О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации |1, 2] колебаний механической системы физический маятник с "замороженными" в нем точками Рi (i = 1, N) в их положениях равновесия. Показано, что скорость затухания колебаний физического маятника максимальна, когда частота колебаний каждой точки P...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2004 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123745 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации / А.Я. Савченко, В.В. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 106-111. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123745 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Савченко, А.Я. Кравченко, В.В. 2017-09-09T09:45:24Z 2017-09-09T09:45:24Z 2004 О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации / А.Я. Савченко, В.В. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 106-111. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123745 531.38 Рассмотрена задача о пассивной стабилизации |1, 2] колебаний механической системы физический маятник с "замороженными" в нем точками Рi (i = 1, N) в их положениях равновесия. Показано, что скорость затухания колебаний физического маятника максимальна, когда частота колебаний каждой точки Pi равна удвоенной частоте колебаний исходной механической системы. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации |
| spellingShingle |
О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации Савченко, А.Я. Кравченко, В.В. |
| title_short |
О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации |
| title_full |
О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации |
| title_fullStr |
О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации |
| title_full_unstemmed |
О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации |
| title_sort |
о скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации |
| author |
Савченко, А.Я. Кравченко, В.В. |
| author_facet |
Савченко, А.Я. Кравченко, В.В. |
| publishDate |
2004 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации |1, 2] колебаний механической системы физический маятник с "замороженными" в нем точками Рi (i = 1, N) в их положениях равновесия. Показано, что скорость затухания колебаний физического маятника максимальна, когда частота колебаний каждой точки Pi равна удвоенной частоте колебаний исходной механической системы.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123745 |
| citation_txt |
О скорости затухания малых колебаний физического маятника в окрестности положения его равновесия в режиме пассивной стабилизации / А.Я. Савченко, В.В. Кравченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 106-111. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT savčenkoaâ oskorostizatuhaniâmalyhkolebaniifizičeskogomaâtnikavokrestnostipoloženiâegoravnovesiâvrežimepassivnoistabilizacii AT kravčenkovv oskorostizatuhaniâmalyhkolebaniifizičeskogomaâtnikavokrestnostipoloženiâegoravnovesiâvrežimepassivnoistabilizacii |
| first_indexed |
2025-11-26T13:14:21Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:14:21Z |
| _version_ |
1850622272887324672 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. À.ß. Ñàâ÷åíêî, Â.Â. Êðàâ÷åíêî
Î ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÇÀÒÓÕÀÍÈß
ÌÀËÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÀßÒÍÈÊÀ
 ÎÊÐÅÑÒÍÎÑÒÈ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÅÃÎ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß
 ÐÅÆÈÌÅ ÏÀÑÑÈÂÍÎÉ ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ïàññèâíîé ñòàáèëèçàöèè [1, 2] êîëåáàíèé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû � ôèçè÷åñêèé
ìàÿòíèê ñ "çàìîðîæåííûìè" â íåì òî÷êàìè Pi (i = 1, N) â èõ ïîëîæåíèÿõ ðàâíîâåñèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî
ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìàêñèìàëüíà, êîãäà ÷àñòîòà êîëåáàíèé êàæäîé
òî÷êè Pi ðàâíà óäâîåííîé ÷àñòîòå êîëåáàíèé èñõîäíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
 çàäà÷å î ïàññèâíîé ñòàáèëèçàöèè [1, 2] ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà â îêðåñòíîñòè ïî-
ëîæåíèÿ åãî ðàâíîâåñèÿ çà ñ÷åò çàòóõàþùèõ îòíîñèòåëüíûõ êîëåáàíèé ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè P âäîëü ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà O è öåíòð ìàññ C ìàÿòíèêà,
áûë îáíàðóæåí íåáåçûíòåðåñíûé ýôôåêò � ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà
áûëà íàèáîëüøåé, åñëè ÷àñòîòà λ1 îòíîñèòåëüíûõ êîëåáàíèé òî÷êè P áûëà â äâà ðàçà
áîëüøå ÷àñòîòû λ êîëåáàíèé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû � ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê ïëþñ çà-
ôèêñèðîâàííàÿ â íåì â ñâîåì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ òî÷êà P (λ1 = 2λ). Äàëåå òàêóþ
ñèñòåìó áóäåì íàçûâàòü ïðèâåäåííûì ôèçè÷åñêèì ìàÿòíèêîì.
Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî ñêîðîñòè ïåðåíîñíîãî äâèæåíèÿ (à òàêæå è ñêîðîñòü öåíòðà
ìàññ C ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà) è îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè P îðòîãîíàëüíû â
êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè. Âîçíèêàåò ãèïîòåçà, ÷òî òàêàÿ êèíåìàòèêà äâèæåíèÿ òî÷êè
P è ïîðîæäàåò âûøåóêàçàííûé ýôôåêò.
Ïîäòâåðæäàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà ïðè ñëåäóþùåì óâåëè÷åíèè ðàçìåðíîñòè ñèñòåìû:
çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ âäîëü ïðÿìîé OC ñîâåðøàþò N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê Pi (i =
= 1, N)?
Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ áûëè
ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òàêîé ñèñòå-
ìû (ñì. ðèñóíîê, çäåñü Ai− íåïîäâèæíûå
òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå ïðÿìîé OC, ê êîòî-
ðûì íà ïðóæèíàõ ïîäâåøåíû ìàòåðèàëüíûå
òî÷êè Pi (i = 1, N)). Äàëåå, â ñîîòâåòñòâèè
ñ ðàáîòàìè [1, 2], áûëà ïðîâåäåíà ïðîöåäó-
ðà âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðà G, îïðåäåëÿþùå-
ãî ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêî-
ãî ìàÿòíèêà. Àíàëèç çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðà
G îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé λ ïðèâåäåííîãî ôè-
çè÷åñêîãî ìàÿòíèêà è ÷àñòîò êîëåáàíèé λi ìà-
òåðèàëüíûõ òî÷åê Pi (i = 1, N) ïîêàçàë ñïðà-
âåäëèâîñòü ãèïîòåçû è äëÿ ïîëó÷åííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òÿæåëîãî ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíè-
êà ñ öåíòðîì ìàññ C îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè O è N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
Pi (i = 1, N), ñîâåðøàþùèõ îòíîñèòåëüíûå äâèæåíèÿ âäîëü ïðÿìîé OC. Íà êàæäóþ
106
Î ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé
òî÷êó Pi (i = 1, N), êðîìå ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþò óïðóãèå ñèëû Fel
i , âûçâàííûå ðàñ-
òÿæåíèåì èëè ñæàòèåì ïðóæèíû è îïðåäåëÿåìûå çàêîíîì Ãóêà, à òàêæå ñèëû òðåíèÿ
Ftr
i , ïðîïîðöèîíàëüíûå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ẋi òî÷êè Pi (i = 1, N), òî åñòü âåëè÷èíû
ýòèõ ñèë îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:
Fel
i = −k∗i (xi − x0
i ), Ftr
i = −κ∗
i ẋi (i = 1, N).
Çäåñü xi− îáîáùåííàÿ êîîðäèíàòà, îïðåäåëÿþùàÿ ïîëîæåíèå òî÷êè Pi îòíîñèòåëüíî
ìàÿòíèêà; x∗i− äëèíà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû; k∗i , κ∗
i (i = 1, N)− êîýôôèöèåíòû
ñèë óïðóãîñòè è âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííûõ ê i-îé òî÷êå.
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïóñòü γ − åäèíè÷íûé âåê-
òîð, ñîíàïðàâëåííûé ñèëå òÿæåñòè, e � åäèíè÷íûé âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé âåêòîðó
OC, ϕ = (γ∧e)− óãîë, îïðåäåëÿþùèé ïîëîæåíèå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Òîãäà ñêîðîñòü νi (i = 1, N) òî÷êè Pi îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
νi = ẋie+ ϕ̇(ai + xi)(n× e),
ãäå n � åäèíè÷íûé âåêòîð, n ⊥ e, n ⊥ γ, òðîéêà âåêòîðîâ γ, e,n � ïðàâàÿ, ai =
= |OAi|, (i = 1, N). Ïîýòîìó êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òî÷êè Pi áóäåò òàêîâà
Ti =
1
2
mi
[
ẋ2
i + (ai + xi)
2ϕ̇2
]
(i = 1, N).
Çäåñü mi � ìàññà òî÷êè Pi.
Ïîñêîëüêó êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì T =
1
2
Iϕ̇2,
ãäå I � åãî ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, îïðåäåëÿåìîé âåêòîðîì n, òî ïîëíàÿ
êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû áóäåò
T =
1
2
[
Iϕ̇2 +
N∑
i=1
mi[ẋ
2
i + (ai + xi)
2ϕ̇2]
]
. (1)
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
Π = −Mg(γ ·OC)− g
N∑
i=1
mi(γ ·OPi) +
1
2
N∑
i=1
k∗i (xi − x∗i )
2 =
= −Mga cos ϕ− g
N∑
i=1
mi(ai + xi) cos ϕ +
1
2
N∑
i=1
k∗i (xi − x∗i )
2. (2)
Çäåñü a = |OC|, M � ìàññà ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèìóò âèä
d
dt
∂L
∂ϕ̇
− ∂L
∂ϕ
= 0;
d
dt
∂L
∂ẋi
− ∂L
∂xi
= −κ∗
i ẋi (i = 1, N),
(3)
107
À.ß. Ñàâ÷åíêî, Â.Â. Êðàâ÷åíêî
ãäå L = T − Π, à T è Π îïðåäåëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ñîîòíîøåíèÿìè (1) è (2). Óðàâ-
íåíèÿ (3) äîïóñêàþò ðåøåíèå
ϕ = 0, xi = x0
i (i = 1, N), (4)
ãäå
x0
i =
mig
k∗i
+ x∗i . (5)
Ðåøåíèþ (4) ñîîòâåòñòâóåò íèæíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà è
ôèêñèðîâàííûå ïîëîæåíèÿ òî÷åê Pi (1, N) íà ïðÿìîé OC, îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøå-
íèÿìè (5).
Èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ (4). Ïåðåõîäÿ â óðàâíåíèÿõ (3) ê âîçìóùåíèÿì,
ïîëàãàÿ
xi = x0
i + x̃i, ϕ = ϕ̃, ẋi = ˙̃xi, ϕ̇ = ˙̃ϕ,
ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî â îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ (4) äâèæåíèÿ èçó÷àåìîé
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû
¨̃ϕ = −
[
q̃0 +
N∑
i=1
(
q̃ix̃i + mix̃
2
i
)]−1( N∑
i=1
(q̃i + 2mix̃i) ˙̃xi
˙̃ϕ+
+Mga sin ϕ̃ +
g
2
N∑
i=1
(q̃i + 2mix̃i) sin ϕ̃
)
;
¨̃xi =
(
ãi + gk
′−1
i + x̃i
)
˙̃ϕ2 − g(1− cos ϕ)− k′ix̃i − κ′
i
˙̃xi (i = 1, N),
(6)
ãäå
ãi = ai + x∗i , k
′
i = m−1
i k∗i , κ′
i = m−1
i κ∗
i ,
(7)
q̃0 = I +
N∑
i=1
mi(ãi + gk
′−1
i )2, q̃i = 2mi(ãi + gk
′−1
i ).
Ðàçëàãàÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (6) â ðÿäû ïî âîçìóùåíèÿì è âûïèñûâàÿ â ÿâíîì
âèäå ñëàãàåìûå äî òðåòüåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè âêëþ÷èòåëüíî îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèé
x̃i, ˙̃xi, ϕ̃, ˙̃ϕ, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ â ñëåäóþùåì âèäå
˙̃ϕ = w,
ẇ = −Ãϕ̃ + Ω̃(2) + Ω̃(3) + ... ;
˙̃xi = yi,
ẏi = −k′ix̃i − κ′
iyi + (ai + k′−1
i g + x̃i)w
2 − 1
2
gϕ̃2 + . . . (i = 1, N),
(8)
108
Î ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé
ãäå
à = gq̃−1
0
[
Ma +
1
2
N∑
i=1
q̃i
]
;
Ω̃(2) = ϕ̃q̃−1
0
N∑
i=1
(Ãq̃i − gmi)x̃i − wq̃−1
0
N∑
i=1
q̃iyi;
Ω̃(3) =
1
6
Ãϕ̃3 − 2wq̃−1
0
N∑
i=1
mix̃iyi + wq̃−2
0
( N∑
i=1
q̃ix̃i
) ( N∑
i=1
q̃iyi
)
+
+gϕ̃q̃−2
0
( N∑
i=1
q̃ix̃i
)( N∑
i=1
mix̃i
)
+ Ãϕ̃q̃−1
0
[ N∑
i=1
mix̃
2
i − q̃−1
0
( N∑
i=1
q̃ix̃i
)( N∑
i=1
q̃ix̃i
)]
;
q̃0, q̃i, k′i, κ′
i çàïèñàíû â (7).
 óðàâíåíèÿõ (8) ìíîãîòî÷èåì îáîçíà÷åíû ÷ëåíû ïîðÿäêà ìàëîñòè âûøå òðåòüåãî îò-
íîñèòåëüíî âîçìóùåíèé x̃i, yi, ϕ̃, w.
Îòìåòèì, ÷òî ÷àñòîòà λi êîëåáàíèé òî÷êè Pi ðàâíà
√
k′i, à ÷àñòîòà λ êîëåáàíèé ôè-
çè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ ¾çàìîðîæåííûìè¿ â íåì òî÷êàìè Pi â èõ ïîëîæåíèÿõ ðàâíîâåñèÿ
ðàâíà
√
Ã.
3. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòà óñòîé÷è-
âîñòè. Ïåðåéäåì ê áåçðàçìåðíûì âåëè÷èíàì, ïîëàãàÿ
ϕ̃ = ϕ′; t =
t′√
Ã
; w =
√
à w′; x̃i = ax′i; yi = a
√
à y′i,
è, îïóñêàÿ â äàëüíåéøåì çíàêè ¾øòðèõ¿ è ¾òèëüäà¿, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ
âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ:
dϕ
dt
= w,
dw
dt
= −ϕ + Ω(2) + Ω(3) + . . . ;
dxi
dt
= yi,
dyi
dt
= −kiA
−1xi − κiA
− 1
2 yi + (aia
−1 + gk−1
i a−1)w2−
−1
2
ga−1A−1ϕ2 + xiw
2 + . . . (i = 1, N),
ãäå q0 = I +
N∑
i=1
mi(ai + gk−1
i )2, qi = 2mi(ai + gk−1
i ), A = gq−1
0
[
Ma +
1
2
N∑
i=1
qi)
]
,
Ω(2) = aA−1ϕq−1
0
N∑
i=1
(Aqi − gmi)xi − awq−1
0
N∑
i=1
qiyi,
Ω(3) =
1
6
ϕ3 − 2a2wq−1
0
N∑
i=1
mixiyi + a2wq−2
0
( N∑
i=1
qixi
) ( N∑
i=1
qiyi
)
+
+ga2A−1ϕq−2
0
( N∑
i=1
qixi
)( N∑
i=1
mixi
)
+ a2ϕq−1
0
[ N∑
i=1
mix
2
i − q−1
0
( N∑
i=1
qixi
)( N∑
i=1
qixi
)]
.
109
À.ß. Ñàâ÷åíêî, Â.Â. Êðàâ÷åíêî
Ñëåäóÿ ðàáîòàì [1, 2] èùåì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà â âèäå
V = V (2) + V (3) + V (4).
Çäåñü
V (2) = ϕ2 + w2 +
N∑
i=1
µi(f
(i)
0 x2
i + 2f
(i)
1 xiyi + f
(i)
2 y2
i ),
V (3) =
N∑
i=1
(b
(i)
0 ϕ2 + 2b
(i)
1 ϕw + b
(i)
2 )xi +
N∑
i=1
(c
(i)
0 ϕ2 + 2c
(i)
1 ϕw + c
(i)
2 w2)yi,
V (4) = (bϕ4 + cϕ2w2 + fϕ3w + pϕw3 + hw4) +
N∑
i=1
(A
(i)
1 x2
i + 2B
(i)
1 xiyi + C
(i)
1 y2
i )ϕ
2+
+
N∑
i,j=1
xixj(p
(i,j)
0 ϕ2 + 2p
(i,j)
1 ϕw + p
(i,j)
2 w2),
ãäå f
(i)
0 , f
(i)
1 , f
(i)
2 , b
(i)
0 , b
(i)
1 , b
(i)
2 , c
(i)
1 , c
(i)
2 , . . . , p
(i,j)
0 , p
(i,j)
1 , p
(i,j)
2 (i, j = 1, N)− ïîêà íåîïðåäåëåí-
íûå ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. Òîãäà
V̇ = W (2)(xi, yi) + W (3)(xi, yi, w, ϕ) + W (4)(xi, yi, w, ϕ) + . . . .
Çäåñü W (2), W (3), W (4) � ôîðìû ïîðÿäêà ìàëîñòè ñîîòâåòñòâåííî âòîðîãî, òðåòüåãî è ÷åò-
âåðòîãî, êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ôîðì V (2), V (3), V (4).
Íàõîäèì êîýôôèöèåíòû f
(i)
0 , . . . , p
(i,j)
2 (i, j = 1, N) èç óñëîâèé, ÷òî
W (2) = −2
N∑
i=1
µi(x
2
i + y2
i );
W (3) ≡ 0;
W (4) = −
(
G +
N∑
i=1
µiGi
)
(ϕ2 + w2)2,
(9)
ãäå µi (i = 1, N) � íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Ñîîòíîøåíèÿ (9) âûïîëíÿþòñÿ, åñëè
f
(i)
0 = κ′′−1
i (1 + k′′i) + k′′
−1
i κ′′
i; f
(i)
1 = k′′
−1
i ; f
(i)
2 = κ′′−1
i (1 + k′′
−1
i ),
c
(i)
0 = ∆−1
i
{
µik
′′−2
i [2a−1(ai + gk′′
−1
i A−1)− ga−1A−1][2κ′′2
i + (4− k′′i)(2− k′′i)]−
−2µi[3a
−1(ai + gk′′
−1
i A−1) + ga−1A−1 − k′′
−1
i [2a−1(ai + gk′′
−1
i A−1)− ga−1A−1]]+
+2κ′′
i(4miaq−1
0 (ai + gk′′
−1
i A−1)− aA−1q−1
0 (Aqi − gmi))
}
,
c
(i)
2 = ∆−1
i
{
µik
′′−2
i [2a−1(ai + gk′′
−1
i A−1)− ga−1A−1][2κ′′2
i + 2(4− k′′i)]+
+2µi[3a
−1(ai + gk′′
−1
i A−1) + ga−1A−1 − k′′
−1
i [2a−1(ai + gk′′
−1
i A−1)− ga−1A−1]]−
−2κ′′
i(4miaq−1
0 (ai + gk′′
−1
i A−1)− aA−1q−1
0 (Aqi − gmi))
}
,
ãäå k′′i = k′iÃ
−1; κ′′
i = κ′
iÃ
−1/2, ∆i = 4κ′′2
i + (k′′i − 4)2 (i = 1, N).
110
Î ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé
Êîýôôèöèåíòû b
(i)
0 , b
(i)
1 , b
(i)
2 , c
(i)
1 îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
b
(i)
0 = E(i) − 2c
(i)
1 + κ′′
ic
(i)
2 , c
(i)
1 = κ′′−1
i [b
(i)
1 + c
(i)
0 − c
(i)
2 ],
b
(i)
1 = C(i) + 1
2
k′′ic
(i)
2 , b
(i)
2 = A(i) − 2c
(i)
1 + κ′′
ic
(i)
2 (i = 1, N),
ãäå A(i) = 4miaq−1
0 (ai + gk′′−1
i A−1)− 2µia
−1f
(i)
2 (ai + gk′′−1
i A−1),
C(i) = −µif
(i)
1 (ai + gk′′
−1
i A−1), E(i) = µif
(i)
2 ga−1A−1 (i = 1, N),
à îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû A
(i)
1 , ..., p
(i,j)
2 â ÿâíîì âèäå âûïèñûâàòü íåò íåîáõîäèìîñòè.
Ïðè ýòîì
Gi = {∆−1
i k′′
−2
i }
{
(2a′i − ga−1A−1)
[
2κ′′2
i + 2(4− k′′)
(1
4
ga−1A−1 − 1
2
a−1
)
−
−k′′i
( 3
16
ga−1A−1 − 1
8
a′i
)]
− 2k′′
2
i (3a
′
i + ga−1A−1+
+k′′
−1
i (2a′i − ga−1A−1))
(1
4
ga−1A−1 − 1
2
a′i
)}
(i = 1, N),
ãäå a′i = ai + gk′′
−1
i A−1 (i = 1, N);
G =
{ N∏
i=1
∆i
}−1
{
1
4
a−1A−2q−1
0
N∑
i=1
[
κ′′
i(4mia
′
iAa2−qiAa+miga)(g+2Aaa′i)
N∏
j 6=i
j=1
∆j
]}
, (10)
ãäå
∆i = 4κ′′2
i + (x(i))2, x(i) = k′′i − 4 (i = 1, N).
 ñîîòâåòñòâèè ñ ðàáîòàìè [1, 2], ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿò-
íèêà îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé (10). Èññëåäóÿ G êàê ôóíêöèþ x(i) (i = 1, N) îáû÷íûì
îáðàçîì íà ýêñòðåìóì, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàêñèìóì G äîñòèãàåòñÿ ïðè x(i) = 0
(i = 1, N) èëè, âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïàðàìåòðàì, ïîëó÷àåì:
k′′i = 4, k′i = 4Ãmi (i = 1, N).
Òî åñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé λi òî÷åê Pi (i = 1, N) ðàâíû 2
√
Ã. Ïîýòîìó ñêîðîñòü çà-
òóõàíèÿ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìàêñèìàëüíà, êîãäà ÷àñòîòû êîëåáàíèé λi �
òî÷åê Pi (i = 1, N) è ÷àñòîòà ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà λ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì:
λi = 2λ (i = 1, N).
Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìàêñèìàëüíà, êî-
ãäà ÷àñòîòà êîëåáàíèé êàæäîé òî÷êè Pi (i = 1, N) ðàâíà óäâîåííîé âåëè÷èíå ÷àñòîòû
êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ ¾çàìîðîæåííûìè¿ â íåì òî÷êàìè Pi â èõ ïîëîæå-
íèÿõ ðàâíîâåñèÿ, îïðåäåëÿåìûõ ôîðìóëàìè (5).
1. Pei�er K., Savchenko A.Ya. On passive stabilization in critical cases // J. of Math. Analysis and
Applications. � 2000. � 244. � P. 106-119.
2. Pei�er K., Savchenko A.Ya. On the some asymptotic behavior of a passively stabilized system with one
critical variable // Rend. Acc. Sc. �s. mat. Napoli. � 2000. � LXVII. � P. 157-168.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê Ïîëó÷åíî 01.10.04
111
|