Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата
В задаче о движении тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки изучается бифуркационное множество для трехмерных поверхностей интегральных уровней. Рассмотрен частный случай, когда гиростатический момент направлен вдоль оси, проходящей через центр тяжести гиростата. При таком предположении осями ра...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123737 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 37-46. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859773593231032320 |
|---|---|
| author | Гашененко, И.Н. |
| author_facet | Гашененко, И.Н. |
| citation_txt | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 37-46. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | В задаче о движении тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки изучается бифуркационное множество для трехмерных поверхностей интегральных уровней. Рассмотрен частный случай, когда гиростатический момент направлен вдоль оси, проходящей через центр тяжести гиростата. При таком предположении осями равномерных вращений тела могут быть только образующие конуса Штауде.Исследованы направляющие кривые этого конуса, классифицированы бифуркационные диаграммы на плоскости констант первых интегралов.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:52:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. È.Í. Ãàøåíåíêî
ÁÈÔÓÐÊÀÖÈÈ ÓÐÎÂÍÅÉ ÏÅÐÂÛÕ ÈÍÒÅÃÐÀËÎÂ
ÇÀÄÀ×È Î ÄÂÈÆÅÍÈÈ ÒßÆÅËÎÃÎ ÃÈÐÎÑÒÀÒÀ
 çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè èçó÷àåòñÿ áèôóðêàöèîííîå ìíî-
æåñòâî äëÿ òðåõìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé èíòåãðàëüíûõ óðîâíåé. Ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ãè-
ðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò íàïðàâëåí âäîëü îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè ãèðîñòàòà. Ïðè òàêîì
ïðåäïîëîæåíèè îñÿìè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé òåëà ìîãóò áûòü òîëüêî îáðàçóþùèå êîíóñà Øòàóäå.
Èññëåäîâàíû íàïðàâëÿþùèå êðèâûå ýòîãî êîíóñà, êëàññèôèöèðîâàíû áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà
ïëîñêîñòè êîíñòàíò ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.
Ââåäåíèå. Äâèæåíèå ãèðîñòàòà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè îïèñûâàåòñÿ äèôôå-
ðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + r× ν, ν̇ = ν × ω, (1)
ãäå A = diag(A1, A2, A3) � òåíçîð èíåðöèè, ω � óãëîâàÿ ñêîðîñòü òåëà-íîñèòåëÿ â ïî-
äâèæíûõ îñÿõ, ν � îðò âåðòèêàëè, λ � ïîñòîÿííûé ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò è r � âåêòîð,
íàïðàâëåííûé èç íåïîäâèæíîé òî÷êè ê öåíòðó ìàññ ãèðîñòàòà. Óðàâíåíèÿ (1) äîïóñêà-
þò òðè ïåðâûõ èíòåãðàëà
H =
1
2
Aω · ω − r · ν = h, G = (Aω + λ) · ν = g, I = ν · ν = 1. (2)
Ââåäåííîå àíãëèéñêèìè ìåõàíèêàìè ïîíÿòèå ãèðîñòàòà íåîäíîêðàòíî îáîáùàëîñü â
ïðîøëîì âåêå. Ôèçè÷åñêè ðàçëè÷íûå êîíñòðóêöèè ãèðîñòàòîâ îáñóæäàëèñü â ðàáîòàõ
Ý.Äæ. Ðàóñà, Í.Å. Æóêîâñêîãî, Ò. Ëåâè�×èâèòà è Ó. Àìàëüäè, Ê. Ìàãíóñà, Ï.Â. Õàð-
ëàìîâà è äð. Ôîðìàëüíîå, íî íàèáîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ãèðîñòàòà áûëî äàíî
Ï.Â. Õàðëàìîâûì [1]. Äàëåå â ýòîé ðàáîòå áóäåì èçó÷àòü ãèðîñòàòû ñïåöèàëüíîãî âèäà,
õàðàêòåðèçóåìûå ÷àñòíûì óñëîâèåì
λ = κr, κ ∈ R. (3)
Ýòî óñëîâèå â îáùåì ñëó÷àå îçíà÷àåò, ÷òî ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò λ íàïðàâëåí âäîëü
îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè ãèðîñòàòà. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
(1) ïðè óñëîâèè (3) äîïóñêàþò îáîáùåíèÿ íåêîòîðûõ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé äèíàìè-
êè òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.  ÷àñòíîñòè, àíàëîã èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ
Ëàãðàíæà èçâåñòåí äëÿ óðàâíåíèé (1), (3). Ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ Â.À. Ñòåêëîâà,
Í. Êîâàëåâñêîãî è Äæ. Ãðèîëè òàêæå áûëè îáîáùåíû íà ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ ìå-
õàíè÷åñêèõ ñèñòåì.
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëîæèì κ > 0, òàê êàê óðàâíåíèÿ (1) èíâàðèàíòíû
îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (ω,κ, t) → (−ω,−κ,−t). Ñëó÷àé κ < 0 òðà-
åêòîðíî ýêâèâàëåíòåí ñëó÷àþ κ > 0. Ïåðåíóìåðóåì ãëàâíûå îñè èíåðöèè òàê, ÷òîáû
âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà
A1 ≥ A2 ≥ A3 > 0, r1 ≥ 0, r2 ≥ 0, r3 ≥ 0. (4)
37
È.Í. Ãàøåíåíêî
Ñåìü ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ (Ai, ri,κ) õàðàêòåðèçóþò ãèðîñòàòû ðàññìàòðèâàåìîãî âè-
äà, íî ââåäåíèåì áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîíèçèòü ÷èñëî êîíñòðóêòèâíûõ
ïàðàìåòðîâ äî ïÿòè.
Îñíîâíîé öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå òîïîëîãèè òèïè÷íûõ èíòåãðàëü-
íûõ ìíîãîîáðàçèé, âîçíèêàþùèõ â çàäà÷å î äâèæåíèè âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè òÿ-
æåëîãî ãèðîñòàòà, ðàñïðåäåëåíèå ìàññ êîòîðîãî ïîä÷èíåíî óñëîâèþ (3).  ñîîòâåòñòâèè
ñ ðåçóëüòàòàìè Ñ. Ñìåéëà [2], òðåõìåðíûå èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ
Q3
h, g = {H = h, G = g, I = 1} ⊂ R3(ω)× R3(ν)
ñòàíäàðòíûì îáðàçîì íàäñòðàèâàþòñÿ íàä îáëàñòÿìè âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ
Uh, g = {Ug(ν) ≤ h} ⊂ S2.
Ýòè îáëàñòè ÿâëÿþòñÿ ìíîãîîáðàçèÿìè óðîâíåé çàäàííîé íà ñôåðå S2 = {|ν| = 1}
ôóíêöèè Ìîðñà
Ug(ν) =
(g − λ · ν)2
2(Aν · ν)
− r · ν,
íàçûâàåìîé ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì [3]. Êðèòè÷åñêèå òî÷êè Ug(ν) íàõîäÿòñÿ âî
âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâíîìåðíûìè âðàùåíèÿìè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà
âîêðóã âåðòèêàëè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäðîáíûé àíàëèç ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ÿâëÿåòñÿ
òåîðåòè÷åñêèì ôóíäàìåíòîì äëÿ äàëüíåéøåãî ïðèìåíåíèÿ òîïîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ ê
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ìåõàíèêè.
Îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåì óäåëÿòü òîëüêî îáùèì ïðèíöèïàì êëàññèôèêàöèè ìíî-
ãîîáðàçèé Q3
h,g, íå ïðåòåíäóÿ íà âñþ ïîëíîòó èññëåäîâàíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî äåòàëüíîå
îïèñàíèå âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðî-
ñòàòà öåëåñîîáðàçíî íà÷àòü ñ ðàññìîòðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, òàê êàê äàæå
äëÿ áîëåå ïðîñòûõ óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà íåîñîáûå èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ
ïîëíîñòüþ èçó÷åíû è êëàññèôèöèðîâàíû ëèøü ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðà-
ìåòðû (íàïðèìåð, êîãäà öåíòð ìàññ òâåðäîãî òåëà ïðèíàäëåæèò ãëàâíîé îñè [4] èëè
íàõîäèòñÿ â îäíîé èç ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé èíåðöèè [5]).
 ýòîé ðàáîòå ïðîàíàëèçèðîâàíû è îïèñàíû ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ òÿæåëîãî ãè-
ðîñòàòà, ïîä÷èíåííîãî óñëîâèÿì (3), (4). Èññëåäîâàíèÿ îñíîâàíû íà îáùèõ ðåçóëüòàòàõ
Î. Øòàóäå [6] è Ï.Â. Õàðëàìîâà [7]. Ñíà÷àëà íàéäåíû âîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ îñåé ðàâ-
íîìåðíûõ âðàùåíèé â ïîäâèæíîì áàçèñå è ïîêàçàíî, ÷òî ýòè îñè ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùè-
ìè êîíóñà âòîðîãî ïîðÿäêà. Çàòåì îïðåäåëåíû äîïóñòèìûå äóãè ñôåðè÷åñêîé êðèâîé,
ïîëó÷åííîé ïåðåñå÷åíèåì êîíóñà ñ åäèíè÷íîé ñôåðîé. Äàëåå, ñ ïîìîùüþ íàéäåííûõ
êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà Ug(ν) ïîñòðîåíû áèôóðêàöèîííûå äèà-
ãðàììû: ïëîñêîñòü R2(h, g) øåñòüþ êðèâûìè ðàçäåëåíà íà íåñêîëüêî (íå ìåíåå äåñÿòè)
ñâÿçíûõ ïîäîáëàñòåé, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ óêàçàí òîïîëîãè÷åñêèé òèï èíòåãðàëü-
íîãî ìíîãîîáðàçèÿ Q3
h,g.
1. Êîíóñ Øòàóäå. Åñëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïîñòîÿííà ïî îòíîøåíèþ ê òåëó-íîñèòå-
ëþ (ω = const), òî îíà ïîñòîÿííà è â ïðîñòðàíñòâå: ãèðîñòàò ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ
âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, âäîëü êîòîðîé íàïðàâëåí âåêòîð ω. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (1)
è óñëîâèÿ (3) ñëåäóåò îòìå÷åííîå â ðàáîòå [8] ðàâåíñòâî
(Aω × ω) · r = 0, (5)
38
Áèôóðêàöèè óðîâíåé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà
êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ÷òî òðè íåèçìåííûõ â òåëå âåêòîðà Aω,ω, r ëåæàò â îäíîé ïëîñ-
êîñòè. Óðàâíåíèå (5) îïðåäåëÿåò êîíóñ Øòàóäå [6], íåèçìåííî ñâÿçàííûé ñ òåëîì. Ýòîò
êîíóñ âòîðîãî ïîðÿäêà çàäàí â ïîäâèæíîì áàçèñå è ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì
îñåé ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé.  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå (3) íå âûïîëíÿåòñÿ, îñè
ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ïðèíàäëåæàò ñëîæíîé êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ÷åòâåðòîãî ïî-
ðÿäêà. Óðàâíåíèå ýòîé ïîâåðõíîñòè áûëî ïîëó÷åíî Ï.Â. Õàðëàìîâûì [7] è èññëåäîâàíî
À.Ì. Êîâàëåâûì [9]. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà êîíóñà ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé òÿæåëîãî ãè-
ðîñòàòà áûëè èçó÷åíû òàêæå â ðàáîòàõ [10, 11].
Ñ ïîìîùüþ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (2) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åäèíè÷íûé âåêòîð ν ñî-
õðàíÿåò ñâîå íàïðàâëåíèå íå òîëüêî â ïðîñòðàíñòâå, íî è â ïîäâèæíîì áàçèñå. Ñëå-
äîâàòåëüíî, îñüþ ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ òåëà â ïðîñòðàíñòâå ìîæåò ñëóæèòü òîëüêî
âåðòèêàëü
ω = ±|ω|ν. (6)
Ïîäñòàâèì (6) â ðàâåíñòâî (5). Óðàâíåíèå
(A2 − A3)ν2ν3r1 + (A3 − A1)ν3ν1r2 + (A1 − A2)ν1ν2r3 = 0 (7)
îïðåäåëÿåò íà åäèíè÷íîé ñôåðå Ïóàññîíà ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ êîíóñà îñåé ðàâíîìåð-
íûõ âðàùåíèé ñ ýòîé ñôåðîé. Îñÿìè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ìîãóò áûòü ëèøü òå èç
îáðàçóþùèõ êîíóñà Øòàóäå, äëÿ êîòîðûõ âåêòîðíîå óðàâíåíèå
(Aν × ν)|ω|2 ± (λ× ν)|ω|+ r× ν = 0, (8)
ïîëó÷åííîå ïîäñòàíîâêîé (6) â ïåðâîå óðàâíåíèå (1), ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü äåéñòâè-
òåëüíóþ âåëè÷èíó |ω|. Âñå òàêèå îáðàçóþùèå êîíóñà (5), à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå èì
òî÷êè ñôåðè÷åñêîé êðèâîé (7) Î. Øòàóäå íàçûâàë äîïóñòèìûìè [6]. Èç óðàâíåíèÿ (8)
à á
â ã
Ðèñ. 1. Äîïóñòèìûå äóãè êðèâîé Øòàóäå íà ñôåðå S2 = {|ν| = 1}.
39
È.Í. Ãàøåíåíêî
ñëåäóåò, ÷òî äîïóñòèìûå òî÷êè ñôåðè÷åñêîé êðèâîé óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
(r2ν3 − r3ν2)
[
κ2(r2ν3 − r3ν2) + 4(A3 − A2)ν2ν3
] ≥ 0,
(r3ν1 − r1ν3)
[
κ2(r3ν1 − r1ν3) + 4(A1 − A3)ν3ν1
] ≥ 0,
(r1ν2 − r2ν1)
[
κ2(r1ν2 − r2ν1) + 4(A2 − A1)ν1ν2
] ≥ 0.
(9)
Äëÿ ïàðàìåòðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (3), (4) è íåðàâåíñòâàì
(A1 − A2)(A2 − A3)(A3 − A1) 6= 0, r1r2r3 6= 0,
âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû ðàñïîëîæåíèÿ äîïóñòèìûõ äóã êðèâîé Øòàóäå íà åäèíè÷íîé
ñôåðå èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1, à � ã; â ïðàâîé ÷àñòè êàæäîãî ðèñóíêà äëÿ íàãëÿäíîñòè
ïîêàçàíû âñÿ ñôåðè÷åñêàÿ êðèâàÿ (7), ãëàâíûå îñè èíåðöèè è ïóíêòèðîì îòìå÷åíà
îñü, íåñóùàÿ öåíòð ìàññ ãèðîñòàòà. Ãðàíè÷íûå òî÷êè äîïóñòèìûõ äóã ñîîòâåòñòâóþò
êðàòíûì êîðíÿì óðàâíåíèé (8) è, â ÷àñòíîñòè, òî÷êè ν = ±r/|r| âñåãäà ÿâëÿþòñÿ
ãðàíè÷íûìè. Êàê ñëåäóåò èç ýòèõ ðèñóíêîâ, îäíà èëè äâå äóãè ìîãóò ïðèíàäëåæàòü
êàæäîé ïîëîñòè êîíóñà Øòàóäå, òî åñòü ÷èñëî äîïóñòèìûõ äóã çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ
ãèðîñòàòà. Ðèñ. 1, à ñîîòâåòñòâóåò äîñòàòî÷íî áîëüøèì çíà÷åíèÿì κ, ðèñ. 1, ã � ìàëûì
çíà÷åíèÿì κ.
Ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè |ω| ïðîñòðàíñòâåííûå êðèâûå, ñîîòâåòñòâóþùèå
ìíîæåñòâó ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé íà êîíóñå (5), ïðèáëèæàþòñÿ ê àñèìïòîòè÷åñêèì
ëèíèÿì. Â R3(ω) àñèìïòîòàìè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå
l1 = {ω : ω2 = r2κ(A1 − A2)
−1, ω3 = r3κ(A1 − A3)
−1},
l2 = {ω : ω1 = r1κ(A2 − A1)
−1, ω3 = r3κ(A2 − A3)
−1},
l3 = {ω : ω1 = r1κ(A3 − A1)
−1, ω2 = r2κ(A3 − A2)
−1}.
2. Ïàðàìåòðèçàöèÿ ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé. Ïðè èññëåäîâàíèè ðàâíîìåðíûõ
âðàùåíèé áóäåì èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòðèçàöèþ, óñïåøíî ïðèìåíÿåìóþ â çàäà÷àõ äè-
íàìèêè òâåðäîãî òåëà (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòû [11, 12]). Ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâíîìåðíûì
âðàùåíèÿì êîìïîíåíòû âåêòîðîâ ν, ω îïðåäåëèì ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè
νi =
(µκ + 1)ri
(σ − Ai)µ2
, ωi = µγi, i = 1, 2, 3, (10)
ïðè ýòîì çàâèñèìîñòü µ(σ) âåëè÷èíû óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ îò ïàðàìåòðà σ çà-
äàäèì óðàâíåíèåì
µ4 − (µκ + 1)2S0 = 0, ã S0 =
3∑
i=1
r2
i
(Ai − σ)2
. (11)
Ïàðàìåòð σ, èçìåíÿÿñü â èíòåðâàëå (−∞, ∞), âçàèìíî îäíîçíà÷íî ïðîáåãàåò âñå îáðà-
çóþùèå îñè êîíóñà Øòàóäå, çà èñêëþ÷åíèåì åäèíè÷íîãî âåêòîðà öåíòðà ìàññ. Óðàâíå-
íèå (11) îïðåäåëÿåò íà ïëîñêîñòè R2(σ, µ) ãëàäêóþ êðèâóþ, êîòîðàÿ ïðåîáðàçîâàíèåì
(10) îòîáðàæàåòñÿ íà äîïóñòèìûå äóãè ñôåðè÷åñêîé êðèâîé (7).
40
Áèôóðêàöèè óðîâíåé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà
Çàìåíà ïåðåìåííûõ (10) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü (9) â âèäå ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ
r2
2r
2
3(A3 − A2)
2(µκ + 1)2(µκ + 2)2
µ6(σ − A2)2(σ − A3)2
≥ 0,
r2
3r
2
1(A1 − A3)
2(µκ + 1)2(µκ + 2)2
µ6(σ − A3)2(σ − A1)2
≥ 0,
r2
1r
2
2(A2 − A1)
2(µκ + 1)2(µκ + 2)2
µ6(σ − A1)2(σ − A2)2
≥ 0.
Ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çíà÷åíèÿ µ = −2κ−1 è µ = ±∞ âñåãäà ñîîòâåò-
ñòâóþò ãðàíè÷íûì òî÷êàì äîïóñòèìûõ äóã êðèâîé Øòàóäå.
Äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ (11) îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé µ èìååò âèä
d = 16S3
0(κ4S0 − 16).
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé σ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó S0 < 16κ−4, óðàâíåíèå
(11) èìååò äâà äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ:
−∞ <
2
κ
(1−
√
2) < µ2 < 0 < µ1 <
2
κ
(1 +
√
2) < ∞. (12)
Ïðè σ → ±∞ îáà êîðíÿ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.
Åñëè çíà÷åíèå σ 6= Ai ñîîòâåòñòâóåò íåðàâåíñòâó S0 > 16κ−4, òî óðàâíåíèå (11)
èìååò ÷åòûðå äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ:
−∞ < µ4 < − 2
κ
< µ3 < − 1
κ
< µ2 <
2
κ
(1−
√
2) < 0 <
2
κ
(1 +
√
2) < µ1 < ∞. (13)
Äëÿ σ = Ai äåéñòâèòåëüíûå êîðíè èìåþò âèä µ1,4 = ±∞, µ2,3 = −κ−1. Ñëåäñòâèåì
ýòîãî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, êîòîðîå âïåðâûå áûëî
îòìå÷åíî â [8]: åñëè ãèðîñòàò ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ âîêðóã ãëàâíîé îñè èíåðöèè, òî
|ω| = κ−1. Êðèâàÿ (11) èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèÿ â òî÷êàõ (σ, µ) = (Ai, −κ−1), óãëîâûå
êîýôôèöèåíòû êàñàòåëüíûõ â ýòèõ òî÷êàõ ðàâíû dµ/dσ = ±κ−3r−1
i .
Ïðè íóëåâîì çíà÷åíèè äèñêðèìèíàíòà d óðàâíåíèe (11) äîïóñêàåò êðàòíûé êîðåíü:
µ4 = µ3 = − 2
κ
< µ2 =
2
κ
(1−
√
2) < 0 < µ1 =
2
κ
(1 +
√
2). (14)
Çàôèêñèðóåì çíà÷åíèå µ 6= −κ−1. Òîãäà (11), ðàññìàòðèâàåìîå êàê óðàâíåíèå îòíîñè-
òåëüíî σ, èìååò íå ìåíåå äâóõ, íî íå áîëåå øåñòè äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé: ïî îäíîìó
êîðíþ â èíòåðâàëàõ (−∞, A3), (A1,∞) ; â èíòåðâàëàõ (A3, A2), (A2, A1) îíî èìååò ëèáî
äâà, ëèáî íè îäíîãî êîðíÿ [11].
Íàéäåì ïàðàìåòð µ èç óðàâíåíèÿ (11) è ïîäñòàâèì åãî â ñîîòíîøåíèÿ (10). Òîãäà
ïàðàìåòðè÷åñêèå çàâèñèìîñòè êîìïîíåíò âåêòîðîâ ν, ω, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàâíîìåð-
íûì âðàùåíèÿì òåëà, èìåþò ñëåäóþùèé âèä
νi =
{
ri (σ − Ai)
−1S
−1/2
0 , åñëè S0 < 16κ−4,
± ri (σ − Ai)
−1S
−1/2
0 , åñëè S0 ≥ 16κ−4;
(15)
41
È.Í. Ãàøåíåíêî
ωi =
ri (σ − Ai)
−1(κ/2±
√
κ2/4 + S
−1/2
0 ), åñëè S0 < 16κ−4,
ri (σ − Ai)
−1(κ/2±
√
κ2/4± S
−1/2
0 ), åñëè S0 ≥ 16κ−4.
(16)
Çàôèêñèðóåì ïàðàìåòðû ãèðîñòàòà Ai, ri, κ. Åñëè ýëëèïñîèä èíåðöèè ãèðîñòàòà ÿâ-
ëÿåòñÿ òðåõîñíûì è öåíòð ìàññ çàíèìàåò �îáùåå ïîëîæåíèå�, òî âñå âîçìîæíûå ðàñ-
ïîëîæåíèÿ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè R2(σ, µ) ïîêàçàíû íà ðèñ. 2. Ðàçäåëÿþùèå çíà÷åíèÿ
s
m m
s s
m m
s
à á â ã
Ðèñ. 2. Êðèâûå íà ïëîñêîñòè R2(σ, µ).
ïàðàìåòðîâ Ai, ri, κ, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå òèïà êðèâîé µ(σ), íàéäåì èç
óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè ðåøåíèé äâóõ óðàâíåíèé
S0 − 16κ−4 = 0, S
′
0 ≡
3∑
i=1
2r2
i
(σ − Ai)3
= 0. (17)
Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ κ ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøå-
íèÿì ñèñòåìû (17), óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
κ4
[
r2
1 + r2
2
(A1 − A2)2
+
r2
2 + r2
3
(A2 − A3)2
+
r2
3 + r2
1
(A3 − A1)2
]
=
16
3
. (18)
Äèôôåðåíöèðîâàíèåì óðàâíåíèÿ (11) íàéäåì âûðàæåíèå
dµ
dσ
=
(µκ + 1)µS
′
0
2(µκ + 2)S0
,
êîòîðîå ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü íàïðàâëåíèÿ êàñàòåëüíûõ â òî÷êàõ êðèâîé µ(σ).
Åñëè óñëîâèå (3) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî êðèâàÿ µ(σ) ìîæåò èìåòü ãîðàçäî áîëåå ñëîæ-
íûé âèä. Èññëåäîâàíèþ îáùåãî ñëó÷àÿ ïîñâÿùåíà ðàáîòà [11], â êîòîðîé àâòîðàì óäà-
ëîñü èçó÷èòü îñíîâíûå ñâîéñòâà ýòîé êðèâîé. Ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ âîçìîæíûõ âèäîâ
êðèâîé µ(σ) ïîêà, ê ñîæàëåíèþ, îòñóòñòâóåò.
3. Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû. Ïîäñòàâèì êîìïîíåíòû ïîñòîÿííûõ âåêòîðîâ
ν,ω, çàäàííûå ôîðìóëàìè (10), â èíòåãðàëû H, G. Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
íàéäåì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè R2(h, g):
h =
1
2
σµ2 +
(µκ + 1)(µκ + 3)
2µ2
U0,
g = σµ +
(µκ + 1)
µ3
U0, ã U0 =
3∑
i=1
r2
i
(Ai − σ)
.
(19)
42
Áèôóðêàöèè óðîâíåé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà
 ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ σ ∈ (−∞, A3)∪(A3, A2)∪(A2, A1)∪(A1,∞), à çàâèñèìîñòü µ(σ) ïî-
ïðåæíåìó îïðåäåëåíà óðàâíåíèåì (11). Íåïîñðåäñòâåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì óðàâ-
íåíèé (19) íàéäåì ðàâåíñòâî
2µ2
(
dg
dσ
µ− dh
dσ
)
= µ4 − (µκ + 1)2S0,
èç êîòîðîãî, ó÷èòûâàÿ (11), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
dh
dg
= µ. (20)
Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå µ îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå íàêëîíà êàñàòåëüíîé â ñîîòâåò-
ñòâóþùåé òî÷êå êðèâîé (19).  ÷àñòíîñòè, èç (20), (11) ñëåäóåò, ÷òî íà ëþáîé áèôóð-
êàöèîííîé äèàãðàììå ñóùåñòâóþò íå ìåíåå äâóõ, íî íå áîëåå øåñòè ðàçëè÷íûõ òî÷åê
ñ ðàâíûìè óãëîâûìè êîýôôèöèåíòàìè êàñàòåëüíûõ â ýòèõ òî÷êàõ.
Íóëåâîå çíà÷åíèå óãëîâîé ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâóåò òî÷êàì
P0 = (|r|,−κ|r|), P1 = (−|r|,κ|r|)
áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ (19). Ïðîâåäåì ïðÿìóþ
l = {h, g : hκ + g = 0} ⊂ R2(h, g)
÷åðåç òî÷êè P0, P1. Óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé l ñ êðèâûìè (19) ïðèâîäèò ê ïðîñòî-
ìó ðàâåíñòâó (µκ + 2)µ = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ l ïåðåñåêàåò áèôóðêàöèîííóþ
äèàãðàììó òîëüêî â òåõ òî÷êàõ, ãäå µ = 0 èëè µ = −2κ−1. Ñîîòâåòñòâóþùåå óñëîâèÿì
(17) âåòâëåíèå êðèâûõ (19) òàêæå ïðîèñõîäèò íà ïðÿìîé l.
Åñëè çíà÷åíèÿ ri 6= 0, òî ëþáàÿ òî÷êà (σ, µ) = (Ai, −κ−1) ñàìîïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé
(11) ïîäñòàíîâêîé â óðàâíåíèÿ (19) ïðåîáðàçóåòñÿ â äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè áèôóðêàöè-
îííîé äèàãðàììû. Êîîðäèíàòû ýòèõ òî÷åê òàêîâû: (h, g) = (1
2
Aiκ−2∓ri, −Aiκ−1±κri).
g
hiii
iv
iii
ii
ii
iii
iii
i
g
h
iv
i
ii
ii
ii
iii
iii
i
i
iii
g
h
iv
i
ii
ii
iii
iiiiii
i
i
g
h
i ii
iv
i
ii
iii
iii
i
i
à á â ã
Ðèñ. 3. Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà ïëîñêîñòè R2(h, g).
Òèïè÷íûå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà ïëîñêîñòè R2(h, g) ïîêàçàíû ñõåìàòè÷-
íî íà ðèñ. 3: à)κ = 1.5, á)κ = 1.1, ã)κ = 0.5, ýòè äèàãðàììû ïîñòðîåíû äëÿ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ A = (2, 1.5, 1), r = (
√
0.5,
√
0.3,
√
0.2); â)κ = 0.5, äèàãðàììà ïîñòðîåíà äëÿ
çíà÷åíèé A = (2, 1.8, 1.7), r = (
√
0.3,
√
0.5,
√
0.2). Äèàãðàììû íà ðèñ. 3 ñîîòâåòñòâóþò
êðèâûì íà ðèñ. 2 è äîïóñòèìûì äóãàì ñôåðè÷åñêèõ êðèâûõ, èçîáðàæåííûì íà ðèñ. 1.
43
È.Í. Ãàøåíåíêî
Ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ãèðîñòàòà ïî èíåðöèè, èõ óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè èçó-
÷åíû äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî (ñì. ðàáîòó [13], ãäå òàêæå èìåþòñÿ ññûëêè íà èññëåäîâàíèÿ
äðóãèõ àâòîðîâ). Ïðè |λ|/|r| → ∞ êðèâûå íà ðèñ. 3, à ïðèáëèæàþòñÿ ê áèôóðêàöèîí-
íîé äèàãðàììå ãèðîñòàòà, äâèæóùåãîñÿ ïî èíåðöèè (ñì. ðèñ. 5 â ðàáîòå [14]). Â ýòîì
ïðåäåëüíîì ñëó÷àå äèàãðàììà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé g = 0, òî÷êè P0, P1
èìåþò êîîðäèíàòû (0,±|λ|) ∈ R2(h, g), äâå ñèììåòðè÷íûå âåòâè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå
((A−1λ ·λ)/2, 0) ∈ R2(h, g). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äèàãðàììà íà ðèñ. 3, ã ñóùåñòâóåò ëèøü
ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà κ, ïðè κ → 0 îòìå÷åííûå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âåò-
âåé óõîäÿò íà áåñêîíå÷íîñòü. Ïðåäåëüíàÿ äèàãðàììà ñîîòâåòñòâóåò õîðîøî èçâåñòíîìó
ñëó÷àþ λ = 0.
Áèôóðêàöèîííûå êðèâûå (19) äåëÿò ïëîñêîñòü R2(h, g) íà ïîäîáëàñòè ñ ðàçëè÷íû-
ìè òèïàìè íåîñîáûõ ìíîãîîáðàçèéQ3
h,g (ñì. ðèñ. 3). Àíàëèç îñîáûõ òî÷åê ýôôåêòèâíîãî
ïîòåíöèàëà Ug(ν) íà ñôåðå Ïóàññîíà ïîçâîëÿåò îïèñàòü òîïîëîãèþQ3
h,g ïî ñòàíäàðòíîé
ñõåìå. Îñíîâíûå òèïû Q3
h,g, êàê è äëÿ λ = 0, ãîìåîìîðôíû ñëåäóþùèì òðåõìåðíûì
êîìïàêòíûì îðèåíòèðóåìûì ìíîãîîáðàçèÿì: i) S3, ii) S3 ∪ S3, iii) S1 × S2, iv)RP 3.
Îñîáûå òî÷êè ïëîñêèõ êðèâûõ (19) íàéäåì èç óñëîâèé dh/dσ = dg/dσ = 0. Äîïîë-
íèòåëüíîå óðàâíåíèå
2(µκ + 2)2S2
0 +
[
(µκ + 1)2σS0 − (2µκ + 3)U0
]
S
′
0 = 0,
ðàññìàòðèâàåìîå ñîâìåñòíî ñ (11), (19), ïîçâîëÿåò èçó÷èòü îñîáûå òî÷êè áèôóðêàöèîí-
íûõ êðèâûõ è íàéòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ãèðîñòàòà, ïðè êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ ñòðóêòóðà
áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.
4. Öåíòð ìàññ ïðèíàäëåæèò ãëàâíîé îñè èíåðöèè. Ïóñòü âåêòîð r êîëëè-
íåàðåí âåêòîðó ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà λ è, êðîìå òîãî, íàïðàâëåí âäîëü îäíîé èç
ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè. Âìåñòî íåðàâåíñòâ (4) â ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì
A1 > 0, A2 > A3 > 0, r1 > 0, r2 = r3 = 0. (21)
Òîãäà ðàâíîìåðíûì âðàùåíèÿì ãèðîñòàòà ñîîòâåòñòâóþò ÷åòûðå ñåìåéñòâà ñòàöèîíàð-
íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé (1), çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà τ ∈ R:
1), 2) ν1 = ±1, ω1 = τ, ν2 = ν3 = ω2 = ω3 = 0;
3) ν1 =
(τκ + 1)r1
(A2 − A1)τ 2
, ν2 = 1− (τκ + 1)2r2
1
(A2 − A1)2τ 4
, ν3 = 0, ωi = τνi;
4) ν1 =
(τκ + 1)r1
(A3 − A1)τ 2
, ν3 = 1− (τκ + 1)2r2
1
(A3 − A1)2τ 4
, ν2 = 0, ωi = τνi.
Áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç äóã ÷åòûðåõ ïëîñêèõ êðèâûõ, îïèñûâàåìûõ ñëå-
äóþùèìè óðàâíåíèÿìè:
h =
(g ± κr1)
2
2A1
± r1, (22)
h =
1
2
A2τ
2 +
(τκ + 1)(τκ + 3)
2τ 2
σ2, g = A2τ +
(τκ + 1)
τ 3
σ2, τ ∈ Γ2, (23)
h =
1
2
A3τ
2 +
(τκ + 1)(τκ + 3)
2τ 2
σ3, g = A3τ +
(τκ + 1)
τ 3
σ3, τ ∈ Γ3, (24)
44
Áèôóðêàöèè óðîâíåé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà
ãäå
σi = r2
1(A1 − Ai)
−1, Γi = {τ 4 − (τκ + 1)r−2
1 σ2
i ≥ 0} ⊂ R, i = 2, 3.
Óðàâíåíèÿ (22) îïèñûâàþò íà ïëîñêîñòè R2(h, g) äâå ïàðàáîëû, ïåðåñåêàþùèåñÿ â
òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (h, g) = (A1κ−2/2 + κ2r2
1/2/A1,−A1κ−1). Âåðøèíû ïàðàáîë ðàñ-
ïîëîæåíû â òî÷êàõ P0, P1. Âñå òî÷êè ýòèõ äâóõ êðèâûõ ïðèíàäëåæàò áèôóðêàöèîííîìó
ìíîæåñòâó.
Èññëåäóåì êðèâóþ, çàäàííóþ óðàâíåíèåì (23).  çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðà-
ìåòðîâ ìíîæåñòâî Γ2 ìîæåò ñîñòîÿòü èç äâóõ (ïðè κ4r2
1 < 16(A1−A2)
2) èëè òðåõ (ïðè
κ4r2
1 > 16(A1−A2)
2) ñåãìåíòîâ äåéñòâèòåëüíîé îñè.  îñîáûõ òî÷êàõ (òî÷êàõ âîçâðàòà)
ýòîé êðèâîé ïåðåìåííàÿ τ ∈ Γ2 è óäîâëåòâîðÿåò äîïîëíèòåëüíîìó óðàâíåíèþ
A2τ
4 − (2τκ + 3)σ2 = 0. (25)
×èñëî êîðíåé óðàâíåíèÿ (25), íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè ðàçëè÷íûõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ìíî-
æåñòâà Γ2, çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ãèðîñòàòà. Ðàçäåëÿþùèå çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ
ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé
A2r
2
1κ4 ± 2(4A2 − A1)(A2 − A1)r1κ2 + (A2 − A1)(4A2 − 3A1)
2 = 0.
Êðîìå òîãî, íà áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììàõ ñóùåñòâóþò òî÷êè âåòâëåíèÿ, â êîòîðûõ
âåòâè êðèâîé (23) �ïðèñîåäèíÿþòñÿ� ê ïàðàáîëàì (22).  ýòîì ñëó÷àå ïåðåìåííàÿ τ ïðè-
íàäëåæèò ãðàíèöå ìíîæåñòâà Γ2. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðàõ äèàãðàììà ìîæåò
ñîäåðæàòü ëèáî äâå, ëèáî ÷åòûðå òî÷êè âåòâëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî âèäà. Èõ êîîðäè-
íàòû (h, g) íàéäåì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
{
(A1 − A2)g
2 + (A1 − 2A2)εr1κg − A2r
2
1κ2 − εr1A
2
1 = 0,
2(h− εr1)A1 − (g + εκr1)
2 = 0, ãäå ε = ±1.
Áèôóðêàöèîííàÿ êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (24), èìååò àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðó.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì äèàãðàììó äëÿ çíà-
g
h
iii
iv i
ii
ii
ii
iii
iii
i
v
vi
Ðèñ. 4. Áèôóðêàöèîííàÿ äèà-
ãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ r2 = r3 = 0.
÷åíèé ïàðàìåòðîâ A = (2, 1.5, 1), r = (1, 0, 0), κ = 1.5.
Ñåìü âåòâåé áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ (22)�(24) èçîáðàæå-
íû íà ðèñ. 4. Îíè ðàçäåëÿþò ïëîñêîñòü R2(h, g) íà äâåíà-
äöàòü ñâÿçíûõ ïîäîáëàñòåé ñ ðàçëè÷íîé òîïîëîãèåé Q3
h,g.
Íåîñîáûå èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ Q3
h,g â ýòîì ñëó÷àå
ãîìåîìîðôíû ñëåäóþùèì 3�ìíîãîîáðàçèÿì: i) S3, ii) S3 ∪
S3, iii) S1×S2, iv)RP 3, v) (S1×S2)#(S1×S2), vi) S3∪S3∪
S3. Ïðåäïîñëåäíåå ìíîãîîáðàçèå v) âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ
çàäà÷àõ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà � ýòî ñâÿçíàÿ ñóììà äâóõ
ýêçåìïëÿðîâ S1×S2 [14]. Äëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
äèàãðàììû ìîãóò èìåòü áîëåå ñëîæíûé âèä.
Îñíîâíûå ñâîéñòâà, îòìå÷åííûå â äàííîì ïóíêòå, ïîç-
âîëÿþò êëàññèôèöèðîâàòü áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû è ïîëíîñòüþ èññëåäîâàòü (ïî
ïðåäëîæåííîé â ðàáîòå [4] ìåòîäèêå) òîïîëîãèþ èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé ãèðîñòà-
òà, ïàðàìåòðû êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (3), (21). Êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå ðå-
çóëüòàòû ïîçâîëÿþò äåëàòü âûâîäû îá óñòîé÷èâîñòè íåêîòîðûõ êëàññîâ ðàâíîìåðíûõ
âðàùåíèé òÿæåëîãî ãèðîñòàòà âîêðóã âåðòèêàëè è íàõîäèòü òî÷íûå ãðàíèöû îáëàñòåé
óñòîé÷èâîñòè.
45
È.Í. Ãàøåíåíêî
1. Õàðëàìîâ Ï.Â. Ãiðîñòàòè// Äîïîâ. ÀÍ ÓÐÑÐ. Ñåð. À. � 1988. � � 9. � Ñ. 37�40.
2. Ñìåéë Ñ. Òîïîëîãèÿ è ìåõàíèêà// Óñïåõè ìàòåì. íàóê. � 1972. � 27, âûï. 2. � Ñ. 77�121.
3. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç èíòåãðèðóåìûõ çàäà÷ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. � Ë.: Èçä-
âî Ëåíèíãð. óí-òà, 1988. � 200 ñ.
4. Êàòîê Ñ.Á. Áèôóðêàöèîííûå ìíîæåñòâà è èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿ-
æåëîãî òâåðäîãî òåëà// Óñïåõè ìàòåì. íàóê. � 1972. � 27, âûï. 2. � Ñ. 126�132.
5. Ãàøåíåíêî È.Í. Èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà// Ìå-
õàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 20�32.
6. Staude O. �Uber permanente Rotationsaxen bei der Bewegung eines schweren K�orpers um einen festen
Punkt// J. reine und angew. Math. � 1894.� 113, H. 4. � S. 318�334.
7. Õàðëàìîâ Ï.Â. Î ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèÿõ òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó// Ïðèêë. ìàòåìà-
òèêà è ìåõàíèêà. � 1965. � 29, âûï. 2. � Ñ. 373�375.
8. Äðîôà Â.Í. Î ïåðìàíåíòíûõ îñÿõ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî ãèðîñòàòà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè// Òàì
æå. � 1961. � 25, âûï. 5. � Ñ. 941�945.
9. Êîâàëåâ À.Ì. Î ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà, èìåþùåãî
íåïîäâèæíóþ òî÷êó// Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà. � 1968. � Âûï. 5. � Ñ. 87�102.
10. Àí÷åâ À.Î ïåðìàíåíòíûõ âðàùåíèÿõ òÿæåëîãî ãèðîñòàòà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó//Ïðèêë.
ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1967. � 31, âûï. 1. � Ñ. 49�58.
11. Êîâàëåâ À.Ì., Êèñåëåâ À.Ì. Î êîíóñå îñåé ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ ãèðîñòàòà// Ìåõàíèêà òâåð-
äîãî òåëà. � 1972. � Âûï. 4. � Ñ. 36�45.
12. Ðóáàíîâñêèé Â.Í. Î áèôóðêàöèè è óñòîé÷èâîñòè ïåðìàíåíòíûõ âðàùåíèé òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà
ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé// Òåîðåòè÷íà è ïðèëîæíà ìåõàíèêà. � Ñîôèÿ, 1974. � 5, � 4. �
Ñ. 55�70.
13. Ðóáàíîâñêèé Â.Í. Î áèôóðêàöèè è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ
äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà// Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1974. � 38, âûï. 4. � Ñ. 616�627.
14. Oshemkov A.A. Fomenko invariants for the main integrable cases of the rigid body motion equations//
Advances in Sov. Math. � 1991. � 6. � P. 67�146.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
gashenenko@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 01.06.04
46
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123737 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:52:09Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гашененко, И.Н. 2017-09-09T09:33:04Z 2017-09-09T09:33:04Z 2004 Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 37-46. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123737 531.38 В задаче о движении тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки изучается бифуркационное множество для трехмерных поверхностей интегральных уровней. Рассмотрен частный случай, когда гиростатический момент направлен вдоль оси, проходящей через центр тяжести гиростата. При таком предположении осями равномерных вращений тела могут быть только образующие конуса Штауде.Исследованы направляющие кривые этого конуса, классифицированы бифуркационные диаграммы на плоскости констант первых интегралов. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата Article published earlier |
| spellingShingle | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата Гашененко, И.Н. |
| title | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата |
| title_full | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата |
| title_fullStr | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата |
| title_full_unstemmed | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата |
| title_short | Бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата |
| title_sort | бифуркации уровней первых интегралов задачи о движении тяжелого гиростата |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123737 |
| work_keys_str_mv | AT gašenenkoin bifurkaciiurovneipervyhintegralovzadačiodviženiitâželogogirostata |