Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов
Исследуется эволюция вращений твердого тела (спутника Солнца, движущегося но эллиптической орбите с произвольным эксцентриситетом) иод действием моментов сил гравитации и светового давления. Тело предполагается динамически несимметричным, а его поверхность является поверхностью вращения. Углы ρ и σ,...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2004 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123744 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, С.Г. Суксова, И.А. Тимошенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 95-105. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859649357627785216 |
|---|---|
| author | Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Суксова, С.Г. Тимошенко, И.А. |
| author_facet | Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Суксова, С.Г. Тимошенко, И.А. |
| citation_txt | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, С.Г. Суксова, И.А. Тимошенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 95-105. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследуется эволюция вращений твердого тела (спутника Солнца, движущегося но эллиптической орбите с произвольным эксцентриситетом) иод действием моментов сил гравитации и светового давления. Тело предполагается динамически несимметричным, а его поверхность является поверхностью вращения. Углы ρ и σ, определяющие положение вектора кинетического момента относительно его центра масс, найдены во втором приближении по малому параметру ε как функции истинной аномалии ν.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:31:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ ÓÄÊ 531.55:521.2
c©2004. Ë.Ä. Àêóëåíêî, Ä.Ä. Ëåùåíêî, Ñ.Ã. Ñóêñîâà, È.À. Òèìîøåíêî
ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÑÏÓÒÍÈÊÀ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎ ÖÅÍÒÐÀ ÌÀÑÑ
ÏÎÄ ÄÅÉÑÒÂÈÅÌ ÃÐÀÂÈÒÀÖÈÎÍÍÛÕ È ÑÂÅÒÎÂÛÕ ÌÎÌÅÍÒÎÂ
Èññëåäóåòñÿ ýâîëþöèÿ âðàùåíèé òâåðäîãî òåëà (ñïóòíèêà Ñîëíöà, äâèæóùåãîñÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé îð-
áèòå ñ ïðîèçâîëüíûì ýêñöåíòðèñèòåòîì) ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòîâ ñèë ãðàâèòàöèè è ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ.
Òåëî ïðåäïîëàãàåòñÿ äèíàìè÷åñêè íåñèììåòðè÷íûì, à åãî ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùå-
íèÿ. Óãëû ρ è σ, îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå âåêòîðà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà
ìàññ, íàéäåíû âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ε êàê ôóíêöèè èñòèííîé àíîìàëèè ν.
1. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñïóòíèêà èëè êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà îòíîñèòåëüíî öåíòðà
ìàññ ïîä äåéñòâèåì ñîâìåñòíîãî âëèÿíèÿ ìîìåíòîâ ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ è ãðàâèòàöè-
îííîãî ïðèòÿæåíèÿ. Âðàùàòåëüíûå äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàìêàõ ìîäåëåé äè-
íàìèêè òâ¼ðäûõ òåë, öåíòðû ìàññ êîòîðûõ äâèæóòñÿ ïî ýëëèïòè÷åñêèì îðáèòàì âîêðóã
Ñîëíöà. Çàäà÷è äèíàìèêè îáîáùàþòñÿ è óñëîæíÿþòñÿ ó÷åòîì ðàçëè÷íûõ âîçìóùàþ-
ùèõ ôàêòîðîâ è â íàñòîÿùåå âðåìÿ îñòàþòñÿ äîñòàòî÷íî àêòóàëüíûìè. Èññëåäîâàíèþ
âðàùàòåëüíûõ äâèæåíèé òåë îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïîä äåéñòâèåì âîçìóùàþùèõ
ìîìåíòîâ ñèë ðàçëè÷íîé ïðèðîäû (ãðàâèòàöèîííûõ, ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ è äð.), áëèç-
êîìó ê ïðîâîäèìîìó íèæå, ïîñâÿùåíî ìíîãî ðàáîò (ñì. [1�11] è áèáëèîãðàôèþ ê ýòèì
ðàáîòàì).
Ââåäåì òðè ïðàâûõ äåêàðòîâûõ ñèñòåìû êîîðäèíàò, íà÷àëî êîîðäèíàò ñîâìåñòèì ñ
öåíòðîì èíåðöèè ñïóòíèêà [1, 2]. Ñèñòåìà êîîðäèíàò OXY Z äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ïî
îðáèòå Ñîëíöà âìåñòå ñî ñïóòíèêîì; îñü Y ïàðàëëåëüíà íîðìàëè ê ïëîñêîñòè îðáèòû,
îñü Z � íàïðàâëåíèþ ðàäèóñ-âåêòîðà îðáèòû â åå ïåðèãåëèè, îñü X � íàïðàâëåíèþ
âåêòîðà ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ â ïåðèãåëèè.
Ïîëîæåíèå âåêòîðà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà òåëà L îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ â
ñèñòåìå êîîðäèíàòOXY Z îïðåäåëèì óãëàìè ρ è σ, êàê ïîêàçàíî â [1�3]. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ñèñòåìû êîîðäèíàò OL1L2L, ñâÿçàííîé ñ âåêòîðîì L, â ïëîñêîñòè OY L ïðîâåäåì îñü L1,
ïåðïåíäèêóëÿðíî ê âåêòîðó L è ñîñòàâëÿþùóþ òóïîé óãîë ñ îñüþ Y . Îñü L2 äîïîëíÿåò
îñè L1 è L äî ïðàâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxyz
ñîâìåñòèì ñ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè. Âçàèìíîå ïîëîæåíèå ãëàâíûõ
öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè è îñåé L, L1, L2 îïðåäåëèì óãëàìè Ýéëåðà [1-3]. Ïðè ýòîì
íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû αij îñåé x, y, z îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû OL1L2L âûðàæàþòñÿ
÷åðåç óãëû Ýéëåðà ϕ, ψ, θ ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì [1].
Áóäåì ïðåíåáðåãàòü ìîìåíòàìè âñåõ ñèë, êðîìå ãðàâèòàöèîííûõ, è ñèë ñâåòîâî-
ãî äàâëåíèÿ. Â [1] ïðèâåäåíà ñðàâíèòåëüíàÿ îöåíêà ãðàâèòàöèîííûõ ìîìåíòîâ è ìî-
ìåíòîâ ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ äëÿ ñïóòíèêà Ñîëíöà. Äëÿ îáùåé ñèòóàöèè ïîêàçàíî,
÷òî ìîìåíò ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ áîëüøå ãðàâèòàöèîííîãî.
 ðàññìàòðèâàåìîé íèæå çàäà÷å ìîìåíò ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ òî-
ãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè ε2, ÷òî è ãðàâèòàöèîííûé ìîìåíò. Ýòî äîñòèãàåòñÿ, íàïðèìåð,
ðàñïðåäåëåíèåì ìàññ è ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìîé òåëà.
Ãðàâèòàöèîííûé ìîìåíò, äåéñòâóþùèé íà ñïóòíèê ñî ñòîðîíû Ñîëíöà, èìååò âèä
[1, 3]
95
Ë.Ä. Àêóëåíêî, Ä.Ä. Ëåùåíêî, Ñ.Ã. Ñóêñîâà, È.À. Òèìîøåíêî
Mg =
3κ
R3
(
(C −B)γ′γ′′, (A− C)γγ′′, (B − A)γ′γ
)
.
Çäåñü κ - ãðàâèòàöèîííûé ïàðàìåòð Ñîëíöà, R = |R|, γ , γ′, γ′′ - êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó
ðàäèóñîì-âåêòîðîì R è îñÿìè x, y, z.
Äîïóñòèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü àïïàðàòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ,
ïðè÷åì åäèíè÷íûé îðò îñè ñèììåòðèè k íàïðàâëåí ïî îñè Oz. Êàê ïîêàçàíî â [1, 4, 5],
â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ìîìåíòà ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ Mc, äåéñòâóþùåãî íà ñïóòíèê, èìååò
ìåñòî ôîðìóëà
Mc =
(
ac(εs)R
2
0/R
2
)
er × k,
ac(εs)
R2
0
R2
= pcS(εs)Z0
′(εs), pc =
E0
c
(
R0
R
)2
.
(1)
Çäåñü er � åäèíè÷íûé âåêòîð ïî íàïðàâëåíèþ ðàäèóñ-âåêòîðà îðáèòû, εs � óãîë
ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè er è k, òàê ÷òî |er × k| = sin εs, R � òåêóùåå ðàññòîÿíèå îò
öåíòðà Ñîëíöà äî öåíòðà ìàññ ñïóòíèêà, R0 � ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå R, íàïðèìåð, â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ac(εs) � êîýôôèöèåíò ìîìåíòà ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ, S �
ïëîùàäü �òåíè� íà ïëîñêîñòè, íîðìàëüíîé ê ïîòîêó, Z0
′- ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ äî
öåíòðà äàâëåíèÿ, pc � âåëè÷èíà ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ íà ðàññòîÿíèè R îò öåíòðà Ñîëíöà,
c � ñêîðîñòü ñâåòà, E0 � âåëè÷èíà ïîòîêà ýíåðãèè ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ íà ðàññòîÿíèè R0
îò öåíòðà Ñîëíöà. Åñëè R0 � ðàäèóñ îðáèòû Çåìëè, òîãäà pc0 = 4, 64 · 10−6 Í/ì2.
Ïîëàãàåì [1] ac = ac(cos εs) è àïïðîêñèìèðóåì ac ïîëèíîìàìè ïî ñòåïåíÿì cos εs.
Ìîìåíò ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ èìååò ñèëîâóþ ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ òîëüêî îò ïîëî-
æåíèÿ îñè ñèììåòðèè òåëà â ïðîñòðàíñòâå [1]. Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ ac(cos εs) â âèäå
ac = a0c + a1c cos εs + . . . . (2)
Äàëåå ðàññìîòðèì îòäåëüíî òîëüêî ïåðâûå äâà ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ.
Óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñïóòíèêà ïðè íàëè÷èè ñèëîâîé ôóíêöèè â ïå-
ðåìåííûõ L, ρ, σ, ϕ, ψ, θ èìåþò âèä [3]
σ̇ = (L sin ρ)−1∂U
∂ρ
,
ρ̇ = −(L sin ρ)−1∂U
∂σ
+ L−1 ctg ρ
∂U
∂ψ
, L̇ =
∂U
∂ψ
,
θ̇ = L sin θ sinϕ cosϕ
(
A−1 −B−1
)
− (L sin θ)−1∂U
∂ϕ
+ L−1 ctg θ
∂U
∂ψ
,
ϕ̇ = L cos θ
(
C−1 − A−1 sin2 ϕ−B−1 cos2 ϕ
)
+ (L sin θ)−1∂U
∂θ
,
ψ̇ = L
(
A−1 sin2 ϕ+B−1 cos2 ϕ
)
− L−1
(
∂U
∂ρ
ctg ρ+
∂U
∂θ
ctg θ
)
.
(3)
Ñèëîâàÿ ôóíêöèÿ U çàâèñèò îò âðåìåíè t ÷åðåç èñòèííóþ àíîìàëèþ ν(t) è îò
íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ α3, β3, γ3 îñè Oz îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò OXY Z;
îíà èìååò âèä U = U
(
ν(t), α3, β3, γ3
)
.
Ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (3) íåîáõîäèìî ïðèñîåäèíèòü óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå èçìå-
íåíèå èñòèííîé àíîìàëèè ñî âðåìåíåì
dν
dt
= ω0
(
1− e2
)−3/2
(1 + e cos ν)2, ω0 =
2π
Q0
=
[
κ
(
1− e2
)3
P−3
]1/2
. (4)
96
Äâèæåíèå ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ
Çäåñü ω0 � ñðåäíÿÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ïî ýëëèïòè÷åñêîé îð-
áèòå, Q0 � ïåðèîä îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà, e è P � ýêñöåíòðèñèòåò è ôîêàëüíûé ïàðàìåòð
îðáèòû ñîîòâåòñòâåííî, κ - ïðîèçâåäåíèå ïîñòîÿííîé âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ íà ìàññó
Ñîëíöà.
Ñ÷èòàåì ñèëîâóþ ôóíêöèþ ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñëàãàåìûõ, îáóñëîâëåííûõ âëèÿíèåì
ãðàâèòàöèîííîãî ìîìåíòà è ìîìåíòà ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ U = Ug + Uc. Ñèëîâàÿ
ôóíêöèÿ, îáóñëîâëåííàÿ âëèÿíèåì ãðàâèòàöèîííîãî ìîìåíòà, çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì [3]
Ug =
3κ
2R3
[
(A−B)γ′
2
+ (A− C)γ′′
2
]
,
γ′ = α2 sin ν + γ2 cos ν, γ′′ = α3 sin ν + γ3 cos ν.
Ìîìåíò ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ (1) ñîîòâåòñòâóåò ñèëîâîé ôóíêöèè Uc(cos εs) =
= −R2
0R
−2
∫
ac(cos εs)d(cos εs).
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: ac(cos εs) = a0c è ac(cos εs) = a1c cos εs, êîòîðûå ñîîòâåò-
ñòâóþò ïåðâûì äâóì ÷ëåíàì ðàçëîæåíèÿ (2). Ñèëîâûå ôóíêöèè â ýòèõ ñëó÷àÿõ èìå-
þò âèä Uc(cos εs) = −R2
0R
−2a0c cos εs è Uc(cos εs) = −R2
0R
−2a1c cos2 εs, ïðè÷åì cos εs =
γ3 cos ν + α3 sin ν. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâûé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò, íàïðèìåð, ñïóòíèêó ñôå-
ðè÷åñêîé ôîðìû ñî ñìåùåííûì îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñôåðû öåíòðîì ìàññ.
Ââåäåì â ñèñòåìó óðàâíåíèé (3), (4) ìàëûå ïàðàìåòðû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óãëîâàÿ
ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ñóùåñòâåííî áîëüøå óãëîâîé
ñêîðîñòè îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ω0, òî åñòü áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ε =
ω0
ω
∼ Aω0
L
� 1.
Çäåñü L � ìîäóëü êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà òåëà.  ýòîì ñëó÷àå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ñïóòíèêà âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàáîòîé ãðàâèòàöèîííûõ ìîìåíòîâ çà ïåðèîä âðàùå-
íèÿ. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî a0c ∼ ε2 � 1 èëè a1c ∼ ε2 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîé èç
ñëó÷àåâ ðàññìàòðèâàåòñÿ. Èññëåäóåì ðåøåíèå ñèñòåìû (3), (4) ïðè ìàëîì ε íà áîëüøîì
ïðîìåæóòêå âðåìåíè t ∼ ε−2. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèìåíèì ìåòîä óñðåäíåíèÿ [12, 13].
Ïîãðåøíîñòü óñðåäíåííîãî ðåøåíèÿ äëÿ ìåäëåííûõ ïåðåìåííûõ ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó
ïîðÿäêà ε íà èíòåðâàëå âðåìåíè, çà êîòîðûé òåëî ñîâåðøèò ∼ ε−2 îáîðîòîâ. Óñðåäíå-
íèå ïî äâèæåíèþ Ýéëåðà-Ïóàíñî ïðîâîäèì ïî ìåòîäèêå ðàáîòû [2] äëÿ íåðåçîíàíñíûõ
ñëó÷àåâ. Îáîñíîâàíèå ïðîöåäóðû óñðåäíåíèÿ òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ.
2. Ðàññìîòðèì íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå (ε = 0), êîãäà ãðàâèòàöèîííûé ìîìåíò è
ìîìåíò ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ ðàâíû íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå âðàùåíèå ñïóòíèêà ÿâëÿåòñÿ
äâèæåíèåì Ýéëåðà-Ïóàíñî. Âåëè÷èíû σ, ρ, L, ν îáðàùàþòñÿ â ïîñòîÿííûå, à θ, ϕ,
ψ � íåêîòîðûå ôóíêöèè âðåìåíè. Ìåäëåííûìè ïåðåìåííûìè â âîçìóùåííîì äâèæåíèè
áóäóò σ, ρ, L, ν, à áûñòðûìè � óãëû Ýéëåðà.
Ïðîâåäåì óñðåäíåíèå ïåðâûõ òðåõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (3) âäîëü òðàåêòîðèè íåâîç-
ìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Ñîãëàñíî [2] óñðåäíåíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî ïåðåìåííîé ψ, à çàòåì
ïî θ è ϕ. Îíî ïðîèçâîäèòñÿ ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì âåêòîðà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà
â äâèæåíèè Ýéëåðà-Ïóàíñî.
 ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ïî ψ è âäîëü ïîëîäèè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ïîëó÷èì
97
Ë.Ä. Àêóëåíêî, Ä.Ä. Ëåùåíêî, Ñ.Ã. Ñóêñîâà, È.À. Òèìîøåíêî
ñèñòåìó óðàâíåíèé [2, 9] äëÿ ñëó÷à ac = a0c
dρ
dν
=− a0cR
2
0
(
L0
√
κP
)−1
F sin(σ − ν) +
3ω0N
2(1− e2)3/2L0
×
× (1 + e cos ν) sin ρ sin(σ − ν) cos(σ − ν),
dσ
dν
=− a0cR
2
0
(
L0
√
κP
)−1
F ctg ρ cos(σ − ν) +
3ω0N
2(1− e2)3/2L0
×
× (1 + e cos ν) cos ρ cos2(σ − ν).
(5)
Çäåñü
α = a0cR
2
0
(
L0
√
κP
)−1
F = εα1,
F =
πa
2K(k)
, 2T0B − L2
0 > 0 ëèáî F = 0, 2T0B − L2
0 < 0,
L = L0 = const, T = T0 = const, a2 =
ε1 + h
1 + ε1
, ε1 =
C(A−B)
A(B − C)
,
N = B + C − 2A+ 3A
(
2T0A
L2
0
− 1
) [
C + (B − C)
K(k)− E(k)
k2K(k)
]
,
h =
(
2T0
L2
0
− 1
B
)
BC
B − C
, χ =
3ω0N
2(1− e2)3/2L0
= εχ1,
K(k), E(k) � ïîëíûå ýëëèïòè÷åñêèå èíòåãðàëû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà, k2 =
a2 − h
a2
,
T � êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. Âûðàæåíèå äëÿ N èìååò
ñìûñë ïðè 2T0B < L2
0.  ñëó÷àå L2
0 < 2T0B ñëåäóåò ïîìåíÿòü ìåñòàìè A è C â ôîðìóëå
äëÿ N .
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðèìåì A > B > C. Ôîðìóëà äëÿ ìîäóëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ
ôóíêöèé k ïðèâåäåíà äëÿ h > 0. Îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ñïðàâåäëèâû ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ h.  ñèñòåìå óðàâíåíèé (5) ìû ïåðåøëè ê íîâîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé
ν = ν(t).
Ñèñòåìó (5) ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
dρ
dν
= ε sin(σ − ν) [−α1 + χ1(1 + e cos ν) sin ρ cos(σ − ν)] ,
dσ
dν
= ε ctg ρ cos(σ − ν) [−α1 + χ1(1 + e cos ν) sin ρ cos(σ − ν)] .
(6)
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (6) âíîâü âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì óñðåäíåíèÿ. Âûâåäåí-
íûå óñðåäíåííûå óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò âåëè÷èíû ρ, σ ñ ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà ε2 íà
èíòåðâàëå ∆ν ∼ ε−1, òî åñòü ∆t ∼ ε−2. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñ ýòîé òî÷íîñòüþ
óðàâíåíèÿ (6), äëÿ ÷åãî íóæíî íàéòè àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè
ïî ε è óñòàíîâèòü,÷òî îòáðîøåííûå ÷ëåíû èìåþò íóëåâîå ñðåäíåå. Ñèñòåìà (6) èìååò
ñòàíäàðòíóþ ôîðìó [12] è ìîæåò áûòü çàïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
dρ
dν
= εX(ν, ρ, σ),
dσ
dν
= εY (ν, ρ, σ). (7)
98
Äâèæåíèå ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ
Åå ðåøåíèå âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè èùåòñÿ â âèäå
ρ = ξ + εu(ν, ξ, η), σ = η + εw(ν, ξ, η),
ãäå u, w óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì
∂u
∂ν
= X(ν, ξ, η)−Mν {X(ν, ξ, η)} ,
∂w
∂ν
= Y (ν, ξ, η)−Mν {Y (ν, ξ, η)} ,
Mν {u(ν, ξ, η)} = Mν {w(ν, ξ, η)} = 0,
ïðè÷åìMν îçíà÷àåò óñðåäíåíèå ïî ν çà ïåðèîä 2π. Ôóíêöèè ξ, η óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ
dξ
dν
= εMν(X) + ε2Mν
(
u
∂X
∂ξ
+ w
∂X
∂η
)
,
dη
dν
= εMν(Y ) + ε2Mν
(
u
∂Y
∂ξ
+ w
∂Y
∂η
)
.
Ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
dξ1
dν
= 0,
dη1
dν
=
χ1
2
cos ξ1.
Îòñþäà ξ1 = ξ0 = const, η1 =
χ1
2
ν cos ξ0 + η0, ãäå ξ0, η0 � íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.
Îïðåäåëÿÿ ôóíêöèè u, w èçâåñòíûì ñïîñîáîì [12], ïîëó÷èì
u =− α1 cos(ν − η) +
χ1
4
sin ξ
[
cos 2(ν − η) + cos 2η+
+ e cos(2ν − 2η) +
e
3
cos(3ν − 2η)
]
,
w =− α1 ctg ξ sin(ν − η) +
χ1
2
cos ξ
[
1
2
sin 2(ν − η) +
1
2
sin 2η+
+ e
(
1
6
sin(3ν − 2η) +
1
2
sin(ν − 2η) + sin ν
)]
.
Ïåðåìåííûå ξ, η óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ
dξ
dν
=
ε2
16
(
χ2
1e
2 sin 2ξ sin 2η − 8α1χ1e sin η cos ξ
)
,
dη
dν
= ε
χ1
2
cos ξ +
ε2
48
[
χ2
1e
2 − 24α2
1 − 9χ2
1 +
24χ1eα1 cos η
sin ξ
×
×
(
1− 2 cos2 ξ
)
+ 6χ2
1 cos2 η
(
2− e2
)
+ 3χ2
1 cos2 ξ
(
5− e2
)
+
+ 6χ2
1 cos2 ξ cos2 η
(
3e2 − 2
)]
(8)
99
Ë.Ä. Àêóëåíêî, Ä.Ä. Ëåùåíêî, Ñ.Ã. Ñóêñîâà, È.À. Òèìîøåíêî
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ξ(0) = ξ0, η(0) = η0.
Âûðàæåíèÿ (8) � ýòî ñèñòåìà ñ âðàùàþùåéñÿ ôàçîé η [14]. Ñäåëàåì çàìåíó τ = εν
è ïðîâåäåì óñðåäíåíèå ïî η. Íà èíòåðâàëå âðåìåíè ∼ ε−2 ïîëó÷èì
dξ
dτ
= 0,
dη
dτ
=
χ1
2
cos ξ.
Òàêèì îáðàçîì, ξ = ξ0 = const, η =
χ1
2
τ cos ξ0 + η0, ãäå ξ0, η0 � íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.
Ïðîâåäåì çàìåíó τ = εν. Èùåì ðåøåíèå â âèäå
ξ = ξ0 + ε∆ξ, η = η0 +
χ1
2
cos ξ0τ + ε∆η.
 ýòîì ñëó÷àå èç (8) ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ∆ξ è ∆η
d∆ξ
dτ
=
1
16
[
χ2
1e
2 sin 2ξ0 sin 2µ− 8χ1eα1 cos ξ0 sinµ
]
,
d∆η
dτ
=− χ1
2
sin ξ0∆ξ +
χ2
1 cos2 ξ0
16
(
5 + 6e2 cos2 µ− 4 cos2 µ− e2
)
+
+
1
48
[
χ2
1e
2 + 12χ2
1 cos2 µ− 9χ2
1 − 24α2
1 − 24
eχ1α1 cosµ cos 2ξ0
sin ξ0
]
.
Çäåñü µ = η0 +
χ1
2
τ cos ξ0 . Äëÿ ∆ξ, ∆η � íóëåâûå íà÷àëüíûå äàííûå.
Îòêóäà
∆ξ =− χ1e
2
8
cos 2µ sin ξ0 + α1e cosµ,
∆η =
1
48
[
3χ1e
2 sin 2µ tg ξ0 sin ξ0 − 48α1e sinµ ctg ξ0+
+ χ2
1e
2τ
(
1 + 6 cos2 ξ0
)
− 3χ2
1τ
(
1− 3 cos2 ξ0
)
+
12χ1
cos ξ0
(η0 + sinµ cosµ)−
− 24α2
1τ −
12χ1e
2 sinµ
cos ξ0
+ 6χ1 cos ξ0(η0 + cosµ sinµ)(3e− 2)
]
.
Òîãäà âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷èì èñêîìûå ðåøåíèÿ
ξ =ξ0 + ε
(
−χ1e
2
8
cos 2µ sin ξ0 + α1e cosµ
)
,
η =η0 +
χ1
2
τ cos ξ0 +
ε
48
[
3χ1e
2 sin 2µ tg ξ0 sin ξ0 − 48α1e sinµ ctg ξ0+
+ χ2
1e
2τ
(
1 + 6 cos2 ξ0
)
− 3χ2
1τ
(
1− 3 cos2 ξ0
)
+
12χ1
cos ξ0
(η0 + sinµ cosµ)−
− 24α2
1τ + 6χ1 cos ξ0(η0 + cosµ sinµ)(3e− 2)− 12χ1e
2 sinµ
cos ξ0
]
.
100
Äâèæåíèå ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
ρ =ξ(ν) + ε
[
−α1 cos(ν − µ) +
χ1
2
sin ξ0 sin2 ν
(
2− cos2 µ
)
+
+
χ1
4
sin ξ0 sin 2µ sin 2ν +
2
3
χ1e sin ξ0 cosµ cos2 ν cos(ν − µ)+
+
1
3
χ1e sin ξ0
(
1
2
sin 2µ sin ν − cos3 ν
)]
,
σ =η(ν)− 1
6
ε ctg ξ0
{
6α1 sin(ν − µ)− 3
2
χ1 sin ξ0 sin 2ν×
×
(
1− 2 cos2 µ
)
− 3χ1 sin 2µ sin ξ0 sin2 ν − 2χ1e sin ξ0 cosµ×
×
[
2 cos2 ν sin(ν − µ) + sin ν cosµ
]
− 2χ1e sin ξ0 sin3 ν
}
.
Çäåñü ν − µ = ν
(
1− χ1
2
ε cos ξ0
)
− η0.
Ýòî ðåøåíèå ñèñòåìû (6) îòëè÷àåòñÿ îò òî÷íîãî íà âåëè÷èíû ïîðÿäêà ε2 íà èíòåð-
âàëå ∆ν ∼ ε−1, à ξ0, η0 � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
3. Åñëè êîýôôèöèåíò ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ ac = a1c cos εs, òî óñðåäíåííàÿ ñèñòåìà
äëÿ ρ è σ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïðèíèìàåò âèä
dρ
dν
= sin ρ sin(σ − ν) cos(σ − ν)
L−1
0
2
×
×
[
−a1cR
2
0√
κP
G+
3ω0N
(1− e2)3/2
(1 + e cos ν)
]
,
dσ
dν
= cos ρ cos2(σ − ν)
L−1
0
2
×
×
[
−a1cR
2
0√
κP
G+
3ω0N
(1− e2)3/2
(1 + e cos ν)
]
.
(9)
Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ
G =
1
2
[
3a2E(k)
K(k)
− 1
]
ïðè 2T0B − L2
0 > 0,
1
2
{
3a2
k2
[
k2 − 1− E(k)
K(k)
]
− 1
}
ïðè 2T0B − L2
0 < 0;
N =B + A− 2C + 3
(
2TC
L2
0
− 1
) [
A+ (B − A)
K(k)− E(k)
k2K(k)
]
ïðè 2T0B − L2
0 > 0.
Ïðè 2T0B − L2
0 < 0 ñëåäóåò ïîìåíÿòü ìåñòàìè A è C.
Îáîçíà÷èì
α =
1
2
a1cR
2
0
(√
κP
)−1
GL−1
0 = εα1, χ =
3ω0N
2(1− e2)3/2
L0 = εχ1.
101
Ë.Ä. Àêóëåíêî, Ä.Ä. Ëåùåíêî, Ñ.Ã. Ñóêñîâà, È.À. Òèìîøåíêî
Òîãäà ñèñòåìà (9) ïðèíèìàåò âèä
dρ
dν
=ε sin ρ sin(σ − ν) cos(σ − ν) [−α1 + χ1(1 + e cos ν)] ,
dσ
dν
=ε cos ρ cos2(σ − ν) [−α1 + χ1(1 + e cos ν)] .
Ýòî ñèñòåìà âèäà (7), ãäå
X =
1
2
[−α1 + χ1(1 + e cos ν)] sin ρ sin 2(σ − ν),
Y = [−α1 + χ1(1 + e cos ν)] cos ρ cos2(σ − ν).
(10)
Èùåì ðåøåíèå ñèñòåìû (7), (10) â âèäå
ρ = ξ + εu(ν, ξ, η), σ = η + εw(ν, ξ, η).
Çäåñü
∂u
∂ν
= X −Mν(X),
∂w
∂ν
= Y −Mν(Y ),
dξ
dν
= εMν(X) + ε2Mν
(
u
∂X
∂ξ
+ w
∂X
∂η
)
,
dη
dν
= εMν(Y ) + ε2Mν
(
u
∂Y
∂ξ
+ w
∂Y
∂η
)
.
(11)
 ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìåòîäà óñðåäíåíèÿ ïîëó÷èì
Mν(X) = 0, Mν(Y ) =
χ1 − α1
2
cos ξ.
Òàêèì îáðàçîì,
ξ = ξ0 = const, η = η0 +
χ1 − α1
2
ν cos ξ0, η0 = const.
 ñèñòåìå (11) ÷ëåíû ïîðÿäêà ε2 èìåþò âèä
∂X
∂ξ
=
1
2
[−α1 + χ1 (1 + e cos ν)] cos ξ sin 2(η − ν),
∂X
∂η
= [−α1 + χ1(1 + e cos ν)] sin ξ cos 2(η − ν),
∂Y
∂ξ
=− [−α1 + χ1(1 + e cos ν)] sin ξ cos2(η − ν),
∂Y
∂η
=− [−α1 + χ1(1 + e cos ν)] cos ξ sin 2(η − ν).
Îïðåäåëèì ôóíêöèè u, w
u =
sin ξ
12
{
3(χ1 − α1) [cos 2(ν − η)− cos 2η] +
+ χ1e [3 cos(ν − 2η) + cos(3ν − 2η)]
}
,
w =
cos ξ
12
{
3(χ1 − α1) [sin 2(ν − η) + sin 2η] +
+ χ1e [6 sin ν + 3 sin(ν − 2η) + sin(3ν − 2η)]
}
.
102
Äâèæåíèå ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ
Íàõîäèì
Mν
(
∂X
∂ξ
u+
∂X
∂η
w
)
=
1
16
χ2
1e
2 sin 2η sin 2ξ,
Mν
(
∂Y
∂ξ
u+
∂Y
∂η
w
)
=
(χ1 − α1)
2
16
(
5 cos2 ξ − 3 + 4 cos2 η sin2 ξ
)
+
+
χ2
1e
2
48
(
6 cos2 η − 1
) (
3 cos2 ξ − 1
)
.
Èìååì
dξ
dν
=
ε2
16
χ2
1e
2 sin 2η sin 2ξ,
dη
dν
=ε
χ1 − α1
2
cos ξ + ε2
[
(χ1 − α1)
2
16
×
×
(
5 cos2 ξ0 − 3 + 4 cos2 η sin2 ξ
)
+
χ2
1e
2
48
(
6 cos2 η − 1
) (
3 cos2 ξ − 1
)]
.
(12)
Ñîîòíîøåíèÿ (12) � ýòî ñèñòåìà ñ âðàùàþùåéñÿ ôàçîé η [14]. Ñäåëàåì çàìåíó τ = εν è
ïðîâåäåì óñðåäíåíèå ïî η íà èíòåðâàëå âðåìåíè ∼ ε−2. Ïîëó÷èì
dξ
dτ
= 0,
dη
dτ
=
χ1 − α1
2
cos ξ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ξ = ξ0 = const, η =
χ1 − α1
2
τ cos ξ0 + η0, ãäå ξ0, η0 � íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.
Ïðîâåäåì çàìåíó τ = εν è èùåì ðåøåíèå â âèäå
ξ = ξ0 + ε∆ξ, η = η0 +
χ1 − α1
2
τ cos ξ0 + ε∆η.
Òîãäà ñèñòåìà (12) ïðèíèìàåò âèä
d∆ξ
dτ
=
χ2
1e
2
16
sin 2β sin 2ξ0,
d∆η
dτ
=− (χ1 − α1)
2
16
(
3− 5 cos2 ξ0 − 4 cos2 β sin2 ξ0
)
+
+
χ2
1e
2
48
(
1− 6 cos2 β sin2 ξ0 + 3 cos2 ξ0
(
4 cos2 β − 1
))
− χ1 − α1
2
sin ξ0∆ξ.
Çäåñü β = η0 + (χ1 − α1)τ cos ξ0
/
2. Îòêóäà
∆ξ =
χ2
1e
2 sin ξ0 cos 2β
8(α1 − χ1)
,
∆η =
1
48 cos ξ0 (α1 − χ1)
2
{
τ
[
3 (α1 − χ1)
2 + 2χ2
1e
2
]
cos ξ0 (α1 − χ1)×
×
(
3 cos2 ξ0 − 1
)
− 6 (α1 − χ1)
2 sin2 ξ0 (sin 2β + 2η0)−
− 6χ2
1e
2
[
sin 2β cos2 ξ0 + η0
(
3 cos2 ξ0 − 1
)]}
.
103
Ë.Ä. Àêóëåíêî, Ä.Ä. Ëåùåíêî, Ñ.Ã. Ñóêñîâà, È.À. Òèìîøåíêî
Òîãäà ïîëó÷èì ðåøåíèå âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè
ξ =ξ0 + ε
χ2
1e
2
8(α1 − χ1)
sin ξ0 cos 2β,
η(ν) =η0 +
χ1 − α1
2
εν cos ξ0 +
ε
96 cos2 ξ0 (α1 − χ1)
2×
×
{
εν
[
3 (α1 − χ1)
2 + 2χ2
1e
2
]
cos ξ0 (α1 − χ1)
(
3 cos2 ξ0 − 1
)
−
− 6 (α1 − χ1)
2 sin2 ξ0 (sin 2β + 2η0)− 6χ2
1e
2×
×
[
sin 2β cos2 ξ0 + η0
(
3 cos2 ξ0 − 1
)]}
.
 ðåçóëüòàòå íàõîäèì âûðàæåíèÿ âèäà
ρ(ν) =ξ(ν) + ε
[
(χ1 − α1) sin ξ0
(1
4
sin 2β sin 2ν − cos2 β sin2 ν+
+
1
2
sin2 ν
)
+
2
3
χ1e sin ξ0 cos2 ν cos β cos(ν − β)+
+
1
3
χ1e sin ξ0
(
1
2
sin ν sin 2β + cos3 ν
)]
,
σ(ν) =η(ν) + ε
cos ξ0
12
[
3(χ1 − α1)
(
sin 2ν + 2 sin 2β sin2 ν+
+ 2 sin 2ν cos2 β
)
+ 8χ1e cos β cos2 ν sin(ν − β)+
+ 4χ1e sin ν
(
cos2 β + sin2 ν
)]
.
Çäåñü ν − β = ν
(
1− χ1 − α1
2
ε cos ξ0
)
− η0.
Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ïîçâîëÿþò ïðîâåñòè àíàëèç äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èñ-
ñëåäîâàíà ýâîëþöèÿ âðàùåíèé íåñèììåòðè÷íîãî ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ
ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòîâ ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ è ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ íà
óäëèíåííîì èíòåðâàëå âðåìåíè t ∼ ε−2, ÷òî ÿâëÿåòñÿ íîâûì ðåçóëüòàòîì.
1. Áåëåöêèé Â.Â. Äâèæåíèå èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. � Ì.: Íàóêà, 1965.
� 416 ñ.
2. ×åðíîóñüêî Ô.Ë. Î äâèæåíèè ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïîä äåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííûõ
ìîìåíòîâ // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1963. � 27, âûï. 3. � Ñ. 474-483.
3. Áåëåöêèé Â.Â. Äâèæåíèå ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå. � Ì.: Èçä-âî
ÌÃÓ, 1975. � 308 ñ.
4. Êàðûìîâ À.À. Óñòîé÷èâîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî èñêóññòâåí-
íîãî ñïóòíèêà Ñîëíöà â ïîëå ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1964. �
28, âûï 5. � Ñ. 923-930.
5. Àáàëàêèí Â.Ê., Àêñåíîâ Å.Ï., Ãðåáåíèêîâ Å.À., Äåìèí Â.Ã., Ðÿáîâ Þ.À. Ñïðàâî÷íîå ðóêîâîäñòâî
ïî íåáåñíîé ìåõàíèêå è àñòðîäèíàìèêå. � Ì.: Íàóêà, 1976. � 862 ñ.
6. Ïîëÿõîâà Å.Í. Êîñìè÷åñêèé ïîë¼ò ñ ñîëíå÷íûì ïàðóñîì: ïðîáëåìû è ïåðñïåêòèâû. � Ì.: Íàóêà,
1986. � 304 ñ.
7. Ñèäîðåíêî Â.Â. Î âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà ñ ñîëíå÷íûì ñòàáèëèçàòîðîì
// Êîñìè÷. èññëåä. � 1992. � 30, âûï 6. � Ñ. 780-790.
104
Äâèæåíèå ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ
8. Ñàçîíîâ Â.Â. Äâèæåíèå àñòåðîèäà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòà ñèë ñâåòîâîãî
äàâëåíèÿ // Àñòðîí. âåñòíèê. � 1994. � 28, �2. � Ñ. 95-107.
9. Ëåùåíêî Ä.Ä., Øàìàåâ À.Ñ. Î äâèæåíèè ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïîä äåéñòâèåì ìî-
ìåíòîâ ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1985. � �1. � Ñ. 14-21.
10. Àêóëåíêî Ë.Ä., Ëåùåíêî Ä.Ä. Ýâîëþöèÿ âðàùåíèé òðåõîñíîãî ñïóòíèêà, áëèçêîãî ê äèíàìè÷åñêè-
ñôåðè÷åñêîìó, ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòîâ ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ // Èçâ. ÐÀÍ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî
òåëà. � 1996. � � 2. � Ñ. 3-12.
11. Ëåùåíêî Ä.Ä. Ýâîëþöèÿ âðàùåíèé òðåõîñíîãî òåëà ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòà ñèë ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ
// Òàì æå. � 1997. � � 6. � Ñ. 17-26.
12. Âîëîñîâ Â.Ì., Ìîðãóíîâ Á.È. Ìåòîä îñðåäíåíèÿ â òåîðèè íåëèíåéíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. �
Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1971. � 507 ñ.
13. Ìèòðîïîëüñêèé Þ.À. Ìåòîä óñðåäíåíèÿ â íåëèíåéíîé ìåõàíèêå. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1971. �
440 ñ.
14. Àêóëåíêî Ë.Ä. Ñõåìû óñðåäíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé â ñèñòåìàõ ñ áûñòðîé è ìåäëåííîé ôàçàìè //
Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2002. � 66, âûï. 2. � Ñ.165-176.
Èí-ò ïðîáëåì ìåõàíèêè ÐÀÍ, Ìîñêâà
Îäåññêàÿ ãîñ. àêàäåìèÿ ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû, Îäåññà
leshchenko_d@ukr.net
Ïîëó÷åíî 19.09.04
105
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123744 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:31:39Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Суксова, С.Г. Тимошенко, И.А. 2017-09-09T09:43:50Z 2017-09-09T09:43:50Z 2004 Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, С.Г. Суксова, И.А. Тимошенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 95-105. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123744 531.55:521.2 Исследуется эволюция вращений твердого тела (спутника Солнца, движущегося но эллиптической орбите с произвольным эксцентриситетом) иод действием моментов сил гравитации и светового давления. Тело предполагается динамически несимметричным, а его поверхность является поверхностью вращения. Углы ρ и σ, определяющие положение вектора кинетического момента относительно его центра масс, найдены во втором приближении по малому параметру ε как функции истинной аномалии ν. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов Article published earlier |
| spellingShingle | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов Акуленко, Л.Д. Лещенко, Д.Д. Суксова, С.Г. Тимошенко, И.А. |
| title | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов |
| title_full | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов |
| title_fullStr | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов |
| title_full_unstemmed | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов |
| title_short | Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов |
| title_sort | движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных и световых моментов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123744 |
| work_keys_str_mv | AT akulenkold dviženiesputnikaotnositelʹnocentramasspoddeistviemgravitacionnyhisvetovyhmomentov AT leŝenkodd dviženiesputnikaotnositelʹnocentramasspoddeistviemgravitacionnyhisvetovyhmomentov AT suksovasg dviženiesputnikaotnositelʹnocentramasspoddeistviemgravitacionnyhisvetovyhmomentov AT timošenkoia dviženiesputnikaotnositelʹnocentramasspoddeistviemgravitacionnyhisvetovyhmomentov |