Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях
Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем асинхронного типа. Предполагается, что наружная ось подвеса вертикальна, а силы трения и управляющие силы относительно осей подвеса не действуют. Уравнения движени...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123750 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 140-149. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242783319621632 |
|---|---|
| author | Коносевич, Б.И. |
| author_facet | Коносевич, Б.И. |
| citation_txt | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 140-149. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем асинхронного типа. Предполагается, что наружная ось подвеса вертикальна, а силы трения и управляющие силы относительно осей подвеса не действуют. Уравнения движения этой системы допускают семейство решений, описывающих регулярные прецессии или равномерные вращения ротора. Множество таких стационарных движений изображается на плоскости вертикальными прямыми и двумя кривыми. В статье |1| на этих прямых и кривых выделены открытые интервалы, соответствующие устойчивым стационарным движениям, а именно, таким, устойчивость которых устанавливается путем анализа линеаризованных уравнений движения. В граничных точках этих интервалов характеристическое уравнение приведенной системы имеет корни с нулевыми действительными частями. В данной статье с помощью полученного в [2] необходимого и достаточного критерия изучена устойчивость стационарных движений, соответствующих таким граничным точкам: для каждой из граничных точек указаны условия на параметры, при которых имеет место устойчивость и неустойчивость.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38, 531.36
c©2004. Á.È. Êîíîñåâè÷
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÄÂÈÆÅÍÈÉ
ÀÑÈÍÕÐÎÍÍÎÃÎ ÃÈÐÎÑÊÎÏÀ Â ÊÀÐÄÀÍÎÂÎÌ ÏÎÄÂÅÑÅ
 ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÕ ÑËÓ×ÀßÕ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ãèðîñêîï â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, óñòàíîâëåííûé íà íåïîäâèæíîì îñíîâàíèè â ïîëå ñè-
ëû òÿæåñòè è ñíàáæåííûé ýëåêòðîäâèãàòåëåì àñèíõðîííîãî òèïà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íàðóæíàÿ îñü
ïîäâåñà âåðòèêàëüíà, à ñèëû òðåíèÿ è óïðàâëÿþùèå ñèëû îòíîñèòåëüíî îñåé ïîäâåñà íå äåéñòâóþò.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýòîé ñèñòåìû äîïóñêàþò ñåìåéñòâî ðåøåíèé, îïèñûâàþùèõ ðåãóëÿðíûå ïðåöåñ-
ñèè èëè ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ðîòîðà. Ìíîæåñòâî òàêèõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé èçîáðàæàåòñÿ íà
ïëîñêîñòè âåðòèêàëüíûìè ïðÿìûìè è äâóìÿ êðèâûìè. Â ñòàòüå [1] íà ýòèõ ïðÿìûõ è êðèâûõ âûäåëå-
íû îòêðûòûå èíòåðâàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå óñòîé÷èâûì ñòàöèîíàðíûì äâèæåíèÿì, à èìåííî, òàêèì,
óñòîé÷èâîñòü êîòîðûõ óñòàíàâëèâàåòñÿ ïóòåì àíàëèçà ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.  ãðà-
íè÷íûõ òî÷êàõ ýòèõ èíòåðâàëîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèâåäåííîé ñèñòåìû èìååò êîðíè ñ
íóëåâûìè äåéñòâèòåëüíûìè ÷àñòÿìè.  äàííîé ñòàòüå ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîãî â [2] íåîáõîäèìîãî è
äîñòàòî÷íîãî êðèòåðèÿ èçó÷åíà óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ òàêèì ãðà-
íè÷íûì òî÷êàì: äëÿ êàæäîé èç ãðàíè÷íûõ òî÷åê óêàçàíû óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû, ïðè êîòîðûõ èìååò
ìåñòî óñòîé÷èâîñòü è íåóñòîé÷èâîñòü.
1. Èñõîäíûå ñîîòíîøåíèÿ. Ãèðîñêîï â êàðäàíî-
Ðèñ. 1. Ãèðîñêîï â êàðäàíîâîì
ïîäâåñå.
âîì ïîäâåñå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó
òðåõ òâåðäûõ òåë � íàðóæíîé ðàìêè S1, âíóòðåííåé ðàì-
êè S2 è äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ðîòîðà S3, � ïîñëå-
äîâàòåëüíî ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé è ñ îñíîâàíèåì öè-
ëèíäðè÷åñêèìè øàðíèðàìè. Äëÿ îáû÷íî ðàññìàòðèâàå-
ìîé êîíñòðóêöèè ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå òåëà
S1, S2 îáëàäàþò îïðåäåëåííîé ñèììåòðèåé, òàê ÷òî îñè
ïîäâåñà ÿâëÿþòñÿ äëÿ íèõ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè; ïðè
ýòîì âíóòðåííÿÿ îñü ïîäâåñà îðòîãîíàëüíà íàðóæíîé
îñè ïîäâåñà è îñè ðîòîðà, è âñå ýòè òðè îñè ïåðåñåêà-
þòñÿ â îäíîé òî÷êå � öåíòðå ïîäâåñà (ðèñ. 1).
 ñòàòüå [3] ââåäåíà îáîáùåííàÿ ìîäåëü ãèðîñêîïà
â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, áåðóùàÿ ñâîå íà÷àëî îò ðàáîòû
[4].  ýòîì ñëó÷àå òåëà S1, S2 èìåþò ïðîèçâîëüíóþ ôîðìó, âíóòðåííÿÿ îñü ïîäâåñà
ñîñòàâëÿåò ïðîèçâîëüíûå óãëû ñ íàðóæíîé îñüþ ïîäâåñà è îñüþ ðîòîðà, è âñå ýòè òðè
îñè íå îáÿçàòåëüíî ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ïîëîæåíèå ñèñòåìû â êàæäûé ìîìåíò
âðåìåíè t îïðåäåëÿþò óãëû α, β, ϕ, ãäå α � óãîë ïîâîðîòà S1 îòíîñèòåëüíî îñíîâàíèÿ,
β � óãîë ïîâîðîòà S2 îòíîñèòåëüíî S1, ϕ � óãîë ïîâîðîòà ðîòîðà S3 îòíîñèòåëüíî S2.
Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.
 [2] äëÿ îáîáùåííîé ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âíóòðåííÿÿ îñü ïîäâåñà íåêîë-
ëèíåàðíà íàðóæíîé îñè ïîäâåñà è îñè ðîòîðà, à ðîòîð S3 ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêè ñèì-
ìåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî îñè ñâîåãî âðàùåíèÿ â S2.  ýòîì ñëó÷àå îáîáùåííàÿ ìîäåëü
îáëàäàåò îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè îáû÷íîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå. ×òîáû îáåñ-
ïå÷èòü ñóùåñòâîâàíèå ñåìåéñòâà ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé äëÿ òàêîé ìîäåëè, ïðåäïîëà-
ãàåòñÿ, ÷òî íàðóæíàÿ îñü ïîäâåñà âåðòèêàëüíà (ìîæíî òàêæå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñÿ
140
Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
ñèñòåìà ñòàòè÷åñêè óðàâíîâåøåíà îòíîñèòåëüíî îñåé ïîäâåñà). Òîãäà âåëè÷èíû G, N, Q
â âûðàæåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
T =
1
2
(Gα̇2 + Hβ̇2 + Cϕ̇2 + 2Nα̇β̇ + 2Qα̇ϕ̇ + 2Rβ̇ϕ̇) (1)
è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè óãëà β ñëåäóþùåãî âèäà
G(β) = g0 + g1 sin β + g2 cos β + g3 sin 2β + g4 cos 2β, N(β) = n0 + n1 sin β+
+n2 cos β, Q(β) = q0 + q1 sin β, U(β) = u0 + u1 sin β + u2 cos β,
(2)
ïðè÷åì q1 6= 0. Çäåñü ïîñòîÿíààÿ u0 ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé, à â ñëó÷àå ñòàòè÷åñêè
óðàâíîâåøåííîé ñèñòåìû U(β) ≡ u0. Îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ôîðìóë (2), à òàêæå
âåëè÷èíû H, R â (1) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïîñòîÿííûå ìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû ïî ôîð-
ìóëàì, êîòîðûå ñëåäóþò èç ôîðìóë (6)-(15) ñòàòüè [3]. ×åðåç C îáîçíà÷åí îñåâîé ìîìåíò
èíåðöèè ðîòîðà.
Íà ïðàêòèêå òåëî S2 ÿâëÿåòñÿ ñòàòîðîì, à S3 � ðîòîðîì ýëåêòðîäâèãàòåëÿ.  ñëó÷àå
ýëåêòðîäâèãàòåëÿ àñèíõðîííîãî òèïà àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà L âðàùàþùåãî ìîìåíòà
äâèãàòåëÿ è ìîìåíòà ñèë òðåíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà çàâèñèò òîëüêî îò ϕ̇, ïðè÷åì
(ϕ̇ − ω)L(ϕ̇) < 0 ïðè ϕ̇ 6= ω è L(ϕ̇) = 0 ïðè ϕ̇ = ω. Â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïî ϕ̇ − ω
èìååì L = −λ(ϕ̇ − ω), ãäå λ > 0, ω 6= 0 � ïîñòîÿííûå. Ìîìåíò L ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííîé
ñèëîé äëÿ óãëà ϕ. Òàê êàê ìîìåíòû ñèë òðåíèÿ è óïðàâëÿþùèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñåé
ïîäâåñà ïðåäïîëàãàþòñÿ îòñóòñòâóþùèìè, òî îáîùåííûå ñèëû äëÿ óãëîâ α, β ðàâíû 0
è −dU/dβ.
Çàïèñàâ òåïåðü ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, óñòà-
íàâëèâàåì, ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò ðåøåíèå âèäà
α̇ = Ω, β = β0, ϕ̇ = ω, (3)
åñëè ïîñòîÿííûå Ω, β0 ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
−Ω[
Ω
2
G′(β0) + ωQ′(β0)] + U ′(β0) = 0. (4)
Çäåñü øòðèõîì îáîçíà÷åíî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî β.
Öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå α ñîîòâåòñòâóåò èíòåãðàë ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé:
G(β)α̇ + N(β)β̇ + Q(β)ϕ̇ = p (p = const). (5)
Ðàññìàòðèâàÿ ôîðìóëó (5) êàê îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû p, ïðèìåì p â êà÷åñòâå íîâîé ïå-
ðåìåííîé âìåñòî α̇. Ïîëàãàÿ ïðè ýòîì γ̇ = ϕ̇−ω, ïîëó÷èì âìåñòî èñõîäíûõ ëàãðàíæåâûõ
óðàâíåíèé ñëåäóþùóþ ïðåîáðàçîâàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ
d
dt
(p− ωQ)N + β̇(GH −N2) + γ̇(GR−QN)
G
+
∂
∂β
[(p− ωQ− β̇N − γ̇Q)2
2G
+ U
]
= 0,
(6)
d
dt
(p− ωQ)Q + β̇(GR−QN) + γ̇(GC −Q2)
G
= L,
dp
dt
= 0.
Àðãóìåíò β ó ôóíêöèé G, N, Q, U çäåñü äëÿ êðàòêîñòè íå íàïèñàí. Òàê êàê G(β) > 0 â
ñèëó êðèòåðèÿ Ñèëüâåñòðà äëÿ îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (1),
141
Á.È. Êîíîñåâè÷
òî óñòîé÷èâîñòü ëþáîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîé ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî α̇, β̇, ϕ̇,
β ýêâèâàëåíòíà óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (6) îòíîñèòåëüíî p,
β̇, γ̇, β. Ñèñòåìà äâóõ ïåðâûõ óðàâíåíèé (6), ãäå âåëè÷èíà p ôèêñèðîâàíà, íàçûâàåòñÿ
ïðèâåäåííîé ñèñòåìîé.
Ðåøåíèþ (3) ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå
p = p0, β = β0, γ̇ = 0 (7)
ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû (6). Ýòî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå
−p0 − ωQ(β0)
G(β0)
[
G′(β0)
2G(β0)
(p0 − ωQ(β0)) + ωQ′
0(β0)
]
+ U ′(β0) = 0, (8)
ýêâèâàëåíòíîå (4). Ïîñòîÿííûå Ω, p0 â ðåøåíèÿõ (3), (7) ñâÿçàíû âûòåêàþùèì èç (5)
ñîîòíîøåíèåì
p0 − ωQ(β0) = ΩG(β0). (9)
2. Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè. Ââåäåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ (ïîòåíöèàëüíóþ ýíåð-
ãèþ ïðèâåäåííîé ñèñòåìû)
f(p, β) =
[p− ωQ(β)]2
2G(β)
+ U(β). (10)
Òîãäà, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, óñëîâèå (8) ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ (7) âûðàæàåòñÿ ðàâåí-
ñòâîì f ′(p0, β0) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äàííîì çíà÷åíèè p0 äëÿ ôóíêöèè f(p0, β) ïå-
ðåìåííîé β èìåþòñÿ òîëüêî ÷åòûðå âîçìîæíîñòè: ýòà ôóíêöèÿ â òî÷êå β = β0 èìååò A)
èçîëèðîâàííûé ìèíèìóì, B) èçîëèðîâàííûé ìàêñèìóì, C) ïåðåãèá, D) f(p0, β) ≡ const.
 ñòàòüå [2] ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå A ðåøåíèå (7) óñòîé÷èâî, à â ñëó÷àÿõ B, C îíî
íåóñòîé÷èâî.  ñëó÷àå D ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå p∗ ïîñòîÿííîé p òàêîå, ÷òî f ′(p∗, β) = 0
ïðè âñåõ β. Òîãäà ïðè p0 = p∗ ðåøåíèå âèäà (7) ñóùåñòâóåò ïðè ëþáîì β0. Òàì æå
óñòàíîâëåíî, ÷òî ñëó÷àé D âîçìîæåí òîëüêî äëÿ ñèñòåì ñïåöèàëüíîé êîíñòðóêöèè, à
èìåííî, óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíîé èç äâóõ ãðóïï ñîîòíîøåíèé:
D1) g2 = g3 = 0, u1 = u2 = 0, g2
1 + 8g4(g0 + g4) = 0 (g1, g4 6= 0);
D2) g2 = g3 = g4 = 0, u2 = 0, 2u1g1 + ω2q2
1 = 0 (g1, u1 6= 0).
Ïðè ýòîì â ïîäñëó÷àå D1 ïðè p0 = p∗ è ëþáîì β0 ðåøåíèå (7) íåóñòîé÷èâî, à â ïîäñëó÷àå
D2 íåóñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (7) ïðè p0 = p∗ óäàëîñü äîêàçàòü äëÿ âñåõ
çíà÷åíèé β0, îòëè÷íûõ îò òî÷êè ìèíèìóìà U(β).
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå A íàëè÷èÿ èçîëèðîâàííîãî ìèíèìóìà f(p0, β) ïðè β = β0
ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ëþáîãî ðåøåíèÿ âèäà (7)
äëÿ ëþáîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, êîíñòðóêöèÿ êîòîðîãî íå óäîâëåòâîðÿåò
ñîîòíîøåíèÿì D2.
Ñëåäóÿ [2], çàïèøåì óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè A â ôîðìå, óäîáíîé äëÿ åãî ïðîâåðêè.
Òàê êàê f(p0, β) � àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ β, òî èçîëèðîâàííûé ìèíèìóì â òî÷êå β = β0
îíà ìîæåò èìåòü òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ñðåäè åå ïðîèçâîäíûõ ïî β â òî÷êå β = β0
èìåþòñÿ îòëè÷íûå îò íóëÿ, ïðè÷åì ïåðâàÿ èç îòëè÷íûõ îò íóëÿ ïðîèçâîäíûõ èìååò
÷åòíûé ïîðÿäîê n è ïîëîæèòåëüíà:
f ′(p0, β0) = 0, f ′′(p0, β0) = 0, . . . , f (n−1)(p0, β0) = 0, f (n)(p0, β0) > 0. (11)
142
Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
 ôîðìóëó (10) äëÿ f(p, β) âõîäèò G(β) â çíàìåíàòåëå, ÷òî óñëîæíÿåò âû÷èñëåíèå
ïðîèçâîäíûõ âûñîêèõ ïîðÿäêîâ îò f(p0, β). Ïîýòîìó ââåäåì âìåñòî f(p0, β) ôóíêöèþ
Y (β) = 4G(β)F (β)
(
F (β) = f(p0, β)− f(p0, β0)
)
. (12)
Ñîîòíîøåíèÿ (11) ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèì
F ′(β0) = 0, F ′′(β0) = 0, . . . , F (n−1)(β0) = 0, F (n)(β0) > 0. (13)
Ó÷èòûâàÿ ýòî, ñ ïîìîùüþ èçâåñòíîé ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé ëþáîãî ïîðÿäêà îò
ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (13) ýêâèâàëåíòíû
àíàëîãè÷íûì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ Y (β):
Y ′(β0) = 0, Y ′′(β0) = 0, . . . , Y (n−1)(β0) = 0, Y (n)(β0) > 0. (14)
Çäåñü n ≤ 6. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâèâ â (12) âûðàæåíèå (10) äëÿ f(p, β), áóäåì
èìåòü
Y (β) = 2
[
p0 − ωQ(β)
]2
+ 4G(β)
[
U(β)− f(p0, β0)
]
. (15)
Çàìåíèâ çäåñü G, Q,U â ñîîòâåòñòâèè ñ (2), ïîëó÷àåì äëÿ Y (β) âûðàæåíèå âèäà
Y (β) = Y0 +
3∑
k=1
Y
(1)
k cos kβ + Y
(2)
k sin kβ.
Åñëè n > 6 â (14), òî Y0 = 0, Y
(1)
k = 0, Y
(2)
k = 0 (k = 1, 2, 3), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Y (β) ≡ 0.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè n > 6 ñîîòíîøåíèÿ (14) âûïîëíÿòüñÿ íå ìîãóò.
Èòàê, äëÿ àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, êîíñòðóêöèÿ êîòîðîãî íå
óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì D2, íåîáõîäèìûé è äîñòàòî÷íûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (7) âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (14), ãäå n ðàâíî 2, 4 èëè 6. Ïðè
ýòîì ïåðâîå èç ñîîòíîøåíèé (14) ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ äàííîãî ðåøåíèÿ.
3. Ñëó÷àé ãèðîñêîïà îáû÷íîé êîíñòðóêöèè. Ðàñìîòðèì îáû÷íóþ ìîäåëü ãè-
ðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå (ðèñ. 1) è ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü C, A
� îñåâîé è ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíòû èíåðöèè ðîòîðà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ïîäâåñà,
A1, B1, C1 � ìîìåíòû èíåðöèè âíóòðåííåé ðàìêè îòíîñèòåëüíî âíóòðåííåé îñè ïîäâåñà,
íîðìàëè ê ïëîñêîñòè âíóòðåííåé ðàìêè â åå öåíòðå è îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà, C2 �
ìîìåíò èíåðöèè íàðóæíîé ðàìêè îòíîñèòåëüíî íàðóæíîé îñè ïîäâåñà. Ïóñòü, äàëåå, m
� ìàññà ðîòîðà, g � óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, s ≥ 0 � ñìåùåíèå öåíòðà ìàññ ðîòîðà
îò öåíòðà ïîäâåñà âäîëü îñè ðîòîðà. Óãîë β îòñ÷èòûâàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî β = 0 â
ïîëîæåíèè, êîãäà îñü ðîòîðà îðòîãîíàëüíà íàðóæíîé îñè ïîäâåñà.
Ïîëàãàÿ äëÿ êðàòêîñòè I0 = C2 + B1 + C, I = C1 + A − B1 − C, èìååì ñëåäóþùèå
âûðàæåíèÿ äëÿ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (1)
G(β) = I0 + I cos2 β, H = A1 + A, N(β) = 0,
Q(β) = C sin β, R = 0, U(β) = mgs sin β.
(16)
Ýòè âûðàæåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ôîðìóë (6)-(15) ñòàòüè [3] èëè æå âîñïîëüçîâàòüñÿ
ãîòîâûìè ôîðìóëàìè (ñì., íàïðèìåð, [5, ñ. 83]). Â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü
íåòðèâèàëüíûé ñëó÷àé, êîãäà I 6= 0 .
143
Á.È. Êîíîñåâè÷
Íàéäåì âûðàæåíèÿ ïðîèçâîäíûõ Y (k)(β0), k = 1, 6, âõîäÿùèõ â ñîîòíîøåíèÿ (14).
Îíè ïðèíèìàþò äîñòàòî÷íî ïðîñòóþ ôîðìó, åñëè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (9) âìåñòî ïîñòî-
ÿíííîé p0 ââåñòè óãëîâóþ ñêîðîñòü ïðåöåñèè Ω = [p0−ωQ(β0)]/G(β0) è âîñïîëüçîâàòüñÿ
áåçðàçìåðíûìè ïàðàìåòðàìè
y = 2ΩI/ωC, ε = 4mgsI/ω2C2, λ = I0/I. (17)
Âåëè÷èíà y õàðàêòåðèçóåò óãëîâóþ ñêîðîñòü ïðåöåñèè Ω, ïàðàìåòðû ε è λ õàðàêòåðèçó-
þò ñìåùåíèå öåíòðà ìàññ ðîòîðà s è ðàñïðåäåëåíèå ìàññ â ñèñòåìå. Èç (17) ñëåäóåò, ÷òî
ïðè s 6= 0 çíàê ε ðàâåí çíàêó I. À òàê êàê I0 > 0, òî ïðè ε > 0 áóäåò λ > 0. Ïðåäñòàâèâ λ
â âèäå λ = −1+(C2 +C1 +A)/I, çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè ε < 0 áóäåò λ < −1.  ñëó÷àå ε = 0,
òî åñòü ïðè s = 0, âåëè÷èíà I ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê, è ïîýòîìó äëÿ λ äîïóñòèìû
êàê çíà÷åíèÿ λ > 0, òàê è çíà÷åíèÿ λ < −1. Èòàê, ìíîæåñòâî P äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ ε, λ îïðåäåëåíî íåðàâåíñòâàìè
λ > 0 (ε ≥ 0), λ < −1 (ε ≤ 0). (18)
Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (17) èç ôîðìóë (10),(15),(16) íàõîäèì äëÿ Y (β) âûðàæåíèå
Y (β) = 2F 2
1 (β) + F2(β)F3(β), (19)
ãäå
F1(β) = sin β − sin β0 −
y
2
(λ + cos2 β0),
F2(β) = λ + cos2 β, F3(β) = ε(sin β − sin β0)−
y2
2
(λ + cos2 β0).
(20)
Ñîãëàñíî èçâåñòíîé ôîðìóëå, ïðîèçâîäíàÿ ïîðÿäêà k îò ôóíêöèè (19) ðàâíà
Y (k)(β) = 2
k∑
m=0
Cm
k F
(m)
1 (β)F
(k−m)
1 (β) +
k∑
m=0
Cm
k F
(m)
2 (β)F
(k−m)
3 (β). (21)
Çäåñü Cm
k � áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû: Cm
k = k(k − 1) . . . (k − m + 1)/m! (m > 0),
C0
k = 1. ×òîáû îïðåäåëèòü Y (k)(β0), k = 1, 6, íàéäåì äëÿ ôóíêöèé (20) ïðîèçâîäíûå
F
(m)
1 , F
(m)
2 , F
(m)
3 (β), m = 1, 6, è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (21) ïðè β = β0. Ïîëó÷èì
Y ′(β0, y, ε, λ) = cos β0(λ + cos2 β0)[y
2 sin β0 − 2y + ε], (22)
Y ′′(β0, y, ε, λ) = y2(cos2 β0 − sin2 β0)(λ + cos2 β0) + 2y sin β0(λ + cos2 β0)+
(23)
+4 cos2 β0 − ε sin β0(λ + 5 cos2 β0),
Y ′′′(β0, y, ε, λ) = cos β0[−4y2 sin β0(λ + cos2 β0) + 2y(λ + cos2 β0)−
(24)
−12 sin β0 + ε(12 sin2 β0 − 7 cos2 β0 − λ)],
Y (4)(β0, y, ε, λ) = 4y2(sin2 β0 − cos2 β0)(λ + cos2 β0)− 2y sin β0(λ + cos2 β0)−
(25)
−16 cos2 β0 + 12 sin2 β0 + ε sin β0(λ + 53 cos2 β0 − 12 sin2 β0),
Y (5)(β0, y, ε, λ) = cos β0[16y2 sin β0(λ + cos2 β0)− 2y(λ + cos2 β0)+
(26)
+30 sin β0 + ε(61 cos2 β0 − 150 sin2 β0 + λ)],
144
Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
Y (6)(β0, y, ε, λ) = 16y2(cos2 β0 − sin2 β0)(λ + cos2 β0) + 2y sin β0(λ + cos2 β0)+
(27)
+64 cos2 β0 − 60 sin2 β0 + ε sin β0(150 sin2 β0 − 515 cos2 β0 − λ).
Âûøå ó÷èòûâàëàñü çàâèñèìîñòü ôóíêöèè Y òîëüêî îò β. Êàê âèäíî èç (19),(20), ýòà
ôóíêöèÿ çàâèñèò òàêæå îò β0, y, ε, λ. Ïîýòîìó åå ïðîèçâîäíûå ïî β, âçÿòûå ïðè β = β0,
ôàêòè÷åñêè çàâèñÿò îò β0, y, ε, λ. Ýòà çàâèñèìîñòü ó÷òåíà â îáîçíà÷åíèÿõ ïðîèçâîäíûõ
â ëåâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (22)-(27).
Èç ôîðìóëû (16) äëÿ G(β) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îáû÷íîé ìîäåëè ãèðîñêîïà â êàðäà-
íîâîì ïîäâåñå íå âûïîëíåíî îäíî èç ñîîòíîøåíèé D2, à èìåííî, íåðàâåíñòâî g1 6= 0.
Ïîýòîìó äëÿ òàêîãî ãèðîñêîïà êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ìîæåò
áûòü ñôîðìóëèðîâàí ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü ïðè íåêîòîðûõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ε, λ âåëè÷èíû β0, y ñâÿ-
çàíû óñëîâèåì Y ′(β0, y, ε, λ) = 0. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â
êàðäàíîâîì ïîäâåñå äîïóñêàþò ðåøåíèå âèäà (3), ãäå Ω = yωC/2I (I = C1+A−B1−C).
Ýòî ðåøåíèå óñòîé÷èâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ òðåõ
óñëîâèé:
Y ′′(β0, y, ε, λ) > 0; (28)
Y ′′(β0, y, ε, λ) = 0, Y ′′′(β0, y, ε, λ) = 0, Y (4)(β0, y, ε, λ) > 0; (29)
Y ′′(β0, y, ε, λ) = 0, . . . , Y (5)(β0, y, ε, λ) = 0, Y (6)(β0, y, ε, λ) > 0. (30)
Ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ ε, λ ìíîæåñòâî ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèèé îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâîì Y ′(β0, y, ε, λ) = 0, êîòîðîå ñ ó÷åòîì (22) è âûòåêàþùåãî èç (18) íåðàâåíñòâà
λ + cos2 β0 6= 0 ïðèíèìàåò âèä
cos β0(y
2 sin β0 − 2y + ε) = 0.
Íà ïëîñêîñòè β0, y îíî îïðåäåëÿåò äâà ñåìåéñòâà ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé: îäíî èç íèõ
ñîîòâåòñòâóåò âåðòèêàëüíûì ïðÿìûì β0 = ±π/2 (mod 2π), à äðóãîå � äâóì êðèâûì
y1(β0, ε) =
1 +
√
1− ε sin β0
sin β0
, y2(β0, ε) =
1−
√
1− ε sin β0
sin β0
. (31)
Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé íà ïëîñêîñòè β0, y ïðè ðàçëè÷íûõ äî-
ïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ε, λ äàíî â [1].  ñëó÷àå ε > 0 òàêîå ïîñòðîåíèå ñäåëàíî íà îòðåçêå
[−3π/2; π/2], à ïðè ε ≤ 0 � íà îòðåçêå [−π/2; 3π/2]. Ïðè ýòîì íà ïëîñêîñòè β0, y òî÷êè
X1 = (−π/2,−1−
√
1 + ε), X2 = (−π/2,−1 +
√
1 + ε) (ε ≥ −1);
X3 = (π/2, 1−
√
1− ε), X4 = (π/2, 1 +
√
1− ε) (ε ≤ 1),
(32)
ãäå ïåðåñåêàþòñÿ ïðÿìûå β0 = ±π/2 è êðèâûå yj(β0, ε), j = 1, 2, ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì
áèôóðêàöèè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ãèðîñêîïà.
4. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íà êðèâûõ yj(β0, ε), j = 1,2. ×òîáû ïðîàíàëèçè-
ðîâàòü óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì êðèâûõ
(31): y = yj(β0, ε), j = 1, 2, ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ôóíêöèè Y (k)(β0, y, ε, λ), k = 2, 6, íà
ýòèõ êðèâûõ è âûäåëèòü çíà÷åíèÿ β0, ε, λ, ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñîîòíîøå-
íèé (28)-(30). Ïîäñòàíîâêó âûðàæåíèé (31) äëÿ yj(β0, ε), j = 1, 2, â ôîðìóëû (23)-(27)
145
Á.È. Êîíîñåâè÷
äëÿ Y (k) óäîáíî âûïîëíèòü â äâà ýòàïà: ñíà÷àëà çàìåíèòü â ýòèõ ôîðìóëàõ ëèíåéíî
âõîäÿùóþ âåëè÷èíó y âûðàæåíèåì
y =
1
2
(y2 sin β0 + ε), (33)
ñëåäóþùèì èç îïðåäåëåíèÿ yj, j = 1, 2, à çàòåì çàìåíèòü y ïî ôîðìóëàì yj(β0, ε) =
= ε/(1∓
√
1− ε sin β0), ýêâèâàëåíòíûì (31).
Çàìåíèì â ðàâåíñòâàõ (23), (24) äëÿ Y ′′, Y ′′′ ëèíåéíî âõîäÿùóþ âåëè÷èíó y âûðà-
æåíèåì (33). Ïîëó÷èì ôóíêöèè
Y ′′
∗ (β0, y, ε, λ) = cos2 β0
[
y2(λ + cos2 β0) + 4(1− ε sin β0)
]
, (34)
Y ′′′
∗ (β0, y, ε, λ) = −3 cos β0 sin β0[y
2(λ + cos2 β0) + 4(1− ε sin β0)
]
− 6 cos3 β0, (35)
ãäå ïîä y ïîíèìàåòñÿ îäíà èç ôóíêöèé yj(β0, ε), j = 1, 2.
 òî÷êàõ (β0, y) êðèâûõ (31), îòëè÷íûõ îò òî÷åê áèôóðêàöèè ïðè β0 = ±π/2, çíàê
Y ′′
∗ ðàâåí çíàêó âûðàæåíèÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â ôîðìóëå (34). Çíàê ýòîãî âûðàæå-
íèÿ íà äàííûõ êðèâûõ ïðîàíàëèçèðîâàí â [1] è íàéäåíû äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðîâ ε, λ, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû óñòîé÷èâîñòè íà ýòèõ êðèâûõ, òî åñòü
èíòåðâàëû, ãäå ðàññìàòðèâàåìîå âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî. Ñîãëàñíî (34), ïðè çíà÷å-
íèÿõ β0, y èç òàêèõ èíòåðâàëîâ â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ êðèâûõ (31) âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (28).
 òî÷êàõ (β0, y) ýòèõ êðèâûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûì òî÷êàì óêàçàííûõ èí-
òåðâàëîâ, âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (34) îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ïîñêîëüêó òî æå
ñàìîå âûðàæåíèå èìååòñÿ â ôîðìóëå (35), òî â òàêèõ òî÷êàõ ðàññìàòðèâàåìûõ êðèâûõ
áóäåò Y ′′′
∗ = −6 cos3 β0. Ïîýòîìó â òåõ ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ èíòåðâàëîâ óñòîé÷èâîñòè íà
êðèâûõ (31), êîòîðûå îòëè÷íû îò òî÷åê áèôóðêàöèè, óñëîâèÿ (29), (30) âûïîëíÿòüñÿ íå
ìîãóò, òàê êàê â ýòèõ òî÷êàõ Y ′′′
∗ 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, âñåì òàêèì òî÷êàì ñîîòâåòñòâóþò
íåóñòîé÷èâûå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ.
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ãåîìåòðè÷åñêè.  [1] ïîêàçàíî,
÷òî ãðàíè÷íûå òî÷êè èíòåðâàëîâ óñòîé÷èâîñòè íà êðèâûõ (31), îòëè÷íûå îò òî÷åê áè-
ôóðêàöèè, ñóùåñòâóþò ïðè ε < 0 è íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ λ < −1. Äëÿ êðèâîé (31) ñ
íîìåðîì j = 1, 2 àáñöèññû ãðàíè÷íûõ òî÷åê îáîçíà÷åíû ÷åðåç β
(j)
1 , β
(j)
2 (ε, λ). Îíè ðàñ-
ïîëîæåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
β
(1)
1 (ε, λ) ∈ (0; π/2), β
(1)
2 (ε, λ) ∈ (π/2; π)
(
β
(1)
2 (ε, λ) = π − β
(1)
1 (ε, λ)
)
;
β
(2)
1 (ε, λ) ∈ [−π/2; π/2), β
(2)
2 (ε, λ) ∈ (π/2; 3π/2]
(
β
(2)
2 (ε, λ) = π − β
(2)
1 (ε, λ)
)
.
Ïðè ýòîì äëÿ êðèâîé y = yj(β0, ε), j = 1, 2, óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (28) âûïîëíåíî âî
âñåõ åå òî÷êàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿì β0 èç èíòåðâàëîâ(
β
(j)
1 (ε, λ); π/2
)
,
(
π/2; β
(j)
2 (ε, λ)
)
, j = 1, 2.
 [1] íà ðèñ. 9 èçîáðàæåíû ãðàíè÷íûå ïîâåðõíîñòè β0 = β
(j)
1 (ε, λ), β0 = β
(j)
2 (ε, λ) äëÿ
êàæäîé èç êðèâûõ y = yj(β0, ε). Ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî âñåì òî÷êàì
ýòèõ ïîâåðõíîñòåé, íå ëåæàùèì íà ïëîñêîñòÿõ, ãäå cos β0 = 0, ñîîòâåòñòâóþò íåóñòîé÷è-
âûå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ. Òåïåðü íà êðèâûõ y = yj(β0, ε), j = 1, 2, îñòàåòñÿ èçó÷èòü
òîëüêî óñòîé÷èâîñòü äëÿ áèôóðêàöèîííûõ òî÷åê (32).
146
Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
Íà âåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ β0 = ±π/2 óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (28) ðàññìîòðåíî â
[1]. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ε ≥ 0, êîãäà λ > 0, óñëîâèå (28) âûïîëíÿåòñÿ íà îòêðûòûõ
âåðòèêàëüíûõ èíòåðâàëàõ, ëåæàùèõ íà êàæäîé èç ïðÿìûõ β0 = ±π/2 ìåæäó äâóìÿ
òî÷êàìè áèôóðêàöèè, ñóùåñòâóþùèìè íà äàííîé ïðÿìîé. Ïðè ε ≤ 0, êîãäà λ < −1,
óñëîâèå (28) âûïîëíÿåòñÿ íà âåðòèêàëüíûõ ëó÷àõ, êîòîðûå ëåæàò íà ïðÿìûõ β0 = ±π/2
âíå çàìêíóòûõ îòðåçêîâ ñ êîíöàìè â òî÷êàõ áèôóðêàöèè.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëíîñòüþ èññëåäîâàòü óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæå-
íèé äëÿ îáû÷íîé ìîäåëè ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå îñòàåòñÿ èçó÷èòü óñòîé÷è-
âîñòü òî÷åê áèôóðêàöèè (32).
5. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè òî÷åê áèôóðêàöèè. Ïóñòü Y
(n)
Xk
(ε, λ) (n = 2, 6;
k = 1, 4) � çíà÷åíèÿ ôóíêöèé Y (n)(β0, y, ε, λ) â òî÷êàõ áèôóðêàöèè Xk. Êîîðäèíàòû
β0, y ýòèõ òî÷åê óêàçàíû â (32). Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (23) çíà÷åíèÿ β0, y, ðàâíûå êî-
îðäèíàòàì òî÷åê Xk, ïîëó÷èì Y ′′
Xk
(ε, λ) = 0, k = 1, 4. Òàê êàê â ýòèõ òî÷êàõ cos β0 = 0,
òî èç (24), (26) ñëåäóåò, ÷òî Y ′′′
Xk
, Y
(5)
Xk
(ε, λ) = 0, k = 1, 4. Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ
(28)-(30), âûðàæàþùèå íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ
äâèæåíèé, â ñëó÷àå òî÷åê áèôóðêàöèè ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùèì:
Y
(4)
Xk
(ε, λ) > 0; (36)
Y
(4)
Xk
(ε, λ) = 0, Y
(6)
Xk
(ε, λ) > 0. (37)
Èç ñîîòíîøåíèé (25), (32) íàõîäèì âûðàæåíèÿ ôóíêöèé Y
(4)
Xk
(ε, λ):
Y
(4)
X1
(ε, λ) = 3
[
λ(
√
1 + ε + 1)2 + 4(1 + ε)
]
(ε ≥ −1),
Y
(4)
X2
(ε, λ) = 3
[
λ(
√
1 + ε− 1)2 + 4(1 + ε)
]
(ε ≥ −1),
Y
(4)
X3
(ε, λ) = 3
[
λ(
√
1− ε− 1)2 + 4(1− ε)
]
(ε ≤ 1),
Y
(4)
X4
(ε, λ) = 3
[
λ(
√
1− ε + 1)2 + 4(1− ε)
]
(ε ≤ 1).
(38)
Èç ôîðìóë (27), (32) ñëåäóþò ôîðìóëû äëÿ ôóíêöèé Y
(6)
Xk
(ε, λ), êîòîðûå çàïèøåì, âû-
äåëÿÿ â íèõ âûðàæåíèÿ (38):
Y
(6)
X1
(ε, λ) = −5Y
(4)
X1
(ε, λ)− 90ε, Y
(6)
X2
(ε, λ) = −5Y
(4)
X2
(ε, λ)− 90ε (ε ≥ −1);
Y
(6)
X3
(ε, λ) = −5Y
(4)
X3
(ε, λ) + 90ε, Y
(6)
X4
(ε, λ) = −5Y
(4)
X4
(ε, λ) + 90ε (ε ≤ 1).
(39)
 ñîîòâåòñòâèè ñ (18), ìíîæåñòâî P âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ε, λ
ñîñòîèò èç äâóõ ñâÿçíûõ ïîäìíîæåñòâ P+ = {(ε, λ) : ε ≥ 0, λ > 0}, P− = {(ε, λ) :
ε ≤ 0, λ < −1}. Ïóñòü Pk (k = 1, 4) � ìíîæåñòâî òåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ε, λ, ïðè
êîòîðûõ ñóùåñòâóåò òî÷êà áèôóðêàöèè Xk. Èç ôîðìóë (32) ñëåäóåò, ÷òî P1 = P2 åñòü
÷àñòü P = P+∪P−, ëåæàùàÿ â ïîëóïëîñêîñòè ε ≥ −1, à P3 = P4 åñòü ÷àñòü P , ëåæàùàÿ
â ïîëóïëîñêîñòè ε ≤ 1.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç λ = λk(ε), k = 1, 4, êðèâóþ íà ïëîñêîñòè ε, λ, îïðåäåëÿåìóþ
óñëîâèåì Y
(4)
Xk
(ε, λ) = 0. Èç (38) íàõîäèì
λ1(ε) = − 4(1 + ε)
(
√
1 + ε + 1)2
, λ2(ε) = − 4(1 + ε)
(
√
1 + ε− 1)2
(ε ≥ −1);
λ3(ε) = − 4(1− ε)
(
√
1− ε− 1)2
, λ4(ε) = − 4(1− ε)
(
√
1− ε + 1)2
(ε ≤ 1).
147
Á.È. Êîíîñåâè÷
Òîãäà óñëîâèþ (36) äëÿ Xk óäîâëåòâîðÿþò òå òî÷êè ïëîñêîñòè ε, λ, êîòîðûå ïðè-
íàäëåæàò äîïóñòèìîìó ìíîæåñòâó Pk è ëåæàò âûøå ãðàôèêà êðèâîé λ = λk(ε).
 óñëîâèè (37) ðàâåíñòâî Y
(4)
Xk
(ε, λ) = 0 âûäåëÿåò ÷àñòü ãðàôèêà êðèâîé λ = λk(ε),
êîòîðàÿ ëåæèò â Pk. Íåðàâåíñòâî Y
(6)
Xk
(ε, λ) > 0 â óñëîâèè (37) âûäåëÿåò íà ýòîé ÷à-
ñòè ãðàôèêà λ = λk(ε) òî÷êè ε, λ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò óñòîé÷èâûå ñòàöèîíàðíûå
äâèæåíèÿ äëÿ Xk. Êàê ïîêàçûâàþò ôîðìóëû (39), äëÿ òî÷åê X1, X2 óñòîé÷èâûå ñòàöè-
îíàðíûå äâèæåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò òîé ÷àñòè ãðàôèêà êðèâîé λ = λk(ε), êîòîðàÿ ëåæèò
â äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå Pk ïðè ε < 0, à äëÿ òî÷åê X3, X4 � ïðè ε > 0.
Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ε, λ, ïðè êîòîðûõ ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ,
ñîîòâåòñòâóþùèå áèôóðêàöèîííîé òî÷êå Xk, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè
(36), (37), îáîçíà÷èì ÷åðåç Sk. Òîãäà îñòàëüíûì äîïóñòèìûì çíà÷åíèÿì ε, λ, òî åñòü
çíà÷åíèÿì èç ìíîæåñòâà Uk = Pk\Sk, ñîîòâåòñòâóþò íåóñòîé÷èâûå ñòàöèîíàðíûå äâè-
æåíèÿ.
Ðèñ. 2. Ìíîæåñòâà Sk, Uk óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ áèôóðêàöèîííûõ òî÷åê Xk.
Ìíîæåñòâà óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè Sk, Uk (k = 1, 4) äëÿ áèôóðêàöèîííûõ
òî÷åê Xk (k = 1, 4) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2, à, á, â, ã. Êàæäîå èç ìíîæåñòâ Sk âûäåëåíî
ôîíîì. ×àñòü ãðàíèöû Sk, èçîáðàæåííàÿ ñïëîøíîé ëèíèåé, ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíî-
æåñòâó, à ïîêàçàííàÿ ïóíêòèðîì � íå ïðèíàäëåæèò. Íå ïðèíàäëåæàò Sk òàêæå óãëîâûå
òî÷êè, âûäåëåííûå êðóæî÷êàìè.
Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [1], äëÿ âñåõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå óêàçàíû âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïðè
148
Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
êîòîðûõ ýòè äâèæåíèÿ óñòîé÷èâû èëè íåóñòîé÷èâû.
1. Êîíîñåâè÷ Á.È.Èññëåäîâàíèå îñíîâíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ãèðîñêîïà â
êàðäàíîâîì ïîäâåñå, ñíàáæåííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëåì // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33.
� Ñ. 80-89.
2. Êîíîñåâè÷ Á.È. Îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì
ïîäâåñå // Òàì æå. � 1977. � Âûï. 9. � Ñ. 61-72.
3. Êîíîñåâè÷ Á.È. Ñêîðîñòü óõîäà îñè ðîòîðà â îáîáùåííîé çàäà÷å î ãèðîñêîïå â êàðäàíîâîì ïîäâåñå
// Òàì æå. � 1972. � Âûï. 4. � Ñ. 82-92.
4. Õàðëàìîâ Ï.Â. Ñîñòàâíîé ïðîñòðàíñòâåííûé ìàÿòíèê // Òàì æå. � Ñ. 73-82.
5. Ëóíö ß.Ë. Ââåäåíèå â òåîðèþ ãèðîñêîïîâ. � Ì.: Íàóêà, 1972. � 296 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
konos@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 21.05.04
149
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123750 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:03Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коносевич, Б.И. 2017-09-09T09:56:52Z 2017-09-09T09:56:52Z 2004 Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 140-149. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123750 531.38, 531.36 Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем асинхронного типа. Предполагается, что наружная ось подвеса вертикальна, а силы трения и управляющие силы относительно осей подвеса не действуют. Уравнения движения этой системы допускают семейство решений, описывающих регулярные прецессии или равномерные вращения ротора. Множество таких стационарных движений изображается на плоскости вертикальными прямыми и двумя кривыми. В статье |1| на этих прямых и кривых выделены открытые интервалы, соответствующие устойчивым стационарным движениям, а именно, таким, устойчивость которых устанавливается путем анализа линеаризованных уравнений движения. В граничных точках этих интервалов характеристическое уравнение приведенной системы имеет корни с нулевыми действительными частями. В данной статье с помощью полученного в [2] необходимого и достаточного критерия изучена устойчивость стационарных движений, соответствующих таким граничным точкам: для каждой из граничных точек указаны условия на параметры, при которых имеет место устойчивость и неустойчивость. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях Коносевич, Б.И. |
| title | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях |
| title_full | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях |
| title_fullStr | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях |
| title_full_unstemmed | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях |
| title_short | Устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях |
| title_sort | устойчивость стационарных движений асинхронного гироскопа в кардановом подвесе в специальных случаях |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123750 |
| work_keys_str_mv | AT konosevičbi ustoičivostʹstacionarnyhdviženiiasinhronnogogiroskopavkardanovompodvesevspecialʹnyhslučaâh |