�×!É>Õ�Ç�Ë�Ó¦á
Ó¦×!Í�á
É
x′, x,
ÈÊ×
É�ê¦É>Ë�É�Ò
Í òÓ¦ÈîÑ�ð�ӦǦßÞÍ#ð¹Æ�Ü�Ó¦Ó_É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò
Ó¦×!Æ|ǦÉ�Ø�É�Ô�â á
×
É�Ç�Ë�ßcÒ Ü�Ó¦×
É�ØÞÌ!Æ&Ñ�Ü�É�èhÓ¦×
Í�ÖbÝ�É&Ü�Ó¦ÓzØ�æ�ǦÉ�Ô�É�ê¦ÉÞá
É�Ì�Ö ð�Ô ÆÈYÆ�Ü�É�Ç�Ë�Ía@
A FCBz¸)DKL�U�VSRm^!¸�V ÄFE º
L�º
V4W4` ¸�TaL�¾#½�¸�º
L�¾4W4V4U�L¹¸�º
V#VSN�½)W4^
` Ä L3G>LhOQU�VSÀÁ`�P4VSRÊF�ÅKÆ>ǦǦÈÊÉ>Ë&òÌ
Í
È�Ø�É�á
Ì
É�Ç|É�Ý#â�Ç�Ë�É�Õ
Ò
Í
Ø�É�Ç�Ë�Íù×�â+Ü�Ó¦Ø>É�ê¦ÉGÌ
Ó�Ù:Ó¦×
Í�ÖùǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ�ãIH�é�@KJ3Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì
Í
Ç�Ë�Í!Ò
ӦǦÉ�ÓÞâ Ì!Æ>Ø&ò×
Ó¦×
Í
Ó1ð
Ü!ÖcÜ�Í
×
Ó¦Õ
×
É�ÕMÒ!Æ>Ç�Ë�ÍMö�Ë�É�Õ#ǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæçÍ
ÈYÓ�Ó�ËÞá!Æ>Ì�âcÒ
Í
Ç�Ë�É|ÈÊ×
Í
ÈÊæ³ø#Ô�É�Ì
×
Ó¦ÕMÍÞð�Ø�ÆhÔ�É�Ì
×�ÖǰÉ>Ë�Ì
Í í Æ&Ë�Ó�Ü�ß�×
æ�ÈÊÍcØ�Ó�Û:Ó¦Ç�Ë�Ø�Ó¦×
×
æ�ÈYÍcÒ!Æ>Ç�Ë+Ö
ÈÊÍa@ ÷ Ø�Ó�ð�Ó¦ÈõÔ�É�ÈÊá Ü�Ó¦Ô�Ǧ×
É_ǦÉ�á
Ì�Ö�èhÓ¦×
×
æ�Ó°á
Ó¦Ì
Ó¦ÈÊÓ¦× ò×
æ�Ó
z = x+ix′/λ, z = x−ix′/λ,
Í_Ø�É�Ǧá
É&Ü�ß>Ѧâ�Ó¦ÈÊÇ�ÖhÈÊÓ�Ë�É£ð�Í
Ô�É�ÕhÍ
ǦÇ�Ü�Ó�ð�É�Ø�Æ>×
Í�Ö:Ô
Ì
Í�Ë�Í
Ò
ӦǣÔ�É�ê¦ÉÇ�Ü!â Ò!Æ&ÖMá!Æ>ÌmÒ
Í
Ç�Ë�É|ÈÊ×
Í
ÈÊæ³ømÔ�É�Ì
×
Ó¦Õaà!É�á
Í
Ç£Æ>×
×
É�Õ#ØhÈÊÉ�×
É�ê¦Ì!Æ>ÎÐÍ
ÍML =
Nµ@ ÷ É>Ñ£ß�ÈÊÓ¦ÈÏÎ3â ×
Ô í Í
ÚO$ÐÖ òá�â ×
É�Ø�Æ
V (z, z, y′, y) = zz̄ + βV (2)(y′, y) + y′(k12z
2 + k11zz̄ + k̄12z̄
2) +
+ y(k22z
2 + k21zz̄ + k̄22z̄
2) + V (4)(z, z̄, y′, y),
β ì ×
Ó¦Ô�É>Ë�É�Ì!Æ&ÖmØ�Ó�Û:Ó¦Ç�Ë�Ø�Ó¦×!×!Æ&Öaà!Æ k12, k11, k21, k22 ì Ô�É�ÈÊá Ü�Ó¦Ô�Ǧ×
æ�ÓÐá
É�Ç�Ë�É+Ö
×
×
æ�Ó>@3P_â ×
Ô í Í
Ú
V
ÈÊÉ+èÞ×
É|á
É£ð�É�Ý�Ì!Æ&Ë�ß|Ë&Æ>Ô
Í
ÈîÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È�à�Ò�Ë�ÉÞÓ¦Ózá
É&Ü�×!Æ&Öbá
Ì
É�Í�Ñ£Ø>É+ð�×!Æ&Öbá
É|Ø�Ì
Ó¦ÈÊÓ¦×
Í
τ
ØÞÇ¦Í Ü!ââ Ì!Æ>Ø�×
Ó¦×
Í
ÕGØ�É>Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦×
×
É�ê¦É|ð�Ø�Í�èhÓ¦×
Í�ÖMÍ
ÈÊÓ¦Ó�ËcØ�Í ð
V ′ = V ′
0 + o(V ′
0),
ê�ð�Ó
V ′
0 = V ′(2)(y′, y) +
Gz2z̄2,
á
Ì
Ícö�Ë�É�ÈÏÎÐÉ�Ì
ÈYÆ
V ′(2)(y′, y)
Ö
Ø&Ü!Ö
Ó�Ë�Ç�ÖmÉ>Ë�Ì
Í í Æ&Ë�Ó�Ü�ß�×
ÉhÉ�á
Ì
Ó�ð�Ó�Ü�Ó¦×
×
É�Õaà!Æ_á
É�Ç�Ë�É+Ö
×
×!Æ&Ö
G
É�á
Ì
Ó�ð�Ó�Ü!Ö
Ó�Ë�Ç�ÖhÍ�Ñkâ�Ç�Ü�É�Ø�Í�Ö
V ′(4)(z, z̄) = Gz2z̄2.
ë3Ì
É�Ø�É£ð!Ö_ǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â Ú°ÛhÍ
Ó�Ø�æ�Ò
Í
Ç�Ü�Ó¦×
Í�Öaàá
É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦È
G =
1
2
[(b2 − b1λ
2)Rek12 + (b2 + b1λ
2)Rek11]. (6)
QÊÇ�Ü�Í
G < 0,
Ë�É|×�â+Ü�Ó¦Ø�É�ÓÐÌ
Ó�Ù:Ó¦×
Í
ÓzǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæäãIH�ékÆ>ǦÍ
ÈÊá�Ë�É>Ë�Í
Ò
ӦǣÔ
ÍMâ�Ç�Ë�É�Õ
Ò
Í
Ø�É
à�Ó¦Ç�Ü�Í
G > 0ì Ë�ÉG×
Ó�â�Ç�Ë�É�Õ
Ò
Í
Ø�É
@Q93É�ö¦ÎÐÎÐÍ í Í
Ó¦×�Ë�æ k12, k11
×!Æ�ø�É£ð!Ö�Ë�Ç�ÖõÍ�ÑÞâ�Ç�Ü�É�Ø�Í�Ö
V ′(3)(z, z̄, y′, y) = 0.þ Æ>ÈÊÓ�Ë�Í
È�à³Ò�Ë�ÉùØ>Ó�Ü�Í
Ò
Í
×
æ kjs (j, s = 1; 2)
Ü�Í
×
Ó¦Õ
×
ÉõÑ+Æ>Ø>Í
Ç�Ö�ËùÉ>Ëõá!Æ>Ì!Æ>ÈÊÓ�Ë�Ì!Æ
β,
Ë�ÉõÓ¦Ç�Ë�ßá
Ì
Ó�ð�Ç�Ë>Æ>Ø�Í
ÈÊæ ØmØ�Í ð�Ó
kjs = k0
js + βkβ
js. ÷ ǦØ�É�Ú-É�Ò
Ó¦Ì
Ó�ð�ß
à�ð
Ü!Ö�Ø�Ó�Ü�Í
Ò
Í
×
æ G
Í
ÈÊÓ¦Ó�È
G =
= G0 +βGβ,
ê�ð�Ó
G0
á
É&Ü!â Ò!Æ>Ó�Ë�Ç�ÖmÎÐÉ�Ì
ÈYÆ�Ü�ß�×
É�Õ|Ñ+Æ>ÈÊÓ¦×
É�ÕcØ:á
Ì!Æ>Ø>É�ÕcÒ!Æ>Ç�Ë�ÍmÌ!Æ>Ø�Ó�×
Ç�Ë�Ø�Æ#ãSR�é
k×!Æ
k0.
ë3Ì
Í|Ø�æ�Ý�É>Ì
Ó°á
É>Ç�Ë�É�Ö
×
×
É�Õ
β
ð�É�Ç�Ë&Æ&Ë�É�Ò
×
É_ÈYÆ�Ü�É�Õaà�Ñ£×!Æ>Ô
G
ǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËzǦÉÐÑ£×!Æ>Ô�É�È
G0,á
É�ö�Ë�É�ÈQâMð
Ü!ÖGÌ
Ó�Ù:Ó¦×
Í�Ö�Ñ+Æ�ð¹Æ+Ò
ÍGâ�Ç�Ë�É�Õ
Ò
Í
Ø�É�Ç�Ë�ÍGð�É�Ç�Ë&Æ&Ë�É�Ò
×
É#É�á
Ì
Ó�ð�Ó�Ü�Í�Ë�ß#Ø�Ó�Ü�Í
Ò
Í
×
æ
k0
1s (s =
= 1; 2).
ô Æ�ø�É£ð�Í
È�Í ø#Í�ÑzÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÓ¦ÕGǦÍ
Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ¿Ü�Í
×
Ó¦Õ
×
æ³øbÆ�Ü�ê¦Ó¦Ý�Ì!Æ>Í
Ò
ӦǦÔ
Í øMâ Ì!Æ>Ø�×
Ó¦×
Í
Õ
−(2ıλ+k)k0
12 +k0
22−
a1
2
= 0, −kk0
11 +k0
21 +a1 = 0, −2ıλk0
22−κk0
12−
ıa2
2λ
= 0, −κk0
11 = 0.
�)�
��� ���
��
�������������������
��� ����� �
�
�"!#���
�
ë3É�Ü!â Ò!Æ>Ó¦È
k0
11 = 0, k0
12 =
ı(a1λ+ a2/2λ)
4λ2 − k − 2ıkλ
, G0 = −
k(b2 − b1λ
2)(2a1λ
2 + a2)
2[(4λ2 − κ)2 + 4k2λ2]2
.
ü1Ò
Ó�Ø�Í ð�×
É
à�Ò�Ë�É3Ñ£×!Æ>Ô
G0
á
Ì
É&Ë�Í
Ø�É�á
É&Ü�É�èhÓ¦×hÑ£×!Æ>Ô�âhØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦×
Í�Ö
G? = (b2−b1λ
2)(2a1λ
2 +a2).ë3É£ð�Ç�Ë&Æ>Ø&Ü!Ö�Ö#Ñ£×!Æ+Ò
Ó¦×
Í�ÖMØ�Ó�Ü�Í
Ò
Í
×
aj, bj (j = 1; 2)
Í�Ñcãµ;�é�à
á
É�Ç�Ü�ÓÐá
Ì
Ó¦É�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�Ø�Æ>×
Í
ÕMá
É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÓ¦Ó_Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦×
Í
Ó
G? =
µ
2δ3
∆2 cos2 θ0 cos2 ψ0, ∆ = σ + 2(d+ α cosψ0) + 3µσ(d+ α cosψ0)
2. (7)
9ÐÆ&ÔÁÇ�Ü�Ó�ð!â�Ó�ËGÍ�Ñ�ã � é�àaË�Ì
Ó¦×
Í
Ó>à)ð�Ó¦Õ
Ç�Ë�Ø>â Ú°ÛhÓ¦ÓÞ×!Æ#ÈYÆ>ǦÇ�â
P,
ð�Ó�ܹÆ>Ó�ËGÆ>ǦÍ
ÈÊá�Ë�É>Ë�Í
Ò!ӦǦÔ!Í»â�Ç�Ë�É�Õ òÒ
Í
Ø�ækÈYÍÏÔ�É&Ü�Ó¦Ý�Æ>×
Í�ÖÏÎÐÍ�Ñ£Í
Ò
Ó¦Ç¦Ô É�ê¦ÉÁÈYÆ&Ö�Ë�×
Í
Ô Æ�àÊÍ
Ç¦Ô Ü�Ú±Ò!Æ&ÖÏÇ�Ü!â Ò!Æ>ÍúÉ�Ý�Ì!Æ&Û:Ó¦×
Í�Ö
G?
Ø�×
É&Ü�ß
@ô Ó�Ë�Ì�â+ð�×
ÉÞØ�Í ð�Ó�Ë�ß
à�Ò�Ë�É|Ì!Æ>Ø�Ó¦×
Ç�Ë�Ø�É
G?
×�â+Ü�Ú Ø>É>Ñ£ÈÊÉ�èÞ×
ÉhØdÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÍ øbÇ�Ü!â Ò!Æ&Ö øUT?�é
cos θ0 = 0; 2) cosψ0 = 0; 3)∆ = 0.
ë3Ó¦Ì
Ø�É�ÓYÍ�Ñkö�Ë�Í øzâ�Ç�Ü�É�Ø�Í
Õ:É>Ñ£×!Æ+Ò!Æ>Ó�Ë�à&Ò�Ë�ɱÉ�Ǧ߱Ø�Ì!Æ&Û:Ó¦×
Í�ÖÈYÆ&Ö�Ë�×
Í
Ô ÆmǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�Ë#Ç:Ø�Ó¦Ì�Ë�Í
Ô�Æ�Ü�ß�Ú_@)ë3Ì
Í\ö�Ë�É�ÈûÔ�É�É�Ì�ð�Í
×!Æ&Ë>Æ
ϕ
Ç�Ë>Æ>×
É�Ø�Í�Ë�Ç�Ö í Í
Ô Ü�Í
Ò
ӦǦÔ�É�Õa@ÅKÆ>Ø�Ó¦×
Ç�Ë�Ø�É
cosψ0 = 0
Ø�æ�á
É&Ü�×�Ö
Ó�Ë�Ç�Ö»Ë�É&Ü�ß�Ô�ÉMË�É�ê�ð¹Æ�àSÔ�É�ê�ð¹ÆMÉ�Ǧß
à)Ø&ð�É&Ü�ßMÔ�É>Ë�É�Ì
É�Õ\ð�Ø�Í�èhÓ�Ë�Ç�ÖË�É�Ò
Ô Æ
P,
á!Æ>Ì!Æ�Ü
Ü�Ó�Ü�ß�×!Æ#É�ǦÍ
Oz
ÈYÆ&Ö�Ë�×
Í
Ô Æ�@�V1Ë�É#èhÓhÔ�Æ>Ç£Æ>Ó�Ë�Ç�ÖÁË�Ì
Ó�Ë�ß�Ó¦ê£ÉbÇ�Ü!â Ò!Æ&Öaà)Ë�ÉMÌ!Æ>Ç�òǦÈYÆ&Ë�Ì
Í
Ø�Æ&Ö\Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦×
Í
Ó_ð
Ü!Ö
∆
Ô Æ>Ô�Ô
Ø�Æ�ð�Ì!Æ&Ë�×
æ�Õ�Ë�Ì
Ó�ø�Ò Ü¹Ó¦×ÁÉ>Ë�×
É�ǦÍ�Ë�Ó�ܹß>×
É
(d + α cosψ0),Ü�Ó¦ê�Ô ÉmØ�Í ð�Ó�Ë�ß
àaÒ�Ë�ÉmÑ£×!Æ>Ô�Ó¦ê¦ÉÞð�Í
ǦÔ
Ì
Í
ÈÊÍ
×!Æ>×�Ë>Æ#ǦÉ�Ø�á!Æ+ð¹Æ>Ó�Ë#ǦÉcÑ£×!Æ>Ô�É�ÈûØ�ækÌ!Æ&èdÓ¦×
Í�Ö
1 − 3µσ2Í Ü�Íaà�Ç�â Ò
Ó�Ë�É�È»ÎÐÉ�Ì
ÈQâ+Ü�ã =�é�à�ǦÉ3Ñ£×!Æ>Ô É�ÈÁØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦×
Í�Ö
M2l2−3mJ.
ë3É�ö�Ë�É�ÈQâ
∆ > 0
Ø3Ç�Ü!â Ò!Æ>Ó>àÔ�É�ê�ð¹Æ
m > M 2l2/3J.
QÊÇ�Ü�Í_èdÓ
m < M 2l2/3J,
Ë�ɱâ�Ç�Ü�É�Ø�Í
Ó
∆ = 0
É�á
Ì
Ó�ð�Ó�Ü!Ö
Ó�Ë1ð�Ø�ưѣ×!Æ+Ò
Ó¦×
Í�Öá!Æ>Ì!Æ&ÈYÓ�Ë�Ì!Æ
α,
Ô É&Ë�É�Ì
æ�ÓzǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â Ú°ËXW�Ô
Ì
Í�Ë�Í
Ò
ӦǦÔ
Í
È7W�Ë�É�Ò
Ô Æ>È�Ñ+Æ>Ô
Ì
Ó¦á Ü�Ó¦×
Í�ÖGá
Ì�â�èÞÍ
×
æ3@
÷ Ñ+Æ>Ô Ü�Ú±Ò
Ó¦×
Í
Ó±É>Ë�ÈÊÓ�Ë�Í
È�à�Ò�Ë�É_Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦×
Í
Ó�ð
Ü!Ö G0
ø Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì
Í�Ѧâ�Ó�ËhÇ¦Ô É�Ì
É�Ç�Ë�ß_Ñ+Æ&Ë>â�ø�Æ>×
Í�ÖØ�É&Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦×
×
É�ê¦É5ð�Ø�Í�èhÓ¦×
Í�ÖÐá
ÉYW�Ô
Ì
Í�Ë�Í
Ò
ӦǦÔ!Í
È7W�á
Ó¦Ì
Ó£ÈÊÓ¦×
×
æ5È
x, ẋ
L C Nµ@+ë3É�ö�Ë�É�ÈQâ3ö�Ë�ɰØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦×
Í
ÓÈÊÉ+èÞ×
ÉdÍ
Ǧá
É&Ü�ß>Ñ£É�Ø�Æ&Ë�ßdð
Ü!ÖMÉ�á
Ì
Ó�ð�Ó�Ü�Ó¦×
Í�ÖGÉ�á�Ë�Í
ÈYÆ�Ü�ß�×
æ³ø#ø Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì
Í
Ç�Ë�Í
ÔGÇ�Ë>Æ>Ý�Í Ü�Í�Ñ£Í
Ì�â Ú°ÛhÓ¦ê¦Éâ�Ç�Ë�Ì
É�Õ
����@
��¬�ZK[<\ ];[<^F_�` acb>d
e
f#g�[<h�i�jlk&`�m)d�`�n�oqp
r�s�sSt u8vYsIw#r8x�t y t z/r
w�t {�o|t o~}<��t w�t�}(r8y�}(r�sSv/sF�����&¬6{8���*r
w���¬K�;o
r8y ��sSt�s�r8o
�
�;p�p�y t�}(r
w�t {�o
s�¬��°�8������¬-�����)� ¬"���
¬��/����ª¶���(��¬�+¬�ZK[<\ ];[<^K_�` a�b>d
e
f#g�[<h�i�j&k&`�m)d�`�n�o�w���v�sS{���v�r�sS�"��p�w�{8w�t�}Kx)v(�
r�u"t {��3{8��r�p
r�s�sSt u�v(y �csIw#r8x�t y t z(v/�?sS��sIw�v(���Kt w��?{�o�v
}<��t w�t�}(r8y>u8r8��t�r8x�y v&���&�Kv(o
��¬
�K}(}�¬)��}�¬"�)s�¬���r
w�¬
��r8p){�y t[¬"�°�8�����&�?� �?¡�¢�¢�¬����
¬���£-¤�ª¶�/�8¥�¬
¦ ¬*§ ¨8©
ª�«<¬
�®�¯&` °�` a ±c²#¬)¨
³c´-«(©�¯&`¶µ;`)·Q��¢£��������¯)�Ê�����>�����3®¦���������+�����¦�����Ð�������������+�¦�
��¯a´±�&���&���
��������¢��+´Ð�«�+ª�������a¬��?¸Q�����
¹�·Ê��®£¢�¬£�&®+�
¢+�����/��¥���¬-�°�8��¥³��¬
º �)»¼+�½"¾)����.C��13�"+
!¿13�"+(�����F�F1 !�5"�
�������FÀ���ÀÂÁ��"¾>�
����4��-Ã7����!#0��
Ä�Å�Æ�Ç-È
Å�Æ�Ç�É
Ê
Ë
È-ÈKÌSË�ÆÍ̼Î�Ï
Ð
Å�Ä
Ñ
Ò ÌÔÓ�Ë
Q���&®£������� ¦ ��¬ �-£+¬ � ¦
? D>D
|