Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
Рассмотрена система n твердых тел, образующих замкнутую цепь |1|. Тела связаны упругими сферическими шарнирами. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и крутильные деформации моделируемого упругого объекта. Полагалось, что моделируемая упругая система физически линейна, но геометрически не...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123776 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 167-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860201057204830208 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| author_facet | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| citation_txt | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 167-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена система n твердых тел, образующих замкнутую цепь |1|. Тела связаны упругими сферическими шарнирами. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и крутильные деформации моделируемого упругого объекта. Полагалось, что моделируемая упругая система физически линейна, но геометрически нелинейна. Такой подход позволяет изучать системы с учетом больших прогибов. Получены нелинейные уравнения движения введенной системы связанных тел в предположении отсутствия внешних сил и моментов. Найдены положения равновесия изучаемой системы. Детально изучен случай, когда ось моделируемого упругого стержня является замкнутой плоской кривой. Для этого случая в явном виде найдено частное решение, в котором ось симметрии замкнутой цепи твердых тел при n → ∞ совпадает с осью упругого стержня, моделирующего кольцевую молекулу.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:10:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
ÊÎÍÅ×ÍÎÌÅÐÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÇÀÌÊÍÓÒÎÃÎ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÑÒÅÐÆÍß
Ðàññìîòðåíà ñèñòåìà n òâåðäûõ òåë, îáðàçóþùèõ çàìêíóòóþ öåïü [1]. Òåëà ñâÿçàíû óïðóãèìè ñôåðè-
÷åñêèìè øàðíèðàìè. Òàêèå øàðíèðû ïîçâîëÿþò ó÷åñòü êàê èçãèáíûå, òàê è êðóòèëüíûå äåôîðìàöèè
ìîäåëèðóåìîãî óïðóãîãî îáúåêòà. Ïîëàãàëîñü, ÷òî ìîäåëèðóåìàÿ óïðóãàÿ ñèñòåìà ôèçè÷åñêè ëèíåéíà,
íî ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíà. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ñèñòåìû ñ ó÷åòîì áîëüøèõ ïðîãèáîâ.
Ïîëó÷åíû íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ââåäåííîé ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òåë â ïðåäïîëîæåíèè îòñóò-
ñòâèÿ âíåøíèõ ñèë è ìîìåíòîâ. Íàéäåíû ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû. Äåòàëüíî èçó÷åí
ñëó÷àé, êîãäà îñü ìîäåëèðóåìîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ïëîñêîé êðèâîé. Äëÿ ýòîãî
ñëó÷àÿ â ÿâíîì âèäå íàéäåíî ÷àñòíîå ðåøåíèå, â êîòîðîì îñü ñèììåòðèè çàìêíóòîé öåïè òâåðäûõ òåë
ïðè n→∞ ñîâïàäàåò ñ îñüþ óïðóãîãî ñòåðæíÿ, ìîäåëèðóþùåãî êîëüöåâóþ ìîëåêóëó.
Ââåäåíèå. Èñïîëüçîâàíèå ñèñòåì òâåðäûõ òåë, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè óíèâåðñàëü-
íûìè øàðíèðàìè, äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîëåáàíèé óïðóãèõ áàëî÷íûõ ñèñòåì ïîçâîëèëî
â ðÿäå çàäà÷ ïîëó÷èòü îáîçðèìûå àíàëèòè÷åñêèå îöåíêè [2 � 4]. Îñîáî ñëåäóåò îòìåòèòü
êîíñòðóêòèâíûé àëãîðèòì, ïðåäëîæåííûé â [5], êîòîðûé ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðåçîíàíñ-
íûå ñêîðîñòè âðàùåíèÿ, ïðè÷åì â ñëó÷àå n = 1, 2, 3 íèçøèå ðåçîíàíñíûå ñêîðîñòè ìîãóò
áûòü âûïèñàíû â ÿâíîì âèäå êàê ôóíêöèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Îñíîâíîé îñîáåííîñòüþ
áàëî÷íîé òåîðèè è, êàê ñëåäñòâèå, åå êîíå÷íîìåðíîãî àíàëîãà ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå
î ìàëîñòè îòíîñèòåëüíûõ ïðîãèáîâ, ÷òî â ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè îçíà÷àåò ìà-
ëîñòü îòíîñèòåëüíûõ óãëîâ ïîâîðîòà.
Îäíàêî â ðÿäå çàäà÷, ãäå ïðîãèáû äîñòèãàþò çíà÷èòåëüíîé âåëè÷èíû, áàëî÷íàÿ
òåîðèÿ íå ðàáîòàåò, à èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ óïðóãèõ ñòåðæíåé, ó÷èòûâàþùàÿ èõ ãåîìåò-
ðè÷åñêóþ íåëèíåéíîñòü. Îäíèì èç èíòåðåñíûõ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, ïîëó÷èâøèõ
ðàçâèòèå â ïîñëåäíèå ãîäû, ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå óïðóãèõ ñòåðæíåé ïðè ìîäåëèðîâà-
íèè òðåòè÷íîé ñòðóêòóðû ìîëåêóëû ÄÍÊ. Óñòàíîâëåíî [6 � 8], ÷òî ýòè ìîëåêóëû ìîãóò
èìåòü êàê íåçàìêíóòóþ, òàê è çàìêíóòóþ ôîðìû. Êàê îòìå÷åíî â [7], íàèáîëåå óäîá-
íûìè äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ÿâëÿþòñÿ êîëüöåâûå ìîëåêóëû. Èññëåäî-
âàíèþ ãåîìåòðèè êîëüöåâûõ ìîëåêóë ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòåðæíåâîé ìîäåëè ïîñâÿùåíû
ðàáîòû [6 � 8].
Îòìå÷åííîå âûøå óñïåøíîå ïðèìåíåíèå êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè ïðè èçó÷åíèè äè-
íàìèêè áàëî÷íûõ êîíñòðóêöèé äàåò âîçìîæíîñòü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíà äàñò ðÿä ïðå-
èìóùåñòâ è ïðè èçó÷åíèè äèíàìèêè íåëèíåéíûõ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì. Íàñòîÿùàÿ ðàáî-
òà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ ñ ó÷åòîì
íåëèíåéíîñòè óïðóãèõ ïðîãèáîâ.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Êèíåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó
n îäèíàêîâûõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè ñôåðè÷åñêèìè øàðíèðàìè,
ðàñïîëîæåííûìè â òî÷êàõ Ok ïåðåñå÷åíèÿ îñåé ñèììåòðèè ãèðîñêîïîâ (ñì. ðèñ. 1).
Òàêèå øàðíèðû ïîçâîëÿþò ó÷èòûâàòü â ñî÷ëåíåíèÿõ óïðóãîñòü êàê èçãèáà, òàê è êðó-
÷åíèÿ. Ïîëàãàåì, ÷òî âíåøíèå ñèëû è ìîìåíòû îòñóòñòâóþò, è, êàê ñëåäñòâèå ýòîãî,
îáùèé öåíòð ìàññ ñèñòåìû òåë C íåïîäâèæåí. Ñâÿæåì ñ êàæäûì òåëîì Sk ñèñòåìó
êîîðäèíàò CkXkYkZk (îðòû ei
k; k = 1, n; i = 1, 2, 3), ãäå Ck � öåíòð ìàññ òåëà Sk, à îñü
CkZk íàïðàâëåíà âäîëü îñè ñèììåòðèè òåëà.
167
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòð ìàññ Ck ðàñïîëîæåí â öåíòðå îñè ñèììåòðèè òåëà è
OkOk+1 = 2OkCk = 2c. (1)
Äëÿ çàìêíóòûõ ñèñòåì äîëæíî âû-
Ðèñ. 1. Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà òåë.
ïîëíÿòüñÿ óñëîâèå O1 = On+1, êîòîðîå ñ
ó÷åòîì (1) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
n∑
k=1
OkOk+1 = 2c
n∑
k=1
e3
k = 0. (2)
Îïðåäåëèì ïîëîæåíèå ñèñòåìû êîîðäè-
íàò CkXkYkZk ïî îòíîøåíèþ ê èíåðöè-
àëüíîé CXY Z óãëàìè Êðûëîâà ψk, θk, ϕk.
Òîãäà èç (2) ñëåäóþò òðè ñêàëÿðíûõ ñî-
îòíîøåíèÿ:
f1 =
n∑
k=1
sinψk cos θk = 0,
f2 =
n∑
k=1
sin θk = 0, f3 =
n∑
k=1
cosψk cos θk = 0. (3)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç rkc ðàññòîÿíèå îò Ck äî íåïîäâèæíîãî öåíòðà C. Ïî îïðåäåëåíèþ
öåíòðà ìàññ ñèñòåìû n îäèíàêîâûõ òåë èìååì
n∑
k=1
rkc = 0. (4)
Èç âåêòîðíîãî ìíîãîóãîëüíèêà (ðèñ. 1) ñ ó÷åòîì (1) ñëåäóåò
r2c = r1c + c(e3
1 + e3
2), rkc = r1c + c(e3
1 + e3
k) + 2c
k−1∑
i=2
e3
i (k ≥ 3). (5)
Èç (4) è (5) îïðåäåëÿåì
rkc = c
{
−e3
k +
1
n
k∑
i=1
(2i− 1)e3
i −
1
n
n∑
i=k+1
[2(n− i) + 1] e3
i
}
,
(k = 1, n− 1), (6)
rnc = c
[
−e3
n +
1
n
n∑
i=1
(2i− 1)e3
i
]
.
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû èìååò âèä
T =
1
2
n∑
k=1
[
mṙ2
kc + A(p2
k + q2
k) +Br2
k
]
, (7)
168
Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ
ãäå m � ìàññà òåëà Sk, A,B � ñîîòâåòñòâåííî åãî ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíòû
èíåðöèè, pk, qk, rk � êîìïîíåíòû àáñîëþòíîé óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà Sk, êîòîðûå âûðà-
æàþòñÿ ÷åðåç óãëû ψk, θk, ϕk:
pk = ψ̇k cos θk sinϕk + θ̇k cosϕk, qk = ψ̇k cos θk cosϕk − θ̇k sinϕk, rk = ϕ̇k − ψ̇k sin θk. (8)
Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (6) ñ ó÷åòîì (8) âûðàæåíèå (7) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
T =
1
2
n∑
j=1
[
A
′
(ψ̇2
j cos2 θj + θ̇2
j ) +B(ϕ̇j − ψ̇j sin θj)
2 +mc2
(
j∑
i=1
bijAij +
n∑
i=j+1
cijAij
)]
. (9)
Çäåñü
A
′
= A+mc2;
Aij = θ̇iθ̇j cos θi cos θj + (θ̇iθ̇j sin θi sin θj + ψ̇iψ̇j cos θi cos θj) cos(ψj − ψi)+
+(θ̇iψ̇j sin θi cos θj − θ̇jψ̇i cos θi sin θj) sin(ψj − ψi);
bij = 4(i− 1) +
1
n
[2j − 1− 2i(2i− 1)] +
1
n2
(2j − 1)(2i− 1)(i− j);
cij = 4j +
1
n
(4j2 + 2j + 2i− 8ij − 1) +
1
n2
(i− j)(2i− 1)(2j − 1).
Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ïðåäñòàâèì â âèäå
Π =
1
2
n∑
k=1
[
k1(κ2
1k + κ2
2k) + k2κ2
3k
]
, (10)
ãäå k1, k2 � ñîîòâåòñòâåííî æåñòêîñòè èçãèáà è êðó÷åíèÿ, à
κ1k = (ψk − ψk−1) cos θk sinϕk + (θk − θk−1) cosϕk,
κ2k = (ψk − ψk−1) cos θk cosϕk − (θk − θk−1) sinϕk, (11)
κ3k = ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk.
Òàêîé âûáîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ãåîìåòðè÷åñêóþ íåëèíåéíîñòü
îáúåêòà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî óãëû ψk, θk, ϕk ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷å-
íèÿ, à èõ ðàçíîñòè ìàëû. Èç (11) ïðè n → ∞ (h → 0) ïîëó÷àåì, ÷òî hκik(i = 1, 2, 3)
ñîâïàäàþò ñ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà Äàðáó, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ (10) � ñ ïîòåíöè-
àëüíîé ýíåðãèåé óïðóãîãî ñòåðæíÿ [9].
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (11) â (10) èìååì
Π =
1
2
n∑
k=1
{k1[(ψk−ψk−1)
2 cos2 θk +(θk−θk−1)
2]+k2[ϕk−ϕk−1− (ψk−ψk−1) sin θk]
2}. (12)
 (12) âõîäÿò çíà÷åíèÿ óãëîâ ψ0, θ0, ϕ0, êîòîðûå â ñëó÷àå çàìêíóòûõ ñèñòåì (ïðè
ýòîì ïîëàãàåì On+1 = O1) òàêîâû:
ψ0 = ψn − 2π; θ0 = θn − 2π; ϕ0 = ϕn − 2π (13)
169
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû â ôîðìå óðàâ-
íåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáîáùåííûå êîîðäèíàòû qi(ψi, θi, ϕi) óäî-
âëåòâîðÿþò äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì (3). Òîãäà ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì [10]:
d
dt
∂T
∂q̇i
− ∂T
∂qi
+
∂Π
∂qi
−
3∑
k=1
λk
∂fk
∂qi
= 0, (14)
ãäå λk (k = 1, 2, 3) � ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà.
Ïîäñòàâëÿÿ â (14) âûðàæåíèÿ (3), (9), (12), ïîëó÷àåì
ψ̈k(A
′
cos2 θk +B sin2 θk)−Bϕ̈k sin θk + ψ̇kθ̇k(B − A
′
) sin 2θk −Bϕ̇kθ̇k cos θk+
+µ cos θk{(2k − 1)
n∑
j=k+1
(2n− 2j + 1)Fkj + (2n− 2k + 1)
k∑
j=1
(2j − 1)Fkj}+
+k1[(ψk − ψk−1) cos2 θk − (ψk+1 − ψk) cos2 θk+1]− k2{sin θk[ϕk − ϕk−1−
−(ψk − ψk−1) sin θk]− sin θk+1[ϕk+1 − ϕk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1]}+
+λ1 cosψk cos θk − λ3 sinψk cos θk = 0 (k = 1, n);
A′[θ̈k + ψ̇2
k cos θk sin θk] +Bψ̇k(ϕ̇k − ψ̇k sin θk) cos θk + µ{(2k − 1)
n∑
j=k+1
(2n− 2j+ (15)
+1)Gkj + (2n− 2k + 1)
k∑
j=1
(2j − 1)Gkj} − k1[sin 2θk(ψk − ψk−1)
2/2+
+θk+1 − 2θk + θk−1]− k2 cos θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]+
+λ1 sinψk sin θk + λ2 cos θk − λ3 cosψk sin θk = 0 (k = 1, n);
B[ϕ̈k − ψ̈k sin θk − ψ̇kθ̇k cos θk]− k2[ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1 + (ψk − ψk−1) sin θk−
−(ψk+1 − ψk) sin θk+1] = 0 (k = 1, n).
Çäåñü µ = mc2/n, ψn+1 = ψ1 + 2π, θn+1 = θ1 + 2π, ϕn+1 = ϕ1 + 2π;
Fkj = ψ̈j cos θj cos(ψk − ψj) + θ̈j sin θj sin(ψk − ψj)− 2ψ̇j θ̇j sin θj cos(ψk − ψj)+
+(θ̇2
j + ψ̇2
j ) cos θj sin(ψk − ψj);
Gkj = θ̈j[cos θj cos θk + sin θj sin θk cos(ψk − ψj)]− ψ̈j cos θj sin θk sin(ψk − ψj)+
+θ̇2
j [cos θj sin θk cos(ψk − ψj)− sin θj cos θk] + 2ψ̇j θ̇j sin θj sin θk sin(ψk − ψj)+
+ψ̇2
j cos θj sin θk cos(ψk − ψj)
Ñèñòåìà (3), (15) ïðåäñòàâëÿåò çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèç-
âåñòíûõ ψk, θk, ϕk (k = 1, n), λs (s = 1, 2, 3).
170
Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ
3. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû. Ïëîñêèé ñëó÷àé. Îïðåäåëèì ïîëîæåíèå
ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû, ïîëîæèâ â óðàâíåíèÿõ (15) ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ îáîá-
ùåííûõ êîîðäèíàò ψk, θk, ϕk (k = 1, n) ðàâíûìè íóëþ. Òîãäà ýòè êîîðäèíàòû äîëæíû
óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìå (3) è óðàâíåíèÿì
k1[(ψk − ψk−1) cos2 θk − (ψk+1 − ψk) cos2 θk+1] + k2{− sin θk[ϕk − ϕk−1−
−(ψk − ψk−1) sin θk] + sin θk+1[ϕk+1 − ϕk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1]}+
+λ1 cosψk cos θk − λ3 sinψk cos θk = 0;
k1[sin 2θk(ψk − ψk−1)
2/2 + θk+1 − 2θk + θk−1] + k2 cos θk[ϕk − ϕk−1− (16)
−(ψk − ψk−1) sin θk]− λ1 sinψk sin θk − λ2 cos θk + λ3 cosψk sin θk = 0;
ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1 + (ψk − ψk−1) sin θk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1 = 0.
 ðàáîòàõ [6, 7] ðåøåíèå áûëî ïîëó÷åíî â ÿâíîì âèäå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà óïðóãàÿ
ëèíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêóþ ëèíèþ. Èçó÷èì ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àé è çäåñü, ïîëà-
ãàÿ
θk = 0, k = 1, n. (17)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (17) â (16) è (3) è çàìåíû ïåðåìåííûõ
λ1 = λ cosψ, λ3 = λ sinψ, ψ̃k = ψk + ψ (18)
ïîëó÷èì
k1(ψ̃k+1 − 2ψ̃k + ψ̃k−1)− λ sin ψ̃k = 0, (19)
n∑
k=1
sin ψ̃k = 0,
n∑
k=1
cos ψ̃k = 0, (20)
ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1 = 0. (21)
 äàëüíåéøåì çíàê ”˜” íàä ψk îïóñêàåì, à λ è ψ îïðåäåëÿåì èç (18) ÷åðåç èñõîäíûå
ïàðàìåòðû ñëåäóþùèì îáðàçîì: λ =
√
λ2
1 + λ2
3 > 0; ψ = arctg(λ3/λ1).
Èç (19) � (21) çàêëþ÷àåì, ÷òî â ïëîñêîì ñëó÷àå óãëû ψk è ϕk íåçàâèñèìû.
Ó÷èòûâàÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå çàìêíóòîñòè ñèñòåìû (13) è ðàâåíñòâî ϕn+1 = ϕ1+2π,
íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèñòåìà (21) èìååò ðåøåíèå
ϕk = 2πk/n+ α, (22)
ãäå α � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ
Ââîäÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ
xk = (ψk + ψn−k+1)/2, yk = (ψk − ψn−k+1)/2, k = 1, N
(çäåñü ïîëàãàëîñü n = 2N � ÷åòíîå ÷èñëî, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò çàäà÷å ìîäåëèðîâàíèÿ
ñèììåòðè÷íîé ìîëåêóëû ÄÍÊ) è ó÷èòûâàÿ (13), ïðèâîäèì ñèñòåìû (19), (20) ê âèäó
Â1X − ω2B̂1 = 0, (23)
Â2Y − ω2B̂2 = 2πE1, (24)
171
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí
n∑
k=1
sin xk cos yk = 0,
n∑
k=1
cosxk cos yk = 0. (25)
Çäåñü X, Y− ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöû-ñòîëáöû n-ãî ïîðÿäêà ñ ýëåìåíòàìè xi, yi; à
B̂1, B̂2 � ìàòðèöû-ñòîëáöû ñ ýëåìåíòàìè b1i , b
2
i , ðàâíûìè b1i = sinxi cos yi ,
b2i = cos xi sin yi; Â1 = {a1
ij}, Â2 = {a2
ij} � ÿêîáèåâû êâàäðàòíûå ìàòðèöû n-ãî ïîðÿäêà,
â êîòîðûõ
a1
11 = a1
NN = −1, a1
ii = −2, a1
ii+1 = 1, i = 2, N − 1,
a2
11 = a2
NN = −3, a2
ii = −2, a2
ii+1 = 1; i = 2, N − 1,
E1 � ìàòðèöà-ñòîëáåö, â êîòîðîé e1 = 1, à îñòàëüíûå ei = 0 , ω2 = λ/k1.
Èç ïåðâûõ óðàâíåíèé ñèñòåì (23), (24) íàõîäèì x2, y2, êàê ôóíêöèè x1, y1, ω
2. Èìååì
x2 = x1 + ω2b1(x1, y1) = f2(x1, y1, ω
2), y2 = 2π + y1 + ω2b11(x1, y1) = f 1
2 (x1, y1, ω
2).
Ó÷èòûâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ, èç âòîðûõ óðàâíåíèé íàõîäèì x3 = f3(x1, y1, ω
2),
y3 = f 1
3 (x1, y1, ω
2). Ïîäñòàíîâêè íàéäåííûõ ïåðåìåííûõ â ïîñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ ïîç-
âîëÿåò èç (k − 1)-ãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëèòü xk = fk(x1, y1, ω
2), yk = f 1
k (x1, y1, ω
2). Òîãäà
ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê âèäó
F (x1, y1, ω
2) = 0, F1(x1, y1, ω
2) = 0. (26)
Óðàâíåíèÿ (25) äàþò åùå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ:
G(x1, y1) = 0, G1(x1, y1) = 0. (27)
Âõîäÿùèå â (26), (27) ôóíêöèè F, F1, G,G1 ëåãêî ìîãóò áûòü âûïèñàíû â ÿâíîì âèäå.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (15), (17) íàõîäÿòñÿ ïðè îäíîâðå-
ìåííîì óäîâëåòâîðåíèè óñëîâèé (26), (27).
4. Ðåøåíèå ïðè óñëîâèè λ = 0. Ïîëàãàÿ λ = 0, ïîëó÷àåì ω2 = 0 è ñèñòåìà (23)
ñòàíîâèòñÿ ñèñòåìîé îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî xk, à ñèñòåìà (24) � ñèñòåìîé
íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî yk.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî det(A1) = 0, òàê êàê
∆1
N = ∆1
N−1 = ... = ∆1
2 =
∣∣∣∣ −1 1
1 −1
∣∣∣∣ = 0. (28)
Çäåñü ∆1
k− îïðåäåëèòåëü k-ìåðíîé ìàòðèöû Â1, (k = 2, N).
Èç (28) çàêëþ÷àåì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (23) ïðè óñëîâèè ω2 = 0 èìååò íåíóëåâîå
ðåøåíèå è, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, îíî ðàâíî
xN = xN−1 = ... = x1 = x. (29)
Çäåñü x− ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Îáîçíà÷èì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Â2 ÷åðåç det(A2) = ∆2
N . Ýòîò îïðåäåëèòåëü ìî-
æåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê
∆2
N = δN − 2δN−1 + δN−2, (30)
ãäå δn− îïðåäåëèòåëü N -ãî ïîðÿäêà ÿêîáèåâîé ìàòðèöû B̂, â êîòîðîé bii = −2; bi i+1 = 1.
172
Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ
Ðàñêëàäûâàÿ δN ïî ïåðâîé ñòðîêå, ïîëó÷àåì δN = −2δN−1 − δN−2. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
δ1 = −2; δ3 = 3, íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî δN = (−1)N(N + 1). Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âû-
ðàæåíèå â (30), ïîëó÷àåì ∆2
N = (−4)NN 6= 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ
íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (24) èìååò åäèíñòâåííîå íåíóëåâîå ðåøåíèå.
Ïðèìåíÿÿ ê ýòîé ñèñòåìå ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ, íàõîäèì
yk = −π +
2k − 1
2N
π (k = 1, N − 1), yN = − π
2N
. (31)
Ïðè ó÷åòå (29) èç (25) èìååì
N∑
k=1
cos yk = 0. (32)
Ïîñêîëüêó èç (31) ñëåäóåò cos yk = − cos yN−k+1, ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèå (31) óäî-
âëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (32). Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì ψk, ïîëó÷àåì
ψk = −π + x+
2k − 1
2N
π, ψN+k = π + x− 2k − 1
2N
π, k = 1, N.
Î÷åâèäíî, ÷òî çà ñ÷åò âûáîðà x, ýòî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî, êàê è (22),
â âèäå
ψk = 2πk/n+ α1, k = 1, n. (33)
Çäåñü α1 � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Íàéäåííîå ðåøåíèå (22), (33) ïðè n → ∞ ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåííûì â [6 � 8] ðå-
øåíèåì äëÿ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì, â êîòîðûõ óïðóãàÿ ëèíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæ-
íîñòü.
1. Âèòòåíáóðã É. Äèíàìèêà ñèñòåì òâåðäûõ òåë. � Ì.: Ìèð, 1980. � 292 ñ.
2. Áîëãðàáñêàÿ È.À., Ñàâ÷åíêî À.ß. Ñèñòåìû òâåðäûõ òåë, îáðàçóþùèõ ïîëóçàìêíóòóþ öåïü // Ìå-
õàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1994. � Âûï. 26(I). � Ñ. 33 � 39.
3. Bolgrabskaya I.A. Resonance velocities with half-closed chain // Ïðîáë. íåëèíåéíîãî àíàëèçà â èíæå-
íåðíûõ ñèñòåìàõ. Ìåæäóíàð. ñá. � Êàçàíü, 2001. � 7, âûï. 1(13). � Ñ. 22�28.
4. Áîëãðàáñêàÿ È.À. Âëèÿíèå ñäâèãîâûõ äåôîðìàöèé â ñèñòåìå äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà íà ðåçî-
íàíñíûå ÷àñòîòû // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1987. � � 2. � Ñ. 33�36.
5. Áîëãðàáñüêà I.Î. Äîñëiäæåííÿ äèíàìi÷íèõ âëàñòèâîñòåé ñèñòåì çâ'ÿçàíèõ òâåðäèõ òië i ��õ çàñòîñó-
âàííÿ äî âèâ÷åííÿ âëàñòèâîñòåé ñòåðæíåâèõ êîíñòðóêöié. � Àâòîðåô. äèñ. ... äîêò. ôèç.-ìàò. íàóê.
� Äîíåöê, 1999. � 33 ñ.
6. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. � 1986. � 21D. � P. 213-226.
7. Áåíõýì Äæ. Ìåõàíèêà è ðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ ñâåðõñïèðàëèçîâàííîé ÄÍÊ // Â êí.: Ìàòåìàòè-
÷åñêèå ìåòîäû äëÿ àíàëèçà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÄÍÊ. - Ì.: Ìèð, 1999. � Ñ. 308 � 338.
8. Starostin E.I. Three-dimensional shapes of looped DNA // Colloquium EVROMECH 325 (19-22 September,
1994, L`Aquila, Italy). � 1994. � 23 p.
9. Èëþõèí.À.À. Ñïåöèàëüíûå ïðîáëåìû íåëèíåéíîé òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé. � Ê.: Íàóê. äóìêà,
1979. � 120 ñ.
10. Ïàâëîâñüêèé Ì.À. Òåîðåòè÷íà ìåõàíiêà. � Ê.: Òåõíiêà, 2002 . � 510 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 10.08.05
173
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123776 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:10:26Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. 2017-09-09T15:19:36Z 2017-09-09T15:19:36Z 2005 Конечномерная модель замкнутого упругого стержня / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 167-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123776 531.38 Рассмотрена система n твердых тел, образующих замкнутую цепь |1|. Тела связаны упругими сферическими шарнирами. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и крутильные деформации моделируемого упругого объекта. Полагалось, что моделируемая упругая система физически линейна, но геометрически нелинейна. Такой подход позволяет изучать системы с учетом больших прогибов. Получены нелинейные уравнения движения введенной системы связанных тел в предположении отсутствия внешних сил и моментов. Найдены положения равновесия изучаемой системы. Детально изучен случай, когда ось моделируемого упругого стержня является замкнутой плоской кривой. Для этого случая в явном виде найдено частное решение, в котором ось симметрии замкнутой цепи твердых тел при n → ∞ совпадает с осью упругого стержня, моделирующего кольцевую молекулу. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Конечномерная модель замкнутого упругого стержня Article published earlier |
| spellingShingle | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| title | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня |
| title_full | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня |
| title_fullStr | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня |
| title_full_unstemmed | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня |
| title_short | Конечномерная модель замкнутого упругого стержня |
| title_sort | конечномерная модель замкнутого упругого стержня |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123776 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia konečnomernaâmodelʹzamknutogouprugogosteržnâ AT ŝepinnn konečnomernaâmodelʹzamknutogouprugogosteržnâ |