О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо
Методами резонансной теории возмущений исследовано хаотическое поведение динамической системыв окрестности решения Стеклова задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.В качестве невозмущенной системы рассмотрен осесимметричный случай Эйлера движения свободного твердого тела. Решен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123736 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо / Н.В. Хлыстунова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 27-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860106534392954880 |
|---|---|
| author | Хлыстунова, Н.В. |
| author_facet | Хлыстунова, Н.В. |
| citation_txt | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо / Н.В. Хлыстунова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 27-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Методами резонансной теории возмущений исследовано хаотическое поведение динамической системыв окрестности решения Стеклова задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.В качестве невозмущенной системы рассмотрен осесимметричный случай Эйлера движения свободного твердого тела. Решению Стеклова соответствует резонанс второго порядка между собственными частотами невозмущенной системы.Каноническим преобразованием к новой медленной переменной гамильтониан задачи в окрестности решения Стеклова приведен к стандартной форме.Изучены свойства отображения последования, получены уравнения малых колебаний возмущенной задачи, с помощью интеграла Мельникова исследован эффект расщепления сепаратрис резонанса.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:31:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. Í.Â. Õëûñòóíîâà
Î ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÕ ÐÅØÅÍÈßÕ ÑÒÅÊËÎÂÀ
ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÎÉ ÇÀÄÀ×È ÝÉËÅÐÀ-ÏÓÀÍÑÎ
Ìåòîäàìè ðåçîíàíñíîé òåîðèè âîçìóùåíèé èññëåäîâàíî õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
â îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ Ñòåêëîâà çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.
 êà÷åñòâå íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû ðàññìîòðåí îñåñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé Ýéëåðà äâèæåíèÿ ñâîáîä-
íîãî òâåðäîãî òåëà. Ðåøåíèþ Ñòåêëîâà ñîîòâåòñòâóåò ðåçîíàíñ âòîðîãî ïîðÿäêà ìåæäó ñîáñòâåííûìè
÷àñòîòàìè íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû. Êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì ê íîâîé ìåäëåííîé ïåðåìåííîé ãà-
ìèëüòîíèàí çàäà÷è â îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ Ñòåêëîâà ïðèâåäåí ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå. Èçó÷åíû ñâîéñòâà
îòîáðàæåíèÿ ïîñëåäîâàíèÿ, ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé âîçìóùåííîé çàäà÷è, ñ ïîìîùüþ
èíòåãðàëà Ìåëüíèêîâà èññëåäîâàí ýôôåêò ðàñùåïëåíèÿ ñåïàðàòðèñ ðåçîíàíñà.
1. Ðåøåíèå Â.À.Ñòåêëîâà. Â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî öåíòð ìàññ òâåðäîãî òåëà íà-
õîäèòñÿ íà ïåðâîé ãëàâíîé îñè èíåðöèè, ðàññìîòðèì ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå Â.À. Ñòåê-
ëîâà [1] çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Äâèæåíèå
òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè ïðè ýòîì îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà-Ïóàññîíà
Aṗ = (B − C)qr, Bq̇ = (C − A)rp− Γν3, Cṙ = (A−B)pq + Γν2, (1)
ν̇1 = ν2r − ν3q, ν̇2 = ν3p− ν1r, ν̇3 = ν1q − ν2p, (2)
ãäå p, q, r− êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, νi− êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà íà-
ïðàâëåíèÿ ñèëû òÿæåñòè, A,B,C − ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà, äèôôåðåíöèðîâà-
íèå ïî âðåìåíè îáîçíà÷åíî òî÷êîé, Γ− ïðîèçâåäåíèå âåñà òåëà íà ðàññòîÿíèå îò öåíòðà
ìàññ äî íåïîäâèæíîé òî÷êè. Óðàâíåíèÿ (1),(2) äîïóñêàþò ïåðâûå èíòåãðàëû
1
2
(Ap2 + Bq2 + Cr2)− Γν1 = h, Apν1 + Bqν2 + Crν3 = g, ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1. (3)
Ïðè óñëîâèè (2B − A)(2C − A) < 0 èíâàðèàíòíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ
ðåøåíèÿ Ñòåêëîâà èìåþò âèä
q2 = a0 + a1p
2, r2 = b0 + b1p
2, ν1 = δ + ζp2, ν2 = ηpq, ν3 = ξpr, (4)
ãäå δ = ±1 è ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû a0, a1, b0, b1, ζ, η, ξ çàäàíû ñîîòíîøåíèÿìè
a0 =
A(A− 2C)δΓ
(B − C)(A−B)(A− C)
, a1 =
A(C − A)
(2B − A)(B − C)
, b0 =
A(2B − A)δΓ
(B − C)(A−B)(A− C)
,
(5)
b1 =
A(B − A)
(A− 2C)(B − C)
, ζ =
A(A−B)(A− C)
Γ(A− 2B)(A− 2C)
, η =
(2B − A)ζ
A
, ξ =
(2C − A)ζ
A
.
Ïîäñòàíîâêîé (4) â (3) íàéäåì çíà÷åíèÿ èíòåãðàëüíûõ ïîñòîÿííûõ
g = 0, h = δΓ
(
A2
2(B − A)(C − A)
− 1
)
∈ (Γ,∞).
27
Í.Â. Õëûñòóíîâà
Òîãäà çàâèñèìîñòü p, q, r îò âðåìåíè âûðàæàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ßêîáè
äëÿ äâóõ âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìîìåíòàìè èíåðöèè.
Ñëó÷àé I : C + A > B > A > 2C, δ = −1, p = p0 cnκt, q = q0 snκt, r = r0 dnκt,
p2
0 =
(A− 2C)(2B − A)Γ
(A− C)2(B − A)
, q2
0 =
A(A− 2C)Γ
(A− C)(B − A)(B − C)
,
r2
0 =
A(2B − A)Γ
(A− C)2(B − A)
, κ2 =
(B − C)Γ
(A− C)(B − A)
, k2 =
(B − A)
(B − C)
.
(6)
Ñëó÷àé II : A/2 > C > A−B > 0, δ = 1, p = p0 snκt, q = q0 cnκt, r = r0 dnκt,
p2
0 =
(A− 2C)(2B − A)Γ
(A− C)2(A−B)
, q2
0 =
A(A− 2C)Γ
(A− C)(A−B)(B − C)
,
r2
0 =
A(2B − A)Γ
(A− C)(B − C)(A−B)
, κ2 =
Γ
(A−B)
, k2 =
(A−B)
(A− C)
.
(7)
Ïîëíîå ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå ðåøåíèÿ Â.À. Ñòåêëîâà ìåòîäîì ãîäîãðàôîâ äàíî
Å.È. Õàðëàìîâîé è Ã.Â. Ìîçàëåâñêîé [2].  ðàáîòå Å.Þ. Êó÷åð [3] ïðîâåäåíî âû÷èñëåíèå
õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ðåøåíèþ Ñòåêëîâà, ÷òî ïîçâîëèëî îïðåäåëèòü îáëàñòè äèíàìè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè
â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ çàäà÷è. Áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî â ñëó÷àå I âîçìóùåííûå
òðàåêòîðèè â îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ Ñòåêëîâà íåóñòîé÷èâû âî âñåé îáëàñòè äîïóñòèìûõ
ïàðàìåòðîâ.  ñëó÷àå II â îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ Ñòåêëîâà âîçìóùåííûå òðàåêòîðèè, êàê
ïðàâèëî, îðáèòàëüíî óñòîé÷èâû, èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâëÿòü êðèâûå ïàðàìåòðè÷åñêî-
ãî ðåçîíàíñà, ïîñòðîåííûå ÷èñëåííî â [3]. À.Ï. Ìàðêååâ [4] èçó÷èë óñëîâèÿ îðáèòàëüíîé
óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ Â.À. Ñòåêëîâà íà îñíîâå ïðîöåäóðû èññëåäîâàíèÿ ñïåöèàëüíûì
îáðàçîì ïîñòðîåííîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ, ïîðîæäàåìîãî äèôôåðåíöèàëü-
íûìè óðàâíåíèÿìè âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Åñëè |ε| = |B−A| ¿ 1 è Γ ¿ 1, òî ýíåðãèÿ
òåëà áåñêîíå÷íî âîçðàñòàåò h → ∞, ÷òî çàòðóäíÿåò àíàëèç ðåçóëüòàòîâ âû÷èñëèòåëü-
íûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïîýòîìó ýòîò ñëó÷àé òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ, êî-
òîðîå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé öåëüþ äàííîé ðàáîòû.
2. Ïðåäåëüíûé ñëó÷àé. Êîãäà ε è Γ ìàëû, òîãäà ðåøåíèå Ñòåêëîâà ñòðåìèòñÿ
ê ÷àñòíîìó ðåøåíèþ ñëó÷àÿ Ýéëåðà äâèæåíèÿ ïî èíåðöèè îñåñèììåòðè÷íîãî òâåðäîãî
òåëà. Äëÿ ñëó÷àÿ I èìååì ε > 0 è ε < 0 äëÿ ñëó÷àÿ II. Ïîëîæèì ε < 0, òîãäà èç
ñîîòíîøåíèé (4), (5) ïîëó÷èì
p2 + q2 =
A(A− 2C)
γ2
0(A− C)2
, r2 =
A2
γ2
0(A− C)2
, γ2
0 = − ε
Γ
, (8)
ν1 = 1− γ2
0(A− C)
(A− 2C)
p2, ν2 = −γ2
0(A− C)
(A− 2C)
pq, ν3 = γ0p. (9)
Ââåäåì ïåðåìåííûå Àíäóàéå-Äåïðè ïî ôîðìóëàì
p =
sin l
A
√
Φ2 − L2, q =
cos l
B
√
Φ2 − L2, r =
L
C
, ν1 =
L
Φ
sin l cos ϕ + cos l sin ϕ,
ν2 =
L
Φ
cos l cos ϕ− sin l sin ϕ, ν3 = −
√
1− L2
Φ2
cos ϕ.
(10)
28
Î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ Ñòåêëîâà âîçìóùåííîé çàäà÷è Ýéëåðà-Ïóàíñî
Ñ ó÷åòîì (10) ãàìèëüòîíèàí çàäà÷è (1), (2) çàïèøåì òàê
HG =
1
2
(
sin2 l
A
+
cos2 l
B
)
(Φ2 − L2) +
L2
2C
− Γ
[
L
Φ
sin l cos ϕ + cos l sin ϕ
]
. (11)
 ñëó÷àå Ýéëåðà ãàìèëüòîíèàí (11) çàâèñèò òîëüêî îò L è Φ, êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå
(L,Φ, l, ϕ) ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûìè äåéñòâèå-óãîë. Â äàëüíåéøåì ðàññìîòðèì
H0 =
(Φ2 − L2)
2A
+
L2
2C
(12)
â êà÷åñòâå ãàìèëüòîíèàíà íåâîçìóùåííîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôàçîâûõ ïîðòðåòîâ èñïîëüçóåì ìåòîä ñå÷åíèé Ïóàíêàðå. Ó÷èòûâàÿ
(10), çàêëþ÷àåì, ÷òî íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå ϕ = π/2 ïðè t = 0 ïåðèîäè÷åñêîìó ðåøåíèþ
(8), (9) ñîîòâåòñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
LS
0 =
CA
γ0(A− C)
, lS0 = 0, ΦS
0 =
A
γ0
, ϕS
0 =
π
2
. (13)
 ñèëó (9), (10) ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ε è ëþáûõ t > 0 ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå äëÿ
óãëîâûõ ïåðåìåííûõ
ϕS − lS =
π
2
. (14)
Çàâèñèìîñòü p, q, r îò t îïðåäåëÿåò çàìêíóòóþ êðèâóþ � ïîëîäèþ (8) â ïðî-
ñòðàíñòâå óãëîâûõ ñêîðîñòåé.  ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ äåéñòâèå-
óãîë ýòèì çàâèñèìîñòÿì îòâå÷àåò äâóìåðíûé èíâàðèàíòíûé òîð, çàïîëíåííûé êâàçèïå-
ðèîäè÷åñêèìè èëè ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè. Êàê ñëåäóåò èç (14), ðåøåíèå Ñòåê-
ëîâà ïðèíàäëåæèò ðåçîíàíñíîìó òîðó â R4. Ïðîåêöèåé ýòîãî òîðà íà ñôåðó Ïóàññîíà
ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîäîáëàñòü (ðèñ. 1, à), ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè âîçìîæíûõ êîí-
ôèãóðàöèé. Èç ôîðìóë (9), (10) ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó äâóìÿ êðèâûìè, îäíà
èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò (14), à äðóãàÿ ïðè ëþáûõ t > 0 óäîâëåòâîðÿåò
ϕN − lN = −π
2
, (15)
çàäàíî êîîðäèíàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì (ν1, ν2, ν3) → (−ν1,−ν2,−ν3). Ñîîòâåòñòâóþùèå
(14), (15) çàìêíóòûå cèììåòðè÷íûå ãîäîãðàôû âåêòîðà ν ïîêàçàíû íà ðèñ. 1, á: νS �
ëèíèÿ, νN � ïóíêòèð.
–1–0.500.51
v3
–1
0
1
v1
–0.5
0
0.5
1
v2
–1–0.500.51
v3
–1
0
1
v1
–0.5
0
0.5
1
v2
à) ϕ = l − π/2 + 2πk/10 (k = 0, . . . , 9) á) ϕ = l − π/2 + πk (k = 0, 1)
Ðèñ. 1. Ãîäîãðàôû âåêòîðà ν íà ñôåðå Ïóàññîíà.
29
Í.Â. Õëûñòóíîâà
Íà îñíîâàíèè (10), (15) çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè t = 0 ñèììåòðè÷íîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèé
(1), (2) ñîîòâåòñòâóåò íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå ϕ = π/2 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
LN
0 = LS
0 , lN0 = π, ΦN
0 = ΦS
0 , ϕN
0 =
π
2
. (16)
Äèôôåðåíöèðîâàíèåì (12) íàéäåì ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû íåâîçìóøåííîé ñèñòåìû
ω1 =
∂H0
∂L
=
(
1
C
− 1
A
)
L, ω2 =
∂H0
∂Φ
=
Φ
A
. (17)
Ñîãëàñíî òåîðåìå Ïóàíêàðå � Áèðêãîôà ([6], ñ. 195), åñëè îòíîøåíèå ÷àñòîò òîðà íåâîç-
ìóùåííîé ñèñòåìû ðàöèîíàëüíî, òî ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ òàêîé òîð ðàçðóøàåòñÿ,
è â åãî ìàëîé îêðåñòíîñòè îñòàåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî çàìêíóòûõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé.
Âîçíèêàåò òàê íàçûâàåìûé �îñòðîâ� � ðåçîíàíñíàÿ ñòðóêòóðà, â öåíòðå êîòîðîé íàõî-
äèòñÿ óñòîé÷èâàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ. Ðåøåíèå Ñòåêëîâà âîçíèêàåò èìåííî â
òàêîé ñèòóàöèè, è â ñèëó ðàâåíñòâ (13), (17) åìó ñîîòâåòñâóåò ðåçîíàíñ
ω1 − ω2 =
(
1
C
− 1
A
)
LS
0 −
ΦS
0
A
≡ 0,
ïðè ýòîì ÷èñëî N = |k1|+ |k2| = 2 îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê ðåçîíàíñà k1ω1 + k2ω2 = 0. Óêà-
çàííîå ñâîéñòâî îïðåäåëÿåò ñòðóêòóðó ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå ïðè ìàëûõ ε è Γ. Íà ñå÷åíèè
èìåþòñÿ äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè (13), (16), ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðèîäè÷åñêèì ðåøåíèÿì,
îäíî èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì Ñòåêëîâà, à äëÿ äðóãîãî ðåøåíèÿ àíàëèòè÷åñêèå
ôîðìóëû íåèçâåñòíû.
3. Óñðåäíåííûé ãàìèëüòîíèàí âîçìóùåííîé çàäà÷è. Ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿ-
ùåé ôóíêöèè F2 = (l − ϕ + π/2)J1 + (l + ϕ− π/2)J2 ââåäåì êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå
θ1 = l − ϕ +
π
2
, θ2 = l + ϕ− π
2
, J1 =
L− Φ
2
, J2 =
L + Φ
2
. (18)
Ïåðåìåííàÿ θ1 õàðàêòåðèçóåò ìåäëåííîå îòêëîíåíèå îò ðåçîíàíñà, à θ2 � áûñòðîå. Ñ
ó÷åòîì (18) ãàìèëüòîíèàí (11) ïðèìåò âèä
HG =
(J1 + J2)
2
2C
− (B + A)
AB
J2J1− (A−B)
AB
J2J1 cos(θ1 +θ2)+
Γ [J1 cos θ1 − J2 cos θ2]
(J2 − J1)
. (19)
Ïîëàãàÿ ε < 0 è îñòàâëÿÿ â âûðàæåíèè (19) òîëüêî ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî
ε, ïîëó÷èì
H = H0(J1, J2) + εH1(θ1, θ2, J1, J2). (20)
Çäåñü H0 � ãàìèëüòîíèàí èíòåãðèðóåìîé çàäà÷è (12) è H1 � ãàìèëüòîíèàí, õàðàêòåðè-
çóþùèé âîçìóùåíèå, ñîîòâåòñòâåííî òàêîâû:
H0 =
(J1 + J2)
2
2C
− 2
A
J1J2, H1 =
J1J2
A2
(
1 + cos(θ1 + θ2)
)
− J1 cos θ1 − J2 cos θ2
γ2
0(J2 − J1)
. (21)
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà èìåþò âèä
dθ1
dt
=
∂H
∂J1
,
dθ2
dt
=
∂H
∂J2
,
dJ1
dt
= −∂H
∂θ1
,
dJ2
dt
= −∂H
∂θ2
. (22)
30
Î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ Ñòåêëîâà âîçìóùåííîé çàäà÷è Ýéëåðà-Ïóàíñî
Îñíîâûâàÿñü íà ðåçîíàíñíîé òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ ñèñòåì, áëèçêèõ ê èíòåãðèðóå-
ìûì, óñðåäíèì ãàìèëüòîíèàí (20) ïî áûñòðîé óãëîâîé ïåðåìåííîé θ2:
H =
1
2C
(J1 + J2)
2 − 2
A
J2J1 + ε
(
J2J1
A2
− J1 cos θ1
γ2
0(J2 − J1)
)
. (23)
Òåïåðü äâèæåíèå èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû, òàê êàê J2 = const � íîâûé èíâàðèàíò
ñèñòåìû âáëèçè ðåçîíàíñà. Íåïîäâèæíûå òî÷êè íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå Θ1 = {J1,2, θ1,2 :
θ2 − θ1 = 0}, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðèîäè÷åñêèì ðåøåíèÿì âîçìóùåííîé çàäà÷è, íàéäåì
èç óñëîâèé
∂H
∂J1
= 0,
∂H
∂θ1
= 0.
Ðåøåíèþ Ñòåêëîâà ñ òî÷íîñòü äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ε ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà
θ01
1 = 0, J01
1 =
A(2C − A)
2(A− C)γ0
, θ01
2 = 0, J01
2 =
A2
2(A− C)γ0
. (24)
Êîîðäèíàòû äðóãîé íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùåé ñèììåòðè÷íîìó ðåøåíèþ,
òàêîâû:
θ02
1 = π, J02
1 =
A(2C − A)
2(A− C)γ0
, θ02
2 = π, J02
2 =
A2
2(A− C)γ0
. (25)
 îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè (24) ðàçëîæèì ãàìèëüòîíèàí (23) â ðÿä Òåéëîðà ïî
ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé I1 = J1 − J01
1 , õàðàêòåðèçóþùåé ìàëîå îòêëîíåíèå îò ðåçîíàíñà.
Îòáðîñèâ ïîñòîÿííóþ è ñîõðàíÿÿ òîëüêî ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî ε, ïîëó÷èì
�ñòàíäàðòíûé �, ïî òåðìèëîãèè [6], ãàìèëüòîíèàí
HP =
I2
1
2C
− ε(2C − A)
2γ2
0(A− C)
cos θ1. (26)
Äëÿ ìàëîé îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êè θ1 = 0, I1 = 0 ïîëó÷èì îïèñàíèå
äâèæåíèÿ, îñíîâàííîå íà óðàâíåíèÿõ ìàëûõ êîëåáàíèé. Ðàçëîæèâ ãàìèëüòîíèàí (26) â
ðÿä Òåéëîðà è îòáðîñèâ ïîñòîÿííóþ, ïîëó÷èì
HO =
I2
1
2C
+
ε(2C − A)
4γ2
0(A− C)
θ2
1,
îòêóäà ñëåäóþò óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé
dx
dt
= Dx, ãäå x(t) = (θ1(t), I1(t))
T , D =
(
0 1
C
ε(2C−A)
2γ2
0(A−C)
0
)
. (27)
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû èìååò ïàðó ìíèìûõ ñîïðÿæåííûõ êîðíåé
λ1,2 = ±iω∗0. ×àñòîòà ω∗0 è ïåðèîä P ∗
0 êîëåáàíèé ñèñòåìû âáëèçè òî÷êè θ1 = 0, I1 = 0
îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
ω∗0 =
√
ε(2C − A)
2γ2
0C(A− C)
, P ∗
0 =
2π
ω∗0
= 2π
√
2γ2
0C(A− C)
ε(2C − A)
. (28)
Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè x(t = 0) = (θ0
1, I
0
1 )
T
= x0 äëÿ ñèñòåìû (27) èìååò âèä
x(t) = eDtx0 =
(
cos(ω∗0t)
1
ω∗0
sin(ω∗0t)
−ω∗0 sin(ω∗0t) cos(ω∗0t)
)
x0. (29)
31
Í.Â. Õëûñòóíîâà
Ïðîâåäåì ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé (22) ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ
ìîìåíòîâ èíåðöèè A = 2, C = A/3 è ðàçëè÷íûõ ε, Γ. Ôàçîâûå ïîðòðåòû çàäà÷è äëÿ
ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå Θ1 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2 è ñîîòâåòñòâóþò ðåøåíèþ (29) äëÿ ìàëîé
îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êè θ1 = 0, I1 = 0.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.52
−0.515
−0.51
−0.505
−0.5
−0.495
−0.49
−0.485
−0.48
J
1
θ
1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.6
−0.55
−0.5
−0.45
−0.4
J
1
θ
1
à) ε = 0.0001, Γ = 0.0001 á) ε = 0.01, Γ = 0.01
Ðèñ. 2. Îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâàíèÿ íà ïëîñêîñòè (θ1, J1) äëÿ ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå Θ1.
Èòàê, âáëèçè ðåçîíàíñà ìåäëåííîå äâèæåíèå â ïåðåìåííûõ (θ1, J1) îïèñûâàåòñÿ
èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ãàìèëüòîíèàíó (26). Ìàêñèìàëüíîå îòêëî-
íåíèå ïåðåìåííîé I1 äîñòèãàåòñÿ ïðè θ1 = 0 è ðàâíî ïîëîâèíå øèðèíû îáëàñòè ðåçî-
íàíñà Imax
1 = 2
√
εC(2C − A)/γ2
0(A− C). Ôîðìóëû (28),(29) ïîäòâåðæäàþò ïîëó÷åííûå
â [3] ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà. Ïðèâåäåííûå
òåîðåòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû äîêàçûâàþò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåð-
æäåíèÿ.
Óòâåðäæäåíèå 1.  ñëó÷àå ε < 0 íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå Θ1 ðåøåíèþ Ñòåêëîâà ñîîò-
âåòñòâóåò óñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà θ1 = 0, I1 = 0 ãàìèëüòîíèàíà (26). Äëÿ ìàëîé
îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ Ñòåêëîâà íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå ϕ = π/2 îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâà-
íèÿ â ïåðåìåííûõ Àíäóàéå-Äåïðè èìååò âèä
l(tn) = l(tn−1) cos(ω∗0tn−1) +
L(tn−1)− Φ(tn−1) + 2J01
1
2ω∗0
sin(ω∗0tn−1),
L(tn) = J01
1 + J01
2 − l(tn−1)ω
∗
0 sin(ω∗0tn−1) +
L(tn−1)− Φ(tn−1) + 2J01
1
2
cos(ω∗0tn−1),
Φ(tn) = J01
2 − J01
1 + l(tn−1)ω
∗
0 sin(ω∗0tn−1)− L(tn−1)− Φ(tn−1) + 2J01
1
2
cos(ω∗0tn−1),
(30)
ãäå ïîñòîÿííûå J01
1 , J01
2 , ω∗0 âû÷èñëÿþòñÿ ñîãëàñíî (24),(28).
4. Ñëó÷àé ε > 0. Ïî àíàëîãèè ñ ï. 1 èç (4), (5) ïðè ìàëûõ ε è Γ ïîëó÷èì
p2 + q2 =
A(A− 2C)
γ2
0(A− C)2
, r2 =
A2
γ2
0(A− C)2
, γ2
0 =
ε
Γ
, (31)
ν1 =
γ2
0(A− C)
(A− 2C)
p2 − 1, ν2 =
γ2
0(A− C)
(A− 2C)
pq, ν3 = −γ0p. (32)
Íà îñíîâàíèè (10) çàêëþ÷àåì, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå
ϕ = 0 ïåðèîäè÷åñêîìó ðåøåíèþ (31), (32) îòâå÷àåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
LS
0 =
CA
γ0(A− C)
, lS0 =
π
2
, ΦS
0 =
A
γ0
, ϕS
0 = 0, ïðè÷åì ∀t : ϕS = lS − π
2
. (33)
32
Î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ Ñòåêëîâà âîçìóùåííîé çàäà÷è Ýéëåðà-Ïóàíñî
Ñèììåòðè÷íîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ïðè t = 0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
LN
0 = LS
0 , lN0 = −π
2
, ΦN
0 = ΦS
0 , ϕN
0 = 0, ïðè÷åì ∀t : ϕN = lN +
π
2
. (34)
Ïî àíàëîãèè ñ ï. 2 â äàííîì ñëó÷àå òàêæå ïåðåéäåì ê áûñòðûì è ìåäëåííûì ðåçîíàíñ-
íûì ïåðåìåííûì (18). Ïîëàãàÿ ε > 0, ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè
ïî ε ïîëó÷èì ãàìèëüòîíèàí âèäà (20) ñî ñëàãàåìûìè àíàëîãè÷íûìè (21) è óðàâíåíèÿ
Ãàìèëüòîíà (22). Ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî áûñòðîé óãëîâîé ïåðåìåííîé θ2 ãàìèëüòîíèàí
(20) ïðèìåò âèä àíàëîãè÷íûé (23). Äëÿ ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå Θ2 = {J1,2, θ1,2 : θ1 − θ2 = π}
êîîðäèíàòû íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùåé ðåøåíèþ Ñòåêëîâà, íàéäåì ñ òî÷-
íîñòü äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ε â âèäå
θ01
1 = π, J01
1 =
A(2C − A)
2(A− C)γ0
, θ01
2 = 0, J01
2 =
A2
2(A− C)γ0
, (35)
è äëÿ äðóãîé íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùåé ñèììåòðè÷íîìó ðåøåíèþ, ïîëó÷èì
θ02
1 = 0, J02
1 =
A(2C − A)
2(A− C)γ0
, θ02
2 = −π, J02
2 =
A2
2(A− C)γ0
. (36)
Âáëèçè ðåçîíàíñà J2 = J01
2 � èíâàðèàíò ñèñòåìû (22). Ðàçëîæèâ óñðåäíåííûé ãàìèëü-
òîíèàí â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè (36) ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé
I1 = J1− J01
1 , ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî ε ïîëó÷èì �ñòàíäàðò-
íûé� ãàìèëüòîíèàí
HP =
I2
1
2C
− ε(A− 2C)
2γ2
0(A− C)
cos θ1. (37)
Èòàê, îñíîâàííîå íà óñðåäíåíèè ïî áûñòðîé ïåðåìåííîé îïèñàíèå ìåäëåííîãî äâè-
æåíèÿ (θ1, J1) èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà ñ ãàìèëüòîíèà-
íîì (37) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì ñåïàðàòðèñû
Î1 = ±2Cω∗0 cos
θ̂1
2
, θ̂1 = 4arctg[exp(ω∗0t)]− π, ω∗0 =
√
|ε|(A− 2C)
2γ2
0C(A− C)
, (38)
ïðè÷åì ïëþñ è ìèíóñ ñîîòâåòñòâóþò âåðõíåé è íèæíåé âåòâÿì ñåïàðàòðèñû. Îäíàêî,
òàêîå îïèñàíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, òàê
êàê íå ó÷èòûâàåò âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæ-
äó áûñòðûìè è ìåäëåííûìè ïåðåìåí-
íûìè. Äåéñòâèòåëüíî, âáëèçè ñåïàðà-
òðèñû ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåò-
ðà ε ñóùåñòâóåò îáëàñòü íåóñòîé÷èâî-
ñòè äâèæåíèÿ, íàçûâàåìàÿ ðåçîíàíñ-
íûì ñëîåì ([6], ñ. 237). Ôàçîâûé ïîðò-
ðåò îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîé íåïî-
äâèæíîé òî÷êè (35) íà ñå÷åíèè Ïóàí-
êàðå Θ1 ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3. Ïîýòîìó
èçó÷èì âîçìóùåííîå äâèæåíèå â
3.141585 3.14159 3.141595 3.1416 3.141605
−0.4981185
−0.498118
−0.4981175
−0.498117
J
1
θ
1
Ðèñ. 3. Ðåçîíàíñíûé ñëîé â ñëó÷àå ε = 0.01, Γ = 0.01.
ïåðåìåííûõ (θ2, J2) ïî îòíîøåíèþ ê íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ J2 = J01
2 , θ2 = 2ω2t.
5. Êðèòåðèé Ìåëüíèêîâà.Ïåðâûå ïðèìåðû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ýôôåêòà
ðàñùåïëåíèÿ ñåïàðàòðèñ ðåçîíàíñîâ â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ
33
Í.Â. Õëûñòóíîâà
íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïðåäñòàâëåíû â [7]. Ðàçëîæèâ ãàìèëüòîíèàí (20) â ðÿä Òåéëîðà
ïî ïåðåìåííûì I1 = J1 − J01
1 , I2 = J2 − J01
2 è îïóñòèâ ïîñòîÿííûå ÷ëåíû, ïðåäñòàâèì
âîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí â âèäå
H2 = 2ω2I2 +
I2
1
2C
+
εJ01
1 cos θ1
γ2
0(J
01
2 − J01
1 )
− εJ01
2 cos θ2
γ2
0(J
01
2 − J01
1 )
+
ε
A2
J01
2 J01
1 cos(θ1 + θ2). (39)
Äâèæåíèå â ðåçîíàíñíîì ñëîå èññëåäóåì ñ ïîìîùüþ ñåïàðàòðèñíîãî îòîáðàæåíèÿ, ïðè
ýòîì èçìåíåíèå ïåðåìåííîé äåéñòâèÿ I2 ìàëî è õàðàêòåðèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Ìåëüíèêîâà [5]
IM =
∫ ∞
−∞
{H0
2 ,
H1
2
2ω2
}dt =
1
2ω2
∫ ∞
−∞
(
∂H0
2
∂I1
∂H1
2
∂θ1
− ∂H0
2
∂θ1
∂H1
2
∂I1
)
dt, (40)
ãäå {H0
2 , H
1
2/2ω2} � ñêîáêà Ïóàññîíà îò ïîëó÷åííûõ èç (39) ãàìèëüòîíèàíîâ:
H0
2 = 2ω2I2 +
I2
1
2C
+
εJ01
1 cos θ1
γ2
0(J
01
2 − J01
1 )
, H1
2 = − εJ01
2 cos θ2
γ2
0(J
01
2 − J01
1 )
+
ε
A2
J01
2 J01
1 cos(θ1 + θ2). (41)
Ó÷èòûâàÿ (41), âû÷èñëèì èíòåãðàë (40) âäîëü íåâîçìóùåííîé ñåïàðàòðèñû (38)
IM = − εJ01
2 J01
1
2ω2CA2
∫ ∞
−∞
Î1 sin(θ̂1 + θ2)dt = ∓εJ01
2 J01
1
ω2A2
∫ ∞
−∞
ω∗0 cos
θ̂1
2
sin(θ̂1 + 2ω2t + θn
2 )dt, (42)
ïðè÷åì ìèíóñ ñîîòâåòñòâóåò âåðõíåé âåòâè ñåïàðàòðèñû, à ïëþñ � íèæíåé âåòâè, ïî-
ñòîÿííàÿ θn
2 ðàâíà ôàçå θ2 â ìîìåíò n-ãî ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå.
Ïåðåõîäÿ â (42) ê ïåðåìåííîé s = ω∗0t è ó÷èòûâàÿ, ÷òî âêëàä â èíòåãðàë äàåò òîëüêî
÷åòíàÿ ÷àñòü ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, ïîëó÷èì ôóíêöèþ Ìåëüíèêîâà â âèäå
IM(θn
2 ) = ∓εJ01
2 J01
1 sin(θn
2 )
2ω2A2
∫ ∞
−∞
[
cos
( θ̂1
2
+
2ω2s
ω∗0
)
+ cos
(3θ̂1
2
+
2ω2s
ω∗0
)]
ds.
Îòêóäà ñëåäóåò
IM(θn
2 ) = ∓εJ01
2 J01
1 sin(θn
2 )
2ω2A2
[
A1(Q0) + A3(Q0)
]
, (43)
ïðè÷åì ôóíêöèÿ
Am(Q0) =
∫ ∞
−∞
cos(
m
2
θ̂1 −Q0s)ds, Q0 = −2ω2
ω∗0
, (44)
íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì èíòåãðàëîì Ìåëüíèêîâà-Àðíîëüäà ([6], ñ. 239). Îñíîâûâàÿñü
íà òåîðèè âû÷åòîâ, ïðè Q0 < 0 íàéäåì çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà (44) äëÿ m = 1 è m = 3
A1(Q0) = −2π exp(−πω2/ω
∗
0)
sh(2πω2/ω∗0)
, A3(Q0) = (2Q2
0 − 1)A1(Q0),
òîãäà èç (43) ïîëó÷èì
IM(θn
2 ) = ∓ 4πAC exp(−πω2/ω
∗
0)
γ0(A− C)sh(2πω2/ω∗0)
sin(θn
2 ). (45)
Äàëåå, ñëåäóÿ ([6], ñ. 241), ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ u ïî ôîðìóëå
u = −1− 4γ0(A− C)I2
ε(A− 2C)
. (46)
34
Î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ Ñòåêëîâà âîçìóùåííîé çàäà÷è Ýéëåðà-Ïóàíñî
Èñïîëüçóÿ (46) è (45), çàïèøåì ñåïàðàòðèñíîå îòîáðàæåíèå â âèäå
un+1 = un − u0 sin θn
2 , θn+1
2 = θn
2 + Q0 ln
32
|un| , ãäå u0 =
16πAC exp(−πω2/ω
∗
0)
(A− 2C)sh(2πω2/ω∗0)
. (47)
Ñôîðìóëèðóåì êðèòåðèé Ìåëüíèêîâà: åñëè ôóíêöèÿ Ìåëüíèêîâà èìååò ïðîñòûå íóëè
IM(θn
2 ) = 0, òî â îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êè ñóùåñòâóþò òðàíñ-
âåðñàëüíûå ãîìîêëèíè÷åñêèå îðáèòû è îáëàñòü ñëîæíîé õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè, äëÿ
êîòîðîé õàðàêòåðíî íàëè÷èå ïîäêîâû Ñìåéëà. Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå àìïëèòóäû ïðè
sin(θn
2 ) â âûðàæåíèè (45) îòëè÷íî îò íóëÿ ïðè A 6= 0 è C 6= 0. Ðåçóëüòàòû ï. 4 è ï. 5
äîêàçûâàþò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðäæäåíèå 2. Ïðè óñëîâèè ε > 0 íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå Θ2 ðåøåíèþ Ñòåêëî-
âà ñîîòâåòñòâóåò íåóñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà θ1 = π, I1 = 0 ãàìèëüòîíèàíà (37).
Äëÿ ðåçîíàíñíîãî ñëîÿ îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâàíèÿ â ïåðåìåííûõ (u, θ2) èìååò âèä (47).
 ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ A,C, Γ, ε, õàðàêòåðèçóþùèõ ðåøåíèå Ñòåêëîâà, ôóíêöèÿ
Ìåëüíèêîâà (45) èìååò ïðîñòûå íóëè òîëüêî â òî÷êàõ θn
2 = 0,±πk (k ∈ Z), ïîýòîìó
â îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êè âñåãäà ñóùåñòâóþò òðàíñâåðñàëüíûå
ãîìîêëèíè÷åñêèå îðáèòû è îáëàñòü ñëîæíîé õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè, äëÿ êîòîðîé õà-
ðàêòåðíî íàëè÷èå ïîäêîâû Ñìåéëà.
6. Ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå. Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííîãî â ïóíêòàõ 2, 3 è 4 àíà-
ëèçà ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðäæäåíèå 3. Äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé ε < 0 ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íîå ïåðèîäè÷å-
ñêîå ðåøåíèå, îïèñûâàåìîå ôîðìóëàìè (15), (16). Íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå Θ1 åìó îòâå÷àåò
íåóñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà θ1 = π, I1 = 0 ãàìèëüòîíèàíà (26), à óðàâíåíèÿ ñåïà-
ðàòðèñû çàäàíû ôîðìóëàìè (38). Ôóíêöèÿ Ìåëüíèêîâà èìååò âèä
IM(θn
2 ) = ± 4πAC exp(−πω2/ω
∗
0)
γ0(A− C)sh(2πω2/ω∗0)
sin(θn
2 ). (48)
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ u = −1 − 4γ0I2(A − C)/(ε(2C − A)), òîãäà ñåïàðàòðèñíîå
îòîáðàæåíèå òàêîâî:
un+1 = un − u0 sin θn
2 , θn+1
2 = θn
2 + Q0 ln
32
|un| , ãäå u0 =
16πAC exp(−πω2/ω
∗
0)
(A− 2C)sh(2πω2/ω∗0)
. (49)
 ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ A,C, Γ, ε, õàðàêòåðèçóþùèõ ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå, ôóíê-
öèÿ Ìåëüíèêîâà (48) èìååò ïðîñòûå íóëè òîëüêî â òî÷êàõ θn
2 = 0,±πk (k ∈ Z), ïîýòîìó
â îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êè âñåãäà ñóùåñòâóþò òðàíñâåðñàëüíûå
ãîìîêëèíè÷åñêèå îðáèòû è îáëàñòü ñëîæíîé õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè, äëÿ êîòîðîé õà-
ðàêòåðíî íàëè÷èå ïîäêîâû Ñìåéëà.
Óòâåðäæäåíèå 4. Äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé ε > 0 ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå,
îïèñûâàåìîå ôîðìóëàìè (34). Íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå Θ2 åìó ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâàÿ
íåïîäâèæíàÿ òî÷êà θ1 = 0, I1 = 0 ãàìèëüòîíèàíà (37). Äëÿ ìàëîé îêðåñòíîñòè ñèììåò-
ðè÷íîãî ðåøåíèÿ íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå ϕ = 0 îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâàíèÿ â ïåðåìåííûõ
35
Í.Â. Õëûñòóíîâà
Àíäóàéå-Äåïðè èìååò âèä
ln = (ln−1 +
π
2
) cos(ω∗0tn−1) +
Ln−1 − Φn−1 + 2J02
1
2ω∗0
sin(ω∗0tn−1),
Ln = J02
1 + J02
2 − (ln−1 +
π
2
)ω∗0 sin(ω∗0tn−1) +
Ln−1 − Φn−1 + 2J02
1
2
cos(ω∗0tn−1),
Φn = J02
2 − J02
1 + (ln−1 +
π
2
)ω∗0 sin(ω∗0tn−1)− Ln−1 − Φn−1 + 2J02
1
2
cos(ω∗0tn−1),
(50)
ãäå èíäåêñ n îòâå÷àåò ìîìåíòó âðåìåíè tn, à J02
1 , J02
2 , ω∗0 âû÷èñëåíû ñîãëàñíî (36),(38).
7. Çàêëþ÷èòåëüíûå âûâîäû. Èòàê, â ðàññìîòðåííîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ðåøå-
íèþ Ñòåêëîâà îòâå÷àåò ðåçîíàíñíûé òîð íåâîçìóùåííîé çàäà÷è ñ îòíîøåíèåì ÷àñòîò
ω1/ω2 = 1. Ïîä äåéñòâèåì ìàëîãî âîçìóùåíèÿ ýòîò òîð ðàçðóøàåòñÿ è îñòàþòñÿ äâà ïå-
ðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿ � ðåøåíèå Ñòåêëîâà è ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå.  ñëó÷àå ε < 0 íà
ñå÷åíèè Ïóàíêàðå Θ1 ðåøåíèþ Ñòåêëîâà ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
θ1 = 0 ãàìèëüòîíèàíà (26), â åå ìàëîé îêðåñòíîñòè îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâàíèÿ èìå-
åò âèä (30). Ñèììåòðè÷íîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò íåóñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
θ1 = π, äëÿ ðåçîíàíñíîãî ñëîÿ ñåïàðàòðèñíîå îòîáðàæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè
(49).  ñëó÷àå ε > 0 íà ñå÷åíèè Ïóàíêàðå Θ2 ñèììåòðè÷íîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò
óñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà θ1 = 0 ãàìèëüòîíèàíà (37) è â åå ìàëîé îêðåñòíîñòè
îòîáðàæåíèå ïîñëåäîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíî â âèäå (50). Ðåøåíèþ Ñòåêëîâà ñîîòâåòñòâóåò
íåóñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà θ1 = π, äëÿ ðåçîíàíñíîãî ñëîÿ ñåïàðàòðèñíîå îòîá-
ðàæåíèå îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëàìè (47). Ïðè |ε| ¿ 1 â ìàëîé îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîé
íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ìåëüíèêîâà, âñåãäà ñóùåñòâóþò òðàíñâåðñàëü-
íûå ãîìîêëèíè÷åñêèå îðáèòû è îáëàñòü ñëîæíîé õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè; à ìàëûå êîëå-
áàíèÿ â îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êè ïðîèñõîäÿò ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé
ω∗0, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò ìàëûå çíà÷åíèÿ (ñì. (38)), åñëè âåëè÷èíà C íå ÿâëÿåòñÿ áåñêî-
íå÷íî ìàëîé îäíîãî ïîðÿäêà ïî ñðàâíåíèþ c |ε|.
Àâòîð áëàãîäàðèò È.Í.Ãàøåíåíêî çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è âíèìàíèå ê ðàáîòå.
1. Ñòåêëîâ Â.À. Íîâîå ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî
òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó // Òð. Îòä. ôèç. íàóê Î-âà ëþáèòåëåé åñòåñòâîçíàíèÿ. � 1899.
� 10, Âûï. 1. � Ñ.1-3.
2. Õàðëàìîâà Å.È., Ìîçàëåâñêàÿ Ã.Â. Èññëåäîâàíèå ðåøåíèÿ Â.À. Ñòåêëîâà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà,
èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó // Ìàò. ôèçèêà. � 1968. � Âûï. 5. � Ñ. 194-202.
3. Êó÷åð Å.Þ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé Ñòåêëîâà è ×àïëûãèíà //
Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 33-39.
4. Ìàðêååâ À.Ï. Êîíñòðóêòèâíûé ñïîñîá èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì è åãî ïðè-
ëîæåíèå â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ êëàññè÷åñêîé è íåáåñíîé ìåõàíèêè // 5-é Ìåæäóíàð. ñèìïîçèóì ïî
êëàññè÷åñêîé è íåáåñíîé ìåõàíèêå (Âåëèêèå Ëóêè, 23-28 àâãóñòà 2004ã.): Òåç. äîêë. � Ìîñêâà; Âå-
ëèêèå Ëóêè: Âû÷. öåíòð ÐÀÍ, 2004. � Ñ. 134-135.
5. Ìåëüíèêîâ Â.Ê. Îá óñòîé÷èâîñòè öåíòðà ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïî âðåìåíè âîçìóùåíèÿõ // Òð. ìîñê.
ìàò. îáùåñòâà. � 1963. � T. 12. � C. 1-50.
6. Ëèõòåíáåðã À., Ëèáåðìàí Ì. Ðåãóëÿðíàÿ è ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. � Ì.: Ìèð. � 1984. � 528 ñ.
7. Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. Chaotic motions and transition to stoñhasticity in the classical
problem of the heavy rigid body with a �xed point // Nuovo cimento. � 1981. � V. 61B, A. 127, S. 11. �
Ñ. 1-20.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
nat@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 11.05.04
36
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123736 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:31:59Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хлыстунова, Н.В. 2017-09-09T09:31:45Z 2017-09-09T09:31:45Z 2004 О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо / Н.В. Хлыстунова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 27-36. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123736 531.38 Методами резонансной теории возмущений исследовано хаотическое поведение динамической системыв окрестности решения Стеклова задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.В качестве невозмущенной системы рассмотрен осесимметричный случай Эйлера движения свободного твердого тела. Решению Стеклова соответствует резонанс второго порядка между собственными частотами невозмущенной системы.Каноническим преобразованием к новой медленной переменной гамильтониан задачи в окрестности решения Стеклова приведен к стандартной форме.Изучены свойства отображения последования, получены уравнения малых колебаний возмущенной задачи, с помощью интеграла Мельникова исследован эффект расщепления сепаратрис резонанса. Автор благодарит И.Н.Гашененко за постановку задачи и внимание к работе. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо Article published earlier |
| spellingShingle | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо Хлыстунова, Н.В. |
| title | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо |
| title_full | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо |
| title_fullStr | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо |
| title_full_unstemmed | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо |
| title_short | О периодических решениях Стеклова возмущенной задачи Эйлера-Пуансо |
| title_sort | о периодических решениях стеклова возмущенной задачи эйлера-пуансо |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123736 |
| work_keys_str_mv | AT hlystunovanv operiodičeskihrešeniâhsteklovavozmuŝennoizadačiéilerapuanso |