Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона
Получена функция Гамильтона движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, когда в качестве обобщенных координат приняты три из четырех параметров Родрига-Гамильтона, н построено ее разложение в окрестности нижнего положения равновесия. В случае, когда центр масс тела принадлежит главной оси,...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123735 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона / А.М. Ковалев, Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 21-26. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243840250675200 |
|---|---|
| author | Ковалев, А.М. Данилюк, Д.А. |
| author_facet | Ковалев, А.М. Данилюк, Д.А. |
| citation_txt | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона / А.М. Ковалев, Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 21-26. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Получена функция Гамильтона движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, когда в качестве обобщенных координат приняты три из четырех параметров Родрига-Гамильтона, н построено ее разложение в окрестности нижнего положения равновесия. В случае, когда центр масс тела принадлежит главной оси, с помощью преобразования Биркгофа получено нелинейное приближение нормальных колебаний с точностью до членов четвертого порядка.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:33:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. À.Ì. Êîâàëåâ, Ä.À. Äàíèëþê
ÍÅËÈÍÅÉÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß ÒßÆÅËÎÃÎ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
 ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÕ ÐÎÄÐÈÃÀ-ÃÀÌÈËÜÒÎÍÀ
Ïîëó÷åíà ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, êîãäà â
êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïðèíÿòû òðè èç ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà, è ïîñòðî-
åíî åå ðàçëîæåíèå â îêðåñòíîñòè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà öåíòð ìàññ òåëà
ïðèíàäëåæèò ãëàâíîé îñè, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áèðêãîôà ïîëó÷åíî íåëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå
íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
Äâèæåíèå òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà â îêðåñòíîñòè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
ïðèâëåêàåò âíèìàíèå èññëåäîâàòåëåé ïîòîìó, ÷òî îíî, íàðÿäó ñ ðàâíîìåðíûìè âðàùå-
íèÿìè, äàåò ïðåäñòàâëåíèå î äâèæåíèè òåëà ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ìàññ.
Îñíîâíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû òåîðèè êîëåáàíèé è àñèìïòîòè-
÷åñêèå ìåòîäû. Íåëèíåéíûì êîëåáàíèÿì òâåðäîãî òåëà îêîëî óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ â îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïîñâÿùåíà ðàáîòà [1], â êîòîðîé èñïîëüçîâàí ìåòîä
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé è óêàçàíà ñõåìà èõ ïîëó÷åíèÿ. Ðàññìîòðåíû ðåçîíàí-
ñû è âîïðîñû ñõîäèìîñòè ïðåäëîæåííîãî âàðèàíòà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Â
ðàáîòå [2] ìåòîäîì íîðìàëüíûõ ôîðì èçó÷åíû êîëåáàíèÿ îêîëî íèæíåãî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ ïðèâåäåííîé ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà òâåðäîãî òå-
ëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, â êîòîðîé ïîëîæåíî pψ = 0 (pψ− öèêëè÷åñêèé èìïóëüñ).
Ïîñòðîåííîå ðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà îïèñûâàåò óñëîâíî-
ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ïðèâåäåííîé ñèñòåìû, êîòîðûå âñþäó ïëîòíî çàïîëíÿþò íåêî-
òîðóþ îêðåñòíîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
 ðàáîòå [3] äëÿ èññëåäîâàíèÿ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü
ïàðàìåòðû Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà. Áëàãîäàðÿ ñïåöèàëüíîìó ââåäåíèþ íåïîäâèæíîé ñè-
ñòåìû êîîðäèíàò ïîëó÷åíî ïðîñòîå âûðàæåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, ÷òî ïîçâîëèëî
óñòàíîâèòü ñâÿçü íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ñ äâèæåíèÿìè ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà è ðàâ-
íîìåðíûìè âðàùåíèÿìè. Èçó÷åíî ðàñïîëîæåíèå îñåé íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé â òåëå
â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ìîìåíòîâ èíåðöèè è ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Íàñòîÿùàÿ
ðàáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèå [3]. Ïîëó÷åíà ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà, êîãäà â êà÷åñòâå
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïðèíÿòû òðè èç ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà, è ïî-
ñòðîåíî åå ðàçëîæåíèå â îêðåñòíîñòè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà
öåíòð ìàññ òåëà ïðèíàäëåæèò ãëàâíîé îñè, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áèðêãîôà [4]
ïîñòðîåíî íåëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ÷åò-
âåðòîãî ïîðÿäêà. Àíàëèç îñëîæíÿåòñÿ òåì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äëÿ ëèíåéíîé
ñèñòåìû èìååòñÿ äâîéíîé íóëåâîé êîðåíü ñ íåïðîñòûìè ýëåìåíòàðíûìè äåëèòåëÿìè.
1. Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà. Èçó÷èì íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ òâåðäîãî òåëà îêîëî
íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  êà÷åñòâå ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âûáåðåì
ãëàâíûå îñè èíåðöèè ñ íà÷àëîì â íåïîäâèæíîé òî÷êå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A1, A2, A3 ãëàâ-
íûå ìîìåíòû èíåðöèè; ωi, νi, ei (i = 1, 2, 3)− ïðîåêöèè íà ïîäâèæíûå îñè âåêòîðà
óãëîâîé ñêîðîñòè ω, åäèíè÷íîãî âåêòîðà âåðòèêàëè ν, íàïðàâëåííîãî ââåðõ, è åäèíè÷-
íîãî âåêòîðà e, èäóùåãî èç íåïîäâèæíîé òî÷êè â öåíòð ìàññ òåëà, Γ− ïðîèçâåäåíèå
21
À.Ì. Êîâàëåâ, Ä.À. Äàíèëþê
âåñà òåëà è ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ìàññ. Ñëåäóÿ ðàáîòå [3], â êà÷åñòâå íåïîäâèæíîé
ñèñòåìû âûáåðåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ öåíòðîì â íåïîäâèæíîé òî÷êå, ñîâïà-
äàþùóþ â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñ ãëàâíûìè îñÿìè òâåðäîãî òåëà, òî åñòü ν ′i = −ei, ãäå ν ′i
� ïðîåêöèè âåêòîðà ν íà íåïîäâèæíûå îñè. Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà âû-
áåðåì ïàðàìåòðû Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà λ0, λ1, λ2, λ3.  êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò
ïðèìåì λ1, λ2, λ3, à ïàðàìåòð λ0 îïðåäåëèì èç ðàâåíñòâà
λ2
0 + λ2
1 + λ2
2 + λ2
3 = 1. (1)
Äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå [3]
Π = 2Γ
[
λ2
1 + λ2
2 + λ2
3 − (λ1e1 + λ2e2 + λ3e3)
2
]
. (2)
Äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âîñïîëüçóåìñÿ ñòàíäàðòíûì ïðåäñòàâëåíèåì
2T = A1ω
2
1 + A2ω
2
2 + A3ω
2
3, (3)
ãäå âåëè÷èíû ωi âûðàæàþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
ω1 = 2(λ0λ̇1 − λ1λ̇0 + λ3λ̇2 − λ2λ̇3),
ω2 = 2(λ0λ̇2 − λ2λ̇0 + λ1λ̇3 − λ3λ̇1),
ω3 = 2(λ0λ̇3 − λ3λ̇0 + λ2λ̇1 − λ1λ̇2).
Âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ïîëó÷èì èç ôîðìóëû H = T + Π, â êîòîðóþ
âìåñòî âåëè÷èí ωi íàäî ïîäñòàâèòü èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåç îáîáùåííûå èìïóëüñû
pi =
∂T
∂λ̇i
, i = 1, 2, 3. (4)
Ïðè ýòîì âî âñåõ ôîðìóëàõ âåëè÷èíû λ0, λ̇0 ñëåäóåò âûðàæàòü ÷åðåç λi, λ̇i (i = 1, 2, 3)
ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (1) è ñëåäóþùåãî èç íåãî óðàâíåíèÿ
λ0λ̇0 + λ1λ̇1 + λ2λ̇2 + λ3λ̇3 = 0.
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (4) ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ èìïóëüñîâ
λ0p1 = 2(λ2
0 + λ2
1)A1ω1 + 2(λ1λ2 − λ3λ0)A2ω2 + 2(λ1λ3 + λ2λ0)A3ω3,
λ0p2 = 2(λ1λ2 + λ3λ0)A1ω1 + 2(λ2
0 + λ2
2)A2ω2 + 2(λ2λ3 − λ1λ0)A3ω3, (5)
λ0p3 = 2(λ1λ3 − λ2λ0)A1ω1 + 2(λ2λ3 + λ1λ0)A2ω2 + 2(λ2
0 + λ2
3)A3ω3.
Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (5), íàõîäèì çàâèñèìîñòü óãëîâûõ ñêîðîñòåé îò èìïóëüñîâ
2A1ω1 = λ0p1 + λ3p2 − λ2p3,
2A2ω2 = λ0p2 + λ1p3 − λ3p1,
2A3ω3 = λ0p3 + λ2p1 − λ1p2.
(6)
22
Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ â ïàðàìåòðàõ Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (2), (3), (6) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ôóíê-
öèè Ãàìèëüòîíà
H =
1
8
[ 1
A1
(λ0p1 + λ3p2 − λ2p3)
2 +
1
A2
(λ0p2 + λ1p3 − λ3p1)
2+
+
1
A3
(λ0p3 + λ2p1 − λ1p2)
2
]
+ 2Γ
[
λ2
1 + λ2
2 + λ2
3 − (λ1e1 + λ2e2 + λ3e3)
2
]
. (7)
2. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà. Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [3], íèæíåìó ïîëî-
æåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóþò íóëåâûå çíà÷åíèÿ λi, ωi (i = 1, 2, 3) è, êàê ñëåäóåò èç
ôîðìóë (5), íóëåâûå çíà÷åíèÿ èìïóëüñîâ pi (i = 1, 2, 3) . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ (7) îïèñûâà-
åò âîçìóùåííîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â îêðåñòíîñòè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè
λ2
0 = 1− λ2
1 − λ2
2 − λ2
3,
λ0 = (1− λ2
1 − λ2
2 − λ2
3)
1/2 = 1− 1
2
(λ2
1 + λ2
2 + λ2
3)−
1
8
(λ2
1 + λ2
2 + λ2
3)
2 − . . . .
Äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå
H = H2 + H3 + H4 + H∞, (8)
H2 =
1
8
( p2
1
A1
+
p2
2
A2
+
p2
3
A3
)
+ 2Γ
[
λ2
1 + λ2
2 + λ2
3 − (λ1e1 + λ2e2 + λ3e3)
2
]
,
H3 =
1
4
[ p1
A1
(λ3p2 − λ2p3) +
p2
A2
(λ1p3 − λ3p1) +
p3
A3
(λ2p1 − λ1p2)
]
,
H4 =
1
8
[ 1
A1
(λ3p2 − λ2p3)
2 +
1
A2
(λ1p3 − λ3p1)
2 +
1
A3
(λ2p1 − λ1p2)
2−
−(λ2
1 + λ2
2 + λ2
3)
( p2
1
A1
+
p2
2
A2
+
p2
3
A3
)]
,
H∞ =
1
4
[ p1
A1
(λ3p2−λ2p3)+
p2
A2
(λ1p3−λ3p1)+
p3
A3
(λ2p1−λ1p2)
] ∞∑
k=1
(−1)kCk
1/2(λ
2
1 +λ2
2 +λ2
3)
k.
Îòìåòèì, ÷òî ãàìèëüòîíèàí (8) óïðîùàåòñÿ, êîãäà öåíòð ìàññ ëåæèò íà ãëàâíîé îñè:
e1 = 1, e2 = e3 = 0. Õîòÿ â ãàìèëüòîíèàíå (8) èçìåíÿåòñÿ òîëüêî êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü,
íî ñóùåñòâåííî, ÷òî îíà ïðèíèìàåò êàíîíè÷åñêèé âèä
H2 =
1
8
( p2
1
A1
+
p2
2
A2
+
p2
3
A3
)
+ 2Γ(λ2
2 + λ2
3). (9)
Èìåííî ýòîò ñëó÷àé è ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ.
Çàìåíà
Q1 = 2
√
A1 λ1, Q2 = 2 4
√
ΓA2 λ2, Q3 = 2 4
√
ΓA3 λ3,
P1 =
p1
2
√
A1
, P2 =
p2
2 4
√
ΓA2
, P3 =
p3
2 4
√
ΓA3
23
À.Ì. Êîâàëåâ, Ä.À. Äàíèëþê
ïðèâîäèò êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (9) ê íîðìàëüíîìó âèäó
H2 =
1
2
[
P 2
1 + n2(P
2
2 + Q2
2) + n3(P
2
3 + Q2
3)
]
,
ãäå n2 =
√
Γ/A2, n3 =
√
Γ/A3.
Äëÿ äàëüíåéøåãî óïðîùåíèÿ ôóíêöèè (8) ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Áèðêãîôà
[4] óäîáíî ââåñòè êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå
x1 = Q1, y1 = 2iP1, xk = Qk − iPk, yk = Qk + iPk, k = 2, 3. (10)
 íîâûõ ïåðåìåííûõ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ïðèíèìàåò âèä
H = H2 + H3 + H4 + . . . , (11)
H2 = i
(
−y2
1
4
+ n2x2y2 + n3x3y3
)
,
H3 =
i
8n1
√
Γn2n3
[
2n2
1(n
2
3 − n2
2)x1(y2 − x2)(y3 − x3)+
+n2(n
2
1 − n2
3)y1(x2 + y2)(y3 − x3) + n3(n
2
2 − n2
1)y1(x3 + y3)(y2 − x2)
]
,
H4 =
i
26Γn2
1n2n3
{
4n4
1x
2
1
[
(n2
2 − n2
3)
(
n3(x2 − y2)
2 − n2(x3 − y3)
2
)
+
+n2n3y
2
1
]
− 4n2
1n2n3x1y1
[
n2
2(x
2
3 − y2
3) + n2
3(x
2
2 − y2
2)
]
−
−n2n3y
2
1
[
n2(n
2
3 − n2
1)(x2 + y2)
2 + n3(n
2
2 − n2
1)(x3 + y3)
2
]
−
−n2
1n
2
2(n
2
1 − n2
3)(x2 + y2)
2(x3 − y3)
2 − n2
1n
2
3(n
2
1 − n2
2)(x3 + y3)
2(x2 − y2)
2+
+n2
1n2n3
[
n2
2(x
2
2 − y2
2)
2 + n2
3(x3 − y3)
2 + 2n2
1(x
2
2 − y2
2)(x
2
3 − y2
3)
]}
,
çäåñü n1 =
√
Γ/A1.
3. Ïðåîáðàçîâàíèå ôîðìû H3. Ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà (11) ê íîð-
ìàëüíîé ôîðìå â ÷ëåíàõ òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêîâ áóäåì ïðîâîäèòü â äâà ýòà-
ïà. Íà ïåðâîì ýòàïå óêàæåì êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ xk, yk → uk, vk,
ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H̃(u, v) íå ñîäåðæèò ÷ëåíîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà êðî-
ìå ðåçîíàíñíûõ. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå Áèðêãîôà çàäàåòñÿ ïðîèçâîäÿùåé
ôóíêöèåé
S3 =
∑
|α|=3
Sα1α2α3β1β2β3x
α1
1 xα2
2 xα3
3 vβ1
1 vβ2
2 vβ3
3 (12)
è èìååò âèä
uk = xk +
∂S3
∂vk
, yk = vk +
∂S3
∂xk
. (13)
Çäåñü αi ≥ 0, βi ≥ 0, |α| = α1 + α2 + α3 + β1 + β2 + β3.
Äëÿ ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé ñ ôóíêöèåé H ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ÷åòâåðòîãî ïî-
ðÿäêà çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå (13) ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà
24
Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ â ïàðàìåòðàõ Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà
xk = uk −
∂S3(u, v)
∂vk
+
3∑
i=1
(∂2S3(u, v)
∂ui∂vk
∂S3(u, v)
∂vi
+
∂2S3(u, v)
∂vi∂vk
∂S3(u, v)
∂ui
)
,
(14)
yk = vk +
∂S3(u, v)
∂uk
−
3∑
i=1
(∂2S3(u, v)
∂uk∂ui
∂S3(u, v)
∂vi
+
∂2S3(u, v)
∂uk∂vi
∂S3(u, v)
∂ui
)
.
Ïåðåõîäÿ ê íîâûì ïåðåìåííûì ïî ôîðìóëàì (14) è íàõîäÿ êîýôôèöèåíòû ôîðìû
(12) èç óñëîâèÿ H̃3(u, v) = 0, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàííîé
ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà
H̃(u, v) = H2(u, v) + H̃3(u, v) + H̃4(u, v) + . . . ,
ãäå
H̃3(u, v) = iu1(h300000u
2
1 + h110010u2v2 + h101001u3v3). (15)
Çäåñü hαβ ñîâïàäàþò ñ êîýôôèöèåíòàìè ôîðìû H̃3(u, v), îïðåäåëÿåìûìè ôîðìóëàìè
(11). Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (15), íàõîäèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
H̃3(u, v) ≡ 0 . Ïîëíîå âûðàæåíèå ôîðìû H̃4(u, v) íå âûïèñûâàåì. Â ñëåäóþùåì ïóíêòå
áóäóò ïðèâåäåíû òîëüêî êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàííîé ôîðìû ˜̃
H4(z, w) ïîñëå î÷å-
ðåäíîãî ýòàïà.
4. Íîðìàëèçàöèÿ ôîðìû H̃4. Äëÿ íîðìàëèçàöèè ôîðìû H̃4 ïðåîáðàçîâàíèå
Áèðêãîôà u, v → z, w çàäàåì â ôîðìå
uk = zk −
∂S4(z, w)
∂wk
, vk = wk +
∂S4(z, w)
∂zk
. (16)
Íîðìàëèçîâàííàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà èìååò âèä˜̃
H(z, w) = H2(z, w) +
˜̃
H4(z, w) + . . . ,
ãäå ˜̃
H4(z, w) = h400000z
4
1 + h210010z
2
1z2w2 + h201001z
2
1z3w3+
+h020020z
2
2w
2
2 + h002002z
2
3w
2
3 + h011011z2w2z3w3.
Âûïîëíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (14), (16), íàõîäèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå h400000 =
= 0, h020020 = 0, h002002 = 0. Äëÿ îñòàâøèõñÿ êîýôôèöèåíòîâ ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âû-
ðàæåíèÿ:
h210010 = 2iα =
in2
1(3n
2
2 − n2
3)
8Γn2
,
h201001 = 2iβ =
in2
1(3n
2
3 − n2
2)
8Γn3
,
h011011 = 2iγ = −i(2n2
1 + n2n3)(n2 − n3)
2 + 2n2
1n2n3
8Γn2n3
.
5. Íåëèíåéíûå íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ. Âîçâðàùàÿñü ê äåéñòâèòåëüíûì ïåðå-
ìåííûì qi, pi (i = 1, 2, 3), àíàëîãè÷íî ôîðìóëàì (12), è äåëàÿ äîïîëíèòåëüíîå ïðåîá-
ðàçîâàíèå
q1 = q, p1 = p, qj =
√
2rj sin ϕj, pj =
√
2rj cos ϕj, j = 2, 3, (17)
25
À.Ì. Êîâàëåâ, Ä.À. Äàíèëþê
äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïîëó÷àåì âûðà-
æåíèå
H =
p2
2
+ n2r2 + n3r3 + q2(αr2 + βr3) + γr2r3.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò âèä
q̇ = p, ṗ = −2q(αr2 + βr3),
ϕ̇2 = n2 + αq2 + γr3, ṙ2 = 0,
ϕ̇3 = n3 + βq2 + γr2, ṙ3 = 0.
(18)
Óðàâíåíèÿ (18) äîïóñêàþò èíòåãðàëû r2 = r20 = const, r3 = r30 = const. Ñ èõ
ïîìîùüþ ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ (18) ïðåîáðàçóþòñÿ â ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
q̇ = p, ṗ = −2(αr20 + βr30)q.
Îáîçíà÷èì µ =
√
2|αr20 + βr30|.  çàâèñèìîñòè îò çíàêà âåëè÷èíû (αr20+βr30) ðåøåíèå
ñèñòåìû (18) èìååò ðàçëè÷íûé âèä.
5.1. αr20 + βr30 > 0. Ðåøåíèå ñèñòåìû (18) òàêîâî
q = c1 sin(µt + c2), p = µc1 cos(µt + c2),
ϕ2 = (n2 + γr30 +
1
2
αc2
1)t−
1
4
αc2
1 sin 2(µt + c2) + ϕ20, r2 = r20,
ϕ3 = (n3 + γr20 +
1
2
βc2
1)t−
1
4
βc2
1 sin 2(µt + c2) + ϕ30, r3 = r30.
5.2. αr20 + βr30 < 0. Ðåøåíèå ñèñòåìû (18) òàêîâî
q = c1e
µt + c2e
−µt, p = µ(c1e
µt − c2e
−µt),
ϕ2 =
α
2µ
(c2
1e
2µt − c2
2e
−2µt) + (n2 + γr30 + 2αc1c2)t + ϕ20, r2 = r20,
ϕ3 =
β
2µ
(c2
1e
2µt − c2
2e
−2µt) + (n3 + γr20 + 2βc1c2)t + ϕ30, r3 = r30.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (17) ïîëó÷àåì îïèñàíèå íåëèíåéíûõ íîðìàëüíûõ êîëåáà-
íèé â ïåðåìåííûõ qi, pi (i = 1, 2, 3). Èç ïîëó÷åííûõ ôîðìóë çàêëþ÷àåì, ÷òî êîëåáàíèÿ
ïðèîáðåëè äîâîëüíî ñëîæíûé õàðàêòåð è ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ äëÿ ñëó÷àåâ 5.1, 5.2.
 ñëó÷àå 5.1 äâèæåíèå ñîõðàíèëî íåêîòîðóþ ïåðèîäè÷íîñòü, à â ñëó÷àå 5.2, áëàãîäàðÿ
íàëè÷èþ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ÷ëåíîâ, äâèæåíèå ñòàëî íåóñòîé÷èâûì.
1. Ñòàðæèíñêèé Â.Ì. Êîëåáàíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ çàêðåïëåííîé òî÷êîé îêîëî íèæíåãî ïî-
ëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â îáùåì ñëó÷àå // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1973. � � 4. �
Ñ. 121-128.
2. Èëþõèí À.À., Êîâàëåâ À.Ì. Íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ òâåðäîãî òåëà îêîëî ïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî
ðàâíîâåñèÿ // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1976. � Âûï. 8. � Ñ. 65-71.
3. Êîâàëåâ À.Ì., Äàíèëþê Ä.À.Ëèíåéíûå íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ òâåðäîãî òåëà â ïàðàìåòðàõ Ðîäðèãà-
Ãàìèëüòîíà // Òàì æå. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ.3-9.
4. Áèðêãîô Äæ.Ä. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. � Ì.; Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1941. � 320 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
kovalev@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 25.10.2004
26
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123735 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:33:47Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковалев, А.М. Данилюк, Д.А. 2017-09-09T09:30:18Z 2017-09-09T09:30:18Z 2004 Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона / А.М. Ковалев, Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 21-26. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123735 531.38 Получена функция Гамильтона движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, когда в качестве обобщенных координат приняты три из четырех параметров Родрига-Гамильтона, н построено ее разложение в окрестности нижнего положения равновесия. В случае, когда центр масс тела принадлежит главной оси, с помощью преобразования Биркгофа получено нелинейное приближение нормальных колебаний с точностью до членов четвертого порядка. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона Article published earlier |
| spellingShingle | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона Ковалев, А.М. Данилюк, Д.А. |
| title | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона |
| title_full | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона |
| title_fullStr | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона |
| title_full_unstemmed | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона |
| title_short | Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона |
| title_sort | нелинейные колебания тяжелого твердого тела в параметрах родрига-гамильтона |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123735 |
| work_keys_str_mv | AT kovalevam nelineinyekolebaniâtâželogotverdogotelavparametrahrodrigagamilʹtona AT danilûkda nelineinyekolebaniâtâželogotverdogotelavparametrahrodrigagamilʹtona |