Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева
Дана оценка погрешности определения траектории центра масс снаряда, обусловленной неточностью, которая допущена при выводе уравнений движения снаряда в форме В.С. Пугачева....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123765 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 73-83. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859869357134315520 |
|---|---|
| author | Коносевич, Б.И. |
| author_facet | Коносевич, Б.И. |
| citation_txt | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 73-83. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Дана оценка погрешности определения траектории центра масс снаряда, обусловленной неточностью, которая допущена при выводе уравнений движения снаряда в форме В.С. Пугачева.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:50:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.35
c©2005. Á.È. Êîíîñåâè÷
ÎÁ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÕ ÄÂÈÆÅÍÈß ÑÍÀÐßÄÀ,
ÇÀÏÈÑÀÍÍÛÕ Â ÔÎÐÌÅ Â.Ñ. ÏÓÃÀ×ÅÂÀ
Äàíà îöåíêà ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà, îáóñëîâëåííîé íåòî÷íîñòüþ,
êîòîðàÿ äîïóùåíà ïðè âûâîäå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Âûáîð îñíîâíûõ
Ðèñ. 1. Ñòàðòîâàÿ, òðàåêòîðíàÿ è ïîëóñêî-
ðîñòíàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò.
ïåðåìåííûõ. Âîñïîëüçóåìñÿ èñõîäíûìè îáîçíà-
÷åíèÿìè, ïðèíÿòûìè â [1]. Ïóñòü O � öåíòð ìàññ
ñíàðÿäà, O0 � åãî ïîëîæåíèå â ìîìåíò âûñòðå-
ëà, v � ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïîëîæåíèÿ òî÷êè O ââîäèòñÿ ñòàðòîâàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò O0XCYCZC , îñü O0YC êîòîðîé íàïðàâ-
ëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ, à îñü O0XC íàïðàâëå-
íà ãîðèçîíòàëüíî â ñòîðîíó ñòðåëüáû. Òðàåêòîð-
íàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò OXKYKZK ïîëó÷àåòñÿ èç
ñòàðòîâîé, ïåðåíåñåííîé â íà÷àëî O, äâóìÿ ïîâî-
ðîòàìè íà óãëû ψ, θ (ðèñ.1). Ïîýòîìó åå óãëîâàÿ
ñêîðîñòü �
ωK = −ψ̇Y C + θ̇ZK . (1)
×åðåç Y C ,ZK çäåñü îáîçíà÷åíû åäèíè÷íûå âåêòîðû îñåé OYC , OZK .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà v âìåñòî θ, ψ èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ óãëû
θH , ψH (ñì. ðèñ. 1). Äâóìÿ ïîâîðîòàìè íà óãëû θH è ψH ñòàðòîâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò
OXCYCZC ïåðåâîäèòñÿ â ïîëóñêîðîñòíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò OXHYHZH .
 [1, 2] ïðèíÿò êîìáèíèðîâàííûé ñïîñîá çàäàíèÿ íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà v, à èìåííî,
ïðèìåíÿþòñÿ óãëû θ è ψH . Îäíàêî äëÿ ωK âìåñòî (1) âçÿòî íåâåðíîå âûðàæåíèå
ωK = −ψ̇HY K + θ̇ZK . (2)
Ïîýòîìó ïîëó÷åííûå â [1, 2] óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà îïðåäåëÿþò åãî òðàåêòîðèþ
ñ íåêîòîðîé ïîãðåøíîñòüþ. Åå îöåíêà ÿâëÿåòñÿ öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òàêîé îöåíêè íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñíà-
ðÿäà, ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿì (1), (2) óãëîâîé ñêîðîñòè ωK . Ïåðåìåííûå, îïè-
ñûâàþùèå â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ñíàðÿäà, óæå âûáðàíû: ýòî
x, y, z, v, θ, ψH . Ïîñêîëüêó öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè îïðåäåëå-
íèÿ òðàåêòîðèè ñíàðÿäà, òî âûáîð ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèÿõ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
ñíàðÿäà íåñóùåñòâåíåí.
 [1, 2] â êà÷åñòâå òàêèõ ïåðåìåííûõ âçÿòû ïðîåêöèè z1, z2, z3 åäèíè÷íîãî âåêòî-
ðà îñè ñèììåòðèè íà îñè OYK , OZK , OXK è ïðîåêöèÿ p âåêòîðà ω óãëîâîé ñêîðîñòè
ñíàðÿäà íà åãî îñü ñèììåòðèè. Òàê êàê z3 =
√
1− z2
1 − z2
2 ïðè z3 ≥ 0, òî ïðè òàêîì âû-
áîðå ïåðåìåííûõ êîëåáàíèÿ îñè ñèììåòðèè îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé äâóõ äèôôåðåíöè-
73
Á.È. Êîíîñåâè÷
àëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî z1, z2, ñîäåðæàùåé θ̈, ψ̈H . Äëÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ θ̈, ψ̈H íåîáõîäèìî äèôôåðåíöèðîâàòü ïðàâûå ÷àñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé
ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, âêëþ÷àþùèå ïîäúåìíóþ ñèëó è ñèëó Ìàãíóñà. Íà ïðàêòè-
êå êîýôôèöèåíòû àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë îáû÷íî çàäàþòñÿ â âèäå òàáëèö, è ïîýòîìó èõ
äèôôåðåíöèðîâàíèå ñíèæàåò òî÷íîñòü ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé äâèæå-
íèÿ. Äðóãèì íåäîñòàòêîì óðàâíåíèé óãëîâûõ êîëåáàíèé îñè ñèììåòðèè, çàïèñàííûõ â
ïåðåìåííûõ z1, z2 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ïðîåêöèé q, r óãëîâîé ñêîðîñòè, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî
ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ê íîðìàëüíîìó âèäó ïóòåì âûáîðà u1 = ż1, u2 = ż2 â êà÷åñòâå
äîïîëíèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ îíè ñòàíîâÿòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ãðîìîçäêèìè.
×òîáû óñòðàíèòü ýòè íåäîñòàòêè, äîñòàòî÷íî â óðàâíåíèÿõ óãëîâûõ êîëåáàíèé âìå-
ñòî ż1, ż2 ïðèíÿòü â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ ïðîåêöèè q, r âåêòîðà ω íà îñè ñïåöèàëüíûì
îáðàçîì âûáðàííîé ïîëóñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OX1Y1Z1. Åå óäîáíî îïðåäåëèòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü δ � ïðîñòðàíñòâåííûé óãîë àòàêè, òî åñòü óãîë ìåæäó âåê-
òîðîì v è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè ñèììåòðèè. ×åðåç ν îáîçíà÷àåì óãîë ïî-
âîðîòà ïëîñêîñòè óãëà àòàêè âîêðóã íàïðàâëåíèÿ OXK ñêîðîñòè v.
Ââåäåì òåïåðü ïîòî÷íóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò
Ðèñ. 2. Ïåðåõîä îò ñèñòåìû êîîðäèíàò
OXKYKZK ê ñèñòåìàì OXΠ1YΠ1ZΠ1,
OXΠYΠZΠ è OX1Y1Z1.
OXΠ1YΠ1ZΠ1 è ñèñòåìó êîîðäèíàò OXΠYΠZΠ, ñâÿ-
çàííóþ ñ ïðîñòðàíñòâåííûì óãëîì àòàêè, êàê ïî-
êàçàíî íà ðèñ. 2. Îñü OXΠ1 èìååò íàïðàâëåíèå v, à
îñü OXΠ íàïðàâëåíà âäîëü îñè ñèììåòðèè ñíàðÿ-
äà. Ïðè ïîâîðîòå òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
OXKYKZK íà óãîë ν âîêðóã íàïðàâëåíèÿ OXK
ñêîðîñòè v îíà ïåðåõîäèò â ïîòî÷íóþ ñèñòåìó êî-
îðäèíàò OXΠ1YΠ1ZΠ1. Ïîâîðîò ïîñëåäíåé íà óãîë
δ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ OZΠ1 äàåò ñèñòåìó êîîð-
äèíàò OXΠYΠZΠ, ñâÿçàííóþ ñ ïðîñòðàíñòâåííûì
óãëîì àòàêè. Ïîâåðíåì ñèñòåìó OXΠYΠZΠ âîêðóã
îñè ñèììåòðèè OXΠ íà óãîë −ν. Ïîëó÷èì ñèñòåìó
êîîðäèíàò OX1Y1Z1, êîòîðóþ ïðèìåì â êà÷åñòâå
ïîëóñâÿçàííîé (ðèñ. 2). Äîïîëíèòåëüíî ïîâåðíóâ åå âîêðóã îñè OX1 íà íåêîòîðûé óãîë
γ, ïîëó÷èì ñâÿçàííóþ ñî ñíàðÿäîì ñèñòåìó êîîðäèíàò OXY Z.
Ïóñòü p, q, r � ïðîåêöèè âåêòîðà ω óãëîâîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà íà ïîëóñâÿçàííûå
îñè. Ïðîåêöèè åäèíè÷íîãî âåêòîðà îñè ñèììåòðèè X1 = XΠ íà îñè OYK , OZK , OXK
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç óãëû ν, δ ïî ôîðìóëàì z1 = sin δ cos ν, z2 = sin δ sin ν, z3 = cos δ.
2. Àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåíòû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Rx, Ry, Rz ïðîåêöèè
ãëàâíîãî âåêòîðà R äåéñòâóþùèõ íà ñíàðÿä àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë íà îñè OXΠ1YΠ1ZΠ1.
Çäåñü Rx � ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, Ry � ïîäúåìíàÿ ñèëà, Rz � ñèëà Ìàãíóñà. Ãëàâ-
íûé ìîìåíò àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ðàâåí ñóììå MO = M+
+MD. Ïðîåêöèÿìè ìîìåíòà M íà îñè OYΠ, OZΠ ÿâëÿþòñÿ ìîìåíò ÌàãíóñàMy è îïðî-
êèäûâàþùèé ìîìåíòMz. Äåìïôèðóþùèé ìîìåíò MD ðàâåí ñóììå MD = MD1+MD2,
ãäå îñåâîé äåìïôèðóþùèé ìîìåíò MD1 ïðîïîðöèîíàëåí ïðîäîëüíîé ñîñòàâëÿþùåé
âåêòîðà ω, à ïîïåðå÷íûé äåìïôèðóþùèé ìîìåíò MD2 ïðîïîðöèîíàëåí ïîïåðå÷íîé ñî-
ñòàâëÿþùåé Ω = qY 1 + rZ1 âåêòîðà ω: MD1 = MppX1, MD2 = MΩ(qY 1 + rZ1).
Âåëè÷èíû Rx, Ry, Rz,My,Mz,Mp,MΩ çàâèñÿò îò y, v, δ, à Rz,My çàâèñÿò òàêæå è îò p.
Êàê èçâåñòíî, Rx,Mp,MΩ ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, à Ry, Rz,My,Mz � íå÷åòíûìè ôóíê-
öèÿìè óãëà δ.  ïîëåòíîì äèàïàçîíå ñêîðîñòåé àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåíòû
74
Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, çàïèñàííûõ â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà
Rx, Ry, Rz,My,Mz ïðèáëèçèòåëüíî ïðîïîðöèîíàëüíû v2, à êîýôôèöèåíòûMp,MΩ äåìï-
ôèðóþùèõ ìîìåíòîâ ïðèáëèçèòåëüíî ïðîïîðöèîíàëüíû v. Ïîýòîìó, âûäåëÿÿ ìíîæèòå-
ëè v2 è v â âûðàæåíèÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèë è ìîìåíòîâ, ïîëó÷èì äëÿ íèõ ôîðìóëû
Rx = v2R1(y, v, δ), Ry = v2R2(y, v, δ) sin δ, Rz = v2R3(y, v, p, δ) sin δ, My =
= v2M2(y, v, p, δ) sin δ, Mz = v2M3(y, v, δ) sin δ, Mp = vM1D(y, v, δ), MΩ = vM2D(y, v, δ),
ãäå R1, R2, R3,M2,M3,M1D,M2D � ÷åòíûå ôóíêöèè óãëà δ, ñðàâíèòåëüíî ñëàáî èçìåíÿ-
þùèåñÿ ïðè èçìåíåíèè v â ïîëåòíîì äèàïàçîíå ñêîðîñòåé.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðàêòè÷åñêè èíòåðåñíûé ñëó÷àé, êîãäà |δ| ≤ π/2, è ñëåäî-
âàòåëüíî, cos δ = z3 ≥ 0. Òîãäà z3 =
√
1− z2
1 − z2
2 , è íåò íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü
ïåðåìåííóþ z3. Ïðè |δ| ≤ π/2 îòîáðàæåíèå δ → sin δ âçàèìíî îäíîçíà÷íî. Ïîýòîìó
ôóíêöèè R1, R2, R3,M2,M3,M1D,M2D ìîæíî ðàññìàòðèâàòü çàâèñÿùèìè îò δ ïîñðåä-
ñòâîì âåëè÷èíû ζ = sin δ. Òàê êàê ýòè ôóíêöèè ÷åòíûå ïî δ, òî îíè ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè è
ïî ζ, è ñëåäîâàòåëüíî, ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ðàçëîæåíèÿìè ïî ñòåïåíÿì ζ2 = z2
1+z2
2 .
3. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà.  êà÷åñòâå èñõîäíîé ïðèíèìàåì ñèñòåìó
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, ïîëó÷åííóþ ñ ïîìîùüþ âåðíîãî âûðàæåíèÿ (1) äëÿ ωK .
Äëÿ êðàòêîñòè íàçîâåì åå È-ñèñòåìîé. Ñèñòåìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, ïîëó-
÷åííóþ ñ èñïîëüçîâàíèåì íåâåðíîãî âûðàæåíèÿ (2), íàçîâåì Ï-ñèñòåìîé.  êà÷åñòâå
ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ â ýòèõ óðàâíåíèÿõ âûáèðàåì âåëè÷èíû x, y, z, v, θ, ψH , p, q, r, z1, z2,
îïðåäåëåííûå âûøå. Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ óäîáíî èñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷å-
ñêóþ ôóíêöèþ c(δ) = (1− cos δ)/ sin2 δ, ÷åòíóþ ïî δ è ζ. Ââåäåì â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
ìàëûé ïàðàìåòð ε ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû, îïèñàííîé â [3]. Ïðè ýòîì òàê æå, êàê â [4],
ïðèìåì äëÿ v2 ïðåäïîëîæåíèå O∗(ε) ≤ v2 ≤ O∗(1), à ïîðÿäîê ÷ëåíîâ ñ ïîäúåìíîé áîêî-
âîé ñèëîé â óðàâíåíèÿõ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñ÷èòàåì ðàâíûì ε4. Íîâûå ôàçîâûå
ïåðåìåííûå ââîäÿòñÿ êàê îòíîøåíèÿ èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ ê âåðõíèì õàðàêòåðíûì
çíà÷åíèÿì èõ ìîäóëåé. Äëÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ îñòàâèì òå æå îáîçíà÷åíèÿ, ÷òî è äëÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ. Ïîëó÷åííûå òàêèì ïóòåì óðàâíåíèÿ äâèæå-
íèÿ ñíàðÿäà ïðåäñòàâèì â êâàçèëèíåéíîé ôîðìå ïî q, r, z1, z2. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ
ðàçëîæåíèÿìè (ñì. ôîðìóëû (6) â [3])
Rj(y, v, p, ζ, ε) = R
(0)
j (y, v, p) + ε3ζ2R
(2)
j (y, v, p, ζ, ε), j = 1, 2, 3;
M1D(y, v, ζ, ε) = M
(0)
1D (y, v) + ε3ζ2M
(2)
1D (y, v, ζ, ε);
M2D(y, v, ζ, ε) = M
(0)
2D (y, v) + ε2ζ2M
(2)
2D (y, v, ζ, ε);
M2(y, v, p, ζ, ε) = M
(0)
2 (y, v, p) + ε3ζ2M
(2)
2 (y, v, p, ζ, ε);
M3(y, v, ζ, ε) = M
(0)
3 (y, v) + ε4ζ2M
(2)
3 (y, v, ζ, ε).
Çàïèøåì ñíà÷àëà Ï-ñèñòåìó ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ε. Äëÿ íåå óðàâíåíèÿ ïîñòóïà-
òåëüíîãî äâèæåíèÿ è ïðîäîëüíîãî âðàùåíèÿ òàêîâû
ẋ = ε3v
√
cos2 θ − sin ε2ψH , ẏ = ε3v sin θ, ε2ż = ε3v sin ε2ψH ,
v̇ = ε3v
2
m
R
(0)
1 (y, v)− ε4g sin θ + hv(y, v, z1, z2, ε),
θ̇ = −ε4 g
v
cos θ + ε4 v
m
[R
(0)
2 (y, v)z1 −R
(0)
3 (y, v, p)z2] + hθ(y, v, p, z1, z2, ε), (3)
75
Á.È. Êîíîñåâè÷
ε2ψ̇H = ε4 v
m
[R
(0)
2 (y, v)z2 +R
(0)
3 (y, v, p)z1] + hψ(y, v, p, z1, z2, ε)
ṗ = ε4 p
I1
vM
(0)
1D (y, v) + hp(y, v, p, z1, z2, ε).
Çäåñü äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû ðàâíû
hv(y, v, z1, z2, ε) = ε6ζ2v
2
m
R
(2)
1 (y, v, ζ, ε),
hθ(y, v, p, z1, z2, ε) = ε7ζ2 v
m
[R
(2)
2 (y, v, ζ, ε)z1 −R
(2)
3 (y, v, p, ζ, ε)z2],
hψ(y, v, p, z1, z2, ε) = ε7ζ2 v
m
[R
(2)
2 (y, v, ζ, ε)z2 +R
(2)
3 (y, v, p, ζ, ε)z1],
hp(y, v, p, z1, z2, ε) = ε7 p
I1
ζ2vM
(2)
1D (y, v, ζ, ε).
(4)
Óðàâíåíèÿ óãëîâûõ êîëåáàíèé îñè ñèììåòðèè ñíàðÿäà äëÿ Π-ñèñòåìû, çàïèñàííûå
ñ èñïîëüçîâàíèì êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ Ω = q + ir,∆ = z1 + iz2, èìåþò âèä
Ω̇ = a(y, v, p, ε)Ω + b(y, v, p, ε)∆ + hΩ(y, v, θ, p, q, r, z1, z2, ε),
∆̇ = −iΩ− k(y, v, p, ε)∆ + l(v, θ, ε) + h∆(y, v, θ, p, q, r, z1, z2, ε).
(5)
Êîýôôèöèåíòû ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ ýòèõ óðàâíåíèé âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
a(y, v, p, ε) =
1
I2
[ε2vM
(0)
2D (y, v) + iI1p], b(y, v, p, ε) =
v2
I2
[ε2M
(0)
2 (y, v) + iM
(0)
3 (y, v, p)],
k(y, v, p, ε) =
ε2v
m
[R
(0)
2 (y, v) + iR
(0)
3 (y, v, p)], l(v, θ, ε) = ε2 g
v
cos θ,
(6)
à äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû �
hΩ(y, v, θ, p, q, r, z1, z2, ε) = ε4Ω
{ v
I2
(z2
1 + z2
2)M
(2)
2D (y, v, ζ, ε)− i(z1q + z2r)c(ε
2ζ)+
+iε2 v
m
R3(y, v, p, ζ, ε)(z
2
1 + z2
2)c(ε
2ζ) + iε2 g
v
z2c(ε
2ζ) cos θ
}
+
+ε4∆
v2
I2
(z2
1 + z2
2)
[
M
(2)
2 (y, v, ζ, ε) + iM
(2)
3 (y, v, p, ζ, ε)
]
,
h∆(y, v, θ, p, q, r, z1, z2, ε) = ε4∆
{
(z2q − z1r)c(ε
2ζ)+
+ε2 v
m
(z2
1 + z2
2)c(ε
2ζ)
[
R2(y, v, ζ, ε) + iR3(y, v, p, ζ, ε)
]
−
−ε v
m
(z2
1 + z2
2)
[
R
(2)
2 (y, v, ζ, ε) + iR
(2)
3 (y, v, p, ζ, ε)
]}
− ε6 g
v
(z2
1 + z2
2)c(ε
2ζ) cos θ.
(7)
 È-ñèñòåìå óðàâíåíèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ è ïðîäîëüíîãî âðàùåíèÿ ïî-
ïðåæíåìó èìåþò âèä (3) çà èñêëþ÷åíèåì óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùåãî ψ̇H . Åãî ìîæíî
çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì
ε2ψ̇H = ε4 v
m
[R
(0)
2 (y, v)z2 +R
(0)
3 (y, v, p)z1] + hψ(y, v, p, z1, z2, ε) + gψ(y, v, θ, ψH , p, z1, z2, ε).
(8)
76
Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, çàïèñàííûõ â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà
Çäåñü
gψ(y, v, θ, ψH , p, z1, z2, ε) = ε4 g sin θ sin ε2ψH
v cos ε2ψH
+ ε4 v
m
[√cos2 θ − sin2 ε2ψH
cos θ cos ε2ψH
− 1
]
×
×[R2(y, v, ζ, ε)z2 +R3(y, v, p, ζ, ε)z1] + ε4 v sin θ sin ε2ψH
m cos θ cos ε2ψH
[R3(y, v, ζ, ε)z2 −R2(y, v, ζ, ε)z1].
(9)
Óðàâíåíèÿ óãëîâûõ êîëåáàíèé äëÿ È-ñèñòåìû èìåþò âèä
Ω̇ = a(y, v, p, ε)Ω + b(y, v, p, ε)∆ + hΩ(y, v, θ, p, q, r, z1, z2, ε) + gΩ(y, v, θ, p, z1, z2, ε),
∆̇ = −iΩ− k(y, v, p, ε)∆ + l(v, θ, ε) + h∆(y, v, θ, p, q, r, z1, z2, ε) + g∆(y, v, θ, p, z1, z2, ε).
(10)
Îíè îòëè÷àþòñÿ îò (5) îäèíàêîâûìè äîáàâêàìè
gΩ, g∆(y, v, θ, p, z1, z2, ε) = iε4 v
m
[R2(y, v, ζ, ε)z2 +R3(y, v, p, ζ, ε)z1] tg θ. (11)
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè [t0; tmax], ãäå t0 �
ìîìåíò âûñòðåëà, tmax � âåðõíÿÿ ãðàíèöà ìîìåíòîâ t1 ïàäåíèÿ ñíàðÿäà íà çåìëþ. Äëèíà
ýòîãî ïðîìåæóòêà tmax − t0 = O(ε−3).
Çäåñü è äàëåå O(εn) [O∗(εn)] îáîçíà÷àþò âåëè÷èíû, ïîðÿäîê êîòîðûõ â ðàññìàò-
ðèâàåìîé îáëàñòè èçìåíåíèÿ ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ è âðåìåíè áîëüøå ëèáî ðàâåí εn
[ñòðîãî ðàâåí εn]. Ïðè ýòîì äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ âåëè÷èí èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ
O+(εn) [O∗
+(εn)].
Ïåðåìåííûå â ëåâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ è ïðîäîëüíîãî
âðàùåíèÿ îáðàçóþò âåêòîð ξ = (x, y, ε2z, v, θ, ε2ψH , p). Äèàïàçîíû èçìåíåíèÿ êîìïîíåíò
ýòîãî âåêòîðà äëÿ È-ñèñòåìû ïðåäïîëàãàþòñÿ èçâåñòíûìè ïî ïîðÿäêó, òàê ÷òî ïðè
âñåõ âîçìîæíûõ òðàåêòîðèÿõ ïîëåòà ñíàðÿäà âåêòîð ξ äëÿ È-ñèñòåìû ïðèíàäëåæèò
çàìêíóòîìó ïàðàëëåëåïèïåäó
Ξ = {ξ : (0, 0,−ε2C∗
z ,
√
εCv∗,−C∗
θ ,−ε2C∗
ψ, Cp∗) ≤ ξ ≤ (C∗
x, C
∗
y , ε
2C∗
z , C
∗
v , C
∗
θ , ε
2C∗
ψ, C
∗
p)}.
(12)
Çäåñü áóêâîé C ñ èíäåêñàìè îáîçíà÷åíû ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå ïîðÿäêà 1. Íîðìó
||ξ|| âåêòîðà ξ îïðåäåëèì êàê ìàêñèìóì ìîäóëåé åãî êîìïîíåíò.
Äëÿ È- è Ï-ñèñòåìû çàìêíóòóþ ïîäñèñòåìó îáðàçóþò óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå
÷åòûðåõìåðíûé âåêòîð ξ(4) = (y, v, θ, p) è ïåðåìåííûå Ω = q + ir, ∆ = z1 + iz2. Àýðîäè-
íàìè÷åñêèå ôóíêöèè â ëèíåéíîé ÷àñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà çàâèñÿò îò âåêòîðà
ξ(3) = (y, v, p). Çàìêíóòûå îáëàñòè èçìåíåíèÿ ξ(4), ξ(3) äëÿ È-ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùèå
(12), îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç Ξ(4),Ξ(3).
Ïîðÿäêè àýðîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ε îïðåäåëÿþòñÿ ïîðÿäêîì ñêîðîñòè v. Ïî-
ýòîìó ôóíêöèè, ïîëó÷àþùèåñÿ ïóòåì âûäåëåíèÿ ìíîæèòåëåé v2, v â ñîîòâåòñòâóþùèõ
àýðîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ, ðàâíû O∗(1) â Ξ(3):
R1, R2, R3, M1D, M2D, M2, M3 (y, v, p) = O∗(1), (y, v, p) ∈ Ξ(3). (13)
Âñå èõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî ïðåäïîëàãàþòñÿ ðàâ-
íûìè O(1) â Ξ(3). Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
R1, R2, R3, M2, M3, M1D, M2D (y, v, p) = O2(1), (y, v, p) ∈ Ξ(3). (14)
77
Á.È. Êîíîñåâè÷
Ñîîòíîøåíèå ξ ∈ Ξ âìåñòå ñ (13), (14) ïîçâîëÿåò îöåíèòü â È-ñèñòåìå ïîðÿäêè ìàê-
ñèìóìîâ ìîäóëåé è ïîñòîÿííûõ Ëèïøèöà ïî ξ äëÿ ôóíêöèé, ñâÿçàííûõ ñ óðàâíåíèÿìè
äâèæåíèÿ è çàâèñÿùèõ îò ξ, ε. Îäíàêî èç âûïîëíåíèÿ ýòèõ ñîîòíîøåíèé äëÿ È-ñèñòåìû
íå ñëåäóåò, ÷òî îíè èìåþò ìåñòî è äëÿ Ï-ñèñòåìû íà âñåì ïðîìåæóòêå [t0; tmax]. ×òîáû
îáîéòè ýòó òðóäíîñòü, ââåäåì çàìêíóòóþ îáëàñòü Ξε, ñîäåðæàùóþ Ξ, ïîëàãàÿ
Ξε = {ξ : (−ε,−ε,−1,
√
ε(Cv∗ − ε),−C∗
θ − ε,−1, Cp∗ − ε) ≤ ξ ≤
≤ (C∗
x + ε, C∗
y + ε, 1, C∗
v + ε, C∗
θ + ε, 1, C∗
p + ε)}.
(15)
Çäåñü âñå ïîñòîÿííûå, îáîçíà÷åííûå áóêâîé C ñ èíäåêñàìè, èçìåíåíû íå áîëåå, ÷åì
íà ε, ïî ñðàâíåíèþ ñ îïðåäåëåíèåì Ξ. Ïîýòîìó â îáëàñòè Ξε ôóíêöèè, ñâÿçàííûå ñ
óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, èìåþò òàêèå æå ïî ïîðÿäêó ìàêñèìóìû ìîäóëåé è
ïîñòîÿííûå Ëèïøèöà ïî ξ, êàê è â Ξ.
4. Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé óãëîâûõ êîëåáàíèé. Îáîçíà÷èì ÷å-
ðåç e1, d1(ξ
(4), ε) çíà÷åíèÿ Ω,∆, ïðè êîòîðûõ ïðàâûå ÷àñòè (5) ðàâíû íóëþ:
e1 = bl/(ib− ak), d1 = −al/(ib− ak).
Äëÿ ôóíêöèè a(ξ(3), ε), îïðåäåëåííîé â (6), ïðîèçâîäíàÿ ïî t â ñèëó (3) èìååò âèä
ȧ(ξ(4), ε) = a1
0(ξ
(3), ε) + a1
1(ξ
(4), ε), ãäå a1
0(ξ
3, ε) = iε4pvM
(0)
1D (y, v)/I2 � ãëàâíûé, a
1
1 � äîïîë-
íèòåëüíûé ÷ëåíû. Ââåäåì ôóíêöèè w, λj = nj + iωj, çàâèñÿùèå îò ξ(3), ε, è ôóíêöèè
λ+
j (ξ(4), ε) (j = 1, 2) ïî ôîðìóëàì
w =
(a− k)2
4
− ib+ ak − a1
0
2
, λj =
a− k
2
±
√
w, λ+
j = λj −
ẇ
4w
(j = 1, 2),
âåðõíèé çíàê ñîîòâåòñòâóåò j = 1, à íèæíèé � j = 2. ×åðåç ρ îáîçíà÷èì çàâèñÿùóþ îò
ξ(4), z1, z2, ε ôóíêöèþ
ρ =
1
w1/2
(
ẅ
8w
− 5ẇ2
32w2
− a1
1 + k̇
4
)
.
Äëÿ È-ñèñòåìû ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Ω,∆(t0, ε) = O(1), à íà òðàåêòîðèè ïîëåòà
ñíàðÿäà âûïîëíåíî óñëîâèå Ìàèåâñêîãî 1 − 4I2v
2M
(0)
3 /I2
1p
2 > 0 è íåðàâåíñòâà n1, n2 ≤
≤ O+(ε4). Òîãäà òàê æå, êàê â [5], óñòàíàâëèâàþòñÿ îöåíêè
Ω,∆(t; ε) = O(1), t ∈ [t0; tmax]. (16)
Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ ξ ∈ Ξ îíè ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äëÿ È-ñèñòåìû ïîðÿäêè ñâÿ-
çàííûõ ñ íåé ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò âñåõ ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ.  ÷àñòíîñòè, èìååì
e1 = O(ε3/2), d1 = O(ε1/2), ė1 = O(ε5), ḋ1 = O(ε4), k = O(ε2), k̇ = O(ε5);
a1
0 = O(ε4), a1
1 = O(ε5), w = O∗(1), ẇ = O(ε3), ẅ = O(ε6), ρ = O(ε5);
λj, λ
+
j , ωj = O(1), nj = O(ε2) (j = 1, 2); 1/ω1 = O∗(1), 1/ω2 = O(ε−1).
(17)
Ïîñêîëüêó tmax − t0 = O(ε−3), òî ïðè n1, n2 ≤ O+(ε4) ïîëó÷àåì
∣∣∣exp
t∫
t0
λj(τ, ε) dτ
∣∣∣ = exp
t∫
t0
nj(τ, ε) dτ = 1 +O+(ε), t ∈ [t0; tmax], j = 1, 2. (18)
78
Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, çàïèñàííûõ â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà
Êðîìå òîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (4), (7),(11) íà ðåøåíèè È-ñèñòåìû áóäåò
hv = O(ε6); hθ, hψ, hp = O(ε7); hΩ, h∆, gΩ, g∆ = O(ε4). (19)
Ðàññìàòðèâàÿ çàâèñèìîñòü ξ(t, ε) êàê èçâåñòíóþ, îïðåäåëèì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå
È-ïîäñèñòåìû óðàâíåíèé óãëîâûõ êîëåáàíèé (10) ôîðìóëàìè
Ω̃(t, ε) =
2∑
j=1
is̃j(t, ε)[λ
+
j (ξ(t, ε), ε) + k(ξ(t, ε), ε)] exp iϕj(t, ε) + e1(ξ(t, ε), ε),
∆̃(t, ε) =
2∑
j=1
s̃j(t, ε) exp iϕ1(t, ε) + d1(ξ(t, ε), ε),
(20)
ãäå
s̃j(t, ε) = Cj
w1/4(ξ(t0, ε), ε)
w1/4(ξ(t, ε), ε)
exp νj(t, ε),
(21)
νj(t, ε) =
t∫
t0
nj(ξ(τ, ε), ε) dτ, ϕj(t, ε) =
t∫
t0
ωj(ξ(τ, ε), ε) dτ (j = 1, 2).
Äëÿ Cj = s̃j(t0, ε) èç óñëîâèé Ω̃, ∆̃(t0, ε) = Ω,∆(t0, ε) ñëåäóåò, ÷òî Cj = O(1), j = 1, 2.
Ïåðåéäåì, ñëåäóÿ [6], â óðàâíåíèÿõ (10) îò ïåðåìåííûõ Ω,∆ ê íîâûì êîìïëåêñíûì
ïåðåìåííûì s1, s2 ïî ôîðìóëàì
Ω(t, ε) =
2∑
j=1
isj(t, ε)[λ
+
j (ξ(t, ε), ε) + k(ξ(t, ε), ε)] exp iϕj(t, ε) + e1(ξ(t, ε), ε),
∆(t, ε) =
2∑
j=1
sj(t, ε) exp iϕ1(t, ε) + d1(ξ(t, ε), ε).
(22)
Ïîêàæåì, ÷òî ïðè t ∈ [t0; tmax] ñïðàâåäëèâû îöåíêè
sj(t, ε)− s̃j(t, ε) = O(ε), ṡj(t, ε)− ˙̃sj(t, ε) = O(ε), j = 1, 2. (23)
Ïðè çàìåíå (22) óðàâíåíèÿ (10) ïåðåõîäÿò â ñèñòåìó óðàâíåíèé
ṡ1 = (n1 −
ẇ
4w
)s1 + ρ[s1 + s2 exp i(ϕ2 − ϕ1)]−
− 1
2w1/2
[i(hΩ + gΩ − ė1) + (λ+
2 + k)(h∆ + g∆ − ḋ1)] exp(−iϕ1),
ṡ2 = (n2 −
ẇ
4w
)s2 − ρ[s1 exp i(ϕ1 − ϕ2) + s2]+
+
1
2w1/2
[i(hΩ + gΩ − ė1) + (λ+
1 + k)(h∆ + g∆ − ḋ1)] exp(−iϕ2).
(24)
Àðãóìåíòû ôóíêöèé â (24) äëÿ êðàòêîñòè íå óêàçàíû. Ðàçðåøèâ ôîðìóëû çàìåíû (22)
îòíîñèòåëüíî s1, s2, ñ ó÷åòîì (16), (17) óñòàíàâëèâàåì s1, s2 = O(1). Òîãäà, ïðèíèìàÿ âî
âíèìàíèå îöåíêè (17), (18), (19), óðàâíåíèÿ (24) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
ṡj = (nj − ẇ/4w)sj +O(ε4), j = 1, 2. (25)
79
Á.È. Êîíîñåâè÷
Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèé (25) íà exp(−
∫ t
t0
(nj − ẇ/4w dτ1) è ïðîèíòåãðèðóåì
â ïðåäåëàõ îò t0 äî t. Ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèåì t− t0 = O(ε−3) è âûòåêàþùèìè èç (18)
ðàâåíñòâàìè
exp
t∫
τ
(nj − ẇ/4w) dτ1 =
w1/4(ξ(τ, ε), ε)
w1/4(ξ(t, ε), ε)
exp
t∫
τ
nj dτ1 = O(1), t0 ≤ τ ≤ t ≤ t1, j = 1, 2,
ïîëó÷àåì ïåðâóþ îöåíêó (23). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî nj = O(ε2), ẇ/4w = O(ε3), â ïðàâûõ
÷àñòÿõ (25) ïîëàãàåì sj = s̃j + O(ε). Èç ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ âû÷èòàåì ðàâåíñòâà
˙̃sj = (nj − ẇ/4w)s̃j, êîòîðûå ñëåäóþò èç (21), è ïðèõîäèì êî âòîðîé îöåíêå (23).
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàÿ çàâèñèìîñòü ξΠ(t, ε) äëÿ Ï-ñèñòåìû êàê èç-
âåñòíóþ, îïðåäåëèì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå Ï-ïîäñèñòåìû óãëîâûõ êîëåáàíèé ôîðìó-
ëàìè âèäà (20), â êîòîðûõ âìåñòî ôóíêöèé s̃j, ϕj(t, ε) ââåäåíû ôóíêöèè s̃jΠ, ϕjΠ(t, ε).
Îíè îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè âèäà (21) ïðè çàìåíå â íèõ ξ(t, ε) íà ξΠ(t, ε).
Òàê êàê âåêòîðû ξ(t0, ε), ξΠ(t0, ε) ðàâíû è ëåæàò âíóòðè Ξ, òî â òå÷åíèå íåêîòîðîãî
ïðîìåæóòêà âðåìåíè [t0; t
′] áóäåò ξΠ(t, ε) ∈ Ξε, ïðè÷åì ||ξ(t, ε)− ξΠ(t, ε)|| = O(ε). Òîãäà
ïðè t ∈ [t0; t
′] íà òðàåêòîðèè ïîëåòà ñíàðÿäà, îïðåäåëÿåìîé Ï-ñèñòåìîé, èç âûïîëíåíèÿ
óñëîâèé Ìàèåâñêîãî è íåðàâåíñòâ n1, n2 ≤ O+(ε4) äëÿ È-ñèñòåìû ñëåäóåò èõ âûïîëíåíèå
äëÿ Ï-ñèñòåìû. Â ðåçóëüòàòå ïðè t ∈ [t0; t
′] íà ðàññìàòðèâàåìîì ðåøåíèè Ï-ñèñòåìû
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå ξΠ ∈ Ξε è îöåíêè, àíàëîãè÷íûå (16)-(19). Ñëåäîâàòåëüíî,
ââîäÿ âìåñòî ΩΠ,∆Π ïåðåìåííûå sjΠ, j = 1, 2, ïî ôîðìóëàì, àíàëîãè÷íûì (22), ñíîâà
ïîëó÷èì ïðè t ∈ [t0; t
′] îöåíêè âèäà (23):
sjΠ(t, ε)− s̃jΠ(t, ε) = O(ε), ṡjΠ(t, ε)− ˙̃sjΠ(t, ε) = O(ε), j = 1, 2. (26)
5. Îöåíêà ||ξ(t, ε) − ξΠ(t, ε)|| ïðè t ∈ [t0; t
′] . Îáîçíà÷èì ÷åðåç ψ(t, ε) è ψΠ(t, ε)
ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå äëÿ È- è Ï-ñèñòåìû òåì æå óðàâíåíèåì, ÷òî è ψHΠ(t, ε):
ε2ψ̇ = ε4 v
m
[R
(0)
2 (y, v)z1 −R
(0)
3 (y, v, p)z2] + hψ(y, v, p, z1, z2, ε), (27)
ïðè çàäàííîì äëÿ ψH íà÷àëüíîì óñëîâèè. Äëÿ Ï-ñèñòåìû ψHΠ(t, ε) ñîâïàäàåò ñ ψΠ(t, ε),
à äëÿ È-ñèñòåìû ψH(t, ε) îòëè÷àåòñÿ îò ψ(t, ε) èíòåãðàëüíûì äîáàâêîì (ñì. (8)):
ε2ψHΠ(t, ε) = ε2ψΠ(t, ε), ε2ψH(t, ε) = ε2ψ(t, ε) +
t∫
t0
gψ(ξ(τ, ε), z1(τ, ε), z2(τ, ε), ε) dτ. (28)
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå θ̇, ψ̇ â È- è â Ï-ñèñòåìå, òî åñòü ïÿòîå óðàâ-
íåíèå (3) è óðàâíåíèå (27). Óìíîæèâ âòîðîå èç íèõ íà ìíèìóþ åäèíèöó è ñëîæèâ ñ
ïåðâûì, ïîëó÷àåì êîìïëåêñíîå óðàâíåíèå. Ïðè ïîäñòàíîâêå â íåãî ðàññìàòðèâàåìûõ
ðåøåíèé È- è Ï-ñèñòåìû èìååì äâà òîæäåñòâà ïî t. Ïðåäñòàâèì èõ ðàçíîñòü â âèäå
θ̇(t, ε)− θ̇Π(t, ε) + iε2[ψ̇(t, ε)− ψ̇Π(t, ε)] = f̂(ξ(4)(t, ε), ε)− f̂(ξ
(4)
Π (t, ε), ε)+
+[f̂∆(ξ(4)(t, ε), ε)− f̂∆(ξ
(4)
Π (t, ε), ε)]∆(t, ε) + f̂∆(ξ
(4)
Π (t, ε), ε)[∆(t, ε)−∆Π(t, ε)]+
+ĥ(ξ(4)(t, ε), z1(t, ε), z2(t, ε), ε)− ĥ(ξ
(4)
Π (t, ε), z1Π(t, ε), z2Π(t, ε), ε).
(29)
80
Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, çàïèñàííûõ â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà
Çäåñü ïðèíÿòû îáîçíà÷åíèÿ
f̂(ξ(4), ε) = −ε4 g
v
cos θ, f̂∆(ξ(4), ε) = ε4 v
m
[R
(0)
2 (y, v) + iR
(0)
3 (y, v, p)],
ĥ(ξ(4), z1, z2, ε) = hθ(ξ
(4), z1, z2, ε) + ihψ(ξ(4), z1, z2, ε).
 òîæäåñòâå (29) çàìåíèì ∆,∆Π, âõîäÿùèå â ∆ −∆Π, èõ âûðàæåíèÿìè âèäà (22)
÷åðåç ïåðåìåííûå sj, sjΠ, j = 1, 2. Çàòåì ïðîèíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ýòîãî òîæäåñòâà
ïî âðåìåíè â ïðåäåëàõ îò t0 äî t ∈ [t0; tmax]. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ
ðåøåíèé È- è Ï-ñèñòåìû îäèíàêîâû, ïðèõîäèì ê êîìïëåêñíîìó òîæäåñòâó
θ(t, ε)− θΠ(t, ε) + iε2[ψ(t, ε)− ψΠ(t, ε)] =
6∑
j=0
ĥj(t, ε), t ∈ [t0; tmax], (30)
ãäå
ĥ0(t, ε) =
t∫
t0
[
ĥ(ξ(4)(τ, ε), z1(τ, ε), z2(τ, ε), ε)− ĥ(ξ
(4)
Π (τ, ε), z1Π(τ, ε), z2Π(τ, ε), ε)
]
dτ,
ĥ1(t, ε) =
t∫
t0
[
f̂(ξ(4)(τ, ε), ε)− f̂(ξ
(4)
Π (τ, ε), ε)
]
dτ,
ĥ2(t, ε) =
t∫
t0
[
f̂∆(ξ(4)(τ, ε), ε)− f̂∆(ξ
(4)
Π (τ, ε), ε)
]
∆(τ, ε) dτ,
ĥ3(t, ε) =
t∫
t0
f̂∆(ξ
(4)
Π (τ, ε), ε)
[
d1(ξ
(4)(τ, ε), ε)− d1(ξ
(4)
Π (τ, ε), ε)
]
dτ,
ĥ4(t, ε) =
t∫
t0
f̂∆(ξ
(4)
Π (τ, ε), ε)
[ 2∑
j=1
(
sj(τ, ε)− s̃j(τ, ε)
)
exp iϕj(τ, ε)
]
dτ,
ĥ5(t, ε) =
t∫
t0
f̂∆(ξ
(4)
Π (τ, ε), ε)
[ 2∑
j=1
(
s̃jΠ(τ, ε)− sjΠ(τ, ε)
)
exp iϕj(τ, ε)
]
dτ,
ĥ6(t, ε) =
t∫
t0
f̂∆(ξ
(4)
Π (τ, ε), ε)
[ 2∑
j=1
s̃j(τ, ε) exp iϕj(τ, ε)− s̃jΠ(τ, ε) exp iϕjΠ(τ, ε)
]
dτ.
(31)
Äëÿ èíòåãðàëîâ (31) ïðè t ∈ [t0; t
′], t′− t0 = O(ε−3) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè
÷åðåç ε è
∫ t
t0
||ξ(4)(τ, ε)− ξ
(4)
Π (τ, ε)|| dτ :
|ĥ0(t, ε)| ≤ ε4Mh0 , |ĥ1,6(t, ε)| ≤ ε3Lh1,6
t∫
t0
||ξ(4)(τ, ε)− ξ
(4)
Π (τ, ε)|| dτ,
|ĥ2,3(t, ε)| ≤ ε4Lh2,3
t∫
t0
||ξ(4)(τ, ε)− ξ
(4)
Π (τ, ε)|| dτ, |ĥ4,5(t, ε)| ≤ ε3Mh4 .
Ñïîñîá èõ ïîëó÷åíèÿ àíàëîãè÷åí ïðèìåíÿâøåìóñÿ â [3,4,6] è îñíîâàí íà ñäåëàííûõ â
êîíöå ï. 3 çàìå÷àíèÿõ è ñîîòíîøåíèÿõ (16)-(19), (23), (26). Ñ ó÷åòîì ýòèõ îöåíîê èç
òîæäåñòâà (30) ïðè t ∈ [t0; t
′] ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
|θ(t, ε)− θΠ(t, ε) + iε2[ψ(t, ε)− ψΠ(t, ε)]| ≤ ε3L̂
t∫
t0
||ξ(4)(τ, ε)− ξ
(4)
Π (τ, ε)|| dτ + ε3Ĉ,
81
Á.È. Êîíîñåâè÷
ãäå L̂, Ĉ > 0 � ïîñòîÿííûå ïîðÿäêà 1. Ñëåäîâàòåëüíî,
|θ(t, ε)− θΠ(t, ε)|
ε2|ψ(t, ε)− ψΠ(t, ε)|
}
≤ ε3L̂
t∫
t0
||ξ(4)(τ, ε)− ξ
(4)
Π (τ, ε)|| dτ + ε3Ĉ, t ∈ [t0; t
′]. (32)
Âåêòîð-ôóíêöèè ξ
(4)
Π (t, ε) è ξ(4)(t, ε) îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì ñîâìåñòíîãî èíòåãðèðîâà-
íèÿ ïîäñèñòåìû óðàâíåíèé óãëîâûõ êîëåáàíèé (5) è (10) äëÿ Ï- è È-ñèñòåìû âìåñòå
ñ ïîäñèñòåìàìè, ñîñòîÿùèìè èç âòîðîãî, ÷åòâåðòîãî, ïÿòîãî è ñåäüìîãî óðàâíåíèé (3).
Ïîñëåäíèå ïîäñèñòåìû îäèíàêîâû äëÿ Ï- è È-ñèñòåìû, èõ ïðàâàÿ ÷àñòü óäîâëåòâîðÿ-
åò â Ξ
(4)
ε óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ξ(4) ñ ïîñòîÿííîé ïîðÿäêà ε3, à ïåðåìåííûå z1, z2 âõîäÿò
òîëüêî â óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå θ̇Π, θ̇. Ïîýòîìó èç âåðõíåãî íåðàâåíñòâà (32) ñ ó÷åòîì
(4) ñëåäóåò àíàëîãè÷íîå íåðàâåíñòâî äëÿ ξ(4) − ξ
(4)
Π :
||ξ(4)(t, ε)− ξ
(4)
Π (t, ε)|| ≤ ε3L
t∫
t0
||ξ(4)(t, ε)− ξ
(4)
Π (t, ε)|| dτ + ε3C, t ∈ [t0; t
′].
Íà îñíîâàíèè ëåììû Ãðîíóîëëà (ñì. [7]) ïðè t ∈ [t0; t
′] ïîëó÷àåì îòñþäà
||ξ(4)(t, ε)− ξ
(4)
Π (t, ε)|| ≤ ε3C exp ε3L(t− t0) = O+(ε3). (33)
Ïîëüçóÿñü îöåíêîé (33) äëÿ ξ(4) = (y, v, θ, p), íåòðóäíî ïîëó÷èòü îöåíêè ïîãðåøíî-
ñòè äëÿ ïåðåìåííûõ x, z, ψH , íå âêëþ÷åííûõ â âåêòîð ξ(4). Ñ ýòîé öåëüþ îáðàòèìñÿ ê
óðàâíåíèÿì ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ è ïðîäîëüíîãî âðàùåíèÿ (3) äëÿ Ï-ñèñòåìû è
ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèÿì äëÿ È-ñèñòåìû. Ïîäñòàâèâ â íèõ ðàññìàòðèâàåìûå ðå-
øåíèÿ Ï- è È-ñèñòåìû, ïðèõîäèì ê òîæäåñòâàì ïî t.
Ïðîèíòåãðèðîâàâ øåñòûå êîìïîíåíòû ýòèõ òîæäåñòâ, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà (28). Òàê
êàê O∗(ε) ≤ v2 ≤ O∗(1), òî âî âòîðîì èç íèõ, ñîãëàñíî (9), èìååì gψ = O(ε11/2). Äàëåå,
èç íèæíåãî íåðàâåíñòâà (32) ñ ó÷åòîì îöåíêè (33) ñëåäóåò, ÷òî ïðè t ∈ [t0; t
′] áóäåò
ε2|ψ(t, ε) − ψΠ(t, ε)| ≤ O+(ε3). Ïîýòîìó, âû÷èòàÿ ðàâåíñòâà (28) îäíî èç äðóãîãî, ïîëó-
÷àåì ïðè t ∈ [t0; t
′] îöåíêó
ε2|ψH(t, ε)− ψHΠ(t, ε)| = O+(ε5/2). (34)
Ðàññìîòðèì äëÿ È- è Ï-ñèñòåìû òîæäåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâîìó è òðåòüåìó óðàâ-
íåíèÿì (3). Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîòíîøåíèÿìè (33), (34), ïðèõîäèì ïðè ïðè t ∈ [t0; t
′] ê
îöåíêàì
|x(t, ε)− xΠ(t, ε)| = O+(ε3), ε2|z(t, ε)− zΠ(t, ε)| = O+(ε5/2). (35)
Èòàê, ïðè t ∈ [t0; t
′] äëÿ âåêòîðà ξ(4) ñïðàâåäëèâà îöåíêà (33), à äëÿ êîìïîíåíò
âåêòîðà ξ, íå âêëþ÷åííûõ â ξ(4), ïîëó÷åíû îöåíêè (35).
6. Îöåíêà ||ξ(t, ε)− ξΠ(t, ε)|| ïðè [t0; tmax]. Ñîãëàñíî ïðîöåäóðå âûâîäà îöåíêè
(33) äëÿ ||ξ(4) − ξ
(4)
Π ||, îíà ñïðàâåäëèâà íà îòðåçêå [t0; t
′] ⊆ [t0; tmax], ãäå
ξ(4), ξ
(4)
Π (t, ε) ∈ Ξ(4)
ε ; ||ξ(4)(t, ε)− ξ
(4)
Π (t, ε)|| = O+(ε). (36)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (36) âûïîëíÿþòñÿ òîëüêî íà ÷àñòè [t0; t
′] îòðåçêà
[t0; tmax], òî åñòü ïðè t > t′ îíè íå èìåþò ìåñòà. Òîãäà â ìîìåíò t′ âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç
82
Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà, çàïèñàííûõ â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà
äâóõ äîïóùåíèé: 1) òî÷êà ξ
(4)
Π (t′, ε) ïðèíàäëåæèò ãðàíèöå Ξ
(4)
ε , à ïîðÿäîê ||ξ(4) − ξ
(4)
Π ||
ïðè t = t′ âûøå ëèáî ðàâåí ε; 2) òî÷êà ξ
(4)
Π (t′, ε) ëåæèò â Ξ
(4)
ε , íî ïîðÿäîê ||ξ(4) − ξ
(4)
Π ||
ïðè t = t′ ñòðîãî ðàâåí ε.
Âòîðîå èç ýòèõ äîïóùåíèé ïðîòèâîðå÷èò îöåíêå (33), êîòîðàÿ, ïî äîêàçàííîìó,
âûïîëíÿåòñÿ â ìîìåíò t′. Ïîêàæåì, ÷òî è ïåðâîå äîïóùåíèå ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ.
 ñàìîì äåëå, ãðàíèöàìè çàìêíóòûõ îáëàñòåé Ξ(4), Ξ
(4)
ε , ñîîòâåòñòâóþùèõ (12), (15),
ÿâëÿþòñÿ ÷àñòè ãèïåðïëîñêîñòåé, îðòîãîíàëüíûõ îñÿì êîîðäèíàò. Ïðè ýòîì îáëàñòü
Ξ
(4)
ε ñêîíñòðóèðîâàíà òàê, ÷òî ðàññòîÿíèå îò ëþáîé òî÷êè åå ãðàíèöû äî îáëàñòè Ξ(4)
îòñ÷èòûâàåòñÿ âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòû è áîëüøå O+(ε3). Ïîýòîìó â íîðìå
|| · || ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ξ(4)
Π (t′, ε), ëåæàùåé, ñîãëàñíî äîïóùåíèþ, íà ãðàíèöå Ξ
(4)
ε , äî
òî÷êè ξ(4)(t′, ε), ëåæàùåé â Ξ(4), áîëüøå O+(ε3/2). Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îöåíêå (33), êîòîðàÿ
â ìîìåíò t′ îáÿçàíà âûïîëíÿòüñÿ.
Èòàê, íè îäíî èç ñäåëàííûõ äîïóùåíèé íåâîçìîæíî, è ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèÿ (36)
âûïîëíåíû íà âñåì îòðåçêå [t0; tmax]. Ïîýòîìó îöåíêà (33), à âìåñòå ñ íåé è îöåíêè (34),
(35) ñïðàâåäëèâû íà [t0; tmax].
 È-ñèñòåìå ÷ëåíû gψ, gΩ, g∆, õàðàêòåðèçóþùèå åå îòëè÷èå îò Ï-ñèñòåìû, è ñëå-
äîâàòåëüíî, îïðåäåëÿþùèå ïîãðåøíîñòü Ï-ñèñòåìû ïî ñðàâíåíèþ ñ È-ñèñòåìîé, èìåþò
ïîðÿäêè gψ = O(ε11/2), gΩ = O(ε4), g∆ = O(ε4). Îíè âõîäÿò â È-ñèñòåìó â ñóììå ñ
íåëèíåéíûìè ÷ëåíàìè hψ = O(ε7), hΩ = O(ε4), h∆ = O(ε4), îïðåäåëÿþùèìè ïîãðåø-
íîñòü ïðèíÿòîãî â ðàáîòå ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ. Ïîñêîëüêó hψ, hΩ, h∆ ïî àáñîëþòíîé
âåëè÷èíå ìåíüøå èëè ïðèìåðíî ðàâíû gψ, gΩ, g∆, òî ïðèíÿòûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ íå
ïðèâîäèò ê îãðóáëåíèþ èñêîìîé îöåíêè ïîãðåøíîñòè Ï-ñèñòåìû.
7. ×èñëîâûå îöåíêè. Ïðè ââåäåíèè â [3] ìàëîãî ïàðàìåòðà ε èñõîäíûå ïåðå-
ìåííûå x, y, z, v, θ, ψH , p îòíåñåíû ê 10000 ì, 10000 ì, 100 ì, 1000 ì/ñ, 1 ðàä, 0,1 ðàä,
1000 ðàä/ñ, à ñàì ìàëûé ïàðàìåòð ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 0,1. Ïîýòîìó îöåíêàì (33)�(35)
ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííûå ÷èñëîâûå îöåíêè äëÿ èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ. Èç íèõ, â
÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ïîãðåøíîñòè îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò x, y, z öåíòðà ìàññ ñíàðÿ-
äà óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà èçìåðÿþòñÿ äåñÿòêàìè ìåòðîâ (ïðè
ñòðåëüáå íà 10 êì è áîëåå), ïðè÷åì ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ z ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê
ñòà ìåòðàì.
1. Äìèòðèåâñêèé À.À., Ëûñåíêî Ë.Í., Áîãîäèñòîâ Ñ.Ñ. Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà. 3-å èçä. � Ì.: Ìàøè-
íîñòðîåíèå, 1991. � 640 ñ.
2. Ïóãà÷åâ Â.Ñ. Îáùàÿ çàäà÷à î äâèæåíèè âðàùàþùåãîñÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà â âîçäóõå // Òð.
ÂÂÈÀ èì. Æóêîâñêîãî. � 1940. � Âûï. 70. � 90 ñ.
3. Êîíîñåâè÷ Á.È. Èññëåäîâàíèå äèíàìèêè ïîëåòà îñåñèììåòðè÷íîãî ñíàðÿäà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî
òåëà. � 2000. � Âûï. 30. � Ñ. 109-119.
4. Êîíîñåâè÷ Á.È. Îöåíêà ïîãðåøíîñòè êëàññè÷åñêîé ñõåìû àñèìïòîòè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâ-
íåíèé äâèæåíèÿ îñåñèììåòðè÷íîãî ñíàðÿäà // Òàì æå. � 2002. � Âûï. 32. � Ñ. 88-98.
5. Êîíîñåâè÷ Á.È. Ê òåîðèè ïîëåòà îñåñèììåòðè÷íîãî ñíàðÿäà // Òàì æå. � 1999. � Âûï. 28. �
Ñ. 51-61.
6. Êîíîñåâè÷ Á.È.Î ïðèìåíåíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â òåîðèè ïîëåòà îñåñèììåòðè÷íîãî ñíàðÿäà
// Òàì æå. � 2001. � Âûï. 31. � Ñ. 63-75.
7. Õàðòìàí Ô. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. � Ì.: Ìèð, 1970. � 720 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
konos@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 21.09.05
83
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123765 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:50:18Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коносевич, Б.И. 2017-09-09T14:42:42Z 2017-09-09T14:42:42Z 2005 Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева / Б.И. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 73-83. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123765 531.35 Дана оценка погрешности определения траектории центра масс снаряда, обусловленной неточностью, которая допущена при выводе уравнений движения снаряда в форме В.С. Пугачева. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева Article published earlier |
| spellingShingle | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева Коносевич, Б.И. |
| title | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева |
| title_full | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева |
| title_fullStr | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева |
| title_full_unstemmed | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева |
| title_short | Об уравнениях движения снаряда, записанных в форме В.С. Пугачева |
| title_sort | об уравнениях движения снаряда, записанных в форме в.с. пугачева |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123765 |
| work_keys_str_mv | AT konosevičbi oburavneniâhdviženiâsnarâdazapisannyhvformevspugačeva |