Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси

Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исклю...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2003
Автори: Позднякович, А.Е., Савченко, А.Я.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2003
Назва видання:Механика твердого тела
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123721
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1237212025-02-09T15:42:12Z Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси Позднякович, А.Е. Савченко, А.Я. Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исключая случай вертикального расположения оси колебаний маятника и случай, когда ось колебаний осциллятора параллельна оси колебаний маятника. 2003 Article Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721 531.38 ru Механика твердого тела application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассмотрена задача о пассивной стабилизации [1, 2] физического маятника с помощью линейного осциллятора с трением. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия маятника, ось которого составляет с вертикалью некоторый постоянный угол. Показано, что стабилизация происходит, исключая случай вертикального расположения оси колебаний маятника и случай, когда ось колебаний осциллятора параллельна оси колебаний маятника.
format Article
author Позднякович, А.Е.
Савченко, А.Я.
spellingShingle Позднякович, А.Е.
Савченко, А.Я.
Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
Механика твердого тела
author_facet Позднякович, А.Е.
Савченко, А.Я.
author_sort Позднякович, А.Е.
title Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_short Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_full Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_fullStr Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_full_unstemmed Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
title_sort пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2003
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123721
citation_txt Пассивная стабилизация малых колебаний физического маятника относительно наклонной оси / А.Е. Позднякович, А.Я. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 97-100. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series Механика твердого тела
work_keys_str_mv AT pozdnâkovičae passivnaâstabilizaciâmalyhkolebanijfizičeskogomaâtnikaotnositelʹnonaklonnojosi
AT savčenkoaâ passivnaâstabilizaciâmalyhkolebanijfizičeskogomaâtnikaotnositelʹnonaklonnojosi
first_indexed 2025-11-27T12:53:11Z
last_indexed 2025-11-27T12:53:11Z
_version_ 1849948104603729920
fulltext ��������� �� ������� ��� �������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)� �- �� � �!�/.10324�5� � 687:9<;>=�?�@ =�A B© C>D�D =�@!EGFIH:FKJML!N�OQPSRST�L�U�V4W8XYEGF[Z\FY]_^ U�W4`�P4TaLJbEc]d]:ebfhgbE#Zi]:jkEmlheMnGeGo8EmpbeGZrq/EcnGs<truMvdnbH3lhEmgbebwx\eGo8ebyMHz]:uMv|{kv}q/EmZMj_gbebubE~v|j_g�vc]:ebjzH1nG�hg�v�gbEmuMn\v|gbg�v|w�vc]:e �!������� ���������&�������>���&�k�5�&���������������3���������+�&�����������h� ������  ¡Q������������¢£��¤��5�!��¥�������¢+�5�Y���¦� ��§8¨�©G�&������������¤��5�¦�«ª���+����¥������&�k�K�������������a¬&­Q���&®£������¯#®¦�«�&�����+¥°�����&� ����������������¢£���±®¦���������������¦�����°�����&��²³�����+¥°�&���������������+¥°�!��¥���ª����¢+���£�¦��¨8¢£����������¤��³���¦����������¥����8�4����������¢+���&¨�©M����¢£��������¯)�°���¦������¥�����¯)�°®£¤���� ¬+­Q��¢£���������&�������k���������+�&���������+¥�������&�µ´¦���&�������&��¢+�&©4�&��¥h�«�&®£�&���z����������¢+���&¨�����¤��°�&���������&��²³�����+¥_�¦���z¢£���&���¦�������_�!��¥�������¢£�1�:�«�&®£�&������¢¦��¤¶�>��¦��¨k¢£���&���¦�������°�¦�����+����¥������&�³�&���&�����&���&¨��&�³�¦���±¢¦���&���¦�������1�!��¥�������¢+��¬ · F³JML¹¸�º�^ P4L�U�Ta^»N�^ OQ^�W4V8FkJM¼4V4U�`�OQ`�P4V4`\½)¼4^ U�P4`�P4V4¾¿OQU�VSÀÁ`�P4VSRÂT¿Ta^ P4L�P4V4W4` ¸�TaL Ã Ä ½»U�V)OK½�F¹ÅKÆ>ǦǦÈÊÉ>Ë�Ì Í ÈÏÎÐÍ�Ñ¦Í Ò Ó¦Ç¦Ô Í ÕmÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô S, ǦÉ�Ø�Ó¦Ì�ÙhÆ>Ú°Û:Í ÕmÔ�É&Ü�Ó¦Ý�Æ>× Í�ÖÞÉ>Ë�× É�ǦÍ�Ë�Ó�Ü�ß�× ÉÉ�ǦÍaà�×!Æ>á Ì!Æ>Ø&Ü!Ö Ú°Û:Í Õ#Ø�Ó¦Ô�Ë�É�Ì#Ô�É>Ë�É�Ì É�Õ ea É�Ý�Ì!Æ&Ѧâ�Ó�ËdÇ1Ø�Ó¦Ì�Ë�Í Ô�Æ�Ü�ß�Úäãå×!Æ>á Ì!Æ>Ø&Ü�Ó¦× Í Ó¦ÈÏØ�Ó¦Ô�Ë�É�Ì!ÆÇ¦Í Ü�æçË+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�Í�é�â ê¦É&Ü 90◦ − θ0 @�ë1â�Ç�Ë�ß C ìcí Ó¦×�Ë�ÌGÈYÆ>ǦÇ3Ë�Ó�Ü¹Æ S, É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò Í È�Ó¦ê¦É�ã í Ó¦×�Ë�Ì!Æ�éÉ�Ì�Ë�É�ê¦É�×!Æ�Ü�ß�×�â Úîá Ì É�Ó¦Ô í Í Ú�×!ưÉ�Ǧ߱Ø�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�Ö:Ò Ó¦Ì Ó�Ñ O. ï Ø>Ö�èdÓ¦ÈGÇYË�É�Ò Ô�É�Õ O × Ó¦á É£ð�Ø�Í�èÞ×�â Úá Ì�Ö ÈÊÉ>â ê¦É&Ü�ß�×�â ÚäÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈQâ»Ô�É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ë Oxyz, Ë�Ì Ó�Ë�ß>Ö»É�ǦßMÔ É>Ë�É�Ì É�ÕÁǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËbÇ|É�Ǧß�ÚñØ�Ì!Æ�òÛ:Ó¦× Í�Ö ez = ea, Ø>Ë�É�Ì!Æ&ÖGÉ�ǦßcÌ!Æ>Ǧá É&Ü�É+èhÓ¦×!ÆÞê¦É�Ì Í�Ñ£É�×�Ë&Æ�Ü�ß�× É à�á Ó¦Ì Ø�Æ&Ö�É�Ç�ß ì Ë&Æ>Ô Í ÈóÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È�àÒ�Ë�É ex = ey × ea ãåǦÈ�@!Ì Í Ç�â × É�Ô�é�@ ô Æ>á Ì!Æ>Ø�Í È�á ÉÞØ�Ó¦Ô�Ë�É�Ì�â OC É�Ç¦ß Ox1ǦØ>Ö�Ñ+Æ>× × É�ÕÐÇÊÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô É�ÈMÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæõÔ É�É�Ì òð�Í ×!Æ&Ë�à!Ë�Ì Ó�Ë�ß>ÖbÉ�Ǧß|ö�Ë�É�ÕbÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ Oz1ǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËcÇ Oz. ÷ á Ü�É�Ç¦Ô É>Ç�Ë�Í Ox1z,Ø&ð�É&Ü�ßÐá Ì�Ö ÈÊÉ�Õaà�á Ì É£ø�É+ð!Ö�Û:Ó¦Õ|Ò Ó¦Ì Ó�ѰË�É�Ò òÔ�â P0 É�Ç¦Í Ox1 á É£ðùâ ê�Ü�É�È ψ0, ǦÉ&òØ�Ó¦Ì�ÙhÆ>Ó�Ë|Ô�É&Ü�Ó¦Ý�Æ&Ë�Ó�Ü�ß�× É�Ó±ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í Ó3ÈYÆ�òË�Ó¦Ì Í!Æ�Ü�ß�×!Æ&Ö¿Ë�É�Ò Ô Æ P. ô Æúö�Ë>âûË�É�Ò Ô�âð�Ó¦Õ Ç�Ë�Ø>â Ú°Ë&à�×!Æ&Ì�Ö ð!â�ÇGÇ¦Í Ü�É�ÕîË+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�ÍaàÜ�Í × Ó¦Õ ×!Æ&ÖÐâ á Ì�â ê�Æ&ÖzÇ¦Í Ü¹Æ5ÍÐÇ¦Í Ü¹Æ5Ø>Ö�Ñ£Ô�É�ê¦ÉË�Ì Ó¦× Í�Öa@�ü1Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò Í È |OC| = l, |OP0| = l0, ÈYÆ>ǦÇ�æ-ÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô�ÆmÍ�Ë�É�Ò Ô Í P á Ì Í òÈÊÓ¦ÈõǦÉ�É&Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø�Ó¦×!× É_Ñ+Æ M Í m, ÆÐÔ�É&òö¦ÎÐÎÐÍ í Í Ó¦×�Ë�æýâ á Ì�â ê¦É�Õ/Íûð�Í Ç¦Ç¦Í á!Æ&Ë�Í Ø&ò× É�ÕÞÇ¦Í Ü ì Ñ+Æ κ̃ Í k̃. ÷ æ�Ý�Ó¦Ì Ó¦ÈùØzÔ�Æ+Ò Ó�òÇ�Ë�Ø�ÓdÉ�Ý�É�Ý>Û:Ó¦× × æ³ø�Ô É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ëmâ ê¦É&Ü ϕÈÊÓ�èdð!â�É�Ç�Ö ÈÊÍ Ox Í Ox1 àkÆÁË&Æ>Ô�èdÓÌ!Æ>ǦÇ�Ë�É+Ö × Í Ó ũ É>ËGË�É�Ò Ô Í P ð�ÉGË�É�Ò òÔ Í P0. þ Æ>á Í Ç¦æ�Ø�Æ&ÖúÌ!Æ�ð�Í�â�Ç�ò«Ø�Ó¦Ô�Ë�É�Ì�Ë�É�Ò Ô Í P ØÁǦØ>Ö�Ñ+Æ>× × É�Õ�ÇmË�Ó�Ü�É�ÈÿÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊÓbÔ É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ë rP = l1ex1 + ũeP Í|â Ò Í�Ë�æ5Ø�Æ&Öaà Ò�Ë�É ω = ϕ̇ez, ×!Æ�ø�É+ð�Í È vP = ˙̃ueP + ϕ̇ez × (l1ex1 + ũeP ) = = ˙̃ueP + ϕ̇(l1 + u cosψ0)ey1 . � É�ê�ð¹ÆÐð Ü!ÖmÔ Í × Ó�Ë�Í Ò!Ó¦Ç¦Ô É�Õ#ö¦× Ó¦Ì ê¦Í Í#Ì!Æ>ǦǦÈYÆ&Ë�Ì Í Ø�Æ>Ó¦ÈÊÉ�Õ#Ç¦Í Ç�Ë�Ó£ÈÊæá É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈîØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó T = 1 2 {Jϕ̇2 +m[ ˙̃u2 + ϕ̇2(l1 + ũ cosψ0) 2]}, ê�ð�Ó J ì ÈYÉ>ÈYÓ�×�ËÞÍ × Ó¦Ì í Í ÍMË�Ó�ܹÆ|É>Ë�× É�ǦÍ�Ë�Ó�Ü�ß�× ÉÞÉ�ǦÍMØ�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�Öa@ ��� ��� ��� �� ������������������� ��� ����� � � �"!#��� � ë3É&Ë�Ó¦× í Í!Æ�Ü�ß�×!Æ&Öbö¦× Ó¦Ì ê¦Í�ÖbÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæçÑ+Æ�ð¹Æ>Ó�Ë�Ç�ÖbÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°Û:Í ÈÂÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È Π = −g(MrC · ν +mrP · ν) + 1 2 κ̃(ũ− ũ0) 2. þ ð�Ó¦Ç�ß g ì â�ǦÔ�É�Ì Ó¦× Í Ó_Ç¦Í Ü�æ¿Ë+Ö�èhÓ¦Ç�Ë�Íaà¹ÆdÓ�ð�Í × Í Ò × æ�ÕbØ�Ó¦Ô�Ë�É�ÌbØ�Ó¦Ì�Ë�Í Ô Æ�Ü�Í ν Í ÈÊÓ¦Ó�ËÞØ�Í ð ν = cos θ0 cosϕ ex1 − cosθ0 sinϕ ey1 − sin θ0 ez. þ Æ>á Í�Ù:Ó�Èûâ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í�Ö�ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�ÖGð¹Æ>× × É�Õ\ÈÊÓ�ø Æ>× Í Ò Ó¦Ç¦Ô�É�Õ»Ç¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ<Ø#ÎÐÉ�Ì ÈÊÓ%$_Æ>ê¦Ì!Æ>×�èdÆcØ>Ë�É&òÌ É�ê�É|Ì É£ð¹Æ d dt ∂L ∂q̇j − ∂L ∂qj = Qj(q̇s, qs) (j, s = 1; 2), ê�ð�Ó L = T −Π = 1 2 {Jϕ̇2 +m[ ˙̃u2 + ϕ̇2(l1 + ũ cosψ0) 2]}+ g{[Ml+m(l1 + ũ cosψ0)] cos θ0 cosϕ + + mu sinψ0 sin θ0} − 1 2 κ̃(ũ− ũ0) 2. ë3É�Ü!â Ò Í È {J +m(l1 + ũ cosψ0) 2]}ϕ̈+ 2m cosψ0(l1 + ũ cosψ0)ϕ̇ ˙̃u + + g[Ml +m(l1 + ũ cosψ0)] cos θ0 sinϕ = 0, (1) m¨̃u−m cosψ0(l1 + ũ cosψ0)ϕ̇ 2 −mg(cosψ0 cos θ0 cosϕ+ sinψ0 sin θ0) + κ̃(ũ− ũ0) = −k̃ ˙̃u.61Ì!Æ&Ø�× Ó¦× Í�Öùã�?�éYð�É�á�â�Ç¦Ô Æ>Ú°ËcÌ Ó�Ù:Ó¦× Í Ó ϕ(0) = 0, ũ(0) = ũ0 + mg κ̃ cos(θ0 − ψ0), ϕ̇(0) = 0, ˙̃u(0) = 0, (2) Ô�É>Ë�É�Ì É�ÈQâ#ǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â�Ó�Ëmá É&Ü�É�èhÓ¦× Í ÓÐÌ!Æ>Ø�× É�Ø�ӦǦÍ�ÖbÍ�Ѧâ Ò!Æ>Ó¦ÈÊÉ�ÕbÈÊÓ�ø�Æ>× Í Ò Ó¦Ç¦Ô É�ÕGÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ3@ ÷ Ø�Ó�òð�Ó¦È�Ý�Ó�Ñ£Ì!Æ&ѦÈYÓ�Ì × æ5Ózá Ó¦Ì Ó¦ÈÊÓ¦× × æ5ÓzÍMá!Æ>Ì!Æ>ÈÊÓ�Ë�Ì æçá É|ÎÐÉ�Ì ÈQâ£Ü¹Æ>È u = ũ l , τ = √ Mgl J t, µ = ml2 J , d = l1 l , σ = J Ml2 , κ = J Mgl κ̃ m , k = √ J Mgl k̃ m . (3) ë3Ó�Ì Ó�ø�É£ð!ÖbÔ#Ø�É>Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× Í�Ö È ϕ = x, u = y + α, ϕ̇(0) = ẋ, u̇ = ẏ, (α = ũ0 l + mg lκ̃ cos(θ0 − ψ0)) Í»É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò!Æ&ÖÁÙ_Ë�Ì Í ø�É�Èçð�Í ÎÐÎÐÓ¦Ì Ó¦× í Í Ì É�Ø�Æ>× Í Ócá É τ, á É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦Èçâ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í�ÖùØ�É&Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× × É�ê¦Éð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�Öcð Ü!ÖMÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæäã�?�é {1 + µ[d+ (y + α) cosψ0] 2} x′′ + 2µ[d+ (y + α) cosψ0] cosψ0 x ′ y′+ +{1 + µσ[d+ (y + α) cosψ0]} cos θ0 sin x = 0, y′′ + k y′ + κy − [d+ (y + α) cosψ0] cosψ0x ′2 + σ cosψ0 cos θ0(1 − cos x) = 0. � A &�"'('������)���*'(+(�-,���.�� �/� 0����213� .�4657� ��.�!(,8� ����9*:;� �<���"!/'�� ��= �&13���>+(�������?�-+(���-'��>+ !#.�@����&�)� ��.���������9*�-'�� 61Ò Í�Ë�æ�Ø�Æ&Öbá Ì Ó�ð�Ç�Ë&Æ>Ø&Ü�Ó¦×!Í Ó {1+µ[d+(y+α) cosψ0] 2}−1 = 1 δ [1−2 µ δ (d+α cosψ0) cosψ0 y+· · · ], δ = 1+µ(d+α cosψ0) 2, á É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈîÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°Û_â�Ú Ç¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈQâ#â Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í Õ x′′ + λ2x = a1x ′y′ + a2xy +X(3)(x′, x, y′, y) + · · · , (4) y′′ + ky′ + κy = b1x ′2 + b2x 2 + cos2ψ0 x ′2y + · · · . þ ð�Ó¦Ç¦ß λ2 = 1 δ [1 + µσ(d+ α cosψ0)] cos θ0 (λ2 > 0), a1 = −2 µ δ (d+ α cosψ0) cosψ0, b1 = (d+ α cosψ0) cosψ0, (5) a2 = − µ δ2 cosψ0 cos θ0{δσ − 2(d+ α cosψ0)[1 + µσ(d+ α cosψ0)]}, b2 = − σ 2 cosψ0 cos θ0,Î3â × Ô í Í�Ö X(3) ǦÉ+ð�Ó¦Ì�èÞÍ�ËÁÇ�ܹÆ>ê�Æ>Ó¦ÈÊæ�Ó#Ë�É&Ü�ß�Ô�É\× Ó¦Ò Ó�Ë�×!É>Õ�Ç�Ë�Ó¦á Ó¦×!Í�á É x′, x, ÈÊ× É�ê¦É>Ë�É�Ò Í òÓ¦ÈîÑ�ð�ӦǦßÞÍ#ð¹Æ�Ü�Ó¦Ó_É�Ý�É>Ñ£×!Æ+Ò Ó¦×!Æ|ǦÉ�Ø�É�Ô�â á × É�Ç�Ë�ßcÒ Ü�Ó¦× É�ØÞÌ!Æ&Ñ�Ü�É�èhÓ¦× Í�ÖbÝ�É&Ü�Ó¦ÓzØ�æ�ǦÉ�Ô�É�ê¦ÉÞá É�Ì�Ö ð�Ô ÆÈYÆ�Ü�É�Ç�Ë�Ía@ A FCBz¸)DKL�U�VSRm^!¸�V ÄFE º L�º V4W4` ¸�TaL�¾#½�¸�º L�¾4W4V4U�L¹¸�º V#VSN�½)W4^ ` Ä L3G>LhOQU�VSÀÁ`�P4VSRÊF�ÅKÆ>ǦǦÈÊÉ>Ë&òÌ Í È�Ø�É�á Ì É�Ç|É�Ý#â�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É�Ç�Ë�Íù×�â+Ü�Ó¦Ø>É�ê¦ÉGÌ Ó�Ù:Ó¦× Í�ÖùÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ�ãIH�é�@KJ3Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì Í Ç�Ë�Í!Ò Ó¦Ç¦É�ÓÞâ Ì!Æ>Ø&ò× Ó¦× Í Ó1ð Ü!ÖcÜ�Í × Ó¦Õ × É�ÕMÒ!Æ>Ç�Ë�ÍMö�Ë�É�Õ#Ç¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæçÍ ÈYÓ�Ó�ËÞá!Æ>Ì�âcÒ Í Ç�Ë�É|ÈÊ× Í ÈÊæ³ø#Ô�É�Ì × Ó¦ÕMÍÞð�Ø�ÆhÔ�É�Ì ×�ÖǰÉ>Ë�Ì Í í Æ&Ë�Ó�Ü�ß�× æ�ÈÊÍcØ�Ó�Û:Ó¦Ç�Ë�Ø�Ó¦× × æ�ÈYÍcÒ!Æ>Ç�Ë+Ö ÈÊÍa@ ÷ Ø�Ó�ð�Ó¦ÈõÔ�É�ÈÊá Ü�Ó¦Ô�Ç¦× É_ǦÉ�á Ì�Ö�èhÓ¦× × æ�Ó°á Ó¦Ì Ó¦ÈÊÓ¦× ò× æ�Ó z = x+ix′/λ, z = x−ix′/λ, Í_Ø�É�Ǧá É&Ü�ß>Ѧâ�Ó¦ÈÊÇ�ÖhÈÊÓ�Ë�É£ð�Í Ô�É�ÕhÍ Ç¦Ç�Ü�Ó�ð�É�Ø�Æ>× Í�Ö:Ô Ì Í�Ë�Í Ò Ó¦Ç£Ô�É�ê¦ÉÇ�Ü!â Ò!Æ&ÖMá!Æ>ÌmÒ Í Ç�Ë�É|ÈÊ× Í ÈÊæ³ømÔ�É�Ì × Ó¦Õaà!É�á Í Ç£Æ>× × É�Õ#ØhÈÊÉ�× É�ê¦Ì!Æ>ÎÐÍ ÍML = Nµ@ ÷ É>Ñ£ß�ÈÊÓ¦ÈÏÎ3â × Ô í Í ÚO$ÐÖ òá�â × É�Ø�Æ V (z, z, y′, y) = zz̄ + βV (2)(y′, y) + y′(k12z 2 + k11zz̄ + k̄12z̄ 2) + + y(k22z 2 + k21zz̄ + k̄22z̄ 2) + V (4)(z, z̄, y′, y), β ì × Ó¦Ô�É>Ë�É�Ì!Æ&ÖmØ�Ó�Û:Ó¦Ç�Ë�Ø�Ó¦×!×!Æ&Öaà!Æ k12, k11, k21, k22 ì Ô�É�ÈÊá Ü�Ó¦Ô�Ç¦× æ�ÓÐá É�Ç�Ë�É+Ö × × æ�Ó>@3P_â × Ô í Í Ú V ÈÊÉ+èÞ× É|á É£ð�É�Ý�Ì!Æ&Ë�ß|Ë&Æ>Ô Í ÈîÉ�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�È�à�Ò�Ë�ÉÞÓ¦Ózá É&Ü�×!Æ&Öbá Ì É�Í�Ñ£Ø>É+ð�×!Æ&Öbá É|Ø�Ì Ó¦ÈÊÓ¦× Í τ ØÞÇ¦Í Ü!ââ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í ÕGØ�É>Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× × É�ê¦É|ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�ÖMÍ ÈÊÓ¦Ó�ËcØ�Í ð V ′ = V ′ 0 + o(V ′ 0), ê�ð�Ó V ′ 0 = V ′(2)(y′, y) + Gz2z̄2, á Ì Ícö�Ë�É�ÈÏÎÐÉ�Ì ÈYÆ V ′(2)(y′, y) Ö Ø&Ü!Ö Ó�Ë�Ç�ÖmÉ>Ë�Ì Í í Æ&Ë�Ó�Ü�ß�× ÉhÉ�á Ì Ó�ð�Ó�Ü�Ó¦× × É�Õaà!Æ_á É�Ç�Ë�É+Ö × ×!Æ&Ö G É�á Ì Ó�ð�Ó�Ü!Ö Ó�Ë�Ç�ÖhÍ�Ñkâ�Ç�Ü�É�Ø�Í�Ö V ′(4)(z, z̄) = Gz2z̄2. ë3Ì É�Ø�É£ð!Ö_ǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â Ú°ÛhÍ Ó�Ø�æ�Ò Í Ç�Ü�Ó¦× Í�Öaàá É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦È G = 1 2 [(b2 − b1λ 2)Rek12 + (b2 + b1λ 2)Rek11]. (6) QÊÇ�Ü�Í G < 0, Ë�É|×�â+Ü�Ó¦Ø�É�ÓÐÌ Ó�Ù:Ó¦× Í ÓzÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæäãIH�ékÆ>Ç¦Í ÈÊá�Ë�É>Ë�Í Ò Ó¦Ç£Ô ÍMâ�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É à�Ó¦Ç�Ü�Í G > 0ì Ë�ÉG× Ó�â�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É @Q93É�ö¦ÎÐÎÐÍ í Í Ó¦×�Ë�æ k12, k11 ×!Æ�ø�É£ð!Ö�Ë�Ç�ÖõÍ�ÑÞâ�Ç�Ü�É�Ø�Í�Ö V ′(3)(z, z̄, y′, y) = 0.þ Æ>ÈÊÓ�Ë�Í È�à³Ò�Ë�ÉùØ>Ó�Ü�Í Ò Í × æ kjs (j, s = 1; 2) Ü�Í × Ó¦Õ × ÉõÑ+Æ>Ø>Í Ç�Ö�ËùÉ>Ëõá!Æ>Ì!Æ>ÈÊÓ�Ë�Ì!Æ β, Ë�ÉõÓ¦Ç�Ë�ßá Ì Ó�ð�Ç�Ë>Æ>Ø�Í ÈÊæ ØmØ�Í ð�Ó kjs = k0 js + βkβ js. ÷ ǦØ�É�Ú-É�Ò Ó¦Ì Ó�ð�ß à�ð Ü!Ö�Ø�Ó�Ü�Í Ò Í × æ G Í ÈÊÓ¦Ó�È G = = G0 +βGβ, ê�ð�Ó G0 á É&Ü!â Ò!Æ>Ó�Ë�Ç�ÖmÎÐÉ�Ì ÈYÆ�Ü�ß�× É�Õ|Ñ+Æ>ÈÊÓ¦× É�ÕcØ:á Ì!Æ>Ø>É�ÕcÒ!Æ>Ç�Ë�ÍmÌ!Æ>Ø�Ó�× Ç�Ë�Ø�Æ#ãSR�é k×!Æ k0. ë3Ì Í|Ø�æ�Ý�É>Ì Ó°á É>Ç�Ë�É�Ö × × É�Õ β ð�É�Ç�Ë&Æ&Ë�É�Ò × É_ÈYÆ�Ü�É�Õaà�Ñ£×!Æ>Ô G ǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�ËzǦÉÐÑ£×!Æ>Ô�É�È G0,á É�ö�Ë�É�ÈQâMð Ü!ÖGÌ Ó�Ù:Ó¦× Í�Ö�Ñ+Æ�ð¹Æ+Ò ÍGâ�Ç�Ë�É�Õ Ò Í Ø�É�Ç�Ë�ÍGð�É�Ç�Ë&Æ&Ë�É�Ò × É#É�á Ì Ó�ð�Ó�Ü�Í�Ë�ß#Ø�Ó�Ü�Í Ò Í × æ k0 1s (s = = 1; 2). ô Æ�ø�É£ð�Í È�Í ø#Í�ÑzÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÓ¦ÕGÇ¦Í Ç�Ë�Ó¦ÈÊæ¿Ü�Í × Ó¦Õ × æ³øbÆ�Ü�ê¦Ó¦Ý�Ì!Æ>Í Ò Ó¦Ç¦Ô Í øMâ Ì!Æ>Ø�× Ó¦× Í Õ −(2ıλ+k)k0 12 +k0 22− a1 2 = 0, −kk0 11 +k0 21 +a1 = 0, −2ıλk0 22−κk0 12− ıa2 2λ = 0, −κk0 11 = 0. �)� ��� ��� �� ������������������� ��� ����� � � �"!#��� � ë3É�Ü!â Ò!Æ>Ó¦È k0 11 = 0, k0 12 = ı(a1λ+ a2/2λ) 4λ2 − k − 2ıkλ , G0 = − k(b2 − b1λ 2)(2a1λ 2 + a2) 2[(4λ2 − κ)2 + 4k2λ2]2 . ü1Ò Ó�Ø�Í ð�× É à�Ò�Ë�É3Ñ£×!Æ>Ô G0 á Ì É&Ë�Í Ø�É�á É&Ü�É�èhÓ¦×hÑ£×!Æ>Ô�âhØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í�Ö G? = (b2−b1λ 2)(2a1λ 2 +a2).ë3É£ð�Ç�Ë&Æ>Ø&Ü!Ö�Ö#Ñ£×!Æ+Ò Ó¦× Í�ÖMØ�Ó�Ü�Í Ò Í × aj, bj (j = 1; 2) Í�Ñcãµ;�é�à á É�Ç�Ü�ÓÐá Ì Ó¦É�Ý�Ì!Æ&Ñ£É�Ø�Æ>× Í ÕMá É&Ü!â Ò!Æ>Ó¦ÈÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÓ¦Ó_Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó G? = µ 2δ3 ∆2 cos2 θ0 cos2 ψ0, ∆ = σ + 2(d+ α cosψ0) + 3µσ(d+ α cosψ0) 2. (7) 9ÐÆ&ÔÁÇ�Ü�Ó�ð!â�Ó�ËGÍ�Ñ�ã � é�àaË�Ì Ó¦× Í Ó>à)ð�Ó¦Õ Ç�Ë�Ø>â Ú°ÛhÓ¦ÓÞ×!Æ#ÈYÆ>ǦÇ�â P, ð�Ó�ܹÆ>Ó�ËGÆ>Ç¦Í ÈÊá�Ë�É>Ë�Í Ò!ӦǦÔ!Í»â�Ç�Ë�É�Õ òÒ Í Ø�ækÈYÍÏÔ�É&Ü�Ó¦Ý�Æ>× Í�ÖÏÎÐÍ�Ñ£Í Ò Ó¦Ç¦Ô É�ê¦ÉÁÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô Æ�àÊÍ Ç¦Ô Ü�Ú±Ò!Æ&ÖÏÇ�Ü!â Ò!Æ>ÍúÉ�Ý�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�Ö G? Ø�× É&Ü�ß @ô Ó�Ë�Ì�â+ð�× ÉÞØ�Í ð�Ó�Ë�ß à�Ò�Ë�É|Ì!Æ>Ø�Ó¦× Ç�Ë�Ø�É G? ×�â+Ü�Ú Ø>É>Ñ£ÈÊÉ�èÞ× ÉhØdÇ�Ü�Ó�ð!â Ú°ÛhÍ øbÇ�Ü!â Ò!Æ&Ö øUT?�é cos θ0 = 0; 2) cosψ0 = 0; 3)∆ = 0. ë3Ó¦Ì Ø�É�ÓYÍ�Ñkö�Ë�Í øzâ�Ç�Ü�É�Ø�Í Õ:É>Ñ£×!Æ+Ò!Æ>Ó�Ë�à&Ò�Ë�ɱÉ�Ǧ߱Ø�Ì!Æ&Û:Ó¦× Í�ÖÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô ÆmǦÉ�Ø�á!Æ�ð¹Æ>Ó�Ë#Ç:Ø�Ó¦Ì�Ë�Í Ô�Æ�Ü�ß�Ú_@)ë3Ì Í\ö�Ë�É�ÈûÔ�É�É�Ì�ð�Í ×!Æ&Ë>Æ ϕ Ç�Ë>Æ>× É�Ø�Í�Ë�Ç�Ö í Í Ô Ü�Í Ò Ó¦Ç¦Ô�É�Õa@ÅKÆ>Ø�Ó¦× Ç�Ë�Ø�É cosψ0 = 0 Ø�æ�á É&Ü�×�Ö Ó�Ë�Ç�Ö»Ë�É&Ü�ß�Ô�ÉMË�É�ê�ð¹Æ�àSÔ�É�ê�ð¹ÆMÉ�Ç¦ß à)Ø&ð�É&Ü�ßMÔ�É>Ë�É�Ì É�Õ\ð�Ø�Í�èhÓ�Ë�Ç�ÖË�É�Ò Ô Æ P, á!Æ>Ì!Æ�Ü Ü�Ó�Ü�ß�×!Æ#É�Ç¦Í Oz ÈYÆ&Ö�Ë�× Í Ô Æ�@�V1Ë�É#èhÓhÔ�Æ>Ç£Æ>Ó�Ë�Ç�ÖÁË�Ì Ó�Ë�ß�Ó¦ê£ÉbÇ�Ü!â Ò!Æ&Öaà)Ë�ÉMÌ!Æ>Ç�òǦÈYÆ&Ë�Ì Í Ø�Æ&Ö\Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó_ð Ü!Ö ∆ Ô Æ>Ô�Ô Ø�Æ�ð�Ì!Æ&Ë�× æ�Õ�Ë�Ì Ó�ø�Ò Ü¹Ó¦×ÁÉ>Ë�× É�ǦÍ�Ë�Ó�ܹß>× É (d + α cosψ0),Ü�Ó¦ê�Ô ÉmØ�Í ð�Ó�Ë�ß àaÒ�Ë�ÉmÑ£×!Æ>Ô�Ó¦ê¦ÉÞð�Í Ç¦Ô Ì Í ÈÊÍ ×!Æ>×�Ë>Æ#ǦÉ�Ø�á!Æ+ð¹Æ>Ó�Ë#ǦÉcÑ£×!Æ>Ô�É�ÈûØ�ækÌ!Æ&èdÓ¦× Í�Ö 1 − 3µσ2Í Ü�Íaà�Ç�â Ò Ó�Ë�É�È»ÎÐÉ�Ì ÈQâ+Ü�ã =�é�à�ǦÉ3Ñ£×!Æ>Ô É�ÈÁØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í�Ö M2l2−3mJ. ë3É�ö�Ë�É�ÈQâ ∆ > 0 Ø3Ç�Ü!â Ò!Æ>Ó>àÔ�É�ê�ð¹Æ m > M 2l2/3J. QÊÇ�Ü�Í_èdÓ m < M 2l2/3J, Ë�ɱâ�Ç�Ü�É�Ø�Í Ó ∆ = 0 É�á Ì Ó�ð�Ó�Ü!Ö Ó�Ë1ð�Ø�ưѣ×!Æ+Ò Ó¦× Í�Öá!Æ>Ì!Æ&ÈYÓ�Ë�Ì!Æ α, Ô É&Ë�É�Ì æ�ÓzǦÉ�É>Ë�Ø�Ó�Ë�Ç�Ë�Ø>â Ú°ËXW�Ô Ì Í�Ë�Í Ò Ó¦Ç¦Ô Í È7W�Ë�É�Ò Ô Æ>È�Ñ+Æ>Ô Ì Ó¦á Ü�Ó¦× Í�ÖGá Ì�â�èÞÍ × æ3@ ÷ Ñ+Æ>Ô Ü�Ú±Ò Ó¦× Í Ó±É>Ë�ÈÊÓ�Ë�Í È�à�Ò�Ë�É_Ø�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í Ó�ð Ü!Ö G0 ø Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì Í�Ѧâ�Ó�ËhÇ¦Ô É�Ì É�Ç�Ë�ß_Ñ+Æ&Ë>â�ø�Æ>× Í�ÖØ�É&Ñ£ÈQâ�Û:Ó¦× × É�ê¦É5ð�Ø�Í�èhÓ¦× Í�ÖÐá ÉYW�Ô Ì Í�Ë�Í Ò Ó¦Ç¦Ô!Í È7W�á Ó¦Ì Ó£ÈÊÓ¦× × æ5È x, ẋ L C Nµ@+ë3É�ö�Ë�É�ÈQâ3ö�Ë�ɰØ�æ�Ì!Æ&èhÓ¦× Í ÓÈÊÉ+èÞ× ÉdÍ Ç¦á É&Ü�ß>Ñ£É�Ø�Æ&Ë�ßdð Ü!ÖMÉ�á Ì Ó�ð�Ó�Ü�Ó¦× Í�ÖGÉ�á�Ë�Í ÈYÆ�Ü�ß�× æ³ø#ø Æ>Ì!Æ>Ô�Ë�Ó¦Ì Í Ç�Ë�Í ÔGÇ�Ë>Æ>Ý�Í Ü�Í�Ñ£Í Ì�â Ú°ÛhÓ¦ê¦Éâ�Ç�Ë�Ì É�Õ Ç�Ë�Ø�Æ�@ ��¬�ZK[<\ ];[<^F_�` acb>d e f#g�[<h�i�jlk&`�m)d�`�n�oqp r�s�sSt u8vYsIw#r8x�t y t z/r w�t {�o|t o~}<��t w�t�}(r8y�}(r�sSv/sF�����&¬6{8���*r w���¬K�;o r8y ��sSt�s�r8o � �;p�p�y t�}(r w�t {�o s�¬��°�8������¬-�����)� ¬"��� ¬��/����ª¶���(��¬�+¬�ZK[<\ ];[<^K_�` a�b>d e f#g�[<h�i�j&k&`�m)d�`�n�o�w���v�sS{���v�r�sS�"��p�w�{8w�t�}Kx)v(� r�u"t {��3{8��r�p r�s�sSt u�v(y �csIw#r8x�t y t z(v/�?sS��sIw�v(���Kt w��?{�o�v }<��t w�t�}(r8y>u8r8��t�r8x�y v&���&�Kv(o ��¬ �K}(}�¬)��}�¬"�)s�¬���r w�¬ ��r8p){�y t[¬"�°�8�����&�?� �?¡�¢�¢�¬���� ¬���£-¤�ª¶�/�8¥�¬ ¦ ¬*§ ¨8© ª�«<¬ ­�®�¯&` °�` a ±c²#¬)¨ ³c´-«(©�¯&`¶µ;`)·Q��¢£��������¯)�Ê�����>�����3®¦���������+�����¦�����Ð�������������+�¦� ��¯a´±�&���&��� ��������¢��+´Ð�«�+ª�������a¬��?¸Q����� ¹�·Ê��®£¢�¬£�&®+� ¢+�����/��¥���¬-�°�8��¥³��¬ º �)»¼+�½"¾)����.C��13�"+ !¿13�"+(�����F�F1 !�5"� �������FÀ���ÀÂÁ��"¾>� ����4��-Ã7����!#0�� Ä�Å�Æ�Ç-È Å�Æ�Ç�É Ê Ë È-ÈKÌSË�ÆÍ̼Î�Ï Ð Å�Ä Ñ Ò ÌÔÓ�Ë ­Q���&®£������� ¦ ��¬ �-£+¬ � ¦ ? D>D