О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат
Исследованы малые колебания упругого эллипсоида, модуль Юнга которого является специально заданной квадратичной функцией координат. Плотность и коэффициент Пуассона материала, из которого сделан эллипсоид, являются постоянными. Квадратичная функция, задающая модуль Юнга, выбрана таким образом, что д...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123779 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 199-203. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859933901600849920 |
|---|---|
| author | Судаков, С.Н. |
| author_facet | Судаков, С.Н. |
| citation_txt | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 199-203. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследованы малые колебания упругого эллипсоида, модуль Юнга которого является специально заданной квадратичной функцией координат. Плотность и коэффициент Пуассона материала, из которого сделан эллипсоид, являются постоянными. Квадратичная функция, задающая модуль Юнга, выбрана таким образом, что деформации упругой среды при колебаниях оказываются однородными.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:08:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38; 539.3
c©2005. Ñ.Í. Ñóäàêîâ
Î ÊÎËÅÁÀÍÈßÕ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÝËËÈÏÑÎÈÄÀ Ñ ÌÎÄÓËÅÌ ÞÍÃÀ,
ÇÀÄÀÍÍÛÌ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÅÉ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ
Èññëåäîâàíû ìàëûå êîëåáàíèÿ óïðóãîãî ýëëèïñîèäà, ìîäóëü Þíãà êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíî çà-
äàííîé êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò. Ïëîòíîñòü è êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ìàòåðèàëà, èç êî-
òîðîãî ñäåëàí ýëëèïñîèä, ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿ ìîäóëü Þíãà,
âûáðàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî äåôîðìàöèè óïðóãîé ñðåäû ïðè êîëåáàíèÿõ îêàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè.
Ââåäåíèå. Ïðè èçó÷åíèè ïðîáëåì íåáåñíîé ìåõàíèêè, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì ïî-
ëþñîâ Çåìëè, áîëüøóþ ðîëü èãðàåò çàäà÷à î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà ñ ýëëèïñîèäàëü-
íîé ïîëîñòüþ, öåëèêîì çàïîëíåííîé èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ, ñîâåðøàþùåé
îäíîðîäíîå âèõðåâîå äâèæåíèå [1, 2]. Â ðàáîòàõ [3, 4] â çàäà÷ó áûëà ââåäåíà âÿçêîñòü,
çàäàâàåìàÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ñäåëàíà ïîïûòêà
äàëüíåéøåãî ïðèìåíåíèÿ èäåè îäíîðîäíîãî âèõðåâîãî äâèæåíèÿ äëÿ èçó÷åíèÿ äâèæå-
íèÿ óïðóãîãî ýëëèïñîèäà.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ox1x2x3 íåïîäâèæíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî èìååòñÿ óïðóãîå òâåðäîå òåëî ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòè ρ, ãðàíèöà êîòîðîãî â
îñÿõ Ox1x2x3 îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
x2
1/c
2
1 + x2
2/c
2
2 + x2
3/c
2
3 = 1, (1)
ãäå c1, c2, c3 � êîíñòàíòû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìîäóëü Þíãà E ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåé
ôóíêöèåé êîîðäèíàò
E = E0(1− x2
1/c
2
1 − x2
2/c
2
2 − x2
3/c
2
3), (2)
ãäå E0 � êîíñòàíòà. Êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ν íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò. Óðàâíåíèÿ
òåîðèè óïðóãîñòè, çàïèñàííûå â ïåðåìåùåíèÿõ, èìåþò âèä [6]
ρ
∂2u
∂t2
= divΠ + ρF, (3)
ãäå u = (u1, u2, u3) � âåêòîð ïåðåìåùåíèé, Π � òåíçîð íàïðÿæåíèé ñ êîìïîíåíòàìè
pii = 2µ
∂ui
∂xi
+ λθ, pij = µ
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
, i 6= j , (4)
θ = divu,
2µ =
E
1 + ν
, λ =
νE
(1 + ν)(1− 2ν)
.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîåêöèè íà îñè Ox1x2x3 îáúåìíîé ñèëû F = (F1, F2, F3), äåéñòâó-
þùåé íà åäèíè÷íóþ ìàññó, òàêîâû
Fi = fi1x1 + fi2x2 + fi3x3, i = 1, 2, 3,
ãäå fij , i, j = 1, 2, 3 � çàäàííûå êîíñòàíòû èëè ôóíêöèè âðåìåíè.
199
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (4) â óðàâíåíèÿ (3) è ó÷èòûâàÿ (2), ïîëó÷àåì
ρ
∂2u1
∂t2
= µ∆u1 + (µ + λ)
∂θ
∂x1
+ 2
∂µ
∂x1
∂u1
∂x1
+
∂µ
∂x2
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
+
+
∂µ
∂x3
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
+
∂λ
∂x1
θ + ρF1 (123). (5)
Ðåøåíèå ñèñòåìû (5) èùåì â âèäå
ui = ai1x1 + ai2x2 + ai3x3, i = 1, 2, 3, (6)
ãäå aij � èñêîìûå ôóíêöèè âðåìåíè.
Èç âûðàæåíèé (1) è (2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ (6) êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿ-
æåíèé (4) îáðàùàþòñÿ â íóëü íà ãðàíèöå ýëëèïñîèäà. Ñëåäîâàòåëüíî ïîâåðõíîñòíûå
ñèëû íà ãðàíèöå äåéñòâîâàòü íå áóäóò.
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ
µ0 =
E0
2(1 + ν)
, λ0 =
νE0
(1 + ν)(1− 2ν)
(7)
è ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (6) â óðàâíåíèÿ (5), íàõîäèì
ρ(ä11x1 + ä12x2 + ä13x3) = −2µ0
[
2x1
c2
1
a11 +
x2
c2
2
(a12 + a21) +
x3
c2
3
(a13 + a31)
]
−
−λ0(a11 + a22 + a33)
2x1
c2
1
+ ρ(f11x1 + f12x2 + f13x3) (123).
Óðàâíåíèÿ äëÿ aij áóäóò èìåòü âèä
ä11 = −4µ0
ρc2
1
a11 −
2λ0
ρc2
1
(a11 + a22 + a33) + f11 (123), (8)
ä12 = − 2µ0
ρc2
2
(a12 + a21) + f12, ä21 = − 2µ0
ρc2
1
(a12 + a21) + f21 (123). (9)
Ñèñòåìà (8) ðåøàåòñÿ íåçàâèñèìî îò ñèñòåìû (9).  ñâîþ î÷åðåäü, ñèñòåìà (9) ðàñïà-
äàåòñÿ íà òðè íåçàâèñèìûõ äðóã îò äðóãà ïîäñèñòåìû, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò
èçìåíåíèå îäíîé èç òðåõ ãðóï ïåðåìåííûõ: a12, a21; a23, a32; a31, a13.
Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ ýëëèïñîèäà â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ìàññîâûõ ñèë F. Äëÿ ýòîãî
ïîëîæèì
fij = 0, i, j = 1, 2, 3. (10)
Âûÿñíèì õàðàêòåð äåôîðìàöèé, âîçíèêàþùèõ ïðè êîëåáàíèÿõ, îïèñûâàåìûõ ñèñòåìîé
óðàâíåíèé (8) ïðè íóëåâûõ ðåøåíèÿõ ñèñòåì óðàâíåíèé (9). Ïîäñòàâëÿÿ íóëåâûå ðåøå-
íèÿ ñèñòåì (9), èìåþùèå âèä a12 = a21 = 0 (123), â âûðàæåíèÿ (6), íàõîäèì êîìïîíåíòû
ïåðåìåùåíèé
ui = aii(t)xi, i = 1, 2, 3, (11)
ãäå aii(t) � ðåøåíèÿ ñèñòåìû (8). Èç âûðàæåíèé (11) ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè óïðóãîé ñðå-
äû, ëåæàùèå äî âîçíèêíîâåíèÿ äåôîðìàöèé íà ãëàâíûõ îñÿõ ýëëèïñîèäà, ïðîäîëæàþò
îñòàâàòüñÿ íà íèõ è ïîñëå âîçíèêíîâåíèÿ äåôîðìàöèé.
200
Î êîëåáàíèÿõ óïðóãîãî ýëëèïñîèäà
Ñèñòåìó (8) ïðåäñòàâèì â âèäå ñèñòåìû øåñòè óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
ẏ = Dy, (12)
ãäå y = (y1, y2, ..., y6), yi = ȧii, yi+3 = aii, i = 1, 2, 3; D � êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà
øåñòîãî ïîðÿäêà, ýëåìåíòû dij êîòîðîé èìåþò âèä
d14 = d25 = d36 = 1,
d41 = d∗/c2
1, d52 = d∗/c2
2, d63 = d∗/c2
3,
d42 = d43 = d/c2
1, d51 = d53 = d/c2
2, d61 = d62 = d/c2
3,
d∗ = −2(2µ0 + λ0)/ρ, d = −2λ0/ρ.
Íàéäåì ðåøåíèå ñèñòåìû (12). Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì ìàòðèöû D ÿâëÿ-
åòñÿ áèêóáè÷åñêîå óðàâíåíèå
α6 + b1α
4 + b2α
2 + b3 = 0, (13)
êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî èìåþò âèä
b1 =
2E0m(m− 1)
ρ(m + 1)(m− 2)
(
1
c2
1
+
1
c2
2
+
1
c2
3
)
,
b2 =
4E2
0m
3
ρ2(m + 1)2(m− 2)
(
1
c2
1c
2
2
+
1
c2
2c
2
3
+
1
c2
3c
2
1
)
,
b3 =
8E3
0m
3
ρ3(m + 1)2(m− 2)
1
c2
1c
2
2c
2
3
,
ãäå m = 1/ν.
Ïðè c1 6= c2 6= c3 6= c1 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (13) èìååò òðè ïàðû ðàçëè÷-
íûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé.  ýòîì ñëó÷àå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (10) îáùåå ðåøåíèå
ñèñòåìû (12) çàïèñûâàåòñÿ òàê:
y =
6∑
i=1
kiγie
αit, (14)
ãäå γi � ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû D, ñîîòâåòñòâóþùèå åå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì
αi; ki � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Áëàãîäàðÿ îòñóòñòâèþ äèññèïàöèè, ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ ìàòðèöû D áóäóò ÷èñòî ìíèìûìè:
α1,2 = ±iβ1, α3,4 = ±iβ2, α5,6 = ±iβ3,
ãäå β1, β2, β3 � ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ñðåäè êîòîðûõ íåò ðàâíûõ äðóã
äðóãó. Òîãäà ðåøåíèå (14) ïðèíèìàåò âèä
y =
3∑
j=1
{[k2j−1Re(γ2j−1) + k2jIm(γ2j−1)] cos βjt+
201
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
+[k2jRe(γ2j−1) + k2j−1Im(γ2j−1)] sin βjt}. (15)
Ïåðåìåùåíèÿ (11) ïðè a11, a22, a33, îïðåäåëåííûõ ðåøåíèåì (15), áóäóò îïèñûâàòü
êîëåáàíèÿ ýëëèïñîèäà, ïðè êîòîðûõ òî÷êè óïðóãîé ñðåäû, ëåæàùèå â íà÷àëüíûé ìî-
ìåíò íà ãëàâíûõ îñÿõ, áóäóò îñòàâàòüñÿ íà íèõ âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè,
óïðóãèé ýëëèïñîèä ïðè êîëåáàíèÿõ áóäåò ñæèìàòüñÿ è ðàñòÿãèâàòüñÿ âäîëü ãëàâíûõ
îñåé.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñèñòåìû óðàâíåíèé (8), (9) îáëàäàþò ðåøåíèåì,
â êîòîðîì
a11 = a22 = a33 = a23 = a32 = a31 = a13 = 0, (16)
à a12 è a21 ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè, óäîâëåòâîðÿþùèìè ñèñòåìå (9). Ïîäñòàâëÿÿ
(16) â ôîðìóëû (6), ïîëó÷àåì äëÿ ïåðåìåùåíèé ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
u1 = a12(t)x2, u2 = a21(t)x1, u3 = 0. (17)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé a12(t) è a21(t) ïðåäñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé (9) â âèäå
ñèñòåìû ÷åòûðåõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
ẏ = Dy, (18)
ãäå y = (a12, a21, α12, α21), α12 = ȧ12, α21 = ȧ21,
D =
0 0 1 0
0 0 0 1
d31 d32 0 0
d41 d42 0 0
, d31 = d32 = −2µ0
ρc2
2
, d41 = d42 = −2µ0
ρc2
1
.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ D:∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 0 1 0
0 −λ 0 1
d31 d32 −λ 0
d41 d42 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
èëè
λ2
[
λ2 +
2µ0
ρ2
(
1
c2
1
+
1
c2
2
)]
= 0.
Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:
λ1,2 = ±iλ∗, λ3 = λ4 = 0,
ãäå
λ∗ =
√
2µ0
ρ
(
1
c2
1
+
1
c2
2
)
.
Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (18) èìååò âèä
a12 = δ1 sin λ∗t + δ2 cos λ∗t + δ3 + δ4t,
202
Î êîëåáàíèÿõ óïðóãîãî ýëëèïñîèäà
a21 = δ1
c2
2
c2
1
sin λ∗t + δ2
c2
2
c2
1
cos λ∗t− δ3 − δ4t,
α12 = δ1λ∗ cos λ∗t− δ2λ∗ sin λ∗t + δ4,
α21 = δ1
c2
2
c2
1
λ∗ cos λ∗t− δ2
c2
2
c2
1
λ∗ sin λ∗t− δ4,
ãäå δ1, δ2, δ3, δ4 � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ a12 è a21 â (17),
ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ ïåðåìåùåíèé
u1 = (δ1 sin λ∗t + δ2 cos λ∗t + δ3 + δ4t)x2,
u2 =
[
c2
2
c2
1
(δ1 sin λ∗t + δ2 cos λ∗t)− δ3 − δ4t
]
x1, u3 = 0. (19)
Ïîëîæèì δ4 = 0. Òîãäà ïåðåìåùåíèÿì (19) áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ïëîñêîïàðàëëåëüíûå
ãàðìîíè÷åñêèå êîëëåáàíèÿ óïðóãîãî ýëëèïñîèäà. Ïðè δ1 = δ2 = 0 è δ3 6= 0 êîëåáàíèÿ
îòñóòñòâóþò. Ýëëèïñîèä áóäåò íåïîäâèæåí, íî ïîâåðíóò âîêðóã îñè Ox3 íà íåêîòîðûé
óãîë, ïðîïîðöèîíàëüíûé âåëè÷èíå δ3 è îáðàùàþùèéñÿ â íóëü ïðè δ3 = 0.
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî èññëåäóþòñÿ êîëåáàíèÿ, îïèñûâàåìûå äâóìÿ îñòàëüíûìè
ïàðàìè óðàâíåíèé äëÿ a13, a31 è a23, a32.
Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è ïîëó÷àåòñÿ êàê ñóììà êîëåáàíèé, îïèñûâàåìûõ âñåìè ÷å-
òûðüìÿ íåçàâèñèìûìè ñèñòåìàìè (8), (9).
1. Ëàìá Ã. Ãèäðîäèíàìèêà.� Ì.; Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1947. � 928 ñ.
2. Ìîðèö Ã., Ìþëëåð À. Âðàùåíèå Çåìëè: òåîðèÿ è íàáëþäåíèÿ.� Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992.� 512 ñ.
3. Ñóäàêîâ Ñ.Í. Äâèæåíèå òåëà ñ æèäêîñòüþ ïåðåìåííîé âÿçêîñòè â ïîëå íåïîâèæíîãî ïðèòÿãèâàþ-
ùåãî öåíòðà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2001. � Âûï. 31.� Ñ. 111 � 118.
4. Ñóäàêîâ Ñ.Í. Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ ýëëèïñîèäàëüíîé ïîëîñòüþ, öåëèêîì çà-
ïîëíåííîé æèäêîñòüþ ïåðåìåííîé âÿçêîñòè // Òð. ÈÏÌÌ ÍÀÍ Óêðàèíû.� 2000. � 5� Ñ. 141 �
144.
5. Ñóäàêîâ Ñ.Í. Ìîäåëüíàÿ çàäà÷à î äâèæåíèè âîêðóã öåíòðà ìàññ àáñîëþòíî òâåðäîé ýëëèïñîèäàëü-
íîé îáîëî÷êè ñ âÿçêî-óïðóãèì çàïîëíåíèåì // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33.� Ñ. 119
� 126.
6. Êî÷èí Í.Å. Âåêòîðíîå èñ÷èñëåíèå è íà÷àëà òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ. � Ì.: Èç-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1951. �
426 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
techmech@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 01.09.05
203
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123779 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:08:52Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Судаков, С.Н. 2017-09-09T15:23:54Z 2017-09-09T15:23:54Z 2005 О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 199-203. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123779 531.38; 539.3 Исследованы малые колебания упругого эллипсоида, модуль Юнга которого является специально заданной квадратичной функцией координат. Плотность и коэффициент Пуассона материала, из которого сделан эллипсоид, являются постоянными. Квадратичная функция, задающая модуль Юнга, выбрана таким образом, что деформации упругой среды при колебаниях оказываются однородными. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат Article published earlier |
| spellingShingle | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат Судаков, С.Н. |
| title | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_full | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_fullStr | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_full_unstemmed | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_short | О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_sort | о колебаниях упругого эллипсоида с модулем юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123779 |
| work_keys_str_mv | AT sudakovsn okolebaniâhuprugogoéllipsoidasmodulemûngazadannymkvadratičnoifunkcieikoordinat |