Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота
Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 34, 2004), в которой получены обобщения классов Аппельрота движений волчка Ковалевской для случая двойного силового поля. Рассматривается аналог 4-го класса Аппельрота. Траектории этого семейства заполняют поверхность, четы...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123761 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 38-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859800520984625152 |
|---|---|
| author | Харламов, М.П. |
| author_facet | Харламов, М.П. |
| citation_txt | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 38-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 34, 2004), в которой получены обобщения классов Аппельрота движений волчка Ковалевской для случая двойного силового поля. Рассматривается аналог 4-го класса Аппельрота. Траектории этого семейства заполняют поверхность, четырехмерную в окрестности своих точек общего положения. Указаны два частных интеграла, образующих полную систему. Найдена их бифуркационная диаграмма и область значений соответствующих постоянных.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:12:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. Ì.Ï. Õàðëàìîâ
ÁÈÔÓÐÊÀÖÈÎÍÍÀß ÄÈÀÃÐÀÌÌÀ
ÎÁÎÁÙÅÍÈß 4-ÃÎ ÊËÀÑÑÀ ÀÏÏÅËÜÐÎÒÀ
Ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïóáëèêàöèè àâòîðà (Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà, âûï. 34, 2004), â êîòîðîé
ïîëó÷åíû îáîáùåíèÿ êëàññîâ Àïïåëüðîòà äâèæåíèé âîë÷êà Êîâàëåâñêîé äëÿ ñëó÷àÿ äâîéíîãî ñèëî-
âîãî ïîëÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîã 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà. Òðàåêòîðèè ýòîãî ñåìåéñòâà çàïîëíÿþò
ïîâåðõíîñòü, ÷åòûðåõìåðíóþ â îêðåñòíîñòè ñâîèõ òî÷åê îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Óêàçàíû äâà ÷àñòíûõ èí-
òåãðàëà, îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ñèñòåìó. Íàéäåíà èõ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è îáëàñòü çíà÷åíèé
ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñòîÿííûõ.
Ââåäåíèå. Ðàññìîòðèì òâåðäîå òåëî, çàêðåïëåííîå â íåïîäâèæíîé òî÷êå O. Ïóñòü
ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè â O óäîâëåòâîðÿþò îòíîøåíèþ 2 : 2 : 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ìîìåíò âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè O èìååò âèä
e1 ×α + e2 × β,
ãäå âåêòîðû e1, e2 ôèêñèðîâàíû â òåëå è ïàðàëëåëüíû ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýë-
ëèïñîèäà èíåðöèè, à âåêòîðû α,β íåèçìåííû â èíåðöèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå.
Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [5], áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî e1, e2 îá-
ðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ïàðó (â ÷àñòíîñòè, ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè îðòàìè èíåðöèè),
à α,β âçàèìíî îðòîãîíàëüíû. Ïîëîæèì e3 = e1 × e2 è âûáåðåì Oe1e2e3 â êà÷åñòâå
ïîäâèæíîãî òðèýäðà. Âåêòîð ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè îáîçíà÷èì ÷åðåç ω.  áåç-
ðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ âðàùåíèå òåëà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà � Ïóàññîíà
2ω·
1 = ω2ω3 + β3, 2ω·
2 = −ω1ω3 − α3, ω·
3 = α2 − β1,
α·
1 = α2ω3 − α3ω2, β·
1 = β2ω3 − β3ω2 (123) .
(1)
Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî P 6 ñèñòåìû (1) îïðåäåëåíî â R9(ω,α,β) ãåîìåòðè÷åñêèìè
èíòåãðàëàìè
α2
1 + α2
2 + α2
3 = a2, β2
1 + β2
2 + β2
3 = b2, α1β1 + α2β2 + α3β3 = 0. (2)
Ïîëàãàåì
a > b > 0. (3)
Òîãäà ñèñòåìà (1), (2) íå îáëàäàåò öèêëè÷åñêèì èíòåãðàëîì è íå ñâîäèòñÿ îáû÷íîé
ïðîöåäóðîé ê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Îäíàêî îíà âïîëíå
èíòåãðèðóåìà, ÷òî îáåñïå÷èâàþò ïåðâûå èíòåãðàëû â èíâîëþöèè
H = ω2
1 + ω2
2 + 1
2
ω2
3 − (α1 + β2),
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1 − β2)
2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)
2,
G = (α1ω1 + α2ω2 + 1
2
α3ω3)
2 + (β1ω1 + β2ω2 + 1
2
β3ω3)
2+
+ ω3(γ1ω1 + γ2ω2 + 1
2
γ3ω3)− α1b
2 − β2a
2
(4)
38
Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà
(÷åðåç γi îáîçíà÷åíû êîìïîíåíòû â ïîäâèæíûõ îñÿõ ïîñòîÿííîãî âåêòîðà α× β).
Èíòåãðàë K âïåðâûå óêàçàí Î.È. Áîãîÿâëåíñêèì [2], à èíòåãðàë G (â áîëåå îáùåé
ôîðìå äëÿ çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñòàòà) � À.Ã. Ðåéìàíîì è Ì.À. Ñåìåíîâûì-Òÿí-
Øàíñêèì [4].
 ðàáîòå [5] íàéäåíî ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èíòåãðàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ
H ×K ×G : P 6 → R3. (5)
Ïîêàçàíî, ÷òî îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå îáúåäèíåíèÿ òðåõ ìíîæåñòâ M,N,O, êàæäîå èç
êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó ãëàäêèì ÷åòûðåõìåðíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì â P 6 è â
îêðåñòíîñòè òî÷åê ãëàäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé äâóõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé.
Ïåðâîå êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî M óêàçàíî â ðàáîòå [2]. Îíî ñîâïàäàåò ñ íóëåâûì
óðîâíåì èíòåãðàëàK è îáîáùàåò 1-é êëàññ Àïïåëüðîòà (êëàññ Äåëîíå) êëàññè÷åñêîé çà-
äà÷è Êîâàëåâñêîé [1]. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ èíäóöèðîâàííîé íà M äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
èññëåäîâàíà Ä.Á. Çîòüåâûì [9].
Äâèæåíèÿ íà êðèòè÷åñêîì ìíîæåñòâå N, íàéäåííîì â ðàáîòå [6], èññëåäîâàíû â
[7, 8]. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî ñåìåéñòâî äâèæåíèé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ñåìåéñòâà òàê íà-
çûâàåìûõ îñîáî çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé 2-ãî è 3-ãî êëàññîâ Àïïåëüðîòà. Íàéäåíà
áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äâóõ ïî÷òè âñþäó íåçàâèñèìûõ íà N ïåðâûõ èíòåãðàëîâ
[8], óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íà N ðàçäåëåíû, èçó÷åíû áèôóðêàöèè äâóìåðíûõ òîðîâ Ëè-
óâèëëÿ [7].
Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ íåêîòîðûõ ñâîéñòâ îãðàíè÷åíèÿ ñèñòåìû
(1) íà èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî O, çàäàííîå â P 6 ñèñòåìîé èíâàðèàíòíûõ ñîîòíî-
øåíèé [5]
R1 = 0, R2 = 0, (6)
ãäå
R1 = (α3ω2 − β3ω1)ω3 − 2β1ω
2
1 + 2(α1 − β2)ω1ω2 + 2α2ω
2
2,
R2 = (α3ω1 + β3ω2)ω
2
3 + [α2
3 + β2
3 + 2α1ω
2
1 + 2(α2 + β1)ω1ω2 + 2β2ω
2
2]ω3+
+ 2α3[(α1 − β2)ω1 + (α2 + β1)ω2] + 2β3[(α2 + β1)ω1 − (α1 − β2)ω2].
1. ×àñòíûå èíòåãðàëû. Îòìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ âèäà
ω1 = ω2 = 0, α3 = β3 = 0 (7)
óðàâíåíèÿ (6) çàâèñèìû íà O. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàâåíñòâà (7) âûïîëíåíû íà
íåêîòîðîì èíòåðâàëå âðåìåíè (à òîãäà è òîæäåñòâåííî ïî t âäîëü âñåé òðàåêòîðèè),
ïðèäåì ê ñåìåéñòâó ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé âèäà
α = a(e1 cos θ − e2 sin θ), β = ±b(e1 sin θ + e2 cos θ), α× β ≡ ±abe3,
ω = θ·e3, θ·· = −(a± b) sin θ,
(8)
îòìå÷åííîìó â ðàáîòå [5]. Ïîñòîÿííûå èíòåãðàëîâ (4) íà òàêèõ òðàåêòîðèÿõ óäîâëåòâî-
ðÿþò îäíîìó èç äâóõ óñëîâèé
g = abh, k = (a− b)2, h > −(a+ b) (9)
èëè
g = −abh, k = (a+ b)2, h > −(a− b). (10)
39
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
Ñîâîêóïíîñòü òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ òðàåêòîðèÿì (8), îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω. Ïóñòü
O∗ = O\Ω.
Íàïîìíèì, ÷òî â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å Êîâàëåâñêîé (β = 0) èìååò ìåñòî èíòåãðàë
ïëîùàäåé, â êà÷åñòâå êîòîðîãî òðàäèöèîííî îò ðàáîò Êîâàëåâñêîé âûáèðàþò ôóíêöèþ
L =
1
2
Iω·α. (11)
Ïðè ýòîì èíòåãðàë G ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì L2.
Ïóñòü ` � ïîñòîÿííàÿ èíòåãðàëà (11). Â êëàññèôèêàöèè Ã.Ã. Àïïåëüðîòà 4-é êëàññ
îñîáî çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè:
1) âòîðîé ìíîãî÷ëåí Êîâàëåâñêîé èìååò êðàòíûé êîðåíü, îäíà èç ïåðåìåííûõ Êî-
âàëåâñêîé ïîñòîÿííà è ðàâíà êðàòíîìó êîðíþ s ñîîòâåòñòâóþùåé ðåçîëüâåíòû Ýéëåðà
ϕ(s) = s(s− h)2 + (a2 − k)s− 2`2:
ϕ(s) = 0, ϕ′(s) = 0; (12)
2) ïåðâûå äâå êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè ïîñòîÿííû, ïðè÷åì
ω1 = − `
s
, ω2 = 0. (13)
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå óñòàíàâëèâàåò àíàëîãèþ óñëîâèé (13) äëÿ îáîáùåííîãî
âîë÷êà.
Òåîðåìà 1. Íà ëþáîé òðàåêòîðèè, ïðèíàäëåæàùåé ìíîæåñòâó O∗, îòíîøåíèÿ
Iω·α
Iω·e1
,
Iω·β
Iω·e2
ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ïîñòîÿííû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì
M = Iω,
M1 = Iω·e1 = 2ω1, M2 = Iω·e2 = 2ω2,
Mα = Iω·α = 2α1ω1 + 2α2ω2 + α3ω3, Mβ = Iω·β = 2β1ω1 + 2β2ω2 + β3ω3.
 ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðåìû ïåðâîå óðàâíåíèå (6) çàïèøåì â âèäå
Mα
M1
− Mβ
M2
= 0. (14)
Ââåäåì ôóíêöèþ
S = −MαM1 +MβM2
M2
1 +M2
2
.
Âû÷èñëèì åå ïðîèçâîäíóþ â ñèëó óðàâíåíèé (1):
dS
dt
=
1
4(M2
1 +M2
2 )2
[(M2
1 +M2
2 )ω3 + 4α3M1 + 4β3M2](MβM1 −MαM2).
40
Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà
Òîãäà â ñèëó (14) âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè åñòü òîæäåñòâåííûé íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî,
ôóíêöèÿ S ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì èíòåãðàëîì íà O∗. Îáîçíà÷èì ïîñòîÿííóþ ýòîãî èíòå-
ãðàëà ÷åðåç s:
MαM1 +MβM2
M2
1 +M2
2
= −s. (15)
Èç (14), (15) ïîëó÷àåìMα = −sM1,Mβ = −sM2 ñ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé s. Òåîðåìà
äîêàçàíà. �
Çàìå÷àíèå 1.  ñèëó óñëîâèÿ (14) ôóíêöèþ S ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå
S = −1
2
(
Mα
M1
+
Mβ
M2
). (16)
Çàìå÷àíèå 2. Îòìåòèì èíòåðåñíîå ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî èçìåíåíèÿ âåêòîðà
êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà ðàññìàòðèâàåìûõ äâèæåíèÿõ. Ââåäåì â ïëîñêîñòèOαβ íåïî-
äâèæíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ
ν1 =
α
a
, ν2 =
β
b
.
Ïóñòü m1 = M·ν1, m2 = M·ν2. Òîãäà Mα = am1, Mβ = bm2, è óñëîâèå (14) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
M2
M1
=
b
a
m2
m1
,
èëè
tg ϑ =
b
a
tg ϑ0,
ãäå ϑ, ϑ0 � ïîëÿðíûå óãëû ïðîåêöèé âåêòîðà M ñîîòâåòñòâåííî íà ýêâàòîðèàëüíóþ
ïëîñêîñòü òåëà è íà íåïîäâèæíóþ ïëîñêîñòü íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ñèëîâûõ ïîëåé.
Òåîðåìà 2. Íà ìíîæåñòâå O ñèñòåìà (1) èìååò ÷àñòíûé èíòåãðàë
T = (α3ω1 + β3ω2)ω3 + 2α1ω
2
1 + 2(α2 + β1)ω1ω2 + 2β2ω
2
2−
− 2(α1β2 − α2β1) + a2 + b2.
(17)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè (17) â ñèëó ñèñòåìû (1) ðàâíà
dT
dt
=
1
4
ω3R1,
òî åñòü îáðàùàåòñÿ â íóëü òîæäåñòâåííî íà O. �
Ïîñòîÿííóþ èíòåãðàëà T îáîçíà÷èì ÷åðåç τ .
 ðàáîòå [5] óðàâíåíèÿ (6) ïîëó÷åíû èç óñëîâèÿ íàëè÷èÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êè ó
ôóíêöèè
2G+ (τ − p2)H + sK
ñ íåîïðåäåëåííûìè ìíîæèòåëÿìè Ëàãðàíæà s, τ . Ñîïîñòàâëÿÿ (16), (17) ñ âûðàæåíèÿìè
äëÿ s, τ , èìåþùèìèñÿ â [5], óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýòè ìíîæèòåëè ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè
ïðèâåäåííûõ çäåñü èíòåãðàëîâ S,T.
Ñ ó÷åòîì (3) ââåäåì ïîëîæèòåëüíûå ïàðàìåòðû p, r, ïîëàãàÿ
p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2.
41
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
Ïóñòü h, k, g � ïîñòîÿííûå îáùèõ èíòåãðàëîâ (4). Òîãäà èç óðàâíåíèé (50) ðàáîòû
[5] ïîëó÷èì, ÷òî íà ìíîæåñòâå O∗ èìååò ìåñòî ñâÿçü
h = s+
p2 − τ
2s
, k = τ +
τ 2 − 2p2τ + r4
4s2
, g =
1
2
(p2 − τ)s+
p4 − r4
4s
. (18)
Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèñòà áè-
ôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ (5). Èñêëþ÷åíèå τ ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì
ψ(s) = 0, ψ′(s) = 0, (19)
ãäå
ψ(s) = s2(s− h)2 + (p2 − k)s2 − 2gs+
p4 − r4
4
.
Ïðè óñëîâèè β = 0 (p2 = r2 = a2) èìååì ψ(s) = sϕ(s). Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ
(19) àíàëîãè÷íû óñëîâèÿì (12). Ñëåäîâàòåëüíî, ñîâîêóïíîñòü òðàåêòîðèé íà ìíîæåñòâå
O ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ñåìåéñòâà îñîáî çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé 4-ãî êëàññà Àïïåëü-
ðîòà.
2. Óðàâíåíèÿ èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Â ñèëó ñîîòíîøåíèé (18) ôóíê-
öèè S,T îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó ïåðâûõ èíòåãðàëîâ íà O∗.  ÷àñòíîñòè, ñèñòåìà
óðàâíåíèé èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ {ζ ∈ P 6 : H(ζ) = h,K(ζ) = k,G(ζ) = g} çàìå-
íÿåòñÿ èíâàðèàíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè (6) è óðàâíåíèÿìè
S = s, T = τ. (20)
Ââåäåì êîìïëåêñíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ [6], îáîáùàþùóþ çàìåíó, ïðåäëîæåííóþ
Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé äëÿ âîë÷êà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè [3]:
x1 = (α1 − β2) + i(α2 + β1), x2 = (α1 − β2)− i(α2 + β1),
y1 = (α1 + β2) + i(α2 − β1), y2 = (α1 + β2)− i(α2 − β1),
z1 = α3 + iβ3, z2 = α3 − iβ3,
w1 = ω1 + iω2, w2 = ω1 − iω2, w3 = ω3 .
˘ (21)
Ïåðåõîäÿ ê ïåðåìåííûì (21), ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó (6), (20) ê âèäó
(y2 + 2s)w1 + x1w2 + z1w3 = 0,
x2w1 + (y1 + 2s)w2 + z2w3 = 0,
x2z1w1 + x1z2w2 + (τ − x1x2)w3 = 0,
2sw1w2 − (x1x2 + z1z2) + τ = 0.
(22)
Ê ýòèì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî äîáàâèòü ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëû (2), êîòîðûå â ïå-
ðåìåííûõ (21) ïðèìóò âèä
z2
1 + x1y2 = r2, z2
2 + x2y1 = r2, x1x2 + y1y2 + 2z1z2 = 2p2. (23)
Ïðîñòðàíñòâî ïåðåìåííûõ (21) äåâÿòèìåðíî ñ ó÷åòîì êîìïëåêñíîé ñîïðÿæåííîñòè
ïàð ïåðåìåííûõ x2 = x1, y2 = y1, z2 = z1 è âåùåñòâåííîñòè w3. Ñåìü ñîîòíîøåíèé (22),
(23) îïðåäåëÿþò â íåì èíòåãðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå, â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ íà
íåì òî÷åê çàâèñèìîñòè èíòåãðàëîâ S,T, áóäåò ñîñòîÿòü èç äâóìåðíûõ òîðîâ ñ óñëîâíî-
ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè.
42
Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà
3. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà. Ââåäåì èíòåãðàëüíîå îòîáðàæåíèå J èíäóöè-
ðîâàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà çàìûêàíèè ìíîæåñòâà O∗, ïîëàãàÿ
J(ζ) = (S(ζ),T(ζ)) ∈ R2, ζ ∈ Cl(O∗).
Ââèäó î÷åâèäíîé êîìïàêòíîñòè ïðîîáðàçîâ òî÷åê R2, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà
Σ îòîáðàæåíèÿ J ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì åãî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé.
Òåîðåìà 3. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ
J = S × T : Cl(O∗) → R2 (24)
ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ïîäìíîæåñòâ ïëîñêîñòè (s, τ):
1◦) τ = (a+ b)2, s ∈ [−a, 0) ∪ [b,+∞);
2◦) τ = (a− b)2, s ∈ [−a,−b] ∪ (0,+∞);
3◦) s = −a, τ > (a− b)2;
4◦) s = −b, τ > (a− b)2;
5◦) s = b, τ 6 (a+ b)2;
6◦) s = a, τ 6 (a+ b)2;
7◦) τ = 0, s ∈ (0,+∞);
8◦) τ = a2 + b2 − 2s2 + 2
√
(a2 − s2)(b2 − s2), s ∈ [−b, 0);
9◦) τ = a2 + b2 − 2s2 − 2
√
(a2 − s2)(b2 − s2), s ∈ (0, b];
10◦) τ = a2 + b2 − 2s2 + 2
√
(s2 − a2)(s2 − b2), s ∈ [a,+∞).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè çàâèñèìîñòè óðàâíåíèé ñèñòåìû (6) ïî îïðå-
äåëåíèþ ñ÷èòàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè äëÿ îòîáðàæåíèÿ (24). Ïîýòîìó â áèôóðêàöèîííóþ
äèàãðàììó íåîáõîäèìî âêëþ÷èòü çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå òåì èç òðàåêòîðèé (8), êîòîðûå
ïðèíàäëåæàò çàìûêàíèþ ìíîæåñòâà O∗, òî åñòü çíà÷åíèÿ (s, τ), ïðè êîòîðûõ ðàâåíñòâà
(18) äàþò çíà÷åíèÿ âèäà (9), (10).
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ëó÷ (10) öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ïîâåðõíîñòè (18). Åìó ñîîò-
âåòñòâóåò ìíîæåñòâî òî÷åê ñëó÷àÿ 1◦.
 òî æå âðåìÿ ïîâåðõíîñòè (18) ïðèíàäëåæàò ëèøü òî÷êè ëó÷à (9), óäîâëåòâîðÿþ-
ùèå íåðàâåíñòâó h2 > 4ab. Èì ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî òî÷åê ñëó÷àÿ 2◦.
Ñåãìåíò ëó÷à (9) â ïðåäåëàõ
−2
√
ab < h < 2
√
ab
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîìåðíóþ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ (5).
Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ òðàåêòîðèé (8) çíà÷åíèå s íå îïðåäåëåíî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òà-
êèå òðàåêòîðèè íå èìåþò ñêîëü óãîäíî áëèçêèõ òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà O∗. Íàëè÷èå
ÿâëåíèÿ, ïîðîæäàþùåãî èçîëèðîâàííóþ òî÷êó â áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììàõ ïðèâå-
äåííûõ ñèñòåì èëè ñèñòåì íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ, íàáëþäàëîñü ðàíåå ëèøü â
ñëó÷àå Êëåáøà.
Äëÿ äâèæåíèé èç O∗ ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó (22), (23).
Ââåäåì ïåðåìåííûå x, z, ïîëàãàÿ
x2 = x1x2, z2 = z1z2. (25)
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (23) âûðàçèì
y1y2 = 2p2 − x2 − 2z2, (26)
43
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
à ïåðâûå äâà ïðåäñòàâèì â âèäå
(z1 + z2)
2 = 2r2 − (x1y2 + x2y1) + 2z2,
(z1 − z2)
2 = 2r2 − (x1y2 + x2y1)− 2z2.
(27)
Çàïèøåì óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè (23) ïî z1, z2:
(r2 − x1y2)(r
2 − x2y1) = z4.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (26) íàéäåì
r2(x1y2 + x2y1) = r4 + 2p2x2 − (x2 + z2)2. (28)
Îáîçíà÷èì
Φ±(x, z) = (x2 + z2 ± r2)2 − 2(p2 ± r2)x2.
Èç (27), (28) èìååì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
r2(z1 + z2)
2 = Φ+(x, z), r2(z1 − z2)
2 = Φ−(x, z).
Ïîýòîìó îáëàñòü èçìåíåíèÿ x, z îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâàìè
Φ+(x, z) > 0, Φ−(x, z) 6 0. (29)
Çàìåòèì, ÷òî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (1) âêëþ÷åíû â ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé
Ω, íà îñòàëüíûõ æå äâèæåíèÿõ îïðåäåëèòåëü òðåõ ïåðâûõ óðàâíåíèé (22) ïî wi (i =
= 1, 2, 3) òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ. Èñêëþ÷àÿ èç ýòîãî óñëîâèÿ z2
1 , z
2
2 è ïðîèçâåäåíèå
y1y2 ñ ïîìîùüþ (23), (26), ïîëó÷èì
2s[(r2x1 − τy1) + (r2x2 − τy2)] = −r2(x1y2 + x2y1)+
+2[2s2(τ − x2) + p2(τ + x2)− τ(x2 + z2)].
(30)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ñ ó÷åòîì (25), (26) äàåò
(r2x1 − τy1)(r
2x2 − τy2) = r4x2 + τ(2p2 − x2 − 2z2)− r2τ(x1y2 + x2y1). (31)
Îáîçíà÷èì
σ = τ 2 − 2p2τ + r4, χ =
√
k > 0.
Èç âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ (18) ñëåäóåò òîæäåñòâî
4s2χ2 = σ + 4s2τ. (32)
Ââåäåì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ïåðåìåííûå
µ1 = r2x1 − τy1, µ2 = r2x2 − τy2.
Èñêëþ÷àÿ èç (30), (31) âûðàæåíèå x1y2 + x2y1 ñ ïîìîùüþ (28), ïîëó÷èì ñèñòåìó
2s(µ1 + µ2) = (x2 + z2 − τ)2 − 4s2x2 − 4s2χ2,
µ1µ2 = τ(x2 + z2 − τ)2 + σx2 − τσ.
(33)
44
Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà
Ïóñòü
λ1 =
√
2sµ1 + σ, λ2 =
√
2sµ2 + σ
âûáðàíû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè. Òîãäà ñèñòåìà (33) çàïèøåòñÿ â âèäå
(λ1 + λ2)
2 = Ψ+(x, z), (λ1 − λ2)
2 = Ψ−(x, z),
ãäå
Ψ±(x, z) = (x2 + z2 − τ ± 2sχ)2 − 4s2x2.
Óñëîâèÿ åå ðàçðåøèìîñòè
Ψ+(x, z) > 0, Ψ−(x, z) 6 0. (34)
Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (29), (34) çàäàåò íà ïëîñêîñòè (x, z) îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâè-
æåíèÿ (ÎÂÄ) � ïðîåêöèþ èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Ïðè çàäàííûõ s, τ èñõîäíûå
ïåðåìåííûå àëãåáðàè÷åñêè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç x, z. Áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå îòâå-
÷àþò ñëó÷àè ïåðåñòðîéêè ÎÂÄ ïðè èçìåíåíèè s, τ êàê ïàðàìåòðîâ.
Ââåäåì íà ïëîñêîñòè (x, z) êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû s1, s2, ïîëàãàÿ
s1 =
x2 + z2 + r2
2x
, s2 =
x2 + z2 − r2
2x
.
Íåðàâåíñòâà (29) ìãíîâåííî ðàçðåøàþòñÿ
s2
1 > a2, s2
2 6 b2. (35)
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè (x, z) ïîêàçàíà íà ðèñ. 1 äëÿ ïåðâîãî êâàäðàíòà.
Óêàçàíà òàêæå è êîîðäèíàòíàÿ ñåòü (s1, s2).
Ðèñ. 1. Äîïóñòèìàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè (x, z).
Ïóñòü Π1 � ïðÿìîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè (s1, s2) ñ âåðøèíàìè s1 = ±a, s2 = ±b. Äëÿ
ðåøåíèÿ ñèñòåìû (34) âûðàçèì
x2 + z2 − τ = [s1 + s2 −
τ
r2
(s1 − s2)]x,
Ψ+(x, z) = x2Λ+Λ−, Ψ−(x, z) = x2M+M−,
(36)
ãäå
Λ±(s1, s2) = s1 + s2 −
τ − 2sχ
r2
(s1 − s2)± 2s,
M±(s1, s2) = s1 + s2 −
τ + 2sχ
r2
(s1 − s2)± 2s.
45
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
Èç (34), (36) èìååì
Λ+(s1, s2)Λ−(s1, s2) > 0, M+(s1, s2)M−(s1, s2) 6 0. (37)
Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëîãðàìì Π2, îáðàçîâàííûé ïðÿìûìè Λ± = 0, M± = 0. Ðåøåíèÿ
ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (37) çàïîëíÿþò äâå ïîëóïîëîñû, ïðèìûêàþùèå ê ñòîðîíàì Π2,
ëåæàùèì íà ïðÿìûõ Λ± = 0.
Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåí ïðèìåð îáëàñòè âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ â ïëîñêîñòè (s1, s2) �
ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (35), (37).
Ðèñ. 2. Ïðèìåð îáëàñòè âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ (a = 1, b = 0.4, τ = 1.2, s = −0.6).
Äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî òåõíè÷åñêèì. Áèôóðêàöèè ÎÂÄ ïðîèñ-
õîäÿò â îäíîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ: ïîïàäàíèå âåðøèíû îäíîãî èç ïàðàëëåëîãðàììîâ
Π1,Π2 íà ãðàíèöó äðóãîãî, ñîîòâåòñòâåííàÿ ïàðàëëåëüíîñòü ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììîâ
Π1,Π2 (óõîä âåðøèí ÎÂÄ íà áåñêîíå÷íîñòü), âûðîæäåíèå ïîëóïîëîñ â ëó÷. Ïåðå÷èñëèâ
âñå òàêèå ñëó÷àè, ïðèäåì ê óðàâíåíèÿì, ôèãóðèðóþùèì â òåîðåìå. Ïóñòü ∆ � îïðåäåëÿ-
åìîå ýòèìè óðàâíåíèÿìè ìíîæåñòâî â ïëîñêîñòè R2(s, τ). Ïåðåáèðàÿ ñâÿçíûå êîìïîíåí-
òû ìíîæåñòâà R2(s, τ)\∆, îòáðîñèì òå èç íèõ, äëÿ êîòîðûõ îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâè-
æåíèÿ ïóñòà. Îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû (îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå
êîíñòàíò èíòåãðàëîâ) çàòåíåíû íà ðèñ. 3.  áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó âêëþ÷àþòñÿ
òå ó÷àñòêè ∆, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ãðàíè÷íûìè äëÿ îñòàâøèõñÿ êîìïîíåíò, çà èñêëþ÷å-
íèåì îòðåçêîâ êîîðäèíàòíîé îñè s = 0, òàê êàê íóëåâîå çíà÷åíèå s íåäîïóñòèìî â ñèëó
(18). Îòñþäà ïîëó÷àåì íåîáõîäèìûå íåðàâåíñòâà. Òåîðåìà äîêàçàíà.�
4. Î âîçìîæíîñòè ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáîçíà÷èì
ξ = x2 + z2 − τ
è ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå (x, ξ, µ) ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà
µ2 = τξ2 + σx2 − τσ. (38)
 ñèëó âòîðîãî óðàâíåíèÿ (33), ëþáàÿ òðàåêòîðèÿ èçîáðàæàåòñÿ êðèâîé íà ýòîé
ïîâåðõíîñòè.
Î÷åâèäíî, ïîñòîÿííûå τ, σ íå ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî îòðèöàòåëüíûìè. Ïîýòîìó
ïîâåðõíîñòü (38) èìååò äâà ñåìåéñòâà ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ.
46
Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà
Ðèñ. 3. Îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ äâèæåíèé â ïëîñêîñòè (s, τ).
Îòìåòèì äâà òîæäåñòâà, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò ââåäåííûå êîíñòàíòû
σ + 2τ(p2 ± r2) = (τ ± r2)2. (39)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ñèëó (32), (39) óðàâíåíèÿ Φ± = 0, Ψ± = 0 íà ïëîñêîñòè (x, ξ)
îïðåäåëÿþò ñèñòåìó ïðÿìûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ êàñàåòñÿ ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè (38)
ïëîñêîñòüþ µ = 0 è ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé êàêîé-ëèáî èç îáðàçóþùèõ ïîâåðõíîñòè (38).
Ïîñêîëüêó ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïîâåðõíîñòè (38) ïðîõîäèò ðîâíî äâå îáðàçóþùèõ, òî
èõ ïàðàìåòðû ìîãóò áûòü âçÿòû â êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â òîé îáëàñòè íà
ïëîñêîñòè (x, ξ), êîòîðàÿ íàêðûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ (38).
Íå óòî÷íÿÿ âîïðîñû âåùåñòâåííîñòè ïåðåìåííûõ, ïîëîæèì ôîðìàëüíî
ξ =
√
σ
uv + 1
u+ v
, x =
√
τ
u− v
u+ v
.
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
Φ+ =
1
(u+ v)2
ϕ1(u)ϕ1(v), Φ− =
1
(u+ v)2
ϕ2(u)ϕ2(v),
Ψ+ =
1
(u+ v)2
ψ1(u)ψ1(v), Ψ− =
1
(u+ v)2
ψ2(u)ψ2(v),
ãäå
ϕ1(w) =
√
σ(1 + w2) + 2(τ + r2)w, ϕ2(w) =
√
σ(1 + w2) + 2(τ − r2)w,
ψ1(w) =
√
σ(1 + w2) + 4sχw, ψ2(w) =
√
σ(1 + w2)− 4sχw.
 ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ (u, v) íåðàâåíñòâà (29), (34) îïðåäåëÿò ñîâîêóïíîñòü ïðÿ-
ìîóãîëüíèêîâ ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Òîò ôàêò, ÷òî êàæäàÿ
ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ëþáîãî èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ èçîáðàæàåòñÿ òàêèì ïðÿìî-
óãîëüíèêîì (à ïðè áèôóðêàöèÿõ � îòðåçêîì èëè ïàðîé ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îáùåé ñòîðî-
íîé), ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî â ýòèõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàçäåëÿþòñÿ.
47
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
Ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè ñëèøêîì ãðîìîçäêè è âûõîäÿò çà ðàìêè äàííîé ðàáîòû.
Óêàæåì ëèøü ñâÿçü ñ óñòàíîâëåííûì âûøå ðåçóëüòàòîì.
Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí
Q(w) = ϕ1(w)ϕ2(w)ψ1(w)ψ2(w) (40)
è óñòàíîâèì âñå ñëó÷àè íàëè÷èÿ ó íåãî êðàòíîãî êîðíÿ.
Ðåçóëüòàíò Q(w) è Q′(w) ïî w ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ðàâåí
s4τ 12(τ 2 − 2p2τ + r4)14[2s2 − (p2 − r2)]4[2s2 − (p2 + r2)]4[τ 2 − 2(p2 − 2s2)τ + r4]2. (41)
Êàê îòìå÷àëîñü, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (18), íà ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå äâèæåíèé
s 6= 0. Îñòàëüíûå ñëó÷àè îáðàùåíèÿ â íóëü âûðàæåíèÿ (41) ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèÿì,
ïåðå÷èñëåííûì â òåîðåìå 3. Ïîýòîìó íàéäåííàÿ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñîäåðæèò-
ñÿ â äèñêðèìèíàíòíîì ìíîæåñòâå ìíîãî÷ëåíà (40). Òàêîå ÿâëåíèå òèïè÷íî èìåííî äëÿ
ñèñòåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.
1. Àïïåëüðîò Ã.Ã. Íå âïîëíå ñèììåòðè÷íûå òÿæåëûå ãèðîñêîïû // Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà âîêðóã
íåïîäâèæíîé òî÷êè. � 1940. � Ì.-Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ. � Ñ. 61�156.
2. Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Äâà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà â ñèëîâîì ïîëå // Äîêë.
ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1984. � 275, � 6. � Ñ. 1359�1363.
3. Êîâàëåâñêàÿ Ñ.Â. Çàäà÷à î âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè // Íàó÷í. ðàáîòû. �
Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1948. � Ñ. 153�220.
4. Ðåéìàí À.Ã., Ñåìåíîâ-Òÿí-Øàíñêèé Ì.À. Ëàêñîâî ïðåäñòàâëåíèå ñî ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì
äëÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé è åãî îáîáùåíèé // Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. � 1988. � 22, � 2. �
Ñ. 87�88.
5. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà çàäà÷è î äâèæåíèè âîë÷êà
Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2004. � Âûï. 34. � Ñ. 47�58.
6. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îäèí êëàññ ðåøåíèé ñ äâóìÿ èíâàðèàíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè çàäà÷è î äâèæåíèè
âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîñòîÿííîì ïîëå // Òàì æå. � 2002. � Âûï. 32. � Ñ. 32�38.
7. Õàðëàìîâ Ì.Ï., Ñàâóøêèí À.Þ. Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ è èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ â îäíîé
÷àñòíîé çàäà÷å î äâèæåíèè îáîáùåííîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé // Óêð. ìàòåìàò. âåñòíèê. � 2004. �
1, âûï. 4. � Ñ. 548�565.
8. Õàðëàìîâ Ì.Ï., Ñàâóøêèí À.Þ, Øâåäîâ Å.Ã. Áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî â îäíîé çàäà÷å î äâè-
æåíèè îáîáùåííîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 10�19.
9. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case // Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äè-
íàìèêà. � 2000. � 5, � 4. � Ñ. 437�458.
Âîëãîãðàäñêàÿ àêàäåìèÿ ãîñ. ñëóæáû, Ðîññèÿ
mharlamov@vags.ru
Ïîëó÷åíî 01.10.05
48
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123761 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:12:49Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Харламов, М.П. 2017-09-09T14:37:24Z 2017-09-09T14:37:24Z 2005 Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 38-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123761 531.38 Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 34, 2004), в которой получены обобщения классов Аппельрота движений волчка Ковалевской для случая двойного силового поля. Рассматривается аналог 4-го класса Аппельрота. Траектории этого семейства заполняют поверхность, четырехмерную в окрестности своих точек общего положения. Указаны два частных интеграла, образующих полную систему. Найдена их бифуркационная диаграмма и область значений соответствующих постоянных. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота Article published earlier |
| spellingShingle | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота Харламов, М.П. |
| title | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота |
| title_full | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота |
| title_fullStr | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота |
| title_full_unstemmed | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота |
| title_short | Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота |
| title_sort | бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса аппельрота |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123761 |
| work_keys_str_mv | AT harlamovmp bifurkacionnaâdiagrammaobobŝeniâ4goklassaappelʹrota |