Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред
Исследуется модель растущей сплошной среды, реология которой описывается моделью Максвелла вязкоупругой среды с дополнительными источниковыми слагаемыми, которые соответствуют собственным скоростям роста среды. Из условия положительной определенности потенциальной энергии растущего тела и анализа оп...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123780 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред / Н.Н. Кизилова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 204-211. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123780 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кизилова, Н.Н. 2017-09-09T15:26:28Z 2017-09-09T15:26:28Z 2005 Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред / Н.Н. Кизилова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 204-211. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123780 531/532 Исследуется модель растущей сплошной среды, реология которой описывается моделью Максвелла вязкоупругой среды с дополнительными источниковыми слагаемыми, которые соответствуют собственным скоростям роста среды. Из условия положительной определенности потенциальной энергии растущего тела и анализа оператора задачи получены ограничения на реологические коэффициенты модели. Проведен подробный анализ полученных ограничений для случая изотропной среды. На основе численных оценок ряда параметров модели, полученных в экспериментах на растительных биоматериалах, показано, что условие устойчивости роста сводится к ограничению на коэффициент, равный отношению значения недиагональной компоненты тензора ростовых вязкостей к значению диагональной компоненты. Автор выражает глубокую признательность В.И. Гуляеву и А.А. Илюхину за полезные и стимулирующие обсуждения темы. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред |
| spellingShingle |
Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред Кизилова, Н.Н. |
| title_short |
Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред |
| title_full |
Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред |
| title_fullStr |
Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред |
| title_full_unstemmed |
Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред |
| title_sort |
исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред |
| author |
Кизилова, Н.Н. |
| author_facet |
Кизилова, Н.Н. |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Исследуется модель растущей сплошной среды, реология которой описывается моделью Максвелла вязкоупругой среды с дополнительными источниковыми слагаемыми, которые соответствуют собственным скоростям роста среды. Из условия положительной определенности потенциальной энергии растущего тела и анализа оператора задачи получены ограничения на реологические коэффициенты модели. Проведен подробный анализ полученных ограничений для случая изотропной среды. На основе численных оценок ряда параметров модели, полученных в экспериментах на растительных биоматериалах, показано, что условие устойчивости роста сводится к ограничению на коэффициент, равный отношению значения недиагональной компоненты тензора ростовых вязкостей к значению диагональной компоненты.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123780 |
| citation_txt |
Исследование устойчивости моделей растущих сплошных сред / Н.Н. Кизилова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 204-211. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kizilovann issledovanieustoičivostimodeleirastuŝihsplošnyhsred |
| first_indexed |
2025-11-25T12:28:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T12:28:36Z |
| _version_ |
1850514615601987584 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ ÓÄÊ 531/532
c©2005. Í.Í. Êèçèëîâà
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÌÎÄÅËÅÉ
ÐÀÑÒÓÙÈÕ ÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄ
Èññëåäóåòñÿ ìîäåëü ðàñòóùåé ñïëîøíîé ñðåäû, ðåîëîãèÿ êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ Ìàêñâåëëà
âÿçêîóïðóãîé ñðåäû ñ äîïîëíèòåëüíûìè èñòî÷íèêîâûìè ñëàãàåìûìè, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåí-
íûì ñêîðîñòÿì ðîñòà ñðåäû. Èç óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ðàñòó-
ùåãî òåëà è àíàëèçà îïåðàòîðà çàäà÷è ïîëó÷åíû îãðàíè÷åíèÿ íà ðåîëîãè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû ìîäåëè.
Ïðîâåäåí ïîäðîáíûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ ñëó÷àÿ èçîòðîïíîé ñðåäû. Íà îñíîâå ÷èñëåí-
íûõ îöåíîê ðÿäà ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, ïîëó÷åííûõ â ýêñïåðèìåíòàõ íà ðàñòèòåëüíûõ áèîìàòåðèàëàõ,
ïîêàçàíî, ÷òî óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ðîñòà ñâîäèòñÿ ê îãðàíè÷åíèþ íà êîýôôèöèåíò, ðàâíûé îòíî-
øåíèþ çíà÷åíèÿ íåäèàãîíàëüíîé êîìïîíåíòû òåíçîðà ðîñòîâûõ âÿçêîñòåé ê çíà÷åíèþ äèàãîíàëüíîé
êîìïîíåíòû.
Ââåäåíèå. Ê ðàñòóùèì ìàòåðèàëàì îòíîñÿò ñðåäû, â êîòîðûõ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè
ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå èëè óìåíüøåíèå ìàññû, îáúåìà, ïëîòíîñòè è ïîðèñòîñòè â õîäå
õèìè÷åñêèõ, ýëåêòðîõèìè÷åñêèõ è ôèçè÷åñêèõ ðåàêöèé è ïðîöåññîâ. Ïóòåì âûðàùèâà-
íèÿ â èñêóññòâåííûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïîëó÷àòü êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû ñ ðàçëè÷íû-
ìè âÿçêîóïðóãèìè è ïðî÷íîñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ èõ â òåõíè-
êå, êîñìè÷åñêèõ òåõíîëîãèÿõ èëè ìåäèöèíå [1, 2]. Ïðèìåðîì åñòåñòâåííûõ ðàñòóùèõ
ìàòåðèàëîâ ÿâëÿþòñÿ áèîëîãè÷åñêèå òêàíè, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò îáðàçîâàíèå íîâûõ
êëåòîê èëè âíåêëåòî÷íîãî âåùåñòâà çà ñ÷åò ïðèòîêà ìàññû âìåñòå ñ ïîòîêîì êðîâè â
òêàíÿõ æèâîòíûõ èëè ðàñòèòåëüíîãî ñîêà â òêàíÿõ ðàñòåíèé. Ïðè ýòîì â õîäå áèîëî-
ãè÷åñêîé ýâîëþöèè ðàçâèëèñü ýôôåêòèâíûå ñèñòåìû îáðàòíîé ñâÿçè, îáåñïå÷èâàþùèå
ðîñò òêàíåé ñ îïòèìàëüíûìè ìåõàíè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè (ìàêñèìàëüíàÿ ïðî÷íîñòü ïðè
ìèíèìàëüíîì âåñå). Îïîñðåäóþùóþ ðîëü â ðåãóëÿöèè ðîñòà èãðàþò ìåõàíè÷åñêèå íà-
ïðÿæåíèÿ, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò îãðîìíûé èíòåðåñ äëÿ ñîâðåìåííûõ áèîòåõíîëîãèé â ñâÿçè
ñ âîçìîæíîñòüþ ðåãóëÿöèè ðîñòà ïóòåì âíåøíåãî íàãðóæåíèÿ ðàñòóùåãî áèîìàòåðèàëà
ñ öåëüþ âûðàùèâàíèÿ ìàòåðèàëîâ ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè. Ìîäåëèðîâàíèå ðàñòóùèõ
áèîëîãè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ îñíîâàíî íà äâóõôàçíûõ ìîäåëÿõ, â êîòîðûõ çà ñ÷åò ìàññî-
îáìåíà ìåæäó æèäêîé è òâåðäîé ôàçàìè ïðîèñõîäèò ïðèðàùåíèå ìàññû òâåðäîé ôàçû
[3�7]. Íåíàïðÿæåííûé ðîñò, â õîäå êîòîðîãî ìåõàíè÷åñêèå íàïðÿæåíèÿ îòñóòñòâóþò,
èññëåäóåòñÿ íà îñíîâå ìîäåëåé òåðìîóïðóãîñòè [6]. Ðîñò àíèçîòðîïíûõ áèîêîìïîçèòîâ
è ðîñò òêàíåé ïðè ìåõàíè÷åñêîì îãðàíè÷åíèè ðîñòà ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì
íàïðÿæåíèé [8�10]. Ïðè ýòîì âîçíèêàþò çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ óñòîé÷èâîñòüþ ðàñòóùèõ
îáúåêòîâ è ñ îöåíêîé ðåîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëåé ðàñòóùèõ ñïëîøíûõ ñðåä [11].
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ðàñòóùåé ñðåäû ïðåäñòàâëåíà
çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ ìàññû, èìïóëüñîâ è îïðåäåëÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè â âèäå [3, 5,
9, 10]:
∂ρ
∂t
+ div (ρv) = −θ, (1)
div (σ̂) + ρ f = 0, (2)
ê = Â+ B̂σ̂ +
D
Dt
(
Ê−1σ̂
)
, (3)
204
Èññëåäîâàíèå ìîäåëåé ðàñòóùèõ ñïëîøíûõ ñðåä
ãäå ρ � ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà, v � âåêòîð ñêîðîñòè, θ � ñêîðîñòü ïðèòîêà ìàññû ê òâåðäîé
ôàçå èç æèäêîé, σ̂ è ê � òåíçîðû íàïðÿæåíèé è ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé, Â � òåíçîð ñîá-
ñòâåííûõ ñêîðîñòåé ðîñòà ìàòåðèàëà ïðè îòñóòñòâèè íàïðÿæåíèé, B̂ � òåíçîð îáðàòíûõ
(ðîñòîâûõ) âÿçêîñòåé, Ê � òåíçîð ìîäóëåé óïðóãîñòè, f � ïëîòíîñòü âíåøíèõ îáúåìíûõ
ñèë, D/Dt � òåíçîðíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè.
 ñèëó ñèììåòðèè òåíçîðîâ σ̂ è ê ìàòðèöà  ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, à òåíçîð Biklm
ñèììåòðè÷åí ïî ïåðâîé è âòîðîé ïàðå èíäåêñîâ è ïðè çàìåíå ïåðâîé ïàðû íà âòîðóþ.
 áèîëîãè÷åñêèõ ìàòåðèàëàõ êîìïîíåíòû  ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè [12].
Åñëè ìàòåðèàë íåñæèìàåìûé, òî çàäà÷à (2), (3) îòäåëÿåòñÿ, à ïðèòîê ìàññû θ ìî-
æåò áûòü îïðåäåëåí ïîñëå ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè. Ïðè îòñóòñòâèè îáúåìíûõ ñèë è âíåøíèõ íàãðóçîê òðèâèàëüíîå ðåøåíèå (2)
ñîîòâåòñòâóåò íåíàïðÿæåííîìó ðîñòó, à èç óðàâíåíèé (3) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî óñëîâèå
ñîâìåñòíîñòè äåôîðìàöèé äëÿ ìàòåðèàëà â âèäå îãðàíè÷åíèé íà êîìïîíåíòû Â:
∂2Aii
∂x2
j
+
∂2Ajj
∂x2
i
= 2
∂2Aij
∂xi∂xj
, (4)
ãäå i, j = 1, 2, 3. Èç ñîîòíîøåíèé (4) ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû Â ìîãóò áûòü çàäàíû íà
îñíîâå îäíîé ïðîèçâîäÿùåé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè Φ òàêîé, ÷òî
Aii =
∂2Φ
∂x2
i
, Aij =
∂2Φ
∂xi∂xj
.
Ñàìûé ïðîñòîé ñëó÷àé Aii = Aii(t), Aij = 0, ñîîòâåòñòâóþùèé ðîñòó ðàñòèòåëüíûõ
òêàíåé [13], óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4). Ïðè çàäàíèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé â íàïðÿæåíèÿõ
σn|Γ = σ∗, (5)
ãäå n � âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Γ, σ∗ � ïîâåðõíîñòíàÿ íàãðóçêà, çàäà÷à (2), (5)
äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé îòäåëÿåòñÿ. Äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå ðàñòóùåãî òåëà
îïðåäåëÿåòñÿ èç (3) ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è (2), (5). Ïðè çàäàíèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé â
ñêîðîñòÿõ (ïåðåìåùåíèÿõ)
v|Γ = v0 (6)
èç (2), (3) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ïåðåìåùåíèÿõ:
div
(
ê− Â
)
+ ρ
(
B̂ +
D
Dt
(
Ê−1
)
+ Ê−1 D
Dt
)
f = 0. (7)
Ðåøåíèå çàäà÷è (6), (7) äàåò ïîëå ñêîðîñòåé, à íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ
çàòåì èç ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç (3) â îïåðàòîðíîé ôîðìå:
σ̂ =
(
B̂ +
D
Dt
(
Ê−1
)
+ Ê−1 D
Dt
)−1 (
ê− Â
)
.
Ïðè ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è â ñìåøàííîé ïîñòàíîâêå ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè â âèäå
σn|Γ1
= σ0, v|Γ2
= v0, (8)
205
Í.Í. Êèçèëîâà
ãäå Γ = Γ1 ∪Γ2, íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå ðàñòóùåãî ìàòåðèàëà îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2), (3) ñ óñëîâèÿìè (8).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòåðèàë îðòîòðîïíûé, à óïðóãèå ñâîéñòâà íå ìåíÿþòñÿ ñî
âðåìåíåì (DÊ/Dt = 0) çà ñ÷åò îáðàçîâàíèÿ íîâîãî ìàòåðèàëà ñ òîé æå ïëîòíîñòüþ
(ïîðèñòîñòüþ). Òîãäà ñèñòåìà (2), (3) â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïðèìåò âèä
∂σxx
∂x
+
∂σxy
∂y
+
∂σxz
∂z
= −ρfx,
∂σxy
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂σyz
∂z
= −ρfy,
∂σxz
∂x
+
∂σyz
∂y
+
∂σzz
∂z
= −ρfz,
∂2ux
∂x∂t
−B11σxx −B12σyy −B13σzz −
1
E1
∂σxx
∂t
+
ν21
E2
∂σyy
∂t
+
ν31
E3
∂σzz
∂t
= A11,
∂2uy
∂x∂t
−B21σxx −B22σyy −B23σzz +
ν12
E1
∂σxx
∂t
− 1
E2
∂σyy
∂t
+
ν32
E3
∂σzz
∂t
= A22,
∂2uz
∂x∂t
−B31σxx −B32σyy −B33σzz +
ν13
E1
∂σxx
∂t
+
ν23
E2
∂σyy
∂t
− 1
E3
∂σzz
∂t
= A33,
1
2
(
∂2uz
∂y∂t
+
∂2uy
∂z∂t
)
−B44σxy −
1
G1
∂σyz
∂t
= A23,
1
2
(
∂2ux
∂z∂t
+
∂2uz
∂x∂t
)
−B55σxz −
1
G2
∂σxz
∂t
= A13,
1
2
(
∂2ux
∂y∂t
+
∂2uy
∂x∂t
)
−B66σyz −
1
G3
∂σxy
∂t
= A12,
(9)
ãäå Ei, νjk, Gi � ìîäóëèÞíãà, êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà è ìîäóëè ñäâèãà â íàïðàâëåíèÿõ
ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé, ïðè÷åì νik/Ei = νki/Ek â ñèëó ñèììåòðèè óïðóãèõ ñâîéñòâ, à
êîìïîíåíòû Aik óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (4). Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî ðîñòîâûå
âÿçêîñòè ñâÿçàíû ñ òèïîì àíèçîòðîïèè ìàòåðèàëà, ÷òî îïðåäåëÿåò âèä ìàòðèöû Bik.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ðåçóëüòàòàìè íàáëþäåíèé è ýêñïåðèìåíòîâ ñ ðàñòóùèìè ìàòåðèà-
ëàìè ñæèìàþùèå íàãðóçêè óãíåòàþò, à ðàñòÿãèâàþùèå � ñòèìóëèðóþò ðîñò [3], ïîýòîìó
Bii > 0 ïðè i = 1, 2, 3. Ýêñïåðèìåíòû ñ êëåòî÷íûìè ñëîÿìè ïîêàçàëè, ÷òî ñóùåñòâóåò
ïîðîã ìåõàíî÷óâñòâèòåëüíîñòè êëåòîê, êîòîðûé ïî äàííûì, ïîëó÷åííûì äëÿ ðÿäà êëå-
òîê, ñîñòàâëÿåò σ◦ ∼ 0.03− 0.05 MPa [14].
2. Èññëåäîâàíèå îãðàíè÷åíèé íà ðåîëîãè÷åñêèå ïàðàìåòðû ìîäåëè. Ìî-
äåëèðîâàíèå ðàñòóùèõ áèîëîãè÷åñêèõ ñðåä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç íîâûõ ðàçäåëîâ
ñîâðåìåííîé áèîìåõàíèêè, è ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ýêñïåðè-
ìåíòîâ íå ïîçâîëÿþò ñóäèòü î âîçìîæíûõ äèàïàçîíàõ çíà÷åíèé òåíçîðíûõ âåëè÷èí
Aik, Bik, ïîýòîìó èìååò ñìûñë ïðîâåñòè îöåíêè èõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé, èñõîäÿ èç
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèé, óñëîâèÿ ñïëîøíîñòè ñðåäû è äðóãèõ íàèáîëåå îáùèõ
ïîëîæåíèé ìåõàíèêè. Ïîñòóëàò îá óñòîé÷èâîñòè åñòåñòâåííîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ òåëà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îãðàíè÷åíèÿ íà ðåîëîãè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû, èñõîäÿ èç
óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà [15]:
σikεik ≥ k(εik)
2, (10)
206
Èññëåäîâàíèå ìîäåëåé ðàñòóùèõ ñïëîøíûõ ñðåä
ãäå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì âåäåòñÿ ñóììèðîâàíèå. Óñëîâèå (10) äëÿ èçîòðîïíîãî
óïðóãîãî òåëà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü èçâåñòíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âåëè÷èíû E,G, à äëÿ
âÿçêîóïðóãîãî òåëà - äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âÿçêèå ïàðàìåòðû [15].
Ïðåíåáðåãàÿ â (3) ìãíîâåííûìè óïðóãèìè äåôîðìàöèÿìè, ðàçðåøèì ðåîëîãè÷åñêèå
ñîîòíîøåíèÿ îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèé
σxx =
1
B
((εxx − A11)∆11 − (εyy − A22)∆21 + (εzz − A33)∆31) ,
σyy =
1
B
(−(εxx − A11)∆12 + (εyy − A22)∆22 − (εzz − A33)∆32) ,
σzz =
1
B
((εxx − A11)∆13 − (εyy − A22)∆23 + (εzz − A33)∆33) ,
σyz =
εyz
B44
, σxz =
εyz
B55
, σxy =
εyz
B66
,
(11)
ãäå ∆ik � îïðåäåëèòåëü ìèíîðà ìàòðèöû Bik, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ èç íåå ïóòåì âû÷åð-
êèâàíèÿ i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà, à B = det |Bik|.
Ïîäñòàâëÿÿ (11) â (10), ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ê âèäó êâàäðàòè÷íîé
ôîðìû:
∆11
B
[
εxx −
∆21 + ∆12
2∆11
εyy +
∆31 + ∆13
2∆11
εzz +
κx
2∆11
]2
+
ζy
B
[
εyy +
ζyz
2ζy
εzz +
αy
2ζy
]2
+
+
α1
B
[
εzz +
α2
2α1
]2
− 1
4B
[
κ2
x
∆11
+
α2
y
ζy
+
α2
2
α1
]
+
ε2
yz
B44
+
ε2
yz
B55
+
ε2
yz
B66
,
(12)
ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
ζy = ∆22 −
(∆21 + ∆12)
2
4∆11
, ζz = ∆33 −
(∆31 + ∆13)
2
4∆11
,
ζyz =
(∆21 + ∆12)(∆31 + ∆13)
4∆11
−∆32 −∆23,
κx = −A11∆11 + A22∆21 − A33∆31,
κy = A11∆12 − A22∆22 + A33∆32,
κz = −A11∆13 + A22∆23 − A33∆33,
αy = κy +
κx
2∆11
(∆21 + ∆12), α1 = ζz −
ζ2
yz
4ζy
, α2 = αz −
αyζyz
2ζy
.
(13)
Óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè äëÿ (12) ñ ó÷åòîì (13) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþ-
ùèì îãðàíè÷åíèÿì íà êîýôôèöèåíòû Aik, Bik:
∆11
B
≥ 0,
ζy
B
≥ 0,
ζz
B
−
ζ2
yz
4Bζy
≥ 0,
1
B
(
κ2
x
∆11
+
α2
y
ζy
+
α2
2
α1
)
≤ 0, B44, B55, B66 > 0. (14)
Ñ ó÷åòîì ïåðâûõ äâóõ óñëîâèé (14) ïîñëåäíåå èç íèõ ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü ïðè îò-
ðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ α1. Ñîîòíîøåíèÿ (14) ìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðåíû
ïóòåì ïîäñòàíîâêè çíà÷åíèé ðåîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ðàñòóùåãî ìàòåðèàëà, ïîëó÷åí-
íûõ â õîäå ýêñïåðèìåíòîâ è íàáëþäåíèé çà ðîñòîì. Ïîñêîëüêó îïðåäåëåíèå âåëè÷èí Bik
207
Í.Í. Êèçèëîâà
òðåáóåò ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ ñ ðîñòîì ìàòåðèàëà ïîä äåéñòâèåì çàäàííîé íàãðóç-
êè, òî íå âñå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Bik ìîãóò áûòü îöåíåíû îäíîâðåìåííî â õîäå
îäíîãî ýêñïåðèìåíòà. Íàïðèìåð, ðîñò îáðàçöà ïîä äåéñòâèåì ðàñòÿãèâàþùåé íàãðóç-
êè, ïðèëîæåííîé ê åãî ïåðèìåòðó (òîðöó) â íàïðàâëåíèè j-é îñè êîîðäèíàò, ïîçâîëèò
îöåíèòü çíà÷åíèÿ B1j, B2j, B3j. Ïðîâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ ïî
äåéñòâèþ íà ðîñò íàãðóçêè, äåéñòâóþùåé â íàïðàâëåíèÿõ òðåõ îñåé êîîðäèíàò, äàñò
ïîñëåäîâàòåëüíûå îöåíêè âåëè÷èí Bij, i, j = 1, 2, 3. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
Bkk, k = 4, 5, 6, ìîæíî ïðîâåñòè ñåðèþ ýêñïåðèìåíòîâ ïî äåéñòâèþ íà ðîñò ìîìåíòà ñèë,
íàïðàâëåííîãî âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé îñè êîîðäèíàò. Ïðè ýòîì òåîðåòè÷åñêèå ìîäåëè
ìîãóò áûòü ðàçðàáîòàíû äëÿ ïðîñòûõ ôîðì îäíîðîäíîãî èçîòðîïíîãî ðàñòóùåãî òåëà,
êîòîðîå ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü áðóñîì èëè öèëèíäðîì (òðóá÷àòûå êîñòè, ñòâîëû
è âåòâè äåðåâüåâ, êîðíè ðàñòåíèé). Àíàëîãè÷íûå îáðàòíûå çàäà÷è, ïîñòàâëåííûå äëÿ
ïëîñêèõ îáðàçîâàíèé, êîòîðûå ìîäåëèðóþòñÿ ïëàñòèíàìè è îáîëî÷êàìè (ïëîñêèå êî-
ñòè, ñëîè õðÿùà èëè êîæè, ëèñòüÿ ðàñòåíèé), ïîçâîëÿþò èäåíòèôèöèðîâàòü òîëüêî
íåêîòîðûå èç êîýôôèöèåíòîâ Bij [5, 9, 16�18]. Â ñâÿçè ñ ýòèì óñëîâèÿ (14) ïðåäñòàâ-
ëÿþòñÿ âåñüìà ïîëåçíûìè äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ðåîëîãè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ ïðè óñëîâèè, ÷òî ÷àñòü èç íèõ èçâåñòíà èç ýêñïåðèìåíòîâ.
3. Èññëåäîâàíèå îïåðàòîðà îñíîâíîé çàäà÷è. Èññëåäóåì ñâîéñòâà îïåðàòîðà
ñèñòåìû (9). Ïîëó÷èì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïðîèçâåäÿ ïîäñòàíîâêó
Ψ = ψ∗eγt−i(s1x+s2y+s3z), (15)
ãäå Ψ = {σxx, σyy, σzz, σyz, σxz, σxy, ux, uy, uz} � âåêòîð íåèçâåñòíûõ çàäà÷è. Ïîäîáíàÿ ïîä-
ñòàíîâêà ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü óñëîâèÿ, êîòîðûì ïîä÷èíÿþòñÿ îïåðàòîðû âÿçêîóïðó-
ãîñòè [15], è ñîîòâåòñòâóåò èññëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ Ψ0 ñè-
ñòåìû (9). Ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ îáúåìíûõ è ïîâåðõíîñòíûõ ñèë è èñòî÷íèêîâ ñäâè-
ãîâûõ äåôîðìàöèé Aij = 0 ðåøåíèå Ψ0 îòâå÷àåò ñëó÷àþ íåíàïðÿæåííîãî ðîñòà:
Ψ0 =
{
0, 0, 0, 0, 0, 0,
∫
A11dx,
∫
A22dy,
∫
A33dz
}
,
ãäå âåëè÷èíû Aii äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì ñîâìåñòíîñòè ðîñòîâûõ äåôîðìàöèé
(4).
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (15) â (9) ïîëó÷èì îäíîðîäíóþ àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó äëÿ
îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí ψ∗. Ìàòðèöà ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä
M =
s1 0 0 0 s3 s2 0 0 0
0 s2 0 s3 0 s1 0 0 0
0 0 s3 s2 s1 0 0 0 0
b11 b12 b13 0 0 0 iγs1 0 0
b21 b22 b23 0 0 0 0 iγs2 0
b31 b32 b33 0 0 0 0 0 iγs3
0 0 0 b44 0 0 0 iγs3 iγs2
0 0 0 0 b55 0 iγs3 0 iγs1
0 0 0 0 0 b66 iγs2 iγs1 0
,
ãäå bii = Bii +
γ
Ei
äëÿ i = 1, 2, 3, bii = Bii +
2γ
Gi
äëÿ i = 4, 5, 6, bij = Bij −
γνji
Ei
äëÿ
i, j = 1, 2, 3, i 6= j.
208
Èññëåäîâàíèå ìîäåëåé ðàñòóùèõ ñïëîøíûõ ñðåä
Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ äåòåðìèíàíò ìàòðèöûM , ïîëó÷èì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíå-
íèå â ôîðìå:
γ3
(
β1γ
3 + β2γ
2 + β3γ + β4
)
= 0, (16)
ãäå βm = βm (s1, s2, s3). Âûðàæåíèÿ äëÿ β1−3 â îáùåì âèäå çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ ââèäó
èõ êðàéíåé ãðîìîçäêîñòè, à β4 = −2det |Bik|. Åñëè ìàòðèöà Bik âûðîæäåííàÿ, òî êîðíè
ïîëó÷àþùåãîñÿ ïðè ýòîì èç (16) êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ëåãêî èññëåäîâàíû
÷èñëåííî ïðè çàäàíèè çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ óïðóãèõ è ðîñòîâûõ ïàðàìåòðîâ ìî-
äåëè. Äåòàëüíî èçó÷åííûå ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ñëó÷àè ðîñòà ðàñòèòåëüíûõ òêàíåé [9,
16, 17] îòâå÷àþò óñëîâèþ det |Bik| > 0. Èññëåäîâàíèå êîðíåé óðàâíåíèÿ (16) ïîçâîëèò
ïîëó÷èòü óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðîñòà äëÿ çàäà÷è (2), (3).
 ñëó÷àå ïëîñêîé çàäà÷è (2), (3) óðàâíåíèå (16) ïðèíèìàåò áîëåå ïðîñòîé âèä:
γ2 (γ − γ∗) = 0, (17)
ãäå
γ∗ = −B22s
4
1 +B11s
4
2 + (2B44 +B12 +B21) s
2
1s
2
2
s4
1
E2
+
s4
2
E1
+ 2
(
1
G12
− ν12
E1
)
s2
1s
2
2
. (18)
Ïðè ýòîì îöåíêè óñòîé÷èâîñòè ðîñòà (γ ≤ 0) ìîãóò áûòü ëåãêî ïîëó÷åíû èç (18) â
àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå:
2B44 +B12 +B21 ≥ 0, G12 ≤ E1/ν12, (19)
ïðè÷åì ïîñëåäíåå óñëîâèå (19) âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó èçâåñòíîé ñâÿçè ìåæäó êîýôôèöè-
åíòàìè G,E, ν äëÿ óïðóãîãî ìàòåðèàëà.
 ðÿäå ñëó÷àåâ äëÿ ìåäëåííî ðàñòóùèõ áèîìàòåðèàëîâ èëè íà ïîçäíèõ ñòàäèÿõ ðî-
ñòà õàðàêòåðíûå âðåìåíà ðîñòîâûõ äåôîðìàöèé T g, îòíîñÿùèåñÿ ê ïðîèçâîäíûì êîì-
ïîíåíò âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ ïî âðåìåíè è âðåìåíà ðåëàêñàöèè óïðóãèõ äåôîðìàöèé
T e, îòíîñÿùèåñÿ ê ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè îò êîìïîíåíò òåíçîðà íàïðÿæåíèé, èìå-
þò ðàçíûé ïîðÿäîê, â ñèëó ÷åãî ìîæíî ïðåíåáðåãàòü èçìåíåíèåì íàïðÿæåíèé çà ñ÷åò
óïðóãèõ äåôîðìàöèé. Â òàêîì ïðèáëèæåíèè áûë ðàíåå ðàññìîòðåí ðÿä çàäà÷ î ðîñòå
ñòåáëÿ, ëèñòà è êîðíÿ ðàñòåíèé [3, 4, 9, 17]. Ïðè ýòîì âèä óðàâíåíèÿ (16) ñóùåcòâåí-
íî óïðîùàåòñÿ, è óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ñîîòíîøåíèþ
det |Bik| 6= 0.
Äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ îïåðàòîðà çàäà÷è (2), (3) ìîæåò áûòü ïðîâå-
äåíî ñ ó÷åòîì ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ äëÿ ðàñòóùèõ ìàòåðèàëîâ. Ïîñêîëüêó
èäåíòèôèêàöèÿ ðåîëîãè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ Aik, Bik ïðîâîäèëàñü äëÿ ðàñòèòåëüíûõ
ìàòåðèàëîâ, èññëåäóåì óñëîâèÿ (14), (16), (17) äëÿ îäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ìàòåðèà-
ëîâ, èñïîëüçóÿ îöåíêè ðÿäà ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííûå â [5, 13, 17, 18] äëÿ ðàñòóùåãî
ðàñòèòåëüíîãî ìàòåðèàëà.
4. ×èñëåííûå îöåíêè äëÿ îäíîðîäíîãî èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà. Ðàññìîò-
ðèì ñëó÷àé èçîòðîïíîãî ðàñòóùåãî òåëà, ïðè÷åì äëÿ êîìïîíåíò Bik ââåäåì ñëåäóþùèå
îáîçíà÷åíèÿ:
Bii = b äëÿ i = 1, 2, 3; Bij = λb äëÿ i, j = 1, 2, 3, i 6= j; Bii = τb äëÿ i = 4, 5, 6.
209
Í.Í. Êèçèëîâà
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â (13), ïîëó÷èì óñëîâèÿ (14) â âèäå:
1 + λ
B(1− λ)(1 + 2λ)
≥ 0,
1
B(1− λ2)
≥ 0,
1 + 3λ
B(1− λ)(1 + 2λ)2
≥ 0,
a2(3 + λ)
B(1− λ)(1 + 2λ)
≥ 0,
(20)
ãäå a = Ajj, a Aij = 0, i 6= j â ñîîòâåòñòâèè ñ [13, 16�18]. Óñëîâèÿ (20) âûïîëíÿþòñÿ,
åñëè
−1
3
< λ < 1. (21)
Äîïîëíèòåëüíûå îöåíêè ïðîâåäåì, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè. Äëÿ îäíîðîä-
íîãî èçîòðîïíîãî òåëà êîýôôèöèåíòû β1−3 óðàâíåíèÿ (16) èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
β1 = EG2(1− ν2)p1 + (2E2G+ EG2(1− 2ν − 2ν2))p2+
+2(2E3 +G3(1− 3ν2 − 2ν3) + 3EGν(G(1 + ν)− 2E))p3,
β2 = (2E2G2b(1 + νλ) + EG2bτ(1− ν2))p1 + (2E2Gb(E+
+G(1 + λ− ν + 3νλ)) + bτ(EG3(1− 2ν)− 3ν2) + 4E2G2)p2+
(6EGb(G2(1− ν2) + EG(1− λ) + 2G2νλ(1 + ν)+
+2Eλ(E −Gν)) + bτ(6EG3ν(1 + ν) + 12E2G(E − 2νG)))p3,
β3 = (E3G2b2(1− λ2) + 2E2G3b2τ(1 + λν))p1 + (E3G2b2(1 + 2λ− 3λ2)+
+2b2τ 2E2G3 + 2E2G2b2τ(2E −Gν +Gλ+ 2G+ 3Gνλ))p2+
+6E2G2b2(G(1− λ2) + ((2νG− E)(1− λ)λ+ 12b2τ 2E2G2(E −Gν)+
+6E2G2b2τλ(4E −G+Gν − 2Gν)p3,
β4 = E3G3b3(τ(1− λ2)p1 + (2τ 2 + τ(1 + 2λ− 2λ2))p2 + (2(1− 3λ2 + 2λ3)+
+12τ 2λ+ 6τλ(λ− 1))p3),
(22)
ãäå èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
p1 = s6
1 + s6
2 + s6
3,
p2 = s4
1s
2
2 + s2
1s
4
2 + s4
1s
2
3 + s2
1s
4
3 + s4
2s
2
3 + s2
2s
4
3,
p3 = s2
1s
2
2s
2
3.
Ïåðâîå óñëîâèå (19) äëÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà äàåò îãðàíè÷åíèå λ ≥ −1, êîòîðîå
ñïðàâåäëèâî äëÿ áèîëîãè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðè äåé-
ñòâèè, ê ïðèìåðó, ñæèìàþùåé íàãðóçêè âäîëü îñè j, ïðîèñõîäèëî áû òîðìîæåíèå ðîñòà
â íàïðàâëåíèè j, ñîïðîâîæäàþùååñÿ áûñòðîé ðåçîðáöèåé (ðàñòâîðåíèåì) ìàòåðèàëà â
íàïðàâëåíèÿõ i, k.  ïðèðîäå ÷àùå íàáëþäàåòñÿ îáðàòíîå ÿâëåíèå - êîìïåíñàòîðíûé
ðîñò â íàïðàâëåíèÿõ i, k ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèÿ ðîñòà â íàïðàâëåíèè îñè j [19].
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (21) ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ðîñòà äëÿ îä-
íîðîäíîãî èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà. Îöåíêè çíàêà êîðíåé óðàâíåíèÿ (16) ïðîâåäåì ÷èñ-
ëåííûìè ìåòîäàìè, ïîäñòàâëÿÿ â (22) õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííûå
äëÿ ðàñòèòåëüíûõ ìàòåðèàëîâ [5, 13, 17, 18]: A = (1− 5) · 10−6c−1, E = 107 − 2 · 109Ïà,
ν = 0− 0.4, b = 10−6 − 10−5 (Ïà·c)−1. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè γ(p1, p2, p3)
ïðè âàðèàöèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ â óêàçàííûõ äèàïàçîíàõ ïîêàçàëè, ÷òî ïðè τ > 0 è
äëÿ çíà÷åíèé λ èç äèàïàçîíà (21) èìååò ìåñòî óñòîé÷èâûé ðîñò (γ < 0).
210
Èññëåäîâàíèå ìîäåëåé ðàñòóùèõ ñïëîøíûõ ñðåä
Äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå çàäà÷è äëÿ íåîäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ è àíèçîòðîïíûõ
òåë ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ïîñëå ïîëó÷åíèÿ áîëåå äåòàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ îöåíîê
ðåîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (3) äëÿ ðàçëè÷íûõ ðàñòóùèõ áèîëîãè÷åñêèõ ìàòåðè-
àëîâ, ÷òî ñîñòàâèò ïðåäìåò äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü Â.È. Ãóëÿåâó è À.À. Èëþõèíó çà ïî-
ëåçíûå è ñòèìóëèðóþùèå îáñóæäåíèÿ òåìû.
1. Àðóòþíÿí Í.Õ. Ìåõàíèêà ðàñòóùèõ âÿçêîóïðóãîïëàñòè÷åñêèõ òåë. � Ì.:Íàóêà, 1987. � 471ñ.
2. Àðóòþíÿí Í.Õ. Êîíòàêòíûå çàäà÷è ìåõàíèêè ðàñòóùèõ òåë. � Ì.:Íàóêà, 1991. � 422ñ.
3. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû áèîìåõàíèêè. Ò.10. Ìåõàíèêà ðîñòà è ìîðôîãåíåçà. � Ì., 2000. � 412ñ.
4. Êàíòîð Á.ß., Êèçèëîâà Í.Í.Ìåõàíèêà ðàñòóùåãî áèîëîãè÷åñêîãî êîíòèíóóìà //Äîï. ÍÀÍ Óêðà¨-
íè. � 2003. � � 2. � Ñ.56�60.
5. Kizilova N.N., Egorova E.S. Modelling of laminated growing biological materials //J.Mech.Eng. � 2005.
� N5(56). � P.258-273.
6. Volokh K.Y. Mathematical framework for modeling tissue growth. //Biorheology. � 2004. � 41, � 3-4.
� P.263�269.
7. Klisch S.M.A theory of volumetric growth for compressible elastic biological materials. //Math.Mech.Solids.
� 2001. � 6, � 6. � P.551�576.
8. Menzel A. Modelling of anisotropic growth in biological tissues. A new approach and computational
aspects. //Biomechan. Model. Mechanobiol. � 2005. 3. � P.147�171.
9. Êàíòîð Á.ß., Êèçèëîâà Í.Í. Äåôîðìàöèè êðóãëîé ïëàñòèíû èç ðàñòóùåãî áèîìàòåðèàëà ïðè
îãðàíè÷åíèè ðîñòà //Òåîðåòè÷. è ïðèêëàä. ìåõàíèêà. - 2003. � Âûï. 37. � Ñ.130�135.
10. Êèçèëîâà Í.Í., Êðàâ÷åíêî Å.Ï. Èññëåäîâàíèå íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé â äâóìåðíûõ ðàñòóùèõ
êîíòèíóóìàõ //Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï.33. � Ñ.158�168.
11. Kizilova N.N. Stability problems in mechanics of growing biological continuous media. // 9-th Intern.conf.
�Stability, control and rigid bodies dynamics�. Donetsk. � 2005. � P.120�121.
12. Ñâåòëîâ Ï.Ã. Ôèçèîëîãèÿ (ìåõàíèêà) ðàçâèòèÿ. Â 2-õ ò. � Ë., 1979.
13. Kizilova N.N. Computational approach to optimal transport network construction in biomechanics //
Lecture Notes in Computer Sci. � 2004. � 3044. � P.476�485.
14. Cosgrove D.J. Wall relaxation and the driving forces for cell expansive growth //Plant Physiol. � 1987.
� 84. � Ð.561�564.
15. Âîðîâè÷ È.È. Î íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ îïåðàòîðîâ âÿçêîóïðóãîñòè. //Èçáðàííûå ïðîáëåìû ïðè-
êëàäíîé ìåõàíèêè: Ñáîðíèê ðàáîò, ïîñâÿù. 6Î-ëåòèþ àêàä. ×åëîìåÿ Â.Â. � Ì., 1974. � Ñ.225�244.
16. Kizilova N.N. Analysis of stress distribution and leaf blade bending during bounded growth //Summer
Bioengineering Conference, Royal Sonesta Resort, Key Biscayne, FL. � 2003.
17. Êàíòîð Á.ß., Êèçèëîâà Í.Í. Èññëåäîâàíèå ïëîñêîãî íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ
ðàñòóùèõ áèîëîãè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ ïðè îãðàíè÷åíèè ðîñòà // Âåñòí. ÕÍÓ. Ñåð."Ìàòåìàòèêà,
ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà". � 2003. � 582, � 52. � Ñ.107-120.
18. Kizilova N.N. Identi�cation of rheological parameters in models of growing continuums // EUROMECH
Colloquium ¾Identi�cation and Updating Methods of Mechanical Structures¿. � Book of Abstracts. �
Prague, 2002. � P.22.
19. Plant growth : interactions with nutrition and environment/ J.R. Porter and D.W. Lawlor (eds.). �
Cambridge : Cambridge University Press, 1991. � 284 P.
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé óí-ò
nnk_@bk.ru
Ïîëó÷åíî 15.11.05
211
|