Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек
Построено фундаментальное решение уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек произвольной гауссовой кривизны. Оно является решением температурной задачи для тонкостенных элементов конструкций при сосредоточенном температурном воздействии. Исследована зависимость термоупругого пр...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123775 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек / В.П. Шевченко, Н.В. Дергачева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 160-166. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859952096461193216 |
|---|---|
| author | Шевченко, В.П. Дергачева, Н.В. |
| author_facet | Шевченко, В.П. Дергачева, Н.В. |
| citation_txt | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек / В.П. Шевченко, Н.В. Дергачева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 160-166. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Построено фундаментальное решение уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек произвольной гауссовой кривизны. Оно является решением температурной задачи для тонкостенных элементов конструкций при сосредоточенном температурном воздействии. Исследована зависимость термоупругого прогиба от термомеханических и геометрических параметров оболочек.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:17:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 539.3
c©2005. Â.Ï. Øåâ÷åíêî, Í.Â. Äåðãà÷åâà
ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
ÒÅÐÌÎÓÏÐÓÃÎÃÎ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß
ÏÎËÎÃÈÕ ÎÐÒÎÒÐÎÏÍÛÕ ÎÁÎËÎ×ÅÊ
Ïîñòðîåíî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ ïîëîãèõ îðòîòðîïíûõ îáî-
ëî÷åê ïðîèçâîëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû. Îíî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì òåìïåðàòóðíîé çàäà÷è äëÿ òîíêî-
ñòåííûõ ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé ïðè ñîñðåäîòî÷åííîì òåìïåðàòóðíîì âîçäåéñòâèè. Èññëåäîâàíà çàâè-
ñèìîñòü òåðìîóïðóãîãî ïðîãèáà îò òåðìîìåõàíè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ îáîëî÷åê.
Ââåäåíèå. Òåìïåðàòóðíàÿ çàäà÷à äëÿ ïîëîãèõ èçîòðîïíûõ îáîëî÷åê ðåøåíà êàê
äëÿ îáîëî÷åê ÷àñòíîãî âèäà (ñôåðè÷åñêèõ, öèëèíäðè÷åñêèõ) [1, 2], òàê è äëÿ îáîëî-
÷åê ïîëîæèòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû [3]. Åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîå
ðåøåíèå óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ â ïåðåìåùåíèÿõ. Îíî ìîäåëèðóåò ñîñðå-
äîòî÷åííîå òåìïåðàòóðíîå âîçäåéñòâèå, êîòîðîå çàêëþ÷àåòñÿ â íàëè÷èå ñðåäíåé òåì-
ïåðàòóðû èëè òåìïåðàòóðíîãî ìîìåíòà ëèøü â îäíîé òî÷êå ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè. Â
ýòîì ñëó÷àå îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü â ðåøåíèè çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ ïîëîãèõ îðòîòðîï-
íûõ îáîëî÷åê ïîñòðîåíî â ðàáîòå [4]. Îäíàêî â íåé íå èññëåäîâàíû îñîáåííîñòè àñèìïòî-
òè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè ñîñðåäîòî÷åííîãî òåì-
ïåðàòóðíîãî âîçäåéñòâèÿ è íå ïðåäñòàâëåíû ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû.
Ïîñòðîåííîå â äàííîé ðàáîòå ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî
ðàâíîâåñèÿ ïîëîãèõ îðòîòðîïíûõ îáîëî÷åê ïîçâîëèëî îïðåäåëèòü îñîáåííîñòè àñèìïòî-
òè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ è ïðîâåñòè ÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ â øèðîêîì äèàïàçîíå
èçìåíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ è òåðìîìåõàíè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì òîíêóþ ïîëîãóþ îðòîòðîïíóþ îáîëî÷êó òîë-
ùèíîé h, îòíåñåííóþ ê îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò , ñîâïàäàþùåé ñ ãëàâíûìè
îñÿìè îðòîòðîïèè. Îáîëî÷êà íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñòàöèîíàðíîãî òåìïåðàòóðíîãî
ïîëÿ. Òîãäà ïåðåìåùåíèå òî÷åê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè âäîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé
êîîðäèíàò óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ [5]:
∂2u
∂x2
+
(1− ν)(1− µ)
2
∂2u
∂y2
+
(1 + ν)− µ(1− ν)
2κ
∂2v
∂x∂y
+
ν + λκ2
κRy
∂w
∂x
=
= −1− ν2
Eh
X(κx, y) +
(αxκ2 + ναy)
κ
∂T0(κx, y)
∂x
,
∂2v
∂y2
+
(1− ν)(1− µ)
2
∂2v
∂x2
+ κ
(1 + ν)− µ(1− ν)
2
∂2u
∂x∂y
+
1 + λνκ2
Ry
∂w
∂y
=
= −1− ν2
Eh
κ2Y (κx, y) +
(αx κ2 ν + αy)
κ2
∂T0(κx, y)
∂y
,
∂4w
∂x4
+ 2(1− µ + νµ)
∂4w
∂y2∂x2
+
∂4w
∂y4
+
12(1 + λ κ2(ν + λκ2) + λ ν κ2)
h2 R2
y
w + (1)
160
Ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
+
12
h2R2
[
κ ( ν + λ κ2 )
∂u
∂x
+ (1 + λ ν κ2 )
∂v
∂y
]
=
=
κ2
D
Z(κx, y)− 2
h
[
( αx κ2 + ν αy )
∂2
∂x2
+ (νκ2αx + αy)
∂2
∂y2
]
T 1( κ x, y ) +
12
h2Ry
×
×
[
αx κ2( ν + λ κ2 ) + αy( 1 + λ ν κ2 )
]
T0( κ x, y ).
ãäå κ4 = νx/νy = Ex/Ey, E =
√
ExEy, ν =
√
νxνy; Ex, Ey, νx, νy � ñîîòâåòñòâåííî
ìîäóëè Þíãà è êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà âäîëü ãëàâíûõ îñåé îðòîòðîïèè;
µ =
E − 2Gxy(1 + ν)
E
, Gxy � ìîäóëü ñäâèãà â ñðåäèííîé ïëîñêîñòè;
λ = Ry/Rx � êîýôôèöèåíò êðèâèçíû, Rx, Ry � ãëàâíûå ðàäèóñû êðèâèçíû îáîëî÷-
êè;
αx, αy � òåìïåðàòóðíûå êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ, T0, T1 � èíòåãðàëü-
íûå õàðàêòåðèñòèêè òåìïåðàòóð [5].
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñîñðåäîòî÷åííîãî òåìïåðàòóðíîãî âîçäåéñòâèÿ. Äëÿ åãî èññëå-
äîâàíèÿ èñïîëüçóþò äâå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Ïåðâàÿ ìîäåëü � ñîñðåäîòî÷åííûé
íàãðåâ, ïðåäïîëàãàåò îòëè÷íîå îò íóëÿ çíà÷åíèå èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê òåìïåðà-
òóðû ëèøü â îäíîé òî÷êå ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè [5, 6]. Äåéñòâèå ñðåäíåé òåìïåðàòóðû
â ýòîé òî÷êå ìîäåëèðóåò "ïëîñêîå" òåìïåðàòóðíîå âîçäåéñòâèå, à äåéñòâèå òåìïåðà-
òóðíîãî ìîìåíòà � "èçãèáíîå" òåìïåðàòóðíîå âîçäåéñòâèå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ äðóãîé
ìîäåëüþ � ñîñðåäîòî÷åííûé èñòî÷íèê òåïëà � â òî÷êå ñîñðåäîòî÷åííîãî âîçäåéñòâèÿ
íà ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ "ïëîñêèé " èëè "èçãèáíîé" èñòî÷íèê òåïëà [7].
Èñïîëüçóÿ ïåðâóþ ìîäåëü, ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñîñðåäîòî÷åííîãî òåìïåðàòóðíîãî âîç-
äåéñòâèÿ. Òîãäà èíòåãðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè òåìïåðàòóðû, ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè
óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
T0 = µ0δ(κx, y) , T1 = µ1δ(κx, y) , (2)
ãäå δ � äâóìåðíàÿ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà; µ0, µ1 � èíòåíñèâíîñòü "ïëîñêîãî" è "èçãèá-
íîãî" ñîñðåäîòî÷åííîãî íàãðåâà. Èõ ðàçìåðíîñòü åñòü [ãðàäóñû×ïëîùàäü].
2. Ðåøåíèå çàäà÷è. Ïðèìåíÿÿ äâóìåðíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê
óðàâíåíèÿì (1), ñ ó÷åòîì ôîðìóë (2) ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåá-
ðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî òðàíñôîðìàíò ïåðåìåùåíèé ū, v̄, w̄:
L11ū + L12v̄ + L13w̄ = X̄,
L21ū + L22v̄ + L23w̄ = Ȳ , (3)
L31ū + L32v̄ + L33w̄ = Z̄.
Çäåñü
L11 = ξ2 +
(1− v)(1− µ)
2
η2, L12 =
(1 + ν)− µ(1− ν)
2κ
ξη, L13 =
ν + λκ2
κRy
iξ,
161
Â.Ï. Øåâ÷åíêî, Í.Â. Äåðãà÷åâà
L21 = κ
(1 + ν)− µ(1− ν)
2
ξη, L22 = η2 +
(1− v)(1− µ)
2
ξ2, L23 =
1 + λνκ2
Ry
iη,
L31 = − 12κ
h2Ry
(ν + λκ2)iξ, L32 = − 12
h2Ry
(1 + λνκ2)iη,
L33 = [ξ4 + 2(1− µ + νµ)ξ2η2 + η4]− 12(1 + 2λκ2ν + λ2κ4)
h2R2
y
;
X̄ = − Eh
1− ν2
µ0
(αxκ2 + ναy)
2πκ
ξi , Ȳ = − Eh
1− ν2
µ0
(αxκ2ν + αy)
2πκ2
ηi ,
Z̄ =
6D
π κ3h2Ry
µ0
[
αxκ2(ν + λκ2) + αy(1 + λνκ2)
]
− D
πhκ2
µ1
[
( αx κ2 + ν αy ) ξ2 +
+(νκ2αx + αy) η2
]
, D =
Eh3
12(1− ν2)
.
Ðåøåíèå ñèñòåìû (3) äîñòîòî÷íî ãðîìîçäêîå. Åãî ñòðóêòóðó ïîêàæåì íà ïðèìåðå òåìïå-
ðàòóðíîãî ïðîãèáà w. Òðàíñôîðìàíòà â ñëó÷àå "ïëîñêîãî" òåìïåðàòóðíîãî âîçäåéñòâèÿ
(t0 = 1K, t1 = 0 ) èìååò âèä
w̄(0) =
A6µ0
κπh2Rya2∆4
[
κ(αxκ2 + ναy)ξ
2
[(
(2 + ν + µν) λκ2 − (1− µ)
)
η2 +
+
(
ν + λ κ2
)
(1− µ) ξ2
]
+ (αxκ2ν + αy)η
2
[(
(2 + ν + µν)− (1− µ)λκ2
)
ξ2 + (4)
+(1 + λνκ2)(1− µ) η2
]]
+
A6
κπh2Rya
∆2
∆4
[
αxκ2(ν + λκ2) + αy(1 + λνκ2)
]
,
ãäå ∆4 = ∆1∆2 + ∆3, ∆3 =
4(1− µ)
(2− µ + µν)2
12(1− ν2)
R2
yh
2
(ξ2 + λκ2η2)2,
∆1 =
[
(ξ2 + η2)2 +
µ(1− ν)
2− µ + µν
(ξ2 − η2)2
]
, ∆2 =
[
(ξ2 + η2)2 − µ(1 + ν)
2− µ + µν
(ξ2 − η2)2
]
,
2a = 2− µ + µν , A =
Eh
1− ν2
.
Ïðè "èçãèáíîì" òåìïåðàòóðíîì âîçäåéñòâèè (t0 = 0, t1 = 1K), òðàíñôîðìàíòà
âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
w̄(1) = − Bµ1
aπh∆4
[(
(αx κ2 + ν αy)ξ
2 + (νκ2αx + αy) η2
) (
(ξ2 + η2)2 − µ
2a
(1 + ν)(ξ2 − η2)2
)]
,
(5)
ãäå B =
D
κ2
.
Ïåðåìåùåíèÿ íàõîäÿòñÿ ïðè ïîìîùè ôîðìóëû îáðàùåíèÿ äëÿ äâóìåðíîãî ïðåîáðà-
çîâàíèÿ Ôóðüå:
f(x, y) =
1
2π
∞∫
−∞
∞∫
−∞
f̄(ξ, η)e−i(ξx+ηy)dξdη. (6)
162
Ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
Ìåòîäèêó îáðàùåíèÿ ïîêàæåì íà ïðèìåðå òåìïåðàòóðíîãî ïðîãèáà w ïðè "èçãèá-
íîì" òåìïåðàòóðíîì âîçäåéñòâèè. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (6) ê òðàíñôîðìàíòå (5), ïîëó-
÷èì
w(1) = −B
µ1
hπ2a
∞∫
0
∞∫
0
∆2
∆4
(
(αx κ2 + ν αy)ξ
2 + (αy + νκ2αx) η2
)
cos(ηy) cos(ξx)dξdη. (7)
Ïåðåõîäèì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì ξ = ρ cos(θ), η = ρ sin(θ), x = r cos ϕ, y =
= r sin ϕ. Òîãäà òåìïåðàòóðíûé ïðîãèá îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
w(1) = − µ1
π2ha
I, (8)
ãäå
I =
∞∫
0
π
2∫
0
ρ3∆7
ρ4∆5 + ∆6
[1− 4µ̃(1 + v) cos2 2θ] cos(ρr sin ϕ sin θ) cos(ρr cos ϕ cos θ)dρdθ,
∆5 =
[
1 + 4µ̃(1− ν) cos2 2θ
] [
1− 4µ̃(1 + ν) cos2 2θ
]
,
∆6 =
4(1− µ)
(2− µ + µν)2
12(1− ν2)
R2
yh
2
(cos2 θ + λκ2 sin2 θ)2,
∆7 =
(
(αx κ2 + ν αy) cos2 θ + (νκ2αx + αy) sin2 θ
)
.
Äëÿ ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â èíòåãðàëå (8) âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì [8]:
cos(ρr sin ϕ sin θ) cos(ρr cos ϕ cos θ) =
∞∑
n=0
(−1)nεnI2n(rρ) cos(2nθ) cos(2nϕ).
Ñ ó÷åòîì ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ
I =
∞∑
n=0
(−1)nεn cos 2nϕ
π
2∫
0
∆7
∆5
[1− 4µ̃(1 + ν) cos2 2θ] cos 2nθ ×
∞∫
0
ρ3I2n(ρr)dρ
ρ4 +
κ2k4t2(θ)
∆5
dθ, (9)
ãäå t(θ) = cos2 θ + λκ2 sin2 θ, κ2 = (1− µ)/a2, k =
12(1− ν2)
R2
yh
2
.
Çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà â (9) âûðàçèì ÷åðåç çíà÷åíèå ñïåöèàëüíîé G �
ôóíêöèè, ââåäåííîé â ðàáîòå [4],
∞∫
0
ρ2I2n(ρr)ρdρ
ρ4 +
κ2k4t2(θ)
∆5
= Gn,n
(
r
(
i
κk2t2(θ)
∆5
)1/2
)
. (10)
Îêîí÷àòåëüíûì çíà÷åíèåì äëÿ ôóíêöèè ïðîãèáà w(r, ϕ) â ñëó÷àå "èçãèáíîãî" òåì-
ïåðàòóðíîãî âîçäåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ
w(1) = −B
µ1
hπ2a
Re
∞∑
n=0
εn cos(2nϕ)
∞∑
m=0
amn
m!
Gn,n+m(ζ
√
i), (11)
163
Â.Ï. Øåâ÷åíêî, Í.Â. Äåðãà÷åâà
ãäå ζ = kr,
amn =
π
2∫
0
m∑
l=0
(−1)l
(
m
l
)(
1 + λκ2
2
(1 + 2γ cos 2θ)√
∆5
)l+n
κl+n×
×
cos(2nθ)
(
(αxκ2 + ν αy) cos2 θ + (νκ2αx + αy) sin2 θ
)
[1 + 4µ̃(1− v) cos2 2θ]
dθ,
µ̃ =
µ
2− µ + µν
, γ =
1− λκ2
2 (1 + λκ2)
.
Äëÿ ñëó÷àÿ "ïëîñêîãî" òåìïåðàòóðíîãî âîçäåéñòâèÿ ïðîãèá w(r, ϕ) èìååò âèä
w(0) =
6µ0 A
πa2h
√
12(1− ν2)κ
(
Im
∞∑
n=0
εn cos(2nϕ)
∞∑
m=0
a′mn
m!
Gn,n+m(ζ
√
i)
)
+ (12)
+
µ0hA
2πa
√
12(1− ν2)κ2
(
Im
∞∑
n=0
εn cos(2nϕ)
∞∑
m=0
a′′mn
m!
Gn,n+m(ζ
√
i)
)
,
ãäå
a′mn =
π
2∫
0
m∑
l=0
(−1)l
(
m
l
)(
t2(θ)√
∆5
κ
)l+n−1
×
×
[
(1− µ)
(
κ(αxκ2 + ναy)(ν + λκ2) cos4 θ + (αxκ2ν + αy)(1 + λνκ2) sin4 θ
) cos(2nθ)
∆5
+
+
sin2 2θ
4∆5
(
κ(αxκ2 + ναy)
(
(2 + ν + µν) λκ2 − (1− µ)
)
+
+(αxκ2ν + αy)
(
(2 + ν + µν)− (1− µ)λκ2
)]
dθ,
a′′mn =
π
2∫
0
m∑
l=0
(−1)l
(
m
l
)(
t2(θ)√
∆5
κ
)l+n−1
×
×
[
αyκ2(ν + λκ2) + αx(1 + λνκ2)
] [
1− µ
2a
(1 + ν) cos2 2θ
] cos 2nθ
∆5
dθ.
×èñëåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ amn, a
′
mn, a
′′
mn íàõîäÿòñÿ ìåòîäîì Ôàéëîíà [9].
Ðàäèàëüíàÿ êîîðäèíàòà r âõîäèò ëèøü â àðãóìåíò G-ôóíêöèè, ïîýòîìó àñèìïòîòè÷å-
ñêîå ïîâåäåíèå ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè
ñïåöèàëüíîé ôóíêöèè Gn,m(z) ïðè |z| << 1 [8]. Ñ ó÷åòîì ýòèõ ñâîéñòâ ïðèõîäèì ê ôîð-
ìóëàì:
äëÿ ñëó÷àÿ "ïëîñêîãî" òåìïåðàòóðíîãî âîçäåéñòâèÿ
w(0) = C1(ϕ)
( r
h
)0
, (13)
164
Ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òåðìîóïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ
äëÿ ñëó÷àÿ "èçãèáíîãî" òåìïåðàòóðíîãî âîçäåéñòâèÿ
w(1) = C2(ϕ) ln
r
h
, (14)
ãäå C1(ϕ), C2(ϕ) � ôóíêöèè, ñîäåðæàùèå òåðìîìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû è çàâèñÿùèå
ëèøü îò êîîðäèíàòû ϕ .
Àñèìïòîòè÷åñêèå çàâèñèìîñòè (13), (14) äëÿ ôóíêöèè ïðîãèáà w ñîâïàëè ñ àñèì-
ïòîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì òåðìîóïðóãîãî ïðîãèáà â ñôåðè÷åñêîé è öèëèíäðè÷åñêîé îáî-
ëî÷êàõ, îïðåäåëåííûì äðóãèìè àâòîðàìè [1, 2].
3. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ ïðîâåäåíû äëÿ îðòîòðîï-
íîãî ìàòåðèàëà ÀÃ�4Ñ ñî ñëåäóþùèìè òåðìîìåõàíè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè [5]:
Gxy = 4.1 · 103Ìí/ì2, νx = 0.07, Ex = 1.6 · 104Ìí/ì2, Ey = 2.1 · 104Ìí/ì2,
αx = 0.7 · 10−5K−1, αy = 3.8 · 10−5K−1.
Ðàññ÷èòûâàëèñü çíà÷åíèÿ òåðìîóïðóãîãî ïðîãèáà äëÿ "ïëîñêîãî" òåìïåðàòóðíîãî
âîçäåéñòâèÿ (t0 = 1�K, t1 = 0; ñì. ðèñ. 1, 2) è äëÿ "èçãèáíîãî" òåìïåðàòóðíîãî âîçäåé-
ñòâèÿ (t0 = 0, t1 = 1�K; ñì. ðèñ. 3, 4).
Çíà÷åíèå ïðîãèáà w è êîîðäèíàòû äàíû â îòíîøåíèè ê òîëùèíå îáîëî÷êè h. Íà
ãðàôèêàõ W ∗
0,1 =
w(0,1)
h
, ζ∗ =
ζ
h
.
Ãðàôèêè íà ðèñ. 1, 3 ïîñòðîåíû äëÿ ñôåðè÷åñêîé (λ = 1) è öèëèíäðè÷åñêîé (λ =
= 0) îáîëî÷åê.
Íà ðèñ. 2, 4 ïîêàçàíû ãðàôèêè äëÿ ðàçëè÷íûõ ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé ìàòåðèàëà
îáîëî÷êè. Öèôðîé 1 îáîçíà÷åíû êðèâûå äëÿ îðòîòðîïíîãî ìàòåðèàëà ÀÃ�4Ñ
(µ = 0.52); öèôðîé 2 � äëÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà (µ = 0, Ex = Ey = 1.6 · 104Ìí/ì2,
νx = νy = 0.07); öèôðîé 3 � äëÿ ìîäåëè ìàòåðèàëà ñ "ïðèâåäåííîé" îðòîòðîïèåé
(µ = 0, Ex 6= Ey, Gxy =
√
ExEy
2(1 +
√
νxνy)
) [5].
Ðèñ. 1. Ðèñ. 2.
Ãðàôèêè äëÿ ñôåðè÷åñêèõ è öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê (ðèñ. 1, 3) çíà÷èòåëüíî îò-
ëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà îêàçûâàåò ñóùåñòâåí-
íîå âëèÿíèå íà çíà÷åíèå òåðìîóïðóãîãî ïðîãèáà.
165
Â.Ï. Øåâ÷åíêî, Í.Â. Äåðãà÷åâà
Ðèñ. 3. Ðèñ. 4.
Ãðàôèêè íà ðèñ. 2, 4 ïîçâîëÿþò çàêëþ÷èòü, ÷òî îðòîòðîïèÿ ìàòåðèàëà îêàçûâàåò
çíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå íà çíà÷åíèå òåðìîóïðóãîãî ïðîãèáà. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî èñïîëü-
çîâàíèå óïðîùåííîé ìîäåëè "ïðèâåäåííîé" îðòîòðîïèè â ñëó÷àå "ïëîñêîãî" òåìïåðà-
òóðíîãî âîçäåéñòâèÿ ìîæåò ïðèâîäèòü ê ñóùåñòâåííûì ïîãðåøíîñòÿì. Ïðè "èçãèáíîì"
òåìïåðàòóðíîì âîçäåéñòâèè (ðèñ. 4) âëèÿíèå îðòîòðîïèè íå ñóùåñòâåííî.
1. ßðåìà Ñ.ß. Ðåøåíèå òåìïåðàòóðíîé çàäà÷è äëÿ ïîëîãîé ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êè â ñëó÷àå ñîñðåäî-
òî÷åííîãî íàãðåâà // Íàó÷. çàïèñêè. Èí-ò. ìàøèíîâåä. è àâòîì. � 1964. � 9 âûï. � Ñ.80�89.
2. Ëóêàñåâè÷ Ñ. Ëîêàëüíûå íàãðóçêè â ïëàñòèíàõ è îáîëî÷êàõ. � Ì.:Ìèð, 1982. � 544 ñ.
3. Øåâ÷åíêî Â.Ï. Ê òåìïåðàòóðíîé çàäà÷å ïîëîãèõ îáîëî÷åê // Òð.VII âñåñîþçí. êîíôåðåí. ïî òåîðèè
îáîëî÷åê è ïëàñòèí. � Ì.: Íàóêà, 1970. � Ñ.610�613.
4. Øåâ÷åíêî Â.Ï. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå òåìïåðàòóðíîé çàäà÷è äëÿ îðòîòðîïíûõ îáîëî÷åê //
Ïðèêë. ìåõàíèêà. � 1977. � � 10. � Ñ.59�66.
5. Øåâ÷åíêî Â.Ï. Ìåòîäû ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé â òåîðèè îðòîòðîïíûõ îáîëî÷åê // Êîíöåíòðà-
öèÿ íàïðÿæåíèé. � Ê.: À.Ñ.Ê., 1998. � Ñ.159�196. (Ìåõàíèêà êîìïîçèòîâ: Â 12 ò.; ò.7).
6. Ïîäñòðèãà÷ ß. Ñ., ßðåìà Ñ. ß. Òåìïåðàòóðíûå íàïðÿæåíèÿ â îáîëî÷êàõ. � Êèåâ: Èçä-âî ÀÍ ÓÐÑÐ,
1961. � 212 ñ.
7. Øåâ÷åíêî Â.Ï., Ãîëüöåâ À.Ñ. Òåðìîóïðóãîå ñîñòîÿíèå îðòîòðîïíûõ îáîëî÷åê, íàãðåâàåìûõ ñîñðå-
äîòî÷åííûìè èñòî÷íèêàìè òåïëà // Ïðèêë. ìåõàíèêà. � 2001. � 37, �5. � Ñ.100�106.
8. Õèæíÿê Â.Ï., Øåâ÷åíêî Â.Ï. Ñìåøàííûå çàäà÷è òåîðèè ïëàñòèí è îáîëî÷åê: Ó÷åá. ïîñîáèå.�
Äîíåöê: ÄîíÃÓ, 1980. � 127 ñ.
9. Øåâ÷åíêî Â.Ï. Äåðãà÷åâà Í.Â. Ðàñïðåäåëåíèå êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ ïîä øòàìïîì â îðòîòðîïíîé
îáîëî÷êå ïðîèçâîëüíîé êðèâèçíû // Òåîð. è ïðèêë. ìåõàíèêà: Ñá. íàó÷í. òð. � Äîíåöê, 2004. �
Ñ.133�137.
Äîíåöêèé íàöèîíàëüíûé óí-ò
nadegdad@ukr.net
Ïîëó÷åíî 12.10.05
166
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123775 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:17:54Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, В.П. Дергачева, Н.В. 2017-09-09T15:18:04Z 2017-09-09T15:18:04Z 2005 Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек / В.П. Шевченко, Н.В. Дергачева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 160-166. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123775 539.3 Построено фундаментальное решение уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек произвольной гауссовой кривизны. Оно является решением температурной задачи для тонкостенных элементов конструкций при сосредоточенном температурном воздействии. Исследована зависимость термоупругого прогиба от термомеханических и геометрических параметров оболочек. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек Article published earlier |
| spellingShingle | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек Шевченко, В.П. Дергачева, Н.В. |
| title | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек |
| title_full | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек |
| title_fullStr | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек |
| title_full_unstemmed | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек |
| title_short | Фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек |
| title_sort | фундаментальные решения уравнений термоупругого равновесия пологих ортотропных оболочек |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123775 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkovp fundamentalʹnyerešeniâuravneniitermouprugogoravnovesiâpologihortotropnyhoboloček AT dergačevanv fundamentalʹnyerešeniâuravneniitermouprugogoravnovesiâpologihortotropnyhoboloček |