О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé
Задача о скольжении материальной точки по неподвижной наклонной плоскости с трением является частным случаем задачи баллистики. Подчеркивается, что существенный вклад в ее решение внесли J.H. Jellett, A.J. Morin, Д.К. Бобылёв, P. Painlevé и E. Collignon. Определены условия существования множества пр...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123772 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé / В.И. Гончаренко, В.А. Гончаренко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 136-144. — Бібліогр.: 57 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860173597220274176 |
|---|---|
| author | Гончаренко, В.И. Гончаренко, В.А. |
| author_facet | Гончаренко, В.И. Гончаренко, В.А. |
| citation_txt | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé / В.И. Гончаренко, В.А. Гончаренко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 136-144. — Бібліогр.: 57 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Задача о скольжении материальной точки по неподвижной наклонной плоскости с трением является частным случаем задачи баллистики. Подчеркивается, что существенный вклад в ее решение внесли J.H. Jellett, A.J. Morin, Д.К. Бобылёв, P. Painlevé и E. Collignon. Определены условия существования множества предельных положений материальной точки и указаны свойства этого множества, аффинно эквивалентного одной из замечательных кривых улитке Паскаля.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.36:534.1
c©2005. Â.È. Ãîí÷àðåíêî, Â.À. Ãîí÷àðåíêî
Î ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÌÅÕÀÍÈÊÈ
ÁÎÁÛËÅÂÀ � JELLETT'à � MORIN'à � PAINLEV�E
Çàäà÷à î ñêîëüæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî íåïîäâèæíîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ òðåíèåì ÿâëÿåòñÿ
÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è áàëëèñòèêè. Ïîä÷åðêèâàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâåííûé âêëàä â åå ðåøåíèå âíåñëè
J.H. Jellett, A.J. Morin, Ä.Ê. Áîáûë¼â, P. Painlev�e è E. Collignon. Îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
ìíîæåñòâà ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè è óêàçàíû ñâîéñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà, àôôèííî
ýêâèâàëåíòíîãî îäíîé èç çàìå÷àòåëüíûõ êðèâûõ � óëèòêå Ïàñêàëÿ.
Ââåäåíèå. Îäíîé èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î ñêîëüæå-
íèè òÿæåëîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî íåïîäâèæíîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ïðè íàëè÷èè
òðåíèÿ. Åå ðåøåíèå è àíàëèç ñâîéñòâ äâèæåíèÿ ìîæíî íàéòè âî ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ ïî
òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå: Ä.Ê. Áîáûëåâ [1, ñ. 221; 2, ñ. 221; 3, ñ. 221], Ã.Ê. Ñóñëîâ [4,
ñ. 264; 5, ñ. 118; 6, ñ. 227; 7, ñ. 227], Ñ.Ã. Ïåòðîâè÷ [8, ñ. 170], Í.Â. Ðîçå [9, ñ. 350],
À.Ä. Áèëèìîâè÷ [10, ñ. 243], à òàêæå E. Collignon [11, p. 221], P. Appell [12, p. 352; èëè
13, ñ. 389; 14, ñ. 324] (ñî ññûëêîé íà A.J. Morin), P. Appell è S. Dautheville [15, p. 668;
èëè 16, ñ. 317], P. Painlev�e [17, p. 71; èëè 18, ñ. 110], E.J. Routh [19, p. 101], H. Lorenz
[20, S. 122; èëè 21, ñ. 202], G. Hamel [22, S. 91], E.T. Whitteker [23, S. 254; 24, p. 240; 25,
p. 240; èëè 26, ñ. 270; 27, ñ. 319]).
Òàêæå ñëåäóåò îòìåòèòü ðàáîòû [28�34]. Ï.Â. Âîðîíåö ðàññìîòðåë äàííóþ çàäà÷ó
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè è ñâåë åå ê çàäà÷å èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùåãî òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ, è ïîñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ âðåìå-
íè äâèæåíèÿ â âèäå êâàäðàòóðû [28, 29].
Áîëåå îáùóþ çàäà÷ó î äâèæåíèè òÿæåëîãî øàðà ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñî ñêîëü-
æåíèåì ïðèâåë Í.Å. Æóêîâñêèé [30, ñ. 289; 31, ñ. 538]. Ïðè íàëè÷èè ñêîëüæåíèÿ â òî÷êå
êîíòàêòà çàêîí èçìåíåíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè êàñàíèÿ ïî ñâîåé ôîðìå ñîâïàäàåò ñ óðàâ-
íåíèÿìè äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Àâòîðîì îïðåäåëåíî
âðåìÿ äâèæåíèÿ øàðà ñî ñêîëüæåíèåì. Ýòî âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ è âðåìåíåì ñêîëüæåíèÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè äî îñòàíîâêè â íàøåé çàäà÷å.
 ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé âëèÿíèÿ àíèçîòðîïíîãî òðåíèÿ íà ïîâåäåíèå ìåõàíèçìîâ çà-
äà÷åé î äâèæåíèè òåëà ïî ïëîñêîñòè ñ òàêèì òðåíèåì çàíèìàëñÿ Â.Ä. Âàíòîðèí [32,
ñ. 94].  ÷àñòíîñòè, èì ðàññìîòðåí ñëó÷àé èçîòðîïíîãî òðåíèÿ ïðè äâèæåíèè ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû, òî åñòü ðàññìàòðèâàåìàÿ íàìè çàäà÷à. Â
ðåçóëüòàòå âûïîëíåííîãî èññëåäîâàíèÿ àâòîðîì ïîëó÷åíû ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
òðàåêòîðèè äâèæóùåéñÿ òî÷êè è ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíû òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ýòîé
òî÷êè ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ïðè÷åì áåç êàêèõ-ëèáî ññûëîê íà êëàññè-
÷åñêèå ðàáîòû ïî ìåõàíèêå.
Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è áàëëèñòèêè, ýòà çàäà÷à ïîäðîáíî ðàçîáðàíà â êóðñå
Íàïîìíèì, ÷òî ëåêöèè Ä.Ê. Áîáûë¼âà ïî ìåõàíèêå â Ïåòåðáóðãñêîì óíèâåðñèòåòå ïîñåùàëè
À.Ì. Ëÿïóíîâ, Ã.Ê. Ñóñëîâ, È.Â. Ìåùåðñêèé. À.Ì. Ëÿïóíîâ è Ã.Ê. Ñóñëîâ � òîâàðèùè-îäíîêóðñíèêè �
çàêîí÷èëè Ïåòåðáóðãñêèé óíèâåðñèòåò ñ çîëîòûìè ìåäàëÿìè. Ó÷åíèêàìè Ã.Ê. Ñóñëîâà áûëè Ï.Â. Âî-
ðîíåö è À.Ä. Áèëèìîâè÷.
136
Î êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ìåõàíèêè Áîáûëåâà � Jellett'à � Morin'à � Painlev�e
òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè C. Iacob [33, p. 395].
Äàííàÿ çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ â [34, ñ. 56]. È.Å. Èðîäîâ ïîëó÷èë
çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òî÷êè â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå, î åñòü ïðè îñîáîì çíà-
÷åíèè êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ, êîãäà ñ ðîñòîì âðåìåíè ñêîðîñòü ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó
íåíóëåâîìó ïðåäåëó. Ïðèíÿòîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áèôóðêàöèîí-
íûì, òàê êàê ïðè ëþáîì ìàëîì îòëè÷èè êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ îò ïðèíÿòîãî çíà÷åíèÿ
ïðè âîçðàñòàíèè âðåìåíè ñêîðîñòü ëèáî ïðèáëèæàåòñÿ ê íóëþ, ëèáî íåîãðàíè÷åííî óâå-
ëè÷èâàåòñÿ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äâèæåíèÿ òåë ïðè íàëè÷èè ñó-
õîãî òðåíèÿ ýòó çàäà÷ó âûáðàë Ì.Ì. Áåëÿåâ [35].
Âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à ðàññìîòðåíà è â áîëåå ðàííèõ ðàáîòàõ èëè
èçëîæåíà â ÷üèõ-ëèáî ëåêöèÿõ. Íàïðèìåð, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå òðàåêòîðèè äâè-
æåíèÿ òî÷êè â ýòîé çàäà÷å ïîëó÷èë J.H. Jellett [36, p. 94] è âûïîëíèë êà÷åñòâåííîå
èññëåäîâàíèå õàðàêòåðà òðàåêòîðèè â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óãëîì òðå-
íèÿ è óãëîì íàêëîíà ïëîñêîñòè. Èíòåðåñ ê äàííîé çàäà÷å áûë îáóñëîâëåí òåì, ÷òî îíà
ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è áàëëèñòèêè ïðè ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå ñèëå ñîïðî-
òèâëåíèÿ. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ ðÿä åå õàðàêòåðíûõ ñâîéñòâ, íàïðèìåð, ñîõðàíåíèå çíàêà
êðèâèçíû òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ òî÷êè è õàðàêòåð åå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ. Â
ñâÿçè ñ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷åé ñëåäóåò îòìåòèòü èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè áàëëèñòèêè
Ë. Ýéëåðà, Í.Â. Ìàèåâñêîãî [37], Í.À. Çàáóäñêîãî [38], C. Cranz [39], Ï.Î. Ñîìîâà [40,
ñ. 262], Á.Í. Îêóíåâà [41], Ä.À. Ãðàâå [42, ñ. 27], T. Levi-Civita è U. Amaldi [43, p. 16], à
òàêæå ýêâèâàëåíòíóþ çàäà÷ó î çàíûðèâàíèè òåëà â âîäó À.È. Íåêðàñîâà [44, ñ. 196].
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.  áàëëèñòèêå âàæíûì ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü äîñòè-
æèìîñòè ïðè ôèêñèðîâàííîé ïî âåëè÷èíå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè: ýòî ìàêñèìàëüíàÿ äàëü-
íîñòü ïî ãîðèçîíòàëè è, íàïðèìåð, ïðè ïðåíåáðåæåíèè ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà, òàê íà-
çûâàåìàÿ ïàðàáîëà áåçîïàñíîñòè â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöåé
îáëàñòè áåçîïàñíîñòè â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü. Îïðåäåëåíèå
ìàêñèìàëüíîé äàëüíîñòè âäîëü íàêëîííîé ïðÿìîé ìîæíî íàéòè ó Í.Ä. Áðàøìàíà [45,
ñ. 46] è ó È.È. Ðàõìàíèíîâà [46, ñ. 159], à òàêæå ó F. Kraft [47, S. 109], J.B. Lock [48, p. 120],
Í.Â. Ìàèåâñêîãî [37, ñ. 66], S.L. Loney [49, p. 180], E.J. Routh [19, p. 85], A.E.H. Love [50,
p. 46; 51, p. 31], J.H. Jeans [52, p. 209] è ó W.D. MacMillan [53, p. 262]; îðèãèíàëüíîå ðåøå-
íèå èìååòñÿ ó H. Lamb [54, p. 72; èëè 55, ñ. 68]). Çîíà îáñòðåëà íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè
îãðàíè÷åíà ýëëèïñîì, îäèí èç ôîêóñîâ êîòîðîãî ðàñïîëîæåí â òî÷êå âûñòðåëà. Äåéñòâè-
òåëüíî, ïîñêîëüêó â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè îáëàñòü áåçîïàñíîñòè îòäåëÿåò ïàðàáîëà
áåçîïàñíîñòè, òî â ïðîñòðàíñòâå ãðàíèöåé îáëàñòè äîñòèæèìîñòè ñëóæèò ïàðàáîëîèä
âðàùåíèÿ. Ëþáîå åãî ñå÷åíèå íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì. Ñîîòâåòñòâóþ-
ùàÿ çàäà÷à, ÷àñòî ñ ïîäðîáíûìè óêàçàíèÿìè, èìååòñÿ ó E.J. Routh [19, p. 89], S.L. Loney
[49, p. 194], A.E.H. Love [50, p. 68; 51, p. 58], J.H. Jeans [52, p. 218] è ó H. Lamb [54, p. 94;
èëè 55, ñ. 87]).
Òî÷íî òàê æå â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å î ñêîëüæåíèè òî÷êè ïî íàêëîííîé ïëîñ-
êîñòè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èçó÷èòü îáëàñòü åå ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé ïðè çàäàííîì
çíà÷åíèè âåëè÷èíû íà÷àëüíîé ñêîðîñòè.
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû. Îáðàòèìñÿ ê ðåøåíèþ, èçëîæåííîìó â øèðî-
êî ðàñïðîñòðàíåííîé ìîíîãðàôèè Ã.Ê. Ñóñëîâà [7, ñ. 227]. Â îñíîâíîì áóäåì ïðèäåðæè-
âàòüñÿ îáîçíà÷åíèé îðèãèíàëà. Äàííîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëåíî â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå.
Îáîçíà÷èì òî÷êó èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ ÷åðåç O è íàïðàâèì îñü Ox âíèç ïî íàêëîí-
137
Â.È. Ãîí÷àðåíêî, Â.À. Ãîí÷àðåíêî
íîé ïëîñêîñòè âäîëü ëèíèè íàèáîëüøåãî ñêàòà. Îñü Oy íàïðàâèì ïî ãîðèçîíòàëè òàê,
÷òîáû ïðè âèäå ñâåðõó ñèñòåìà êîîðäèíàò áûëà ïðàâîé, ðèñ. 1.
Âñå ñèëû,äåéñòâóþùèå íà ðàññìàòðèâàåìóþ ìà-
Ðèñ. 1. Ñõåìà äâèæåíèÿ òî÷êè ïî
ïëîñêîñòè.
òåðèàëüíóþ òî÷êó M , ïðîïîðöèîíàëüíû åå ìàññå,
ïîýòîìó óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè ïî íàêëîííîé
ïëîñêîñòè â ïðîåêöèÿõ íà îñè Ox è Oy ìîæåò
áûòü çàïèñàíî â âèäå ñèñòåìû, íå ñîäåðæàùåé âå-
ëè÷èíó ìàññû òî÷êè:
ẍ = γ − γ
K
W
ẋ,
ÿ = − γ
K
W
ẏ,
(1)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ïðè t = 0: x(0) = y(0) = 0, ẋ(0) = U0 è ẏ(0) = V0.  ýòèõ
óðàâíåíèÿõ γ = g sin α è K = f ctg α ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè, à ÷åðåç W =
√
ẋ2 + ẏ2
îáîçíà÷åíà âåëè÷èíà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òî÷êè. (Çäåñü g � óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïà-
äåíèÿ, f � êîýôôèöèåíò òðåíèÿ, α � óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè, òî åñòü îñòðûé óãîë
ìåæäó ãîðèçîíòàëüíîé è íàêëîííîé ïëîñêîñòÿìè, ÷òî îçíà÷àåò γ > 0 è K > 0.) Íà
ðèñ. 1 èçîáðàæåíû ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òî÷êó M â ïëîñêîñòè π: ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû
òÿæåñòè P = mγ è ñèëà òðåíèÿ T = Kmγ.
3. Êà÷åñòâåííîå îïèñàíèå õàðàêòåðà äâèæåíèÿ. Ïîñêîëüêó ïîâåäåíèå ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ëèíèè íàèáîëüøåãî
ñêàòà (îñè Ox ), òî áóäåì èçó÷àòü äâèæåíèå òî÷êè â îáëàñòè y ≥ 0, ò. å. ïðè V0 > 0.
 ýòîì ñëó÷àå â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû (1) âåëè÷èíà ãîðè-
çîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé V (t) = ẏ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ W (t) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðåìåíåì ïîêà V (t) > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü V0 > 0, òîãäà
W (0) = W0 > 0, è ïîêà ôóíêöèÿ âðåìåíè W (t) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, â ñîîòâåòñòâèè
ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû (1), èìååì V = V0 exp
(
−γK
∫ t
0
d t
W (t)
)
. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ, ïîêà W (t) > 0, ôóíêöèÿ V (t) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê.
 ÷àñòíîñòè,íà îñíîâàíèè ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî V0 > 0, â ñëó÷àå, ïîêà W (t) > 0,
çíà÷åíèÿ ôóíêöèè V (t) ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè. Åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìå-
íè T ôóíêöèÿ W (T ) = 0, òîãäà U(T ) = V (T ) = 0, è èç ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà çàäà÷è
ñëåäóåò, ÷òî âî âñå ïîñëåäóþùåå âðåìÿ (ïðè t > T ) âåëè÷èíà V (t) ≡ 0 è çíà÷åíèå
U(t) ≥ 0, à èìåííî, U(t) ≡ 0 ïðè K ≥ 1 è U(t) > 0 ïðè 0 < K < 1.
Òàê æå íà îñíîâàíèè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïîêà
çíà÷åíèå V 6= 0, âåëè÷èíà åå ïðîèçâîäíîé V̇ < 0, òî åñòü ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè V (t) ìîíîòîííî óáûâàåò ñî âðåìåíåì.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå (ðèñ. 1) óãîë ϕ îò îñè Ox äî íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè äâè-
æåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, çíà÷åíèå êîòîðîãî â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè ϕ(0) = ϕ0: 0 < ϕ0 < π. Ïîêàæåì, ÷òî âåëè÷èíà óãëà ϕ(t) ìîíîòîííî
óáûâàåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè ïåðåìåí-
íîé p = tg
ϕ
2 , êîòîðàÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè p(0) = tg
ϕ0
2 = p0 > 0, èìååò âèä:
ṗ =
−γ
W + U
V
W
. Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî, ïîêà çíà÷åíèå V > 0, âåëè÷èíà ïå-
ðåìåííîé p(t), à çíà÷èò è óãëà ϕ(t) ìîíîòîííî óáûâàþò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Ïîýòîìó,
138
Î êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ìåõàíèêè Áîáûëåâà � Jellett'à � Morin'à � Painlev�e
ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ V (t) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê â ïðîöåññå äâèæåíèÿ,
ïàðàìåòð p ìîæåò áûòü ïðèíÿò çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ïðè îïðåäåëåíèè çàêîíà
äâèæåíèÿ t(p), W (p), x(p) è y(p).
Î ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ôóíêöèè V (t) ìîæíî ñêàçàòü ñëåäóþùåå. Ïîñêîëüêó, â ñèëó
ñèñòåìû (1) Ẇ = γ U
W
−γK, òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà −γ−γK ≤ Ẇ ≤ γ−γK, è ïîýòîìó
W0 − γ(1 + K)t ≤ W ≤ W0 + γ(1−K)t.
Îòñþäà ïîëó÷àåì îöåíêó ñíèçó âðåìåíè T äâèæåíèÿ äî âîçìîæíîé îñòàíîâêè òî÷-
êè W0
γ (K + 1)
≤ T è ñëåäóþùèå îöåíêè ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè äâèæå-
íèÿ òî÷êè ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè.
Åñëè 0 < K < 1, òî V < V0
(
1 + γ 1−K
W0
t
) K
K−1
, è ïîýòîìó V → 0 ïðè t→∞.
Åñëè K = 1, òî V ≤ V0 exp
(
−γ K
W0
t
)
, è çíà÷èò V → 0 ïðè t→∞.
Åñëè K > 1, òîãäà ïðè t ≥ t1 = W0
γ (K − 1)
> 0, âåëè÷èíà W ≡ 0, è çíà÷èò
U ≡ V ≡ 0, òî åñòü òî÷êà îñòàíàâëèâàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ T ≤ t1; ïðè 0 < t < t1,
çíà÷åíèå W < W0− γ (K − 1) t. Ïîýòîìó V < W0− γ (K − 1) t. Ýòà îöåíêà ìîæåò áûòü
óëó÷øåíà íà îñíîâàíèè ñèñòåìû (1): V < V0
(
1− γK − 1
W0
t
) K
K−1
.
Íà îñíîâàíèè ïðèâåäåííûõ îöåíîê äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà K âåëè÷èíà V →
0 ïðè t → ∞. Ïðè÷åì, êàê îòìå÷åíî âûøå, óáûâàíèå âåëè÷èíû V ïðîèñõîäèò ìîíî-
òîííî.  ñëó÷àå K > 1 ñïðàâåäëèâà äâóõñòîðîííÿÿ îöåíêà âðåìåíè äâèæåíèÿ òî÷êè
äî îñòàíîâêè W0
γ (K + 1)
≤ T ≤ W0
γ (K − 1)
.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) èìååò èíòåãðàë 2U
V = 1
CV 1/K−CV 1/K , èëè V
U = 2CV 1/K
1− C2V 2/K .
Ïîñêîëüêó tg ϕ = V
U è V → 0 ïðè t→∞, òî íà îñíîâàíèè óêàçàííîãî èíòåãðàëà óãîë
ϕ → 0 ïðè t → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî íà-
êëîííîé ïëîñêîñòè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ϕ ìîíîòîííî ìåíÿåòñÿ îò ϕ0 äî 0.
4. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå è àíàëèç. Çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè ïî íàêëîííîé
ïëîñêîñòè, ñ ó÷åòîì âûøåñêàçàííîãî, ñëåäóþùèé [7, ñ. 227]:
ϕ ∈ (0, ϕ0] ,
p = tg
ϕ
2
,
W = 0 + W0C
(
pK−1 + pK+1
)
,
t = T − W0
γ
C
(
pK−1
K − 1
+
pK+1
K + 1
)
,
x = X − W 2
0
γ
C2
(
p2K−2
2K − 2
− p2K+2
2K + 2
)
,
y = Y − 2
W 2
0
γ
C2
(
p2K−1
2K − 1
+
p2K+1
2K + 1
)
.
(2)
Çäåñü C =
(
pK−1
0 + pK+1
0
)−1
, T = W0
γ
K + cos ϕ0
K2 − 1
è
139
Â.È. Ãîí÷àðåíêî, Â.À. Ãîí÷àðåíêî
X =
W 2
0
γ
1 + ξ
4K2 − 4
, Y =
W 2
0
γ
η
4K2 − 1
, (3)
ãäå
ξ = cos ϕ0 (cos ϕ0 + 2K) , η = sin ϕ0 (cos ϕ0 + 2K) . (4)
Ïåðâûå ñëàãàåìûå â âûðàæåíèÿõ äëÿ W , t, x è y èìåþò ÿñíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
Åñëè âåëè÷èíà K > 1 (ò. å. òî÷êà íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ìîæåò îñòàâàòüñÿ íåïîäâèæ-
íîé), òîãäà, êàê ïîêàçàíî ðàíåå, ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà îñòàíàâëèâàåòñÿ (W = 0 ) ÷åðåç
êîíå÷íîå âðåìÿ T . Òî÷êà îñòàíîâêè èìååò êîîðäèíàòû X è Y .
Îòìåòèì, ÷òî ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ C çàâèñèò òîëüêî îò âåëè÷èíû íà÷àëü-
íîãî óãëà íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ϕ0, è ïîýòîìó, íà
îñíîâàíèè (2), âðåìÿ äâèæåíèÿ èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ äî äîñòèæåíèÿ îïðåäåëåííî-
ãî çíà÷åíèÿ óãëà ϕ ïðîïîðöèîíàëüíî íà÷àëüíîé ñêîðîñòè W0, à êîîðäèíàòû ñîîòâåò-
ñòâóþùåé òî÷êè ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòó ýòîé ñêîðîñòè W 2
0 . Ýòî îçíà÷àåò ïîäîáèå
ñåìåéñòâà òðàåêòîðèé. Êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ ðàâåí êâàäðàòó íà÷àëüíîé ñêîðîñòè W 2
0 .
(Èìååòñÿ àíàëîãèÿ ñ äâèæåíèåì òî÷êè âäîëü ïðÿìîé ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì.)
 äàííîé çàäà÷å, íà îñíîâàíèè òåîðåìû îá èçìåíåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, âû-
ïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå [20, S. 122; èëè 21, ñ. 207]:
W 2
0
2
=
W 2
2
− γx + γKs.
Çäåñü ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå õàðàêòåðèçóåò ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ñèëîé òðåíèÿ íà ïðîé-
äåííîì ïóòè s. Åñëè K 6= 1, òî
s = S − W 2
0
γ
C2
(
p2K−2
2K − 2
+
p2K
K
+
p2K+2
2K + 2
)
,
ãäå
S =
W 2
0
γK
[
1 + cos ϕ0 (cos ϕ0 + 2K)
4
(
K2 − 1
) +
1
2
]
. (5)
Ïðè K > 1 âåëè÷èíà S ÿâëÿåòñÿ äëèíîé ïóòè, ïðîõîäèìîãî òî÷êîé ïî íàêëîííîé
ïëîñêîñòè äî îñòàíîâêè.  ÷àñòíîñòè, ïîñëå îñòàíîâêè W 2
0
2 = −γX + γKS, ÷òî íåñëîæ-
íî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî. Îòìåòèì, ÷òî çàâèñèìîñòü S(X) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, è
âåëè÷èíû X è S ìîíîòîííî óáûâàþò ïðè èçìåíåíèè óãëà ϕ0 â èíòåðâàëå îò 0 äî π.
Âî âñåõ èçäàíèÿõ Ã.Ê. Ñóñëîâà [4�7] ïîâòîðÿåòñÿ îïå÷àòêà ïðè îïðåäåëåíèè çàâèñè-
ìîñòè x(p). Ýòîò íåäî÷åò èñïðàâëåí â [8, 9] è ó ó÷åíèêà Ã.Ê. Ñóñëîâà � À.Ä. Áèëèìîâè÷à
[10]. Òàêæå ïðàâèëüíàÿ çàïèñü èìååòñÿ ó ó÷èòåëÿ Ã.Ê. Ñóñëîâà � Ä.Ê. Áîáûë¼âà [1�3].
Îñîáûé ñëó÷àé ϕ0 = 0 è ϕ0 = π íå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (2) è äîëæåí ðàñ-
ñìàòðèâàòüñÿ îòäåëüíî. Ïðè ýòîì ϕ ≡ 0 âî âðåìÿ äâèæåíèÿ âíèç è ϕ ≡ π âî âðåìÿ
äâèæåíèÿ ââåðõ, ò. å. çàäà÷à óïðîùàåòñÿ äî çàäà÷è ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè.
Êðîìå òîãî, ïðè òàêîé çàïèñè çàêîíîâ äâèæåíèÿ (2) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðîâ K = 1 è K = 1
2 ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè. Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà K âñå
ñëàãàåìûå â (2), çíàìåíàòåëè êîòîðûõ îáðàùàþòñÿ â íóëü, äîëæíû áûòü çàìåíåíû íà
ñëàãàåìûå âèäà ln p. Íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå âåëè÷èíû t(p) ïðèâåäåíî
â êíèãå [11, p. 221], à âûðàæåíèÿ âåëè÷èí t(p) è y(p) ïðèâåäåíî â [22, S. 91].  êà÷åñòâå
140
Î êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ìåõàíèêè Áîáûëåâà � Jellett'à � Morin'à � Painlev�e
ïðèìåðà äàííàÿ çàäà÷à ðàññìîòðåíà ïðè K = 1 â [56, ñ. 257]. Ïîëíîå èññëåäîâàíèå
ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà K âûïîëíåíî â [57].
Ñëó÷àé, êîãäà K ≤ 1 ( f ≤ tg α ), óñëîâíî ñîîòâåòñòâóåò ìàëîé ñèëå òðåíèÿ. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà íå ìîæåò îñòàâàòüñÿ íåïîäâèæíîé íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ïîñëå
ïðîèçâîëüíî ìàëûõ âîçìóùåíèé. Ïðè ýòîì õîòÿ áû îäíà èç êîîðäèíàò íåîãðàíè÷åííî
âîçðàñòàåò âìåñòå ñî âðåìåíåì äâèæåíèÿ òî÷êè.
 äðóãîì ñëó÷àå, êîãäà K > 1 ( f > tg α, òî åñòü ðåàëèçóåòñÿ "áîëüøîå òðåíèå")
òî÷êà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ïîêîå íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî, ïðè ýòîì
òî÷êà ïðèõîäèò â ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå çà êîíå÷íîå âðåìÿ T . Ïîñëå ÷åãî îíà îñòàåòñÿ
íåïîäâèæíîé íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (X, Y ).
Íà îñíîâàíèè èçëîæåííîãî, çàäà÷à î ìíîæåñòâå ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé (òî÷åê
îñòàíîâîê) ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî ïðè K > 1, òî åñòü ïðè îòíîñèòåëüíî áîëüøîé
ñèëå òðåíèÿ.
 ýòîò ñëó÷àå, êàê îòìå÷åíî âûøå, äâèæóùàÿñÿ òî÷êà çà êîíå÷íîå âðåìÿ T ïðè-
õîäèò â ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå (X, Y ), ïðè÷åì â ýòîé òî÷êå îñòàíîâêè òðàåêòîðèÿ
äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè êàñàåòñÿ ëèíèè íàèáîëüøåãî ñêàòà. Åñëè ðàññìîòðåòü
óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ïðè t → −∞, òî åñòü ïðè p → +∞, òî â ýòîì ñëó÷àå x → +∞,
y → −∞ è y/x→ 0.
Ñëåäîâàòåëüíî óðàâíåíèå òðàåêòîðèè íå èìååò àñèìïòîò ïðè K > 1. Ýòîò ôàêò äî-
ïîëíÿåò èññëåäîâàíèÿ Í.À. Çàáóäñêîãî [38, ñ. 130] îá óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ àñèìïòîò
ó áàëëèñòè÷åñêîé òðàåêòîðèè.
Îòìåòèì, ÷òî íàèáîëåå áûñòðî ïðåêðàùàåòñÿ äâèæåíèå
Ðèñ. 2. Òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ
è ïðåäåëüíûå òî÷êè.
òî÷êè íà ïëîñêîñòè ïðè åå äâèæåíèè ïî ëèíèè íàèáîëüøå-
ãî ïîäúåìà (ϕ0 = π ).  ýòîì ñëó÷àå îíà ïðèõîäèò â ïðå-
äåëüíóþ òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé X = − W 2
0
2γ(K + 1)
. Íàèáîëü-
øåå âðåìÿ äâèæåíèÿ òî÷êè äî îñòàíîâêè ðåàëèçóåòñÿ ïðè
åå äâèæåíèè ïî ëèíèè íàèáîëüøåãî ñêàòà (ϕ0 = 0 ) â íàè-
áîëåå óäàëåííóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò ïðåäåëüíóþ òî÷êó:
X =
W 2
0
2γ(K − 1)
. Ïðè÷åì, S = X
K +
W 2
0
2γK è ïðè ëþáîì ïðî-
ìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè óãëà ϕ0 ( 0 < ϕ0 < π ) íà îñíîâàíèè
(5) ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ W 2
0
2γ(K + 1)
< S <
W 2
0
2γ(K − 1)
.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì îòëè÷èè âåëè÷èíû
ïàðàìåòðà K îò 1 â íåêîòîðîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé óãëà ϕ0
âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
√
X2 + Y 2 <
W 2
0
2γ(K + 1)
< S.
5. Ïðèìåð. Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàññìîòðåí ïðèìåð â ñëó÷àå γ = 1 è K = 1,5
(ðèñ. 2). Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ïðàâàÿ ñòîðîíà ñèììåòðè÷íîãî ìíîæåñòâà ïðåäåëüíûõ
ïîëîæåíèé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ïîñëå åå âûáðîñà èç íà÷àëà
êîîðäèíàò ñî ñêîðîñòüþ W0 = 1 . Ïðåäñòàâëåíî òàêæå íåñêîëüêî òðàåêòîðèé äâèæå-
íèÿ ýòîé òî÷êè äëÿ íàáîðà çíà÷åíèé íà÷àëüíûõ óãëîâ âûáðîñà: ϕ1 = 0, ϕ2 = π/6,
ϕ3 = π/3, ϕ5 = π/2, ϕ6 = 2π/3, ϕ7 = 5π/6 è ϕ8 = π, à òàêæå äëÿ óãëà ϕ4: cos ϕ4 =
1/
(√
K2 + 2 + K
)
, ïðè êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ äàëüíîñòü âäîëü ãîðèçîí-
òàëüíîé îñè îðäèíàò Oy. Ïðåäåëüíûå òî÷êè ïîìå÷åíû çíàêîì
⊙
íà ýòèõ òðàåêòîðèÿõ.
Çíàêîì
⊗
ïîìå÷åíà òàêàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà äëÿ ñëó÷àÿ ϕ4. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî
141
Â.È. Ãîí÷àðåíêî, Â.À. Ãîí÷àðåíêî
àáñöèññà ïðåäåëüíîé òî÷êè äëÿ ñëó÷àÿ ϕ = ϕ5 = π/2 â ñîîòâåòñòâèè ñ (4) ñîâïàäàåò ñî
ñìåùåíèåì íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò O1ξη.
6. Îïèñàíèå ìíîæåñòâà ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé. Åñëè ïåðåéòè ê êîîðäèíà-
òàì ξ è η ïî ôîðìóëàì ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (3), òîãäà íà îñíîâàíèè (4) ìíî-
æåñòâî òî÷åê îñòàíîâîê (ξ(p), η(p)) çàïèøåòñÿ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåì
ρ = cos ϕ0 + 2K.
Äàííîå óðàâíåíèå, êàê ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî óãëà íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè ïî
íàêëîííîé ïëîñêîñòè ϕ0, îïèñûâàåò êðèâóþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ óëèòêîé
Ïàñêàëÿ. Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíî ñåìåéñòâî óëèòîê Ïàñ-
Ðèñ. 3. Ñåìåéñòâî óëèòîê
Ïàñêàëÿ.
êàëÿ ïðè 2K = 0,6 (ïðîâåäåíà ïóíêòèðîì), 2K = 1,0
(êàðäèîèäà), 2K = 1,2, 2K = 1,6 è 2K = 2,2 (âûäåëåíà
æèðíîé ëèíèåé).
Âñëåäñòâèå èñõîäíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î âåëè÷èíå ïà-
ðàìåòðà K, çíà÷åíèå 2K > 2. Ïðè òàêîì ñî÷åòàíèè
ïàðàìåòðîâ äàííàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé. Ïîýòî-
ìó ìíîæåñòâî òî÷åê îñòàíîâîê â èñõîäíûõ êîîðäèíàòàõ
òàêæå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì. Ñîîòâåòñòâåííî, ñ ó÷åòîì
õàðàêòåðà äâèæåíèÿ òî÷êè ïåðåä åå îñòàíîâêîé (ϕ = 0 ),
íèæíÿÿ ÷àñòü ìíîæåñòâà îñòàíîâîê ÿâëÿåòñÿ îäíîâðå-
ìåííî ãðàíèöåé îáëàñòè äîñòèæèìîñòè, à åãî âåðõíÿÿ
÷àñòü âëîæåíà â îáëàñòü äîñòèæèìîñòè íà íàêëîííîé
ïëîñêîñòè òî÷êîé, âûáðàñûâàåìîé èç íà÷àëà êîîðäèíàò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîïûòíîé îñîáåííîñòüþ êëàññè÷åñêîé çàäà÷è î ñêîëüæåíèè òÿ-
æåëîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî íåïîäâèæíîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ òðåíèåì ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê îñòàíîâîê (ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè)
àôôèííî ýêâèâàëåíòíî îäíîé èç çàìå÷àòåëüíûõ êðèâûõ � óëèòêå Ïàñêàëÿ (êîíõîèäå
îêðóæíîñòè ñ ïîëþñîì â îäíîé èç åå òî÷åê). Áîëåå äåòàëüíî, ìíîæåñòâî òî÷åê îñòàíî-
âîê ïîñëå ñìåùåíèÿ âäîëü îñè Ox âíèç íà W 2
0
γ
(
4K2 − 4
) è ñæàòèÿ âäîëü ýòîé æå îñè â
4K2 − 1
4K2 − 4
> 1 ðàç ïðåäñòàâëÿåò óëèòêó Ïàñêàëÿ. Ïðè÷åì ýòà êðèâàÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì
âûïóêëîñòè, òî åñòü êîíõîèäà íå èìååò òî÷åê ïåðåãèáà. Òàêæå ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî
ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äîëüøå âñåãî äâèæåòñÿ ïî ëèíèè íàèáîëüøåãî ñêàòà (âíèç) è ïðî-
õîäèò ïðè ýòîì íàèáîëüøèé ïóòü, à áûñòðåå âñåãî äîñòèãàåò âåðõíåãî ïîëîæåíèÿ ïðè
äâèæåíèè ïî ëèíèè íàèáîëüøåãî ïîäúåìà (ââåðõ) è ïðîõîäèò ïðè ýòîì íàèìåíüøèé
ïóòü; ýòî âðåìÿ äâèæåíèÿ è ýòîò ïóòü ìîíîòîííî óáûâàþò îò íàèáîëüøèõ çíà÷åíèé äî
íàèìåíüøèõ ïî ìåðå èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ íà÷àëüíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè.
7. Çàêëþ÷åíèå. Ä.Ê. Áîáûë¼â, A.J. Morin, J.H. Jellett è P. Painlev�e áûëè îäíè-
ìè èç ïåðâûõ, êòî ðàññìîòðåë çàäà÷ó î ñêîëüæåíèè òÿæåëîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî
íåïîäâèæíîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ òðåíèåì.
A.J. Morin äàë êà÷åñòâåííîå îïèñàíèå ïîâåäåíèÿ òàêîé ñèñòåìû. J.H. Jellett ïðè-
âåë ÷àñòè÷íîå ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è è êà÷åñòâåííî îõàðàêòåðèçîâàë ïîâåäåíèå òðà-
åêòîðèé äâèæåíèÿ òî÷êè â ýòîé çàäà÷å. Ä.Ê. Áîáûë¼â ïîëó÷èë àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå
äàííîé çàäà÷è. P. Painlev�e â ñâîåì èçâåñòíîì òðóäå èñïîëüçîâàë ýòó çàäà÷ó â êà÷åñòâå
ïðèìåðà, áëàãîäàðÿ ÷åìó îíà ïîëó÷èëà øèðîêóþ ïîïóëÿðíîñòü.
Äîïîëíèòåëüíî ê âêëàäó ó÷åíûõ, ïåðå÷èñëåííûõ â íàçâàíèè ñòàòüè, ñëåäóåò îòìå-
142
Î êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ìåõàíèêè Áîáûëåâà � Jellett'à � Morin'à � Painlev�e
òèòü èññëåäîâàíèå ýòîé çàäà÷è, êîòîðîå âûïîëíèë E. Collignon (1874 ã.), àâòîð ìíîãî-
òîìíîãî êëàññè÷åñêîãî êóðñà ìåõàíèêè.
Ëþáîïûòíîé îñîáåííîñòüþ ðàññìîòðåííîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìíîæåñòâî òî-
÷åê îñòàíîâîê àôôèííî ýêâèâàëåíòíî îäíîé èç çàìå÷àòåëüíûõ êðèâûõ � óëèòêå Ïàñ-
êàëÿ.
1. Áîáûëåâ Ä.Ê. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. ×. 2, âûï. 1. � ÑÏá.: Òèï. Èìï. Àêàäåìèè íàóê, 1881.
� VI+304 ñ.
2. Áîáûëåâ Ä.Ê. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. ×. 2. � ÑÏá.: Òèï. Èìï. Àêàäåìèè íàóê, 1883. �
XVI+885 ñ.
3. Áîáûëåâ Ä.Ê. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. ×. 2, âûï. 1. � ÑÏá.: Òèï. Ì.Ì. Ñòàñþëåâè÷à, 1888.
� VI+304 ñ.
4. Ñóñëîâ Ã.Ê. Îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ò. 1. � Êèåâ, 1900. � XIV+543 ñ.
5. Ñóñëîâ Ã.Ê. Îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ò. 1. ×. 2: Äèíàìèêà òî÷êè. � Êèåâ: Èçä-å êíèãî-
ïðîäàâöà Í.ß. Îãëîáëèíà, 1911. � VIII+155 ñ.
6. Ñóñëîâ Ã.Ê. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. � Ì.; Ë.: ÎÃÈÇ Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1944. � XVI+655 ñ.
7. Ñóñëîâ Ã.Ê. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. � Ì.; Ë.: ÎÃÈÇ Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1946. � XVI+655 ñ.
8. Ïåòðîâè÷ Ñ.Ã. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. ×. 2: Äèíàìèêà òî÷êè. � ÑÏá.: Òèï. Ìèíèñòåðñòâà
ïóòåé ñîîáùåíèÿ (Òîâàðèùåñòâà È.Í. Êóøíåðåâ è Ê◦), 1912. � III+263 ñ.
9. Ðîçå Í.Â., ðåä. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. ×. 1: Ìåõàíèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. � Ë.; Ì.: Ãîñòåõòåî-
ðåòèçäàò, 1932. � 372 ñ.
10. Áèëèìîâè÷ À.Ä. Ðàöèîíàëíà ìåõàíèêà. Ò. 1: Ìåõàíèêà òà÷êå. � Áåîãðàä: Íàó÷íà êíüèãà, 1950. �
XIX+331 ñ.
11. Collignon E. Trait�e de M�ecanique. P. 3: Dynamique. � Paris: Librairie Hachette et Cie, 1874. � 608 p.
12. Appell P. Trait�e de M�ecanique rationnelle. T. 1: Statique. Dynamique du point. � Paris: Gauthier�Villars
et Fils, Imprimeurs�Libraires du Bureau des Longitudes, de l'�Ecole Polytechnique, 1893. � VI+549 p.
13. Àïïåëëü Ï. Ðóêîâîäñòâî òåîðåòè÷åñêîé (ðàöèîíàëüíîé) ìåõàíèêè. Ò. 1: Ñòàòèêà. Äèíàìèêà òî÷êè.
� Ì.: Ò-âî È.Í. Êóøíåðåâ è Ê◦, 1911. � XXIII+640 ñ.
14. Àïïåëü Ï. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ò. 1: Ñòàòèêà. Äèíàìèêà òî÷êè. � Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960. � 515 ñ.
15. Appell P., Dautheville S. Pr�ecis de M�ecanique rationnelle. Introduction a l'�Etude de la Physique et de
la M�ecanique appliqu�ee. � Paris: Gauthier�Villars, Imprimeur�Libraire du Bureau des Longitudes, de
l'�Ecole Polytechnique, 1910. � V+729 p.
16. Àïïåëëü Ï., Äîòåâèëëü Ñ. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ââåäåíèå â èçó÷åíèå ôèçèêè è ïðèêëàä-
íîé ìåõàíèêè. Âûïóñê 2. � Îäåññà: Mathesis, 1912. � XV+359 ñ.
17. Painlev�e P. Le�cons sur le frottement. � Paris: Librairie scienti�que A. Hermann Editeur, 1895. �
VIII+111 p.
18. Ïýíëåâå Ï. Ëåêöèè î òðåíèè. � Ì.: Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1954. � 316 ñ.
19. Routh E.J.A Treatise on Dynamics of Particle with Numerous Examples. � Cambridge: At The University
Press, 1898. � XI+417 p.
20. Lorenz H. Lehrbuch der Technischen Physik. Erster Band: Technische Mechanik starrer Gebilde. Erster
Teil: Mechanik ebener Gebilde. � Berlin: Verlag von Julius Springer, 1924. � VIII+390 S.
21. Ëîðåíö Ã. Òåõíè÷åñêàÿ ìåõàíèêà íåèçìåíÿåìîé ñèñòåìû. � ÑÏá.: Èçäàíèå Ê.Ë. Ðèêêåðà, 1909. �
XIII+679 ñ.
22. Hamel G. Elementare Mechanik. � Leipzig und Berlin: Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1912. �
XVIII+634 S.
23. Whitteker E.T. Analytische Dynamik der Punkte und starren K�orper. � Berlin: Verlag von Julius
Springer, 1924. � XII+462 S.
24. Whitteker E.T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies with an introduction
to the problem of three Bodies. � Cambridge: At The University Press, 1927. � XIV+456 p.
25. Whitteker E.T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies with an introduction
to the problem of three Bodies. � New York: Dover Publications, 1944. � XIV+456 p.
26. Óèòòåêåð Ý.Ò. Àíàëèòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. � Ì.; Ë.: ÎÍÒÈ ÍÊÒÏ ÑÑÑÐ, Ãëàâ. ðåä. òåõíèêî-òåîðåò.
ëèò-ðû, 1937. � 500 ñ.
27. Óèòòåêåð Ý.Ò. Àíàëèòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. � Èæåâñê: Èçä. äîì "Óäìóðòñêèé óí-ò", 1999. � 584 ñ.
143
Â.È. Ãîí÷àðåíêî, Â.À. Ãîí÷àðåíêî
28. Woronetz P. Sur le mouvement d'un point mat�eriel, soumis �a une force donn�ee, sur une surface �xe et
d�epolie // J. de Math. pures et appl. � 1915. � Ser. VII, 1. � P. 261�275.
29. Âîðîíåö Ï.Â. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà øåðîõîâàòîé ïî-
âåðõíîñòè // Èçâ. Êèåâ. óí-òà. � 1916. � 56, � 2, ôåâðàëü. � Ñ. 93�102.
30. Æóêîâñêèé Í.Å. Äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà (ñïåöèàëüíûé êóðñ) // Ïîëí. ñîáð. ñî÷. Ëåêöèè. Âûï.
6: Ìåõàíèêà ñèñòåìû. Äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà. � Ì.;Ë.: Îáîðîíãèç, 1939. � Ñ. 207�292.
31. Æóêîâñêèé Í.Å. Äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà (ñïåöèàëüíûé êóðñ) // Ñîáð. ñî÷. Ò.I: Îáùàÿ ìåõàíèêà.
Ìàòåìàòèêà è àñòðîíîìèÿ. � Ì.; Ë.: Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1948. � Ñ. 441�540.
32. Âàíòîðèí Â.Ä. Äâèæåíèå ïî ïëîñêîñòè ñ àíèçîòðîïíûì òðåíèåì // Òðåíèå è èçíîñ â ìàøèíàõ.
Ñá. XVI. � Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1962. � Ñ. 81�120.
33. Iacob C. Mecanic�a teoretic�a. � Bucure�sti: Editura didactic�a �si pedagogic�a, 1971. � 707 p.
34. Èðîäîâ È.Å. Îñíîâíûå çàêîíû ìåõàíèêè. � Ì.: Âûñø. øê., 1975. � 256 ñ.
35. Áåëÿåâ Ì.Ì. Îñîáåííîñòè êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äâèæåíèÿ òåë ïðè íàëè÷èè ñóõîãî òðå-
íèÿ // Êîìïüþòåðíàÿ õðîíèêà. � 1998. � � 9. � Ñ. 21�34.
36. Jellett J.H. A Treatise on the Theory of Friction. � Dublin: Hodges, Foster, and Co., Publishers to the
University; London: Macmillan and Co., 1872. � XV+220 p.
37. Ìàéåâñêèé Í.Â. Êóðñ âíåøíåé áàëëèñòèêè. � ÑÏá.: Òèï. Èìï. Àêàäåìèè íàóê, 1870. � XXV+679 ñ.
38. Çàáóäñêèé Í.À. Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà. � ÑÏá.: Òèï. Èìï. Àêàäåìèè íàóê, 1895. � XX+578 ñ.
39. Cranz C. Compendium der theoretischen �ausseren Ballistik. � Leipzig: Druck und Verlag von B.J. Teub-
ner, 1896. � XII+511 S.
40. Ñîìîâ Ï.Î. Îñíîâàíèÿ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. � ÑÏá.: Èçä. Ê.Ë. Ðèêêåðà, 1904. � XVI+753 ñ.
41. Îêóíåâ Á.Í. Âíåøíÿÿ è âíóòðåííÿÿ áàëëèñòèêà. � Ì.; Ë.: Âîåíãèç, 1930. � 333 ñ.
42. Ãðàâå Ä.À. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà íà îñíîâå òåõíèêè. � Ì.; Ë.: Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1932. � 406 ñ.
43. Levi-Civita T., Amaldi U. Nozioni di Balistica esterna. � Bologna: Nicola Zanichelli Editore, 1935. �
VIII+56 p.
44. Íåêðàñîâ À.È. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ò. 2: Äèíàìèêà. � Ì.: Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1953. �
503 ñ.
45. Áðàøìàí Í.Ä. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ò. 1. � Ì: Óíèâåðñèòåòñêàÿ òèïîãðàôèÿ, 1859. � XXIII,
438, 10 ñ.
46. Ðàõìàíèíîâ È.È. Îñíîâàíèÿ òåîðåòè÷åñêîé äèíàìèêè. ×. 1, âûï. 1. � Êèåâ: Óíèâåðñèòåòñêàÿ òè-
ïîãðàôèÿ, 1873. � 192 ñ.
47. Kraft F. Sammlung von Problemen der analytischen Mechanik. Erster Band. � Stuttgart: J. B. Metzlersche
Buchhandlung, 1884. � VIII+650 S.
48. Lock J.B. Elementary Dynamics. � London, New York: Macmillan and Co., 1892. � VIII+252 p.
49. Loney S.L. A Treatise on Elementary Dynamics. � Cambridge: At The University Press, 1897. �
XII+348 p.
50. Love A.E.H. Theoretical mechanics. An introductory treatise on the principles of dynamics with appli-
cations and numerous examples. � Cambridge: At The University Press, 1897. � XIV+379 p.
51. Love A.E.H. Theoretical mechanics. An introductory treatise on the principles of dynamics with appli-
cations and numerous examples. � Cambridge: At The University Press, 1906. � XVI+367 p.
52. Jeans J.H. An elementary treatise on theoretical mechanics. � Boston, New York, Chicago, London,
Atlanta, Dallas, Columbus, San Francisco: Ginn and Company, 1935. � VIII+364 p.
53. MacMillan W.D. Theoretical Mechanics: Statics and the Dynamics of a Particle. � New York, London:
McGraw�Hill Book Company, Inc., 1927. � XVIII+430 p.
54. Lamb H. Dynamics. � Cambridge: At The University Press, 1923. � XI+351 p.
55. Ëàìá Ã. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ò. 2: Äèíàìèêà. � Ì.; Ë.: ÎÍÒÈ Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1935. � 311 ñ.
56. Æóðàâëåâ Â.Ô. Îñíîâû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. � Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. � 319 ñ.
57. Ãîí÷àðåíêî Â.À. Çàäà÷à Ï.Â. Âîðîíöà äëÿ òî÷êè íà ïëîñêîñòè // Âiñí. Êè��â. íàö. óí-òó. Ñåð.
Êiáåðíåòèêà. � 2004. � Âèï. 5. � Ñ. 10�13.
Àâèàöèîííûé íàó÷íî-òåõí. êîìïëåêñ èì. Î.Ê. Àíòîíîâà, Êèåâ
Íàöèîíàëüíûé òåõí. óí-ò Óêðàèíû ("ÊÏÈ"), Êèåâ
gonchavi@brown.kiev.ua
Ïîëó÷åíî 19.10.2005
144
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123772 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:34Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гончаренко, В.И. Гончаренко, В.А. 2017-09-09T15:13:54Z 2017-09-09T15:13:54Z 2005 О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé / В.И. Гончаренко, В.А. Гончаренко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 136-144. — Бібліогр.: 57 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123772 531.36:534.1 Задача о скольжении материальной точки по неподвижной наклонной плоскости с трением является частным случаем задачи баллистики. Подчеркивается, что существенный вклад в ее решение внесли J.H. Jellett, A.J. Morin, Д.К. Бобылёв, P. Painlevé и E. Collignon. Определены условия существования множества предельных положений материальной точки и указаны свойства этого множества, аффинно эквивалентного одной из замечательных кривых улитке Паскаля. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé Article published earlier |
| spellingShingle | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé Гончаренко, В.И. Гончаренко, В.А. |
| title | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé |
| title_full | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé |
| title_fullStr | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé |
| title_full_unstemmed | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé |
| title_short | О классической задаче механики Бобылева–Jellett'а–Morin'а–Painlevé |
| title_sort | о классической задаче механики бобылева–jellett'а–morin'а–painlevé |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123772 |
| work_keys_str_mv | AT gončarenkovi oklassičeskoizadačemehanikibobylevajellettamorinapainleve AT gončarenkova oklassičeskoizadačemehanikibobylevajellettamorinapainleve |