Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями
Изучается плоское движение двухзвенного манипулятора, состоящего из упругого звена и схвата, находящегося под действием переменной внешней силы. Упругое звено манипулятора связано с неподвижным основанием с помощью цилиндрического шарнира. К упругому звену с помощью телескопического шарнира присоеди...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123748 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями / И.А. Болграбская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 127-134. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859461407640125440 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. |
| author_facet | Болграбская, И.А. |
| citation_txt | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями / И.А. Болграбская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 127-134. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Изучается плоское движение двухзвенного манипулятора, состоящего из упругого звена и схвата, находящегося под действием переменной внешней силы. Упругое звено манипулятора связано с неподвижным основанием с помощью цилиндрического шарнира. К упругому звену с помощью телескопического шарнира присоединен схват. Предложена конечномерная модель этой механической системы, представляющая из себя систему (n + 1) твердых тел, первые п из которых связаны упругими цилиндрическими шарнирами, а n + 1-е соединено с n-тым телом с помощью телескопического шарнира. К манипулятору присоединено два дополнительных тела (гасители колебаний). Определены условия позволяющие с помощью управляемого движения дополнительных тел добиться существования у манипулятора режима, в котором его звенья неподвижны. Установлено, что такой режим возможен только в случае, когда к упругому звену с помощью цилиндрического шарнира присоединено еще одно промежуточное твердое тело, к которому с помощью телескопа присоединен схват.
|
| first_indexed | 2025-11-24T02:27:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. È.À. Áîëãðàáñêàÿ
ÃÀØÅÍÈÅ ÂÛÍÓÆÄÅÍÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
ÌÀÍÈÏÓËßÒÎÐÀ Ñ ÓÏÐÓÃÈÌÈ ÇÂÅÍÜßÌÈ
Èçó÷àåòñÿ ïëîñêîå äâèæåíèå äâóõçâåííîãî ìàíèïóëÿòîðà, ñîñòîÿùåãî èç óïðóãîãî çâåíà è ñõâàòà, íàõî-
äÿùåãîñÿ ïîä äåéñòâèåì ïåðåìåííîé âíåøíåé ñèëû. Óïðóãîå çâåíî ìàíèïóëÿòîðà ñâÿçàíî ñ íåïîäâèæ-
íûì îñíîâàíèåì ñ ïîìîùüþ öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà. Ê óïðóãîìó çâåíó ñ ïîìîùüþ òåëåñêîïè÷åñêîãî
øàðíèðà ïðèñîåäèíåí ñõâàò. Ïðåäëîæåíà êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü ýòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ïðåäñòàâ-
ëÿþùàÿ èç ñåáÿ ñèñòåìó (n+1) òâåðäûõ òåë, ïåðâûå n èç êîòîðûõ ñâÿçàíû óïðóãèìè öèëèíäðè÷åñêèìè
øàðíèðàìè, à n + 1-å ñîåäèíåíî ñ n-òûì òåëîì ñ ïîìîùüþ òåëåñêîïè÷åñêîãî øàðíèðà. Ê ìàíèïóëÿòî-
ðó ïðèñîåäèíåíî äâà äîïîëíèòåëüíûõ òåëà (ãàñèòåëè êîëåáàíèé). Îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ïîçâîëÿþùèå
ñ ïîìîùüþ óïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ òåë äîáèòüñÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ó ìàíèïóëÿòîðà ðå-
æèìà, â êîòîðîì åãî çâåíüÿ íåïîäâèæíû. Óñòàíîâëåíî, ÷òî òàêîé ðåæèì âîçìîæåí òîëüêî â ñëó÷àå,
êîãäà ê óïðóãîìó çâåíó ñ ïîìîùüþ öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà ïðèñîåäèíåíî åùå îäíî ïðîìåæóòî÷íîå
òâåðäîå òåëî, ê êîòîðîìó ñ ïîìîùüþ òåëåñêîïà ïðèñîåäèíåí ñõâàò.
Ââåäåíèå. Ïðè ðàáîòå ìàíèïóëÿòîðà ñ ðàçëè÷íûìè èíñòðóìåíòàìè çà÷àñòóþ âîç-
íèêàþò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ åãî çâåíüåâ, êîòîðûå ìåøàþò òî÷íîñòè âûïîëíåíèÿ
çàäàííûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé, à èíîãäà è äåëàþò íåâîçìîæíûì èõ èñïîëíåíèå.
Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ íåîáõîäèìûì òåì èëè èíûì ñïîñîáîì íåéòðàëèçîâàòü ýòè êîëå-
áàíèÿ. Îäèí èç âîçìîæíûõ ïðèåìîâ íåéòðàëèçàöèè ïåðåìåííîãî âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ
ïðåäëîæåí â [1]. Îí ñîñòîèò âî ââåäåíèè â ñèñòåìó äîïîëíèòåëüíûõ òåë (ãàñèòåëåé êîëå-
áàíèé), óïðàâëÿåìîå äâèæåíèå êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ðåæèìà, â êîòîðîì
çâåíüÿ ìàíèïóëÿòîðà íåïîäâèæíû, à êîëåáàíèÿ ñîâåðøàþò òîëüêî ãàñèòåëè. Ãàñèòåëè
ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé êàê òî÷å÷íûå ìàññû, òàê è òâåðäûå òåëà, óïðóãî ïðèêðåï-
ëåííûå ê çâåíüÿì ìàíèïóëÿòîðà. Êîëè÷åñòâî ãàñèòåëåé ìîæåò êàê ñîâïàäàòü, òàê è
íå ñîâïàäàòü ñ êîëè÷åñòâîì çâåíüåâ ìàíèïóëÿòîðà [1-3].  [1-3] ïîëàãàëîñü, ÷òî çâåíüÿ
ìàíèïóëÿòîðà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òâåðäûå òåëà, ñîåäèíåííûå ìåæäó ñîáîé îäíîñòå-
ïåííûìè øàðíèðàìè, äîïóñêàþùèìè ëèáî âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå (öèëèíäðè÷åñêèé
øàðíèð), ëèáî ëèíåéíîå ïåðåìåùåíèå (òåëåñêîï).
Îäíàêî â ñëó÷àå, êîãäà äëèíà çâåíüåâ çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò èõ îñòàëüíûå ðàçìå-
ðû, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ó÷åòà óïðóãèõ ñâîéñòâ ýòèõ çâåíüåâ. Äëÿ ïîäîáíûõ ñèñòåì
ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà ïîñòðîåíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ïåðâûé ñîñòîèò âî ââåäå-
íèè ãèáðèäíîé ìîäåëè, ñîñòîÿùåé èç ñîâîêóïíîñòè óïðóãèõ ñòåðæíåé è òâåðäûõ òåë.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ñîäåðæàò êàê îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ, òàê è óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íû-
ìè óñëîâèÿìè. Ïðè âòîðîì ïîäõîäå ìàíèïóëÿòîð ìîäåëèðóåòñÿ ñèñòåìîé n òâåðäûõ
òåë, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè øàðíèðàìè. Ïðè îòñóòñòâèè óïðóãîñòè æåñòêîñòü â øàðíèðå
ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðåäñòàâèìû ñèñòåìîé
îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Êàê ïîêàçàíî â [4-6], ïðè îïðåäåëåííîì
âûáîðå æåñòêîñòè â óïðóãèõ ñî÷ëåíåíèÿõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè
è èõ ðåøåíèÿ ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèÿì è ðåøåíèÿì ãèáðèäíîé ñèñòå-
ìû. Ñðàâíèòåëüíàÿ æå ïðîñòîòà êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè ïðè ðåøåíèÿ ðÿäà ïðèêëàäíûõ
çàäà÷ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îáîçðèìûå àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû [7-9].
127
È.À. Áîëãðàáñêàÿ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíà êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ïëîñêîãî ìà-
íèïóëÿòîðà. Ïåðâîå, óïðóãîå çâåíî ìàíèïóëÿòîðà, ìîäåëèðîâàëîñü ñèñòåìîé n òâåð-
äûõ òåë, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè öèëèíäðè÷åñêèìè øàðíèðàìè. Ðàññìîòðåíî äâà âàðèàíòà
êðåïëåíèÿ ñõâàòà ê óïðóãîìó çâåíó ìàíèïóëÿòîðà.  ïåðâîì ñëó÷àå îí íåïîñðåäñòâåí-
íî ñ ïîìîùüþ òåëåêîïà ñîåäèíÿåòñÿ ñ ýòèì çâåíîì. Âî âòîðîì ñëó÷àå, ê ïåðâîìó çâåíó
ñ ïîìîùüþ öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà ïðèñîåäèíåíî äîïîëíèòåëüíîå òâåðäîå òåëî, ê
êîòîðîìó óæå êðåïèòñÿ ñõâàò. Íà ñõâàò äåéñòâóåò ïåðåìåííàÿ âíåøíÿÿ íàãðóçêà. Èçó-
÷åíà âîçìîæíîñòü ãàøåíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàíèïóëÿòîðà çà ñ÷åò ââåäåíèÿ â
ñèñòåìó äâóõ ãàñèòåëåé êîëåáàíèé.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Êèíåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Ïóñòü ìàíèïóëÿòîð
ñîñòîèò èç äâóõ çâåíüåâ. Ïåðâîå åãî çâåíî � îäíîðîäíûé óïðóãèé ñòåðæåíü, à âòîðîå �
òâåðäîå òåëî (ñõâàò). Ïåðâîå çâåíî ïðèêðåïëåíî ê íåïîäâèæíîìó îñíîâàíèþ ñ ïîìîùüþ
öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà, à âòîðîå ñîåäèíåíî ñ ïåðâûì ñ ïîìîùüþ òåëåñêîïè÷åñêîãî
øàðíèðà.
Ñâÿæåì ñ íåïîäâèæíûì îñíîâàíèåì ñèñòåìó êîîðäèíàò OXY Z, (îðòû ex, ey, ez),
ïîëàãàÿ, ÷òî îñü OZ íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî âåêòîðó ñèëû òÿæåñòè g(ñì. ðèñ. 1).
Ñ÷èòàåì, ÷òî îñü öèëèí-
Ðèñ. 1. Ñõåìà äâóìåðíîãî ìàíèïóëÿòîðà.
äðè÷åñêîãî øàðíèðà íàïðàâ-
ëåíà âäîëü îñè OX è äâèæå-
íèå ìàíèïóëÿòîðà ïðîèñõîäèò
â ïëîñêîñòè Y OZ.
 êà÷åñòâå ìîäåëè óïðó-
ãîãî ñòåðæíÿ áóäåì ðàññìàò-
ðèâàòü ñèñòåìó n îäèíàêîâûõ
òâåðäûõ òåë Sk, êîòîðûå ñâÿ-
çàíû öèëèíäðè÷åñêèìè óïðó-
ãèìè øàðíèðàìè (èõ îñè êîë-
ëåíèàðíû îñè OX) ñ æåñòêî-
ñòüþ ðàâíîé κ2 = EJ/h [7],
ãäå E − ìîäóëü Þíãà ìàòåðèàëà, J � ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ,
h = OkOk+1 � äëèíà îñè ñèììåòðèè òåëà Sk. Ñ êàæäûì òåëîì ñâÿæåì ñèñòåìó êîîðäèíàò
YkOk−1Zk (îðòû ek
y, e
k
z), îñü Ok−1Yk êîòîðîé íàïðàâëåíà âäîëü åãî îñè ñèììåòðèè.
Êðîìå òîãî, ââåäåì îñåâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò Y ′OZ ′ (îðòû e′y, e
′
z ), îñü OY ′ êîë-
ëèíåàðíà OOn, ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ ñèììåòðèè íåäåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ.
Öåíòð ìàññ Ck òåëà Sk ïîëàãàåì ðàñïîëîæåííûì íà îñè Ok−1Ok è ñ÷èòàåì OkCk =
= h/2.
Ïóñòü ϕ � óãîë ìåæäó îñÿìè OY è OY ′, à ϕk � óãîë ìåæäó îñÿìè OY ′ è Ok−1Yk.
Âåêòîð OOk ïðåäñòàâèì â âèäå
OOk = yke
′
y + zke
′
z. (1)
Òîãäà â ñèñòåìå Y ′OZ ′ êîîðäèíàòû k-ãî øàðíèðà Ok (k = 0, n) ðàâíû
y0 = z0 = zn = 0. (2)
yk = yk−1 + h cos ϕk; zk = zk−1 + h sin ϕk. (3)
128
Ãàøåíèå êîëåáàíèé ìàíèïóëÿòîðà
Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóþò ëèøü ìàëûå äåôîðìàöèè ìîäåëèðóåìîãî îáúåêòà, òî
ïîëàãàåì, ÷òî óãëû ϕk ìàëû, è ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè èç
(2), (3) èìååì
ϕ1 = z1/h, ϕk = (zk − zk−1)/h, ϕn = −zn−1/h. (4)
Òîãäà èç (3), (4) ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ñëåäóåò, ÷òî
yk = kh− 1
2h
k∑
i=1
(zi − zi−1)
2. (5)
Àáñîëþòíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ωk òåëà Sk ðàâíà (ϕ̇ + ϕ̇k)ex, è ñ ó÷åòîì (4) èìååì
ωk = [ϕ̇ + (żk − żk−1)/h]ex. (6)
Îáîçíà÷èì vk ñêîðîñòü ïîëþñà Ok (k = 1, n). Òîãäà èç (1), (5), (6) ñëåäóåò
vk = −
[
1
h
k∑
i=1
(żi − żi−1)(zi − zi−1) + ϕ̇zk
]
e′y +
[
żk + khϕ̇− ϕ̇
2h
k∑
i=1
(zi − zi−1)
2
]
e′z. (7)
 òî÷êå On ê òåëó Sn ñ ïîìîùüþ òåëåñêîïè÷åñêîãî øàðíèðà ïðèêðåïëåíî òåëî Sn+1
(ñì. ðèñ. 1). Ñ÷èòàåì, ÷òî îñü òåëåñêîïà íàïðàâëåíà âäîëü îñè ñèììåòðèè òåëà Sn, à
ïåðåìåùåíèå â íåì îáîçíà÷èì ÷åðåç s. Òîãäà ñêîðîñòü òî÷êè On îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî
(7), à ñêîðîñòü òî÷êè On1 ðàâíà
vn1 = vn + ṡen
y + sϕ̇en
z . (8)
 òî÷êå On+1, íàõîäÿùåéñÿ íà îñè ñèììåòðèè ñõâàòà, ê ñèñòåìå ïðèëîæåíà ïåðåìåííàÿ
ñèëà Q = QeQ. Êàê è â [1,2], ïîëàãàåì, ÷òî îíà íîñèò ïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð è ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå Q = (Q0 + sin pt)eQ.
Äëÿ ãàøåíèÿ êîëåáàíèé ê ñèñòåìå ïðèñîåäèíåíî äâà äîïîëíèòåëüíûõ òåëà
Sia (i = 1, 2)− ãàñèòåëè êîëåáàíèé. S1a � òâåðäîå òåëî ïðèêðåïëåííîå ê òåëó Sn â
òî÷êå On ñ ïîìîùüþ öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà (ïîëàãàëîñü, ÷òî C1a = On, ãäå C1a
� öåíòð ìàññ òåëà S1a). Åãî àáñîëþòíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ωa ðàâíà (ϕ̇ + ϕ̇a)ex. S2a−
òî÷å÷íàÿ ìàññà ñ óïðóãèì ýëåìåíòîì, ïîìåùåííàÿ â òî÷êå Oa òåëà Sn+1. Ïîëàãàåì, ÷òî
ýòà òî÷êà ñîâåðøàåò ïåðåìåùåíèå sa âäîëü îñè êîëëèíèàðíîé îñè ñèììåòðèè òåëà Sn+1
è íàõîäÿùåéñÿ îò íåå íà ôèêñèðîâàííîì ðàññòîÿíèè da. Òàêèì îáðàçîì,
ra = OOa = OCn+1 + sae
n
y + dae
n
z . (9)
Èòàê, ðàññìàòðèâàåìûé äâóõçâåííûé ìàíèïóëÿòîð ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñèñòå-
ìû n + 1 òâåðäîãî òåëà, ïåðâûå n èç êîòîðûõ ìîäåëèðóþò óïðóãîå çâåíî, à ïîñëåäíåå
� ñõâàò. Ê ñèñòåìå ïðèñîåäèíåíî äâà ãàñèòåëÿ êîëåáàíèé, ñîâåðøàþùèõ çàäàííîå äâè-
æåíèå.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàíèïóëÿòîðà çàïèøåì â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî
ðîäà:
d
dt
∂T
∂q̇i
− ∂T
∂qi
+
∂Π
∂qi
= Qi, i = 1, n + 1. (10)
 êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò áûëè âûáðàíû ïåðåìåííûå zk (k = 1, n− 1), ϕ, s.
129
È.À. Áîëãðàáñêàÿ
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíà òàê
T =
n∑
k=1
Tk + Tn+1 + T1a + T2a, (11)
ãäå
Tk =
1
2
{Aω2
k + m[v2
k−1 + hvk−1 · (ωk × ek
y)]};
Tn+1 =
1
2
{Aω2
n + m1[v
2
n1 + 2c1vn1 · (ωn × en
y )]}; (12)
T1a =
1
2
(A1aω
2
a + m1av
2
n); T2a =
1
2
m2aṙ
2
a.
Çäåñü A, A1, A1a � ñîîòâåòñòâåííî ìîìåíòû èíåðöèè òåë Sk, Sn+1, S1a; m, m1, m1a, m2a−
ìàññû òåë Sk, Sn+1, S1a, S2a; c1 = On1Cn+1.
Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ïðåäñòàâèì â âèäå
Π = Πe + Πg, (13)
ãäå Πe− ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãèõ ñèë, à Πg− ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèëû òÿ-
æåñòè.
Êàê è â [7], ñ ó÷åòîì (2), (4) ïîëàãàåì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãèõ ñèë
ðàâíà
Πe =
1
2
κ2
n∑
k=1
(zk+1 − 2zk + zk−1)
2. (14)
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèëû òÿæåñòè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òàê
Πg = gez·{m
n∑
k=1
OCk + m1OCn+1 + m1aOOn + m2ara}. (15)
Ïîñêîëüêó öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå âîçìîæíîñòè ãàøåíèÿ ñ
ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíûõ òåë âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìàíèïóëÿòîðà è ñòàáèëèçàöèè
ôèêñèðîâàííîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðîì ϕ = ϕ0, s = s0 , òî ïîëàãàåì äàëåå
ϕ = ϕ0 + α, s = s0 + β (16)
è ñ÷èòàåì α è β ìàëûìè âåëè÷èíàìè. Òîãäà âûðàæåíèÿ äëÿ îáîáùåííûõ ñèë, ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ êîîðäèíàòàì zk (k = 1, n− 1), α, β ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè òàêîâû
Qzk
= F1(zk+1 − 2zk + zk−1)/h (k = 1, n− 2);
Qzn−1 = {F1[zn−2 − 2zn−1 + (s0 + h1)(α− zn−1/h)] + F2(s0 + h1 + β)}/h; (17)
Qα = F1[(s0 + h1)zn−1/h− Lα]− F2(L + β) + U1; Qβ = F1 + F2(zn−1/h− α) + U2.
Çäåñü
F1 = Qy cos ϕ0 + Qz sin ϕ0 = F10 + F11 sin pt;
F2 = Qy sin ϕ0 −Qz cos ϕ0 = F20 + F21 sin pt; L = l + h1 + s0,
130
Ãàøåíèå êîëåáàíèé ìàíèïóëÿòîðà
ãäå Qy, Qz− êîìïîíåíòû âíåøíåé ñèëû â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò; l = nh−
äëèíà óïðóãîãî çâåíà; h1 = On1On+1; U1, U2− ñîîòâåòñòâåííî óïðàâëÿþùèé ìîìåíò è
óïðàâëÿþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùèå â òî÷êàõ O è On êðåïëåíèÿ çâåíüåâ ìàíèïóëÿòîðà.
Ïîäñòàâèì (11), (13), (17) ñ ó÷åòîì (6) � (9), (12), (14) � (16) â (17). Óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû òàê
(mhÎ − A′Â)Z̈ + mh[khα̈ + g(cos ϕ0 − α sin ϕ0]Î + [(m2as̈a − F1 + gMk sin ϕ0)Â+
+hκ2Â2 + gm sin ϕ0Â1]Z + δk,n−1[a11z̈n−1 + a12α̈ + a13β̈ + m2adas̈a + g(g10 + g11zn−1+ (18)
+g12α + g13β −m2a cos ϕ0sa − F1(s0 + h1)(α−
zn−1
h
)− F2(s0 + h1 + β)] = 0;
a21α̈ + mh
n−1∑
k=1
kz̈k + a22z̈n−1 + A1aϕ̈a + m2a(da + l
zn−1
h
)s̈a − 2m2alṡa
żn−1
h
− 2m2adaβ̈+
+g{cos ϕ0[g20 + (m1 + m2a)β + m2a(sa + da
zn−1
h
)]− sin ϕ0[m
n−1∑
k=1
zk− (19)
−m1(s0 + c1)
zn−1
h
+ m2a(−sa
zn−1
h
+ da)]} = U1 + F1[(s0 + h)
zn−1
h
+ Lα]− F2(L + β);
m1β̈ + m2as̈a −m2ada(α̈−
z̈n−1
h
) + g(g30 + g31α + g32zn−1) = U2 + F1 + F2(
zn−1
h
− α).
Çäåñü Z = (z1, ..., zn−1)
T , Â− ñèììåòðè÷íàÿ òðåõäèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé
aii = −2, ai i+1 = 1; Â1− ìàòðèöà, â êîòîðîé aii = −1, ai i+1 = 1, à îñòàëüíûå ýëåìåíòû
ðàâíû íóëþ; A′ = A/h−mh/2; Mk = m1 + m1a + m2a −m(n− k + 1/2); δk,n−1− ñèìâîë
Êðîíåêåðà; êîýôôèöèåíòû aij, gij− ôóíêöèè ãåîìåòðè÷åñêèõ è ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ
ñèñòåìû.
Ñ÷èòàåì, ÷òî óïðàâëÿåìîå äâèæåíèå äîïîëíèòåëüíûõ òåë ïîä÷èíåíî çàêîíó
ϕa = Φa sin pt, sa = Sa sin pt. (20)
Èòàê, (18), (19) � óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàíèïóëÿòîðà, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä äåéñòâèåì
ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè. Ïîñìîòðèì ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ðå-
æèìà, â êîòîðîì ãàñèòåëè äâèæóòñÿ ñîãëàñíî (20), à çâåíüÿ ìàíèïóëÿòîðà íåïîäâèæíû.
3. Ðåæèì ðàâíîâåñèÿ çâåíüåâ ìàíèïóëÿòîðà.  ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ñ÷è-
òàåì ϕ = ϕ0, s = s0. Òîãäà óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ çâåíüåâ òàêîâû
α = 0, β = 0, Z = Z0 = (z0
1 , ...z
0
n−1)
T . (21)
Ïîäñòàâèì (20), (21) â (18), (19). Ïîëó÷èì
mhg cos ϕ0Î + [(−m2ap
2Sa sin pt− F1 + gMk sin ϕ0)Â + hκ2Â2 + mg sin ϕ0Â1]Z0+
+δk,n−1[−m2ap
2daSa sin pt + g(g10 + g11z
0
n−1 −m2a cos ϕ0Sa sin pt)+
+F1(s0 + h1)z
0
n−1/h− (s0 + h1)F2 = 0;
−p2 sin pt[A1aΦa + m2aSa(da + l
z0
n−1
h
)] + g{cos ϕ0[g20 + m2a(Sa sin pt + da
z0
n−1
h
)− (22)
131
È.À. Áîëãðàáñêàÿ
− sin ϕ0[m
n−1∑
k=1
z0
k −m1(s0 + c1)
z0
n−1
h
+ m2a(da − Sa sin pt
z0
n−1
h
)} =
= U1 + (s0 + h0)
z0
n−1
h
F1 − LF2;
−m2ap
2Sa sin pt + g(g30 + g32z
0
n−1) = U2 + F1 + F2
z0
n−1
h
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Fi = Fi0 + Fi1 sin pt (i = 1, 2), èç ðàâåíñòâà íóëþ ñëàãàåìûõ â
óðàâíåíèÿõ (22), íå çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé
F j(ϕ0, s0, Z0, g, æ2, U1, U2, F10, F20, Pj) = 0, j = 1, n + 1, (23)
ãäå Pj− ôóíêöèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ è ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû.
Ðåøåíèå óðàâíåíèé (23) ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ôîðìó ñòàòè÷åñêîãî ïðîãèáà óïðó-
ãîãî çâåíà è âåëè÷èíû óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòà è ñèëû, äåéñòâóþùèõ â øàðíèðàõ ìà-
íèïóëÿòîðà.
Èç ðàâåíñòâà íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (22) ïðè sin pt èìååì
−m2ap
2Sa = F11; −m2ap
2Sa = F11 + F21z
0
n−1/h;
m2aSa(dap
2 + g cos ϕ0) = −F11(s0 + h1)z
0
n−1 − (s0 + h1)F21; (24)
−p2A1aΦa −m2ap
2Sa(da + lz0
n−1/h) = F11(s0 + h1)z
0
n−1/h.
Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèÿ (24) ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðåíû, åñëè
z0
n−1 = 0. (25)
Îäíàêî îäíîâðåìåííîå âûïîë-
Ðèñ. 2. Ñõåìà òðåõìåðíîãî ìàíèïóëÿòîðà.
íåíèå (23) è (25) âîçìîæíî ïðè
óñëîâèè îòñóòñòâèÿ òÿæåñòè
(g = 0), à ýòîò ñëó÷àé çäåñü
íå ðàññìàòðèâàåòñÿ.
Èòàê, åñëè ñõâàò ïðèêðåï-
ëåí íåïîñðåäñòâåííî ê óïðó-
ãîìó çâåíó, òî íåâîçìîæíî çà
ñ÷åò äâèæåíèÿ ãàñèòåëåé êî-
ëåáàíèé äîáèòüñÿ ðåæèìà ðàâ-
íîâåñèÿ çâåíüåâ ìàíèïóëÿòî-
ðà. Â ýòîé ñâÿçè ðàññìîòðèì
âòîðîé âàðèàíò êðåïëåíèÿ
ñõâàòà ê ìàíèïóëÿòîðó, ïðåäóñìàòðèâàþùèé íàëè÷èå ïðîìåæóòî÷íîãî òâåðäîãî çâåíà.
4. Òðåõçâåííûé ìàíèïóëÿòîð. Ðàññìîòðèì ìàíèïóëÿòîð, ó êîòîðîãî ïåðâîå çâå-
íî ïî-ïðåæíåìó ñ÷èòàåòñÿ óïðóãèì. Âòîðîå çâåíî � òâåðäîå òåëî, ïðèêðåïëåííîå ê íåìó
ñ ïîìîùüþ öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà, è òðåòüå çâåíî � ñõâàò ñâÿçàí ñî âòîðûì çâåíîì
ñ ïîìîùüþ òåëåñêîïè÷åñêîãî øàðíèðà (ñì. ðèñ. 2).
Ñ÷èòàåì âòîðîå è òðåòüå òåëà îäèíàêîâûìè è äëÿ ìàññîâûõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïà-
ðàìåòðîâ îñòàâëÿåì îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â ïðåäûäóùåì ïóíêòå äëÿ òåëà Sn+1.
132
Ãàøåíèå êîëåáàíèé ìàíèïóëÿòîðà
Îáîçíà÷èì óãîë ìåæäó e′y è en+1
y ÷åðåç α1 è áóäåì ñ÷èòàòü åãî ìàëîé âåëè÷èíîé
(ïðè ýòîì óãîë îòêëîíåíèÿ îñè ñèììåòðèè òåëà Sn+1 îò ãîðèçîíòàëè ðàâåí ϕ + α1).
Àáñîëþòíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ωn+1 òåë Sn+1 è Sn+2 ðàâíà (α̇+ α̇1)ex. Îñü òåëåñêîïà
ñ÷èòàåì íàïðàâëåííîé âäîëü îñè ñèììåòðèè òåëà Sn+1. Òîãäà èìååì
en+1
y = e′y + cos α1e
′
z, îòêóäà, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî íàïðàâëåíèå îñè òåëåñêîïà íå çàâè-
ñèò îò ïðîãèáà óïðóãîãî çâåíà.
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû òåë ïåðâûå n − 1 óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ñèñòåìîé
(18), â êîòîðîé âûðàæåíèå ïðè δk,n−1 ðàâíî íóëþ. Îñòàâøèåñÿ òðè óðàâíåíèÿ èìåþò
âèä
a11α̈1 + a12α̈−m2adaβ̈ + mh
n−1∑
k=1
kz̈k + A1aϕ̈a −m2as̈a(lα1 − da) + m2alṡaα̇1+
+g{sin ϕ0[+m
n−1∑
k=1
zk + m2ada + α1a13] + cos ϕ0[a14 + m2adaα1 + m2asa] =
= LF2 − (Lα + L1α1)F1 + U1;
a21α̈ + a22α̈1 −m2ada(β̈a + s̈a) + g[a23 + a24α + a25α1 + a26β + m2asa cos ϕ0] = (26)
= L1[F2 − (α + α1)F1] + U2;
(m1 + m2a)β̈ −m2ada(α̈ + α̈1) + m2as̈a + (m1 + m2a)g sin ϕ0 + 2m1g cos ϕ0 =
= F1 + F2(α + α1) + U3.
Çäåñü L1 = 2h1 + s0; a1i, a2j (i = 1, 4, j = 1, 6)− êîýôôèöèåíòû, çàâèñÿùèå îò ãåîìåòðè-
÷åñêèõ è ìàññîâûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû.
Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, ñ÷èòàåì çàêîí äâèæåíèÿ ãàñèòåëåé îïðåäåëåííûì â
âèäå (20). Ðåæèì ðàâíîâåñèÿ äëÿ ñèñòåìû n + 2 òåë
α = 0, α1 = 0, β = 0, Z = Z0 = (z0
1 , ...z
0
n−1)
T . (27)
Ïîäñòàâëÿÿ â ñèñòåìó (18), (26) ðåøåíèå (20), (27), ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé
(23), îïðåäåëÿþùóþ ñòàöèîíàðíîå ïîëîæåíèå ìàíèïóëÿòîðà, ó÷èòûâàþùåå æåñòêîñòü
óïðóãîãî çâåíà, à òàêæå ðàâåíñòâà, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ýòî ñòàöèî-
íàðíîå ïîëîæåíèå. Îíè èìåþò âèä
−m2ap
2Sa = F11; m2aSa(g cos ϕ0 + p2da) = L1F21;
−p2(A1aΦa −m2adaSa) + m2ag cos ϕ0Sa = LF21.
Îòêóäà ñëåäóåò
Sa = − F11
m2ap2
; Φa = −2gF11 cos ϕ0/p
2 + (L− L1)F21
p2A1a
; da = −L1
F21
F11
+
g cos ϕ0
p2
. (28)
Èòàê, îïðåäåëåíû çíà÷åíèÿ àìïëèòóä Sa è Φa êîëåáàíèé ãàñèòåëåé è ðàññòîÿíèå da,
îïðåäåëÿþùåå ïîëîæåíèå òî÷êè ïðèêðåïëåíèÿ ãàñèòåëÿ ê òåëó Sn+2. Âûïîëíåíèå óñëî-
âèé (28) îáåñïå÷èâàåò ñóøåñòâîâàíèå ðåæèìà, â êîòîðîì çâåíüÿ ìàíèïóëÿòîðà íåïî-
äâèæíû, à êîëåáàíèÿ ñîâåðøàþò òîëüêî äîïîëíèòåëüíûå òåëà (ãàñèòåëè).
133
È.À. Áîëãðàáñêàÿ
Çàêëþ÷åíèå.  íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷åíî ïëîñêîå äâèæåíèå ìàíèïóëÿòîðà, íà-
õîäÿùåãîñÿ ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïåðâîå çâåíî
ìàíèïóëÿòîðà ÿâëÿåòñÿ óïðóãèì. Âûáðàíà êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü óïðóãîãî çâåíà, ïðåä-
ñòàâëÿþùàÿ èç ñåáÿ ñèñòåìó òåë, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè öèëèíäðè÷åñêèìè øàðíèðàìè.
Ðàññìîòðåíî äâà âàðèàíòà ïðèñîåäèíåíèÿ ñõâàòà ìàíèïóëÿòîðà ê óïðóãîìó çâåíó. Â
ïåðâîì ñëó÷àå ñõâàò íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ ýòèì çâåíîì, à âî âòîðîì � ââîäèòñÿ äî-
ïîëíèòåëüíî ïðîìåæóòî÷íîå òâåðäîå çâåíî, ñâÿçûâàþùåå ñõâàò ñ óïðóãèì çâåíîì. Äëÿ
ãàøåíèÿ êîëåáàíèé çâåíüåâ ìàíèïóëÿòîðà, ÿâëÿþùèõñÿ ñëåäñòâèåì äåéñòâèÿ âíåøíåé
íàãðóçêè, â ñèñòåìó ââåäåíî äâà äîïîëíèòåëüíûõ òåëà (ãàñèòåëè êîëåáàíèé). Óñòàíîâ-
ëåíî, ÷òî ðåæèì ðàâíîâåñèÿ çâåíüåâ ìàíèïóëÿòîðà ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí ëèøü ïðè
âòîðîì âàðèàíòå êðåïëåíèÿ ñõâàòà, êîãäà èñïîëüçóåòñÿ ïðîìåæóòî÷íîå òâåðäîå òåëî.
Äîïîëíèòåëüíîå çâåíî äàåò âîçìîæíîñòü óñòàíîâèòü íåîáõîäèìîå íàïðàâëåíèå îñè ãà-
ñèòåëÿ, ÷òî è ïîçâîëÿåò äîáèòüñÿ ðåæèìà ðàâíîâåñèÿ.
1. Åëôèìîâ Â.Ñ., Êîâàëåâ À.Ì. Èññëåäîâàíèå êîëåáàíèé ìàíèïóëÿòîðà ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðû
ïðè ðàáîòå ñ âèáðîèíñòðóìåíòîì íà îñíîâå åãî äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà.
�1989.� Âûï. 21.� Ñ. 47�56.
2. Êîâàëåâ À.Ì., Áîëãðàáñêàÿ È.À., ×åáàíîâ Ä.À., Ùåðáàê Â.Ô. Ãàøåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé
â ñèñòåìàõ ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë // Ïðèêë. ìåõàíèêà. � 2003. � 39, � 3. � Ñ.110-117.
3. Bolgrabskaya I.A., Shcherbak V.F. The damping of forced oscillations in systems of connected rigid
bodies // 7-th Conf. on dynamical systems theory and applications (Lodz, Poland. December 8-10,
2003): Proc. � 2003. � V.1 � P. 329�336.
4. Áîëãðàáñêàÿ È.À. Ðåøåíèå çàäà÷è î êîëåáàíèè êîíñîëè ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû òâåðäûõ òåë è ìàëûå
êîëåáàíèÿ óïðóãèõ ñòåðæíåé // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1995. � Âûï. 27. � Ñ. 75�83.
5. Áîëãðàáñêàÿ È.À. Èññëåäîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è î äâèæåíèè ñèñòåìû ñâÿçàíûõ òâåðäûõ òåë, ìî-
äåëèðóþùèõ ìàëûå êîëåáàíèÿ óïðóãîé êîíñîëè //Òàì æå � 1998. � Âûï. 26(II).� Ñ. 138�134.
6. Áîëãðàáñüêà È.Î. Äîñëiäæåííÿ äèíàìi÷íûõ âëàñòèâîñòåé ñèñòåì çâ'ÿçàíèõ òâåðäèõ òië i ��õ çàñòî-
ñóâàííÿ äî âèâ÷åííÿ âëàñòèâîñòåé ñòåðæíåâèõ êîíñòðóêöié. � Àâòîðåô. äèñ. ... äîêò. ôèç.-ìàò.
íàóê. � Äîíåöê, 1999. � 33 ñ.
7. Ñàâ÷åíêî À.ß., Áîëãðàáñêàÿ È.À., Êîíîíûõèí Ã.À. Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ñèñòåì ñâÿçàííûõ òâåð-
äûõ òåë. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991.� 168 c.
8. Áîëãðàáñêàÿ È.À. Âëèÿíèå ñäâèãîâûõ äåôîðìàöèé â ñèñòåìå äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà íà ðåçî-
íàíñíûå ÷àñòîòû// Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1987. � � 2. � Ñ. 33�36.
9. Bolgrabskaya I.A. Resonance velocities with half-closed chain // Ïðîáëåìû íåëèíåéíîãî àíàëèçà â
èíæåíåðíûõ ñèñòåìàõ. Ìåæäóíàð. ñá. � Êàçàíü, 2001. � 7, âûï. 1(13). � Ñ. 22�28.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 19.06.2004
134
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123748 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T02:27:18Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. 2017-09-09T09:54:13Z 2017-09-09T09:54:13Z 2004 Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями / И.А. Болграбская // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 127-134. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123748 531.38 Изучается плоское движение двухзвенного манипулятора, состоящего из упругого звена и схвата, находящегося под действием переменной внешней силы. Упругое звено манипулятора связано с неподвижным основанием с помощью цилиндрического шарнира. К упругому звену с помощью телескопического шарнира присоединен схват. Предложена конечномерная модель этой механической системы, представляющая из себя систему (n + 1) твердых тел, первые п из которых связаны упругими цилиндрическими шарнирами, а n + 1-е соединено с n-тым телом с помощью телескопического шарнира. К манипулятору присоединено два дополнительных тела (гасители колебаний). Определены условия позволяющие с помощью управляемого движения дополнительных тел добиться существования у манипулятора режима, в котором его звенья неподвижны. Установлено, что такой режим возможен только в случае, когда к упругому звену с помощью цилиндрического шарнира присоединено еще одно промежуточное твердое тело, к которому с помощью телескопа присоединен схват. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями Article published earlier |
| spellingShingle | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями Болграбская, И.А. |
| title | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями |
| title_full | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями |
| title_fullStr | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями |
| title_full_unstemmed | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями |
| title_short | Гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями |
| title_sort | гашение вынужденных колебаний в манипуляторе с упругими звеньями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123748 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia gašenievynuždennyhkolebaniivmanipulâtoresuprugimizvenʹâmi |