Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом

В рамках необходимых условий устойчивости покачана возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного и свободного твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом. Проведены численные исследования влияния основных параметров второго твердого тела на эффект стабилизации....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Механика твердого тела
Datum:	2004
Hauptverfasser:	Кононов, Ю.Н., Хомяк, Т.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2004
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123752
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом / Ю.Н. Кононов, Т.В. Хомяк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 161-169. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123752
record_format	dspace
spelling	Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В. 2017-09-09T10:00:05Z 2017-09-09T10:00:05Z 2004 Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом / Ю.Н. Кононов, Т.В. Хомяк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 161-169. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123752 531.36:531.38 В рамках необходимых условий устойчивости покачана возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного и свободного твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом. Проведены численные исследования влияния основных параметров второго твердого тела на эффект стабилизации. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
spellingShingle	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В.
title_short	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_full	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_fullStr	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_full_unstemmed	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_sort	об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
author	Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В.
author_facet	Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В.
publishDate	2004
language	Russian
container_title	Механика твердого тела
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
description	В рамках необходимых условий устойчивости покачана возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного и свободного твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом. Проведены численные исследования влияния основных параметров второго твердого тела на эффект стабилизации.
issn	0321-1975
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123752
citation_txt	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом / Ю.Н. Кононов, Т.В. Хомяк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 161-169. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT kononovûn obéffektestabilizaciineustoičivogovraŝeniâtverdogotelasžidkostʹûvraŝaûŝimsâtverdymtelom AT homâktv obéffektestabilizaciineustoičivogovraŝeniâtverdogotelasžidkostʹûvraŝaûŝimsâtverdymtelom
first_indexed	2025-11-27T09:25:30Z
last_indexed	2025-11-27T09:25:30Z
_version_	1850809138155618304
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34 ÓÄÊ 531.36:531.38 c©2004. Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê ÎÁ ÝÔÔÅÊÒÅ ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÃÎ ÂÐÀÙÅÍÈß ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ Ñ ÆÈÄÊÎÑÒÜÞ ÂÐÀÙÀÞÙÈÌÑß ÒÂÅÐÄÛÌ ÒÅËÎÌ Â ðàìêàõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðà- ùåíèÿ íåñâîáîäíîãî è ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. Ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà íà ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè. Â èçâåñòíîé ðàáîòå Ñ.Ë. Ñîáîëåâà [1] óñòàíîâëåíî, ÷òî âîë÷îê Ëàãðàíæà ñ ïîëî- ñòüþ, ñîäåðæàùåé èäåàëüíóþ æèäêîñòü âåäåò ñåáÿ äîâîëüíî íåóñòîé÷èâî. Òàê, íàïðè- ìåð, âîë÷îê ñ ýëëèïòè÷åñêîé ïîëîñòüþ ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ ñâîåé óãëîâîé ñêîðîñòè ëèáî ñðàçó îêîí÷àòåëüíî âûéäåò èç óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ, ëèáî òîëüêî îäèí ðàç ïå- ðåä ýòèì ïðîéäåò ñîñòîÿíèå íåóñòîé÷èâîñòè, âåðíóâøèñü âñëåä çà ýòèì ê ñïîêîéíîìó äâèæåíèþ. Âîë÷îê æå ñ öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòüþ áóäåò âåñòè ñåáÿ áåñïîêîéíî. Ïî ìå- ðå óìåíüøåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè îí íå îäèí ðàç áóäåò òåðÿòü óñòîé÷èâîñòü è âíîâü åå âîññòàíàâëèâàòü. Â ðàáîòàõ [2, 3] ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ âîë÷- êà Ëàãðàíæà ñ öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòüþ ïðè ïîìîùè ïîïåðå÷íûõ è öèëèíäðè÷åñêèõ ïåðåãîðîäîê. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ýòî íå âñåãäà êîíñòðóêòèâíî ìîæåò áûòü âûïîëíåíî. Äðóãàÿ âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òåëà ñ æèäêîñòüþ ñîñòîèò âî ââåäåíèè âòîðîãî âðàùàþùåãîñÿ òâåðäîãî òåëà, ñâÿçàííîãî ñ ïåðâûì îáùåé òî÷êîé è óïðóãèì âîññòàíàâëèâàþùèì ìîìåíòîì. Ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè íåóðàâíîâåøåííîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà âòîðûì âðàùàþùèìñÿ áûë îáíàðóæåí À. ß. Ñàâ÷åíêî [4]. Â ðàáîòå À. Ì. Êîâàëåâà [5] ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóðàâíîâåøåííî- ãî ãèðîñêîïà ñ ïîìîùüþ âðàùàþùåãîñÿ ìàõîâèêà. Â äàëüíåéøåì ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè áûë ïîäðîáíî èññëåäîâàí â ðàáîòàõ ó÷åíèêîâ À.ß. Ñàâ÷åíêî [6�9]. 1. Ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ íåñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà, ñîäåðæàùåãî æèäêîñòü. Ðèñ. 1. Ðàññìîòðèì âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè O1 âîë÷êà Ëàãðàíæà, èìåþùåãî ïîëîñòü, öåëèêîì çàïîëíåííóþ èäåàëüíîé îä- íîðîäíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìûé âîë÷îê (òåëî S1) èìååò îáùóþ òî÷êó O2 ñî âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì S0 2 . Òåëî S1 ñîñòîèò èç òâåðäîãî òåëà S0 1 è èäåàëüíîé æèäêî- ñòè, öåëèêîì çàïîëíÿþùåé îñåñèììåòðè÷íóþ ïîëîñòü âíóòðè ýòîãî òâåðäîãî òåëà (ðèñ.1). Òâåðäûå òåëà S0 1 è S0 2 ñâÿçàíû â òî÷êå O2 ñôåðè÷åñêèì øàð- íèðîì ñ óïðóãèì âîññòàíàâëèâàþùèì ìîìåíòîì ñ êîýôôèöèåíòîì óïðóãîñòè k (k > 0). Ïîñòàâèì çàäà÷ó î âîçìîæíîñòè ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òåëà S1 ñ ïîìîùüþ âðàùåíèÿ òåëà S0 2 . Ïóñòü â íåâîçìóùåííîì äâèæåíèè ïåðâîå òâåðäîå òåëî S0 1 è æèäêîñòü âðàùàþòñÿ êàê îäíî öåëîå ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω01 âîêðóã îñè ãåîìåòðè÷åñêîé 161 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê è äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè O1O2, à âòîðîå òâåðäîå òåëî S0 2 � ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω02 âîêðóã îñè O2C2. Â íåâîçìóùåííîì äâèæåíèè îáùàÿ òî÷êà O2 ëåæèò íà ïðÿìîé O1C2, ãäå C1 è C2 � ñîîòâåòñòâåííî öåíòðû ìàññ òåë S1 è S0 2 . Ðàññìàòðèâàåìàÿ íàìè ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë ñ ïîëîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè æèäêîñòü, èññëåäîâàííîé â ðàáîòàõ [10, 11]. Ñëåäîâàòåëüíî, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ èìååò âèä ∣∣∣∣ F1 µ + k/λ2 µ + k/λ2 F2 ∣∣∣∣ = 0. (1) Çäåñü F1 = A′ 1 + C ′ 1 λ + a∗1g − k λ2 − (λ + ω01) ∞∑ n=1 En λ + λ′n , F2 = A2 + C ′ 2 λ + a∗2g − k λ2 , A′ 1 = A1 + m2s 2 1, µ = s1a ∗ 2, λ′n = λ̃nω0i, λ̃n = 1− λn/ω01, a∗1 = m1c1 + s1m2, a∗2 = m2c2, s1 = O1O2, ci = OiCi, C ′ i = Ciω0i i = (1, 2); m1 è m2 � ñîîòâåòñòâåííî ìàññà òåëà S1 è òâåðäîãî òåëà S0 2 ; Ai è Ci � ñîîòâåòñòâåííî ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíòû èíåðöèè òåë S1 è S0 2 îòíîñèòåëüíî òî÷êè Oi (i = 1, 2). Êîýôôèöèåíò èíåðöèîííîé ñâÿçè En è ñîáñòâåííûå ÷èñëà λn íàõîäÿòñÿ èç ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è è îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ãåîìåòðèåé ïîëîñòè. Çíà÷åíèå ýòèõ âåëè÷èí äëÿ ýëëèïñîèäàëüíîé è öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòåé ïðèâåäåíû â [12]. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñòàáèëèçàöèè ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1). Óðàâíåíèå (1) â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè (En ≡ 0, "çàìåðçøàÿ"æèäêîñòü) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì, ïîëó÷åííûì è èññëåäîâàííûì â ðàáî- òàõ [7�9]. Ïðè k =∞ (öèëèíäðè÷åñêèé øàðíèð) óðàâíåíèå (1) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ F̃1 + F̃2 + 2µ = 0, (2) ãäå F̃1 = A′ 1 + C ′ 1 λ + a∗1g λ2 − (λ + ω01) ∞∑ n=1 En λ + λ′n , F̃2 = A2 + C ′ 2 λ + a∗2g λ2 . Åñëè îòñóòñòâóåò óïðóãèé âîññòàíàâëèâàþùèé ìîìåíò (k = 0) è öåíòð ìàññ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà S0 2 ñîâïàäàåò ñ îáùåé òî÷êîé O2 (c2 = 0, µ = 0), òî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèÿ, è â ýòîì ñëó÷àå îòñóòñòâóåò âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. Êàê èçâåñòíî [12], â áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àåâ â óðàâíåíèè (1) äîñòàòî÷íî ó÷èòûâàòü òîëüêî îñíîâíîé òîí êîëåáàíèÿ æèäêîñòè (n = 1). Ýòî âñåãäà ñïðàâåäëèâî äëÿ ýëëèïñîèäàëüíîé è ñîôîêóñíî ýëëèïñîèäàëüíûõ ïîëîñòåé, òàê êàê èç áåñêîíå÷íîãî ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò λn âîçáóæäàåòñÿ ãàðìîíèêà, ñîîòâåòñòâóþ- ùàÿ åäèíñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ1 [12]. Åñëè ó÷èòûâàòü â óðàâíåíèè (1) òîëüêî ïåðâóþ ãàðìîíèêó (n = 1), òî ýòî óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà ïÿòîé ñòåïåíè a0λ 5 + a1λ 4 + a2λ 3 + a3λ 2 + a4λ + a5 = 0, (3) 162 ãäå a0 = A∗ 1A2 − µ2 > 0, a1 = (A′ 1A2 − µ2)λ′1 + A2C ∗ 1 + A∗ 1ω0, a2 = A2C ′ 1λ ′ 1 + g(A∗ 1a ∗ 2 + A2a ∗ 1)− (A∗ 1 + A2 + 2µ)k + (A′ 1λ ′ 1 + C∗ 1)ω0, a3 = [g(A′ 1a ∗ 2 + A2a ∗ 1)− (A′ 1 + A2 + 2µ)k]λ′1 − C∗ 1k + g(a∗2C ∗ 1 + a∗1ω0)+ + (C ′ 1λ ′ 1 − k)ω0, a4 = (a∗2g − k)C ′ 1λ ′ 1 + [a∗1a ∗ 2g − k(a∗1 + a∗2)]g + (a∗1g − k)λ′1ω0, a5 = g[a∗1a ∗ 2g − k(a∗1 + a∗2)]λ ′ 1, A∗ 1 = A′ 1 − E1, C∗ 1 = C ′ 1 − E ′ 1, C ′ 1 = C1ω01, E ′ 1 = E1ω01, ω0 = C2ω02. (4) Óñëîâèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé óðàâíåíèÿ ïÿòîé ñòåïåíè èìåþò âèä [13] d1 = M2 2 −M1M3 > 0, d2 = 4d1d10 − 9d2 11 > 0, d3 = d2h2 − 2h2 1 > 0, d4 = d3(4h1h3 − h2h4)− 2(2d2h3 − h1h4) 2 > 0. (5) Çäåñü M1 = a0 > 0, 5M2 = a1, 10M3 = a2, 10M4 = a3, 5M5 = a4, M6 = a5; d10 = 6M2 3 − 5M2M4 −M1M5, d11 = M2M3 −M1M4, h1 = d1(16h̃1 − 15h25)− 6h23h24, h2 = 8d1h35 + 48h23h̃2 − 8h24d10, h3 = 6h35h23 − h25d10, h4 = 8d1h35 − 3h23h25, h̃1 = M3M4 −M1M6, h̃2 = M3M4 −M2M5, h23 = M2M3 −M1M4, h24 = M2M4 −M1M5, h25 = M2M5 −M1M6, h35 = M3M5 −M2M6. Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (5) ýê- âèâàëåíòíà íåðàâåíñòâàì d̃i > 0, (6) ãäå d̃1 = d1, d̃2 = d2, d̃3 = d3/(2d1), d̃4 = d4/(2d 2 1d2), d̃3 è d̃4 � îäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû ñîîòâåòñòâåííî 6 è 8 ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ai (i = 0, 5). Ñòàáèëèçèðîâàòü âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ ìîæíî ñëåäóþùèìè ïàðà- ìåòðàìè: ω0, k, A2, m2, c2. Èññëåäóåì âëèÿíèå îñíîâíîãî ïàðàìåòðà ω0 íà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì a1 = 5(ã1ω0 + b1), a2 = 10(ã2ω0 + b2), a3 = 10(ã3ω0 + b3), a4 = 5(ã4ω0 + b4). (7) Ïîäñòàâèâ ñîîòíîøåíèÿ (7) â íåðàâåíñòâà (6), ïîëó÷èì d12ω 2 0 + d11ω0 + d10 > 0, d24ω 4 0 + d23ω 3 0 + · · ·+ d21ω0 + d20 > 0, d36ω 6 0 + d35ω 5 0 + · · ·+ d31ω0 + d30 > 0, d48ω 8 0 + d47ω 7 0 + · · ·+ d41ω0 + d40 > 0, (8) 163 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê ãäå d12 = ã2 1 > 0, d24 = 5ã2 1(3ã 2 2 − 4ã1ã3), d36 = 28ã1ã2ã3ã4 − 9ã2 1ã 2 4 − 16ã1ã 3 3 − 12ã3 2ã4 + 8ã2 3ã 2 2, d48 = 72ã1ã2ã3ã4 − 27ã2 1ã4 − 32ã1ã 3 3 − 32ã3 2ã4 + 16ã2 3ã 2 2, ã1 = A∗ 1 > 0, 10ã2 = A′ 1λ ′ 1 + C∗ 1 > 0, 10ã3 = a∗1g − k, 5ã4 = (a∗1g − k)λ′1. Ïðè k > ga∗1 áóäåì èìåòü ã3 < 0, ã4 < 0 è d24 > 0. Êîýôôèöèåíòû d36 è d48 ÿâëÿþòñÿ êóáè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà k ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöè- åíòàìè ïðè ñòàðøèõ ñòåïåíÿõ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì óïðóãîì âîñ- ñòàíàâëèâàþùåì ìîìåíòå d24 > 0, d36 > 0 è d48 > 0 è ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå ω0, ïðè êîòîðîì íåðàâåíñòâà (8) áóäóò âûïîëíåíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äîñòàòî÷ío áîëüøèõ ω0 è k âîçìîæíà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Ðàññìîòðèì òåïåðü âëèÿíèå óïðóãîãî âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà íà âîçìîæ- íîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì a2 = 10(ã2k + b2), a3 = 10(ã3k + b3), a4 = 5(ã4k + b4), a5 = ã5k + b5. (9) Ïîäñòàâèâ (9) â íåðàâåíñòâà (6), ïîëó÷èì d11k + d10 > 0, d23k 3 + d22k 2 + d21k + d20 > 0, d35k 5 + d34k 4 + · · ·+ d31k + d30 > 0, d47k 7 + d46k 6 · · ·+ d41k + d40 > 0. (10) Çäåñü d11 = −a0ã2, d23 = −24a0ã 3 2, d35 = 160a0ã 3 2(3ã2ã4 − 2ã2 3), d47 = 128a0ã 3 2(40ã3 3ã5 − 25ã2 3ã 2 4 + 27ã2 2ã 2 5 + 50ã2ã 3 4 − 90ã2ã3ã4ã5), 10ã2 = −(A∗ 1 + A2 + 2µ) < 0, 10ã3 = −[(A′ 1 + A2 + 2µ)λ′1 + C∗ 1 + ω0] < 0, 5ã4 = −[(C ′ 1 + ω0)λ ′ 1 + (a∗1 + a∗2)g] < 0, ã5 = −(a∗1 + a∗2)gλ′1 < 0. (11) Èç ñîîòíîøåíèé (11) ñëåäóåò, ÷òî d11 > 0, d23 > 0, à êîýôôèöèåíòû d35 è d47 ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè ñîîòâåòñòâåííî 2-îé è 4-îé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ω0 ñ ïîëîæè- òåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè ñòàðøèõ ñòåïåíÿõ. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ω0 è k íåðàâåíñòâà (10) áóäóò âûïîëíåíû è, êàê ðàíåå îòìå÷àëîñü, áóäåò âîçìîæíà ñòàáèëè- çàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Â ñëó÷àå öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà (k =∞) ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (10) ýêâèâàëåíòíà íåðàâåíñòâó d4ω 4 0 + d3ω 3 0 + d2ω 2 0 + d1ω0 + d0 > 0, (12) ãäå d4 = 3ã2 2 > 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì óïðóãîì âîññòàíàâëèâàþùåì ìîìåíòå è áîëüøîé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà âîçìîæíà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ íåñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. 164 2. Ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà, ñî- äåðæàùåãî æèäêîñòü. Ðàññìîòðèì ñâîáîäíîå äâèæåíèå (äâèæåíèå ïî èíåðöèè) âðà- ùàþùåãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà ñ èäåàëüíîé æèäêîñòüþ. Ïóñòü òî÷êà O1 áóäåò íå çàêðåï- ëåííàÿ, ò. å. ñâîáîäíàÿ. Âíîâü ïîñòàâèì çàäà÷ó î âîçìîæíîñòè ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé- ÷èâîãî âðàùåíèÿ ñâîáîäíîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà ñ æèäêîñòüþ âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ áóäåò èìåòü âèä (1), ãäå F1 = A′ 1 + C ′ 1 λ − k λ2 − (λ + ω01) ∞∑ n=1 En λ + λ′n , F2 = A′ 2 + C ′ 2 λ − k λ2 , A′ i = Ai + νc2 i , ν = m1m2 m1 + m2 , µ = νc1c2, c1 = C1O2, c2 = C2O2, i = (1, 2), (13) Ai è Ci � ñîîòâåòñòâåííî ãëàâíûé ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè òåë S1 è S0 2 îòíîñèòåëüíî èõ öåíòðà ìàññ. Åñëè îòñóòñòâóåò óïðóãèé âîññòàíàâëèâàþùèé ìîìåíò (k = 0) è öåíòð ìàññ âòîðîãî òåëà S0 2 ñîâïàäàåò ñ îáùåé òî÷êîé O2 (c2 = 0, µ = 0), òî îòñóòñòâóåò âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè. Ïðè n = 1 (ó÷åò îñíîâíîãî òîíà êîëåáàíèÿ æèäêîñòè) óðàâíåíèå (1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè a0λ 4 + a1λ 3 + a2λ 2 + a3λ + a4 = 0, (14) êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (4), â êîòîðûõ ñëåäóåò ïîëîæèòü a∗1 = a∗2 = 0 è âû÷èñëÿòü A′ i ñîãëàñíî (13). Óñëîâèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè èìåþò âèä [7] d1 = N2 2 −N1N3 > 0, d2 = 12d2 1 −N2 1 (N1N5 − 4N2N4 + 3N2 3 ) > 0, d3 = (N1N5 − 4N2N4 + 3N2 3 )3 − 27(N1N3N5 + 2N2N3N4 −N1N 2 4− −N2 2 N5 −N3 3 )2 > 0. (15) Çäåñü N1 = a0, 4N2 = a1 = 4(ã1ω0 + b1), 6N3 = a2 = 6(ã2ω0 + b2), 4N4 = a3 = 4(ã3ω0 + b3), N5 = a4 = ã4ω0 + b4. (16) Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (16) íåðàâåíñòâà (15) çàïèøóòñÿ â âèäå d12ω 2 0 + d11ω0 + d10 > 0, d24ω 4 0 + d23ω 3 0 + · · ·+ d21ω0 + d20 > 0, d36ω 6 0 + d35ω 5 0 + · · ·+ d31ω0 + d30 > 0. (17) ãäå d12 = ã2 1 > 0, d24 = 12ã4 1 > 0, d36 = d̃3 21 − 27d̃2 30 = ã2 1[54(2ã1ã3 − ã2 2)ã2ã4 + 4ã2 3(9ã 2 2 − 16ã1ã3)− 27ã2 1ã 2 4], d̃21 = 3ã2 2 − 4ã1ã3, d̃30 = 2ã1ã2ã3 − ã2 1ã4 − ã3 2, ã1 = A∗ 1/4 > 0, ã2 = (A′ 1λ ′ 1 + C̃∗ 1)/6 > 0, ã3 = −(k − C ′ 1λ ′ 1)/4, ã4 = −kλ′1. 165 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê Òàê êàê d12 > 0, d24 > 0, à êîýôôèöèåíò d36 ÿâëÿåòñÿ êóáè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì îò- íîñèòåëüíî ïàðàìåòðà k ñ ïîëîæèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè è ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì k áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k è ω0 âîçìîæíà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà, ñî- äåðæàùåãî æèäêîñòü. Ðàññìîòðèì òåïåðü âëèÿíèå óïðóãîãî âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà íà ñòàáèëèçà- öèþ íåóñòîé÷èâîãî ñâîáîäíîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Äëÿ ýòîãî ïîëî- æèì a2 = 6N3 = 6(ã2k + b2), a3 = 4N4 = 4(ã3k + b3), a4 = N5 = ã4k + b4. (18) Ïîäñòàâèâ ñîîòíîøåíèÿ (18) â íåðàâåíñòâà (15), ïîëó÷èì d1 = d11k + d10 > 0, d2 = d22k 2 + d21k + d20 > 0, d3 = d35k 5 + d34k 4 + · · ·+ d31k + d30 > 0. (19) ãäå d11 = −a0ã2 > 0, d22 = 9a2 0ã 2 2 > 0, 6ã2 = −(A∗ 1 + A′ 2 + 2µ) < 0, d35 = 27a0ã 3 2(3ã2ã4 − 2ã2 3) = d∗32ω 2 0 + d∗31ω0 + d∗30, d∗32 = −3a0ã 3 2/2 > 0, 4ã3 = −[(A′ 1 + A′ 2 + 2µ)λ′1 + C̃∗ 1 + ω0] < 0, ã4 = −(C ′ 1 + ω0)λ ′ 1 < 0. Òàê êàê d11 > 0, d22 > 0 è d∗32 > 0, òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ω0 è k íåðàâåíñòâà (19) áóäóò âûïîëíåíû. Ïðè k =∞ (öèëèíäðè÷åñêèé øàðíèð) èç ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (19) ñëåäóåò óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé d35 > 0 èëè [(A′ 1 + A′ 2 + 2µ)λ′1 + C̃∗ 1 + ω0] 2 > 4(A∗ 1 + A′ 2 + 2µ)(C ′ 1 + ω0)λ ′ 1. (20) Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷åííîå èç (19) ñîâïàäàåò ñ óñëî- âèåì óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷åííûì èç óðàâíåíèÿ (2) äëÿ ñâîáîäíîé ñèñòåìû (a∗1 = a∗2 = 0) ïðè n = 1. Â çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì âòîðîé ïðåäåëüíûé ñëó÷àé � îòñóòñòâèÿ óïðóãîãî âîñ- ñòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà (k = 0). Â îòëè÷èè îò íåñâîáîäíîé ñèñòåìû õàðàêòåðèñòè- ÷åñêîå óðàâíåíèå (14) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è âûðîæëàåòñÿ â êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå (a4 = 0). Óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé êîòîðîãî èìåþò âèä d4ω 4 0 + d3ω 3 0 + d2ω 2 0 + d1ω0 + d0 > 0. (21) Çäåñü d4 = 4d̃40ã 2 1 − ã2 1ã 2 2 = ã2 1(3ã 2 2 − 4ã1ã3), d̃40 = ã2 2 − ã1ã3, a1 = 3(ã1ω0 + b1), a2 = 3(ã2ω0 + b2), a3 = ã3ω0, 3ã1 = A∗ 1, 3ã2 = A′ 1λ ′ 1 + C̃∗ 1 , ã3 = C ′ 1λ ′ 1. Òàêèì îáðàçîì, ïðè îòñóòñòâèè óïðóãîãî ìîìåíòà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðà- ùåíèÿ ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì (21), à âîçìîæ- íîñòü ñòàáèëèçàöèè óñëîâèåì 3ã2 − 4ã1ã3 > 0 166 èëè (C∗ 1 + A′ 1λ1) 2 > 4A∗ 1C1λ1. (22) Èçâåñòíî, ÷òî â ñëó÷àå ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû ýëëèñîèäàëüíîé îáîëî÷êè ñâî- áîäíîå ðàâíîìåðíîå âðàùåíèå ýòîé îáîëî÷êè, ñîäåðæàùåé èäåàëüíóþ æèäêîñòü, íåóñòîé- ÷èâî ïðè 1 < β < 3 (β = c/a, a è c � ïîëóîñè ýëëèïñîèäàëüíîé îáîëî÷êè, ïðè÷åì c � âåëè÷èíà ïîëóîñè, íàïðàâëåííîé âäîëü îñè âðàùåíèÿ) [12]. Âîçìîæíî ëè óìåíüøèòü ýòîò èíòåðâàë íåóñòîé÷èâîñòè âðàùàþùèìñÿ âòîðûì òâåð- äûì òåëîì? Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (22). Ïðîâåäÿ íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èì, ÷òî ïðè m̃2 = 0, 1 <β < 3, m̃2 = 0.01, 1 <β < 2.981, m̃2 = 0.1, 1 <β < 2.830, m̃2 = 0.5, 1 <β < 2.400, (23) ãäå m̃2 = 3m2/(4πρa3). Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî óìåíüøåíèå èíòåðâàëà íåóñòîé÷èâîñòè, ÷òî ãîâîðèò î ñòà- áèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âðàùàþùèìñÿ âòîðûì òâåðäûì òåëîì. Èç ñîîòíîøåíèé (23) ñëåäóåò, ÷òî ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè ìàññû âòîðîãî òåëà. Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ðåçóëüòàòîâ àíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ïî ôîðìóëàì (8), (10), (17) è (19) áûëè ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû äëÿ ýëëèïñîèäàëüíîé ïîëîñòè ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ: ω02 = 0, 10, 102, 103; k = 0, 1, 10, 102, 103; ω01 = 1÷100; β = 0, 02 ÷ 4 (β = c/a); m01 = 0; A01 = C01 = 0; c2 = −0, 2 ÷ 0, 2. Âòîðîå âðàùàþùååñÿ òâåðäîå òåëî ïîëàãàëîñü ñëåãêà âîãíóòûì, âûïóêëûì èëè ïëîñêèì òîíêèì êðóãîâûì äèñêîì (ðèñ. 2, êðèâûå 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî) ñ ìîìåíòàìè èíåðöèè A2 è C2. Ðèñ. 2. Çäåñü A2 = [1− cos4 θ0 2 − 1 2 f(θ0)]m2R 2, C2 = f(θ0)m2R 2, f(θ0) = 1 3 cos3 θ0 − cos θ0 + 2 3 1− cos θ0 , c2 = O2C2 = R sin2 θ0 2 (âûïóêëûé äèñê), c2 = −O2C2 = −R sin2 θ0 2 (âîãíóòûé äèñê), Rθ0 = r − ðàäèóñ êðóãîâîãî äèñêà ìàññû m2. Ïðè θ0 � 1 A2 = m2r2 4 , C2 = m2r 2 2 , c2 = r 4 θ0, òî åñòü â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíòû èíåðöèè ñîâïàäàþò ñ ïëîñêèì äèñêîì (R =∞). Â ñëó÷àå ïëîñêîãî êðóãîâîãî äèñêà åãî öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé O2, à äëÿ ñëåãêà âûïóêëîãî èëè âûãíóòîãî îí íåçíà÷èòåëüíî èçìåíÿåòñÿ. 167 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ äëÿ íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3- 6, à äëÿ ñâîáîäíîé � íà ðèñ. 7�10 (c2 = 0, m1 = const, E1 6= 0). Îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè çàøòðèõîâàíû. k = 1, ω02 = 0 Ðèñ.3. k = 100, ω02 = 0 Ðèñ.4. k = 100, ω02 = 1000 Ðèñ.5. k = 1000, ω02 = 1000 Ðèñ.6. k = 1, ω02 = 0 Ðèñ.7. k = 1, ω02 = 1000 Ðèñ.8. k = 100, ω02 = 1000 Ðèñ.9. k = 1000, ω02 = 1000 Ðèñ.10. Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ è ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé ìîæíî ñäå- ëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: 1. Íåóñòîé÷èâîå âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âîçìîæíî ñòàáèëèçèðîâàòü âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. 2. Ñòàáèëèçàöèÿ ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíîé, åñëè îòñóòñòâóåò óïðóãèé âîññòàíàâëèâà- þùèé ìîìåíò è öåíòð ìàññ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà ñîâïàäàåò ñ îáùåé òî÷êîé äâóõ òâåðäûõ òåë. 3. Ñ óâåëè÷åíèåì óïðóãîãî âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà îáëàñòü íåóñòîé÷èâîñòè óìåíüøàåòñÿ ñ îáðàçîâàíèåì íåáîëüøîé äîïîëíèòåëüíîé îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè, êîòîðàÿ èñ÷åçàåò ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà. 4. Ïðè áîëüøèõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ âðàùåíèÿ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà (ω02 > 100 ) è áîëüøîì óïðóãîì âîññòàíàâëèâàþùåì ìîìåíòå (k > 100) íàáëþäàåòñÿ ýôôåêò, àíàëîãè÷íûé äåéñòâèþ âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà íà ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòå- ìó ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë ñ æèäêîñòüþ. 5. Äëÿ óðàâíîâåøåííîãî âòîðîãî òâåðäîãî òåëà (c2 < 0) ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè âîç- ðàñòàåò ïî ñðàâíåíèþ ñ íåóðàâíîâåøåííûì âòîðûì òâåðäûì òåëîì (c2 > 0). 1. Ñîáîëåâ Ñ. Ë. Î äâèæåíèè ñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà ñ ïîëîñòüþ, íàïîëíåííîé æèäêîñòüþ // Æóðí. ïðèêë. ìåõàíèêè è òåõí. ôèçèêè. � 1960. � � 3. � Ñ 20�25. 168 2. Êîíîíîâ Þ. Í. Î âëèÿíèè ïåðåãîðîäîê â öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòè íà óñòîé÷èâîñòü ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà // Ìàò. ôèçèêà è íåëèí. ìåõàíèêà. � 1992. � Âûï. 7 (51). � Ñ. 33�37. 3. Êîíîíîâ Þ. Í., Äðûíü Ñ. Â. Îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà ñ ìíîãîñëîéíîé æèäêî- ñòüþ, ðàçäåëåííîé öèëèíäðè÷åñêèìè ïåðåãîðîäêàìè // Âiñí. Äîíåöüêîãî óí-òà. Ñåð. À: Ïðèðîäíè÷i íàóêè. � 2001. � � 1 . � Ñ. 34�39. 4. Ñàâ÷åíêî À. ß. Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1977. � 159 ñ. 5. Êîâàëåâ À. Ì. Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé òÿæåëîãî ãèðîñòàòà âîêðóã ãëàâíîé îñè // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1980. � 44, âûï. 6. � Ñ. 994-998. 6. Ëåñèíà Ì.Å.Î ñòàáèëèçàöèè ïîêîÿùåãîñÿ óðàâíîâåøåííîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà // Ìåõàíèêà òâåð- äîãî òåëà. � 1979. � Âûï. 11. � Ñ. 88�92. 7. Âàðõàëåâ Þ.Í., Ñàâ÷åíêî À.ß., Ñâåòëè÷íàÿ Í.Â. Ê âîïðîñó ñòàáèëèçàöèè ïîêîÿùåãîñÿ íåóðàâíî- âåøåííîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà // Òàì æå. � 1982. � Âûï. 14. � Ñ. 105�109. 8. Ñâåòëè÷íàÿ Í.Â. Îá ýôôåêòå ñòàáèëèçàöèè ïîêîÿùåãîñÿ íåóðàâíîâåøåííîãî ãèðîñêîïà âòîðûì âðàùàþùèìñÿ // Òàì æå. � 1989. � Âûï. 21. � Ñ. 74�76. 9. Êîâàëåíêî Í.Â., Øåïåëåíêî Î.Â. Ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè â ñèñòåìå ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà // Òð. Ìåæäóíàð. êîíô. "Ìàòåìàòèêà â èíäóñòðèè". � Òàãàíðîã: Òàãàíðîã. ãîñ. ïåä. èí-ò, 1998. � Ñ. 84�86. 10. Êîíîíîâ Þ. Í. Î äâèæåíèè ñèñòåìû äâóõ òâåðäûõ òåë ñ ïîëîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè æèäêîñòü // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1997. � Âûï. 29. � Ñ. 76�85. 11. Êîíîíîâ Þ. Í. Î äâèæåíèè ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë ñ ïîëîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè æèäêîñòü // Òàì æå. � 2000. � Âûï. 30. � Ñ. 207�216. 12. Äîêó÷àåâ Ë. Â., Ðâàëîâ Ð. Â. Îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ ïîëîñòüþ, ñîäåðæàùåé æèäêîñòü // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1973. � � 2. � Ñ. 6�14. 13. Ðó÷êèí Ê. À. Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé è ñòàáèëèçàöèÿ äâèæåíèé ñèñòåìû äâóõ òâåð- äûõ òåë. � Àâòîðåô. äèñ. ... êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. � Äîíåöê, 1999. � 14 ñ. 14. Kononov Yu. N., Khomyak T. V. Stabilization by rotating rigid bodies for unstable rotation of a rigid body with cavities containing a �uid // ICTAM04: Abstr. and CD-ROM Proc. � Warszawa, Poland: IPPT PAN, 2004. � P. 320. Äîíåöêèé íàöèîíàëüíûé óí-ò Ïîëó÷åíî 11.06.04 169

Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом

Institution

Ähnliche Einträge