Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения
Проведено интегрирование дифференциальных уравнений Д. Гриоли в случае, когда они допускают одно инвариантное соотношение, которое является линейным по компонентам кинетического момента и нелинейным по компонентам единичного вектора оси симметрии силового поля. На основании первых интегралов и исход...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123762 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения / Г.В. Горр, Х.М. Яхья, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 49-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859803459415441408 |
|---|---|
| author | Горр, Г.В. Яхья, Х.М. Щетинина, Е.К. |
| author_facet | Горр, Г.В. Яхья, Х.М. Щетинина, Е.К. |
| citation_txt | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения / Г.В. Горр, Х.М. Яхья, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 49-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Проведено интегрирование дифференциальных уравнений Д. Гриоли в случае, когда они допускают одно инвариантное соотношение, которое является линейным по компонентам кинетического момента и нелинейным по компонентам единичного вектора оси симметрии силового поля. На основании первых интегралов и исходного инвариантного соотношения система уравнений Гриоли Пуассона преобразована к системе второго порядка. С помощью теории интегрирующего множителя для определенных классов инвариантных соотношений получен интеграл приведенной системы, что позволяет установить зависимости основных переменных задачи от времени.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:15:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. Ã.Â. Ãîðð, Õ.Ì. ßõüÿ, Å.Ê. Ùåòèíèíà
ÎÁ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÈ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÃÐÈÎËÈ
 ÑËÓ×ÀÅ ÎÄÍÎÃÎ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÃÎ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß
Ïðîâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ä. Ãðèîëè â ñëó÷àå, êîãäà îíè äîïóñêàþò
îäíî èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïî êîìïîíåíòàì êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà
è íåëèíåéíûì ïî êîìïîíåíòàì åäèíè÷íîãî âåêòîðà îñè ñèììåòðèè ñèëîâîãî ïîëÿ. Íà îñíîâàíèè ïåðâûõ
èíòåãðàëîâ è èñõîäíîãî èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Ãðèîëè�Ïóàñcîíà ïðåîáðàçî-
âàíà ê ñèñòåìå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ñ ïîìîùüþ òåîðèè èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ äëÿ îïðåäåëåííûõ
êëàññîâ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé ïîëó÷åí èíòåãðàë ïðèâåäåííîé ñèñòåìû, ÷òî ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü
çàâèñèìîñòè îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ çàäà÷è îò âðåìåíè.
Ââåäåíèå.Ìíîãèå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó,
îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé øåñòè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äîïóñêàþùèõ òðè ïåðâûõ
èíòåãðàëà. Ïðè ýòîì ïðàâûå ÷àñòè ýòîé ñèñòåìû íå çàâèñÿò îò òåõ ïåðåìåííûõ, îòíîñè-
òåëüíî êîòîðûõ îíè ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûìè ïî âðåìåíè. Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ äâèæå-
íèÿ òâåðäîãî òåëà ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëüíûõ è ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë, ïîëó÷åííûå
Ä. Ãðèîëè [1], èìåþò âèä
ẋ = x× ax+ µ(ν1, ν2, ν3)(ν × ax) +
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν
× ax+
+
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν
× ν, ν̇ = ν × ax, (1)
ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: x = (x1, x2, x3)− ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ
òåëà; ν = (ν1, ν2, ν3)− åäèíè÷íûé âåêòîð îñè ñèììåòðèè ñèëîâîãî ïîëÿ; a = (aij)
� ãèðàöèîííûé òåíçîð, âû÷èñëåííûé â íåïîäâèæíîé òî÷êå; µ(ν1, ν2, ν3), L(ν1, ν2, ν3),
U(ν1, ν2, ν3)− äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè;
∂L
∂ν
=
(
∂L
∂ν1
,
∂L
∂ν2
,
∂L
∂ν3
)
,
∂U
∂ν
=
(
∂U
∂ν1
,
∂U
∂ν2
,
∂U
∂ν3
)
;
òî÷êà íàä ïåðåìåííûìè x è ν îáîçíà÷àåò îòíîñèòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t.
Óðàâíåíèÿ (1) èìåþò ïåðâûå èíòåãðàëû
x · ax− 2U(ν1, ν2, ν3) = 2E, x · ν + L(ν1, ν2, ν3) = k, ν · ν = 1. (2)
Çäåñü E è k � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Åñëè â óðàâíåíèÿõ (1) ïîëîæèì
µ(ν1, ν2, ν3) = 0, U(ν1, ν2, ν3) = s · ν − 1
2
(Cν · ν), L(ν1, ν2, ν3) = λ · ν − 1
2
(Bν · ν), (3)
ãäå s = (s1, s2, s3), λ = (λ1, λ2, λ3)− ïîñòîÿííûå âåêòîðû, B = (Bij), C = (Cij)− ïîñòî-
ÿííûå ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ Êèðõãîôà [2]
49
Ã.Â. Ãîðð, Õ.Ì. ßõüÿ, Å.Ê. Ùåòèíèíà
(èñòîðèÿ ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé Êèðõãîôà è ðàçëè÷íûå ôîðìû ýòèõ è îáîáùåííûõ
óðàâíåíèé èçëîæåíû â ðàáîòå [3]):
ẋ = (x+ λ)× ax+ ax×Bν + ν × (Cν − s), ν̇ = ν × ax. (4)
Íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèé (3) ïåðâûå èíòåãðàëû (2) ïðèìóò âèä
x · ax− 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, (x+ λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k, ν · ν = 1. (5)
Êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà�Ïóàññîíà çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî
òåëà âûòåêàþò èç óðàâíåíèé (4) ïðè óñëîâèÿõ λ = 0, B = 0, C = 0.
Ñîãëàñíî òåîðèè èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ ßêîáè, êîòîðàÿ ïîäðîáíî èçëîæåíà
â [4], äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé (1) ñ èíòåãðàëàìè (2) äîñòàòî÷íî çíàòü äîïîë-
íèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë ýòèõ óðàâíåíèé. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ óðàâíåíèé Ýéëåðà�
Ïóàññîíà èçâåñòíû òðè ñëó÷àÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà (Ýé-
ëåðà, Ëàãðàíæà, Êîâàëåâñêîé). Äëÿ óðàâíåíèé (4) èìåþò ìåñòî ïÿòü ñëó÷àåâ ñóùåñòâî-
âàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ê ñîîòíîøåíèÿì (5) ïåðâîãî èíòåãðàëà (äâà ñëó÷àÿ Êëåáøà,
Êèðõãîôà, Ñòåêëîâà, Ëÿïóíîâà). Îáçîðû îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè
äàíû â ðàáîòàõ [5�7].
Ïîñêîëüêó äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (4) íåèíòåãðèðóåìû â êâàäðàòóðàõ [8,
9], â íàó÷íîé ëèòåðàòóðå ïî äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà èíòåíñèâíî èçó÷àþòñÿ èíâàðè-
àíòíûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïðè ýòîì íàèáîëåå ïîëíî èññëåäîâàíû ëèíåéíûå èíâàðèàíòíûå
ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ â ñèëó óðàâíåíèé äâèæå-
íèÿ îò èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ íà ýòîì èíâàðèàíòíîì
ñîîòíîøåíèè [10]. Â. Ãåññ [11] èçó÷àë ëèíåéíûå èíâàðèàíòíûå ñîîòíîøåíèÿ â êëàññè-
÷åñêîé çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, Ë.Í. Ñðåòåíñêèé [12] � â çàäà÷å î
äâèæåíèè òÿæåëîãî ãèðîñòàòà, Ñ.À. ×àïëûãèí [13] è Ï.Â. Õàðëàìîâ [5, 14] � â çàäà÷å î
äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòè.  ðàáîòàõ [13�16] ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ïðîáëå-
ìû èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé (4) íà ëèíåéíîì èíâàðèàíòíîì ñîîòíîøåíèè. Â ðàáîòå
[17] âûïîëíåíî èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé (1) â ñëó÷àå, êîãäà ýòè óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò
ëèíåéíîå èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå ïî âñåì ïåðåìåííûì. Ðàáîòû [18�20] ïîñâÿùåíû
èññëåäîâàíèþ âîïðîñîâ ñóùåñòâîâàíèÿ ó óðàâíåíèé (1) èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ
ñëåäóþùåãî âèäà
x1 − g(ν1, ν2, ν3) = 0 , (6)
ãäå g(ν1, ν2, ν3) � çàäàííàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ ν1, ν2, ν3.
 äàííîé ðàáîòå ïðîäîëæåíî èçó÷åíèå ñîîòíîøåíèÿ (6), íà÷àòîå â ðàáîòå [20]. Èñ-
ïîëüçóÿ â èññëåäîâàíèè ñîîòíîøåíèÿ (6) ãëàâíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, àâòîð ñòàòüè [20]
ïîëó÷èë âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé µ(ν1, ν2, ν3), L(ν1, ν2, ν3), U(ν1, ν2, ν3), à èíòåãðèðî-
âàíèå ñèñòåìû (1) ñâåë ê èíòåãðèðîâàíèþ ñêàëÿðíîé ñèñòåìû òðåòüåãî ïîðÿäêà. Íà
îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ [14�17] äëÿ îïðåäåëåííûõ òèïîâ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé â
êëàññå (6) â äàííîé ñòàòüå âûïîëíåíî èíòåãðèðîâàíèå ðåäóöèðîâàííîé ñèñòåìû [20],
÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ çàäà÷è (1) îò âðåìåíè.
1. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ (6). Ïîòðåáóåì,
÷òîáû ïðîèçâîäíàÿ îò ëåâîé ÷àñòè èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ (6) â ñèëó ñêàëÿðíûõ
óðàâíåíèé, âûòåêàþùèõ èç âåêòîðíîé ñèñòåìû (1), áûëà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ ïðè
x1 = g(ν1, ν2, ν3). Òîãäà ïîëó÷èì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ
a23 = a12 = 0, a33 = a22, (7)
50
Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Ãðèîëè â ñëó÷àå îäíîãî èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ
a13g(ν1, ν2, ν3)+a22
(
ν3
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
− ν1
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
− ∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
− ν3µ(ν1, ν2, ν3)
)
= 0,
(8)
a22
(
ν1
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
− ν2
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
+
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
+ ν2µ(ν1, ν2, ν3)
)
+
+a13
(
ν2
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
− ν3
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
)
= 0, (9)
g(ν1, ν2, ν3)
[
a13
(
ν1
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
− ν2
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
+
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
+ ν2µ(ν1, ν2, ν3)
)
+
+a11
(
ν2
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
− ν3
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
)]
+ ν3
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
− ν2
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
= 0. (10)
Èç ðàâåíñòâ (7) âûòåêàåò, ÷òî ïåðâàÿ êîîðäèíàòíàÿ îñü, ïðîåêöèÿ âåêòîðà x, íà
êîòîðóþ îïðåäåëåíà ñîîòíîøåíèåì (6), ïåðïåíäèêóëÿðíà êðóãîâîìó ñå÷åíèþ ãèðàöè-
îííîãî ýëëèïñîèäà. Ò. å. óñëîâèÿ (7) ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì óñëîâèÿ Ãåññà [11, 12].
Âûïèøåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (8)�(10):
L(ν1, ν2, ν3) =
1
a22
[g(ν1, ν2, ν3)(a13ν3 − a22ν1) + Φ(ν1)] ,
2U(ν1, ν2, ν3) =
1
a22
[
(a11a22 − a2
13)g
2(ν1, ν2, ν3) + f(ν1)
]
, (11)
µ(ν1, ν2, ν3) =
1
a22
(
a22
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
− a13
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
)
,
ãäå Φ(ν1) è f(ν1) � ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ïåðåìåííîé ν1.
Ïðè íàëè÷èè ñîîòíîøåíèé (11) èç ïåðâîãî äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ è óðàâíåíèé
Ïóàññîíà ñèñòåìû (1) âûòåêàåò
(
x1 − g(ν1, ν2, ν3)
)•
=
(
x1 − g(ν1, ν2, ν3)
)[
a13x2+
+
(a11a22 − a2
13)
a22
(
ν2
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
− ν3
∂g(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
)]
. (12)
Óðàâíåíèå (12) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ëåâè�×èâèòà [10] äëÿ èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ
(6).
Åñëè ïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ µ(ν1, ν2, ν3) ≡ 0, òî èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû
(11) ñëåäóåò, ÷òî g = g(ν2, a13ν1 + a2ν3).
2. Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (1). Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé (1) ñ ó÷åòîì
óñëîâèé (6), (7), (11) îáðàòèìñÿ ê ñîîòíîøåíèÿì (2). Èç íèõ íàéäåì
x2 =
1
a22(ν2
2 + ν2
3)
[
ν2(a22k − Φ(ν1))− ν3
√
D(ν1, ν2, ν3)
]
,
(13)
51
Ã.Â. Ãîðð, Õ.Ì. ßõüÿ, Å.Ê. Ùåòèíèíà
x3 =
1
a22(ν2
2 + ν2
3)
[
ν3(a22k − Φ(ν1))− a13(ν
2
2 + ν2
3)g(ν1, ν2, ν3) + ν2
√
D(ν1, ν2, ν3)
]
,
ãäå
D(ν1, ν2, ν3) = (ν2
2 + ν2
3)(2a22E + f(ν1))− (ka22 − Φ(ν1))
2. (14)
Ïîñêîëüêó âûðàæåíèÿ (13) íå ñîäåðæàò äðóãèõ îñîáåííîñòåé, êðîìå ñëó÷àÿ ν2
2 +ν2
3 = 0,
òî, ïîëàãàÿ â äàëüíåéøåì ν1 6= 1, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âòîðûì è òðåòüèì äèíàìè÷åñêèì
óðàâíåíèÿìè, âûòåêàþùèìè èç (1). Âìåñòî ýòèõ óðàâíåíèé áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñîîò-
íîøåíèÿ (6), (13), (14) è óðàâíåíèå Ïóàññîíà èç (1).
Ââåäåì âìåñòî ïåðåìåííûõ ν1, ν2, ν3 ïåðåìåííûå θ, ϕ
ν1 = cos θ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = sin θ sinϕ. (15)
Òîãäà ãåîìåòðè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå ν · ν = 1 ñòàíîâèòñÿ òîæäåñòâîì. Èñïîëüçóÿ ôîð-
ìóëû (13)�(15), âíåñåì âûðàæåíèÿ äëÿ x1 èç (6), x2 è x3 èç (13) â óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
èç ñèñòåìû (1)
θ̇ = − 1
sin θ
√
∆(cos θ), (16)
a22 sin θ ·
√
∆(cos θ)dϕ− [(a11a22 − a2
13)g(cos θ, sin θ cosϕ, sin θ sinϕ) sin2 θ+
+(a13 sin θ sinϕ− a22 cos θ)(ka22 − Φ(cos θ)) + a13 sin θ cosϕ ·
√
∆(cos θ)]dθ = 0. (17)
Çäåñü
∆(cos θ) = (1− cos2 θ)(2a22E + f(cos θ))− (ka22 − Φ(cos θ))2. (18)
Óðàâíåíèå (16) èíòåãðèðóåòñÿ íåçàâèñèìî îò óðàâíåíèÿ (17):
cos θ∫
cos θ0
d cos θ√
∆ cos θ
= t− t0. (19)
Çàâèñèìîñòü θ = θ(t) ìîæíî íàéòè ïóòåì îáðàùåíèÿ èíòåãðàëà (19).
Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (17) ïîëîæèì
g(cos θ, sin θ cosϕ, sin θ sinϕ) = G0(θ) +G1(θ) cosϕ+G2(θ) sinϕ, (20)
ãäå Gi (i = 0, 1, 2)− çàäàííûå ôóíêöèè îò ïåðåìåííîé θ. Òîãäà â ñèëó (20) èç (17)
ïîëó÷èì
a22 sin θ
√
∆ cos θdϕ− (L0(θ) + L1(θ) cosϕ+ L2(θ) sinϕ)dθ = 0. (21)
Çäåñü
L0(θ) = a0G0(θ) sin2 θ − a22(ka22 − Φ(cos θ)) cos θ,
L1(θ) = [a0G1(θ) sin θ + a13
√
∆(cos θ)] sin θ, (a0 = a11a22 − a2
13), (22)
L2(θ) = [a0G2(θ) sin θ + a13(ka22 − Φ(cos θ))] sin θ.
Èçâåñòíî [13, 14], ÷òî óðàâíåíèÿ òèïà (21) ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèþ Ðèêêàòè. Íàïðè-
ìåð, çàìåíà u = tg
ϕ
2
ïîçâîëÿåò óðàâíåíèå (21) ïðèâåñòè ê âèäó
2a22 sin θ
√
∆(cos θ)u′θ + (L1(θ)− L0(θ))u
2 − 2L2(θ)u− (L0(θ) + L1(θ)) = 0. (23)
52
Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Ãðèîëè â ñëó÷àå îäíîãî èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ
Óðàâíåíèå (23) ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ ïðè óñëîâèè L1(θ) = L0(θ), ò. å. ïðè âûïîëíå-
íèè ðàâåíñòâà
a22(ka22 − Φ(cos θ)) cos θ =
[
a0(G0(θ)−G1(θ)) sin θ − a13
√
∆(cos θ)
]
sin θ. (24)
Çàâèñèìîñòü ϕ = ϕ(θ) îïðåäåëåíà ôîðìóëîé
ϕ(θ) = 2arctg
[
N(θ)
(
1
a22
∫
L0(θ)dθ
N(θ)
√
∆(cos θ) sin θ
+ c1
)]
, (25)
ãäå N(θ) = exp
(
1
a22
∫
L0(θ)dθ√
∆(cos θ) sin θ
)
, c1 � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ðàâåíñòâî (24) ñâÿçûâàåò ôóíêöèè Φ(cos θ) è f(cos θ). Åñëè a13 = 0, òî ðàâåíñòâî
(24) äàåò óñëîâèå íà ôóíêöèþ Φ(cos θ):
Φ(cos θ) = ka22 +
[G0(θ)−G1(θ)] sin
2 θ
cos θ
,
à ôóíêöèÿ f(cos θ) îñòàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé. Òàê êàê âûðàæåíèå (18) ïðèíèìàåò âèä
∆(cos θ) = [2a22E + f(cos θ)] sin2 θ − [G0(θ)−G1(θ)]
2 sin4 θ
cos2 θ
,
òî ôóíêöèè θ(t) è ϕ(t) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñîîòíîøåíèÿìè (19) è (25), îíè
áóäóò äåéñòâèòåëüíûìè, åñëè ïîñòîÿííóþ E âçÿòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé.
3. Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ (21) ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðóþùåãî ìíîæè-
òåëÿ. Ðàññìîòðèì èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ (21) ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðóþùåãî ìíîæè-
òåëÿ. Ïî àíàëîãèè ñ [13�17] çàäàäèì åãî â âèäå
M(ϕ, θ) =
1
F (ϕ, θ)
√
∆(cos θ) sin θ
, F (ϕ, θ) = ψ0(θ) + ψ1(θ) cosϕ+ ψ2(θ) sinϕ . (26)
Ìíîæèòåëü (26) ñóùåñòâóåò, åñëè ôóíêöèè ψi(θ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì
a22
√
∆(cos θ)ψ′
0(θ) sin θ = ψ1(θ)L2(θ)− ψ2(θ)L1(θ),
a22
√
∆(cos θ)ψ′
1(θ) sin θ = ψ0(θ)L2(θ)− ψ2(θ)L0(θ), (27)
a22
√
∆(cos θ)ψ′
2(θ) sin θ = ψ1(θ)L0(θ)− ψ0(θ)L1(θ).
Åñëè íàéäåíî ðåøåíèå óðàâíåíèé (27), òî óðàâíåíèå (23) èìååò ïåðâûé èíòåãðàë V (ϕ, θ) =
= c2 (c2 � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ), äëÿ êîòîðîãî
∂V (ϕ, θ)
∂ϕ
= F−1(ϕ, θ),
∂V (ϕ, θ)
∂θ
= −L0(θ) + L1(θ) cosϕ+ L2(θ) sinϕ
F (ϕ, θ)
√
∆(cos θ) sin θ
. (28)
Óðàâíåíèÿ (27) èìåþò ïåðâûé èíòåãðàë
ψ2
0(θ)− ψ2
1(θ)− ψ2
2(θ) = c3, (29)
53
Ã.Â. Ãîðð, Õ.Ì. ßõüÿ, Å.Ê. Ùåòèíèíà
ãäå c3 � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ñèñòåìà (27) èìåëà ðåøåíèå ψ1(θ) = βi (i = 0, 1, 2), ãäå βi �
ïîñòîÿííûå. Òîãäà ïîëó÷èì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
Φ(cos θ) = ka22 −
a0(β2G0(θ)− β0G2(θ)) sin2 θ
a13β0 sin θ + a22β2 cos θ
, (30)
a13(β0a13 sin θ + β2a22 cos θ)
√
∆(cos θ) = a0[β1(a13G0(θ) sin θ + a22G2(θ) cos θ)−
−G1(θ)(β0a13 sin θ + β2a22 cos θ)] sin θ. (31)
Ðàâåíñòâî (30) ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì íà ôóíêöèþ Φ(cos θ). Ðàâåíñòâî (31) ïðè a13 6= 0
ñëóæèò îãðàíè÷åíèåì íà ôóíêöèþ f(cos θ), à ïðè a13 = 0 ïåðåõîäèò â óñëîâèå
G1(θ) =
β1[a13G0(θ) sin θ + a22G2(θ) cos θ)]
β2a22 cos θ
,
êîòîðîå ñâÿçûâàåò ôóíêöèè Gi(θ).
Êîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ (30), (31), óðàâíåíèå (21) èíòåãðèðóåòñÿ â êâàäðàòóðàõ,
÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè çàâèñèìîñòü ϕ(θ). Ïðè ýòîì âîçíèêàþò òðè âàðèàíòà. Çäåñü ðàñ-
ñìîòðèì äâà èç íèõ.
 ïåðâîì âàðèàíòå ïîëàãàåì β =
√
β2
1 + β2
2 > β0, òîãäà
ϕ(θ) = arctg
β2
β1
+ arctg
√
b+ β0
b− β0
th
γ1[Fi(θ) + c2]
2
, (32)
ãäå c2− ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ è
γ1 =
√
β2
1 + β2
2 − β2
0 , F1(θ) =
a11
β1
∫
G1(θ)dθ√
∆(cos θ)
, (33)
F2(θ) =
a13
a22
∫
dθ
χ(θ)
, χ(θ) = β1 −
G1(θ)(β0a13 sin θ + β2a22 cos θ)
a13G0(θ) sin θ + a22G2(θ) cos θ
. (34)
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóëû (32) ñëåäóåò ïðè a13 = 0 âûáèðàòü ôóíêöèþ F1(θ) èç (33),
à ïðè a13 6= 0 âûáèðàòü ôóíêöèþ F2(θ) èç (34).
Âî âòîðîì âàðèàíòå ïîëàãàåì b < β0, òîãäà
ϕ(θ) = arctg
β2
β1
+ 2arctg
√
β0 + b
β0 − b
tg
γ2[Fi(θ) + c4]
2
, (35)
ãäå γ2 =
√
β2
0 − β2
1 − β2
2 , c4 � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à Fi(θ) âûáèðàåòñÿ ïî àíàëîãèè
ñ ïåðâûì âàðèàíòîì.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ çàâèñèìîñòè θ(t) ïðè çàäàííûõ ôóíêöèÿõ Gi (i = 0, 1, 3) íåîá-
õîäèìî â óðàâíåíèå (19) ïîäñòàâèòü çíà÷åíèå
√
∆(cos θ), íàéäåííîå èç ðàâåíñòâà (31).
Òîãäà çàâèñèìîñòè îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ çàäà÷è (1) îò âðåìåíè ìîæíî îïðåäåëèòü ñ
ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (6), (13), (32)�(35).
54
Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Ãðèîëè â ñëó÷àå îäíîãî èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ
Ïðèâåäåì âòîðîé ñëó÷àé ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (27). Èñïîëüçóÿ ïîëó-
îáðàòíûé ìåòîä, áóäåì ïðåäïîëàãàòü çàäàííûìè íå ôóíêöèè Gi(θ), à ôóíêöèè ψi(θ).
Ïîëîæèì â ñèñòåìå (27) L0(θ) = 0, ψ0(θ) =
√
∆(cos θ). Òîãäà èç (22), (27) ïîëó÷èì
G1(θ) = − 1
a0 sin θ
(
a22ψ
′
2(θ) + a13ψ(θ)
)
, ψ(θ) =
√
ψ2
1(θ) + ψ2
2(θ) + c3,
G2(θ) =
2
a0a22 sin 2θ
[
a2
22ψ
′
1(θ) cos θ − a0a13G0(θ) sin2 θ
]
, (36)
Φ(cos θ) = ka22 −
a0G0(θ) sin2 θ
a22 cos θ
,
f(cos θ) =
4
a2
22 sin2 2θ
[
a2
0G
2
0(θ) sin4 θ + a2
22ψ
2(θ) cos2 θ
]
− 2a22E.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëà óðàâíåíèÿ (21) ôîðìóëû (25) ïåðåïèøåì â âèäå
∂V (ϕ, θ)
∂ϕ
=
1
ψ(θ) + ν(θ) cos(ϕ− α(θ))
, tgα(θ) =
ψ2(θ)
ψ1(θ)
,
(37)
∂V (ϕ, θ)
∂θ
=
ψ′
2(θ) cosϕ− ψ′
1(θ) sinϕ
ψ(θ)[ψ(θ) + ν(θ) cos(ϕ− α(θ))]
, ν2(θ) = ψ2
1(θ) + ψ2
2(θ).
Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé (37) ïðîâåäåì â äâóõ ñëó÷àÿõ.  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëàãà-
åì c3 > 0. Òîãäà èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (21) òàêîâ
2
√
c3
arctg
√
ψ(θ)− ν(θ)
ψ(θ) + ν(θ)
tg
ϕ− α(θ)
2
+K(θ) = c5, (38)
ãäå c5− ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à c3− ôèêñèðîâàííàÿ ïîñòîÿííàÿ.
K(θ) =
∫
ψ−1(θ)
(
arctg
ψ2(θ)
ψ1(θ)
)′
dθ. (39)
Èç ðàâåíñòâà (38) ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòü ϕ = ϕ(θ).
 ñëó÷àå c3 < 0 èç ñîîòíîøåíèé (37) íàéäåì
ϕ(θ) = arctg
ψ2(θ)
ψ1(θ)
+ 2arctg
P (θ)√
−c3
th
√
−c3(c6 −K(θ))
2
. (40)
Çäåñü P (θ) = ψ(θ) + ν(θ), c6− ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à ôóíêöèÿ K(θ) îïðåäåëåíà
ôîðìóëîé (39). Â ñèëó ñîîòíîøåíèé (36) ôîðìóëà (19) ïðèìåò âèä
t− t0 = −
∫
sin θ dθ√
ψ2
1(θ) + ψ2
2(θ) + c3
.
Òàêèì îáðàçîì, çàäàâàÿ ôóíêöèè ψ1(θ), ψ2(θ), ôóíêöèè G1(θ), G2(θ), ψ(θ),Φ(cos θ),
f(cos θ) íàéäåì èç ðàâåíñòâ (36). Êîãäà c3 > 0, òî ôóíêöèÿ θ = θ(t), îïðåäåëÿåìàÿ
â ðåçóëüòàòå îáðàùåíèÿ èíòåãðàëà (41), áóäåò äåéñòâèòåëüíîé. Êîãäà c3 < 0, òî âûáè-
ðàÿ ïîñòîÿííóþ c3 äîñòàòî÷íî ìàëîé ïî ìîäóëþ, îïÿòü èç (41) ïîëó÷èì äåéñòâèòåëüíóþ
55
Ã.Â. Ãîðð, Õ.Ì. ßõüÿ, Å.Ê. Ùåòèíèíà
ôóíêöèþ θ(t).  îáîèõ ñëó÷àÿõ íà îñíîâàíèè ôîðìóë (6), (13), (38)�(40) íàõîäÿòñÿ çà-
âèñèìîñòè îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ çàäà÷è (1) îò âðåìåíè.
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå a13 = 0 ÷àñòü ñîîòíîøåíèé èç ñèñòåìû (36) óïðîùàåòñÿ
G1(θ) = − ψ′
2(θ)
a11 sin θ
, G2(θ) =
ψ′
1(θ)
a11 sin θ
, (42)
ò. å., åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûìè ôóíêöèè G1(θ), G2(θ), òî ψ1(θ), ψ2(θ) îïðåäåëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëàì
ψ1 = a11
∫
G2(θ) sin θdθ, ψ2 = −a11
∫
G1(θ) sin θdθ. (43)
Î÷åâèäíî ïðè ýòîì ψ0(θ) =
√
∆(cos θ), ãäå
∆(cos θ) = a11
[
(
∫
G2(θ) sin θdθ))2 + (
∫
G1(θ) sin θdθ)2
]
+ c3.
 òàêîé ïîñòàíîâêå ôóíêöèÿ G0(θ) îñòàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé θ.
Ïðè a13 6= 0 ñîîòíîøåíèÿ âèäà (42), (43) ïîëó÷èòü íåâîçìîæíî.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ
ïðîèçâîëüíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ôóíêöèé G0(θ), G2(θ) ìîæíî óêàçàòü òîëüêî ÿâíóþ
çàâèñèìîñòü ψ1(θ):
ψ1(θ) =
a0
a2
22
∫
(a22G2(θ) cos θ + a13G0(θ) sin θ) sin θ
cos θ
dθ ,
à çàâèñèìîñòü G1(θ) îñòàåòñÿ â ïðåæíåì âèäå, ò. å. îíà îïðåäåëåíà ïåðâûì óðàâíåíèåì
èç ñèñòåìû (36).
Îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ïðè çàäàííûõ ôóíêöèÿõ ψi(θ) âñå ôóíêöèè Li(θ) èç
ñèñòåìû (27) îïðåäåëèòü íåâîçìîæíî, òàê êàê ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (27) çàâèñèìû.
 îòìå÷åííûõ âûøå ñëó÷àÿõ èìåëè ìåñòî óñëîâèÿ íà ôóíêöèè Φ(cos θ), f(cos θ).
Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð, êîãäà ýòè ôóíêöèè ïðîèçâîëüíû. Ïîëîæèì â âûðàæåíèè (20)
G1(θ) = G2(θ) = 0, ò. å.
g(cos θ, sin θ sinϕ, sin θ cosϕ) = G0(θ) , (44)
à â óðàâíåíèè (21) ñ÷èòàåì, ÷òî a13 = 0. Òîãäà èç íåãî ìîæíî íàéòè ϕ = ϕ(θ)
ϕ(θ) =
∫
a11G0(θ) sin2 θ − (ka22 − Φ(cos θ)) cos θ√
∆(cos θ) sin θ
dθ . (45)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå (6) èìååò âèä (44), òî çàâèñèìîñòü
ϕ(θ) îïðåäåëèòñÿ ôîðìóëîé (45).
1. Grioli G. Questioni di dinamica del corpo rigidi // Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. sci. �s., mat. e
natur. � 1963. � 35, � 1�2. � P. 35-39.
2. Kirchhof G.R. �Uber die Bewegung eines Rotationsk�opers in eines Fl�ussigkeit // J. fur die reine und
angew. Math. � 1870. � B.71. � S. 237-262.
3. Õàðëàìîâ Ï.Â., Ìîçàëåâñêàÿ Ã.Â., Ëåñèíà Ì.Å.Î ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ óðàâíåíèé Êèðõãîôà
// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2001. � Âûï. 31. � Ñ. 3-17.
4. Õàðëàìîâ Ï.Â. Ëåêöèè ïî äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà. � Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî Íîâîñèá. óí-òà, 1965.
� 221 ñ.
56
Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Ãðèîëè â ñëó÷àå îäíîãî èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ
5. Õàðëàìîâ Ï.Â. Î äâèæåíèè â æèäêîñòè òåëà, îãðàíè÷åííîãî ìíîãîñâÿçíîé ïîâåðõíîñòüþ // Æóð-
íàë ïðèêë. ìàòåìàòèêè è òåõí. ôèçèêè. � 1963. � � 4. � Ñ. 17-29.
6. Ãîðð Ã.Â., Êóäðÿøîâà Ë.Â., Ñòåïàíîâà Ë.À. Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Ðàç-
âèòèå è ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå // Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978. � 296 ñ.
7. Áîðèñîâ À.Â., Ìàìàåâ È.Ñ. Äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà. � Èæåâñê: ÍÈÖ "Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ
äèíàìèêà", 2001. � 384 ñ.
8. Êîçëîâ Â.Â., Îíèùåíêî Ä.À. Íåèíòåãðèðóåìîñòü óðàâíåíèé Êèðõãîôà // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1982.
� 266, � 6. � Ñ. 1298-1300.
9. Çèãëèí Ñ.Ë. Âåòâëåíèå ðåøåíèé è íåñóùåñòâîâàíèå ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìàõ
// Ôóíêöèîí. àíàëèç è åãî ïðèë. � 1983. � 17, � 1. � Ñ. 8-23.
10. Ëåâè-×èâèòà Ò., Àìàëüäè Ó. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè:  2-õ ò. � Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò.,
1951. � Ò.2, ÷.2. � 555 ñ.
11. Hess W. �Uber die Eulerschen Bewegungsgleichungen und �uber eine neue partikul�are L�osung des Problems
der Bewegung eines starren schweren K�orpers um einen festen Punkt // Math. Ann. � 1890. � B.37,
H.2. � S. 153-181.
12. Ñðåòåíñêèé Ë.Í. Î íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ ãèðîñêîïîì // Âåñòí.
Ìîñê. óí-òà. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà. � 1963. � � 3. � Ñ. 60-71.
13. ×àïëûãèí Ñ.À. Î íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòè. Ñòàòüÿ âòîðàÿ // Ñîáð.
ñî÷. Ò.1. � Ì.; Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1948. � Ñ. 304-311.
14. Õàðëàìîâ Ï.Â. Î ëèíåéíîì èíòåãðàëå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòè
// Òð. Äîíåöêîãî èíäóñòðèàëüíîãî èí-òà. � 1957. � 20, âûï.1. � Ñ. 51-67.
15. Óçáåê Å.Ê., Äàíèëåéêî Å.À. Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà â ñëó÷àå ëèíåéíîãî èíâàðè-
àíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2004. � Âûï. 34. � Ñ. 87-94.
16. Ãîðð Ã.Â., Óçáåê Å.Ê. Î íîâîì ðåøåíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà â ñëó÷àå ëèíåéíîãî èíâàðèàíòíîãî
ñîîòíîøåíèÿ // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2005. � 67, âûï.6. � Ñ. 931-939.
17. Ùåòèíèíà Å.Ê. Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Ãðèîëè â ñëó÷àå ëèíåéíîãî èíâàðèàíòíîãî ñîîò-
íîøåíèÿ // Òð. ÈÏÌÌ ÍÀÍ Óêðàèíû. � 2005. � Âûï.10. � Ñ. 229-236.
18. Îðåøêèíà Ë.Í. Îá óðàâíåíèÿõ Ì.Ï. Õàðëàìîâà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1986. � Âûï.19. �
Ñ. 30-33.
19. Ãîðð Ã.Â., Ìèðîíîâà Å.Ì. Ñâîéñòâà îäíîãî êëàññà èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé îáîáùåííûõ óðàâ-
íåíèé äèíàìèêè // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2001. � 65, âûï.3. � Ñ. 411-419.
20. Yehia H.M. Particular Integrable Cases in Rigid Body Dynamics // Zeitschrift angew. Math. Mech. �
1988. � Bd.68, H.1. � S. 33-37.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
Ãîñ. óí-ò ýêîíîìèêè è òîðãîâëè èì. Òóãàí�Áàðàíîâñêîãî, Äîíåöê
Mansoura University, Egypt
gorr@matfak.dongu.donetsk.ua
hyehia@mans.edu.eg
Ïîëó÷åíî 12.09.05
57
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123762 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:15:12Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горр, Г.В. Яхья, Х.М. Щетинина, Е.К. 2017-09-09T14:38:56Z 2017-09-09T14:38:56Z 2005 Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения / Г.В. Горр, Х.М. Яхья, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 49-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123762 531.38 Проведено интегрирование дифференциальных уравнений Д. Гриоли в случае, когда они допускают одно инвариантное соотношение, которое является линейным по компонентам кинетического момента и нелинейным по компонентам единичного вектора оси симметрии силового поля. На основании первых интегралов и исходного инвариантного соотношения система уравнений Гриоли Пуассона преобразована к системе второго порядка. С помощью теории интегрирующего множителя для определенных классов инвариантных соотношений получен интеграл приведенной системы, что позволяет установить зависимости основных переменных задачи от времени. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения Article published earlier |
| spellingShingle | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения Горр, Г.В. Яхья, Х.М. Щетинина, Е.К. |
| title | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения |
| title_full | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения |
| title_fullStr | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения |
| title_full_unstemmed | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения |
| title_short | Об интегрировании уравнений Гриоли в случае одного инвариантного соотношения |
| title_sort | об интегрировании уравнений гриоли в случае одного инвариантного соотношения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123762 |
| work_keys_str_mv | AT gorrgv obintegrirovaniiuravneniigriolivslučaeodnogoinvariantnogosootnošeniâ AT âhʹâhm obintegrirovaniiuravneniigriolivslučaeodnogoinvariantnogosootnošeniâ AT ŝetininaek obintegrirovaniiuravneniigriolivslučaeodnogoinvariantnogosootnošeniâ |