Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида
Получено новое точное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных упругим шарниром. Для его построения подбиралось инвариантное соотношение специального вида....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123763 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 58-62. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123763 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. 2017-09-09T14:40:19Z 2017-09-09T14:40:19Z 2005 Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 58-62. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123763 531.38 Получено новое точное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных упругим шарниром. Для его построения подбиралось инвариантное соотношение специального вида. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида |
| spellingShingle |
Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| title_short |
Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида |
| title_full |
Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида |
| title_fullStr |
Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида |
| title_full_unstemmed |
Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида |
| title_sort |
решение уравнения абеля на инвариантном соотношении специального вида |
| author |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| author_facet |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Получено новое точное решение задачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных упругим шарниром. Для его построения подбиралось инвариантное соотношение специального вида.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123763 |
| citation_txt |
Решение уравнения Абеля на инвариантном соотношении специального вида / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 58-62. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lesiname rešenieuravneniâabelânainvariantnomsootnošeniispecialʹnogovida AT zinovʹevaâv rešenieuravneniâabelânainvariantnomsootnošeniispecialʹnogovida |
| first_indexed |
2025-11-27T03:09:37Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:09:37Z |
| _version_ |
1850796227133702144 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
ÐÅØÅÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÀÁÅËß
ÍÀ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÌ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈÈ ÑÏÅÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÂÈÄÀ
Ïîëó÷åíî íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ïî èíåðöèè äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà, ñîåäèíåí-
íûõ óïðóãèì øàðíèðîì. Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ ïîäáèðàëîñü èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå ñïåöèàëüíîãî
âèäà.
Ïîñòðîåíèå ðåøåíèÿ.  ðàáîòå [1] ïîëó÷åíî óðàâíåíèå Àáåëÿ
ηη′ = F1(θ, ω2)η + F0(θ, ω2), (1)
ãäå
F1(θ, ω2) = [2ω2 sin θ − 2(A0k + Nk0) cos θ + Ak0 −Nk0 cos θ] sin θ, (2)
F0(θ, ω2) = (ω′
2 −Nk0)[−ω2 sin θ + (A0k + Nk0) cos θ − (Ak0 + Nk)] sin3 θ. (3)
 ñîîòíîøåíèÿõ (1), (2), (3) ôóíêöèÿ ω2 îñòàâàëàñü íåêîíêðåòèçèðîâàííîé, øòðèõîì
îáîçíà÷åíî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ïåðåìåííîé θ.
Íîâûå ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü, êîíêðåòèçèðóÿ ω2 òàê, ÷òîáû
F1(θ, ω2) îáðàùàëàñü â íóëü. À òàê êàê sin θ îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ýòî òðåáîâàíèå ýê-
âèâàëåíòíî òàêîìó
ω2 sin θ = (A0k + Nk0) cos θ + (Nk0 cos θ − Ak0)/2. (4)
Ôàêòè÷åñêè óðàâíåíèå Àáåëÿ (1) ïîäñêàçàëî ñòðóêòóðó èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ [2]
âèäà (4), ïîçâîëÿþùåãî ñâåñòè çàäà÷ó ê êâàäðàòóðàì.
Íà èíâàðèàíòíîì ñîîòíîøåíèè (4) óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä
4ηη′ = −(2Nk0 cos2 θ + Ak0 cos θ − 2A0k − 5Nk0)(Nk0 cos θ + Ak0 + 2Nk) sin θ. (5)
Âìåñòî θ ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ u = cos θ è, ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (5), íàõîäèì
çàâèñèìîñòü η(u) â âèäå
η2(u) =
1
4
N2k2
0u
4 +
1
6
Nk0(3Ak0 + 4Nk)u3 +
1
4
[
(A2 − 5N2)k0+
+2(A− A0)Nk
]
k0u
2 − 1
2
(Ak0 + 2Nk)(2A0k + 5Nk0)u + η2
0 ≡ P4(u). (6)
Ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû A, A0, N, öèêëè÷åñêèå ïîñòîÿííûå k, k0
è ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ η2
0.
Íàëè÷èå øåñòè ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ ïðèâîäèò ê áîëüøîìó ðàçíîîáðàçèþ äâèæå-
íèé, ïîýòîìó îòìåòèì ÷àñòíûå ñëó÷àè äëÿ âûðàæåíèÿ (6):
N = 0, (7)
k0 = 0, N 6= 0. (8)
58
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Àáåëÿ íà èíâàðèàíòíîì ñîîòíîøåíèè
Ïðè óñëîâèè (7) çàâèñèìîñòü η(u) òàêîâà
η2(u) =
1
4
A2k2
0u
2 − AA0kk0u + η2
0, (9)
à ïðè óñëîâèè (8)
η2(u) = η2
0 − 2A0Nk2u. (10)
Ââîäÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå
η2
0 = A2
0k
2, (11)
èç (9) ïîëó÷èì
η(u) = (Ak0u− 2A0k)/2. (12)
Ïîäñòàâèâ (7) â (4), íàõîäèì
ω2 sin θ = A0k cos θ − Ak0/2. (13)
Òàê êàê ïåðåìåííûå Ω2 è η ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé [1]
Ω2(θ) sin θ = η(θ) + [ω2 cos θ + (A0k + Nk0) sin θ] sin θ, (14)
ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ (8), (11) è ïîëó÷åííîå ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèå (12), îïðåäåëÿåì Ω2
Ω2 = 0. (15)
Èç êîíå÷íûõ ñîîòíîøåíèé1 [3, (5.55)*]
ω3 sin θ = Ω2 − ω2 cos θ, (16)
Ω3 sin θ = Ω2 cos θ − ω2, (17)
ïðè çíà÷åíèÿõ (13), (15) èìååì
ω3(θ) =
(Ak0 − 2A0k cos θ) cos θ
2 sin2 θ
, Ω3(θ) =
Ak0 − 2A0k cos θ
2 sin2 θ
. (18)
Äëÿ ïåðåìåííîé ξ â [1] ïîëó÷åíî âûðàæåíèå
ξ =
−2ω′
2 + Nk0 − A0k + ω3
A0k + Nk0 − ω3
, (19)
ïîäñòàâèâ â êîòîðîå (7), (13), (18), íàõîäèì
ξ = 1. (20)
Èñïîëüçóÿ çàìåíó [3, (5.57)*]
ω1 = (ξ + 1)κ, Ω1 = (ξ − 1)κ, (21)
ïðè çíà÷åíèè (20) ïîëó÷èì èç (21): Ω1 = 0. Ñðàâíèâàÿ ñ ðåøåíèåì [3, (9.17)*�(9.20)*],
çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè óñëîâèÿõ (7), (11) ïîëó÷àåì ÷àñòíûé ñëó÷àé óêàçàííîãî ðåøåíèÿ.
1Ïðè ññûëêå íà ôîðìóëû ìîíîãðàôèè [3] áóäåì ñíàáæàòü èõ çâåçäî÷êîé.
59
Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
Çàïèøåì ïåðåìåííûå çàäà÷è (4), (14), (16), (17), (19), (21) ïðè óñëîâèè (8) è çíà÷å-
íèè (10)
ω2(θ) =
A0k cos θ
sin θ
, (22)
Ω2(θ) =
A0k +
√
η2
0 − 2A0Nk2 cos θ
sin θ
, (23)
ω3(θ) = A0k +
√
η2
0 − 2A0Nk2 cos θ
sin2 θ
, (24)
Ω3(θ) =
√
η2
0 − 2A0Nk2 cos θ cos θ
sin2 θ
, (25)
ξ(θ) = −1− 2A0k√
η2
0 − 2A0Nk2 cos θ
, (26)
ω1(θ) =
−2A0k√
η2
0 − 2A0Nk2 cos θ
κ(θ), Ω1(θ) = −
[
2 +
2A0k√
η2
0 − 2A0Nk2 cos θ
]
κ(θ) . (27)
Öåëåñîîáðàçíî ñ÷èòàòü ïðîìåæóòî÷íîé ïåðåìåííîé íå θ, à η è âûðàçèòü èç (10)
cos θ = u ÷åðåç η
u =
η2
0 − η2
2A0Nk2
. (28)
Çàïèøåì òåïåðü ñîîòíîøåíèÿ (22) � (27)
ω1(η) = −2A0k
η
κ(η), (29)
Ω1(η) = −2A0k + η
η
κ(η), (30)
ω2(η) =
A0k(η2
0 − η2)√
4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2
, (31)
Ω2(η) =
2A0Nk2(A0k + η)√
4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2
, (32)
ω3(η) = A0k +
4A2
0N
2k4η
4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2
, Ω3(η) =
2A0Nk2η(η2 − η2
0)
4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2
. (33)
Äëÿ çàâåðøåíèÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî íàéòè κ, óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü
η, ϕ, Φ îò t è âûðàæåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè óïðóãîãî ýëåìåíòà.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ κ èñïîëüçóåì èíòåãðàë [3, (5.15)*�(5.17)*]
G2
1 + G2
2 + G2
3 = g2, (34)
ãäå
G1 = (A−N cos θ)ω1 + (A0 −N cos θ)Ω1, (35)
G2 = (A−N cos θ)ω2 + (A0 cos θ −N)Ω2 − n0 sin θ, (36)
G3 = (A0Ω2 −Nω2) sin θ + n + n0 cos θ. (37)
60
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Àáåëÿ íà èíâàðèàíòíîì ñîîòíîøåíèè
Ïîñòîÿííûå k, k0 ñâÿçàíû ñ n, n0 ñîîòíîøåíèÿìè
n = (AA0 −N2)k, n0 = (AA0 −N2)k0. (38)
Çàïèøåì (35) � (37) ïðè óñëîâèè (8) è çíà÷åíèÿõ (31), (32), (38), (10)
G1 = −2κ[A0 −N cos θ + (A− A0 − 2N cos θ)A0k/η],
G2 =
{
(A0 cos θ −N)η + A0k[−N cos2 θ + (A + A0) cos θ −N ]
}
/ sin θ,
G3 = A0η +
[
−A0N cos θ + (A + A0)A0 −N2]k,
è, ïîäñòàâèâ èõ â èíòåãðàë (34), íàõîäèì
4κ2 sin2 θ[A0 −N cos θ + (A + A0 − 2N cos θ)A0k/η]2 =
= g2(1− cos2 θ) + (2A0N cos θ − A2
0 −N2)η2
0+
+2A0kη[−2N2 cos2 θ + (A + 3A0)N cos θ − (A + A0)A0]+ (39)
+k2
[
2A0N
3 cos3 θ − (2AA0 + 9A2
0 −N2)N2 cos2 θ+
+2A2
0(2A + 3A0)N cos θ − A2
0N
2 − (AA0 + A2
0 −N2)2)
]
.
Êàê ñëåäóåò èç [3, (5.6)*],
θ̇ = Ω1 − ω1,
êîòîðîå ñ ó÷åòîì (21) èìååò âèä
θ̇ = −2κ.
Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ κ sin θ, ó÷èòûâàÿ çàìåíó (28),
2κ sin θ =
−ηη̇
A0Nk2
,
è, ïîäñòàâèâ åãî âìåñòå ñ (38) â (39), ïîëó÷èì
η̇P3(η) =
√
P6(η), (40)
ãäå
P3(η) = −{η3 + 2A0kη2 + (2A2
0k
2 − η2
0)η + 2A0k[(A + A0)A0k
2 − η2
0]}/(A0Nk2),
P6(η) = −η6 − 4A0kη5 + [3η2
0 − g2/N2 − (2AA0 + 9A2
0 −N2)k2]η4 + 4A0k[2η2
0−
−A0(A + 3A0)k
2]η3 + [−3η4
0 + 2η2
0g
2/N2 + 2(2AA0 + 7A2
0 −N2)k2η2
0−
−4A3
0(2A + 3A0)k
4]η2 + 4A0k[−η4
0 + (A + 3A0)A0k
2η2
0 − 2(A + A0)A
3
0k
4]η+ (41)
+η6
0 − g2η4
0/N
2 − (2AA0 + 5A2
0 −N2)k2η4
0 + 4A2
0g
2k4+
+4(2AA0 + 2A2
0 −N2)A2
0k
4η2
0 − 4A4
0N
2k6 − 4(AA0 + A2
0 −N2)2A2
0k
6,
èç óðàâíåíèÿ (40) îïðåäåëèì êâàäðàòóðîé çàâèñèìîñòü t îò η
t− t0 =
∫
P3(η)√
P6(η)
dη. (42)
61
Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
Êàê ñëåäóåò èç (42),
κ2(θ) =
η2P6(η)
[4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2]P 2
3 (η)
. (43)
Çàìåòèì, ÷òî ñïðàâà â (42) èìååì ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë.
Çàïèøåì öèêëè÷åñêèå èíòåãðàëû [3, (5.11)*] ïðè óñëîâèè (8):
ϕ̇ =
n
I
− ω3, Φ̇ = −Ω3.
Ïîäñòàâèâ â íèõ ñîîòíîøåíèÿ (24), (25), (28), íàéäåì
ϕ− ϕ0 =
AA0 −N2 − A0I
I
kt− 4A2
0N
2k4
∫
P3(η)ηdη
[4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2]
√
P6(η)
, (44)
Φ− Φ0 = 2A0Nk2
∫
(η2 − η2
0)P3(η)ηdη
[4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2]
√
P6(η)
. (45)
 (44), (45) èíòåãðàëû òàêæå ãèïåðýëëèïòè÷åñêèå.
Çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Π óïðóãîãî ýëåìåíòà îò η íàõîäèì, ïîäñòàâèâ
â èíòåãðàë ýíåðãèè [3, (5.14)*]
A(ω2
1 + ω2
2) + A0(Ω
2
1 + Ω2
2)− 2N(Ω1ω1 cos θ + ω2Ω2) + 2Π(θ) = 2h
âåëè÷èíû (29) � (32), (43), (28):
2h− 2Π(η) = (46)
=
A2
0k
2[A(η2 − η2
0)
2 + 4N2k(η + A0k)(η2 − η2
0) + 4A0N
2k2(η + A0k)2]
4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2
+
+
4A2
0N
2k3[AA2
0k
3 + A0k(A0k + η)2 + (A0k + η)(η2 − η2
0)]P6(η)
[4A2
0N
2k4 − (η2 − η2
0)
2][A0k(2AA0k2 + η2 − η2
0) + (η + A0k)(2A2
0k
2 + η2 − η2
0)]
2
,
ãäå P6(η) îïðåäåëåíî ñîîòíîøåíèåì (41). Îòìåòèì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Π ïðåä-
ñòàâëåíà ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé η.
Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíî íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è, îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøå-
íèÿìè (29) � (33), (42) � (46).
1. Ëåñèíà Ì.Å., Çèíîâüåâà ß.Â. Íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå // Çá. íàóê.-ìåòîä. ðîáiò. � Äîíåöüê: ÄîíÍÒÓ,
2005. � Ñ. 18-35.
2. Õàðëàìîâ Ï.Â. Îá èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèÿõ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Ìåõà-
íèêà òâåðäîãî òåëà. � 1974. � Âûï. 6. � Ñ. 15-24.
3. Ëåñèíà Ì.Å. Òî÷íûå ðåøåíèÿ äâóõ íîâûõ çàäà÷ àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè ñèñòåì ñî÷ëåíåííûõ òåë.
� Äîíåöê: ÄîíÃÒÓ, 1996. � 238 ñ.
Äîíåöêèé íàöèîíàëüíûé òåõí. óí-ò Ïîëó÷åíî 12.04.05
62
|