Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием
В работе предложено развитие метода функционалов Ляпунова в направлении использования знакопостоянных и немонотонных функционалов. Полученные результаты применяются в решении задач о стабилизации положения равновесия математического маятника и стационарных вращательных движений твердого тела с непод...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123746 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием / А.С. Андреев, С.В. Павликов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 112-118. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859804921074810880 |
|---|---|
| author | Андреев, А.С. Павликов, С.В. |
| author_facet | Андреев, А.С. Павликов, С.В. |
| citation_txt | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием / А.С. Андреев, С.В. Павликов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 112-118. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | В работе предложено развитие метода функционалов Ляпунова в направлении использования знакопостоянных и немонотонных функционалов. Полученные результаты применяются в решении задач о стабилизации положения равновесия математического маятника и стационарных вращательных движений твердого тела с неподвижной точкой управляющими моментами с запаздыванием.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:15:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 517.929 : 531.36
c©2004. À.Ñ. Àíäðååâ, Ñ.Â. Ïàâëèêîâ
ÍÅÇÍÀÊÎÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ ËßÏÓÍÎÂÀ
 ÇÀÄÀ×Å ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Ñ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
 ðàáîòå ïðåäëîæåíî ðàçâèòèå ìåòîäà ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà â íàïðàâëåíèè èñïîëüçîâàíèÿ çíàêî-
ïîñòîÿííûõ è íåìîíîòîííûõ ôóíêöèîíàëîâ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðèìåíÿþòñÿ â ðåøåíèè çàäà÷ î
ñòàáèëèçàöèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà è ñòàöèîíàðíûõ âðàùàòåëüíûõ äâè-
æåíèé òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé óïðàâëÿþùèìè ìîìåíòàìè ñ çàïàçäûâàíèåì.
1. Ïðåäåëüíûå óðàâíåíèÿ. Ïóñòü Rp � ëèíåéíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî
p − âåêòîðîâ x; x = (x1, x2, ..., xp)
′ ñ íîðìîé |x| ((·)′ � îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ);
h > 0 � äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, C � áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ϕ :
[−h, 0] → Rp ñ íîðìîé ‖ϕ‖ = sup(|ϕ(s)|,−h ≤ s ≤ 0); äëÿ H > 0 ïðîñòðàíñòâî CH =
= {ϕ ∈ C : ‖ϕ‖ < H}; åñëè x : R → Rp åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî äëÿ t ∈ R
ôóíêöèÿ xt ∈ C îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì xt(s) = x(t + s), −h ≤ s ≤ 0; ïîä ẋ(t)
ïîíèìàåòñÿ ïðàâîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ êîíå÷íûì çàïàç-
äûâàíèåì
ẋ(t) = f(t,xt), f(t,0) ≡ 0, (1)
ãäå f : R+ × CH → Rp åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì [1, 2]:
à) îãðàíè÷åíà íà êàæäîì ìíîæåñòâå R+ × C̄L, C̄L = {ϕ : ‖ϕ‖ ≤ L < H}, òî åñòü
äëÿ âñåõ (t,ϕ) ∈ R+ × C̄L ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
|f(t,ϕ)| ≤ m(L);
b) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ϕ íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå K ⊂
⊂ CH , òî åñòü äëÿ ëþáûõ t ∈ R+ è ϕ1, ϕ2 ∈ K ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
|f(t,ϕ2)− f(t,ϕ1)| ≤ l(K)‖ϕ2 −ϕ1‖;
c) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà êàæäîì ìíîæåñòâå R+ × K, ãäå K � ïðîèçâîëüíîå
êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî èç CH , òî åñòü äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò δ = δ(ε, K) >
0, òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ (t1, ϕ1), (t2, ϕ2) ∈ R+×K, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì |t2−t1| ≤ δ,
‖ϕ2 −ϕ1‖ ≤ δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|f(t2, ϕ2)− f(t1, ϕ1)| ≤ ε.
Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò ñãëàæèâàíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1) ïðè âîçðàñòà-
íèè t, â ÷àñòíîñòè, åñëè x = x(t, α, ϕ) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþ-
ùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ xα = ϕ, òî äëÿ çíà÷åíèé t ≥ α + h ôóíêöèÿ xt ∈ Γ, ãäå
Γ ⊂ CH åñòü îáúåäèíåíèå ñåìåéñòâà âëîæåííûõ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ, Γ =
∞⋃
n=1
Kn,
K1 ⊂ K2 ⊂ ... ⊂ Kn ⊂ ... [2].
112
Íåçíàêîîïðåäåëåííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà
Èç âòîðîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ x = x(t, α, ϕ) óðàâíåíèÿ (1),
óäîâëåòâîðÿþùåãî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ xα = ϕ, ïðè ýòîì ýòî ðåøåíèå îïðåäåëåíî íà
ìàêñèìàëüíîì èíòåðâàëå [α − h, β), è åñëè β < ∞, òî ‖xt(α, ϕ)‖ → H ïðè t → β, ãäå
xt(α, ϕ) = x(t + s, α, ϕ), −h ≤ s ≤ 0 [2].
Èç òðåòüåãî óñëîâèÿ ñëåäóåò ïðåäêîìïàêòíîñòü ñåìåéñòâà ñäâèãîâ Φ = {fτ : fτ (t,ϕ) =
= f(τ + t,ϕ), τ ∈ R+} â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå F íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåí-
íûõ íà ìíîæåñòâå R× Γ [2].
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè tn → ∞ ñóùåñòâóþò ïîäïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü {tnk} è ôóíêöèÿ f∗ ∈ F òàêèå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fk(t,ϕ) =
= f(tnk + t,ϕ) ñõîäèòñÿ â F ê ôóíêöèè f∗. Îáîçíà÷èâ ñåìåéñòâî ïðåäåëüíûõ ôóíêöèé
êàê Φ∗, îòìåòèì, ÷òî åñëè f∗ ∈ Φ∗, òîãäà f∗(τ + t,ϕ) = f∗τ ∈ Φ∗ äëÿ êàæäîãî τ ∈ R.
Óðàâíåíèå
ẋ(t) = f∗(t,xt), f∗ ∈ Φ∗, (2)
ãäå ôóíêöèÿ f∗ îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå R × Γ, íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì ê óðàâíåíèþ
(1) [2].
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå âèäà b) äëÿ ôóíêöèè f∗ òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîýòîìó äëÿ
êàæäîé íà÷àëüíîé òî÷êè (α, ϕ) ∈ R×Γ ðåøåíèå x = x∗(t, α, ϕ) óðàâíåíèÿ (2) ÿâëÿåòñÿ
åäèíñòâåííûì. Òàê êàê f∗α ∈ Φ∗ äëÿ êàæäîãî α ∈ R, òî áóäåì äëÿ êàæäîãî óðàâíåíèÿ
(2) åãî ðåøåíèÿ îïðåäåëÿòü ïðè α = 0 : x = x∗(t,ϕ) = x∗(t, 0, ϕ).
Ïðè îïðåäåëåíèè âçàèìîñâÿçè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1) è ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2)
áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [1].
Ïóñòü x = x(t, α, ϕ) � ðåøåíèå, îïðåäåëåííîå äëÿ âñåõ t ≥ α − h, è ω+(α, ϕ) �
åãî ïîëîæèòåëüíîå ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå C: òî÷êà p ∈ ω+(α, ϕ), åñëè
ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tn → ∞ òàêàÿ, ÷òî x
(n)
t (α, ϕ) → p ïðè n → ∞, ãäå
x
(n)
t (α, ϕ) = x(tn + s, α, ϕ), −h ≤ s ≤ 0.
Ïîñðåäñòâîì ïðåäåëüíûõ óðàâíåíèé (2) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî êâàçè-
èíâàðèàíòíîñòè ìíîæåñòâà ω+(α, ϕ) [2].
Òåîðåìà 1. Åñëè x = x(t, α, ϕ) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëåííîå è îãðà-
íè÷åííîå, |x(t, α, ϕ)| ≤ H0 < H äëÿ âñåõ t ≥ α − h, òî äëÿ êàæäîé ïðåäåëüíîé òî÷êè
p ∈ ω+(α, ϕ) ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíîå óðàâíåíèå (2) òàêîå, ÷òî äëÿ åãî ðåøåíèÿ x∗(t, 0,p)
âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå x∗t (0,p) ∈ ω+(α, ϕ) äëÿ âñåõ t ∈ R.
Ýòî ñâîéñòâî, àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâó èíâàðèàíòíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ïðåäåëüíî-
ãî ìíîæåñòâà ðåøåíèÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ [1], ïîçâîëèëî îáîñíîâàòü ïðèìåíåíèå
ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà ñî çíàêîïîñòîÿííîé ïðîèçâîäíîé â çàäà÷àõ î ïðåäåëüíîì ïî-
âåäåíèè ðåøåíèè íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ (1) [3, 4].
2. Çíàêîïîñòîÿííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè
íóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1)
òàêîâà, ÷òî f(t,ϕ) → f∗(ϕ) ïðè t → +∞ ðàâíîìåðíî ïî ϕ ∈ K ⊂ CH , ãäå f∗ : CH →
Rp åñòü íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòü äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K ⊂ CH è
ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî T = T (ε, K) > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ t ≥ T è
ϕ ∈ K âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|f(t,ϕ)− f∗(ϕ)| < ε.
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè àâòîíîìíûì, è ñåìåéñòâî âñåõ
113
À.Ñ. Àíäðååâ, Ñ.Â. Ïàâëèêîâ
ïðåäåëüíûõ óðàâíåíèé (2) ñîñòîèò èç îäíîãî óðàâíåíèÿ
ẋ(t) = f∗(xt). (3)
Ñîîòâåòñòâåííî òåîðåìà 1 ïðèíèìàåò ñëåäóþùóþ ôîðìó.
Òåîðåìà 2. Åñëè x = x(t, α, ϕ) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëåííîå è îãðà-
íè÷åííîå, |x(t, α, ϕ)| ≤ H0 < H äëÿ âñåõ t ≥ α − h, òî äëÿ êàæäîé ïðåäåëüíîé òî÷êè
p ∈ ω+(α, ϕ) ðåøåíèå x = x∗(t,p), x∗0 = p óðàâíåíèÿ (3), èñõîäÿùåå èç ýòîé òî÷êè,
áóäåò îïðåäåëåíî äëÿ âñåõ t ∈ R è òàêîâî, ÷òî x∗t (p) ∈ ω+(α, ϕ) äëÿ t ∈ R.
Èç ýòîãî ñâîéñòâà íà îñíîâàíèè òåîðåì 2.1 è 2.3 ðàáîòû [2] âûâîäèòñÿ ñëåäóþùåå
óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1).
Òåîðåìà 3. Äëÿ ðàâíîìåðíîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (1) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íóëåâîå ðåøåíèå ïðåäåëüíîãî óðàâíåíèÿ
(3) áûëî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Íåïîñðåäñòâåííî èç ñâîéñòâà íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1) îò
âîçìóùåíèÿ åãî ïðàâîé ÷àñòè èìååì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 4. Åñëè íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) íåóñòîé÷èâî, òî è íóëåâîå ðåøå-
íèå óðàâíåíèÿ (1) íåóñòîé÷èâî.
Ïóñòü V : R+ × CH → R åñòü íåêîòîðûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë, x = x(t, α, ϕ)
� íåêîòîðîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1). Ïîñðåäñòâîì ðàâåíñòâà
V̇(1)(α, ϕ) = lim sup
h→0+
1
2
(V (α + h,xα+h(α, ϕ))− V (α, ϕ))
ìîæíî îïðåäåëèòü âåðõíþþ ïðàâîñòîðîííþþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèîíàëà V â òî÷êå
(α, ϕ). Àíàëîãè÷íî äëÿ ôóíêöèîíàëà V : CH → R îïðåäåëÿåòñÿ åãî ïðîèçâîäíàÿ V̇(3)(ϕ)
îòíîñèòåëüíî óðàâíåíèÿ (3) â òî÷êå ϕ ∈ CH .
Îïðåäåëåíèå 1. Ðåøåíèå x = 0 óðàâíåíèÿ (3) óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà
N ⊂ C0 = {ϕ ∈ C : ‖ϕ‖ < H0, 0 < H0 < H}, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ
δ = δ(ε) > 0 òàêîå, ÷òî ðåøåíèå x = x(t,ϕ) ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü
íåðàâåíñòâó |x(t,ϕ)| < ε äëÿ âñåõ t ≥ −h è ϕ ∈ {‖ϕ‖ < δ}
⋂
N.
Îïðåäåëåíèå 2. Ðåøåíèå x = 0 óðàâíåíèÿ (3) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îòíî-
ñèòåëüíî ìíîæåñòâà N ⊂ C0, åñëè îíî óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî N è ñóùåñòâóåò δ0 > 0
òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ϕ ∈ {‖ϕ‖ < δ0}
⋂
N ðåøåíèå x(t,ϕ) → 0 ïðè t → +∞.
Òåîðåìà 5. Ïóñòü äëÿ óðàâíåíèÿ (3) â îáëàñòè C0 ìîæíî íàéòè ôóíêöèîíàë
V ∗(ϕ) ≥ 0, V ∗(0) = 0, èìåþùèé ïðîèçâîäíóþ V̇ ∗
(3)(ϕ) ≤ 0, ïðè ýòîì:
1) ðåøåíèå x = 0 óðàâíåíèÿ (3) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà
{V ∗(ϕ) = 0};
2) ìíîæåñòâî {V ∗(ϕ) > 0}
⋂
{V̇ ∗
(3)(ϕ) = 0} íå ñîäåðæèò ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3).
Òîãäà ðåøåíèå x = 0 èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé-
÷èâî.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èç åå óñëîâèé ñëåäóåò,
÷òî íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Íî òîãäà ïî òåîðåìå 3
èìååì èñêîìûé ðåçóëüòàò.
Íåêîòîðûì âèäîèçìåíåíèåì äîêàçûâàþòñÿ ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû, â êîòîðûõ a :
R+ → R+ åñòü ôóíêöèÿ òèïà Õàíà [5].
Òåîðåìà 6. Ïóñòü äëÿ óðàâíåíèÿ (1) â îáëàñòè C0 ìîæíî íàéòè ôóíêöèîíàë
V = V (t,ϕ) ≥ 0, V (t,ϕ) ≤ a(‖ϕ‖), èìåþùèé ïðîèçâîäíóþ V̇(1)(t,ϕ) ≤ 0, è òàêîé, ÷òî
114
Íåçíàêîîïðåäåëåííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà
V (t,ϕ) → V ∗(ϕ) ïðè t → +∞ ðàâíîìåðíî ïî ϕ ∈ K äëÿ êàæäîãî êîìïàêòà K ⊂ C0, ïðè
ýòîì äëÿ óðàâíåíèÿ (3) âûïîëíåíî óñëîâèå 1) òåîðåìû 5 îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà
V ∗(ϕ).
Òîãäà ðåøåíèå x = 0 èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâî.
Òåîðåìà 7. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6 äëÿ óðàâíåíèÿ (3) âûïîëíåíî òàêæå óñëî-
âèå 2) òåîðåìû 5, òî ðåøåíèå x = 0 èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè-
÷åñêè óñòîé÷èâî.
3. Íåìîíîòîííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè. Äëÿ
êàæäîãî t ∈ R+ îáîçíà÷èì ÷åðåç {ϕ ∈ C0 : V (t,ϕ) > 0} ìíîæåñòâî òî÷åê ϕ ∈ C0, äëÿ
êîòîðûõ ôóíêöèîíàë V (t,ϕ) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó V (t,ϕ) > 0.
Äîïóñòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ V̇(1)(t,ϕ) ôóíêöèîíàëà V (t,ϕ) â ñèëó óðàâíåíèÿ (1) äëÿ
çíà÷åíèé (t,ϕ) ∈ R+ × {ϕ ∈ C0 : V (t,ϕ) > 0} óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
V̇(1)(t,ϕ) ≤ −W (t,ϕ) ≤ 0,
ãäå W : R+ × C0 → R+ åñòü íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë, ÿâëÿþùèéñÿ îãðàíè÷åííûì è
ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûì íà ìíîæåñòâå R+ × K ïðè êàæäîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå
K ⊂ C0.
Ñåìåéñòâî ñäâèãîâ ΦW = {Wτ (t,ϕ) = W (τ + t,ϕ)}, òàêæå êàê è ñåìåéñòâî Φ, áóäåò
ïðåäêîìïàêòíî â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå FW ôóíêöèîíàëîâ W : R×Γ0 → R+, Γ0 =
= C0
⋂
Γ. È, òàêèì îáðàçîì, ìîæíî îïðåäåëèòü ñåìåéñòâî ïðåäåëüíûõ ê W ôóíêöèî-
íàëîâ {W ∗ ∈ FW : R× Γ0 → R+} è ñåìåéñòâî ïðåäåëüíûõ ïàð (f∗, W ∗) [2].
Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü (f∗, W ∗) åñòü ïðåäåëüíàÿ ïàðà, îïðåäåëÿåìàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòüþ tn → +∞. Çàäàâàåìîå ôóíêöèîíàëîì V äëÿ ëþáûõ t ∈ R è c ∈ R ìíîæåñòâî
V −1
∞ (t, c) îïðåäåëèì êàê ìíîæåñòâî òî÷åê ϕ ∈ Γ0, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ñóùåñòâóåò
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕn ∈ C0 : ϕn → ϕ} òàêàÿ, ÷òî ïðè n →∞ èìååò ìåñòî ñîîòíîøå-
íèå V (tn + t,ϕn) → c.  ÷àñòíîñòè, V −1
∞ (t, 0) = {ϕ ∈ Γ0 : ∃ϕn → ϕ, V (tn + t,ϕn) → 0 ïðè
n →∞}.
Òåîðåìà 8. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ (1) â îáëàñòè R+×C0 ìîæíî íàéòè
íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë V = V (t,ϕ), V (t,0) = 0 òàêîé, ÷òî:
1) V (t,ϕ) ≥ a(|ϕ(0)|) äëÿ êàæäîé ôóíêöèè ϕ ∈ C0 òàêîé, ÷òî ‖ϕ‖ = |ϕ(0)|;
2) V̇(1)(t,ϕ) ≤ −W (t,ϕ) ≤ 0 äëÿ (t,ϕ) ∈ R+ × {ϕ ∈ C0 : V (t,ϕ) > 0};
3) äëÿ êàæäîé ïðåäåëüíîé ïàðû (f∗,W∗) ìíîæåñòâî {V −1
∞ (t, c) : c = const ≥
≥ 0}
⋂
[{W ∗(t,ϕ) = 0} íå ñîäåðæàò ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2), êðîìå íóëåâîãî x = 0;
4) ìíîæåñòâî {V −1
∞ (t, c) : c ≤ 0} íå ñîäåðæèò ðåøåíèé x∗(t,ϕ) ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé
ϕ ∈ {V −1
∞ (t, c) : c ≤ 0, ||ϕ|| = |ϕ(0)| > 0}.
Òîãäà ðåøåíèå x = 0 óðàâíåíèÿ (1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) â ñèëó óñëîâèé
1) è 2) òåîðåìû äîêàçàíà â ðàáîòå [5]. Ïðè ýòîì, êàê òàì óêàçàíî, îáëàñòü N−(t) = {ϕ ∈
∈ C0 : V (t,ϕ) ≤ 0} ïîëóèíâàðèàíòíà, òî åñòü åñëè ðåøåíèå x = x(t, α, ϕ) óðàâíåíèÿ (1)
ïðè t = β ≥ α îêàæåòñÿ â ýòîé îáëàñòè, xβ(α, ϕ) ∈ N−(β), òîãäà xt(α, ϕ) ∈ N−(t) äëÿ
âñåõ t ≥ β.
Ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî α ≥ 0 è íåêîòîðîãî ε0 > 0 ÷èñëî δ0 = δ0(ε0, α) > 0
îïðåäåëÿåòñÿ èç ñâîéñòâà óñòîé÷èâîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå x = x(t, α, ϕ), ϕ ∈
{‖ϕ‖ < δ0} îãðàíè÷åíî, |x(t, α, ϕ)| < ε0 äëÿ âñåõ t ≥ α.
Åñëè ýòî ðåøåíèå îñòàåòñÿ â îáëàñòè {V (t,ϕ) > 0} äëÿ âñåõ t ≥ α, òî, ñîãëàñíî
òåîðåìå 2.1 èç [3], ñâîéñòâî x(t, α, ϕ) → 0 ïðè t → +∞ ñëåäóåò èç óñëîâèÿ 3) òåîðåìû.
115
À.Ñ. Àíäðååâ, Ñ.Â. Ïàâëèêîâ
Èññëåäóåì ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ x = x(t, α, ϕ) òàêîãî, ÷òî xt(α, ϕ) ∈
∈ N−(t) äëÿ âñåõ t ≥ β ≥ α. Äëÿ ýòîãî ïîëîæèì µ(γ) = sup(|x(t, α, ϕ)|, t ≥ γ ≥ β).
Ýòà ôóíêöèÿ íåâîçðàñòàþùàÿ, µ(γ) ↘ µ0 ≤ µ(β) < ε0 ïðè γ → +∞. Åñëè µ0 = 0, òî
ñâîéñòâî x(t, α, ϕ) → 0 ïðè t → +∞ îïÿòü âûïîëíåíî.
Äîïóñòèì, ÷òî µ0 > 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tk → +∞ òàêàÿ, ÷òî
lim
k→∞
|x(tk, α,ϕ)| = µ0. (4)
Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè tk → +∞ âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü tkj
→ +∞, äëÿ
êîòîðîé ìîæíî îïðåäåëèòü ïðåäåëüíîå óðàâíåíèå (2) è ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî
{V −1
∞ (t, c), c ≤ 0}. Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1 (ñì. òàêæå [2]) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{xkj
(t) = x(tkj
+ t, α, ϕ)} áóäåò ñõîäèòüñÿ ðàâíîìåðíî ïî t ∈ [−T, T ] äëÿ êàæäîãî ÷èñëà
T > 0 ê ðåøåíèþ x∗(t,ϕ∗) óðàâíåíèÿ (2), ãäå ϕ∗ = limj→∞ xtkj
(α, ϕ).
Î÷åâèäíî, ÷òî ϕ∗ ∈ N−(0), x∗t ∈ N−(t) äëÿ âñåõ t ∈ R. Ïðè ýòîì èç ïðåäïîëîæåíèÿ
(4) ñëåäóåò, ÷òî ‖ϕ∗‖ = |ϕ(0)| > 0. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ 4) òåîðåìû.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåøåíèÿ x(t, α, ϕ) óðàâíåíèÿ (1) òàêîãî, ÷òî xt ∈ N−(t) äëÿ
t ≥ β ≥ α, âîçìîæíî òîëüêî µ0 = 0, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Íà îñíîâå ðàñøèðåíèÿ îïðåäåëåíèé 1 è 2 óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ x = 0 îòíîñèòåëüíî
ðåøåíèé ñåìåéñòâà ïðåäåëüíûõ óðàâíåíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ïðåäåëüíûõ ìíîæåñòâ
äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 9. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ (1) â îáëàñòè R+×C0 ìîæíî íàéòè
íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë V = V (t,ϕ), V (t,0) = 0, |V (t,ϕ)| ≤ a1(‖ϕ‖) äëÿ (t,ϕ) ∈
∈ R+ × C0 òàêîé, ÷òî:
1) V (t,ϕ) ≥ a2(|ϕ(0)|) äëÿ êàæäîé ôóíêöèè ϕ ∈ C0 òàêîé, ÷òî ‖ϕ‖ = |ϕ(0)|;
2) V̇(1)(t,ϕ) ≤ −W (t,ϕ) ≤ 0 äëÿ (t,ϕ) ∈ R+ × {ϕ ∈ C0 : V (t,ϕ) > 0};
3) äëÿ êàæäîé ïðåäåëüíîé ïàðû (f∗, W ∗) ìíîæåñòâî {V −1
∞ (t, c) : c = const > 0}
⋂⋂
{W ∗(t,ϕ) = 0} íå ñîäåðæèò ðåøåíèé x∗(t,ϕ) óðàâíåíèÿ (2);
4) ðåøåíèå x = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà {V −1
∞ (t, c) :
c ≤ 0} ðàâíîìåðíî ïî ñîâîêóïíîñòè ïðåäåëüíûõ óðàâíåíèé (2).
Òîãäà ðåøåíèå x = 0 óðàâíåíèÿ (1) ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Òåîðåìû 8 è 9 äîïîëíÿþò è ðàçâèâàþò ðåçóëüòàòû ðàáîò [4-6].
4. Çàäà÷è. Çàäà÷à î ñòàáèëèçàöèè ìàÿòíèêà â âåðõíåì íåóñòîé÷èâîì ïîëîæå-
íèè. Ðàññìîòðèì â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå çàäà÷ó î ñòàáèëèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿò-
íèêà â âåðõíåì, íåóñòîé÷èâîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ìîìåíòîì, ïðèëîæåííûì ê íåìó
íà îñè ïîäâåñà.
Ñîãëàñíî [7], óðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
= x1 + x3,
dx3
dt
= u, (5)
ãäå x1 = ϕ � óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè, x2 = ϕ̇, u � óïðàâëÿþùèé ìîìåíò,
ïðèëîæåííûé ê ìàÿòíèêó.
Äîïóñòèì, ÷òî â ñèñòåìå óïðàâëåíèÿ ìàÿòíèêîì êîîðäèíàòû x1, x2, x3 îïðåäå-
ëÿþòñÿ ñ çàïàçäûâàíèåì τ = τ(t), 0 ≤ τ(t) ≤ h; τ(t) åñòü ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàÿ ïî
t ∈ R+ ôóíêöèÿ, τ(t) → τ0 ïðè t → +∞.
Îïðåäåëèì óïðàâëÿþùèé ìîìåíò u ïîñðåäñòâîì ðàâåíñòâà
u = −4x1(t− τ(t)) + x2(t− τ(t))− 3x3(t− τ(t)). (6)
116
Íåçíàêîîïðåäåëåííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà
Åñëè ôóíêöèîíàë V (ϕ1, ϕ2, ϕ3) îïðåäåëèòü ðàâåíñòâîì
V = 4(ϕ1(0) + ϕ2(0))2 + 4(ϕ1(0) + ϕ2(0))ϕ3(0) +
3
2
ϕ2
3(0)+
+
1
16h
0∫
−2h
0∫
s
(4(ϕ1(u) + ϕ2(u))2 + ϕ2
3(u))du
ds,
òî ìîæíî íàéòè, ÷òî ýòîò ôóíêöèîíàë, ÿâëÿÿñü íåîòðèöàòåëüíûì, èìååò ïðîèçâîäíóþ
V̇ (t, ϕ1, ϕ2, ϕ3), â ñèëó (5), (6) óäîâëåòâîðÿþùóþ ïðè h < 1/64 íåðàâåíñòâó
V̇ (t, ϕ1, ϕ2, ϕ3) ≤ −W (ϕ1, ϕ2, ϕ3) ≤ 0,
ïðè ýòîì ìíîæåñòâî {W = 0} = {V = 0} = {ϕ1, ϕ2, ϕ3 : ϕ1(s) + ϕ2(s) = 0, ϕ3(s) =
= 0,−h ≤ s ≤ 0}. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå x1 = x2 = x3 = 0 ïðåäåëüíîãî
óðàâíåíèÿ, ñîâïàäàþùåãî ïî ôîðìå ñ (5), (6) äëÿ τ(t) = τ0, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî
îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà {V = 0}. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 7 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî
íóëåâîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû (5) ïðè óïðàâëÿþùåì ìîìåíòå (6) áóäåò ãëîáàëüíî ðàâíî-
ìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Çàäà÷à î ñòàáèëèçàöèè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ïóñòü äëÿ òåëà
ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé O ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé Ox, Oy è Oz
åñòü A, B è C, à p, q, r åñòü ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè íà ýòè îñè. Ïðè îòñóòñòâèè
âíåøíèõ ñèë òåëî ìîæåò ñîâåðøàòü ñòàöèîíàðíîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå âèäà
p = q = 0, r = r0 = const > 0. (7)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î ñòàáèëèçàöèè ýòîãî äâèæåíèÿ óïðàâëÿþùèìè ìîìåíòàìè M1,
M2, M3 ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ
Aẋ1 = (B − C)x2(r0 + x3) + M1,
Bẋ2 = (C − A)(r0 + x3)x1 + M2,
Cẋ3 = (A−B)x1x2 + M3,
(8)
ãäå x1 = p, x2 = q, x3 = r − r0.
Äîïóñòèì, ÷òî â ñèñòåìå óïðàâëåíèÿ òåëîì êîîðäèíàòû x1, x2 è x3 îïðåäåëÿþòñÿ ñ
çàïàçäûâàíèÿìè τ1(t), τ2(t) è τ3(t), 0 ≤ τk(t) ≤ h > 0.
Ïðèìåíåíèå òåîðåì 8 è 9 äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ (7) ìîìåí-
òàìè
M1 = −b1x1(t− τ1(t)), M2 = −b1x2(t− τ2(t)), M3 = −b2x3(t− τ3(t)) (9)
ïîçâîëÿåò åå ðàçäåëèòü íà äâå çàäà÷è: î ñòàáèëèçàöèè ïî x1 è x2 íà îñíîâå ïåðâûõ
äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (8); îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî x3 íà îñíîâå òðåòüåãî
óðàâíåíèÿ ïðè x1 = x2 = 0.
Ðàññìîòðåííûå çàäà÷è ìîãóò áûòü ðåøåíû ïðè óñëîâèè A ≥ B > C (èëè A ≤ B <
< C) ñ ïðèìåíåíèåì çíàêîïîñòîÿííûõ ôóíêöèîíàëîâ
V1(ϕ1, ϕ2) =
1
2
A(C − A)ϕ2
1(0) +
1
2
B(B − C)ϕ2
2(0)+
+µ1
−h∫
−2h
(
0∫
s
ϕ2
1(ν)dν
)
ds + µ2
−h∫
−2h
(
0∫
s
ϕ2
2(ν)dν
)
ds,
117
À.Ñ. Àíäðååâ, Ñ.Â. Ïàâëèêîâ
µ1 =
b1r0(B − C)(C − A)
2A
+
b2
1(C − A)
2A
, µ2 =
b1r0(B − C)(C − A)
2B
+
b2
1(B − C)
2B
;
V2(ϕ3) =
1
2
Cϕ2
3(0) +
b2
2
2C
−h∫
−2h
0∫
s
ϕ2
3(ν)dν
ds,
èìåþùèõ çíàêîïîñòîÿííûå ïðîèçâîäíûå ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà ïðè çíà÷åíèÿõ êîýô-
ôèöèåíòîâ óñèëåíèÿ b1 è b2 òàêèõ, ÷òî
0 < hb1 < B − (C − A)r0h, 0 < hb2 < C. (10)
Ïî òåîðåìå 9 âûâîäèì, ÷òî âðàùåíèå (7) âîêðóã íàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé îñåé èíåðöèè
ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòîâ (9) ñ êîýôôèöèåíòàìè óñèëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèÿì
(10), ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêò � 02-01-00877), ïðî-
ãðàììû "Óíèâåðñèòåòû Ðîññèè"(ïðîåêò ÓÐ-04.01.053) è â ðàìêàõ ïðîãðàììû "Ãîñóäàð-
ñòâåííàÿ ïîääåðæêà âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë"(ÍØ-2000.2003.1).
1. Õåéë Äæ. Òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. � Ì.: Ìèð, 1984. � 421 ñ.
2. Àíäðååâ À.Ñ., Õóñàíîâ Ä.Õ. Ïðåäåëüíûå óðàâíåíèÿ â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè ôóíêöèîíàëüíî-
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ // Äèô. óðàâíåíèÿ. � 1998. � 34, � 4. � Ñ.435-440.
3. Àíäðååâ À.Ñ., Õóñàíîâ Ä.Õ. Ê ìåòîäó ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé-
÷èâîñòè // Òàì æå. � 1998. � 34, � 7. � Ñ.876-885.
4. Andreev A., Khusanov D. On asymptotic stability and nonstability functional-di�erential equations with
periodic right side // Nonlinear oscillations. � 2001. � 4, � 3. � P.290-298.
5. Ãàéøóí È.Â., Êíÿæèùå Ë.Á. Íåìîíîòîííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè óðàâ-
íåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì // Äèô. óðàâíåíèÿ. � 1994. � 38, � 3. � Ñ.5-8.
6. Êíÿæèùå Ë.Á., Ùàâåëü Í.À. Íåìîíîòîííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà è îöåíêè ðåøåíèé äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì // Òàì æå. � 1997. � 33, � 2. � Ñ.205-211.
7. Êðàñîâñêèé Í.Í. Ïðîáëåìû ñòàáèëèçàöèè óïðàâëÿåìûõ äâèæåíèé // Â êí.: Ìàëêèí È.Ã. Òåîðèÿ
óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Äîïîëíåíèå 4. � Ì.: Íàóêà, 1966. � Ñ.475-515.
Óëüÿíîâñêèé ãîñ. óí-ò, Ðîññèÿ
AndreevAS@ulsu.ru
Ïîëó÷åíî 19.06.04
118
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123746 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:15:33Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Андреев, А.С. Павликов, С.В. 2017-09-09T09:46:56Z 2017-09-09T09:46:56Z 2004 Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием / А.С. Андреев, С.В. Павликов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 112-118. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123746 517.929 : 531.36 В работе предложено развитие метода функционалов Ляпунова в направлении использования знакопостоянных и немонотонных функционалов. Полученные результаты применяются в решении задач о стабилизации положения равновесия математического маятника и стационарных вращательных движений твердого тела с неподвижной точкой управляющими моментами с запаздыванием. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 02-01-00877), программы "Университеты России" (проект УР-04.01.053) и в рамках программы "Государственная поддержка ведущих научных школ" (НШ-2000.2003.1). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием Article published earlier |
| spellingShingle | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием Андреев, А.С. Павликов, С.В. |
| title | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием |
| title_full | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием |
| title_fullStr | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием |
| title_full_unstemmed | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием |
| title_short | Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием |
| title_sort | незнакоопределенные функционалы ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123746 |
| work_keys_str_mv | AT andreevas neznakoopredelennyefunkcionalylâpunovavzadačeobustoičivostifunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravneniiskonečnymzapazdyvaniem AT pavlikovsv neznakoopredelennyefunkcionalylâpunovavzadačeobustoičivostifunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravneniiskonečnymzapazdyvaniem |