Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий
Для вычисления первого интеграла по теореме Эмми Нётер требуется, чтобы уравнения Лагранжа допускали группу вариационных симметрий. Изучается случай, когда уравнения Лагранжа допускают гладкое семейство (не обязательно группу) вариационных симметрий....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123766 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий / Г.Н. Яковенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 92-96. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859684180213891072 |
|---|---|
| author | Яковенко, Г.Н. |
| author_facet | Яковенко, Г.Н. |
| citation_txt | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий / Г.Н. Яковенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 92-96. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Для вычисления первого интеграла по теореме Эмми Нётер требуется, чтобы уравнения Лагранжа допускали группу вариационных симметрий. Изучается случай, когда уравнения Лагранжа допускают гладкое семейство (не обязательно группу) вариационных симметрий.
|
| first_indexed | 2025-11-30T21:57:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. Ã.Í. ßêîâåíêî
ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÒÅÎÐÅÌÛ ÝÌÌÈ Í�ÒÅÐ
ÍÀ ÑËÓ×ÀÉ ÍÅÃÐÓÏÏÎÂÛÕ ÑÈÌÌÅÒÐÈÉ
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðâîãî èíòåãðàëà ïî òåîðåìå Ýììè ͼòåð òðåáóåòñÿ, ÷òîáû óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
äîïóñêàëè ãðóïïó âàðèàöèîííûõ ñèììåòðèé. Èçó÷àåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äîïóñêàþò
ãëàäêîå ñåìåéñòâî (íå îáÿçàòåëüíî ãðóïïó) âàðèàöèîííûõ ñèììåòðèé.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñåìåéñòâî íåîñîáåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé (τ− ïàðàìåòð ñåìåéñòâà)
t̂ = t̂(t, q, τ),
(1)
q̂i = q̂i(t, q, τ), i = 1, n,
êîòîðîå åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (íå îáÿçàòåëüíî àâòîíîì-
íûõ)
dt̂
dτ
= ξ(t̂, q̂, τ),
(2)
dq̂i
dτ
= ηi(t̂, q̂, τ), i = 1, n,
ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
t̂(0) = t, q̂i(0) = q, i = 1, n. (3)
Ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèíàäëåæàùåå ñåìåéñòâó (1), íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì âàðè-
àöèîííîé ñèììåòðèè [1�3] ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
= 0, (4)
îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé Ëàãðàíæà L(t, q, q̇), åñëè îíî ñâÿçàíî ñ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà
ñîîòíîøåíèåì
L
(
t̂, q̂,
dq̂
dt̂
)
dt̂ = L
(
t, q,
dq
dt
)
dt,
èëè ýêâèâàëåíòíûì ñîîòíîøåíèåì
L
(
t̂, q̂,
dq̂
dt̂
)dt̂
dt
= L
(
t, q,
dq
dt
)
. (5)
Òåîðåìà. Ïóñòü êàæäîå ïðåîáðàçîâàíèå ñåìåéñòâà (1) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå âàðè-
àöèîííîé ñèììåòðèè äëÿ ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû, îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé Ëàãðàíæà
L(t, q, q̇), ò. å. äëÿ L(t, q, q̇) è ñåìåéñòâà (1) ïðè êàæäîì çíà÷åíèè τ âûïîëíÿåòñÿ ðà-
âåíñòâî (5). Òîãäà ó ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû åñòü ñåìåéñòâî ïåðâûõ èíòåãðàëîâ
w(t, q, q̇, τ) =
n∑
i=1
piηi(t, q, τ)− ξ(t, q, τ)H = c, (6)
92
Ìîäèôèêàöèÿ òåîðåìû Ýììè ͼòåð
ãäå ξ(t, q, τ), ηi(t, q, τ)− ôóíêöèè, ðàñïîëîæåííûå â ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû (2), à pi è H−
îáîçíà÷åíèÿ äëÿ îáîáùåííîãî èìïóëüñà è äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà [3]:
pi =
∂L
∂q̇i
, H(t, q, p) =
n∑
i=1
piq̇i − L(t, q, q̇) =
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
q̇i − L(t, q, q̇). (7)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîòðåáóþòñÿ ôîðìóëû (ó÷òåíû ïåðåñòàíîâî÷íîñòü äèôôåðåíöè-
ðîâàíèÿ ïî íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûì τ è t è óðàâíåíèÿ (2))
d
dτ
dt̂
dt
=
d
dt
dt̂
dτ
=
dξ(t̂, q̂, τ)
dt
=
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
dt̂
dt
, (8)
d
dτ
dq̂i
dt̂
=
d
dτ
dq̂i
dt
dt̂
dt
=
(
d
dτ
dq̂i
dt
)
dt̂
dt
− dq̂i
dt
(
d
dτ
dt̂
dt
)
(
dt̂
dt
)2 =
(
d
dt
dq̂i
dτ
)
dt̂
dt
− dq̂i
dt
(
d
dt
dt̂
dτ
)
(
dt̂
dt
)2 =
(9)
=
dηi(t̂, q̂, τ)
dt
dt̂
dt
− dq̂i
dt
dξ(t̂, q̂, τ)
dt(
dt̂
dt
)2 =
dηi(t̂, q̂, τ)
dt̂
− dq̂i
dt̂
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
.
Ïîòðåáóåòñÿ òàêæå ôîðìóëà [3]
∂L
∂t
= −∂H
∂t
= −dH
dt
. (10)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ (6) òåîðåìû ïðîäèôôåðåíöèðóåì óñëîâèå (5) ïî τ
(ó÷òåíû óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (4) è ôîðìóëû (2), (4) � (10)):{
∂L
∂t̂
ξ(t̂, q̂, τ) +
n∑
i=1
∂L
∂q̂i
ηi(t̂, q̂, τ) +
n∑
i=1
∂L
∂ ˙̂qi
(
dηi(t̂, q̂, τ)
dt̂
− ˙̂qi
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
)}
dt̂
dt
+
+L
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
dt̂
dt
(4)
=
=
{
∂L
∂t̂
ξ(t̂, q̂, τ) +
n∑
i=1
d
dt
∂L
∂ ˙̂qi
ηi(t̂, q̂, τ) +
n∑
i=1
∂L
∂ ˙̂qi
(
dηi(t̂, q̂, τ)
dt̂
− ˙̂qi
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
)}
dt̂
dt
+
+L
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
dt̂
dt
(10)
=
=
{
−dH
dt̂
ξ(t̂, q̂, τ) +
d
dt̂
n∑
i=1
∂L
∂ ˙̂qi
ηi(t̂, q̂, τ)−
n∑
i=1
(
∂L
∂ ˙̂qi
˙̂qi − L
)
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
}
dt̂
dt
(7)
=
=
{
−dH
dt̂
ξ(t̂, q̂, τ) +
d
dt̂
n∑
i=1
p̂iηi(t̂, q̂, τ)−H
dξ(t̂, q̂, τ)
dt̂
}
dt̂
dt
=
93
Ã.Í. ßêîâåíêî
=
d
dt̂
{
n∑
i=1
p̂iηi(t̂, q̂, τ)− ξ(t̂, q̂, τ)H
}
dt̂
dt
= 0 .
Êàê ñëåäóåò èç (3), ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ τ âûïîëíÿåòñÿ dt̂/dt 6= 0, ïîýòîìó íà ðåøåíè-
ÿõ ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè Ëàãðàíæà L(t̂, q̂, ˙̂q), ñîõðàíÿåòñÿ
ôîðìóëà, íàõîäÿùàÿñÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ, ÷òî äîêàçûâàåò
ñîõðàíåíèå âûðàæåíèå (6) äëÿ ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû ñ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà L(t, q, q̇). �
Ñëåäñòâèå (òåîðåìà Ýììè ͼòåð [4]). Ïóñòü ñåìåéñòâî (1) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì òåîðåìû è ÿâëÿåòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïîé: â êàæäîì óðàâíåíèè ñè-
ñòåìû (2) ïðàâàÿ ÷àñòü èìååò âèä ξ(t̂, q̂, τ) = ξ̃(t̂, q̂)f(τ), ηi(t̂, q̂, τ) = η̃i(t̂, q̂)f(τ) ñ
îäíîé è òîé æå ôóíêöèåé f(τ). Òîãäà ó ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû åñòü ïåðâûé èíòåãðàë
w(t, q, q̇) =
n∑
i=1
piη̃i(t, q)− ξ̃(t, q)H = c.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ãàðàíòèðîâàííûé òåîðåìîé ïåðâûé èíòåãðàë (6) ïîäåëèòü
íà ïîñòîÿííóþ (äëÿ êàæäîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ) f(τ), òî ïîëó÷èòñÿ ïðèâåäåííûé â ôîð-
ìóëèðîâêå ñëåäñòâèÿ ïåðâûé èíòåãðàë. �
Ïðèìåð. Ïîëîæåíèå N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê çàìêíóòîé êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû
çàäàåòñÿ â îðòîíîðìèðîâàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
ri = xii+ yij+ zik, i = 1, N .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Π(r`k) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèé r`k
ìåæäó òî÷êàìè:
r2
`k = |r` − rk|2 = (x` − xk)
2 + (y` − yk)
2 + (z` − zk)
2, `, k = 1, N.
Ñèñòåìå ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà
L = T − Π =
1
2
N∑
i=1
mi(x
2
i + y2
i + z2
i )− Π(r`k) , (11)
îáîáùåííûå èìïóëüñû (7):
px
i = miẋi, py
i = miẏi, pz
i = miżi (12)
è ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà (â ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåííûõ)
H = T + Π =
1
2
N∑
i=1
mi(ẋ
2
i + ẏ2
i + ż2
i ) + Π(r`k). (13)
Çàïèøåì òàêæå ëåâóþ ÷àñòü óñëîâèÿ (5) äëÿ ïðîâåðêè êîíêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ íà
âàðèàöèîííóþ ñèììåòðèþ
L
(
t̂, q̂,
dq̂
dt̂
)
dt̂
dt
=
{
1
2
N∑
i=1
mi
[(
dx̂i
dt̂
)2
+
(
dŷi
dt̂
)2
+
(
dẑi
dt̂
)2
]
− Π(r̂`k)
}
dt̂
dt
, (14)
ãäå îáîçíà÷åíî
r̂2
`k = (x̂` − x̂k)
2 + (ŷ` − ŷk)
2 + (ẑ` − ẑk)
2 . (15)
94
Ìîäèôèêàöèÿ òåîðåìû Ýììè ͼòåð
Äëÿ ââåäåííîé â ïðèìåðå ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû èçâåñòíà äåñÿòèïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóï-
ïà ñèììåòðèé [5] � ãðóïïà Ãàëèëåÿ (îòìåòèì, ÷òî ïóáëèêàöèÿ [5] ïîÿâèëàñü â ñâåò íà
äâà ãîäà ðàíüøå ñòàòüè Ýììè ͼòåð [4]). Ïðèâåäåì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ïîäãðóïïû
ãðóïïû Ãàëèëåÿ (ñäâèãè ïî âðåìåíè è êîîðäèíàòàì, âðàùåíèÿ âîêðóã êîîðäèíàòíûõ
îñåé, ïåðåõîäû â äðóãóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò):
t̂ = t− τ1, x̂i = xi, ŷi = yi, ẑi = zi;
t̂ = t, x̂i = xi + τ2, ŷi = yi, ẑi = zi;
t̂ = t, x̂i = xi, ŷi = yi + τ3, ẑi = zi;
t̂ = t, x̂i = xi, ŷi = yi, ẑi = zi + τ4;
t̂ = t, x̂i = xi, ŷi = yi cos τ5 − zi sin τ5, ẑi = yi sin τ5 + zi cos τ5;
t̂ = t, x̂i = xi cos τ6 − zi sin τ6, ŷi = yi, ẑi = xi sin τ6 + zi cos τ6;
t̂ = t, x̂i = xi + tτ8, ŷi = yi, ẑi = zi;
t̂ = t, x̂i = xi, ŷi = yi + tτ9, ẑi = zi;
t̂ = t, x̂i = xi, ŷi = yi, ẑi = zi + tτ10.
Êàæäàÿ èç ïîäãðóïï åñòü ñîâîêóïíîñòü âàðèàöèîííûõ (τ1 − τ7) èëè äèâåðãåíòíûõ (τ8−
−τ10) ñèììåòðèé [1�3]. Ïîäãðóïïû ïîðîæäàþò äåñÿòü ïåðâûõ èíòåãðàëîâ: ïîëíóþ ìå-
õàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ E = H (ñì. (13)), âåêòîð èìïóëüñà, âåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà,
âåêòîð ñêîðîñòè öåíòðà èíåðöèè ñèñòåìû.
Ðàññìîòðèì ïîäãðóïïó ñäâèãîâ ïî êîîðäèíàòå x
t̂ = t, x̂i = xi + τ2, ŷi = yi, ẑi = zi (16)
è ïîäãðóïïó âðàùåíèé âîêðóã îñè z
t̂ = t, x̂i = xi cos τ7 − yi sin τ7, ŷi = xi sin τ7 + yi cos τ7; ẑi = zi. (17)
Êàæäîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäãðóïï (16) è (17) ÿâëÿåòñÿ äëÿ ñèñòåìû ñ ëàãðàíæèàíîì (11)
ïðåîáðàçîâàíèåì âàðèàöèîííîé ñèììåòðèè � óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (5) (äëÿ ïðîâåðêè
íóæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëû (14), (15)) . Ïðåîáðàçîâàíèåì âàðèàöèîííîé ñèììåòðèè
ÿâëÿåòñÿ è ñóïåðïîçèöèÿ ïðåîáðàçîâàíèé ïîäãðóïï (16) è (17) � ïîñëåäîâàòåëüíîå âû-
ïîëíåíèå îäíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, çàòåì äðóãîãî. Ñóïåðïîçèöèÿ ïîäãðóïï (16) è (17) è
ñïåöèàëèçàöèÿ ïàðàìåòðîâ τ2 = aτ, τ7 = τ (τ− ïàðàìåòð ñåìåéñòâà, a = const ) ïðè-
âîäèò ê îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó âàðèàöèîííûõ ñèììåòðèé ñèñòåìû ñ ëàãðàí-
æèàíîì (11):
t̂ = t, x̂i = xi cos τ − yi sin τ + aτ, ŷi = xi sin τ + yi cos τ ; ẑi = zi. (18)
Ñåìåéñòâî åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (2)
dt̂
dτ
= 0 = ξ(t̂, x̂, ŷ, ẑ, τ),
dx̂i
dτ
= −ŷi + a = ηx
i (t̂, x̂, ŷ, ẑ, τ),
dŷi
dτ
= x̂i − aτ = ηy
i (t̂, x̂, ŷ, ẑ, τ),
dẑi
dτ
= 0 = ηz
i (t̂, x̂, ŷ, ẑ, τ)
(19)
95
Ã.Í. ßêîâåíêî
ïðè íà÷àëüíûõ äàííûõ (3). Ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåìû (19) íå ïðåäñòàâèìû â âèäå ξ(t̂, q̂, τ) =
= ξ̃(t̂, q̂)f(τ), ηi(t̂, q̂, τ) = η̃i(t̂, q̂)f(τ) ñ îäíîé è òîé æå ôóíêöèåé f(τ), ïîýòîìó ñåìåé-
ñòâî (18) íå åñòü ãðóïïà, â ÷åì ìîæíî óáåäèòüñÿ è íåïîñðåäñòâåííî ïî óðàâíåíèÿì
(18) ñåìåéñòâà. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ òåîðåìû Ýììè ͼòåð (ñì. ñëåäñòâèå) íå âû-
ïîëíåíû. Â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì òåîðåìû çàìêíóòàÿ êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìû
ñ ëàãðàíæèàíîì (11) èìååò ñåìåéñòâî ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (6) (ó÷òåíû âûðàæåíèÿ (12)
äëÿ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ):
w(τ, a) =
N∑
i=1
mi{ẋi(a− yi) + ẏi(xi − aτ)} = Kz + aPx − aτPy . (20)
Ââåäåíû: îáîçíà÷åíèå Kz =
N∑
i=1
mi(ẏixi − ẋiyi) äëÿ ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòå-
ìû íà îñü z è îáîçíà÷åíèÿ Px =
N∑
i=1
miẋi, Py =
N∑
i=1
miẏi äëÿ ïðîåêöèé èìïóëüñà ñè-
ñòåìû íà îñè x è y. Èç ñåìåéñòâà (20) âûäåëÿþòñÿ òðè áàçèñíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëà:
Kz = w(0, 0), Px = w(0, 1) − w(0, 0), Py = w(0, 1) − w(1, 1). Ïîÿâëåíèå ïåðâîãî èíòå-
ãðàëà Py îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî èìåííî ãðóïïà ñäâèãà ïî êîîðäèíàòå y äîïîëíÿåò äâå
îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû (16) è (17) äî òðåõïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû.
Ðàáîòà ïîääåðæàíà ÐÔÔÈ (êîä ïðîåêòà 05-01-00940) è Cîâåòîì Ïðîãðàìì ïîä-
äåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë (ãðàíò ÍØ-2094.2003.1).
1. Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. � Ì.: Íàóêà, 1978. � 400 ñ.
2. Îëâåð Ï. Ïðèëîæåíèå ãðóïï Ëè ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì / Ïåð. ñ àíãë. � Ì.: Ìèð, 1989.
� 639 ñ.
3. ßêîâåíêî Ã.Í. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè. � Ì.: ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2004.
� 238 ñ.
4. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Nachr. K�onig. Gesell. Wissen. G�ottingen, Math-Phys. �
1918. � Kl. � S. 235-257.
5. Engel F. �Uber zehn algemeinen Integrale der klassischen Mechanik // Ibid. � 1916. � Kl. � S. 270-275.
Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èí-ò (ãîñ. óí-ò)
yakovenko_g@mtu-net.ru
Ïîëó÷åíî 06.09.05
96
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123766 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T21:57:30Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Яковенко, Г.Н. 2017-09-09T14:45:35Z 2017-09-09T14:45:35Z 2005 Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий / Г.Н. Яковенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 92-96. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123766 531.38 Для вычисления первого интеграла по теореме Эмми Нётер требуется, чтобы уравнения Лагранжа допускали группу вариационных симметрий. Изучается случай, когда уравнения Лагранжа допускают гладкое семейство (не обязательно группу) вариационных симметрий. Работа поддержана РФФИ (код проекта 05-01-00940) и Советом Программ поддержки ведущих научных школ (грант НШ-2094.2003.1). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий Article published earlier |
| spellingShingle | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий Яковенко, Г.Н. |
| title | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий |
| title_full | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий |
| title_fullStr | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий |
| title_full_unstemmed | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий |
| title_short | Модификация теоремы Эмми Нетер на случай негрупповых симметрий |
| title_sort | модификация теоремы эмми нетер на случай негрупповых симметрий |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123766 |
| work_keys_str_mv | AT âkovenkogn modifikaciâteoremyémmineternaslučainegruppovyhsimmetrii |