Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце
Рассматривается в ограниченной постановке движение по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил сложной механической системы, состоящей из гиростата и упругого стержня с массой на свободном конце. Гиростат рассматривается как твердое тело, в котором имеется вращающийся динамичес...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123778 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце / C.B. Чайкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 189-198. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859670024789164032 |
|---|---|
| author | Чайкин, C.B. |
| author_facet | Чайкин, C.B. |
| citation_txt | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце / C.B. Чайкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 189-198. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассматривается в ограниченной постановке движение по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил сложной механической системы, состоящей из гиростата и упругого стержня с массой на свободном конце. Гиростат рассматривается как твердое тело, в котором имеется вращающийся динамически и статически уравновешенный маховик. Однородный, прямолинейный в недеформированном состоянии упругий стержень жестко закреплен одним концом в корпусе гиростата. Ось недеформированного стержня произвольно расположена в главной центральной плоскости инерции гиростата. Относительные перемещения точек системы в результате малой деформации ее упругого звена представляются в виде бесконечного ряда разложения (без его априорного усечения) по заданной системе функций, зависящих от пространственных координат, с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. Ориентация системы на притягивающий центр определяется указанием расположения относительно связанной системы координат ортов нормали к плоскости орбиты и радиуса-вектора центра масс системы, указанная пара ортов располагается при этом в главной центральной плоскости инерции гиростата, содержащей ось недеформированного стержня. Дня выделенного таким образом однопараметрического семейства одноосных ориентаций системы на притягивающий центр аналитически определяются деформации стержня, естественно, зависящие от ориентации, г простатический момент, обеспечивающий равновесие выбранной ориентации (нетривиального равновесия, так как при этом стержень, вообще говоря, деформирован) и условия устойчивости равновесий в смысле Ляпунова.
|
| first_indexed | 2025-11-30T12:49:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.36
c©2005. C.B. ×àéêèí
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÍÅÒÐÈÂÈÀËÜÍÛÕ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÕ
ÐÀÂÍÎÂÅÑÈÉ ÃÈÐÎÑÒÀÒÀ Ñ ÓÏÐÓÃÈÌ ÑÒÅÐÆÍÅÌ
Ñ ÌÀÑÑÎÉ ÍÀ ÊÎÍÖÅ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ â îãðàíè÷åííîé ïîñòàíîâêå äâèæåíèå ïî êåïëåðîâîé êðóãîâîé îðáèòå â öåíòðàëüíîì
íüþòîíîâñêîì ïîëå ñèë ñëîæíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ãèðîñòàòà è óïðóãîãî ñòåðæíÿ
ñ ìàññîé íà ñâîáîäíîì êîíöå. Ãèðîñòàò ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òâåðäîå òåëî, â êîòîðîì èìååòñÿ âðàùàþ-
ùèéñÿ äèíàìè÷åñêè è ñòàòè÷åñêè óðàâíîâåøåííûé ìàõîâèê. Îäíîðîäíûé, ïðÿìîëèíåéíûé â íåäåôîð-
ìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè óïðóãèé ñòåðæåíü æåñòêî çàêðåïëåí îäíèì êîíöîì â êîðïóñå ãèðîñòàòà. Îñü
íåäåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ ïðîèçâîëüíî ðàñïîëîæåíà â ãëàâíîé öåíòðàëüíîé ïëîñêîñòè èíåðöèè
ãèðîñòàòà. Îòíîñèòåëüíûå ïåðåìåùåíèÿ òî÷åê ñèñòåìû â ðåçóëüòàòå ìàëîé äåôîðìàöèè åå óïðóãîãî
çâåíà ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà ðàçëîæåíèÿ (áåç åãî àïðèîðíîãî óñå÷åíèÿ) ïî çàäàí-
íîé ñèñòåìå ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè,
çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè. Îðèåíòàöèÿ ñèñòåìû íà ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð îïðåäåëÿåòñÿ óêàçàíèåì ðàñ-
ïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îðòîâ íîðìàëè ê ïëîñêîñòè îðáèòû è ðàäèóñà-
âåêòîðà öåíòðà ìàññ ñèñòåìû, óêàçàííàÿ ïàðà îðòîâ ðàñïîëàãàåòñÿ ïðè ýòîì â ãëàâíîé öåíòðàëüíîé
ïëîñêîñòè èíåðöèè ãèðîñòàòà, ñîäåðæàùåé îñü íåäåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ. Äëÿ âûäåëåííîãî òàêèì
îáðàçîì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà îäíîîñíûõ îðèåíòàöèé ñèñòåìû íà ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð
àíàëèòè÷åñêè îïðåäåëÿþòñÿ äåôîðìàöèè ñòåðæíÿ, åñòåñòâåííî, çàâèñÿùèå îò îðèåíòàöèè, ãèðîñòàòè-
÷åñêèé ìîìåíò, îáåñïå÷èâàþùèé ðàâíîâåñèå âûáðàííîé îðèåíòàöèè (íåòðèâèàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ, òàê
êàê ïðè ýòîì ñòåðæåíü, âîîáùå ãîâîðÿ, äåôîðìèðîâàí) è óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèé â ñìûñëå
Ëÿïóíîâà.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì â îãðàíè÷åííîé
ïîñòàíîâêå [1, 2] äâèæåíèå ïî êåïëåðîâîé êðóãîâîé îðáèòå â öåíòðàëüíîì íüþòîíîâ-
ñêîì ïîëå ñèë ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ãèðîñòàòà è óïðóãîãî ñòåðæíÿ ñ
ìàññîé. Ãèðîñòàò ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òâåðäîå òåëî, â êîòîðîì èìååòñÿ âðàùàþùèéñÿ
äèíàìè÷åñêè è ñòàòè÷åñêè óðàâíîâåøåííûé ìàõîâèê. Îäíîðîäíûé, ïðÿìîëèíåéíûé â
íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè óïðóãèé ñòåðæåíü æåñòêî çàêðåïëåí îäíèì êîíöîì â
êîðïóñå ãèðîñòàòà ïî âñåé ïëîùàäè åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Íà åãî ñâîáîäíîì êîíöå
èìååòñÿ òî÷å÷íàÿ ìàññà M, mc � ìàññà ñòåðæíÿ. Îñü íåäåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ
ïðîèçâîëüíî ðàñïîëîæåíà â ãëàâíîé öåíòðàëüíîé ïëîñêîñòè èíåðöèè ãèðîñòàòà. Ïðè
äâèæåíèè ñèñòåìû åå ìãíîâåííûé öåíòð ìàññ ïåðåìåùàåòñÿ ïî êåïëåðîâîé êðóãîâîé
îðáèòå âîêðóã ïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà, à ñòåðæåíü ñîâåðøàåò ìàëûå ïðîñòðàíñòâåí-
íûå èçãèáíûå êîëåáàíèÿ.
Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ââîäÿòñÿ òîëüêî ïðàâûå ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû ñèñòå-
ìû êîîðäèíàò. Ñèñòåìà êîîðäèíàò Oyk (k = 1, 2, 3) ñ ïîëþñîì â ìãíîâåííîì öåíòðå
ìàññ ñèñòåìû è îðòàìè îñåé α, β, γ ñîîòâåòñòâåííî; îðò β íàïðàâëåí ïî íîðìàëè
ê ïëîñêîñòè îðáèòû, γ � ïî ðàäèóñó-âåêòîðó ìãíîâåííîãî öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî
ïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà. Ïîñòîÿííûé âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ îðáèòàëüíîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ω = ω β, ω > 0; R �
ðàäèóñ êðóãîâîé îðáèòû äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ , L � õàðàêòåðíûé ðàçìåð ñèñòåìû,
m � åå ìàññà. Ñèñòåìà êîîðäèíàò O1xk ñ îðòàìè îñåé ik (k = 1, 2, 3) æåñòêî ñâÿçàíà
ñ êîðïóñîì ãèðîñòàòà; O1 � öåíòð ìàññ íåäåôîðìèðîâàííîé ñèñòåìû, à îñè êîîðäèíàò
189
C.B. ×àéêèí
ñîâìåùåíû ñ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè ãèðîñòàòà; Ω � âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè
òðåõãðàííèêà O1xk îòíîñèòåëüíî Oyk.
Ïóñòü â ïëîñêîñòè O1x2x3 ðàñïîëàãàåòñÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ â íåäåôîðìèðîâàííîì ñî-
ñòîÿíèè îñü óïðóãîãî ñòåðæíÿ, äëÿ ïðîñòîòû ïîñòîÿííîãî êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ è åäèíè÷-
íîé äëèíû, ρ � ïîãîííàÿ ìàññà ñòåðæíÿ, a � ðàññòîÿíèå îò òî÷êè O1 äî òî÷êè çàùåì-
ëåíèÿ ñòåðæíÿ, à ïàðàìåòð s ∈ [0, 1] îïðåäåëÿåò òî÷êó íà îñè ñòåðæíÿ. Ñ÷èòàåì, ÷òî â
ïðîöåññå äâèæåíèÿ ñòåðæåíü ïîäâåðãàåòñÿ ìàëûì ïðîñòðàíñòâåííûì èçãèáíûì äåôîð-
ìàöèÿì â ñîîòâåòñòâèè ñ ãèïîòåçàìè Êèðõãîôà: ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ íå äåôîðìèðóþòñÿ,
ïðåíåáðåãàþò èõ êðó÷åíèåì è èçìåíåíèåì íîðìàëè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî
íîðìàëè ýòîãî æå ñå÷åíèÿ â íåäåôîðìèðîâàííîì ïîëîæåíèè ñòåðæíÿ.
Äëÿ îïèñàíèÿ äåôîðìàöèé óïðóãîãî çâåíà ñèñòåìû èñïîëüçóåì ëîêàëüíóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò ñ îðòàìè {fk}, îðò f 3 ðàñïîëàãàåòñÿ âäîëü îñè íåäåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæ-
íÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O1, è íàïðàâëåí îò íåå. Ðàäèóñ-âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè
ñòåðæíÿ, îïðåäåëÿåìîé äî äåôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O1 âåêòîðîì r, ïîñëå äå-
ôîðìàöèè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîãî öåíòðà ìàññ ñèñòåìû âûðà-
æåíèåì (r +u(t, s)−r0), ãäå u(t, s) � âåêòîð óïðóãîãî ïåðåìåùåíèÿ òî÷åê îñè ñòåðæíÿ,
r0 = m−1(
1∫
0
ρ u(t, s)ds+M u(t, 1)) � ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O1. Äàëåå
áóäåì ïðåíåáðåãàòü âåëè÷èíîé r0, ò.å. ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êè O1 è O ñîâïàäàþò.
Ñôîðìóëèðóåì ÷åòûðå èñïîëüçóåìûõ â ðàáîòå ïðåäïîëîæåíèÿ (ñðàâíè ñ [3]).
1◦. Âåêòîð óïðóãîãî ïåðåìåùåíèÿ îñè ñòåðæíÿ ïðåäñòàâ�èì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
u(t, s) =
∞∑
p=0
(q(1)
p χ(1)
p (s)f 1 + q(2)
p χ(2)
p (s)f 2) =
∞∑
n=1
q̃n(t)ϕ̃n(s), (1)
ãäå
q̃2p+i(t) = q(i)
p , ϕ̃2p+i(s) = χ(i)
p (s)f i, p = 0, 1, . . . ; i = 1, 2.
Çàìåòèì, ÷òî îáîáùåííûå êîîðäèíàòû q̃2k−1(t) îïðåäåëÿþò óïðóãèå ïåðåìåùåíèÿ
âäîëü îñè f 1, a q̃2k(t) � âäîëü îñè f 2 (k = 1, 2, . . .), ëåæàùåé â ïëîñêîñòè O1x2x3. Ôóíê-
öèè ïàðàìåòðà s, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòâåòñòâóþùèì êðàåâûì óñëîâèÿì (îäèí êîíåö
ñòåðæíÿ æåñòêî çàêðåïëåí, à íà ñâîáîäíîì èìååòñÿ ìàññà M), ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñëåäó-
þùèì îáðàçîì [4, 5]:
χn(s) = χ
(1)
n−1(s) = χ
(2)
n−1(s) = An((shβn + sin βn)(chβns− cos βns)−
−(chβn + cos βn)(shβns− sin βns)).
Âåëè÷èíû βn (n = 1, 2, . . .) � êîðíè óðàâíåíèÿ
1 + cos β chβ = (M/mc)β(cos β shβ − sin β chβ),
ïðè ýòîì An âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òî èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ íîðìèðîâêà
(χn, χp) ≡
l∫
0
ρχn(s)χp(s)ds + Mχn(1)χp(1) = δnpMn, Mn = 1.
190
Óñòîé÷èâîñòü íåòðèâèàëüíûõ îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé ãèðîñòàòà
Âîîáùå, çäåñü äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé g(s) è h(s), s ∈ [0, 1], èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
(g, h) =
1∫
0
ρg(s)h(s)ds + Mg(1)h(1).
2◦. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàëûõ óïðóãèõ äåôîðìàöèé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
Ï =
1
2
∞∑
n,p=1
c̃npq̃nq̃p, c̃np = Λ2
nMnδnp, Λ2
n =
EIβ4
n
ρ
, (2)
ãäå Λn(Mn, An) � ÷àñòîòà (ïðèâåäåííàÿ ìàññà, àìïëèòóäà), ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìå
χn(s), EI � æåñòêîñòü ñòåðæíÿ íà èçãèá, ñ÷èòàåì, ÷òî Λ1 < Λ2 < . . . , δnp � ôóíê-
öèÿ Êðîíåêåðà; òàêæå åñòåñòâåííî ïîëàãàòü, ÷òî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèé îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Åñëè ââåñòè íîâûå ïåðåìåííûå
qn(t) ≡ c̃
1/2
nn q̃n(t) è ñîîòâåòñòâåííî ϕn(s) ≡ c̃
−1/2
nn ϕ̃n(s), òî èç îãðàíè÷åííîñòè ýíåðãèè
çàêëþ÷àåì, ÷òî q(t) ≡ (q1, q2, . . .) ïðèíàäëåæèò ãèëüáåðòîâó ïðîñòðàíñòâó l2 áåñêîíå÷-
íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, îãðàíè÷åííûõ ïî íîðìå ||q|| =
(
∞∑
n=1
|qn|2
)1/2
. Â îñÿõ {fk}
ôóíêöèÿ ϕn(s) èìååò îäíó íåíóëåâóþ êîìïîíåíòó ϕn(s) = χn(s)/Λn.
3◦. Ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè ïîðÿäêà (L/R)3 è âûøå, ïðèìåì ïðèáëèæåííîå âûðà-
æåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãðàâèòàöèîííûõ ñèë
Ïg = −µm
R
+
1
2
ω2(3γJγ − trJ).
Çäåñü µ � ïðîèçâåäåíèå ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé íà ìàññó ïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà,
J � òåíçîð èíåðöèè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ìãíîâåííîãî öåíòðà ìàññ.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì (1)
J(q) =
∫
((r + u)2E − (r + u) : (r + u))dm = J0 +
∞∑
n=1
qn(t)Jn +
∞∑
n,p=1
qnqpJnp,
ãäå J0 � òåíçîð èíåðöèè íåäåôîðìèðîâàííîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî òî÷êè O, E �
åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà 3× 3, äâîåòî÷èå îçíà÷àåò äèàäíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ,
èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî îáëàñòè, çàíèìàåìîé òî÷êàìè ñèñòåìû. Ìàòðèöû êîìïîíåíòîâ òåí-
çîðîâ J0, Jn,Jnp ïðèâåäåì â ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò {fk} :
[J0]F =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
J11
0 0 0
0 J22
0 J23
0
0 J23
0 J33
0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ , [J2k]F = jk
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
0 0 −1
0 −1 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ ,
[J2k−1]F = jk
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0 0 −1
0 0 0
−1 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ , [J2k−1,2k−1]F = jkk
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ , (3)
[J2k,2k−1]F = [J2k−1,2k] = jkk
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0 −1 0
−1 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ , [J2k,2k] = jkk
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 0 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ ,
191
C.B. ×àéêèí
jk ≡ ((a + s), χk)Λ
−1
k , jkk ≡ Λ−2
k (χk, χk).
Ñ÷èòàåì, ÷òî ãëàâíûå îñè èíåðöèè ãèðîñòàòà áåç ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè O1 ïðè
ïîâîðîòå íà óãîë ∆ âîêðóã îñè O1x1 ïåðåõîäÿò ñîîòâåòñòâåííî â îñè ñ îðòàìè {fi}
(i = 1, 2, 3). Òîãäà
J11
0 = IK
1 + IC , J22
0 = IK
2 + (IK
3 − IK
2 ) sin2 ∆ + IC , J12
0 = J13
0 = 0,
J23
0 = (IK
3 − IK
2 ) sin ∆ cos ∆, J33
0 = IK
3 + I3
C − (IK
3 − IK
2 ) sin2 ∆,
IC ≡
1∫
0
ρ(a + s)2ds + M(a + l)2 è I3
C � ìîìåíòû èíåðöèè íåäåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ ñ
ìàññîé îòíîñèòåëüíî îñè O1x1 è åãî ñîáñòâåííîé íåäåôîðìèðîâàííîé îñè ñîîòâåòñòâåí-
íî, ïðè ýòîì âåëè÷èíû IK
j � ìîìåíòû èíåðöèè êîðïóñà îòíîñèòåëüíî îñè O1xj(j =
1, 2, 3). Çàìåòèì, ÷òî âñå äðóãèå ìàòðèöû êîìïîíåíòîâ [J2k−1,p]F è [J2k,p]F � íóëåâûå
âñëåäñòâèå ñâîéñòâ ôóíêöèé {χn} (k, , n = 1, 2, . . .).
4◦. Öåíòðàëüíûé ýëëèïñîèä èíåðöèè ãèðîñòàòà è âñåé íåäåôîðìèðîâàííîé ñèñòåìû
íå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ.
Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ðàçëè÷íûå ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ êîòîðûõ äëÿ
ñëîæíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì îáñóæäàþòñÿ, íàïðèìåð, â [6], äîïóñêàþò â ðàññìàòðèâà-
åìîì çäåñü ñëó÷àå, êðîìå èíòåãðàëîâ íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ Ui (i = 1, 2, 3), èíòåãðàë
òèïà ßêîáè U. Èìååì
U1 ≡ γγ − 1 = 0, U2 ≡ ββ − 1 = 0, U3 ≡ γβ = 0,
U ≡ Tr + Ï + Ïg −
1
2
ωJω − ωk = const.
Çäåñü k � ïîñòîÿííûé ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îïðåäå-
ëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
Tr ≡
1
2
ΩJΩ + ΩG +
1
2
∞∑
n,m=1
anmq̇nq̇m,
ãäå anm = (ϕn, ϕm), à âåêòîð êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî òî÷êè O èìååò âèä
G ≡
∫
(r + u)× u̇dm =
∞∑
n=1
Gnq̇n +
∞∑
n,p=1
q̇nqpGnp.
Âûðàæåíèÿ äëÿ Gn è Gnp, êàê è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî åå
ìãíîâåííîãî öåíòðà ìàññ , çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ (ñì., íàïðèìåð, [6]). Òî÷êîé îáîçíà÷åíà
÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè.
Îïðåäåëÿþùåå çíà÷åíèå èìåþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷àñòîò Λn (n = 1, 2, . . .).
Óòâåðæäåíèå 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòîò Λn èç (2) òàêîâà, ÷òî {Λ−1
n } ∈ l1 (ïðî-
ñòðàíñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñóììèðóåìûõ ïî ìîäóëþ), ãäå çà ñ÷åò âû-
áîðà íóìåðàöèè êîðíåé βn èìååì Λ1 < Λ2 < . . . .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî {1/β2
n} ∈
l1. Ïîñòðîèì îöåíêè äëÿ êîðíåé βn, çàïèñàâ îïðåäåëÿþùåå óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì (β = 0 íå åñòü ðåøåíèå, òàê ÷òî ïîëàãàåì β 6= 0)
1
β
(
1
chβ
+ cos β
)
= (M/mc)(cos β · thβ − sin β).
192
Óñòîé÷èâîñòü íåòðèâèàëüíûõ îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé ãèðîñòàòà
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé cos βthβ − sin β =
√
1 + th2β sin(B − β), ãäå tgB = thβ,
ïîëàãàÿ β � 1, òàê ÷òî thβ ' 1, è ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè ïîðÿäêà (1/β)2 è âûøå,
îïðåäåëÿþùåå óðàâíåíèå äëÿ êîðíåé βn çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì
cos β
β
= (M/mc)
√
2 sin
(π
4
− β
)
.
Ïðåäñòàâëÿÿ ãðàôè÷åñêè ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ, ëåãêî ïîëó÷èòü
ñëåäóþùèå îöåíêè íà ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ βk ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøèõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ k
0 < (2k − 1)
π
2
− π
4
< βk < (2k − 1)
π
2
, −(2k − 1)
π
2
− π
4
< βk < −(2k − 1)
π
2
< 0.
Èç ýòèõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî {1/β2
n} ∈ l1 è, ñòàëî áûòü, {1/β2
n} ∈ l2. Âûáîð íóìåðàöèè
βn î÷åâèäåí. �
2. Ñåìåéñòâî ðàâíîâåñèé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé ñèñòåìû
è èññëåäîâàíèÿ èõ óñòîé÷èâîñòè âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ðàóñà�Ëÿïóíîâà [2,7]. Ââåäåì
â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàëû V è V1
V1(γ, β, q, λ, σ, v) =
(
Ï + Ïg −
1
2
ωJω − kω
)
+ 3ω2λU3 +
1
2
ω2vU2 −
3
2
ω2σU1,
V (Ω, q̇, γ, β, q, λ, σ, v) = Tr + V1,
ãäå λ, σ, v � íåîïðåäåëåííûå ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà, âåëè÷èíà â ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè
âûðàæåíèÿ äëÿ V1 íîñèò íàçâàíèå èçìåíåííîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ïðîèçâîäíàÿ ïî
âðåìåíè ôóíêöèîíàëà V � ñâÿçêè èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ, ðàâíà íóëþ.
Ïóñòü ïåðåìåííûå ñ êðûøêîé îïðåäåëÿþò íåêîòîðîå íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå ñè-
ñòåìû (îòíîñèòåëüíîå ðàâíîâåñèå ïðè Ω̂= 0, ˆ̇q = 0), ìàëûå âîçìóùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ âåëè÷èí áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç δ Ω, δq̇ ≡ (δq̇1, δq̇2, . . .)
T , δq = (δq1, δq2, . . .)
T , δγ, δβ.
 ìàëîé îêðåñòíîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ
W ≡ V (∗)− V (0) = δV (0) + δ2V (0) + Q(0),
ãäå V (∗) è äðóãèå âåëè÷èíû ñ àðãóìåíòîì (∗) � çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà V è äðóãèõ âå-
ëè÷èí íà âîçìóùåííîì äâèæåíèè; V (0), δV (0), δ2V (0) è äð. � çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà V,
åãî ïåðâîé è âòîðîé âàðèàöèè è äð., âû÷èñëåííûå íà íåâîçìóùåííîì äâèæåíèè ñèñòå-
ìû, Q(0) � ôóíêöèîíàë, ñîäåðæàùèé âåëè÷èíû íå íèæå òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî
âîçìóùåíèé. Åñëè íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòíîñèòåëü-
íîå ðàâíîâåñèå, à èìåííî ðàâíîâåñèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü íèæå, òî ìîæíî çàïèñàòü
ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
W ≡ V (∗)− V (0) = Tr(∗) + V1(∗)− Tr(0)− V1(0) = Tr(∗) + δV1(0) + δ2V1(0) + Q(0). (4)
Ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèÿõ [2] ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
∃cT > 0 : Tr > cT
(
ΩΩ +
∞∑
n=1
q̇2
n
)
.
193
C.B. ×àéêèí
Óðàâíåíèÿ äëÿ îòûñêàíèÿ îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé ñèñòåìû è íåîïðåäåëåííûõ
ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, êîòîðûå âûïèñûâàþòñÿ èç óñëîâèÿ δV (0) = 0 (δV (0) = δV1(0)
ïðè Ω̂= 0, ˆ̇q = 0), ìîãóò áûòü çàïèñàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(J(q̂)− σE)γ̂ + λβ̂ = 0 ⇔ σ = γ̂J(q̂)γ̂, λ = −β̂J(q̂)γ̂, α̂J(q̂)γ̂ = 0, (5)
(vE−J(q̂))β̂+3λγ̂−η = 0 ⇔ v = β̂J(q̂)β̂+β̂η, α̂J(q̂)β̂ = −ηα̂, γ̂J(q̂)β̂ = −ηγ̂/4, (6)
q̂n + ω2(3γ̂J ′
n(q̂)γ̂ − trJ ′
n(q̂)− β̂J
′
n(q̂)β̂)/2 = 0, n = 1, 2, . . . . (7)
Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ: η ≡ ω−1k, J ′
n = Jn + 2
∞∑
p=1
q̂pJnp.
Ïðÿìûìè âû÷èñëåíèÿìè ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé (3) è ñâîéñòâ ñèñòåìû ôóíê-
öèé {χn(s)} íàõîäèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (5)�(7) äîïóñêàþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî
ðåøåíèé � îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé ãèðîñòàòà ñ óïðóãèì ñòåðæíåì, îïðåäåëÿþùåå
ñîîòâåòñòâóþùèå íåòðèâèàëüíûå îäíîîñíûå ðàâíîâåñíûå îðèåíòàöèè ñèñòåìû íà ïðè-
òÿãèâàþùèé öåíòð. Ýòî ñåìåéñòâî õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî íà ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð
íàïðàâëåíà ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè Ox2x3 è ñîñòàâëÿþùàÿ óãîë Θ1 (ïàðàìåòð
ñåìåéñòâà) ñ îðòîì f 2. (Èìååòñÿ è äðóãîå ñåìåéñòâî ðàâíîâåñèé, êîãäà ïëîñêîñòü Ox2x3
ñ îñüþ äåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ, ëåæàùåé â íåé, ñîäåðæèò îðòû α, β. Ðàññóæäåíèÿ,
êàñàþùèåñÿ �äðóãîãî� ñåìåéñòâà, àíàëîãè÷íû ïðèâåäåííûì íèæå.)  ïðîåêöèÿõ íà îñè
{ fk} ñåìåéñòâî îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè
(k = 1, 2, . . .) :
α̂1 = ±1, α̂2 = 0, α̂3 = 0; β̂1 = 0, β̂2 = cos Θ1, β̂3 = sin Θ1,
γ̂1 = 0, γ̂2 = −α̂1 sin Θ1, γ̂3 = α̂1 cos Θ1, (8)
q̂2k−1 = 0, q̂2k =
ω2 sin Θ1 cos Θ1
2[1 + ω2Λ−2
k (1− 4 sin2 Θ1)]Λk
(a + s, χk(s)). (9)
Çàìåòèì, ÷òî çíàìåíàòåëü äðîáè íå îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ ôèçè÷åñêè îïðàâäàííûõ
çíà÷åíèé ω è Λk, à {q̂2k} ∈ l2, ecëè {Λ−1
k } ∈ l2, ÷òî ñîäåðæèòñÿ â óòâåðæäåíèè 1. Äåé-
ñòâèòåëüíî, ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ Λk è {χk} èç ðàâåíñòâ (9) âûâîäèì ïðîñòûå îöåíêè
|q̂2k| <
ω2
2|1− 3ω2Λ−2
1 |Λk
1∫
0
ρ(a + s)2ds + M(a + l)2
1/2
(χk, χk)
1/2 =
ω2Λ2
1I
1/2
C
2|Λ2
1 − 3ω2|Λk
,
∞∑
k=1
q̂2
2k <
(
ω2Λ2
1
2(Λ2
1 − 3ω2)
)2
IC
∞∑
k=1
Λ−2
k .
Äëÿ äàííîãî ñåìåéñòâà ðàâíîâåñèé ìàòðèöà êîìïîíåíòîâ òåíçîðà èíåðöèè ñèñòåìû
èìååò âèä
[J(q̂)]F = (JF
ij (q̂)) =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ J11
0 + ΣJ22
0 J23
0 − Σ2
0 J23
0 − Σ2 J33
0 + Σ1
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ , (10)
ãäå Σ1 ≡
∑
k
q̂2
2kjkk, Σ2 ≡
∑
k
q̂2kjk. Î÷åâèäíî ïðîñòî îïðåäåëÿþòñÿ îñè ñ îðòàìè {ek},
e1 =f 1, â êîòîðûõ ìàòðèöà [J(q̂)]E = (JE
ii ) äèàãîíàëüíà. Ïðè ýòîì êîìïîíåíòû âåêòîðîâ
α̂, β̂, γ̂, åñòåñòâåííî, íàäî ïåðåñ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû ïåðåõîäà.
194
Óñòîé÷èâîñòü íåòðèâèàëüíûõ îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé ãèðîñòàòà
Íåîïðåäåëåííûå ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (5) âûðàæà-
þòñÿ â âèäå
λ(0) = α̂1(J
F
22 − JF
33) sin Θ1 cos Θ1 − α̂1(J
F
23(cos2 Θ1 − sin2 Θ1),
σ(0) = JF
22 sin2 Θ1 − 2JF
23 sin Θ1 cos Θ1 + JF
33 cos2 Θ1. (11)
Ïðè ýòîì, êàê òèïè÷íî è äëÿ îáðàòíîé çàäà÷è î ðàâíîâåñèè ãèðîñòàòà áåç óïðóãîãî
ýëåìåíòà, ïàðàìåòð v îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì, ïîñêîëüêó íå çàôèêñèðîâàí ïîêà ãè-
ðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò, à òî÷íåå, åãî ïðîåêöèÿ íà íîðìàëü ê ïëîñêîñòè îðáèòû, ñì. (6).
Íèæå âîñïîëüçóåìñÿ âûáîðîì v äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèé ãèðîñòàòà ñ
óïðóãèì ñòåðæíåì.
Êîìïîíåíòû âåêòîðà ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà k â îñÿõ {fk} äëÿ ðåàëèçàöèè ðàâ-
íîâåñèé (8), (9) ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (11) äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ ñëåäóþùèìè ðàâåí-
ñòâàìè, ïîëó÷åííûìè èç óðàâíåíèé (6):
k1 = 0, ω−1k2 = (v − JF
22(q̂)) cos Θ1 − (3λα̂1 + JF
23(q̂)) sin 2Θ1,
ω−1k3 = (3λα̂1 − JF
23(q̂)) cos Θ1 + (v − JF
33(q̂)) sin Θ1. (12)
3. Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîâåñèé ñåìåéñòâà. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèé ñè-
ñòåìû â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ðàóñà�Ëÿïóíîâà è ìåòîäîì íàõîæäåíèÿ ìèíèìóìà
ôóíêöèîíàëà W áóäóò ïîëó÷åíû êàê óñëîâèÿ îïðåäåëåííîé ïîëîæèòåëüíîñòè âòîðîé
âàðèàöèè ôóíêöèîíàëà V1 (ñì. (4)), âû÷èñëåííîé íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàâíîâåñèÿõ.
Ââåäåì âåëè÷èíû
w1 ≡ δγ1, w2 ≡ δβ1, w3 ≡ δγ2, w4 ≡ δβ2, w5 ≡ δγ3, w6 ≡ δβ3,
w = (w1, . . . , w6), δq = (δq1, . . . , δqn, . . .).
Ïîëàãàåì, ÷òî (w, δq) ∈ l2, è ïðåäñòàâèì âòîðóþ âàðèàöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì [7]:
δ2V1(0) = ω2(w, δq)
∣∣∣∣∣∣∣∣ A B
BT C
∣∣∣∣∣∣∣∣ (w, δq)T ,
ãäå ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå òåíçîðû è âåêòîðû çàäàþòñÿ ñâîèìè êîìïîíåí-
òàìè â îñÿõ {fk}, ìàòðèöà A ≡ (Ajj) (i, j = 1, . . . , 6; k = 1, 2, 3) èìååò ëèøü òàêèå
îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû:
A2k−1,2k−1 = 3(JF
kk − σ(0)), A2k,2k = (v − JF
kk),
A12 = A21 = A34 = A43 = A56 = A65 = 3λ(0), A35 = 3JF
23 = A53, A46 = JF
23 = A64.
Ìàòðèöà B èìååò øåñòü áåñêîíå÷íûõ ñòðîê bi = (bi1, bi2, . . .) (i = 1, . . . , 6; k = 1, 2, . . .),
ýëåìåíòû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (ó÷òåíî, ÷òî q̂2k−1 = 0)∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
b1,2k−l
b3,2k−l
b5,2k−l
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = 3(J2k−l+ q̂2kJ2k−l,2k)γ̂,
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
b2,2k−l
b4,2k−l
b6,2k−l
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = −(J2k−l+ q̂2kJ2k−l,2k)β̂, l = 0, 1. (13)
Ìàòðèöà C, ñ êîòîðîé áóäåì òàêæå îòîæäåñòâëÿòü ëèíåéíûé îïåðàòîð C, îïðåäåëåííûé
íà l2, ñî çíà÷åíèÿìè, âîîáùå ãîâîðÿ, â ïðîñòðàíñòâå S áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòåé, ÿâëÿåòñÿ â äàííîì ñëó÷àå áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé (ðàçìåð áëîêîâ 2× 2) :
195
C.B. ×àéêèí
C = diag(C1, C2, . . .), Ck = (Ck
ij),
Ck
ii = ω−2 + 3γ̂J2k−2+i,2k−2+i γ̂−trJ2k−2+i,2k−2+i−β̂J2k−2+i,2k−2+i β̂,
Ck
12 = Ck
21 = (3γ̂J2k−1,2kγ̂ � tr J2k−1,2k−β̂J 2k−1,2kβ̂)/2, i, j = 1, 2; k = 1, 2, . . . .
Ñëåäóåò òàêæå èìåòü â âèäó, ÷òî íà âåëè÷èíû w íàêëàäûâàþòñÿ ëèíåéíûå ñâÿçè,
âîçíèêàþùèå èç óñëîâèé δUi(0) = 0 (i = 1, 2, 3), à èìåííî
δU1(0) ≡ γ̂1w1 + γ̂2w3 + γ̂3w5 = 0, δU2(0) ≡ β̂1w2 + β̂2w4 + β̂3w6 = 0,
δU3(0) ≡ β̂1w1 + γ̂1w2 + β̂2w3 + γ̂2w4 + β̂3w5 + γ̂3w6 = 0. (14)
Ýëåìåíòû ìàòðèöû C äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (k = 1, 2, . . .)
Ck
11 = ω−2, Ck
12 = Ck
21 = 0, Ck
22 = ω−2 + Λ−2
k (4 cos2 Θ1 − 3).
Èç ïðèâåäåííûõ âûðàæåíèé, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèÿ îïðåäåëåííîé ïîëî-
æèòåëüíîñòè ìàòðèöû C ñâîäÿòñÿ ê óñëîâèþ Λ2
1 > 3ω2, è ìîæíî çàïèñàòü
∃εC > 0 : Λ2
1 > 3ω2 + εC , qCqT > εC ||q||2 ⇒ ∃C−1, ||C−1|| < ε−1
C . (15)
Èìïëèêàöèÿ â âûðàæåíèè (15) âåðíà â ñèëó èçâåñòíîé òåîðåìû àíàëèçà îá îáðàò-
íîì îïåðàòîðå (ñì., íàïðèìåð, [8]).  äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèâåñòè ÿâíîå ïðåäñòàâ-
ëåíèå äëÿ C−1 (ïðè óñëîâèè Λ2
1 > 3ω2) è ìîæíî îïðåäåëèòü C−1/2, íî â äàëüíåéøåì
èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî îöåíêà íîðìû ||C−1||. Òåïåðü ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (15) ñïðà-
âåäëèâî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå, êîòîðîå ëåãêî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëå-
íèåì ïðè ïðîèçâîëüíîì ε ∈ (0, 1) :
ω−2δ2V1(0) = w(A− ε−2BC−1BT )wT + (1− ε2)δqCδqT +
+(ε−2wBC−1 + δq)ε2C(δqT + ε−2C−1BT wT ).
Âèäíî, ÷òî óñëîâèÿ îïðåäåëåííîé ïîëîæèòåëüíîñòè δ2V1(0) ìîæíî ïîëó÷èòü êàê óñëî-
âèÿ îïðåäåëåííîé ïîëîæèòåëüíîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ñ ìàòðèöåé
(A−ε−2BC−1BT ) ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ ñâÿçåé (14). Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíû
dij ≡ ε−2biC
−1bT
j = dT
i dj, di = ε−1C−1/2bT
i , i, j = 1, . . . , 6,
äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû îöåíêè |dij| ≤ ε−2ε−1
C ||bi|| · ||bj||. Ñ èñïîëüçîâàíèåì íåðà-
âåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî {bi} ∈ l2 ïðè {Λ−1
n } ∈ l2.
 çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò âûðàæåíèÿ äëÿ dij, êàê è äëÿ bi (ñì.
(13)), áóäóò ìåíÿòüñÿ. Âîîáùå ãîâîðÿ, ñèñòåìà êîîðäèíàò (îñè {k} èëè {fk}) ïðè èñ-
ïîëüçîâàíèè êîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ dij, bi è äð., áóäåò, åñëè ýòî âàæíî îòìåòèòü, óêàçû-
âàòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì èíäåêñîì, íàïðèìåð, dF
ij èëè bE
i è äð. Äëÿ ïàðàìåòðà Θ1 ýòî
ñîãëàøåíèå òàêæå èñïîëüçóåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C
íå ìåíÿþòñÿ îò âûáîðà îñåé, à ïðè èñïîëüçîâàíèè îñåé {k} ñðåäè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû
A = (AE
ij) ïîÿâÿòñÿ, åñòåñòâåííî, äîïîëíèòåëüíî íóëåâûå: AE
35 = AE
53 = 0, AE
46 = AE
64 = 0,
â îòëè÷èå îò çíà÷åíèé ýòèõ æå ýëåìåíòîâ ïðè èñïîëüçîâàíèè îñåé {fk}) (ñì. âûøå).
Îïóñêàÿ ãðîìîçäêèå ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì èññëå-
äîâàíèÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû êîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðå-
ìåííûõ ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ ñâÿçåé, êîòîðûå â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèâîäÿò ê
196
Óñòîé÷èâîñòü íåòðèâèàëüíûõ îòíîñèòåëüíûõ ðàâíîâåñèé ãèðîñòàòà
òðåáîâàíèÿì ïîëîæèòåëüíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëèòåëåé ñåäüìîãî, âîñüìîãî è
äåâÿòîãî ïîðÿäêîâ [9] (∆7(0) > 0, ∆8(0) > 0, ∆9(0) > 0), ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèÿ
îá óñòîé÷èâîñòè íàéäåííûõ íåòðèâèàëüíûõ ðàâíîâåñèé.
Óòâåðæäåíèå 2. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàâíîâåñèå ñåìåéñòâà (8)�(12) îäíîîñíûõ íåòðè-
âèàëüíûõ îðèåíòàöèé íà ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð ãèðîñòàòà ñ óïðóãèì ñòåðæíåì è ìàññîé
íà êîíöå áûëî óñòîé÷èâî, äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
Λ2
1 > 3ω2, {Λ−1
n } ∈ l2,
JE
11 > JE
22 sin2 ΘE
1 + JE
33 cos2 ΘE
1 +
1
3
dE
11 ⇔ 3(JE
11 − σ)− dE
11 > 0, (16)
v > JE
33(β̂
E
2 )2 + JE
22(β̂
E
3 )2 − 3(JE
33 − σ)(γ̂E
2 )2 − 3(JE
22 − σ)(γ̂E
3 )2+
+(dE
16β̂
E
2 + dE
15γ̂
E
2 − dE
14β̂
E
3 − dE
13γ̂
E
3 )2/(3(JE
11 − σ)− dE
11), (17)
v > v2, (18)
ãäå v2 � áîëüøèé êîðåíü êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî v, ïîëó÷åííîãî èç óñëî-
âèÿ ∆9(0) = 0 (âûðàæåíèå äëÿ v2 íå âûïèñûâàåòñÿ èç-çà ãðîìîçäêîñòè).
Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ (16), (17) áîëåå æåñòêèå ïî ñðàâíåíèþ ñ àíàëîãè÷íûìè óñëî-
âèÿìè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ äëÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, �çàòâåðäåâøåé� â ðàññìàòðè-
âàåìîì ðàâíîâåñèè, èç-çà íàëè÷èÿ ÷ëåíà d11 ≥ 0 è, ñîîòâåòñòâåííî, èç-çà íàëè÷èÿ íåîò-
ðèöàòåëüíîãî ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â íåðàâåíñòâå (17). Óñëîâèå (16), íå çàâèñÿùåå îò
ïàðàìåòðà v ≡β̂J(0)β̂+ω−1kβ̂, çàâåäîìî íå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé
ðàâíîâåñíîé îðèåíòàöèè JE
11 = min
k
JE
kk, ò.å. åñëè ýëëèïñîèä èíåðöèè ñèñòåìû â ðàâíî-
âåñèè áîëüøåé îñüþ íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê îðáèòå. Î÷åâèäíî, óñëîâèÿ (17), (18)
âîçìîæíî âûïîëíèòü çà ñ÷åò ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðà ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà.
Óòâåðæäåíèå 3. Óñëîâèå (16) ìîæíî âûïîëíèòü ëèøü çà ñ÷åò ïîäõîäÿùåãî âûáîðà
ìîìåíòîâ èíåðöèè ãèðîñòàòà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè ôîðìóë (9)�(11), ñ èñïîëüçîâàíèåì
íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî è îöåíêè äëÿ d11, ïîêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü ñëå-
äóþùåé öåïî÷êè íåðàâåíñòâ:
3(JE
11 − σ)− dE
11 > 0 ⇔ JF
11 − JF
22 sin2 Θ1 + 2JF
23 sin Θ1 cos Θ1 − JF
33 cos2 Θ1 − dF
11/3 > 0 ⇔
⇔ (IK
1 − IK
2 ) sin2 Θ1 + (IK
1 − IK
3 ) cos2 Θ1 + (IK
3 − IK
2 ) sin ∆ sin(∆ + 2Θ1)+
+
(∫
ρ(a + s)2ds + M(a + l)2
)
cos2 Θ1 + sin2 Θ1
∑
k
q̂2
2k
(∫
ρϕ2
kds + Mϕ2
k(1)
)
−
− sin 2Θ1
∑
k
q̂2k(a + s, ϕk)− dF
11/3 > 0 ⇐
⇐ (IK
1 − IK
2 ) sin2 Θ1 + (IK
1 − IK
3 ) cos2 Θ1 + (IK
3 − IK
2 ) sin ∆ sin(∆ + 2Θ1)−
−
∑
k
q̂2
2k −
(∫
ρ(a + s)2ds + M(a + l)2
)∑
k
(ϕk, ϕk)− dF
11/3 > 0 ⇐
⇐ (IK
1 − IK
l )− (IK
l − IK
m )−
∑
k
q̂2
2k − IC
∑
k
Λ−2
k − 3ε2ε−1
C Λ−4
1
∑
k
q̂2
2k > 0.
197
C.B. ×àéêèí
 ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ñ÷èòàåì, ÷òî IK
1 > IK
l > IK
m , l, m = 2, 3, l 6= m, à ïðè ó÷åòå
îöåíêè äëÿ
∑
q̂2
2k çàêëþ÷àåì, ÷òî îíî è, ñòàëî áûòü, íåðàâåíñòâî (16) âûïîëíÿòñÿ, åñëè
IK
1 − IK
l > IK
l − IK
m +
(
(1 + 3ε−2ε−1
C )
(
ω2Λ2
1
2(Λ2
1 − 3ω2)
)2
+ 1
)
IC
∑
k
Λ−2
k . (19)
Îòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (16) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàçíîñòü ìåæ-
äó áîëüøèì è ñðåäíèì ìîìåíòàìè èíåðöèè ãèðîñòàòà áûëà áîëüøå ðàçíîñòè ìåæäó
åãî ñðåäíèì è ìåíüøèì ìîìåíòàìè èíåðöèè íà âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ òðåòüèì ñëà-
ãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (19). Ýòà âåëè÷èíà çàâèñèò îò ãåîìåòðè÷åñêèõ,
ìàññîâûõ è æåñòêîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê óïðóãîãî ñòåðæíÿ. Åñëè ó÷åñòü íåðàâåíñòâî
IK
1 < IK
l + IK
m , òî èç âûðàæåíèÿ (19) ñëåäóåò, ÷òî è ìåíüøèé ìîìåíò èíåðöèè ãèðîñòàòà
IK
m òàêæå äîëæåí áûòü áîëüøå ðàçíîñòè ìåæäó åãî ñðåäíèì è ìåíüøèì ìîìåíòàìè
èíåðöèè íà òó æå âåëè÷èíó. �
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå (16) âûïîëíÿåòñÿ ïðè JE
11 = mid
i
JE
ii , åñëè âåêòîð γ̂
òàêîâ, ÷òî âåêòîð J1/2γ̂ ëåæèò â "ãëóáèíå"îáëàñòè ìåæäó êðóãîâûìè ñå÷åíèÿìè öåí-
òðàëüíîãî ãèðàöèîííîãî ýëëèïñîèäà (ïîñòðîåííîãî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ðàâíîâåñèÿ
ñèñòåìû), ñîäåðæàùèìè åãî ìåíüøóþ îñü (JE
11 6= JE
22 6= JE
33).  �ãëóáèíå� îçíà÷àåò, ÷òî
äëèíà âåêòîðà J1/2γ̂, êîíåö êîòîðîãî íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè óêàçàííîãî ýëëèïñîèäà,
ìåíüøå âåëè÷èíû (JE
11 − dE
11/3), êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, äîëæíà áûòü áîëüøå min JE
ii . Ãèðà-
öèîííûé ýëëèïñîèä ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âçàèìíûì ê åå ýëëèïñîèäó èíåðöèè [10]. Çäåñü
JE
11 = mid
i
JE
ii ⇔ JE
ll ≤ JE
11 ≤ JE
kk ({l, k} = {2, 3}, l 6= k).
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëü-
íûõ èññëåäîâàíèé (05-01-00623).
1. Áåëåöêèé Â.Â. Äâèæåíèå èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. � Ì.: Íàóêà, 1965. �
416 ñ.
2. Âèëüêå Â.Ã. Àíàëèòè÷åñêèå è êà÷åñòâåííûå ìåòîäû ìåõàíèêè ñèñòåì ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïå-
íåé ñâîáîäû. � Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1986. � 192 ñ.
3. ×àéêèí C.B. Óñòîé÷èâîñòü îäíîîñíûõ íåòðèâèàëüíûõ ðàâíîâåñíûõ îðèåíòàöèé íà ïðèòÿãèâàþùèé
öåíòð ãèðîñòàòà ñ óïðóãèì ñòåðæíåì // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2004. � 68, âûï. 6. �
Ñ. 971�983.
4. Ëåáåäåâ Í.Í., Ñêàëüñêàÿ È.Ï., Óôëÿíä ß.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. � Ì.:
ÃÈÒÒË, 1955. � 420 ñ.
5. Meirovitch L. Liapunov Stability Analysis of Hybrid Dynamical Systems in the Neighborhood of Nontrivial
Equilibrium // AIAA J. � 1974. � 12, � 7. � P. 889�898.
6. Äîêó÷àåâ Ë.Â. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ ñ äåôîðìèðóåìûìè ýëåìåíòàìè. � Ì.:
Ìàøèíîñòðîåíèå, 1987. � 231 ñ.
7. Chaikin S.V. Equilibria stability of the satellite as a system with a countable number of degrees of
freedom // Acta Astronaut. � 2001. � 48, � 4. � P. 193�202.
8. Âóëèõ Á.Ç. Ââåäåíèå â ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. � Ì.: Íàóêà, 1967. � 415 ñ.
9. Ðóáàíîâñêèé B.H., Ñàìñîíîâ Â.À. Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ. �
Ì.:Íàóêà, 1988. � 304 ñ.
10. Ñóñëîâ Ã.Ê. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. � Ì.; Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1946. � 655 ñ.
Èí-ò äèíàìèêè ñèñòåì è òåîðèè óïðàâëåíèÿ ÑÎ ÐÀÍ, Èðêóòñê
schaik@yandex.ru
Ïîëó÷åíî 11.08.05
198
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123778 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T12:49:03Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чайкин, C.B. 2017-09-09T15:22:34Z 2017-09-09T15:22:34Z 2005 Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце / C.B. Чайкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 189-198. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123778 531.36 Рассматривается в ограниченной постановке движение по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил сложной механической системы, состоящей из гиростата и упругого стержня с массой на свободном конце. Гиростат рассматривается как твердое тело, в котором имеется вращающийся динамически и статически уравновешенный маховик. Однородный, прямолинейный в недеформированном состоянии упругий стержень жестко закреплен одним концом в корпусе гиростата. Ось недеформированного стержня произвольно расположена в главной центральной плоскости инерции гиростата. Относительные перемещения точек системы в результате малой деформации ее упругого звена представляются в виде бесконечного ряда разложения (без его априорного усечения) по заданной системе функций, зависящих от пространственных координат, с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. Ориентация системы на притягивающий центр определяется указанием расположения относительно связанной системы координат ортов нормали к плоскости орбиты и радиуса-вектора центра масс системы, указанная пара ортов располагается при этом в главной центральной плоскости инерции гиростата, содержащей ось недеформированного стержня. Дня выделенного таким образом однопараметрического семейства одноосных ориентаций системы на притягивающий центр аналитически определяются деформации стержня, естественно, зависящие от ориентации, г простатический момент, обеспечивающий равновесие выбранной ориентации (нетривиального равновесия, так как при этом стержень, вообще говоря, деформирован) и условия устойчивости равновесий в смысле Ляпунова. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (05-01-00623). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце Чайкин, C.B. |
| title | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце |
| title_full | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце |
| title_fullStr | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце |
| title_full_unstemmed | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце |
| title_short | Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце |
| title_sort | устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123778 |
| work_keys_str_mv | AT čaikincb ustoičivostʹnetrivialʹnyhotnositelʹnyhravnovesiigirostatasuprugimsteržnemsmassoinakonce |