Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси

Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исклю...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Механика твердого тела
Дата:2003
Автори: Позднякович, А.Е., Савченко, А.Я.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2003
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859589030505611264
author Позднякович, А.Е.
Савченко, А.Я.
author_facet Позднякович, А.Е.
Савченко, А.Я.
citation_txt Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Механика твердого тела
description Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исключая случай вертикального расположения оси колебаний маятника и случай, когда ось колебаний осциллятора параллельна оси колебаний маятника.
first_indexed 2025-11-27T12:53:11Z
format Article
fulltext ��������� �� ������� ��� �������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)� �- �� � �!�/.10324�5� � 687:9<;>=�?�@ =�A B© C>D�D =�@!EGFIH:FKJML!N�OQPSRST�L�U�V4W8XYEGF[Z\FY]_^ U�W4`�P4TaLJbEc]d]:ebfhgbE#Zi]:jkEmlheMnGeGo8EmpbeGZrq/EcnGs<truMvdnbH3lhEmgbebwx\eGo8ebyMHz]:uMv|{kv}q/EmZMj_gbebubE~v|j_g�vc]:ebjzH1nG�hg�v�gbEmuMn\v|gbg�v|w�vc]:e �!������� ���������&�������>���&�k�5�&���������������3���������+�&�����������h� ������  ¡Q������������¢£��¤��5�!��¥�������¢+�5�Y���¦� ��§8¨�©G�&������������¤��5�¦�«ª���+����¥������&�k�K�������������a¬&­Q���&®£������¯#®¦�«�&�����+¥°�����&� ����������������¢£���±®¦���������������¦�����°�����&��²³�����+¥°�&���������������+¥°�!��¥���ª����¢+���£�¦��¨8¢£����������¤��³���¦����������¥����8�4����������¢+���&¨�©M����¢£��������¯)�°���¦������¥�����¯)�°®£¤���� ¬+­Q��¢£���������&�������k���������+�&���������+¥�������&�µ´¦���&�������&��¢+�&©4�&��¥h�«�&®£�&���z����������¢+���&¨�����¤��°�&���������&��²³�����+¥_�¦���z¢£���&���¦�������_�!��¥�������¢£�1�:�«�&®£�&������¢¦��¤¶�>��¦��¨k¢£���&���¦�������°�¦�����+����¥������&�³�&���&�����&���&¨��&�³�¦���±¢¦���&���¦�������1�!��¥�������¢+��¬ · F³JML¹¸�º�^ P4L�U�Ta^»N�^ OQ^�W4V8FkJM¼4V4U�`�OQ`�P4V4`\½)¼4^ U�P4`�P4V4¾¿OQU�VSÀÁ`�P4VSRÂT¿Ta^ P4L�P4V4W4` ¸�TaL Ã Ä ½»U�V)OK½�F¹ÅKÆ>ǦǦÈÊÉ>Ë�Ì Í ÈÏÎÐÍ�Ñ¦Í Ò Ó¦Ç¦Ô Í ÕmÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô S, ǦÉ�Ø�Ó¦Ì�ÙhÆ>Ú°Û:Í ÕmÔ�É&Ü�Ó¦Ý�Æ>× Í�ÖÞÉ>Ë�× É�ǦÍ�Ë�Ó�Ü�ß�× ÉÉ�ǦÍaà�×!Æ>á Ì!Æ>Ø&Ü!Ö Ú°Û:Í Õ#Ø�Ó¦Ô�Ë�É�Ì#Ô�É>Ë�É�Ì É�Õ ea É�Ý�Ì!Æ&Ѧâ�Ó�ËdÇ1Ø�Ó¦Ì�Ë�Í Ô�Æ�Ü�ß�Úäãå×!Æ>á Ì!Æ>Ø&Ü�Ó¦× Í Ó¦ÈÏØ�Ó¦Ô�Ë�É�Ì!ÆÇ¦Í Ü�æçË+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�Í�é�â ê¦É&Ü 90◦ − θ0 @�ë1â�Ç�Ë�ß C ìcí Ó¦×�Ë�ÌGÈYÆ>ǦÇ3Ë�Ó�Ü¹Æ S, É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò Í È�Ó¦ê¦É�ã í Ó¦×�Ë�Ì!Æ�éÉ�Ì�Ë�É�ê¦É�×!Æ�Ü�ß�×�â Úîá Ì É�Ó¦Ô í Í Ú�×!ưÉ�Ǧ߱Ø�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�Ö:Ò Ó¦Ì Ó�Ñ O. ï Ø>Ö�èdÓ¦ÈGÇYË�É�Ò Ô�É�Õ O × Ó¦á É£ð�Ø�Í�èÞ×�â Úá Ì�Ö ÈÊÉ>â ê¦É&Ü�ß�×�â ÚäÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈQâ»Ô�É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ë Oxyz, Ë�Ì Ó�Ë�ß>Ö»É�ǦßMÔ É>Ë�É�Ì É�ÕÁǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËbÇ|É�Ǧß�ÚñØ�Ì!Æ�òÛ:Ó¦× Í�Ö ez = ea, Ø>Ë�É�Ì!Æ&ÖGÉ�ǦßcÌ!Æ>Ǧá É&Ü�É+èhÓ¦×!ÆÞê¦É�Ì Í�Ñ£É�×�Ë&Æ�Ü�ß�× É à�á Ó¦Ì Ø�Æ&Ö�É�Ç�ß ì Ë&Æ>Ô Í ÈóÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È�àÒ�Ë�É ex = ey × ea ãåǦÈ�@!Ì Í Ç�â × É�Ô�é�@ ô Æ>á Ì!Æ>Ø�Í È�á ÉÞØ�Ó¦Ô�Ë�É�Ì�â OC É�Ç¦ß Ox1ǦØ>Ö�Ñ+Æ>× × É�ÕÐÇÊÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô É�ÈMÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæõÔ É�É�Ì òð�Í ×!Æ&Ë�à!Ë�Ì Ó�Ë�ß>ÖbÉ�Ǧß|ö�Ë�É�ÕbÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ Oz1ǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËcÇ Oz. ÷ á Ü�É�Ç¦Ô É>Ç�Ë�Í Ox1z,Ø&ð�É&Ü�ßÐá Ì�Ö ÈÊÉ�Õaà�á Ì É£ø�É+ð!Ö�Û:Ó¦Õ|Ò Ó¦Ì Ó�ѰË�É�Ò òÔ�â P0 É�Ç¦Í Ox1 á É£ðùâ ê�Ü�É�È ψ0, ǦÉ&òØ�Ó¦Ì�ÙhÆ>Ó�Ë|Ô�É&Ü�Ó¦Ý�Æ&Ë�Ó�Ü�ß�× É�Ó±ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í Ó3ÈYÆ�òË�Ó¦Ì Í!Æ�Ü�ß�×!Æ&Ö¿Ë�É�Ò Ô Æ P. ô Æúö�Ë>âûË�É�Ò Ô�âð�Ó¦Õ Ç�Ë�Ø>â Ú°Ë&à�×!Æ&Ì�Ö ð!â�ÇGÇ¦Í Ü�É�ÕîË+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�ÍaàÜ�Í × Ó¦Õ ×!Æ&ÖÐâ á Ì�â ê�Æ&ÖzÇ¦Í Ü¹Æ5ÍÐÇ¦Í Ü¹Æ5Ø>Ö�Ñ£Ô�É�ê¦ÉË�Ì Ó¦× Í�Öa@�ü1Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò Í È |OC| = l, |OP0| = l0, ÈYÆ>ǦÇ�æ-ÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô�ÆmÍ�Ë�É�Ò Ô Í P á Ì Í òÈÊÓ¦ÈõǦÉ�É&Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø�Ó¦×!× É_Ñ+Æ M Í m, ÆÐÔ�É&òö¦ÎÐÎÐÍ í Í Ó¦×�Ë�æýâ á Ì�â ê¦É�Õ/Íûð�Í Ç¦Ç¦Í á!Æ&Ë�Í Ø&ò× É�ÕÞÇ¦Í Ü ì Ñ+Æ κ̃ Í k̃. ÷ æ�Ý�Ó¦Ì Ó¦ÈùØzÔ�Æ+Ò Ó�òÇ�Ë�Ø�ÓdÉ�Ý�É�Ý>Û:Ó¦× × æ³ø�Ô É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ëmâ ê¦É&Ü ϕÈÊÓ�èdð!â�É�Ç�Ö ÈÊÍ Ox Í Ox1 àkÆÁË&Æ>Ô�èdÓÌ!Æ>ǦÇ�Ë�É+Ö × Í Ó ũ É>ËGË�É�Ò Ô Í P ð�ÉGË�É�Ò òÔ Í P0. þ Æ>á Í Ç¦æ�Ø�Æ&ÖúÌ!Æ�ð�Í�â�Ç�ò«Ø�Ó¦Ô�Ë�É�Ì�Ë�É�Ò Ô Í P ØÁǦØ>Ö�Ñ+Æ>× × É�Õ�ÇmË�Ó�Ü�É�ÈÿÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊÓbÔ É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ë rP = l1ex1 + ũeP Í|â Ò Í�Ë�æ5Ø�Æ&Öaà Ò�Ë�É ω = ϕ̇ez, ×!Æ�ø�É+ð�Í È vP = ˙̃ueP + ϕ̇ez × (l1ex1 + ũeP ) = = ˙̃ueP + ϕ̇(l1 + u cosψ0)ey1 . � É�ê�ð¹ÆÐð Ü!ÖmÔ Í × Ó�Ë�Í Ò!Ó¦Ç¦Ô É�Õ#ö¦× Ó¦Ì ê¦Í Í#Ì!Æ>ǦǦÈYÆ&Ë�Ì Í Ø�Æ>Ó¦ÈÊÉ�Õ#Ç¦Í Ç�Ë�Ó£ÈÊæá É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈîØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó T = 1 2 {Jϕ̇2 +m[ ˙̃u2 + ϕ̇2(l1 + ũ cosψ0) 2]}, ê�ð�Ó J ì ÈYÉ>ÈYÓ�×�ËÞÍ × Ó¦Ì í Í ÍMË�Ó�ܹÆ|É>Ë�× É�ǦÍ�Ë�Ó�Ü�ß�× ÉÞÉ�ǦÍMØ�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�Öa@ ��� ��� ��� �� ������������������� ��� ����� � � �"!#��� � ë3É&Ë�Ó¦× í Í!Æ�Ü�ß�×!Æ&Öbö¦× Ó¦Ì ê¦Í�ÖbÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæçÑ+Æ�ð¹Æ>Ó�Ë�Ç�ÖbÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°Û:Í ÈÂÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È Π = −g(MrC · ν +mrP · ν) + 1 2 κ̃(ũ− ũ0) 2. þ ð�Ó¦Ç�ß g ì â�ǦÔ�É�Ì Ó¦× Í Ó_Ç¦Í Ü�æ¿Ë+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�Íaà¹ÆdÓ�ð�Í × Í Ò × æ�ÕbØ�Ó¦Ô�Ë�É�ÌbØ�Ó¦Ì�Ë�Í Ô Æ�Ü�Í ν Í ÈÊÓ¦Ó�ËÞØ�Í ð ν = cos θ0 cosϕ ex1 − cosθ0 sinϕ ey1 − sin θ0 ez. þ Æ>á Í�Ù:Ó�Èûâ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í�Ö�ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�ÖGð¹Æ>× × É�Õ\ÈÊÓ�ø Æ>× Í Ò Ó¦Ç¦Ô�É�Õ»Ç¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ<Ø#ÎÐÉ�Ì ÈÊÓ%$_Æ>ê¦Ì!Æ>×�èdÆcØ>Ë�É&òÌ É�ê�É|Ì É£ð¹Æ d dt ∂L ∂q̇j − ∂L ∂qj = Qj(q̇s, qs) (j, s = 1; 2), ê�ð�Ó L = T −Π = 1 2 {Jϕ̇2 +m[ ˙̃u2 + ϕ̇2(l1 + ũ cosψ0) 2]}+ g{[Ml+m(l1 + ũ cosψ0)] cos θ0 cosϕ + + mu sinψ0 sin θ0} − 1 2 κ̃(ũ− ũ0) 2. ë3É�Ü!â Ò Í È {J +m(l1 + ũ cosψ0) 2]}ϕ̈+ 2m cosψ0(l1 + ũ cosψ0)ϕ̇ ˙̃u + + g[Ml +m(l1 + ũ cosψ0)] cos θ0 sinϕ = 0, (1) m¨̃u−m cosψ0(l1 + ũ cosψ0)ϕ̇ 2 −mg(cosψ0 cos θ0 cosϕ+ sinψ0 sin θ0) + κ̃(ũ− ũ0) = −k̃ ˙̃u.61Ì!Æ&Ø�× Ó¦× Í�Öùã�?�éYð�É�á�â�Ç¦Ô Æ>Ú°ËcÌ Ó�Ù:Ó¦× Í Ó ϕ(0) = 0, ũ(0) = ũ0 + mg κ̃ cos(θ0 − ψ0), ϕ̇(0) = 0, ˙̃u(0) = 0, (2) Ô�É>Ë�É�Ì É�ÈQâ#ǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â�Ó�Ëmá É&Ü�É�èhÓ¦× Í ÓÐÌ!Æ>Ø�× É�Ø�ӦǦÍ�ÖbÍ�Ѧâ Ò!Æ>Ó¦ÈÊÉ�ÕbÈÊÓ�ø�Æ>× Í Ò Ó¦Ç¦Ô É�ÕGÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ3@ ÷ Ø�Ó�òð�Ó¦È�Ý�Ó�Ñ£Ì!Æ&ѦÈYÓ�Ì × æ5Ózá Ó¦Ì Ó¦ÈÊÓ¦× × æ5ÓzÍMá!Æ>Ì!Æ>ÈÊÓ�Ë�Ì æçá É|ÎÐÉ�Ì ÈQâ£Ü¹Æ>È u = ũ l , τ = √ Mgl J t, µ = ml2 J , d = l1 l , σ = J Ml2 , κ = J Mgl κ̃ m , k = √ J Mgl k̃ m . (3) ë3Ó�Ì Ó�ø�É£ð!ÖbÔ#Ø�É>Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× Í�Ö È ϕ = x, u = y + α, ϕ̇(0) = ẋ, u̇ = ẏ, (α = ũ0 l + mg lκ̃ cos(θ0 − ψ0)) Í»É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò!Æ&ÖÁÙ_Ë�Ì Í ø�É�Èçð�Í ÎÐÎÐÓ¦Ì Ó¦× í Í Ì É�Ø�Æ>× Í Ócá É τ, á É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦Èçâ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í�ÖùØ�É&Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× × É�ê¦Éð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�Öcð Ü!ÖMÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæäã�?�é {1 + µ[d+ (y + α) cosψ0] 2} x′′ + 2µ[d+ (y + α) cosψ0] cosψ0 x ′ y′+ +{1 + µσ[d+ (y + α) cosψ0]} cos θ0 sin x = 0, y′′ + k y′ + κy − [d+ (y + α) cosψ0] cosψ0x ′2 + σ cosψ0 cos θ0(1 − cos x) = 0. � A &�"'('������)���*'(+(�-,���.�� �/� 0����213� .�4657� ��.�!(,8� ����9*:;� �<���"!/'�� ��= �&13���>+(�������?�-+(���-'��>+ !#.�@����&�)� ��.���������9*�-'�� 61Ò Í�Ë�æ�Ø�Æ&Öbá Ì Ó�ð�Ç�Ë&Æ>Ø&Ü�Ó¦×!Í Ó {1+µ[d+(y+α) cosψ0] 2}−1 = 1 δ [1−2 µ δ (d+α cosψ0) cosψ0 y+· · · ], δ = 1+µ(d+α cosψ0) 2, á É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈîÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°Û_â�Ú Ç¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈQâ#â Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í Õ x′′ + λ2x = a1x ′y′ + a2xy +X(3)(x′, x, y′, y) + · · · , (4) y′′ + ky′ + κy = b1x ′2 + b2x 2 + cos2ψ0 x ′2y + · · · . þ ð�Ó¦Ç¦ß λ2 = 1 δ [1 + µσ(d+ α cosψ0)] cos θ0 (λ2 > 0), a1 = −2 µ δ (d+ α cosψ0) cosψ0, b1 = (d+ α cosψ0) cosψ0, (5) a2 = − µ δ2 cosψ0 cos θ0{δσ − 2(d+ α cosψ0)[1 + µσ(d+ α cosψ0)]}, b2 = − σ 2 cosψ0 cos θ0,Î3â × Ô í Í�Ö X(3) ǦÉ+ð�Ó¦Ì�èÞÍ�ËÁÇ�ܹÆ>ê�Æ>Ó¦ÈÊæ�Ó#Ë�É&Ü�ß�Ô�É\× Ó¦Ò Ó�Ë�×!É>Õ�Ç�Ë�Ó¦á Ó¦×!Í�á É x′, x, ÈÊ× É�ê¦É>Ë�É�Ò Í òÓ¦ÈîÑ�ð�ӦǦßÞÍ#ð¹Æ�Ü�Ó¦Ó_É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò Ó¦×!Æ|ǦÉ�Ø�É�Ô�â á × É�Ç�Ë�ßcÒ Ü�Ó¦× É�ØÞÌ!Æ&Ñ�Ü�É�èhÓ¦× Í�ÖbÝ�É&Ü�Ó¦ÓzØ�æ�ǦÉ�Ô�É�ê¦ÉÞá É�Ì�Ö ð�Ô ÆÈYÆ�Ü�É�Ç�Ë�Ía@ A FCBz¸)DKL�U�VSRm^!¸�V ÄFE º L�º V4W4` ¸�TaL�¾#½�¸�º L�¾4W4V4U�L¹¸�º V#VSN�½)W4^ ` Ä L3G>LhOQU�VSÀÁ`�P4VSRÊF�ÅKÆ>ǦǦÈÊÉ>Ë&òÌ Í È�Ø�É�á Ì É�Ç|É�Ý#â�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É�Ç�Ë�Íù×�â+Ü�Ó¦Ø>É�ê¦ÉGÌ Ó�Ù:Ó¦× Í�ÖùÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ�ãIH�é�@KJ3Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì Í Ç�Ë�Í!Ò Ó¦Ç¦É�ÓÞâ Ì!Æ>Ø&ò× Ó¦× Í Ó1ð Ü!ÖcÜ�Í × Ó¦Õ × É�ÕMÒ!Æ>Ç�Ë�ÍMö�Ë�É�Õ#Ç¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæçÍ ÈYÓ�Ó�ËÞá!Æ>Ì�âcÒ Í Ç�Ë�É|ÈÊ× Í ÈÊæ³ø#Ô�É�Ì × Ó¦ÕMÍÞð�Ø�ÆhÔ�É�Ì ×�ÖǰÉ>Ë�Ì Í í Æ&Ë�Ó�Ü�ß�× æ�ÈÊÍcØ�Ó�Û:Ó¦Ç�Ë�Ø�Ó¦× × æ�ÈYÍcÒ!Æ>Ç�Ë+Ö ÈÊÍa@ ÷ Ø�Ó�ð�Ó¦ÈõÔ�É�ÈÊá Ü�Ó¦Ô�Ç¦× É_ǦÉ�á Ì�Ö�èhÓ¦× × æ�Ó°á Ó¦Ì Ó¦ÈÊÓ¦× ò× æ�Ó z = x+ix′/λ, z = x−ix′/λ, Í_Ø�É�Ǧá É&Ü�ß>Ѧâ�Ó¦ÈÊÇ�ÖhÈÊÓ�Ë�É£ð�Í Ô�É�ÕhÍ Ç¦Ç�Ü�Ó�ð�É�Ø�Æ>× Í�Ö:Ô Ì Í�Ë�Í Ò Ó¦Ç£Ô�É�ê¦ÉÇ�Ü!â Ò!Æ&ÖMá!Æ>ÌmÒ Í Ç�Ë�É|ÈÊ× Í ÈÊæ³ømÔ�É�Ì × Ó¦Õaà!É�á Í Ç£Æ>× × É�Õ#ØhÈÊÉ�× É�ê¦Ì!Æ>ÎÐÍ ÍML = Nµ@ ÷ É>Ñ£ß�ÈÊÓ¦ÈÏÎ3â × Ô í Í ÚO$ÐÖ òá�â × É�Ø�Æ V (z, z, y′, y) = zz̄ + βV (2)(y′, y) + y′(k12z 2 + k11zz̄ + k̄12z̄ 2) + + y(k22z 2 + k21zz̄ + k̄22z̄ 2) + V (4)(z, z̄, y′, y), β ì × Ó¦Ô�É>Ë�É�Ì!Æ&ÖmØ�Ó�Û:Ó¦Ç�Ë�Ø�Ó¦×!×!Æ&Öaà!Æ k12, k11, k21, k22 ì Ô�É�ÈÊá Ü�Ó¦Ô�Ç¦× æ�ÓÐá É�Ç�Ë�É+Ö × × æ�Ó>@3P_â × Ô í Í Ú V ÈÊÉ+èÞ× É|á É£ð�É�Ý�Ì!Æ&Ë�ß|Ë&Æ>Ô Í ÈîÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È�à�Ò�Ë�ÉÞÓ¦Ózá É&Ü�×!Æ&Öbá Ì É�Í�Ñ£Ø>É+ð�×!Æ&Öbá É|Ø�Ì Ó¦ÈÊÓ¦× Í τ ØÞÇ¦Í Ü!ââ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í ÕGØ�É>Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× × É�ê¦É|ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�ÖMÍ ÈÊÓ¦Ó�ËcØ�Í ð V ′ = V ′ 0 + o(V ′ 0), ê�ð�Ó V ′ 0 = V ′(2)(y′, y) + Gz2z̄2, á Ì Ícö�Ë�É�ÈÏÎÐÉ�Ì ÈYÆ V ′(2)(y′, y) Ö Ø&Ü!Ö Ó�Ë�Ç�ÖmÉ>Ë�Ì Í í Æ&Ë�Ó�Ü�ß�× ÉhÉ�á Ì Ó�ð�Ó�Ü�Ó¦× × É�Õaà!Æ_á É�Ç�Ë�É+Ö × ×!Æ&Ö G É�á Ì Ó�ð�Ó�Ü!Ö Ó�Ë�Ç�ÖhÍ�Ñkâ�Ç�Ü�É�Ø�Í�Ö V ′(4)(z, z̄) = Gz2z̄2. ë3Ì É�Ø�É£ð!Ö_ǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â Ú°ÛhÍ Ó�Ø�æ�Ò Í Ç�Ü�Ó¦× Í�Öaàá É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦È G = 1 2 [(b2 − b1λ 2)Rek12 + (b2 + b1λ 2)Rek11]. (6) QÊÇ�Ü�Í G < 0, Ë�É|×�â+Ü�Ó¦Ø�É�ÓÐÌ Ó�Ù:Ó¦× Í ÓzÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæäãIH�ékÆ>Ç¦Í ÈÊá�Ë�É>Ë�Í Ò Ó¦Ç£Ô ÍMâ�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É à�Ó¦Ç�Ü�Í G > 0ì Ë�ÉG× Ó�â�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É @Q93É�ö¦ÎÐÎÐÍ í Í Ó¦×�Ë�æ k12, k11 ×!Æ�ø�É£ð!Ö�Ë�Ç�ÖõÍ�ÑÞâ�Ç�Ü�É�Ø�Í�Ö V ′(3)(z, z̄, y′, y) = 0.þ Æ>ÈÊÓ�Ë�Í È�à³Ò�Ë�ÉùØ>Ó�Ü�Í Ò Í × æ kjs (j, s = 1; 2) Ü�Í × Ó¦Õ × ÉõÑ+Æ>Ø>Í Ç�Ö�ËùÉ>Ëõá!Æ>Ì!Æ>ÈÊÓ�Ë�Ì!Æ β, Ë�ÉõÓ¦Ç�Ë�ßá Ì Ó�ð�Ç�Ë>Æ>Ø�Í ÈÊæ ØmØ�Í ð�Ó kjs = k0 js + βkβ js. ÷ ǦØ�É�Ú-É�Ò Ó¦Ì Ó�ð�ß à�ð Ü!Ö�Ø�Ó�Ü�Í Ò Í × æ G Í ÈÊÓ¦Ó�È G = = G0 +βGβ, ê�ð�Ó G0 á É&Ü!â Ò!Æ>Ó�Ë�Ç�ÖmÎÐÉ�Ì ÈYÆ�Ü�ß�× É�Õ|Ñ+Æ>ÈÊÓ¦× É�ÕcØ:á Ì!Æ>Ø>É�ÕcÒ!Æ>Ç�Ë�ÍmÌ!Æ>Ø�Ó�× Ç�Ë�Ø�Æ#ãSR�é k×!Æ k0. ë3Ì Í|Ø�æ�Ý�É>Ì Ó°á É>Ç�Ë�É�Ö × × É�Õ β ð�É�Ç�Ë&Æ&Ë�É�Ò × É_ÈYÆ�Ü�É�Õaà�Ñ£×!Æ>Ô G ǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËzǦÉÐÑ£×!Æ>Ô�É�È G0,á É�ö�Ë�É�ÈQâMð Ü!ÖGÌ Ó�Ù:Ó¦× Í�Ö�Ñ+Æ�ð¹Æ+Ò ÍGâ�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É�Ç�Ë�ÍGð�É�Ç�Ë&Æ&Ë�É�Ò × É#É�á Ì Ó�ð�Ó�Ü�Í�Ë�ß#Ø�Ó�Ü�Í Ò Í × æ k0 1s (s = = 1; 2). ô Æ�ø�É£ð�Í È�Í ø#Í�ÑzÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÓ¦ÕGÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ¿Ü�Í × Ó¦Õ × æ³øbÆ�Ü�ê¦Ó¦Ý�Ì!Æ>Í Ò Ó¦Ç¦Ô Í øMâ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í Õ −(2ıλ+k)k0 12 +k0 22− a1 2 = 0, −kk0 11 +k0 21 +a1 = 0, −2ıλk0 22−κk0 12− ıa2 2λ = 0, −κk0 11 = 0. �)� ��� ��� �� ������������������� ��� ����� � � �"!#��� � ë3É�Ü!â Ò!Æ>Ó¦È k0 11 = 0, k0 12 = ı(a1λ+ a2/2λ) 4λ2 − k − 2ıkλ , G0 = − k(b2 − b1λ 2)(2a1λ 2 + a2) 2[(4λ2 − κ)2 + 4k2λ2]2 . ü1Ò Ó�Ø�Í ð�× É à�Ò�Ë�É3Ñ£×!Æ>Ô G0 á Ì É&Ë�Í Ø�É�á É&Ü�É�èhÓ¦×hÑ£×!Æ>Ô�âhØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í�Ö G? = (b2−b1λ 2)(2a1λ 2 +a2).ë3É£ð�Ç�Ë&Æ>Ø&Ü!Ö�Ö#Ñ£×!Æ+Ò Ó¦× Í�ÖMØ�Ó�Ü�Í Ò Í × aj, bj (j = 1; 2) Í�Ñcãµ;�é�à á É�Ç�Ü�ÓÐá Ì Ó¦É�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�Ø�Æ>× Í ÕMá É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÓ¦Ó_Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó G? = µ 2δ3 ∆2 cos2 θ0 cos2 ψ0, ∆ = σ + 2(d+ α cosψ0) + 3µσ(d+ α cosψ0) 2. (7) 9ÐÆ&ÔÁÇ�Ü�Ó�ð!â�Ó�ËGÍ�Ñ�ã � é�àaË�Ì Ó¦× Í Ó>à)ð�Ó¦Õ Ç�Ë�Ø>â Ú°ÛhÓ¦ÓÞ×!Æ#ÈYÆ>ǦÇ�â P, ð�Ó�ܹÆ>Ó�ËGÆ>Ç¦Í ÈÊá�Ë�É>Ë�Í Ò!ӦǦÔ!Í»â�Ç�Ë�É�Õ òÒ Í Ø�ækÈYÍÏÔ�É&Ü�Ó¦Ý�Æ>× Í�ÖÏÎÐÍ�Ñ£Í Ò Ó¦Ç¦Ô É�ê¦ÉÁÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô Æ�àÊÍ Ç¦Ô Ü�Ú±Ò!Æ&ÖÏÇ�Ü!â Ò!Æ>ÍúÉ�Ý�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�Ö G? Ø�× É&Ü�ß @ô Ó�Ë�Ì�â+ð�× ÉÞØ�Í ð�Ó�Ë�ß à�Ò�Ë�É|Ì!Æ>Ø�Ó¦× Ç�Ë�Ø�É G? ×�â+Ü�Ú Ø>É>Ñ£ÈÊÉ�èÞ× ÉhØdÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÍ øbÇ�Ü!â Ò!Æ&Ö øUT?�é cos θ0 = 0; 2) cosψ0 = 0; 3)∆ = 0. ë3Ó¦Ì Ø�É�ÓYÍ�Ñkö�Ë�Í øzâ�Ç�Ü�É�Ø�Í Õ:É>Ñ£×!Æ+Ò!Æ>Ó�Ë�à&Ò�Ë�ɱÉ�Ǧ߱Ø�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�ÖÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô ÆmǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�Ë#Ç:Ø�Ó¦Ì�Ë�Í Ô�Æ�Ü�ß�Ú_@)ë3Ì Í\ö�Ë�É�ÈûÔ�É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ë>Æ ϕ Ç�Ë>Æ>× É�Ø�Í�Ë�Ç�Ö í Í Ô Ü�Í Ò Ó¦Ç¦Ô�É�Õa@ÅKÆ>Ø�Ó¦× Ç�Ë�Ø�É cosψ0 = 0 Ø�æ�á É&Ü�×�Ö Ó�Ë�Ç�Ö»Ë�É&Ü�ß�Ô�ÉMË�É�ê�ð¹Æ�àSÔ�É�ê�ð¹ÆMÉ�Ç¦ß à)Ø&ð�É&Ü�ßMÔ�É>Ë�É�Ì É�Õ\ð�Ø�Í�èhÓ�Ë�Ç�ÖË�É�Ò Ô Æ P, á!Æ>Ì!Æ�Ü Ü�Ó�Ü�ß�×!Æ#É�Ç¦Í Oz ÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô Æ�@�V1Ë�É#èhÓhÔ�Æ>Ç£Æ>Ó�Ë�Ç�ÖÁË�Ì Ó�Ë�ß�Ó¦ê£ÉbÇ�Ü!â Ò!Æ&Öaà)Ë�ÉMÌ!Æ>Ç�òǦÈYÆ&Ë�Ì Í Ø�Æ&Ö\Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó_ð Ü!Ö ∆ Ô Æ>Ô�Ô Ø�Æ�ð�Ì!Æ&Ë�× æ�Õ�Ë�Ì Ó�ø�Ò Ü¹Ó¦×ÁÉ>Ë�× É�ǦÍ�Ë�Ó�ܹß>× É (d + α cosψ0),Ü�Ó¦ê�Ô ÉmØ�Í ð�Ó�Ë�ß àaÒ�Ë�ÉmÑ£×!Æ>Ô�Ó¦ê¦ÉÞð�Í Ç¦Ô Ì Í ÈÊÍ ×!Æ>×�Ë>Æ#ǦÉ�Ø�á!Æ+ð¹Æ>Ó�Ë#ǦÉcÑ£×!Æ>Ô�É�ÈûØ�ækÌ!Æ&èdÓ¦× Í�Ö 1 − 3µσ2Í Ü�Íaà�Ç�â Ò Ó�Ë�É�È»ÎÐÉ�Ì ÈQâ+Ü�ã =�é�à�ǦÉ3Ñ£×!Æ>Ô É�ÈÁØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í�Ö M2l2−3mJ. ë3É�ö�Ë�É�ÈQâ ∆ > 0 Ø3Ç�Ü!â Ò!Æ>Ó>àÔ�É�ê�ð¹Æ m > M 2l2/3J. QÊÇ�Ü�Í_èdÓ m < M 2l2/3J, Ë�ɱâ�Ç�Ü�É�Ø�Í Ó ∆ = 0 É�á Ì Ó�ð�Ó�Ü!Ö Ó�Ë1ð�Ø�ưѣ×!Æ+Ò Ó¦× Í�Öá!Æ>Ì!Æ&ÈYÓ�Ë�Ì!Æ α, Ô É&Ë�É�Ì æ�ÓzǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â Ú°ËXW�Ô Ì Í�Ë�Í Ò Ó¦Ç¦Ô Í È7W�Ë�É�Ò Ô Æ>È�Ñ+Æ>Ô Ì Ó¦á Ü�Ó¦× Í�ÖGá Ì�â�èÞÍ × æ3@ ÷ Ñ+Æ>Ô Ü�Ú±Ò Ó¦× Í Ó±É>Ë�ÈÊÓ�Ë�Í È�à�Ò�Ë�É_Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó�ð Ü!Ö G0 ø Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì Í�Ѧâ�Ó�ËhÇ¦Ô É�Ì É�Ç�Ë�ß_Ñ+Æ&Ë>â�ø�Æ>× Í�ÖØ�É&Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× × É�ê¦É5ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�ÖÐá ÉYW�Ô Ì Í�Ë�Í Ò Ó¦Ç¦Ô!Í È7W�á Ó¦Ì Ó£ÈÊÓ¦× × æ5È x, ẋ L C Nµ@+ë3É�ö�Ë�É�ÈQâ3ö�Ë�ɰØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í ÓÈÊÉ+èÞ× ÉdÍ Ç¦á É&Ü�ß>Ñ£É�Ø�Æ&Ë�ßdð Ü!ÖMÉ�á Ì Ó�ð�Ó�Ü�Ó¦× Í�ÖGÉ�á�Ë�Í ÈYÆ�Ü�ß�× æ³ø#ø Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì Í Ç�Ë�Í ÔGÇ�Ë>Æ>Ý�Í Ü�Í�Ñ£Í Ì�â Ú°ÛhÓ¦ê¦Éâ�Ç�Ë�Ì É�Õ Ç�Ë�Ø�Æ�@ ��¬�ZK[<\ ];[<^F_�` acb>d e f#g�[<h�i�jlk&`�m)d�`�n�oqp r�s�sSt u8vYsIw#r8x�t y t z/r w�t {�o|t o~}<��t w�t�}(r8y�}(r�sSv/sF�����&¬6{8���*r w���¬K�;o r8y ��sSt�s�r8o � �;p�p�y t�}(r w�t {�o s�¬��°�8������¬-�����)� ¬"��� ¬��/����ª¶���(��¬�+¬�ZK[<\ ];[<^K_�` a�b>d e f#g�[<h�i�j&k&`�m)d�`�n�o�w���v�sS{���v�r�sS�"��p�w�{8w�t�}Kx)v(� r�u"t {��3{8��r�p r�s�sSt u�v(y �csIw#r8x�t y t z(v/�?sS��sIw�v(���Kt w��?{�o�v }<��t w�t�}(r8y>u8r8��t�r8x�y v&���&�Kv(o ��¬ �K}(}�¬)��}�¬"�)s�¬���r w�¬ ��r8p){�y t[¬"�°�8�����&�?� �?¡�¢�¢�¬���� ¬���£-¤�ª¶�/�8¥�¬ ¦ ¬*§ ¨8© ª�«<¬ ­�®�¯&` °�` a ±c²#¬)¨ ³c´-«(©�¯&`¶µ;`)·Q��¢£��������¯)�Ê�����>�����3®¦���������+�����¦�����Ð�������������+�¦� ��¯a´±�&���&��� ��������¢��+´Ð�«�+ª�������a¬��?¸Q����� ¹�·Ê��®£¢�¬£�&®+� ¢+�����/��¥���¬-�°�8��¥³��¬ º �)»¼+�½"¾)����.C��13�"+ !¿13�"+(�����F�F1 !�5"� �������FÀ���ÀÂÁ��"¾>� ����4��-Ã7����!#0�� Ä�Å�Æ�Ç-È Å�Æ�Ç�É Ê Ë È-ÈKÌSË�ÆÍ̼Î�Ï Ð Å�Ä Ñ Ò ÌÔÓ�Ë ­Q���&®£������� ¦ ��¬ �-£+¬ � ¦ ? D>D
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123721
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0321-1975
language Russian
last_indexed 2025-11-27T12:53:11Z
publishDate 2003
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
record_format dspace
spelling Позднякович, А.Е.
Савченко, А.Я.
2017-09-09T05:53:27Z
2017-09-09T05:53:27Z
2003
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
0321-1975
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721
531.38
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исключая случай вертикального расположения оси колебаний маятника и случай, когда ось колебаний осциллятора параллельна оси колебаний маятника.
ru
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Механика твердого тела
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
Article
published earlier
spellingShingle Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
Позднякович, А.Е.
Савченко, А.Я.
title Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_full Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_fullStr Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_full_unstemmed Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_short Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_sort пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721
work_keys_str_mv AT pozdnâkovičae passivnaâstabilizaciâmalyhkolebaniifizičeskogomaâtnikaotnositelʹnonaklonnoiosi
AT savčenkoaâ passivnaâstabilizaciâmalyhkolebaniifizičeskogomaâtnikaotnositelʹnonaklonnoiosi